复变函数全课件-北京交通大学[内容充实]
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《复变函数》课件Chap3-2
z z
z
F(z z) F(z) f ( )d f ( )d .
z0
z0
由于积分与路线无关,因此积分 zz f ( )d 的 z0
积分路线可取先从 z0 到 z,然后再从 z 沿直线段到
z z ,而从 z0 到 z 的积分路线取得跟积分
z f ( )d 的积分路线相同.于是有 z0
2020/11/15
由定理一可知，解析函数在单连通域内的
积分只与起点 z0 及终点 z1 有关,所以有
f (z)dz f (z)dz z1 f (z)dz z0
C1
C2
2020/11/15
38 - 12
固定 z0 ,让 z1 在 B 内变动,并令 z1 z ,那么积分
z f ( )d 在 B 内确定了一个单值函数 F(z) ,即 z0 z F(z) f ( )d (3.4.1) z0
2020/11/15
图3.6
38 - 6
n
i) C f (z)dz k1 Ck f (z)dz, 其中 C 及 Ck 均取正方向; ii) f (z)dz 0. 这里 为由 C 及 Ck (k 1,2,,n) 所
组成的复合闭路(其方向是:C 按逆时针进行, Ck
(k 1,2,,n) 按顺时针进行).
2020/11/15
38 - 2
D
F
C
D1 F
A
A
B
B
E C1
E
2020/11/15
图 3.5
38 - 3
由图 3.5 可知：
f (z)dz 0
f (z)dz 0
AEBBEAA
AAFBB F A
将上面两式相加,得
f (z)dz f (z)dz f (z)dz
复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数第二章(第三讲)PPT课件
解 (2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y u v
y v
e x cos y
x v
y u
在R
2成立，
y
x y
且u, v在R2上偏导数连续
故 f (z) e x (cos y i sin y)在复平面C上可导，解析; 且f '(z) u i v e x cos y ie x sin y f (z)。
定理 设f (z)= u + i v, z= x +i y, z0=x0+i y0, 则f (z)在
(1) u( x, y), v( x, y)在( x0 , y0 )可微 ,
z0处可导 (2)
u x
v ,
y
u y
v x
在(
x0
,
y0
)成立.
定义 方程
u v v u x y x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
1.导数的概念
定义2.1.1 设函数f (z)在z0的某邻域N( z0 ,δ)内有定
义, 且极限 lim f (z0 z) f (z0 )存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数
记作
dw f '(z0 ) dz zz0
lim z0
f (z0 z) z
z
z
x x x x x iy x iy
当z取实数趋于0时, f z 1; 当z取纯虚数趋于0时, f z
0;
复变函数课件第一章第4节
可微性
如果函数的导数在定义域内的任意一 点都存在，则称该函数是可微的。
周期性
如果存在一个非零实数p，使得对于定义域 内的任意点z，都有$f(z+p) = f(z)$，则称 该函数是周期的，p是它的周期。
03 复变函数的积分
复变函数的积分定义
实部和虚部积分
复变函数的积分定义为实部和虚 部的积分之和，即$int f(z) dz = int f(x, y) dx + i int f(x, y) dy$。
洛朗兹级数展开的收敛性
洛朗兹级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，例如在复平面上的区域内 的收敛性。
洛朗兹级数展开的应用
洛朗兹级数展开在复变函数的研究中有着广泛的应用，例如求解微分方程、积分方程等。 此外，它还可以用于近似计算和数值分析等领域。
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-1$。
复变函数
如果对于每个复数$z$，都存在一 个复数与它对应，那么这个复数就 是复变函数。
定义域
复变函数的定义域是所有输入值的 集合，这些输入值在实数轴上形成 一个区间或多个区间的集合。
复变函数的性质
连续性
如果对于定义域内的任意一点，函数 值都存在且连续，则称该函数是连续 的。
有界性
如果函数的值在定义域内有界，即存在一个正 数M，使得对于定义域内的任意点z，都有 $|f(z)| leq M$，则称该函数是有界的。
泰勒级数展开的应用
泰勒级数展开在复变函数的研究中有着广泛的应用，例如 求解微分方程、积分方程等。此外，它还可以用于近似计 算和数值分析等领域。
洛朗兹级数展开
洛朗兹级数展开的定义
洛朗兹级数展开是复变函数的一种表示方法，它将一个复数函数表示为无穷级数的形式， 其中每一项都是函数值的幂次方和阶乘的乘积，并且每一项都乘以一个特定的系数。
复变函数课件-复变函数1绪论
02
复变函数
复变函数
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03
微分与积分
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的量度，表示函数在该点附近的小范围内变化的 情况。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等， 这些性质在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等方面有广泛应用。
柯西-黎曼方程
柯西-黎曼方程是由法国数学家 柯西和挪威数学家黎曼分别独 立发现的，是复变函数中解析 函数的必要条件。
柯西-黎曼方程是由两个偏微分 方程构成的方程组，描述了复 平面上的可微函数在任意一点 处的导数关系。
柯西-黎曼方程是复变函数中解 析函数的充要条件，即如果一 个复函数在某区域内的全纯导 数存在且满足柯西-黎曼方程， 则该函数在该区域内是解析的 。
单连通区域
一个区域如果不能被分成两个分离的子区域，则称该区域为单连通区域。
单连通区域的共形映射
对于单连通区域，存在唯一的共形映射将该区域映射到单位圆。这个映射可以通过一些特定的函数（如幂函数和 指数函数）来构造。
多连通区域的共形映射
多连通区域
一个区域如果有多个连通的子区域，则称该区域为多连通区域。
复数的几何意义
总结词
复数可以用平面坐标系中的点或向量表示，实部为x轴上的坐 标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以用几何图形来表示。在平面坐标系中，每一个复数 z=a+bi可以对应一个点(a,b)或向量从原点O(0,0)指向点(a,b) 。实部a是横轴上的坐标，虚部b是纵轴上的坐标。这种表示 方法有助于理解复数的几何意义和性质。
06
共形映射共形映射的定义 Nhomakorabea共形映射
《复变函数入门》课件
《复变函数入门》ppt课件
目录
• 引言 • 复数的表示与运算 • 复变函数的概念 • 复变函数的积分 • 复变函数的级数与幂级数展开 • 复变函数的几何意义 • 复变函数的积分定理
01
引言
什么是复数
复数是实数和虚数的总称，形 式为a+bi，其中a和b是实数，
i是虚数单位。
02
01
复数可以用平面坐标系表示，其 中横轴表示实数部分，纵轴表示
详细描述
复变函数是定义在复数域上的函数，其自变量和因变量都是 复数。与实函数相比，复变函数的定义域和值域都是复数 域，这使得复变函数具有更丰富的性质和更复杂的函数形态 。
函数的极限与连续性
总结词
详细介绍复变函数的极限和连续性的概 念，以及它们在复变函数中的重要性和 应用。
VS
详细描述
复变函数的极限和连续性与实变函数的定 义类似，但因为复数域的复杂性，其证明 和应用更加复杂。这些概念在研究复变函 数的性质、证明定理以及解决实际问题中 具有重要的作用。
在信号处理中，复数用于分析信号的频谱和进行滤波处 理。
02
复数的表示与运算
复数的表示
总结词
复数的基本表示方法
详细描述
复数可以用实部和虚部表示，形式为$z = a + bi$，其中 $a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2 = -1$。
总结词
复数的几何表示
详细描述
复数还可以通过几何图形表示，其实部和虚部可以分别表 示为平面直角坐标系中的横轴和纵轴，形成一个二维平面 ，称为复平面。
应用
高阶导数定理也是复变函数中一个重要的定理，它可 以用来求解函数的n阶导数，进一步研究函数的性质 。同时，这个定理也是复变函数中一些高级定理的基 础，比如全纯函数的展开定理等。
目录
• 引言 • 复数的表示与运算 • 复变函数的概念 • 复变函数的积分 • 复变函数的级数与幂级数展开 • 复变函数的几何意义 • 复变函数的积分定理
01
引言
什么是复数
复数是实数和虚数的总称，形 式为a+bi，其中a和b是实数，
i是虚数单位。
02
01
复数可以用平面坐标系表示，其 中横轴表示实数部分，纵轴表示
详细描述
复变函数是定义在复数域上的函数，其自变量和因变量都是 复数。与实函数相比，复变函数的定义域和值域都是复数 域，这使得复变函数具有更丰富的性质和更复杂的函数形态 。
函数的极限与连续性
总结词
详细介绍复变函数的极限和连续性的概 念，以及它们在复变函数中的重要性和 应用。
VS
详细描述
复变函数的极限和连续性与实变函数的定 义类似，但因为复数域的复杂性，其证明 和应用更加复杂。这些概念在研究复变函 数的性质、证明定理以及解决实际问题中 具有重要的作用。
在信号处理中，复数用于分析信号的频谱和进行滤波处 理。
02
复数的表示与运算
复数的表示
总结词
复数的基本表示方法
详细描述
复数可以用实部和虚部表示，形式为$z = a + bi$，其中 $a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2 = -1$。
总结词
复数的几何表示
详细描述
复数还可以通过几何图形表示，其实部和虚部可以分别表 示为平面直角坐标系中的横轴和纵轴，形成一个二维平面 ，称为复平面。
应用
高阶导数定理也是复变函数中一个重要的定理，它可 以用来求解函数的n阶导数，进一步研究函数的性质 。同时，这个定理也是复变函数中一些高级定理的基 础，比如全纯函数的展开定理等。
复变函数第三版课件第一章
3
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
2021年大学复变函数课件复数与复变函数
大学复变函数课件复数与复变函数第一章复数与复变函数第一节复数 1．复数域每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；和分别称为的实部和虚部，分别记作，。
复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果，则可以看成一个实数；如果，那么称为一个虚数；如果，而，则称为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。
2．复平面 C也可以看成平面，我们称为复平面。
作映射：，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为-平面，w-平面等。
3．复数的模与辐角复数可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定义为：；向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：（）。
复数的共轭定义为：；复数的三角表示定义为：；复数加法的几何表示：设、是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；（5）、；（6）、；例1．1试用复数表示圆的方程：（）其中a,b,c,d是实常数。
解：方程为，其中。
例1.2、设、是两个复数，证明利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设、是两个非零复数，则有 , 则有即，，其中后一个式子应理解为 ___相等。
同理，对除法，有即，，其后一个式子也应理解为 ___相等。
例1.3、设、是两个复数，求证：例1.4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。
解：直线：；圆： 4．复数的乘幂与方根利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：令，则进一步，有共有-个值。
例1.5、求的所有值。
解：由于，所以有其中，。
第二节复平面上的点集 1．初步概念：设，的-邻域定义为称___ 为以为中心，为半径的闭圆盘，记为。
设，若中有无穷个点，则称为的极限点；若，使得，则称为的内点；若中既有属于的点，由有不属于的点，则称为的边界点；集的全部边界点所组成的 ___称为的边界，记为；称为的闭包，记为；若，使得，则称为的孤立点（是边界点但不是聚点）；开集：所有点为内点的 ___；闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于；则任何 ___的闭包一定是闭集；如果，使得，则称是有界集，否则称是 ___集；复平面上的有界闭集称为紧集。
复变函数课件--复变函数1绪论
引 言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 x 10 x 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 i e cos i sin 揭示了复指数函数与三角函数之 Euler公式 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 1 课件 和 发展。
8
加减法与平行四边形
法则的几何意义:
z2
z1 z2
z1 z2
z1
乘、除法的几何意义:
z1 r 1e
i1
,
z2 r2e
i2
,
z1 z2 r1r2e
i (1 2 )
,
z1 z2 r1r2 z1 z2 Argz1 z2 A rg z1 Argz2
Argz1 z2 Argz1 Argz2
p
2
2kp
k, m , n Z
若取 k 1, 则 n 1, m 1,
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 x 10 x 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 i e cos i sin 揭示了复指数函数与三角函数之 Euler公式 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 1 课件 和 发展。
8
加减法与平行四边形
法则的几何意义:
z2
z1 z2
z1 z2
z1
乘、除法的几何意义:
z1 r 1e
i1
,
z2 r2e
i2
,
z1 z2 r1r2e
i (1 2 )
,
z1 z2 r1r2 z1 z2 Argz1 z2 A rg z1 Argz2
Argz1 z2 Argz1 Argz2
p
2
2kp
k, m , n Z
若取 k 1, 则 n 1, m 1,
《复变函数》课件Chap4-3
n1
n1
cn n
( 4.4.4)
对变数 来说,级数(4.4.4)是一个通常的幂级数.
设它的收敛半径为 R,那么当 R 时,级数收敛;
58 - 6
当 R 时,级数发散.因此,如果我们要判定级数
(4.4.3)的收敛范围,只需把 用 (z z0 )1 代回去就
可以了.如果令 1 R
R1 ,那么当且仅当
§4 洛朗级数
58 - 1
一个在以 z0 为中心的圆域内解析的函数可以 在该圆域内展开成 z z0 的幂级数. 如果 f (z) 在 z0 处不解析 在这一节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的 解析函数的级数表示法----洛朗级数
58 - 2
本节重点：讨论在以 z0 为中心的圆环域内的 解析函数的级数表示法，即洛朗展开式。
R1
z0 R2
R2
z0 R1
(a)
(b)
图4.4
级数(4.4.1)在这圆环域内收敛，在这圆环域外发散。
在圆环域的边界 z z0 R1，及 z z0 R2上可能有些点 收敛,有些点发散. 级数(4.4.1)的收敛域是圆环域:
在特殊情形, R1→0, 外பைடு நூலகம்径R2→+∞
58 - 10
例如级数
an zn
58 - 8
的和. 因此, 当 R1 R2 时(图 4.4(a)), 级数 (4.4.2)与(4.4.3)没有公共的收敛范围, 所以, 级数(4.4.1)处处发散；当 R1 R2 时 (图 4.4(b))，级数(4.4.2)与(4.4.3)的公共收敛 范围是圆环域 R1 z z0 R2
58 - 9
但在圆环域 0 z 1及 0 z 1 1内都是处处 解析的.先研究在圆环域: 0 z 1内的情形. f (z) 1 1 1 ,
复变函数全课件-北京交通大学-闻国光老师共497页
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
复变函数全课件-北京交通大 学-闻国光老师
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
Thank you
15、机会是不守纪律的。——雨果
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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Thank you
复变函数课件第一章第二至四节复变函数
内区域
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
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5
3. 两个特殊的映射:
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
的 w 点 a i.b
y
A
B z123i
C
o
x
z212i
C A
v
3i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
6
如果把z平面和w平面 重叠在一,不 起难看w出z 是关于实轴的一个 映对 射. 称
当反函数为单值函数时, z[f(z)]z ,G .
如果函 (映数射 )wf(z)与它的反函数
(逆映)射 z(w)都是单,值 那的 末称(函 映数
射)wf(z)是一一对 .也 应可 的称G 集与合集 合G*是一一对 . 应的
今后不再区别函数与映射.
14
5. 复合函数的定义:
设函数 wf(h)的定义域为 D 1，函数 h(z)的 定义域为 D 2 ，值域 GD1 .若对任一 zD2，
4 0r 2映射为
w z2
0π,04,
2
仍是扇形域.
18
例2 对于 w z映 1,求 射 圆 z2的 周 . 象 z
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
1
2.单(多)值函数的定义: 如果 z的一个值对w应 的着 值 ,那一 末个
我们称f函 (z)是 数单.值的 如果 z的一个值对应两着个两以个上或
w的值 ,那末我们称 f(z)函 是数 多值 . 的
3.定义集合和函数值集合: 集G 合 称f为 (z)的定(义 定集 义 ); 合 域 对应 G中 于所 z的 有一 w值 切所成G* 的 , 集 称为函数 . 值集合
y
zz3 1o z 2
3. 两个特殊的映射:
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
的 w 点 a i.b
y
A
B z123i
C
o
x
z212i
C A
v
3i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
6
如果把z平面和w平面 重叠在一,不 起难看w出z 是关于实轴的一个 映对 射. 称
当反函数为单值函数时, z[f(z)]z ,G .
如果函 (映数射 )wf(z)与它的反函数
(逆映)射 z(w)都是单,值 那的 末称(函 映数
射)wf(z)是一一对 .也 应可 的称G 集与合集 合G*是一一对 . 应的
今后不再区别函数与映射.
14
5. 复合函数的定义:
设函数 wf(h)的定义域为 D 1，函数 h(z)的 定义域为 D 2 ，值域 GD1 .若对任一 zD2，
4 0r 2映射为
w z2
0π,04,
2
仍是扇形域.
18
例2 对于 w z映 1,求 射 圆 z2的 周 . 象 z
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
1
2.单(多)值函数的定义: 如果 z的一个值对w应 的着 值 ,那一 末个
我们称f函 (z)是 数单.值的 如果 z的一个值对应两着个两以个上或
w的值 ,那末我们称 f(z)函 是数 多值 . 的
3.定义集合和函数值集合: 集G 合 称f为 (z)的定(义 定集 义 ); 合 域 对应 G中 于所 z的 有一 w值 切所成G* 的 , 集 称为函数 . 值集合
y
zz3 1o z 2
《复变函数》课件
设 ①B是 由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计 算
2z 1 z2 z dz
: 包 含 圆 周z 1在 内 的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)
复变函数ppt课件
1
(7) f (z) e z1
(z 1)2(z 2)2
(8) f (z) sinz3
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
0
f (z)在c所围成的区域内解析
c f (z)dz 未必为0 c所围成的区域内含有f (z)的奇点
由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
(1)
故
1
Re s[ f (z), z0 ] c1 2i
f (z)dz
c
(2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1 , z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
lim z z0
1 0,令 f (z)
1 f (z0 )
0，则z0是
1 的m级零点. f (z)
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
nm
1
lim z z0
f (z)
f (z)
(z z0 )m
g(z)
其 中: g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ,
g(z)在 z z0 内是解析函数且g(z0 ) 0.
例如：
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主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、
共形映射、傅立叶变换和拉普
拉斯变换等
高等课讲
4
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
复变函数与积分变换（B）
教材 《复变函数》(四版)
西安交通大学高等数学教研室 编
2013-2014学年第一学期
高等课讲
1
联系方式
• 闻国光 • 理学院数学系 • 电子邮件： guoguang.wen@
高等课讲
2
2013年9月3日
第一章 复数与复变函数
高等课讲
3
对 象 复变函数（自变量为复数的函数）
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 ,其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小.
高等课讲
9
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
高等课讲
11
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
高等课讲
6
•十九世纪奠定复变函数的理论基础 •三位代表人物: • A.L.Cauchy （1789-1866) •K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数 研究复变函数 •G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映 照性质 •通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论， 且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流 体力学和电学等方面也得到了很多的应用.
高等课讲
7
§1复数及其代数运算
1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数
高等课讲
8
1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi
为复数.
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
记作
辐角 : Argz
z 0 OP 0
高等课讲
y
P(x,y)
z r
o
xx
16
z 0时，tan( Argz) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
记作θ0=argz.
z=0时，辐角不确定.
计算 argz(z≠0)
任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
平面 — 复平面或z平面
点的表示：z x iy 复平面上的点P( x，y)
数z与点z同义. 高等课讲
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
( z1 ) z1 z2 z2
z z 2i Im(z)
(3)zz Re(z)2 Im( z)2 x2 y2
1 z
|
z z |2
高等课讲
12
例1 : 设z1 5 5i, z2 3 4i, 求 z1 ,( z1 )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
解 : z1 5 5i 7 i z2 3 4i 5
例2 : 求
1 i 4
1i
1i i 1 i
高等课讲
13
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
高等课讲
14
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则
高等课讲
5
背景
•十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩 大到复数域 •在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清 楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数” •直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义，澄清了复数的概念 •应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和 发展.
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
高等课讲
10
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即，
19
高等课讲
20
高等课讲
21
由向量表示法知
y
(z)
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由此得 :
z1
z2 z1 z2 z1 (三角不等式)
arg
zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
arctan y x
2
x 0, y R
x 0, y 0
的公式
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
高等课讲
17
当z落于一,四象限时，不变.
当z落于第二象限时，加 . 当z落于第三象限时，减 .
arctan y
2
x2
高等课讲
18
高等课讲
15
2. 向量表示法
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可用向量OP表示z x iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y
(z)
模：| z || OP | r x 2 y2 ,