高一上10月月考数学试卷有答案

2022-2023学年上海市华东师范大学第一附属中学高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．用列举法表示小于10的正偶数所构成的集合为A =______． 【答案】{}2,4,6,8【分析】直接根据列举法的概念即可得结果.【详解】小于10的正偶数所构成的集合为{}2,4,6,8A =， 故答案为：{}2,4,6,8.2．不等式|1|3x +≤的解集为_______． 【答案】{}42x x -≤≤【分析】将其化为二次不等式求解.【详解】()221319280x x x x +≤⇔+≤⇔+-≤，解得：{}42x x x ∈-≤≤. 故答案为：{}42x x -≤≤.3．“>4x ”是“2x >”的___________条件. 【答案】充分非必要【分析】根据充分非必要条件的定义可得答案,【详解】因为“>4x ”可以推出“2x >”,且“2x >”不能推出“>4x ”, 所以“>4x ”是“2x >”的充分非必要条件. 故答案为充分非必要【点睛】本体考查了充分非必要条件的定义,属于基础题. 4．2310x x --=的两根分别是1x 和2x ，则1211x x +=___________. 【答案】3-【分析】利用根与系数关系得12123,1x x x x +==-，即可求目标式的值. 【详解】因为方程2310x x --=的两根分别是12,x x ， 所以12123,1x x x x +==-，则21121211331x x x x x x ++===--.故答案为：3- 5．不等式103x x -<-的解集是______． 【答案】()1,3【分析】将分式不等式转化成一元二次不等式，即可得到答案 【详解】由103x x -<-可得()()130x x --<，解得13x <<，即解集为()1,3. 故答案为：()1,36．已知x 、y 为正实数，且满足4312x y +=，则xy 的最大值为_____． 【答案】3【分析】用基本不等式求得最值，然后化简既可得最大值.【详解】由已知得1243x y =+≥，即12≥解得3xy ≤（当且仅当43x y =时取""=） 故答案为：37．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q ＝{x |x ＝a +b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P +Q 中元素的个数是____． 【答案】8【分析】先确定a ，b 的取值，再求两者之和，由元素的互异性，和相等的算一个，可求出答案． 【详解】解：∵a ∈P ，b ∈Q ，∴a 可以为0，2，5三个数，b 可以为1，2，6三个数，∴x ＝0+1＝1，x ＝0+2＝2，x ＝0+6＝6，x ＝2+1＝3，x ＝2+2＝4，x ＝2+6＝8，x ＝5+1＝6，x ＝5+2＝7，x ＝5+6＝11，∴P +Q ＝{x |x ＝a +b ，a ∈P ，b ∈Q }＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，有8个元素． 故答案为8．8．已知集合{}|A x y x Z ==∈，{}2|1,B y y x x A ==+∈，则A B =________．【答案】{1}【解析】化简集合,A B ，根据集合的交集运算可得结果. 【详解】由210x -≥得11x -≤≤， 所以{1,0,1}A =-，所以{1,2}B =， 所以{1}A B ⋂=. 故答案为：{1}.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.9．关于x 的不等式0ax b ->的解集为(2,)+∞，则关于x 的不等式0ax bax b+≤-的解集是______． 【答案】[)2,2-【分析】根据题意得到20b a =>，故原不等式等价于(2)(2)020x x x +-≤⎧⎨-≠⎩⇔22x -≤<.【详解】0ax b ->的解集是(2,)+∞，0,b a x a∴>>，得2ba =，解得20b a =>0ax b ax b +≤-⇔0b a x a b a x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤⎛⎫- ⎪⎝⎭⇔()()00b b x x a a b x a ⎧+-≤⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩⇔(2)(2)020x x x +-≤⎧⎨-≠⎩⇔22x -≤<.故答案为：[)2,2-. 10．已知命题1:1,:(1)(1)02p x q x x a ≤≤-+-≤，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______． 【答案】12a ≥【分析】分类讨论1a -与1的大小，解不等式(1)[(1)]0x x a ---≤，根据p 是q 的充分条件列式，解不等式组可得结果.【详解】由(1)(1)0x x a -+-≤，得(1)[(1)]0x x a ---≤， 当11a -<，即0a >时，得:q 11a x -≤≤， 因为p 是q 的充分条件，所以1{|1}{|11}2x x x a x ≤≤⊆-≤≤， 所以112a -≤，解得12a ≥；当11a -≥，即0a ≤时，:11q x a ≤≤-， 因为p 是q 的充分条件，所以1{|1}{|11}2x x x x a ≤≤⊆≤≤-， 所以11211a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，此不等式组无解.综上所述：12a ≥.故答案为：12a ≥11．若不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，则k 的取值范围是________．【答案】32k -≤<【分析】解220x x -->，得解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞；分类讨论k -与52-的大小关系，解不等式5()()02x x k ++<，再根据不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，列式可求出结果.【详解】由220x x -->，得(2)(1)0x x -+>，得1x <-或2x >，所以220x x -->的解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞，由22(52)50x k x k +++<，得5()()02x x k ++<，当52k -<-，即52k >时，得52k x -<<-，所以22(52)50x k x k +++<的解集为5(,)2k --，此解集中不含2-，不符合题意； 当52k -=-，即52k =时，5()()02x x k ++<化为25()02x -<，所以22(52)50x k x k +++<的解集为空集，不符合题意； 当52k ->-，即52k <时，得52x k -<<-，所以22(52)50x k x k +++<的解集为5(,)2k --，因为不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，所以23k -<-≤，得32k -≤<. 故答案为：32k -≤<12．设集合{}01324,,,,S a a a a a =，在S 上定义运算*为：*i j k a a a =，其中||k i j =-，,0,1,2,3,4i j =，那么满足条件()()21**,i j i j a a a a a a S =∈的有序数对(,)i j （其中当i j ≠时，(,),(,)i j j i 为两个不同的有序数对)共有_______个． 【答案】12【分析】结合集合新定义得12i j =--，去绝对值结合,i j 取值范围分类讨论即可求解.【详解】由()()21**,i j i j a a a a a a S =∈，*i j k a a a =，其中||k i j =-，,0,1,2,3,4i j =，可得12i j =--，即1i j -=或3，即1,1,3,3i j -=--，当1i j -=时，()()()()(,)1,0,2,1,3,2,4,3i j =； 当1i j -=-时，()()()()(,)0,1,1,2,2,3,3,4i j =； 当3i j -=时，()()(,)3,0,4,1i j =； 当3i j -=-时，()()(,)0,3,1,4i j =.故共有12个. 故答案为：12二、单选题13．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()MP SB ．()MP SC ．()⋂⋂M P SD ．()⋂⋃M P S【答案】C【分析】由Venn 图可得，集合表示,M P 的交集与S 的补集的交集，从而得到答案. 【详解】由Venn 图可得，集合表示,M P 的交集与S 的补集的交集，即()⋂⋂M P S . 故选：C14．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b <B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b-<-【答案】D【分析】由于0a b <<，不妨令2a =-，1b，代入各个选项检验，只有D 正确，从而得出结论．【详解】解：由于0a b <<，不妨令2a =-，1b ，可得111,12a b =-=-，∴11a b>，故A 不正确． 可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确．可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确． 故选：D ．15．下列各代数式中，最小值为2的是（ ） A ．1x x+B ．221x x +C 222x + D ．142x x+- 【答案】B【分析】对选项逐个用基本不等式处理，但是要满足基本不等式成立的条件“一正二定三相等”.【详解】对于A 不能保证0x >，故A 错误；对于B 由基本不等式得2212x x +≥（当且仅当221x x =即1x =±时取""=），故B 正确；对于C 22=≥=无法取得最小值，故C 错误； 对于D 不能保证0x >，故D 错误. 故选：B16．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|21,}B x x k k ==+∈Z ，{|41,}C x x k k ==+∈Z ，又a A ∈，b B ∈，则必有（ ） A ．a b A +∈ B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．以上都不对【答案】B【分析】利用列举法,写出集合A 、集合B 、集合C 的几个元素,即可判断出错误选项;对正确选项进行证明即可.【详解】集合{|2,}A x x k k ==∈Z ,则{2,0,2,4,6,8,10}A =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 集合{|21,}B x x k k ==+∈Z 则{1,1,3,5,7,9,11}B =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 集合{|41,}C x x k k ==+∈Z 则{3,1,5,9,13,17,21}C =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 又a A ∈,b B ∈当2,1a b ==时, 21a b A +=+∉,所以A 错误; 当2,1a b ==时, 21a b C +=+∉,所以C 错误;因为集合{|2,}A x x k k ==∈Z ,集合{|21,}B x x k k ==+∈Z 又a A ∈,b B ∈则()121222121a b k k k k +=++=++ 所以a b +表示奇数,而集合B 表示奇数 所以a b B +∈ 故选:B【点睛】本题考查了元素与集合的关系,集合与集合关系的应用,属于基础题.三、解答题17．已知集合{}22|1,|352021x A x B x x x x -⎧⎫=≥=-++>⎨⎬-⎩⎭． (1)求A 、B ；(2)求A B ⋂、A ．【答案】(1)1|12A x x ⎧⎫-≤<⎨⎩=⎬⎭；1|23B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭(2)11|32A B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；|1{x A x =<-或1}2x ≥【分析】（1）解出分式不等式和二次不等式即可； （2）由（1）利用集合交集和补集运算即可. 【详解】（1）由2121x x -≥⇔-21021x x --≥-()()221021x x x ---⇔≥-()()121011002121210x x x x x x x ⎧+-≤--+⇔≥⇔≤⇔⎨---≠⎩11121122x x x ⎧-≤≤⎪⎪⇔⇔-≤<⎨⎪≠⎪⎩，所以集合1|12A x x ⎧⎫-≤<⎨⎩=⎬⎭； 由22135********x x x x x -++>⇔--<⇔-<<，所以集合1|23B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭.（2）由（1）1|12A x x ⎧⎫-≤<⎨⎩=⎬⎭，1|23B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭所以11|32A B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；|1{x A x =<-或1}2x ≥.18．已知集合{}{}22430,90A x x x B x x ax =-+==-+=，且A B A ⋃=.（1）用反证法证明B A ≠； （2）若B φ≠，求实数a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6a =.【解析】（1）先求得集合{}1,3A =，假设B A =，利用反证法，即可得证.（2）由（1）和A B A ⋃=，得到B 是A 的真子集，进而得到B 可能为{}{}1,3，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由2430x x -+=，解得1x =或3x =，所以{}1,3A =，又由{}290B x x ax =-+=假设B A =，则必有13139a+=⎧⎨⨯=⎩，与39≠矛盾，所以假设错误，所以B A ≠可证.（2）由（1）知B A ≠，因为A B A ⋃=，可得集合B 是A 的真子集， 又由B φ≠，所以集合B 可能为{}1或{}3，当{}1B =时，则方程290x ax -+=有两个相等的实数根是1，则11119a+=⎧⎨⨯=⎩，无解；当{}3B =时，则方程290x ax -+=有两个相等的实数根是3，则33339a+=⎧⎨⨯=⎩，解得6a =，综上可得，实数6a =.19．命题α：关于x 的方程2320x x m +++=有两个相异负根．命题β：关于x 的不等式248120x mx m +++>对x ∈R 恒成立．(1)若命题α为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)(]12,1,34⎡⎫--⋃⎪⎢⎣⎭【分析】（1）用二次函数的性质求命题α为真命题时实数m 的取值范围； （2）先确定命题β成立时实数m 的取值范围，再分类讨论求解得结果. 【详解】（1）命题α：关于x 的方程2320x x m +++=有两个相异负根． 则()220194204m m m m >-⎧+>⎧⎪⇒⎨⎨-+><⎩⎪⎩，解得：124m -<<. 若命题α为真命题，则实数m 的取值范围为12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）命题β：关于x 的不等式248120x mx m +++>对x ∈R 恒成立,()21648120m m ∆=-+<，解得：13m -<<.若这两个命题中，有且仅有一个是真命题， 若α真β假，12431m m m ⎧-<<⎪⎨⎪≥≤-⎩或，解得：21m -<≤-，若β真α假，13124m m m -<<⎧⎪⎨≥≤-⎪⎩或，解得：134m ≤<， 综上：实数m 的取值范围为：(]12,1,34⎡⎫--⋃⎪⎢⎣⎭.20．已知集合{}224|||||4,(0,1)(2,4),|21033A x x x B C x x mx ⎧⎫=-+-<==+-<⎨⎬⎩⎭．(1)求A B ⋃；(2)对于任意的实数a ，不等式24|2||2|33a a x x ++-≥-+-恒成立，求实数x 的取值范围； (3)若()C A B ⊆，求m 的取值范围． 【答案】(1)(1,4)-； (2)[1,3]x ∈-； (3)[7.75,1]-.【分析】（1）根据绝对值的性质，结合集合并集的定义进行求解即可. （2）根据绝对值的性质，结合（1）的结论进行求解即可； （3）根据子集的性质进行求解即可. 【详解】（1）当43x ≥时，由24244||||443333333x x x x x x -+-<⇒-+-<⇒<⇒≤<； 当2433x <<时，由242424||||44333333x x x x x -+-<⇒-+-<⇒<<；当23x ≥时，由24242||||441133333x x x x x x -+-<⇒-+-<⇒>-⇒-<≤， 所以(1,3)A =-， 因此(1,4)A B =-；（2）因为|2||2|224a a a a ++-≥++-=， 所以要想不等式24|2||2|33a a x x ++-≥-+-恒成立， 只需24433x x -+-≤成立，由（1）可知：[1,3]x ∈-； （3）设一元二次方程2210x mx +-=的判别式280m ∆=+>，所以C =，因为()C A B ⊆，所以47.7511m ≤-≤≤⎨⎪-≤⎪⎩， 所以m 的取值范围为[7.75,1]-.【点睛】关键点睛：利用绝对值的性质是解题的关键. 21．已知有限集{}123,,,n A a a a a =()*2,n n N ≥∈，如果A 中元素()11,2,3,a i n =满足121n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”.（1）判断集合⎪⎪⎩⎭是否为“复活集”，并说明理由； （2）若1a ，2a R ∈，且{}12,a a 是“复活集”，求12a a 的取值范围； （3）若*1a N ∈，求证：“复活集”A 有且只有一个，且3n =. 【答案】（1）是；理由见解析；（2）()(),04,-∞+∞；（3）见解析；【分析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，进而可得答案． 【详解】(1)1=-，故集合⎪⎪⎩⎭是 “复活集”；(2)不妨设1212a a a a t +==，则由韦达定理知1a ，2a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个根， 由△0>，可得0t <，或4t >，120a a ∴<或124a a >； (3)不妨设A 中123n a a a a <<<⋯<，由1212n n n a a a a a a na ⋯=++⋯+<，得121n a a a n -⋯<，当2n =时， 即有12a <，11a ∴=，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“复活集” A ，当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“复活集” A 只有一个，为{1，2，3}． 当4n 时，由121123(1)n a a a n -⋯⨯⨯⨯⋯⨯-，即有(1)!n n >-， 也就是说“复活集” A 存在的必要条件是(1)!n n >-，事实上，22(1)!(1)(2)32(2)22n n n n n n n ---=-+=--+>，矛盾，∴当4n时不存在复活集A，n=.所以，“复活集”A有且只有一个，且3【点睛】本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大第 11 页共 11 页。

2022-2023学年山东省山东师范大学附属中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,1}A =-，{0,1,2}B =，则U()A B ⋂=（ ）A ．{2,3}B ．{1,2,3}-C ．{1,3}-D ．{3}【答案】B【分析】根据题意和交集的定义与运算求出A B ，结合补集的定义与运算即可求解. 【详解】因为{1,0,1}{0,1,2}A B =-=， 所以{0,1}A B =，又{1,0,1,2,3}U =-， 所以(){1,2,3}UA B =-.故选：B.2．若0x >，则9x x+有（ ） A ．最大值18 B ．最大值2C ．最小值3D ．最小值6【答案】D【分析】根据基本不等式即可求出．【详解】因为0x >，所以96x x +≥=，当且仅当=3x 时取等号． 故选：D ．3．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4【答案】B【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（ ） A ．x ∀∈R ，0x > B ．0x ∃∈R ，00x > C ．x ∀∈R ，0x ≤ D ．0x ∃∈R ，00x ≤【答案】C【分析】原命题为特称命题，根据特称命题的否定是全称命题进行否定即可.【详解】命题“有些实数的绝对值是正数”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”，即x ∀∈R ，0x ≤. 故选：C.【点睛】本题考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，属于基础题. 5．“0a b >>”是“222a b ab +<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分别讨论充分性与必要性，可得出答案.【详解】由题意，222a b ab +<⇔222a b ab +>()20a b ⇔->a b ⇔≠， 显然0a b >>可以推出a b ，即充分性成立，而a b 不能推出0a b >>，即必要性不成立.故“0a b >>”是“222a b ab +<”的充分而不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件，考查不等式的性质，属于基础题. 6．不等式220ax bx ++>的解集是(2,3)-，则22a b +等于（ ） A ．1 B ．13 C ．23D ．29【答案】D【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的关系，得出对应的一元二次方程的根，将根代入该一元二次方程，解出,a b 即可.【详解】由题可知2x =-与3x =为不等式所对应的方程220ax bx ++=的两个根，得()()2222203320a b a b ⎧--+=⎪⎨++=⎪⎩ ，解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2222112339a b ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，故选：D.7．某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为5000kg ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x （a ，b ，x 均大于零），则（ ） A ．2a bx +=B ．2a bx +≤C ．2a bx +>D ．2a bx +≥【答案】B【分析】根据题意可得()()()2111a b x ++=+，求出x ，即可由基本不等式得出大小关系． 【详解】由题可得，()()()250001150001a b x ++=+，即()()()2111a b x ++=+，所以()()111122a b a b x ++++=≤-=，当且仅当=a b 时取等号．故选：B ．8．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h ；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h ；生产每袋需用原料20kg ，年底库存原料600t ，明年可补充1200t ；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长13．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（ ）A ．70000到75000袋之间B ．70000到80000袋之间C ．80000到85000袋之间D ．80000到90000袋之间【答案】D【分析】由条件列不等式，化简不等关系可得明年的产量的预测值得范围. 【详解】设明年的产量为x 袋，则()42002100160000132060012001000x x x ⎧≤⨯⎪⎪⎛⎫≥+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≤+⨯⎩， 所以8000090000x ，故可以预测明年的产量在80000到90000袋之间， 故选：D.二、多选题9．下列命题是全称量词命题且是真命题的是（ ） A ．所有的二次函数的图像都是轴对称图形 B ．平行四边形的对角线相等 C ．有些实数是无限不循环小数D ．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】AD【分析】先根据全称量词命题的定义判断，然后根据二次函数，平行四边形，垂直平分线的性质逐项判断.【详解】解：对于选项A ：所有的二次函数图像都是抛物线，图像关于对称轴对称，故A 是真命题；对于选项B ：平行四边形的对角线不一定相等，故B 是假命题； 对于选项C ：不是全称量词命题；对于选项D ：由线段垂直平分线的性质可知D 是真命题； 故选：AD10．“3x >”的必要不充分条件可以是（ ） A ．0x > B ．2x ≥C ．3x ≥D ．5x >【答案】ABC【分析】将必要不充分条件转化为包含关系即可得到结果.【详解】由3x >，可得构成集合{}3M x x =>，结合选项可得集合{}0x x >，{}2x x ≥，{}3x x ≥都真包含M ，所以0x >，2x ≥，3x ≥都是3x >的必要不充分条件.故选:ABC.11．若a ，b ，c ，d R ∈，那么下列说法正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若0b a <<，则11a b< C ．若2211a b <，则a b > D ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ 【答案】BD【分析】利用不等式的三个基本性质，逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】对于A ，取2,3,2,1a b c d =-=-==，则,,a b c d ac bd >><，故A 错误； 对于B ，0,b a <<111b a a b⇒>⇒<，故B 正确； 对于C ，取3,2a b =-=，则2211a b <，但是a b <，故C 错误； 对于D ，0b a >>，0m >，则bm am bm ab am ab >⇒+>+a m ab m b+⇒>+，故D 正确. 故选：BD12．设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列四个不等式中恒成立的是（ ） A ．12a b a b-+≥- B ．2211a a a a+≥+C ．()()()8a b b c c a abc +++>D 【答案】BCD【分析】通过举反例，可判断A ；由作差法和因式分解，可判断B ；利用基本不等式判断C ，由分子有理化和不等式的性质判断D ． 【详解】当a b >时，0a b ->，则()12a b a b-+≥-，当且仅当1a b -=时取得等号； 当a b <时，取1a =，2b =，可得11102a b a b-+=-=<-，故A 错误； ()()434311a a a a a a +-+=---=()()311a a a ---=()()311a a --()()2211a a a =-++，又()2213312440a a ⎛⎫≥ ⎪⎝+⎭-+≥，，所以()()22110a a a -++≥ 所以B 正确；因为a ，b ，c 是互不相等的正数，由基本不等式可得20a b ab ，20b c bc ，20caca，所以()()()8a b b c c a abc +++>，所以，C 正确，=00， 可得<，D 正确． 故选：BCD.三、填空题 13．不等式10x x->的解集为___________. 【答案】()()0-∞+∞，1，【解析】把分式不等式化整式不等式直接解得. 【详解】10x x->同解于()10x x ->，解得：0x <或1x > 即原不等式的解集为()()0-∞+∞，1，故答案为：()()0-∞+∞，1，【点睛】常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论．14．已知命题:p x ∀∈R ，2230ax x ++>，如果命题p 是真命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】13a >【分析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合根的判别式即可得出答案. 【详解】解：如果命题p 是真命题， 则不等式2230ax x ++>恒成立， 当0a =时，230x +>，得32x >-，此时不等式2230ax x ++>不恒成立， 当0a ≠时，则202120a a >⎧⎨-<⎩，解得13a >，综上所述13a >.故答案为：13a >.15．已知0x >，0y >，且311x y+=，若23x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】()3,4-【分析】先利用代“1”法解出3x y +的最小值，然后根据一元二次不等式即可求出m 的取值范围.【详解】解：由题意得：0x，0y >，且311x y+=()3193361233y x y x y x x y x y ∴ +⎛=+⎫+=+++≥+⎪⎝⎭当且仅当36x y ==时取等号要使23x y m m +>-恒成立，()2min 312m m x y -<+=于是解得一元二次不等式可知：34-<<m 故实数m 的取值范围为()3,4-故答案为：()3,4-四、双空题 16．若2x >，42y x x =+-，则当且仅当x =__________时，y 取得最小值__________． 【答案】 4 6【分析】根据配凑法可得4222y x x =+-+-，结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意知，2x >，则42002x x ->>-，，所以44222622y x x x x =+=+-+≥=--， 当且仅当422x x -=-即4x =时等号成立， 所以当4x =时，y 取得最小值为6. 故答案为：4；6.五、解答题17．证明下列不等式．(1)已知0a b >>，0e <，求证：e e a b>． (2)已知0x <，求证：12x x+≤-． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）根据不等式的基本性质即可. （2）利用基本不等式的性质证明即可. 【详解】(1)证明： ∵0a b >>， ∴110ab<<， ∵0e <， ∴e ea b>． (2)证明： ∵0x <∴0x -> ∴1()2x x ⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭即12x x+≤-，当且仅当1x x -=-，即1x =-时等号成立．18．求下列不等式的解集． (1)(2)(3)1x x x x +>-+； (2)22280()x ax a a R --≤∈． 【答案】(1)1,(1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭(2)当0a =时，{0}x ∈； 当0a >时，[2,4]x a a ∈-； 当0a <时，[4,2]x a a ∈-．【分析】（1）先化简，再因式分解，然后求解即可；（2）先分解因式，解出对应的方程的根，然后利用两根的关系，分类讨论，得出不同情况的解集. 【详解】(1)由已知：22231x x x x +>-+， ∴2210x x -->， ∴(1)(21)0x x -+>， ∴1,(1,)2x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．(2)由已知：(4)(2)0x a x a -+≤， ∴14x a =，22x a =-，当42a a =-时即0a =时，{0}x ∈； 当42a a >-时即0a >时，[2,4]x a a ∈-； 当42a a <-时即0a <时，[4,2]x a a ∈-． 综上可得，当0a =时，{0}x ∈； 当0a >时，[2,4]x a a ∈-； 当0a <时，[4,2]x a a ∈-．19．在①A B B ⋃=；②“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；③A B =∅，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合{}11A x a x a =-<<+，{}223B x x x =-+≥-．(1)当2a =时，求A B 和A B ；(2)若__________，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1){}13A B x x ⋃=-≤<，312A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）利用交集和并集的定义计算即可；（2）根据题意得到集合A 和集合B 的包含关系，再利用包含关系列不等式求范围即可.【详解】(1){}13A x x =<<，312B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭， ∴{}13A B x x ⋃=-≤<，312A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭． (2)若选择①，A B B ⋃=，则A B ⊆， 因为{}11A x a x a =-<<+，所以A ≠∅， 又312B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以11312a a -≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若选择②，“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ， 因为{}11A x a x a =-<<+，所以A ≠∅， 又312B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以11312a a -≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若选择③，A B =∅，因为{}11A x a x a =-<<+，312B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以312a -≥或11a ≤-+， 解得52a ≥或2a ≤-， 所以实数a 的取值范围是(]5,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭.20．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量． （1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 【答案】（1）y=﹣60x 2+20x+200（0＜x ＜1）．（2）为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足 0＜x ＜13．【分析】试题分析：（1）根据若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x 和年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．建立利润模型，要注意定义域．（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，只需今年的利润减去的利润大于零即可，解不等式可求得结果，要注意比例的范围． 解：（1）由题意得y=[1.2×（1+0.75x ）﹣1×（1+x ）]×1000×（1+0.6x ）（0＜x ＜1）（4分） 整理得y=﹣60x 2+20x+200（0＜x ＜1）．（6分）（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即（9分） 解不等式得．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足 0＜x ＜13．（12分） 【解析】函数模型的选择与应用．21．已知a ，b 均为正数，且满足8a b ab ++=． (1)求ab 的最小值及取到最小值时a 与b 的值； (2)求(8)(4)ab a b ab-+的最小值及取到最小值时a 与b 的值．【答案】(1)当4a b ==时，所求最小值为16 (2)当373373a b ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩9【分析】(1)由基本不等式可得2a b ab +≥，结合条件8a b ab ++=列不等式可求ab 的最小值；(2)化简(8)(4)ab a b ab-+，利用基本不等式可求其最小值. 【详解】(1)∵0a >，0b >，∴a b +≥由已知得8a b ab +=-，∴8ab -≥280-≥，)240≥，20>，40≥，解得：16ab ≥，当且仅当8a b a b ab =⎧⎨+=-⎩即4a b ==时等号成立， 所以当4a b ==时，ab 取最小值，最小值为16．(2)由已知得22(8)(4)()(4)4545ab a b a b a b a b ab a b ab ab ab b a-+++++===++， ∵0a >，0b >，∴44a b b a+≥， ∴459a b b a++≥， 当且仅当48a b b a a b ab ⎧=⎪⎨⎪+=-⎩即a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以当a =b =(8)(4)ab a b ab -+取最小值，最小值为9． 22．某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用(0)m m ≥万元满足32k x m =-+（k 为常数）．如果不举行促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的32倍． (1)将2023年该产品的利润y （万元）表示为年促销费用m （万元）的函数；(2)该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？1.414=，结果保留1位小数）【答案】(1)3229(0)2y m m m =--≥+； (2)当促销费用为3.7万元时，利润最大为19.7万元.【分析】（1）根据0m =求出4k =，结合题意即可列出y 与m 的函数关系式，化简即可；（2）由（1）可得323122y m m ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，利用基本不等式计算即可. 【详解】(1)由已知，当0m =时，1x =， ∴312k -=，解得：4k =， ∴432x m =-+， 1016310162x y x x m x +=⋅⋅--- 85x m =+-45832m m ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭， 化简得：3229(0)2y m m m =--≥+； (2)3232292231222y m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+++=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∵0m ≥，∴20m +>，即3222m m ++≥+31y ≤-当且仅当3222m m =++即2m =时等号成立，此时max 31318 1.41419.7y =--⨯≈，4 1.4142 3.7m ≈⨯-≈．答：当促销费用为3.7万元时，利润最大为19.7万元．。

重庆市巴蜀中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．命题“[)30,,0x x x ∀∈∞+≥+”的否定是（ ）A ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+<B ．()3000,0,0x x x ∃∈-∞+< C ．[)30000,,0x x x ∞∃∈++<D ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+≥2．已知()21f x x -=，则()()2f f =（ ）A ．9B ．100C ．1D ．03．若集合{}{}1,2,3,4,5,7,1A B x x A ==-∈，则A B =I （ ） A ．{}1,2,3,4,5B ．{}2,3,4,5C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,64．若实数1x <，则221x x +-的最大值为（ ） A ．2-B ．4-C ．4D ．65．设集合{}{}02,02M x x N y y =≤≤=≤≤，则如下的4个图形中能表示定义域为M ，值域为N 的严格单调函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知集合{}{}14,32,A x x B x m x m B =≤≤=-+≤≤不是空集，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．{}2m m <B ．{}2m m ≤C ．{}12m m ≤<D ．{}12m m ≤≤7．设集合A 为非空实数集，集合{,B xy x y A =∈且}x y ≠，称集合B 为集合A 的积集，则下列结论正确的是（ ）A ．当{}1,2,3,4A =时，集合A 的积集{}2,3,4,8,12B =B ．若A 是由5个正实数构成的集合，其积集B 中元素个数最多为8个C ．若A 是由5个正实数构成的集合，其积集B 中元素个数最少为7个D ．存在4个正实数构成的集合A ，使其积集{}2,4,5,8,10,16B =8．已知,a b R ∈，不等式22122x ax bx x ++<++在x R ∈上恒成立，则（ ） A ．0a <B ．0b <C ．02ab <<D ．04ab <<二、多选题9．下列命题是真命题的为（ ） A ．若0a b c d >>>>，则ab cd > B ．若22ac bc >，则a b > C ．若0a b >>且0c <，则22c c a b > D ．若a b >且11a b>，则0ab < 10．下列说法不正确的是（ ）A ．函数()1f x x =+与()2g x =是同一个函数B ．若函数()f x 的定义域为(]0,1，则函数()()21f x f x --的定义域为()0,1C ．函数()f x =112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．若函数()f x =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是()0,411．已知220,0,1a b a b ab >>+-=，则（ ）A ．112a b+≥B ．2a b +≥C ．222a b +≥D ．332a b +≤三、填空题12．集合6x x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的非空子集的个数是．13．若()()2324,15,1x a x x f x x a x ⎧-+--<=⎨+≥⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为．14．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有人．四、解答题15．已知{}12A x x =-≤≤，{}23B x x a =-<． (1)若3a =，求B A ⋃R ð；(2)若A B B =I ，求实数a 的取值范围．16．已知关于x 的不等式()223130kx k x k -++<（其中k ∈R ）．(1)若不等式的解集为{}13x x <<，求k 的值； (2)若0k ≤，试求该不等式的解集． 17．已知命题p ：对任意0,0x y >>且11134x y +=，不等式23093a a x y +≤+恒成立；命题2:,23q x x x a ∃∈--<R ．(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 和命题q 中至少有一个为真命题，求实数a 的取值范围．18．设函数()y f x =的定义域为M ，且区间I M ⊆．若函数()y f x x =+在区间I 上单调递增，则称函数()f x 在区间I 上具有性质A ；若函数()y f x x =-在区间I 上单调递增，则称函数()f x 在区间I 上具有性质B ．(1)试证明：“函数()f x 在区间I 上具有性质B ”是“函数()f x 位区间I 上单调递增”的充分不必要条件； (2)若函数()kf x x=在区间[)2,+∞上具有性质A ，求实数k 的取值范围； (3)若函数()32f x x x=+在区间[],1a a +上同时具有性质A 和性质B ，求实数a 的取值范围．19．对于在平面直角坐标系第一象限内的两点()()1122,,,A x y B x y 作如下定义：若2121y y x x ≥，则称点B 领先于点A ．(1)试判断点(P是否领先于点(Q ，并说明理由；(2)若点()22,B x y 领先于点()11,A x y ，试证明：点B 领先于点()1212,C x x y y ++．(3)对{}{}1,2,3,2024,k m m m m *∀∈∃∈≥∈N ，点()3,2027m +领先于点(),k n ，且点(),k n 领先于点(),2024m ，求符合条件的正整数n 组成的集合中元素的个数．。

2024-2025学年山西省太原市常青藤中学高一（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列不等式一定成立的是( )A. x2+1>2x(x>0)B. sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)C. 1x2+1≥1(x∈R) D. t+1t≥2(t>0)2.已知函数f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)的图像恒过一点P，且点P在直线mx+ny−1=0(mn>0)的图像上，则1m +1n的最小值为( )A. 4B. 6C. 7D. 83.若2a=5b=10，则1a +1b=( )A. −1B. lg7C. 1D. log7104.下列各式中，值为12的是( )A. 12(cos15°−sin15°) B. tan22.5°1−tan222.5C. cos2π12−sin2π12D. sin15°cos15°5.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数，且函数y=f(x)x在区间I上是增函数，那么称函数y=f(x)是区间I上的“可变函数”，区间I叫作“可变区间”.若函数f(x)=x2−4x+2是区间I上的“可变函数”，则“可变区间”I为( )A. [√ 2,2]B. (−∞,−√ 2]和[√ 2,2]C. (0,√ 2]D. [1,√ 3]6.已知函数f(x)={log3x+a x≥13x−2+23x<1，若f(a)=1，则不等式f(x2−8)<f(2x)的解集为( )A. (−2,4)B. (−2,+∞)C. (−4,2)D. (−1,4)7.已知tanα=2，则cos2α−12−sin2αtan(α+π4)的值为( )A. 130B. 45C. −310D. −1308.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6，则f(92)=( )A. −94B. −32C. 74D. 52二、多选题：本题共3小题，共18分。

广西南宁市第二中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}1,3,4B =，{}1,4,6C =，则()A B C =I U （ ） A ．{}1,2,3B ．{}1,2,6C ．{}1,3,6D ．{}1,4,62．命题“20,10x x x ∀≥-+≥”的否定是（ ） A ．20,10x x x ∃≥-+< B ．20,10x x x ∀<-+≥ C ．20,10x x x ∀≥-+<D ．20,10x x x ∃≥-+≥3．如图，三个圆的内部区域分别代表集合A ，B ，C ，全集为I ，则图中阴影部分的区域表示（ ）A ．ABC ⋂⋂ B ．()I A C B ⋂⋂ð C ．()I A B C ⋂⋂ðD ．()I B C A ⋂⋂ð4．设x ∈R ，则“11x<”是“21x >”成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设集合62A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭ZN ，则集合A 的真子集个数为（ ） A ．7个 B ．8个 C ．16个 D ．15个6．不等式22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ） A ．132x -<<B ．16x -<<C ．102x -<<D ．132x <<7．已知实数m ，n ，p 满足244m n m p ++=+，且210m n ++=，则下列说法正确的是（） A ．n p m ≥>B ．p n m ≥>C ．n p m >>D ．p n m >>8．已知正数x ，y 满足2210x xy +-=，则2234x y +的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．73D ．4二、多选题9．下列选项正确的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若a b >且11a b>，则0ab < D ．若0a b c >>>，则a a cb b c+<+ 10．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{2x x <-或}3x >，则下列说法正确的是（ ）A ．0a >B ．关于x 的不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-C ．0a b c ++>D ．关于x 的不等式20cx bx a -+<的解集为13x x ⎧<-⎨⎩或x >1211．已知正数a ，b 满足412a b ab ++=，则下列结论正确的是（ ）A ．ab 的最大值为4B ．4a b +的最小值为8C ．a b +的最小值为3D ．111a b ++的最小值34三、填空题12．已知集合{}123A x mx =<-<，且2A ∈，则实数m 范围是． 13．若48,25a b ≤≤-≤≤，则2a b -的取值范围为.14．设集合S 为实数集R 的非空子集，若对任意x S ∈，y S ∈，都有()x y S +∈，()x y S -∈，()xy S ∈，则称集合S 为“完美集合”.给出下列命题：①若S 为“完美集合”，则一定有0S ∈； ②“完美集合”一定是无限集；③集合{},,A x x a a Z b Z ==∈∈为“完美集合”；④若S 为“完美集合”，则满足S T R ⊆⊆的任意集合T 也是“完美集合”. 其中真命题是.（写出所有正确命题的序号）四、解答题15．（1）已知3x >，求函数43y x x =+-的最小值； （2）设0x >，0y >，且28x y xy +=，求x y +的最小值．16．已知集合{}35,{211}A xx B x m x m =-≤≤=-<<+∣∣. (1)当3m =-时，求()R ,A B A B ⋃⋂ð； (2)若A B B =I ，求实数m 的取值范围.17．已知命题p ：对任意实数x ，不等式21202mx x -+>恒成立；命题q ：关于x 的方程()244210x m x +-+=无实数根.(1)若p 为真命题，求实数m 的取值范围，(2)若的题,p q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.18．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()C x （万元），且()210100,040100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式； (2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.19．已知函数()()()2111f x m x m x m =+--+-.(1)当0m <时，解关于x 的不等式()32f x x m ≥+-；(2)若存在[]0,2x ∈，使得不等式()22f x x x +≤成立，求实数m 的取值范围.。

2023北京首都师大附高一10月月考数 学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 下列各式：①{}10,1,2∈；②{}0,1,2∅⊆；③{}{}10,1,2∈；④{}{}0,1,22,0,1=，其中错误的个数是（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 命题“2x ∃<,220x x −<”的否定是（ ） A. 2x ∃≤,220x x −≥ B. 2x ∀≥,02x << C. 2x ∃<,220x x −≥D. 2x ∀<,0x ≤或2x ≥3. 将下列多项式因式分解，结果中不含因式()2x +的是（ ） A. 224x x + B. 2312x −C. 26x x +−D. ()()228216x x −+−+4. 若集合{}{3},21,Z A xx B x x n n =<==+∈∣∣，则A B =（ ）A. ()1,1−B. ()3,3−C. {}1,1−D. {}3,1,1,3−−5. 如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. ()M P SB. ()M P SC. ()M P SD. ()M P S6. 已知p ：111x <+，q ：()10x x +<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 下列结论成立的是（ ） A. 若ac bc <，则a b > B. 若a b >，则22a b > C. 若a b >，则11a b< D. 若110a b<<，则0b a <<8. 设集合11,Z ,,Z 3663k k M x x k N x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||，则（ ） A. MNB. M NC. N MD. M N ⋂=∅9. 已知,,A B C 是三个集合，若A B B C ⋃=⋂，则一定有（ ） A. A C ⊆B. C A ⊆C. C A ≠D. A =∅10. 设()C M 表示非空集合M 中元素的个数，已知非空集合,A B .定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B −≥⎧⊗=⎨−<⎩，若{}1,2A =，()(){}2220B x x ax x ax =+++=且1A B ⊗=，则实数a 的所有取值为（ ）A. 0B. 0，−C. 0，D. −，0，第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 方程组322327x y x y +=⎧⎨−=⎩的解集用列举法表示为______________.12. 若“25x m >−”是“|x |<1”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是___________ 13. 设a ，b ∈R ，集合{}2,0,1{,,0}a a b −=，则a b +的值是______.14. 已知集合{}|3A x a x =≤≤，{}|0B x x =<，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是______． 15. 当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合11,,12A ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭，{}2B x x a ==|.若A 与B 构成“全食”，则a 的取值范围是______；若A 与B 构成“偏食”，则a 的取值范围是______.三、解答题（本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16. 已知全集U =R ，集合{R |211}A x x =∈−≤，集合{R |12}B x x =∈−<≤． （1）求集合A B ⋂及()UA B ⋃；（2）若集合{|2,0}=∈≤<>C x R a x a a ，且C B ⊆，求实数a 的取值范围． 17. 已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +−+=有两个实数根1x ，2x .（1）求实数m 的取值范围； （2）若12126x x x x +=−，求m 的值.18. 已知全集U =R ，812x A xx ⎧⎫+=>⎨⎬−⎩⎭，{}22240B x x mx m =−+−<，{}14C x x =−<<，在①Ux A ∈；②x A C ∈；③x A C ∈⋃；这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答.问题：设p ：______，q ：x B ∈，是否存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件？若实数m 存在，求m 的取值范围；若实数m 不存在，说明理由.19. 已知集合{}1,2,,A n =⋅⋅⋅（3n ≥），表示集合A 中的元素个数，当集合A 的子集i A 满足2i A =时，称i A 为集合A 的二元子集，若对集合A 的任意m 个不同的二元子集1A ，2A ，…，m A ，均存在对应的集合B 满足：①BA ⊆；②B m =；③1i BA ≤（1i m ≤≤），则称集合A 具有性质J .（1）当3n =时，若集合A 具有性质J ，请直接写出集合A 的所有二元子集以及m 的一个取值； （2）当6n =，4m =时，判断集合A 是否具有性质J ？并说明理由.参考答案第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 【答案】A【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可求解.【详解】由元素与集合的关系可知{}10,1,2∈正确，{}{}10,1,2∈不正确， 由集合之间的关系知{}0,1,2∅⊆正确， 由集合中元素的无序性知{}{}0,1,22,0,1=正确， 故错误的个数为1， 故选：A【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，集合的子集，集合的相等，属于容易题. 2. 【答案】D【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结果. 【详解】命题“2x ∃<,220x x −<”是存在量词命题, 又22002x x x −<⇒<<,所以其否定为全称量词命题,即为“2x ∀<,0x ≤或2x ≥”. 故选:D. 3. 【答案】C【分析】利用提取公因式法判断A ，利用公式法判断B ，利用十字相乘法判断C 、D. 【详解】对于A.原式()22x x =+，不符合题意；对于B.原式()()()234322x x x =−=+−，不符合题意；对于C 原式()()23x x =−+，符合题意； 对于D.原式()()22242x x =−+=+，不符合题意. 故选：C. 4. 【答案】C【分析】解绝对值不等式得A ，根据交集的定义计算即可.【详解】解3x <得33x −<<，即()3,3A =−，B 为奇数集，故{}1,1A B =−.故选：C 5. 【答案】C【分析】根据Venn 图表示的集合运算作答．【详解】阴影部分在集合,M P 的公共部分，但不在集合S 内，表示为()⋂⋂M P S ， 故选：C ． 6. 【答案】D【分析】分别求出,p q ，再分析出,p q 的推导关系. 【详解】()11110010111x x x x x x −<⇒−<⇒<⇒+>+++， 所以:0p x >或1x <−，而:10q x −<<，所以p 是q 的既不充分也不必要条件， 故选：D 7. 【答案】D【分析】根据不等式的性质或举出反例对各选项逐一判断即可.【详解】选项A ：当0c >时，若ac bc <，则a b <，当0c <时，若ac bc <，则a b >，故A 说法错误； 选项B ：若1a =，2b =−满足a b >，此时22a b <，故B 说法错误； 选项C ：当0a b >>或0a b >>时， 11a b <，当0a b >>时， 11a b>，故C 说法错误；选项D ：当110a b<<时，0ab >，所以不等式同乘ab 可得0b a <<，故D 说法正确； 故选：D 8. 【答案】B【分析】根据集合,M N 的表达式，可求出集合M 是16的奇数倍，N 是16的整数倍，即可得出,M N 的关系.【详解】由()11,Z 21,Z 366k M x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||可知，集合M 表示的是16的奇数倍； 由()11,Z 2,Z 636k N x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||可知，集合N 表示的是16的整数倍； 即可知M 是N 的真子集，即M N . 故选：B 9. 【答案】A 【分析】根据()B C B ⋂⊆，以及()B C C ⋂⊆，结合已知条件，即可判断集合之间的关系. 【详解】因为()B C B ⋂⊆，又A B B C ⋃=⋂， 故可得()A B B ⋃⊆，则A B ⊆； 因为()B C C ⋂⊆，又A B B C ⋃=⋂,故可得()A B C ⋃⊆，则B C ⊆； 综上所述：A B C ⊆⊆. 故选：A.【点睛】本题考查由集合的运算结果，求集合之间的关系，属基础题. 10. 【答案】D【分析】由题意可得集合B 中的元素个数为1个或3个，分集合B 中的元素个数为1和集合B 中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可. 【详解】解：由2220xax x ax 可得20x ax或220x ax ++=，又因为{}1,2A =，1A B ⊗=， 所以集合B 中的元素个数为1个或3个， 当集合B 中的元素个数为1时，则20x ax有两相等的实数根，且220x ax ++=无解，所以22080a a ⎧=⎨−<⎩，解得0a =；当集合B 中的元素个数为3时，则20x ax有两不相等的实数根，且220x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的根的解，所以20Δ80a a ≠⎧⎨=−=⎩，解得a =a =−综上所述，0a =或a =a =− 故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意得出集合B 中的元素个数为1个或3个.第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 【答案】(){}3,7−【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对(),a b 的形式表示元素）.【详解】因为322327x y x y +=⎧⎨−=⎩，所以37x y =⎧⎨=−⎩，所以列举法表示解集为：(){}3,7−.故答案为(){}3,7−.【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：(),x y . 12. 【答案】(],2−∞【分析】根据题意得到(1,1)− (25,+)m −∞，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可. 【详解】||<1,1<<1x x ∴−>25x m −是||1x <的必要不充分条件,(1,1)∴− (25,+)m −∞,251,2m m ∴−≤−∴≤, ∴实数m 的取值范围是(,2]−∞,故答案为： (,2]−∞. 13. 【答案】0【分析】由集合相等的含义，分类讨论元素对应关系即可. 【详解】由集合元素互异性：0a ≠，又{}2,0,1{,,0}a a b −=，则21a a b ⎧=⎨=−⎩或21a ba ⎧=⎨=−⎩，解得11a b =⎧⎨=−⎩或11a b =−⎧⎨=⎩，故0a b += 故答案为：0 14. 【答案】0a ≥【分析】分别讨论A =∅和A ≠∅两种情况求解.【详解】因为A B ⋂=∅， 若3a >，则A =∅，满足题意；若3a ≤，则应满足0a ≥，所以03a ≤≤， 综上，0a ≥. 故答案为：0a ≥.15. 【答案】 ①. {|0a a <或}1a = ②. 14⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】分情况解集合B ，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可. 【详解】由{}2B x x a ==|可知，当a<0时，B =∅，此时B A ⊆； 当0a =时，{}0B =，此时A B ⋂=∅，当0a >时，{B =； 又11,,12A ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭，若A 与B 构成“全食”，则B A ⊆， 当a<0时，满足题意；当0a =时，不合题意；当0a >时，要使B A ⊆，则{}1,1B =−1=，解得1a =； 综上，A 与B 构成“全食”时，a 的取值范围是{|0a a <或}1a =； 若A 与B 构成“偏食”时，显然0a ≤时，不满足题意，当0a >时，由A B ⋂≠∅，所以11,22B ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭12=，解得14a =，此时a 的取值范围是14⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：{|0a a <或}1a =；14⎧⎫⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16. 【答案】（1）(1,1]A B ⋂=−，(1,)UA B ⋃=−+∞；（2）(0,1]【分析】（1）解一元一次不等式求集合A ，再应用集合的交并补运算求A B ⋂及()UA B ⋃.（2）由集合的包含关系可得2a ≤2，结合已知即可得a 的取值范围． 【小问1详解】由211x −≤得：1x ≤，所以(,1]A ∞=−，则(1,)UA =+∞，由(1,2]B =−，所以(1,1]A B ⋂=−，(1,)UA B ⋃=−+∞．【小问2详解】 因为C B ⊆且0a >， 所以2a ≤2，解得1a ≤． 所以a 的取值范围是(0,1]． 17. 【答案】（1）34m ≤ （2）1m =−【分析】（1）根据根的判别式列不等式，然后解不等式即可；（2）根据韦达定理得到1223x x m +=−+，212x x m =，然后代入求解即可.【小问1详解】因为有两个实根，所以()222341290m m m ∆=−−=−+≥，解得34m ≤. 【小问2详解】由题意得()122323x x m m +=−−=−+，212x x m =，所以2236m m −+=−，整理得 ()()310m m −+=，解得3m =或-1，因为34m ≤，所以1m =−. 18. 【答案】答案见解析【分析】分别求解集合,A B ，并求解三个条件的集合，再根据必要不充分条件，转化为集合的包含关系，即可列式求解. 【详解】不等式8831100222x x x x x x +++>⇔−>⇔<−−−，即()()320x x +−<， 解得：32x −<<，即{}32A x x =−<<，()()22240220x mx m x m x m −+−<⇔−−−+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得：22m x m −<<+，即{}22B x m x m =−<<+， 若选①，{3UA x x =≤−或2}x ≥，:p {3U x A x x ∈=≤−或2}x ≥，{}:22q x B x m x m ∈=−<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则BUA ,即23m +≤−或22m −≥，解得：5m ≤−或4m ≥；所以存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件，m 的范围为5m ≤−或4m ≥； 若选②，{}12A C x x ⋂=−<<，:p {}12x A C x x ∈⋂=−<<，{}:22q x B x m x m ∈=−<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则B ()A C ,则2122m m −≥−⎧⎨+≤⎩，解集为∅；所以不存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件； 若选③，{}34A C x x ⋃=−<<，:p {}34x A C x x ∈⋃=−<<，{}:22q x B x m x m ∈=−<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则B ()A C ,则2324m m −≥−⎧⎨+≤⎩，解得：12m −≤≤；所以存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件，m 的取值范围为12m −≤≤； 19. 【答案】（1）答案见解析 （2）不具有，理由见解析【分析】（1）根据集合A 具有性质J 的定义即可得出答案；（2）当6n =，4m =时，利用反证法即可得出结论. 【小问1详解】当3n =时，{}1,2,3A =，集合A 的所有二元子集为{}{}{}1,2,1,3,2,3，则满足题意得集合B 可以是{}1或{}2或{}3，此时1m =， 或者也可以是{}1,2或{}1,3或{}2,3，此时2m =； 【小问2详解】当6n =，4m =时，{}1,2,3,4,5,6A =，假设存在集合B ，即对任意的()1234,,,,4,114i A A A A B B A i =⋂≤≤≤，则取{}{}{}{}12341,2,3,4,5,6,2,3A A A A ====，（4A 任意构造，符合题意即可） 此时由于4B =，由抽屉原理可知，必有()223i B A i ⋂=≤≤， 与题设矛盾，假设不成立， 所以集合A 是不具有性质J .【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键.。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列关系中，正确的是（ ）A ．*2-∈NB ．πQ ∉C ．0∈∅D ．12∈Z2．集合{}{0,A x x B x y =≥=，则A B =I （ ）A ．∅B ．RC ． 0,2D ．(],2-∞ 3．已知命题1:0,2p x x x ∀>+>，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀>，12x x +≤ B ．0x ∀≤， 12x x +≤ C ．0x ∃≤， 12x x+≤ D ．0x ∃>， 12x x +≤ 4．下列各组函数是同一个函数的是（ ）A ．32()1x x f x x +=+与()g x x =B ．()f x =()g x =C ．()f x =2()g x =D ．()f x =与()10g x x =+ 5．若0ab >，则a b <是11a b >的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知2x >，则124y x x =+-的最小值为（ ）A ．22+B ．2C ．4D ．2+7．已知集合1,48k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭N ，3,28k N y y k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭N ，则（ ） A ．M N = B ．M N ⊇ C ．M N ⊆ D ．M N ⋂=∅ 8．已知,a b 为正实数，(41)(2)18ab a b ab ++=，则2a b +的取值范围是（ ）A ．1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[]1,2D ．[)2,∞+二、多选题9．已知0a b >>，0c d >>，则（ ）A ．a d b c ->-B ．ac bd >C ．c d b a >D ．a c b d > 10．已知,a b 为正实数，ab a b =+，则下列选项正确的是（ ）A ．ab 的最小值为2B ．2a b +的最小值为3+C ．22a b +的最小值为8D ．1111a b +--的最小值为2 11．已知有限集{}()12,,2,N n A a a a n n =⋯≥∈，如果A 中的元素()1,2,,i a i n =⋯满足1212n n a a a a a a ++⋯+=⨯⨯⋯⨯，就称A 为“W 集”则下列选项正确的是（ ）A ．集合{4+-是“W 集”B ．若{}12,a a 是“W 集”，则12,a a 至少有一个大于2C ．二元“W 集”有有限个D ．若i a 为正整数，则“W 集”A 有且只有一个，且3n =三、填空题12．函数20()(21)f x x =-的定义域为. 13．已知11,13x y x y -≤+≤≤-≤，则32x y -的取值范围是.14．关于x 的不等式210x ax -+<在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上有解，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．比较下列各组M ，N 的大小.(1)3322,0,,a b M a b N a b ab >=+=+；(2)3,M N ==16．已知集合{}{}233100,121,24x A x x x B x m x m M x x +⎧⎫=--≤=+≤≤-=≥⎨⎬-⎩⎭. (1)求()R A M U ð；(2)若满足A B B =I ，求实数m 的取值范围.17．哈尔滨市第三中学校计划在符保卢田径场建造一间地面为矩形、背面靠墙的器材室，占地面积为248m ，器材室正面每平方米的造价为1200元，侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.墙高为3m ，且不计器材室背面和地面的费用.(1)列出总造价y 与器材室正面长度x 的关系式；(2)器材室正面长度x 为多少时能使总造价最低？并求出最低总造价.18．已知函数()()()212R f x ax a x a a =--+-∈.(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()1f x a ≥-.19．设x ∈R ，记不大于x 的最大整数为[]x ，如：[]1.11=，[]21.1-=-.(1)若[]1,2a ∈，求1a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦； (2)已知532a a a -+=，试求6a ⎡⎤⎣⎦；(3)已知0a b c >,,且1ab bc ca ++=，记S =[]4S =.。

2022-2023学年湖北省武汉市武钢三中高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|14}A x x x =<->或，23{|}B x x =-≤≤，那么阴影部分表示的集合为A ．4{|}2x x -≤<B ．{|34}x x x ≤≥或C ．{|21}x x -≤≤-D ．{|13}x x -≤≤【答案】D【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U C A B ⋂，求出U C A ，计算得到答案 【详解】阴影部分表示的集合为()U C A B ⋂，{|14}A x x x =-或{|14}U C A x x ∴=-≤≤ {|23}B x x =-≤≤(){|13}U C A B x x ∴⋂=-≤≤故选D【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题 2．已知函数(1)f x -的定义域为[-2，3]，则函数(21)f x +的定义域为（ ） A ．[-1,9] B ．[-3,7]C ．[]2,1-D ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】先根据(1)f x -的定义域求出()f x 的定义域，再求出(21)f x +的定义域即可. 【详解】函数(1)f x -的定义域为[-2，3]， ∴在(1)f x -中，23x -≤≤，则312x -≤-≤， ∴()f x 的定义域为3,2，则在(21)f x +中，3212x -≤+≤，解得122x -≤≤，故(21)f x +的定义域为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D.【点睛】本题考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.3．函数()11,021,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a =，则实数a 的值为（ ）A ．±1B ．-2或±1C ．-1D ．-2或-1【答案】C【分析】根据分段函数解析式，分段求解，即可得答案.【详解】当0a ≥时，令11,22a a a -==- ，与0a ≥矛盾，不合题意；当0a <时，令1,1a a a==± ，取1a =- ，符合题意， 故选：C4．“不等式20mx x m ++>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．12m >B ．01m <<C ．14m >D ．1m【答案】C【解析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】因为“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，所以当0m =时，原不等式为0x>在R 上不是恒成立的，所以0m ≠，所以“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，等价于2>0140m m ⎧⎨∆=-<⎩，解得12m >. A 选项是充要条件，不成立； B 选项中，12m >不可推导出01m <<，B 不成立； C 选项中，12m >可推导14m >，且14m >不可推导12m >，故14m >是12m >的必要不充分条件，正确；D 选项中，1m 可推导1>2m ，且1>2m 不可推导1m ，故>1m 是12m >的充分不必要条件，D 不正确. 故选：C.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．5．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 6．若一元二次不等式220kx x k +<-的解集为{}|x x m ≠，则+m k 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．2- D ．2【答案】C【分析】由不等式与方程的关系转化为2044022k k m k ⎧⎪<⎪-=⎨⎪⎪=⎩，从而解得．【详解】解：∵不等式kx 2﹣2x +k ＜0的解集为{x |x ≠m }， ∴2044022k k m k ⎧⎪<⎪-=⎨⎪⎪=⎩， 解得，k ＝﹣1，m ＝﹣1， 故m +k ＝﹣2， 故选：C ．7．若a ，b ∈R ，0ab >，则4441aba b ++的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】()()22244222424a b a b a b ++≥=，当且仅当222a b =时，等号成立；44221141414ab ab a b a b ab ab∴≤=++++又144ab ab +≥，当且仅当14ab ab =时，即2214a b =，等号成立；2222214a b a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，解得2211,48a b ==，441414ab a b ∴≤++， 所以4441ab a b ++的最大值为14 故选：A8．关于x 的不等式()22140x m x m -++≤的解集中恰有4个正整数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．151,,322⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】B【分析】不等式化为(2)(2)0x x m --，讨论22m 和22m >时，求出不等式的解集，从而求得m 的取值范围．【详解】原不等式可化为(2)(2)0x x m --， 若1m ，则不等式的解是[2m ，2]， 不等式的解集中不可能有4个正整数， 所以1m ，不等式的解是[2，2]m ；所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5； 令526m <，解得532m <； 所以m 的取值范围是5[2，3)． 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是中档题．9．已知()2319f x x -=，则下列结论正确的是（ ）A ．()29f x x =B ．()()21f x x =+C ．()236f =D ．()21f -=【答案】B【分析】由()22319(31)2(31)1f x x x x -==-+-+，即得2()(1)f x x =+.【详解】因为()22319(31)2(31)1f x x x x -==-+-+，所以22()21(1)f x x x x =++=+， 则(2)9f =，(2)1f -=. 综上：只有B 正确. 故选：B二、多选题10．设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是（ ） A ．A B A = B ．U U C A C B ⊇ C ．U C B A φ⋂= D ．U C A B φ⋂=【答案】ABC【分析】根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件．【详解】解：由 A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ．由 A ⊆B 可得A ∩B ＝A ，故A ∩B ＝A 是命题A ⊆B 的充要条件，故A 满足条件．由U U C A C B ⊇可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得U U C A C B ⊇，故U U C A C B ⊇ 是命题A ⊆B 的充要条件，故 B 满足条件．由U C B A φ⋂=，可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得U C B A φ⋂=，故U C B A φ⋂= 是命题A ⊆B 的充要条件，故C 满足条件．由U C A B φ⋂=，可得B ⊆A ，不能推出A ⊆B ，故④U C A B φ⋂=不是命题A ⊆B 的充要条件，故D 不满足条件． 故选：ABC ．【点睛】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，充要条件的判定，属于基础题．11．已知集合M 中的元素x 满足x a =，其中a ，Z b ∈，则下列选项中属于集合M 的是（ ）A ．0 BC ．211- D ．1【答案】ACD【分析】根据集合M 中的元素x 的性质即可判断. 【详解】当0a b 时，0x =，所以0M ∈，A 正确；当1,1a b =-=-时，1x M =-，C 正确；当1,3a b =-=时，1x M =∈，D 正确；因为Z a ∈，Z b ∈，故x a =≠M ，B 错误. 故选：ACD12．取整函数：[]x =不超过x 的最大整数，如[]1.21=，[]22=，[]1.22-=-.以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（ ） A ．x ∃∈R ，[][]332x x =+ B ．x ∀，R y ∈，[][]x y =，则1x y -< C ．x ∀，R y ∈，[][][]+≤+x y x y D ．x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【解析】可取特殊值判断AC ，利用不等式性质及取整函数的意义推理可判断BD ． 【详解】 1.7x =时，[3][5.1]5x ==，3[]23[1.7]23125x +=+=⨯+=，故A 正确； 若[][]x y =，设[][]x y n ==，Z n ∈，则1n x n ≤<+，1n y n ≤<+， ∴(1)1x y n n -<+-=，(1)1x y n n ->-+=-，从而1x y -<，B 正确；取 1.7, 2.7x y ==，则[][4.4]4x y =+=，[][][1.7][2.7]123x y +=+=+=，C 错误； 设[],x m m Z =∈，则1m x m ≤<+，113222m x m +≤+<+， ∴1[]2x m +=或1m +，12m x m ≤<+时，1[]2x m +=，此时2221m x m ≤<+，[2]2x m =，1[][][2]2x x x ++=，112m x m +≤<+时，13122m x m +≤+<+，1[]12x m +=+，21222m x m +≤<+，2222m x m ≤<+，1[2]21[][]2x m x x =+=++，综上1[][][2]2x x x ++=，D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是把新定义转化为我们已学的知识，设[]x m =，则由新定义可得1m x m ≤<+，这样结合不等式的性质与新定义结合易于求解．三、填空题13．不等式1x x≥的解集是______. 【答案】[1,0)[1,)-+∞【分析】数形结合即可求得不等式的解集. 【详解】设()f x x =，1()g x x=， 在同一个坐标系内作出()f x x =和1()g x x=的图像，两函数图像交点为(1,1),(1,1)--， 1x x≥等价于()()f x g x ≥，由图可知：[1,0)[1,)x ∈-+∞， 故答案为：[1,0)[1,)-+∞14．已知实数x ，y 满足14x y -≤+≤且23x y ≤-≤，则3x y +的取值范围是______. 【答案】[5,6]-【分析】结合已知条件，利用不等式性质即可求解. 【详解】因为14x y -≤+≤， 所以2228x y -≤+≤ ①，又由23x y ≤-≤可得，32x y -≤-+≤- ②， 由①②相加可得，536x y -≤+≤， 故3x y +的取值范围是[5,6]-. 故答案为：[]5,6-15．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则a b +=_________.【答案】-1【详解】（1）当0a = 时，ba无意义，所以 0a ≠；（2）当0ba=时， 0b =，集合可化为 {,0,1}a 和 2{,,0}a a ， 21a =，则1a =±，而 1a =时，元素重复，故 1a =-．16．已知正实数x ，y 满足270x y xy ++-=，且232t t xy x -≥-恒成立，则t 的取值范围是________． 【答案】1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦[)1+∞，【分析】由270x y xy ++-=可得79122x y x x -+==-+++，然后利用基本不等式可求出x y +的最小值，从而可求出xy x -的最大值为1，进而解不等式2321t t -≥可得结果【详解】由270x y xy ++-=，得()27x y x +=-+. 因为0x >， 所以20x +≠，所以79122x y x x -+==-+++，则991233322x y x x x x +=+-=++-≥=++， 当且仅当1x =时，等号成立，故()727231xy x x y -=-+≤-⨯=. 因为232t t xy x -≥-恒成立， 所以2321t t -≥，解得1t ≥或13t ≤-.故答案为1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦[)1+∞，四、解答题17．已知集合{}2340A x ax x =∈--=R（1）若集合A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； （2）若集合A 最多有两个子集，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）9{|16a a且0}a ≠（2）9{|16a a 或0}a = 【分析】（1）A 中有两个元素等价于方程有两个不相等的实数根；（2）集合A 最多有两个子集即A 中至多有一个元素，等价于方程无解或只有一解. 【详解】（1）由于A 中有两个元素， ∴关于x 的方程2340ax x有两个不等的实数根，∴9160a ∆，且0a ≠，即916a，且0a ≠. 故实数a 的取值范围是9{|16a a且0}a ≠. （2）集合A 最多有两个子集即A 中至多有一个元素,即方程2340ax x 无解或只有一解，当0a =时，方程为340x ，43x =-，集合43A； 当0a ≠时，若关于x 的方程2340ax x有两个相等的实数根，则A 中只有一个元素，此时916a， 若关于x 的方程2340ax x没有实数根，则A 中没有元素，此时916a. 综上可知，实数a 的取值范围是9{|16a a或0}a =. 18．已知命题:R p x ∃∈，使2420mx x -+=为假命题． (1)求实数m 的取值集合B ；(2)设{}32A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()2,B =+∞； (2)2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由条件可得关于x 的方程2420mx x -+=无解，然后分0m =、0m ≠两种情况讨论即可；（2）首先由{}32A x a x a =<<+为非空集合可得1a <，然后由条件可得A B ⊆且A B ≠，然后可建立不等式求解.【详解】(1)因为命题:R p x ∃∈，使2420mx x -+=为假命题， 所以关于x 的方程2420mx x -+=无解，当0m =时，2420mx x -+=有解，故0m =时不成立， 当0m ≠时，1680m ∆=-<，解得2m >， 所以()2,B =+∞(2)因为{}32A x a x a =<<+为非空集合，所以32a a <+，即1a <， 因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A B ⊆且A B ≠， 所以32a ≥，即23a ≥， 综上：实数a 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.19．已知集合{}{}34,211A x x B x m x m =-≤<=-≤≤+ （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.（2）命题q ：“x A ∃∈，使得x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1m ≥-；（2）[4,2]-.【分析】（1）B A ⊆，分B 为空集和B 不是空集两种情况讨论求解即可；（2）由x A ∃∈，使得x B ∈，可知B 为非空集合且A B ⋂≠∅，然后求解A B ⋂=∅的情况，求出m 的范围后再求其补集可得答案【详解】解：（1）①当B 为空集时，121,2m m m +<->成立. ②当B 不是空集时，∵B A ⊆，12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩，∴12m -≤≤综上①②，1m ≥-.（2）x A ∃∈，使得x B ∈，∴B 为非空集合且,121,2A B m m m ≠∅+≥-≤.当A B ⋂=∅时2142m m -≥⎧⎨≤⎩，无解或132m m +<-⎧⎨≤⎩，4m <-，∴,[4,2]A B m ≠∅∈-.20．设函数()()223f x ax b x =+-+的图象过点()1,2．(1)若0a >，0b >，求14a b+的最小值；(2)解关于x 的不等式()20f x ->． 【答案】(1)9 (2)答案见解析【分析】（1）由()f x 的图象过点()1,2，可得1a b +=，则()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等可求得答案，（2）由题意将不等式化简为()()110ax x -->，然后分0a =，01a <≤和1a >三种情况求解即可【详解】(1)函数()()223f x ax b x =+-+，由()1232f a b =+-+=，可得1a b +=，所以()14144559b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当4b aa b=时等号成立，因为1a b +=，0a >，0b >， 解得13a =，23b =时等号成立，此时14a b +取得最小值9．(2)由1a b +=，得()2232ax b x +-+>，即()2110ax a x -++>，即()()110ax x -->．当0a =时，不等式的解集为(),1-∞；当0a <时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当01a <≤时，11a ≥，不等式的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭； 当1a >时，11a <，不等式的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭． 21．已知集合{}240A x x x =-=，{}2280B x ax x =-+=.（1）是否存在实数a ，使{}0,2,4A B ⋃=？若存在求出a 的值：若不存在，请说明理由. （2）若A B B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）不存在实数a ，使{}0,2,4A B ⋃=，理由见解析；（2）{}10,8a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由题意可得222280a ⨯-⨯+=，解得1a =-，然后验证即可；（2）由题意B 只可能为∅，0，{}4，{}0,4，分类讨论即可求解.【详解】（1）{}0,4A =，所以2B ∈且B 中不含除0，2，4以外的实数，即222280a ⨯-⨯+=，解得1a =-. 验证：此时{}2,4B =-，所以不存在实数a ，使{}0,2,4A B ⋃=.（2）题干A B B =可转化为B A ⊆，即B 只可能为∅，0，{}4，{}0,4①B =∅，即∆<0，解得18a > ②{}0,4B =，即224248002080a a ⎧⨯-⨯+=⎨⨯-⨯+=⎩，a 无解 ③B 中只有一根时，当0a =时，解得{}4B =成立当0a ≠，即0∆=，解得18a =，此时{}8B =，不符合题意 综上所述，{}10,8a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了交集，并集及其运算，考查了分类讨论的思想，属于基础题.22．已知二次函数()2f x ax bx c =++.(1)若函数满足()()122f x f x x +-=+，且()01f =.求()f x 的解析式；(2)若对任意x R ∈，不等式()2f x ax b ≥+恒成立，求()2224b a c +的最大值.【答案】(1)()21f x x x =++【分析】（1）利用待定系数的方法确定二次函数解析式（2）由二次不等式恒成立，转化参数关系，代入()2224b a c +通过讨论特殊情况后配合基本不等式求出最值 【详解】(1)设()()2,0f x ax bx c a =++≠，由已知代入()()122f x f x x +-=+，得222ax a b x ++=+，对于x R ∈恒成立，故222a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==，又由()01f =，得1c =， 所以()21f x x x =++；(2)若对任意x R ∈，不等式()2f x ax b +恒成立，整理得：()220ax b a x c b +-+-恒成立，因为a 不为0，所以20Δ(2)4()0a b a a c b >⎧⎨=---⎩，所以()204b a c a -， 所以()2222222141c b ac a a a c a c c a --=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令1c t a=-，因为()204b a c a -，所以00c a t >⇒， 若0=t 时，此时()22222221=041c b ac a a a c a c c a --=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 若0t >时，()()22221121222224112b t a c t t t -==++++++， 当t 时，即(1c a =时，上式取得等号，综上()2224b a c +。

2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考高一数学（完卷时间：120分钟；满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知全集(](]0,4,2,4U U A B A C B =⋃=⋂=，则集合B =（ ）A. (],2∞- B. (),2∞- C. (]0,2 D. ()0,2【答案】C【解析】【分析】集合运算可得()=I U U B C A C B ，即可求出结果【详解】(0,4]A B = ，(2,4]=I U A C B 所以()(0,2]==I U U B C A C B 故选：C2. 某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y 1（万件），市场供应量y 2（万件）与市场价格x （百元/件）分别近似地满足下列关系：150y x =-+，2210y x =-，当12y y =时的需求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加6万件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（ ）A. 6百元B. 8百元C. 9百元D. 18百元【答案】C【解析】【分析】求出封城前平衡需求量，可计算出解封后的需求量，利用需求量计算价格差距即为补贴金额.【详解】封城前平衡需求量时的市场价格x 为5021020x x x -+=-⇒=，平衡需求量为30，平衡价格为20，解封后若要使平衡需求量增加6万件，则11365014x x =-+⇒=，223621023x x =-⇒=，则补贴金额为23149-=.故选：C.3. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，对任意实数x ，下面式子正确的是（ ）A. []x = |x|B. []xC. []x >-xD. []x > 1x -【答案】D 的【解析】【详解】分析：[]x 表示不超过x 最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除．详解：设 1.5x =，[]1x =， 1.5x =1.5=，10.5x -=，排除A 、B ，设 1.5x =-，[]2x =-， 1.5x -=，排除C ．故选D点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一．4. 已知函数2943,0()2log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数(())y f f x =的零点所在区间为（ ）A. (1,0)- B. 73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. (4,5)【答案】B【解析】【分析】当0x …时，()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解，此时，(())y f f x =无零点；当0x >时，根据()f x 为增函数，且(3)0f =可得函数(())y f f x =的零点为3()2log 12x g x x =+-的零点，根据零点存在性定理可得结果.【详解】当0x …时，()430x f x =+>，()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解，此时，(())y f f x =无零点；当0x >时，293()2log 92log 9x x f x x x =+-=+-为增函数，且(3)0f =.令(())0(3)f f x f ==，得3()2log 93x f x x =+-=，即32log 120x x +-=，令3()2log 12x g x x =+-，则函数(())y f f x =的零点就是3()2log 12x g x x =+-的零点，因为()3332log 31230g =+-=-<，72377()2log 1222g =+-37log 1202=+->，所以函数(())y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间，考查了根据的解析式判断函数的单调性，属于中档题.5. 设函数()2,11,1x a x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()1f 是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A [)1,2- B. []1,0- C. []1,2 D. [)1,+∞【答案】C【解析】【分析】由1x >，求得()f x 的范围；再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a …时函数()f x 在1x …的最小值，即可得到所求范围．【详解】解：函数2,1()1,1x a x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩…，若1x >，可得()12f x x =+>，由()1f 是()f x 的最小值，由于||()2x a f x -=可得在x a >单调递增，在x a <单调递减，若1a <，1x …，则()f x 在x a =处取得最小值，不符题意；若1a …，1x …，则()f x 在1x =处取得最小值，且122a -…，解得12a ……，综上可得a 的范围是[1，2]．故选：C ．【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．6. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()0f x y f x y f x f y ++--=，()11f -=，则（ ）A. ()00f = B. ()f x 为奇函数C. ()81f =- D. ()f x 的周期为3【答案】C【解析】【分析】令 0x y ==，则得(0)2f =，再令0x =即可得到奇偶性，再令1y =-则得到其周期性，最后根.据其周期性和奇偶性则得到()8f 的值.【详解】令 0x y ==， 得()()22000f f -=得 (0)0f = 或 (0)2f =，当 (0)0f = 时，令0y =得 ()0f x = 不合题意， 故 (0)2f =， 所以 A 错误 ；令 0x = 得 ()()f y f y =-， 且()f x 的定义域为R ，故 ()f x 为偶函数， 所以B 错误 ；令 1y =-， 得 (1)(1)()f x f x f x -++=， 所以 ()(2)(1)f x f x f x ++=+，所以 (2)(1)f x f x +=--， 则(3)()f x f x +=-，则()(6)(3)f x f x f x +=-+=，所以 ()f x 的周期为 6 ， 所以 D 错误 ；令 1x y ==， 得 2(2)(0)(1)f f f +=， 因为()()111f f -==所以 (2)1f =-，所以 ()(8)21f f ==-， 故C 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法得到其奇偶性和周期性，并依此性质求出函数值即可.7. 函数()(),f x g x 的定义域均为R ，且()()()()4488f x g x g x f x +-=--=，，()g x 关于4x =对称，()48g =，则()1812m f m =∑的值为（ ）A. 24- B. 32- C. 34- D. 40-【答案】C【解析】【分析】利用已知、方程、函数的对称性、周期性进行计算求解.【详解】因为()()44f xg x +-=①， ()()88g x f x --=②，对于②式有：()()88g x f x +-=③，由①+③有：()()8412g x g x ++-=，即()()1212g x g x +-=④，又()g x 关于4x =对称，所以()()8g x g x =-⑤，由④⑤有：()()81212g x g x -+-=，即()()81212g x g x +++=，()()4812g x g x +++=，两式相减得：()()1240g x g x +-+=，即()()124g x g x +=+，即()()8g x g x +=，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()g x 的周期为8，又()48g =，所以()()()412208g g g ==== ，由④式()()1212g x g x +-=有：()66g =，.所以()()()614226g g g ==== ，由()48g =，()()1212g x g x +-=有：()84g =，所以()()()816244g g g ==== ，由⑤式()()8g x g x =-有：()()266g g ==，又()()8g x g x +=，所以()()1026g g ==，由②式()()88g x f x --=有：()()88f x g x =+-，所以()()()()()()()18122436101244818m f m f f f g g g ==+++=+++-⨯∑ ()686446881834=+++⨯++-⨯=-，故A ，B ，D 错误.故选：C.8. 已知函数()()()lg 2240f x x a x a a =+--+>，若有且仅有两个整数1x 、2x 使得()10f x >，()20f x >，则a 的取值范围是（ ）A. (]0,2lg 3- B. (]2lg 3,2lg 2--C. (]2lg 2,2- D. (]2lg 3,2-【答案】A【解析】【分析】由题意可知，满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数，即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，然后利用数形结合思想得出()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩以及0a >，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】由()()lg 2240f x x a x a =+--+>，得()lg 224x a x a >-+-.由题意可知，满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数，即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点.如下图所示：由图象可知，由于()()()22422y a x a a x =-+-=--，该直线过定点()2,0.要使得函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，则有()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩，即22lg 3a a <⎧⎨-≥⎩，解得2lg 3a ≤-，又0a >，所以，02lg 3a <≤-，因此，实数a 的取值范围是(]0,2lg 3-.故选A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键利用数形结合思想找到一些关键点来得出不等关系，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9. 下列命题正确的是（ ）A. “1a >”是“21a >”的充分不必要条件B. “M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C. 命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D. 设函数()f x 的导数为()f x '，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件【答案】AB【解析】【分析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项.【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误；故选：AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.10. 若函数()f x 的定义域为R ，且()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，(2)1f =-，则（ ）A. (0)0f =B. ()f x 为偶函数C. ()f x 的图象关于点(1)0，对称 D. 301()1i f i ==-∑【答案】BCD【解析】【分析】对于A ，令2,0x y ==,可得(0)1f =；对于B ，令0,x y x ==，可得()()f x f x =-，即可判断；对于C ，令1x y ==得f (1)=0，再令1,x y x ==即可判断；对于D ，根据条件可得()()2f x f x =--,继而()()2f x f x =-+，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.【详解】对于A ，令2,0x y ==，则()()()22220f f f =⋅，因为(2)1f =-，所以()220f -=-，则(0)1f =，故A 错误；对于B ，令0,x y x ==，则()()()2(0)()2f x f x f f x f x +-==，则()()f x f x =-，故B 正确；对于C ，令1x y ==得，()()()220210f f f +==，所以f (1)=0，令1,x y x ==得，(1)(1)2(1)()0f x f x f f x ++-==，则()f x 的图象关于点(1)0，对称，故C 正确；对于D ，由(1)(1)0f x f x ++-=得()()2f x f x =--，又()()f x f x =-，所以()()2f x f x -=--，则()()2f x f x =-+，()()24f x f x +=-+，所以()()4f x f x =+，则函数()f x 的周期为4，又f (1)=0，(2)1f =-，则()()()3310f f f =-==，()()401f f ==，则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，所以()()301()12701i f i f f ==++⨯=-∑，故D 正确，故选：BCD.11. 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x R ∈，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=-x f x ，给出下列结论，其中正确的是（ ）A. (2)0f =B. 点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C. 函数()y f x =在[6,2]--上单调递增D. 函数()y f x =在[6,6]-上有3个零点【答案】AB【解析】【分析】由(4)()(2)f x f x f +=+，赋值2x =-，可得(4)()f x f x +=，故A 正确；进而可得(4,0)是对称中心，故B 正确；作出函数图象，可得CD 不正确.【详解】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =-，得(2)0f -=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =-=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]--上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]-上有7个零点，故D 不正确.故选：AB【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12. 设函数()()x x f x e ae a R -=+∈，若()f x 为奇函数，则a =______.【答案】-1【解析】【分析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()x x x x ae ae e e --+=-+，即()()10x x e a e -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.故答案为：-1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.13. 422log 30.532314964log 3log 2225627--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=______【答案】1-【解析】【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.【详解】原式=4123232log 3494122563-⨯⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=42log 379121616-++131=-+1=-．故答案为：1-.14. 设m 为实数，若{}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，，，则m 的取值范围是 ．【答案】403m ≤≤【解析】【详解】如图可得440033m m -≤-≤∴≤≤四、解答题：本题共5小题，共77分.15. 阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…，（1）求f （－2）与f （2）的值；（2）求f(x)的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ① ．因为2＞0，所以f （2）＝ ② ．（2）因为x≤0时，有f(x)＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f(x)在(,0]-∞上的最大值为 ③ ．又因为x ＞0时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…，而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上最大值为1．综上，f(x)的最大值为 ⑤ ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A ．（－2）＋3＝1 B ．2(2)2(2)8--+⨯-=-②A.2＋3＝5 B ．22220-+⨯=③A.3B.0④A ．f （1）＝1 B ．f （1）＝0的⑤ A.1 B.3【答案】（1）①A ； ②B ；（2）③A ； ④A ； ⑤B ．【解析】【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…，（1）因为20-<，所以()2231f -=-+=，因为20>，所以()222220f =-+⨯=（2）因为0x ≤时，有()33f x x =+≤，而且()03f =，所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3．又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…，而且()11f =，所以()f x 在(0,+∞)上的最大值为1．综上，()f x 的最大值为3．16. 如图，某小区要在一个直角边长为30m 的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为ABC V ，花园为矩形DEFG ．根据规划需要，花园的顶点F 在三角形的斜边BC 上，边DG 在三角形的直角边AC 上，顶点G 到点C 的距离是顶点D 到点A 的距离的2倍．（1）设花园的面积为S （单位：2m ），AD 的长为x （单位：m ），写出S 关于x 的函数解析式；（2）当AD 的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）()()2303,010S x x x =-<<（2）当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为1502m .【解析】【分析】（1）根据矩形面积即可求解，（2）根据基本不等式即可求解.【小问1详解】,AD x =则2CG GF x ==，302303GD x x x =--=-，所以()()2303,010S GD GF x x x =⋅=-<<【小问2详解】()()()233032223033303150332x x S x x x x +-⎡⎤=-=⋅-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3303x x =-，即5x =时等号成立，故当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为1502m .17. 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：0x ≥时，21()21x x f x -=+.（1）求()f x 的表达式；（2）若关于x 的不等式()2(23)10f ax f ax ++->恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）21()21x x f x -=+ （2）(]4,0-【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求得当0x <时的解析式，即可得到结果；（2）根据定义证明函数()f x 在R 上单调递增，然后再结合()f x 是定义在R 上的奇函数，化简不等式，求解即可得到结果.【小问1详解】设0x <，则0x ->，因为0x ≥时，21()21x x f x -=+，所以()21122112x xx xf x -----==++又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，即()()12211221x x x x f x f x --=--=-=++所以当0x <时，21()21x x f x -=+综上，()f x 的表达式为21()21x x f x -=+【小问2详解】由（1）可知，212()12121x x x f x -==-++，设在R 上任取两个自变量12,x x ，令12x x <则()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()1221212222221212121x x x x x x -=-=++++因为12x x <，则12220x x -<，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<所以函数()f x 在R 上单调递增.即()()22(23)10(23)1f ax f ax f ax f ax ++->⇒+>--，由()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()()2211f ax f ax ---=即()21(23)f ax f ax >-+，由函数()f x 在R 上单调递增，可得22231240ax ax ax ax +>-⇒--<恒成立，当0a =时，即40-<，满足；当0a ≠时，即20Δ4160a a a <⎧⎨=+<⎩，解得40a -<<综上，a 的取值范围为(]4,0-18. 已知0,a b a c d >≥≥≥，且ab cd ≥．（1）请给出,,,a b c d 的一组值，使得2()a b c d ++≥成立；（2）证明不等式a b c d ++≥恒成立．【答案】（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）找到一组符合条件的值即可；（2）由a c d ≥≥可得()()0a c a d --≥,整理可得2()a cd c d a ++≥,两边同除a 可得cd a c d a ++≥,再由ab cd ≥可得cd b a ≥,两边同时加a 可得cd a b a a+≥+,即可得证.【详解】解析:（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明:由题意可知,0a ≠,因为a c d ≥≥,所以()()0a c a d --≥.所以2()0a c d a cd -++≥,即2()a cd c d a ++≥.因为0a b >≥,所以cd a c d a++≥,因为ab cd ≥,所以cd b a≥,所以cd a b a c d a +++≥≥.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.19. 对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数．（1）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可）（2）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．【答案】（1）{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．（2）{0,,,}b c b c +；证明见解析．（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，由0S ∈知0a =；由0d c S <-∈可知d c c -=或d c b -=，分别讨论两种情况可的结果；（3）记1009n =，则21S n =+，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，由归纳推理可求得()1i x im i n =≤≤，从而得到22n M x nm ==，从而得到S ，可知存在元素m 满足题意.【详解】（1）{}0，{}0,1，{}0,2，{}0,1,2．（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，则由题意：d d S +∉，故0S ∈，即0a =，考虑,c d ，可知：0d c S <-∈，d c c ∴-=或d c b -=，若d c c -=，则考虑,b c ，2c b c c d <+<= ，c b S ∴-∈，则c b b -=，{},,2,4S a b b b ∴=，但此时3b ，5b S ∉，不满足题意；若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，{0,,,}S b c b c ∴=+，其中,b c 为相异正整数．（3）记1009n =，则21S n =+，首先，0S ∈，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=，分别考虑M 和其他任一元素i x ，由题意可得：i M x -也在S 中，而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<，()21i n i M x x i n -∴-=≤≤，2n M x ∴=，对于1i j n ≤<≤，考虑2n i x -，2n j x -，其和大于M ，故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈，特别的，21x x S -∈，2122x x m ∴==，由31x x S -∈，且1313x x x x <-<，3213x x x m ∴=+=，以此类推：()1i x im i n =≤≤，22n M x nm ∴==，此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，故S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.。

安徽铜陵市第一中学2023-2024学年高一上学期10月月
考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
(1)若某户住宅的窗户面积与地板面积的总和为1322
m ，则这户住宅的地板面积最多为
多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由.
21．解关于实数x 的不等式：()()23260ax a x a R +-->Î.22．已知n 元有限集{}123,,,,n A a a a a =L （2n ³，Z n Î），若
123123n n a a a a a a a a ++++=´´´´L L ，则称集合A 为“n 元和谐集”.
(1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）；
(2)若正数集{}12A a ,a =是“二元和谐集”，试证明：元素1a ，2a 中至少有一个大于
2；
(3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.
则123123a a a a a a =++，
不妨设123a a a <<，则12312333a a a a a a a =++<，解得123a a <，因为12,N a a *Î，故只有121,2a a ==满足要求，综上，{}1,2,3A =满足要求，其他均不合要求，
存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即{}1,2,3A =.。