,V 中加法的定
构成K 上的线性空向量组的线性相关与线性无关向量组的线性等价；极大线性无关组.,s α,又给定数域,s k ,称s s k k α+为向量组12,,
,s ααα的一个4(线性表出内一个向量组,s α,设β是V 内的一个向
如果存在K 内s ,s k ,使得122s s k k ααα++
+,,
,s α线性表出.
向量组的线性相关与线性无关) 内一个向量组12,,
αα
,s k ,使得
s s k α+=,s α线性相关；若由方程
s s k α+=0s k =
==则称向量组
,s α线性无关.
命题3 设12,,s V ααα∈,则下述两条等价:
12,,
s ααα线性相关；
某个i α可被其余向量线性表示证明同向量空间.
线性等价) 给定,r α (,s β (Ⅰ)中任一向量都能被线性表示,则称两向量组(极大线性无关部分组,s α,如果它有
一个部分组,,
,r i ααα满足如下条件,r i α线性无关；、原向量组中任一向量都能被,r i α线性表示,
则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.
由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没于是那些命题在线性空间中依然成立一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同
,
,n ε和1,,n ηη是两组基2121212122221122,,.
n n n n
n n n nn n t t t t t t t εεεεηεεε++++⎪⎨
⎪⎪=+++⎩ 1112
12122
21212,)(,,
,)n n n n n n nn t t t t t t t
t t ηεεε⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
. 我们称矩阵
1112
12122
212
n n n n nn t t t t t t T t
t t ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪⎪⎪⎭
,
,n ε到1,
,n ηη的过渡矩阵.
6 设在n 维线性空间V/K 中给定一组基12,,,n εεε.T 是
212,,,)(,,,).n n T ηηεεε=
,n η是V/K 若12,,
,n ηηη是线性空间,n η线性无关考察同构映射n
K V ασ,:→,构造方程
122)()(n k k ησηση+++1,2,,)n ,
22)n n k k ηη++0n n k η+=,
0n k ==⇒,()n σση线性无关.
,()n ση构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；
若过渡矩阵可逆,则构造方程122n n k k ηηη+++=,(1,2,
,)K i n =,
作用,得到112()((n k k k σησηση++,
120n k k k ⇒==
==.证毕向量的坐标变换公式；n
K 中的两组基的过渡矩阵,n ε和12,,,n ηηη,又设,n ε下的
),n a ,即1212(,,
,)n n a a a εεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,
,,n η下的坐标为,,)n b ,即
1212,,
,)n n b b b ηη⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
.
现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即1212(,,
,)(,,
,).n n T ηηηεεε=
2
n a ⎪⎪⎪⎪⎭,2n Y b ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,
12[(,,)]n Y T Y εεε=.
122122212,),
,,),(,,
,).n n n n n nn a a a a a ε= 和122122212,),,,),(,,
,).
n n n n n nn b b b b b η=
1212(,,
,)(,,
,).n n T ηηηεεε=
的第i 个列向量分别是i η在基12,,,n εεε下的坐标.
,n ε和1,,,n ηηη看作列向量分别排成矩阵
111212122212n n n n nn a a a a a a A a
a a ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；1112
12122
212n n n n nn b b b b b b B b b b ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
, AT =,将A 和B 拼成2n n ⨯分块矩阵()|A B ,利用初等行变换将左边矩化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:
)|()|(T E B A −−−→−行初等变换.
ε为W ,
r
1,,r r εε+的一个子空间假设即可.
二、子空间的交与和定义13 设,t V α∈}22|,1,2,
,t t i k k k K i t αα++
+∈=
称为由12,,,t ααα生成的子空间,记为12(,,
,)t L ααα生成的子空间的维数等于12,,
,t ααα的秩.
) 设12,V V 为线性空间V/K 的子空间,定义
2{V v =∈称为子空间的交； 21{V v +=+称为子空间的命题9 1
2V V 和1V +证明:由命题4.7,只需要证明2V 和1V +1
2,V V αβ∈,则1,V αβ∈,,αβ12,V V αβ+∈,于是1
2V V αβ+∈,12V V 关于加法封闭；
2V ,k ∈12,kv V kv V ∈∈,于是12kv V V ∈,12V V 关于数乘封
1,V V β∈+111222,,,V V αβαβ∃∈∈,21,αββ=2V ,则
