复变函数全套课件 494p-北京交通大学-闻国光老师

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复变函数全套课件

w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8

复变函数第六节优秀课件

f
(z)
A,记作当z
z0时，f
(z)
A.
y z0
v f (z) A
0
x
0
u
注1 这个定义的几何意义为：当变点z在z0的一个充分小的邻域时，它们的象就在A的一个给定的邻域.
注2 由于z0是复平面上的点，因此z可以任意方式趋近于z0，(在一元实函数时只有两个方向), 但不论怎样趋近，f ( z )的值总是趋近于A.
t
lim
z
1
1 z
2
lim 1
t0
1
1 t2
t2
l.
(2)
因
zz
2z-zz-2 z2 1
( z 2 )( z 1 )
( z 1 )( z 1 )
z 2， z1
故
lim
z1
zz
2z z2
zz 1
2
lim
z1
z z
2 1
3 2
二函数的连续性
若f
(定z )义在若区zl域 imz0Df内( z处) 处f连( z续0 )，，则则称称ff
注2 关于含的极限可作如下定义
lim t0
f
(
1 t
)
a
zlim
f
(
z
)
a
(a为有限复数）
1 zlimz0 f ( z ) 0 zlimz0 f ( z )
1
lim t0
f
(1)
0
zlim
f
(
z
)
t
定理2 若 lim f ( z ) A,lim g( z ) B则.
zz0
zz0
( 1 ) lim [ f ( z ) g( z )] A B zz0

复变函数课件章节

复变函数(第四版)课件章节大纲
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数论
06
添加章节标题
复变函数的基本概念
复数及其几何意义
复数：实数与虚数的组合
复平面：复数的几何表示
复数的模：表示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一种特殊函数
应用：在解析数论、复动力系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研究函数在复平面上的值分布规律
皮卡定理：描述函数在复平面上的值分布规律
极值性质：全纯映射的极值性质，包括最大值和最小值
泰勒定理：泰勒定理的证明和应用，包括泰勒级数和泰勒展开式
极值定理：极值定理的证明和应用，包括极值点的存在性和唯一性
泰勒定理的应用：泰勒定理在复变函数中的应用，包括求解微分方程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等

《复变函数入门》课件

《复变函数入门》ppt课件
目录
• 引言 • 复数的表示与运算 • 复变函数的概念 • 复变函数的积分 • 复变函数的级数与幂级数展开 • 复变函数的几何意义 • 复变函数的积分定理
01
引言
什么是复数
复数是实数和虚数的总称，形式为a+bi，其中a和b是实数，
i是虚数单位。
02
01
复数可以用平面坐标系表示，其中横轴表示实数部分，纵轴表示
详细描述
复变函数是定义在复数域上的函数，其自变量和因变量都是复数。与实函数相比，复变函数的定义域和值域都是复数域，这使得复变函数具有更丰富的性质和更复杂的函数形态。
函数的极限与连续性
总结词
详细介绍复变函数的极限和连续性的概念，以及它们在复变函数中的重要性和应用。
VS
详细描述
复变函数的极限和连续性与实变函数的定义类似，但因为复数域的复杂性，其证明和应用更加复杂。这些概念在研究复变函数的性质、证明定理以及解决实际问题中具有重要的作用。
在信号处理中，复数用于分析信号的频谱和进行滤波处理。
02
复数的表示与运算
复数的表示
总结词
复数的基本表示方法
详细描述
复数可以用实部和虚部表示，形式为$z = a + bi$，其中 $a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2 = -1$。
总结词
复数的几何表示
详细描述
复数还可以通过几何图形表示，其实部和虚部可以分别表示为平面直角坐标系中的横轴和纵轴，形成一个二维平面，称为复平面。
应用
高阶导数定理也是复变函数中一个重要的定理，它可以用来求解函数的n阶导数，进一步研究函数的性质。同时，这个定理也是复变函数中一些高级定理的基础，比如全纯函数的展开定理等。

复变函数 ppt课件

z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等；２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。此外，共轭复数具有下列性质：

《复变函数》课件Chap4-3

n1
n1
cn n
( 4.4.4)
对变数来说,级数(4.4.4)是一个通常的幂级数.
设它的收敛半径为 R,那么当 R 时,级数收敛;
58 - 6
当 R 时,级数发散.因此,如果我们要判定级数
(4.4.3)的收敛范围,只需把用 (z z0 )1 代回去就
可以了.如果令 1 R
R1 ,那么当且仅当
§4 洛朗级数
58 - 1
一个在以 z0 为中心的圆域内解析的函数可以在该圆域内展开成 z z0 的幂级数. 如果 f (z) 在 z0 处不解析在这一节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法----洛朗级数
58 - 2
本节重点：讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法，即洛朗展开式。
R1
z0 R2
R2
z0 R1
(a)
(b)
图4.4
级数(4.4.1)在这圆环域内收敛，在这圆环域外发散。
在圆环域的边界 z z0 R1，及 z z0 R2上可能有些点收敛,有些点发散. 级数(4.4.1)的收敛域是圆环域:
在特殊情形, R1→0, 外பைடு நூலகம்径R2→+∞
58 - 10
例如级数
an zn
58 - 8
的和. 因此, 当 R1 R2 时(图 4.4(a)), 级数 (4.4.2)与(4.4.3)没有公共的收敛范围, 所以, 级数(4.4.1)处处发散；当 R1 R2 时 (图 4.4(b))，级数(4.4.2)与(4.4.3)的公共收敛范围是圆环域 R1 z z0 R2
58 - 9
但在圆环域 0 z 1及 0 z 1 1内都是处处解析的.先研究在圆环域: 0 z 1内的情形. f (z) 1 1 1 ,

复变函数(第四版)课件--章节3.2

二复合闭路变形原理
柯西古萨定理的推广
当闭合曲线内部包围被积函数的奇点，该积分通常不为零，但仍有一定的规律可以研究。
1 闭路变形原理 2 复合闭路变形原理
1 闭路变形原理
1 ：设函数 (z) 在多连通域内解析灰色为奇点， f D ,
2：C （深蓝色）及 1（紫色） C 为 D 内的任意两条简单闭曲线(逆时针方向为正 ), 3： C 及 C1 为边界的区域以 D1（浅蓝色）全含于. D
y
0 2i 2i 0 4 i
C1
C2

o
1
x

1 例5 求 C ( z a )n dz , C为含 a 的任一简单闭路 , n 为整数 . a 解因为 a 在曲线内部,
C1
故可取很小的正数 ,
使 C1: z a 含在 Γ 内部,
1 在以 C C1 为边界的复连通域 ( z a )n 内处处解析 ,
第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在 C 内有一个奇点 z0，该奇点在被积函数解析式的分母。高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积分公式是高阶导数公式当 n=0 时的情形。
( n)
等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等数学中函数泰勒级数里 (z-z0)n 的系数。
例 11
cos z 计算 dz 5 ( z 1) | z| 2
ez ez dz dz 2 2 2 2 ( z 1) ( z 1) | z i| 1 | z i| 1
e z /[(z i ) 2 ] e z /[(z i ) 2 ] dz dz 2 2 ( z i) ( z i) | z i| 1 | z i| 1 2i e 2i e 2 (2 1)! ( z i ) z i (2 1)! ( z i ) 2 z i

复变函数全课件-北京交通大学-闻国光老师共497页

13、遵守纪律的风气的培养，只有领导者本身在这方面以身作则才能收到成效。—— 马卡连柯 14、劳动者的组取得最后胜利的保证。—— 列宁摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
复变函数全课件-北京交通大学-闻国光老师
11、战争满足了，或曾经满足过人的好斗的本能，但它同时还满足了人对掠夺，破坏以及残酷的纪律和专制力的欲望。 ——查·埃利奥特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段。纪律是教育过程的结果，首先是学生集体表现在一切生活领域—— 生产、日常生活、学校、文化等领域中努力的结果。— —马卡连柯(名言网)
Thank you

复变函数课件第一章第二至四节复变函数

内区域
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域；注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或映照。把集合E表示在一个复平面上，称为z-平面；把相应的函数值表示在另一个复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有

复变函数与积分变换课堂PPT第二章

由加法定理, 可以推出exp z的周期性。它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多值函数，并且每两个值相差的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0，则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，

《复变函数》课件

设 ①B是由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计算
2z 1 z2 z dz
: 包含圆周z 1在内的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)

复变函数ppt课件

1
(7) f (z) e z1
(z 1)2(z 2)2
(8) f (z) sinz3
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
0
f (z)在c所围成的区域内解析
c f (z)dz 未必为0 c所围成的区域内含有f (z)的奇点
由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
(1)
故
1
Re s[ f (z), z0 ] c1 2i
f (z)dz
c
(2)
2. 留数定理
定理设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有有限个孤立奇点z1 , z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
lim z z0
1 0,令 f (z)
1 f (z0 )
0，则z0是
1 的m级零点. f (z)
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
nm
1
lim z z0
f (z)
f (z)
(z z0 )m
g(z)
其中: g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ,
g(z)在 z z0 内是解析函数且g(z0 ) 0.
例如：

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16

当z落于一,四象限时，不变.

. 当z落于第三象限时，减 .
z1 5 5i 7i 解: z2 3 4i 5
1 i 例2 : 求 1 i
4
1 i i 1 i
12
§2 复数的表示方法

1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
13
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数 ( x, y ),
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z ) Im( z ) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小.
8
2. 代数运算
•四则运算
定义
z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 z i 2 z2 | z2 | | z2 |2 ( z2 0)
9
•运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即， z1+z2=z2+z1；
复变函数与积分变换（B）
教材
《复变函数》(四版)
西安交通大学高等数学教研室编
1
2017年9月3日
第一章复数与复变函数
2
对
象复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分
主要内容复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、
共形映射、傅立叶变换和拉普
(conjugate)
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
1 z ( 3) z z Re(z ) Im( z ) x y 2 z |z|
2 2 2 2
11
z1 z1 ( ) z2 z2
例1 : 设z1 5 5i , z2 3 4i , z1 z1 求 , ( )及它们的实部, 虚部 . z2 z2
拉斯变换等
3
学习方法复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处. 但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的性质与结果
4
背
景
•十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩大到复数域 •在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数” •直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念 •应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和发展.
5
•十九世纪奠定复变函数的理论基础 •三位代表人物: • A.L.Cauchy （1789-1866) •K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数 •G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性质 •通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.
y (z)
模： | z || OP | r 辐角 : Argz
记作
可用向量OP表示z x iy .
x2 ห้องสมุดไป่ตู้y2 ,
y
P(x,y)
z r

z 0 OP 0
o
x
x
15
z 0时， tan(Argz ) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz. z=0时，辐角不确定. y x 0, y R arctan x 计算 x 0, y 0 arg z argz(z≠0) 2 y 的公式 arctan x 0, y 0 x x 0, y 0
点的表示：z x iy 复平面上的点 P( x，y)

数z与点z同义.
14
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) OP { x , y }
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边, 以向量OP为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
6
§1复数及其代数运算

1. 复数的概念 2. 代数运算
3. 共轭复数
7

1. 复数的概念
定义对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi 为复数.
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) 2 2 • 复数的模 | z | x y 0 • 判断复数相等
在平面上取定直角坐系标，则任意点 P( x, y) 一对有序实数 ( x, y) z x iy 平面上的点 P ( x, y )
复数z x iy可用平面上坐标为 ( x，y )的点P表示.
x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴此时，平面— 复平面或 z平面
z1z2=z2z1；
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；
z1(z2z3)=(z1z2)z3；
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
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3.共轭复数
定义若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. •共轭复数的性质
(1) ( z1 z2 ) z1 z2
( z1 z2 ) z1 z2

复变函数全套课件 494p-北京交通大学-闻国光老师

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