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2类变形Sierpinski地毯的Hausdorff维数单家俊;龙伦海;杨成;王司晨【摘要】构造了圆心角小于180°的扇环与正方形之间的某种双Lipschitz映射,首先证明了若将经典Sierpinski地毯的初始图形正方形换成此类扇环,则得到的变形Sierpinski地毯与经典的Sierpinski地毯具有相同的Hausdorff维数;其次证明了若将初始图形换成圆心角小于180°的扇形,则其生成的变形Sierpinski地毯的Hausdorff维数也有同样的结果.【期刊名称】《海南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(034)001【总页数】5页(P7-11)【关键词】分形;变形Sierpinski地毯;Hausdorff维数;双Lipschitz映射【作者】单家俊;龙伦海;杨成;王司晨【作者单位】海南大学信息科学技术学院,海南海口570228;海南大学信息科学技术学院,海南海口570228;海南大学信息科学技术学院,海南海口570228;海南大学信息科学技术学院,海南海口570228【正文语种】中文【中图分类】O174.12给定一个圆心角小于180°的扇环E0(如图1a所示)，将其2条边和2条弧分别三等分，用与圆心角相同的弧连接2条边上对应的等分点，用线段连接2条弧上对应的等分点，将E0分成9个小的扇环，删除中间的扇环，把剩下8个扇环记为E1，然后对E1的8个小的扇环进行同样的操作，无限重复下去，得到一列紧集E0⊃E1⊃…⊃Ek⊃…记得到的极限集为E；如果将初始图形由扇环变成圆心角小于180°的扇形(如图1b所示)，则第一次分割把分割成3个小的扇形和6个小的扇环，删除中间阴影所示的扇环，然后对剩下的3个小的扇形进行同样的操作，对剩下的5个小的扇环按照上述的方法对扇环操作，无限重复此过程，也能得到一个极限集，记为E′. 称上述2个极限集E，E′为变形Sierpinski地毯. 关于变形Sierpinski地毯的研究近年已有一些成果，奚李峰[3]通过构造凸四边形与正方形之间的双Lipschitz映射，证明了由凸四边形分割得到的变形Sierpinski地毯与经典Sierpinski地毯有相同的Hausdorff维数(log8/log3)；朱志勇和文志雄[4]在其结论的基础上，证明了由三角形分割得到的变形Sierpinski地毯的Hausdorff维数也相同.定理1 设E和E′分别为上述生成的变形Sierpinski地毯，则dimH(E)=dimH(E′)=log8/log3.定义1 设Rn中的任意非空子集E，{Ui}为E的一个有限或可数个直径不超过δ的覆盖，E⊆∪Ui，则称{Ui}为E的一个δ覆盖. 设s≥0，称定义2 设(X1,d)和(X2,D)为2个度量空间，如果存在双射f:X1→X2，以及常数C1，C2>0，对于任意的x1，x2X1使得引理1[1] 如果f为双Lipschitz映射，则dimHE=dimHf(E).定义3 设AB和分别为以A为起点、B为终点的有向线段和有向弧，若线段AB上一点P，满足长度之比|AP|/|AB|=λ，则称点P为线段AB的λ分点；若上一点P，满足弧长之比||/||=λ，则称点P为的λ分点. 不妨假设线段和弧均为有向线段和有向弧.平面上扇环和扇形中，利用定比分点计算容易得到以下性质.性质1 如图2a所示，扇环ABCD为一个圆环被扇形所截得的一部分，其弧所对的圆心角小于180°.点E，F分别是的λ1分点，点G，H分别是线段AD，BC的λ2分点，用与所对圆心角相同的一条弧连接点G，H，再连接线段EF，交于点I，则点I分别是的λ1分点和线段EF的λ2分点.性质2 如图2b所示，扇形ABC，其圆心角小于180°. 点D是的λ1分点，点E，F分别是边AC，BC的λ2分点，用与所对圆心角相同的弧连接点E，F，再连接线段DC，交于点G，则点G分别是的λ1分点和线段DC的λ2分点.对于平面上的三角形，有以下性质成立.性质3[3-4] 如图2c所示，给定△ABC，三边长度|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a，φ为边AC与BC的夹角.取0<φ0<π，使得φ0≤φ<π，则存在常数，使得成立.为了证明本文的结论，还需要用到以下不等式.性质4 0≤λ≤1，0≤θ≤π，不等式1-cos(λθ)-λ2(1-cosθ)≥0成立.证明令f(θ)=1-cos(λθ)-λ2(1-cosθ)，则因为函数y=cosx在[0,π]上是单调递减，0≤λ≤1，所以cos(λθ)-cosθ≥0,故f″(θ)≥0. 从而有f′(θ)在[0,π]上是单调递增，于是得到f′(θ)≥f′(0)=0，所以函数f(θ)在[0,π]上也单调递增，故f(θ)≥f(0)=0，不等式成立.2.1 E的Hausdorff维数根据引理1，如果能够构造一个双Lipschitz映射f，将正方形映射成扇环，且将由正方形分割生成的极限集映射为由扇环分割生成的极限集，则二者的Hausdorff维数相等. 下面构造双Lipschitz映射f.如图3a所示，在正方形ABCD中，将线段AB的λ1分点E与线段DC的λ1分点F相连，再将线段AD的λ2分点G与线段BC的λ2分点H相连，2条线段交于一点，记为(λ1，λ2).在扇环ABCD中，将的λ1分点E与的λ1分点F用线段相连，再将线段AD的λ2分点G与线段BC的λ2分点H用一条与所对圆心角相同的弧相连，线段EF与交于一点，记为[λ1，λ2].定义映射f：f((λ1，λ2))=[λ1，λ2]. 显然映射f是双射，且对所有的0≤λ1，λ2≤1，f将正方形映射为扇环.现在需要证明：1)映射f为双Lipschitz映射；2)映射f将由正方形分割生成的极限集映射为由扇环生成的极限集E.根据性质1，图3a扇环中的点[λ1，λ2]分别为和线段EF的λ1，λ2分点，根据极限集生成的构造，注意每一步分割的过程和每个点的比例下标，易知2)是成立的. 关于1)，只要证明对于正方形中任意的2点(λ1，λ2)和)，存在常数C1，C2>0，使得成立不等式).下面证明a≥L(λ2)·||.由扇形的性质可知，∀0≤x≤1，圆心O到点[x,λ2]的距离为定值，记为. 在由点O，[0,λ2],[1,λ2]构成的三角形和点构成的三角形中，分别利用余弦定理，得到另L(λ2)和L′(λ2)都是[0，1]上关于λ2的连续函数，令v1=|DC|，|AB|，v2=||，||，则，结合式(2)，得到再设φ为点[λ1,λ2]和,λ2]的连线与点和的连线之间的夹角，则φ为紧集[0,1]×[0,1]上关于的连续函数，记为，则存在φ0>0，使得对所有的，有，其中φ0为弦AB与BC边的夹角.再根据性质3，存在常数(φ0)>0，使得不等式成立. 结合式(4)，取，则有2.2 E′的Hausdorff维数类似上节的证明，构建一个映射g，将正方形中的点(λ1，λ2)映射为圆心角小于180°的扇形中的点{λ1，λ2}，如图4a所示. 扇形ABC 中的D点为的λ1分点，E,F分别为边AC,BC的λ2分点，用与扇形圆心角相同的弧连接，再连接线段DC，交点记为{λ1，λ2}. 则根据性质2，点{λ1，λ2}既是的λ1分点，又是线段DC的λ2分点. 容易看出映射g将正方形分割得到的极限集映射为扇形分割得到的极限集.现在证明E′的Hausdorff维数也为log 8/log 3.如图4b所示，圆心角θ[0，π]、半径为r的扇形ABC，∀，扇形中4个点{λ1，λ2}，{}，{}和{}按上述方法定义.记L′(λ2)为连接AC边λ2分点与BC边λ2分点的弧的长度，类似上节的讨论，有0≤L′(λ2)≤||，且存在仅依赖于扇形的常数D0=max{r,||}>0，使得根据E′的构造，∀k≥0，易知由3k个小的扇形和8k-3k个小的扇环构成，称中每个小的扇形为k级扇形基块，记为Pk；称中每个小的扇环为k级扇环基块，记为Qk. 由式(7)，对于Pk和Qk的直径，有另一方面，记Q=Q1∩E′，则由上节的讨论可知dimH(Q)=log 8/log 3，而Q⊂E′，再由Hausdorff维数的单调性，故有log 8/log 3=dimH(Q)≤dimH(E′)成立.综合上述，dimH(E′)=log 8/log 3，定理1得证.Abstravct：Inthereport,abiLipschitzmapbetweensquareandsectorringwhosecentralangl ewaslessth an180°wasconstructed.Firstly,itwasprovedthatifwechangetheiniti alsetofSierpinskicarpetfromsquaretosectorring,theHausdorffdimensionaree qual.Secondly,itwasalsoshowedthattheHausdorffdimensionoftheModifiedSi erpinskicarpetremainthesameeventheinitialsetisreplacedintothesectorwhos ecentralangleislessthan180°.。
Sierpinski垫片的Hausdorff测度
李红达;叶正麟
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2000(017)B05
【摘要】Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ垫片是具有严格的自相似性的经典分形集之一，它的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度的估计和计算在理论上具有更重要的意义。
本文通过在Ｓｉｅｐｉｎｓｋｉ垫片上定义某种质量分布，导出了相应的分形插值函数，通过对该分形插值函数性质的分析，并用质量分布原理，给出了Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ垫片的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度的一个下界。
【总页数】2页(P115-116)
【作者】李红达;叶正麟
【作者单位】西北工业大学应用数学系;西北工业大学应用数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O18
【相关文献】
1.关于一类Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上限估计算法 [J], 孙善辉;许绍元;肖建于
2.一个Sierpinski垫片的Hausdorff测度的准确值的计算 [J], 郑冰蓉;李楚玲;许绍元
3.关于Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上方估算法实现研究 [J], 郭美美
4.Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上界估计 [J], 程值军
5.广义Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上限估值! [J], 洪英辉
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某些自相似集的Hausdorff测度研究
本文研究了两类分形集的Hausdorff测度的计算问题，我们首先发展[17]
中的技巧，考虑平面内单位正方形(空间正方体、正四面体)生成的一类自相似集的Hausdorff测度，在满足强分离条件及维数小于1的条件下，当压缩比满足一定条件时，通过确定最大上凸密度得出自然覆盖即是最好覆盖，从而得到此类自相似集的Hausdorff测度的精确值；同时对于[11]、[14]运用初等不等式的研究手法做一定的推广，确定了一类齐次完备集的Hausdorff测度。
本文主要由三部分内容构成：引言中介绍了分形的起源及一些专家、学者在Hausdorff测度研究方面取得的成果和进展；在第一章我们回顾了Hausdorff测度和维数的基本概念、性质，还提及一些计算Hausdorff测度和维数的常用技巧(质量分布原理等)；第二章中系统阐述了自相似压缩系统与开集条件、强开集条件和强分离条件；在本文最后一部分，对几种特殊自相似分形集的Hausdorff测度做了一定的研究，其中第一节引入研究中起着重要作用的密度定理，然后对文[17]中的正方形Sierpinski地毯再探讨，去掉了0＜λ_i＜1/3这一明显条件，在第三、四节将该方法推广至R~3中的正方体Sierpinski海绵和正四面体Sierpinski海绵，最后一节我们讨论了直线上一类齐次完备集的Hausdorff测度问题。
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plasticity and microglial phagocytic activity亚洲赛区无国内赛区一等奖1.中国人民大学附属中学参赛学生：齐乐遥、阿丝娜指导老师：李峰论文题目：一种新模式植物——微萍的生物学特征研究和生活周期控制2.中国人民大学附属中学参赛学生：缪熹指导老师：姜凤敏、范文宏论文题目：不同粒径和官能团修饰的微塑料对水生生物食物链上的毒性影响研究3.新疆克拉玛依市第一中学参赛学生：何李祺、祁含钰、文香湘指导老师：宋珊珊论文题目：薰衣草提取物的抑菌性在鲜酿啤酒后处理中的应用4.北京市第一六一中学参赛学生：张曦文指导老师：窦非、张健翔论文题目：黄酮类化合物（ZGM1）对β淀粉样小肽的聚集影响及机制探究5.清华大学附属中学参赛学生：李昕一指导老师：吴晓磊、梁姝颋论文题目：强化聚乙烯塑料降解的微生物群落构建6.上海市实验学校参赛学生：朱薪宇指导老师：卢宝荣论文题目：杂草稻越冬秘密：钻进土壤的种子诱发了休眠性7.华南师范大学附属中学国际部参赛学生：王越洋指导老师：孙林冲论文题目：Pteryxin suppresses hepatocellular carcinoma by targeting HIF-1α and glucose metabolism8.华南师范大学附属中学参赛学生：成果、徐游新指导老师：栾云霞、罗宇立论文题目：昆虫呼吸蛋白的分子演化9.广州市第六中学参赛学生：于镇铨、林子健、陈贝琳指导老师：宋建陵、田新朋论文题目：深海环境中高产蛋白酶菌株的新发现10.成都外国语参赛学生：王珂、邓雅心、汤晟宇指导老师：彭锐论文题目：二甲双胍通过GSK3β/Wnt通路抑制涡虫再生11.南京外国语学校参赛学生：吴初阳、薛宇指导老师：郑建伟论文题目：地表O3增加对土壤碳转化微生物过程的影响国内赛区二等奖1.清华大学附属中学参赛学生：杜熹然、郝韵指导老师：王诗琦、姜成英论文题目：高效降解苯酚的重组大肠杆菌构建2.北京师范大学附属实验中学参赛学生：廖珈艺指导老师：庄林岚, 方韡论文题目：基于微生物功能强化的新型虹吸湿地污水净化研究3.北京大学附属中学参赛学生：王雨桐指导老师：张健旭论文题目：生长期睡眠不足对小鼠行为和神经递质产生较长的影响4.中国人民大学附属中学参赛学生：张矛盾指导老师：李伟、辇伟峰论文题目：利用定向进化筛选cas蛋白突变体以拓展其PAM识别范围5.山东省实验中学参赛学生：张馨洁、窦昕瑶指导老师：石磊论文题目：肠道菌群在高盐饮食引起的高血压发病中作用的动物研究6.西安高新第一中学参赛学生：王艺轩指导老师：马敏星论文题目：基于慢病毒感染的萤光标记细胞在肿瘤研究的构建及应用7.南京师范大学附属中学参赛学生：杨成指导老师：纪晓俊论文题目：CRISPR/Cas9基因组编辑技术在赤霉菌中的建立及其代谢工程应用8.华南师范大学附属中学参赛学生：李劲尤指导老师：张伟、杨晓安论文题目：海水与淡水中青鳉鱼(Oryzias melastigma)对无机砷解毒能力差异探究9.广东碧桂园国际学校参赛学生：谢松宏指导老师：陈东经论文题目：同源重组缺陷评分系统的优化10.上海交通大学附属中学参赛学生：王天宸指导老师：李一男论文题目：利用外分泌微小RNA实现肾癌早期无创性检测的方法初探11.安徽省合肥市第一中学参赛学生：史乐陶指导老师：吴毓婷、胡滟虹论文题目：Expression Changes and biological functions of long non-coding RNA H19 and its methylation in early alcoholic liver disease12.上海民办包玉刚实验学校参赛学生：高诚泽指导老师：沈旭论文题目：化合物Mas抑制RIPK逆转程序性坏死治疗阿尔茨海默症2019丘成桐中学科学奖（计算机）分赛区比赛获奖名单美国赛区金奖Danbury Math Academy参赛学生: Kenneth Choi, Tony Lee 指导老师: Xiaodi Wang论文题目: Differentially Private M-band Wavelet-Based Mechanisms in Machine Learning Environments美国赛区银奖Deerfield Academy参赛学生: Zhi Hua Yuk 指导老师: Shuliang Bai, Kyle Luh论文题目: Ricci Flow Approach to the School Bus Routing Problem亚洲赛区金奖Independent Schools Foundation Academy, Hong Kong参赛学生：WANG Yu Han Daisy指导老师：Yee Pan Angelo Leung, Jia Pan论文题目：Human-Friendly Autonomous Robot Navigation by Deep Reinforcement Learned Collision Avoidance亚洲赛区银奖River Valley High School, Singapore参赛学生：SI Chenglei 指导老师：Wu Kui, Aw Ai Ti论文题目：Sentiment Aware Neural Machine Translation国内赛区一等奖1.北京师范大学附属实验中学参赛学生：白行健指导老师：王鸿伟论文题目：Hateful User Detection with Adaptive Graph Convolutional Neural Networks2.中国人民大学附属中学参赛学生：王之枫、上官一凡、杨梅格指导老师：武迪论文题目：利用光传播模型和多次反射模型实现非视域成像3.北京师范大学附属实验中学参赛学生：王醇逸指导老师：黄河燕、崔福伟论文题目：基于多特征与多语言融合的语音情感识别算法研究4.Shanghai Starriver Bilingual School参赛学生：吕行健指导老师：张伟楠论文题目：Meta-Learning Algorithms for Multi-task Data Generation5.上海市上海中学参赛学生：赵海萌指导老师：沈孝山论文题目：CAE-ADMM: Implicit Bitrate Optimization via ADMM-based Pruning in Compressive Autoencoders6.上海市上海中学参赛学生：傅易指导老师：王亚娟论文题目：模块化单片机开发系统7.南京外国语学校参赛学生：刘欣雨、马燕然、李博思指导老师：李曙、孙鑫论文题目：一种基于生成对抗网络的序列推荐方法8.南京外国语学校参赛学生：金川杨、王禹听、李滕昊指导老师：史钋镭论文题目：一种Sanger测序数据杂合突变识别算法9.杭州外国语学校参赛学生：张澄指导老师：许端清、张玮婧论文题目：面向儿童抽动症辅助治疗的多风格漫画头像智能生成国内赛区二等奖1.北京市第四中学参赛学生：蔡佳宏、贺昕妍、高宇轩指导老师：陈慧妙论文题目：A Method of EV Detour-to- Recharge Behavior Modeling and Charging Station Deployment2.北京大学附属中学参赛学生：刘知宜指导老师：肖然、尹建芹论文题目：基于计算机视觉的重复性动作计数研究3.长春吉大附中力旺实验中学参赛学生：李穆指导老师：屈宝峰论文题目：低成本校园WiFi音频传输方案探索4.西安高新第一中学国际课程中心参赛学生：菊可欣指导老师：许豆、闫金涛论文题目：一种基于多特征融合的黑色素瘤自动诊断研究5.华南师范大学附属中学参赛学生：叶耀文指导老师：黄秉刚、杜云飞论文题目：基于计算机视觉及双耳效应的盲人智能眼镜的研究6.深圳中学参赛学生：陈毅骏、陈良源指导老师：周宇论文题目：基于可穿戴设备和计算智能的篮球运动动作识别研究7.广州市第六中学参赛学生：王胤哲、陈润萌、宋益善指导老师：梁靖韵论文题目：基于ETW-BERT模型的中文网络虚假评论识别8.上海市平和学校参赛学生：周驰宇指导老师：程治淇、赵波论文题目：Magic Artist: An image generation method from bounding boxes and labels 9.苏州德威英国国际学校参赛学生：顧寧健、钟之羿指导老师：赵霞论文题目：基于监控视频的人体跌倒检测10.江苏省海门中学参赛学生：陈倪劼、吉浩成指导老师：吴钧烽论文题目：Recurrent Convolutional Neural Networks for Toxic Comments Detection 11.合肥一中参赛学生：丁雯琪指导老师：石松涛论文题目：Molecular scalar coupling constant prediction based on stacking network of Graph Convolutional Network and Transformer2019丘成桐中学科学奖（经济金融建模）分赛区比赛获奖名单美国赛区金奖Thomas Jefferson High School for Science and Technology参赛学生: Benjamin Kang 指导老师: James Unwin。
一类广义Sierpinski垫片的Hausdorff测度分形几何是20世纪70年代中期发展起来的一门新兴科学,它为研究自然界中一些不规则集提供了新的思想,方法和技巧,极大的引起了人们的兴趣。
因为不规则集要比经典的几何图形能更好的反映许多客观自然现象。
分形几何恰为研究这样的不规则集提供了一个总的框架。
特别是近年来,这一新兴学科在物理、化学、材料、工程技术等学科的广泛应用,更是刺激了其深入的发展,因此分形几何的诞生与发展对整个科学的进步起着重大的推动作用。
分形几何研究的首要问题之一是分形集的维数与测度,而Hausdorff测度与维数是分形几何中的两个基本概念,对它们进行计算与估计自然成为分形几何的主要问题之一,但要准确计算一个一般分形集的Hausdorff维数,尤其是Hausdorff测度是相当困难的,到目前为止,能成功计算出其Hausdorff测度准确值的分形集合的例子极少,且无统一的、具有普适性的方法。
本文主要讨论了一类广义Sierpinski垫片的Hausdorff测度的计算问题。
第一章简要的介绍了测度论的相关知识,Hausdorff测度与维数的定义和性质,及在计算Hausdorff测度和维数中经常用到的技巧,第二章介绍自相似集与开集条件,第三章介绍分形射影的相关理论,本作者应用此理论对一类广义Sierpinski垫片的Hausdorff测度进行估计,得到了其Hausdorff测度准确值,第四章介绍本人通过对一类广义Sierpinski垫片的构造的研究,利用上凸密度的良好性质去计算出此类广义Sierpinski垫片的Hausdorff测度的准确值。
关于Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上界估计王谦;何国龙【摘要】Sierpinski垫片是经典的自相似分形集,其Hausdorff维数是log2 3,但其Hausdorff测度的计算仍非常困难.在构造的覆盖集中,给出计算被覆盖三角形数的算法,从而估计出相应的Hausdorff测度Hs(S)≤0.817 918 996 ...,此结果优于目前现有文献中的已知结果.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(033)004【总页数】6页(P392-397)【关键词】自相似集;Hausdorff测度;Sierpinski垫片;上界估计【作者】王谦;何国龙【作者单位】浙江师范大学,数理与信息工程学院,浙江,金华,321004;浙江师范大学,数理与信息工程学院,浙江,金华,321004【正文语种】中文【中图分类】O174.120 引言在分形几何的研究中，对于满足开集条件的自相似集，其Hausdorff维数计算问题已完全解决，但Hausdorff测度的精确值计算仍非常困难，大多只能通过计算其上下界以逼近其准确值.通过Hausdorff测度的定义可以得到其上界，当然最好的上界就是准确值，因此，如何估计出较优的上界值是逼近准确值的重要问题.Sierpinski垫片是经典的满足开集条件的自相似集，它的Hausdorff维数s=dimH(S)=log2 3，对于其Hausdorff测度，目前只有上下界的估计值.文献[1]否定了1987年Marion关于Sierpinski垫片测度的猜测(Hs(S)=3s/6)，并给出上界值Hs(S)≤0.910 5；文献[2]改进上界值为Hs(S)≤0.890 0；文献[3]将上述上界改进到Hs(S)≤0.870 08…；文献[4]得到了目前最好的上界估值为Hs(S)≤0.817 930 0….本文通过构造新的覆盖，并给出相应的算法，通过数值计算得到了更好的上界估计值.1 Sierpinski垫片定义1[5] 设S1,S2,…,Sm:Rn→Rn，对任意x,y∈Rn，满足|Si(x)-Si(y)|=ci|x-y|.其中：0<ci<1为压缩比；{Si}为一族相似压缩.若存在唯一的吸引子E，使得则称E为自相似集；若存在非空开集V∈Rn，使得⊂V，且Si(V)∩Sj(V)=φ，0<i<j≤m，则称自相似集E满足开集条件，亦称E为s-集.其中：设Ik={(i1,i2,…,ik) | 1≤ij≤m}，记Ei1,i2,…,ik=Si1Si2…Sik(E)，它是E的一个k级预分形，则定义2 Sierpinski垫片(如图1所示).其中：S0⊃S1⊃S2⊃…⊃Sk⊃…；S0为R2上的一个单位正三角形；Sk称为Sierpinski垫片的第k级预分形，其包含3k个与S0相似比为2-k的相似三角形，记为2-k-S.图1 Sierpinski垫片Sierpinski垫片S是经典的自相似集.图2 标志点示意图如图2所示，以2-k-S的一个顶点为原点，以其中一边为x轴，建立直角坐标系.2-k-S中包含3n个2-(n+k)-S，对构成2-k-S的每个三角形，其横坐标最小的顶点称为标志点.借鉴文献[4]的方法，可以建立以下引理:引理1 设(x,y)为一个2-(n+k)-S的标志点，则必有下述二进制表示：反之，若坐标满足上述二进制表示，则必为一个2-(n+k)-S的标志点.引理2 设(x,y)为一个2-(n+k)-S的标志点，则对于标志点满足x"=x′且0≤y"<y′的2-(n+k)-S有个.引理1与引理2均可由归纳法证明.命题1 设△OAB是一个2-k-S所在的三角形，以一个顶点O为原点，以OA所在的边为x轴建立直角坐标系，PQ是以(x0,y0)为圆心，r为半径的圆上的一段弧(如图3所示)，记:图3 2-k-S的二进制表示为0.xi1xi2…xi(n+k),i=1,2…，2n-1；为满足条件的最小xi；yi为满足条件且具有二进制小数表示yi=0.yi1yi2…yi(n+k)(0≤yij≤xij)的最小数. 则曲边三角形PQB中的2-(n+k)-S三角形个数为证明将长度为2-k的OA分为2n等份，设每一份的横坐标为则过xi且平行于AB 的直线为所在的直线方程为由于曲边三角形PQB中的2-(n+k)-S三角形的标志点(x,y)满足(x-x0)2+(y-y0)2≤r2，联立方程组化简上述方程组，即有记取为满足条件的最小xi，且其二进制表示为0.xi01xi02…xi0(n+k)，则以Oxi0为底边的等边三角形包含个2-(n+k)-S三角形.由于过xi且平行于AB的直线为记则有将x,y用xi,yi表示式代入(x-x0)2+(y-y0)2≤r2，即有记则取yi为满足上述不等式关系，且具有二进制小数表示yi=0.yi1yi2…yi(n+k)(0≤yij≤xij)的最小的数，再利用引理2知曲边三角形PQB中的2-(n+k)-S三角形个数为2 Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上界估计由Hausdorff测度定义[6]，易建立引理3.引理3 若E是满足开集条件的自相似集，s=dimH E，则其中：当U为包含是Ik的非空子集)的开集时，有引理4 若E是满足开集条件的自相似集，s=dimH E，则因而，其中：当c1=c2=…=cm=c时，记ck-E为E的一个k级预分形，则为U 中包含ck-E的个数.因此由引理4，即可得到命题2.命题2 对于Sierpinski垫片S，如果包含N个2-k-S，1≤N≤3k，则图4 覆盖示意图构造覆盖：以S0的3个顶点A,B,C为端点，在S0的三边上分别截取长度为2-2的6条线段AA1,AA2,BB1,BB2,CC1,CC2，分别以点A1,A2,B1,B2,C1,C2为圆心，1-2-2为半径作圆弧A1D,A2E,B1F,B2G,C1H,C2I，连接DE,FG,HI，取覆盖U为曲十二边形A2EDA1B2GFB1C2IHC1，|U|=1-2-2，则覆盖U包含6个2-2-S及6个等覆盖的曲边三角形.在圆弧A1D所在的2-3-S三角形OA1P上建立直角坐标系(如图4所示)，以O为原点，OA1所在的边为x轴.设U包含N个2-(n+3)-S，1≤N≤3n+3，则由命题2知其中：N=6×3n+1+6×g；g为曲边三角形A1DP中的2-(n+3)-S三角形数.下面计算g的值.由于A1D是以为圆心，r=1-2-2为半径的一段圆弧，因此令为满足条件的最小xi；yi为满足条件且具有二进制小数表示yi=0.yi1yi2…yi(n+3)(0≤yij≤xij)的最小数.图5 2-3-S则曲边三角形A1DP中的2-(n+3)-S三角形个数为所以Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上界为例如，在△OA1P上(如图5所示)，当n=3时，r0=5，xr0==0.000 101;当时，y5=0.000 100;当时，y6=0.000 100;当时，y7=0.000 010.经计算得g=10，N=546，Hs(S)≤0.846 275 32….利用Matlab编程计算可得如表1所示的结果.表1 Sierpinski垫片的上界估计n上界n上界n上界n上界n上界n上界10．9507537540．8340547370．82023607100．81925457130．81917016 160．8191622020．8851845350．8251184380．81966125110．81920410 140．81916524170．8191617030．8462753260．8218570990．81936218 120．81918152150．81916319……注：所有结果均采用四舍五入取八位有效数字.图6 局部覆盖示意图由于覆盖集的构造极大地影响了Hausdorff测度上界值的估计，因此改进覆盖集可以进一步改进Hausdorff测度上界的估计值.改进覆盖：仍取覆盖U′为曲十二边形A2EDA1B2GFB1C2IHC1，但AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=1-2-2-2-8，即|U′|=1-2-2-2-8(如图6所示). 圆弧A1D交2-8-S三角形A1QL的侧边于点K，交2-3-S三角形OPQ的侧边于点R，则曲边三角形A1KL在2-8-S三角形A1QL中，曲边三角形RDP在2-3-S三角形OPQ中.设U′包含N个2-(n+8)-S，1≤N≤3n+8，则由命题2知其中：N=6×3n+6-6×3n+6×(g1+g2)；g1，g2分别为曲边三角形A1KL和曲边三角形RDP中的2-(n+8)-S三角形数.1)计算g1.以Q为原点，OA1所在边为x轴建立直角坐标系，则A1K是以为圆心，r=1-2-2-2-8为半径的一段圆弧.记由命题1可知，曲边三角形A1KL中的2-(n+8)-S三角形个数为2)计算g2.以O为原点，OA1所在边为x轴建立直角坐标系，则RD是以为圆心，r=1-2-2-2-8为半径的一段圆弧.记xi=(i=1,2,…,2n+5-1)=0.xi1xi2…xi(n+8)，由命题1知，曲边三角形RDP中的2-(n+8)-S三角形数为利用Matlab编程计算可得Sierpinski垫片的Hausdorff测度上界有如表2所示的结果.表2 Sierpinski垫片的上界估计n上界n上界n上界n上界n上界10．8225608240．8184016570．81797193100．81792430130．81791900 20．8200530150．8181571280．81794404110．81792124……30．8189674 360．8180302490．81793059120．81791975因此，计算得Sierpinski垫片的Hausdorff测度Hs(S)≤0.817 918 996….上述Sierpinski垫片的Hausdorff测度上界的估计方法，实质是在构造的覆盖集中尽可能多地计算出覆盖集中所包含的2-(n+k)-S三角形数N，当n越大时，覆盖集中所包含的三角形越小，落入曲边三角形中的2-(n+k)-S三角形数就越多，因而3n+k与N的比值减小，从而Sierpinski垫片的Hausdorff测度Hs(S)的上界估值越小.此外，Hausdorff测度上界的估计也有赖于覆盖集构造的好坏，若构造的覆盖集满足在较小的直径条件下能够覆盖较多的2-(n+k)-S，则计算得到的Hs(S)上界值越小.经笔者改进后的覆盖集U′计算得到的Hs(S)上界优于覆盖集U，当n=13时，Hs(S)≤0.817 918 996…，此结果优于目前现有文献中的已知结果.参考文献：[1]周作领.Koch曲线和Sierpinski垫片的Hausdorff测度[J].自然科学进展,1997,7(4):405-409.[2]周作领.Sierpinski垫片的Hausdorff测度[J].中国科学:A辑数学,1997,27(6):491-496.[3]王何宇.Sierpinski垫片Hausdorff测度的上方估值[J].高等学校计算数学学报,1998,20(1):93-96.[4]王兴华.关于Sierpinski垫片的Hausdorff测度估值和猜测[J].自然科学进展,1999,9(6):448-493.[5]Kenneth F.分形几何数学基础及其应用[M].北京:人民邮电出版社,2007:3-137.[6]文志英.分形几何的数学基础[M].上海:上海科技教育出版社,2000.。
