2021年沪教版数学必修二同步第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程(练习)学生版

12.2 复数的几何意义及复数集内的方程【学习重点】1.复平面：成立直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，x 轴、y轴分别叫做实轴和虚轴，原点表示复数 0，表示实数的点都在x 轴上，表示纯虚数的点都在 y 轴上.2.复数的向量表示：设复数z a bi (a、 b R) 在复平面内对 z(a, b) 应点，连结 OZ ，那么向量oz表示复数z a bi，且规定相等的向量表示同一个复数 .3.复数z a bi (a、b R) 的模就是其在复平面内所对应的点Z ( a, b) 到坐标原点的距离 .4.设复数z1 a bi ，z2 c di (a,b,c, d R) 在复平面上所对应的向量分别是，(,d ) ，则z z( a c) (b d )i，OZ1OZ 2(a c, b d ) .OZ1 (a,b) OZ2c12两个复数z1 , z2和的几何意义能够在复平面上用平行四边形法例解释.5.对于一元二次方程ax 2bx c 0(a 0) ，当0 时，方程有两个互相共轭的虚数根 x b4ac b2i .并且这两个根相同知足韦达定理.6.共轭虚根定理：如果虚数z是实系数一元 n 次方程a n x n a n 1x n 1a1 x a00 (a0, a1a n R, a n0) 的根，那么 z 也是这个方程的根.【例题解说与训练】例 1.已知 a R ,请判断复数z a22a 4 (a22a 2)i 在复平面上对应的点 Z 在第几象限？〖变式训练 1〗1.复数z m 2i(m R, i 为虚数单位）在复平面上对应的点不行能位于12i（）（A)第一象限（B)第二象限（C)第三象限（D)第四象限2.若5sin ) (sin cos )i 在复平面内所对( ,) ，则复数(cos4应的点在 ()(A) 第一象限（B)第二象限（C)第三象限（D)第四象限3.设 z C ，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在（）（A)实轴上（ B)虚轴上（ C)直线y x(x 0) 上（ D)以上都不对例 2.设复数z x yi ( x, y R) 在复平面上所对应的点是z ，画出知足以下条件的点 z 的会合所表示的图形.（1）Rez 2 ， Im z1；（2）z2,Re z Im z 2〖变式训练 2〗1.设复数z x yi(x, y R) 在复平面上所对应的点是z ，画出知足下列条件的点 z 的会合所表示的图形.（1）2 z 3 ；（2） z 2 ，Im z1.2.已知向量AB对应的复数为1i ，若 A 点坐标为(1,3) ，则B点坐标为.3.若复数z a i (a R) 与它的共轭复数z所对应的向量相互垂直，则a 的值为例 3.已知复数 z1、z2知足z1z21，且z1z22，求证：z1 z2 2 .〖变式训练 3〗1.若复数复数 z1、 z2满足z1z2 1 ，且z1z2 3 ，则z1z2 =.2.若复数复数 z1、 z2知足z1z2z1z2 1，则 z1z2=.3.在复平面上，正方形ABCD的两个极点A, B对应的复数分别为12i ，35i .求此外两个极点 C, D 对应的复数.例 4.若复数z知足z 1 i 1，求z的最大值和最小值.〖变式训练 4〗1.若z C ，且 z1i 1 ，求 z 2 2i 的最大值；2.若 z C ，且z 2 i 2 ，求z的最大值；3.若复数z知足z1z1 4 ，求 z 1 的最大值和最小值.例 5.已知z1z21， z1z213i ，求复数z1、z2.22〖变式训练 5〗已知复数z 、 z知足 z171， z27 1，且z z 4，求z11.1212z2与 z1 z2的值.已知复数 z 知足 z 2 ，z2的虚部为，设 z 、z2、 z z2在复平2.2面上的对应点分别为 A 、 B 、C ，求 ABC 的面积.3.z5z1，求复数z .已知 z 1 ，且例已知对于 x 的方程x 2ax b0(,b)的一个根为 34i ，求a，6.a Rb的值 .〖变式训练 6〗1.方程4x2mx 1 0 ( m R) ，则结论正确的选项是（）（A）方程的两根互为共轭复数（B）方程的两根互为共轭复数，则 m 0（C）若x为方程的一个虚根，则x也为方程的根（D）若m 0，则方程的两根必定为正数2.在复数集内分解因式：（1）x2x 1 0 ；（） x44.23.已知12i 是实系数方程 x2px q0 的一个虚根，求 p q 的值.例 7.已知对于x的方程x2px1 0( p R)的两个根为x1、x2，若x1 x2 1 ，务实数 p 的值 .〖变式训练 7〗1. 已知对于x的方程x25x m0 (m R) 的两个根为x1、 x2，且x1 x2 3 ，求 m 的值.2.已知对于 x 的方程2x23ax a2a 0 起码有一个模为1的复数根，务实数 a 值.3.已知关于x的方程3x26( m 1)x m 210 的两根x1, x2满足x1x22，务实数 m 的值.例 8.若对于x的方程x2(1 i) x m 2i 0 有实数根，务实数 m 的值及方程的根.〖变式训练 8〗1.若对于x的方程x2(k 2i) x 2ki 0 有实数根，求此实根及实数k 的值 .2.已知对于x的方程x2(k2k 2kx)i 0 (k R) 有一个纯虚数根，求k 的值 .3.已知对于x的方程x2zx 4 3i 0 有实数根，求复数z 的模的最小值.例 9.已知方程2x313x246x 65 0 有一个根是23i ，求该方程其余的根 .〖变式训练 9〗1.已知方程x53x45x35x24x 20 有两个根1和i，求方程其余的根.2.解对于 x 的方程x25x 6( x 2)i0 .已知 z 为复数，若对于 z的方程 z a z 1 i 0 有解，务实数 a 的3.取值范围 .。

2021年沪教版高一数学暑假作业：实系数一元二次方程【含答案】一、单选题1．设1z ，2z 是非零复数，且满足22112230+=z z z z ，则1z 与2z 的关系是（ ）．A ．12z z >B ．12z z <C ．12=z zD ．不确定【答案】C 【分析】将方程两边同时除以22z ，化为12z z 的一元二次方程，利用求根公式求出12z z ，再求出其模，即可得到答案. 【详解】因为22112230+=z z z z ，且20z ≠， 所以21122()310z z z z +=，所以21231(4z z =-， 所以1231142z i z =±-=±， 所以12312z i z =±， 所以123131||||12244z i z =±=+，所以12||1||z z =，所以12||||z z =. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了复数的模长公式和复数模的性质，属于基础题. 2．设z C ∈，方程2||0+=z z 的根有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】将z 表示为复数的形式代入方程，利用复数相等即可求解. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，代入方程得22220,20,a b a b ab ⎧⎪-++⎨=⎪⎩ 解得0,0a b ==或±1，所以方程2||0+=z z 的根有3个.故答案选：C【点睛】本题主要考查利用换元法求方程的根及复数相等的概念，属于基础题.3．已知关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，且123x x +=，则a =（ ） A ．12 B ．72 C ．12或72 D ．不存在【答案】A【分析】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，所以∆<0，可得1a <，利用根与系数的关系可得()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->，设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈，则12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩，根据123x x +=，可得2294m n +=可求得答案. 【详解】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，()()2244441610a a a a ∆=--+=-<，所以1a <()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈ 所以12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩ 123x x +=，即221223x x m n +=+=，即2294m n += 由2221244x x m n a a ⋅=+=-+，即()2294424a a a -+=-=，解得12m =或72m =. 又1222x x m a +==，1a <，则1m <，所以12m =所以12a = 故选：A【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、填空题4．若实系数方程20x mx m ++=有虚根，则实数m 的取值范围是________.【答案】(0,4)【分析】由已知可得∆<0，求解即可. 【详解】实系数方程20x mx m ++=有虚根，24(4)0,04m m m m m ∴∆=-=-<<<.故答案为：(0,4).【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，考查计算求解能力，属于基础题.5．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.【答案】2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数.【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.故答案为：2i ±【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.三、解答题6．已知一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2，求下列各式的值：（1）x 12+x 22；（2）|x 1-x 2|.【答案】（1）254（241 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系计算即可.【详解】因为一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2， 所以1232x x +=-，122x x ⋅=-，（1）x 12+x 22()212129252444x x x x =+-⋅=+=， （2）|x 1-x 2|22121212941()()484x x x x x x =-=+-⋅+=. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，考查了运算能能力，属于中档题.7．已知复数2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，向量(,)=m b c ，(8,)=n t ，求实数λ和t ，使得m n λ=． 【答案】12λ=-，10t =- 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出,b c ，再根据向量共线可求得结果.【详解】∵2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，∴2i +也是方程的根．则[(2)(2)]4=--++=-b i i ，(2)(2)5=-+=c i i ．∴(4,5)=-m ，由m n λ=，得(4,5)(8,)-=t λ．∴485t λλ-=⎧⎨=⎩．∴1210t λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 故答案为：12λ=-，10t =-. 【点睛】本题考查了虚根承兑定理、韦达定理，考查了平面向量共线定理，属于基础题.8．已知复数12,z z 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两根，且复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，若122123z z i +=-，其中i 是虚数单位.（1）求复数12,z z ；（2）若复数z 满足1z =，求1z z -的最大值和最小值.【答案】（1）1243,43z i z i =+=-；（2）最大值6，最小值4；【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的性质进行求解即可；（2）根据1z z -的几何意义，结合圆的性质进行求解即可.【详解】（1）因为122123z z i +=-，所以实系数一元二次方程有两个互为共轭的复数根，因此复数12,z z 互为共轭复数，因为复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，所以设1(0,0)z a bi a b =+>>，则2z a bi =-，所以31242()12333a a a bi a bi i b b ==⎧⎧++-=-⇒⇒⎨⎨-=-=⎩⎩， 所以1243,43z i z i =+=-；（2）因为复数z 满足1z =，设(,)z x yi x y R =+∈，所以221x y +=，所以复数z 在复平面上对应的点在单位圆221x y +=上，1z z -表示点(4,3)到圆221x y +=上一点的距离， 显然1z z -22(40)(30)16-+-=， 22(40)(30)14-+-=. 所以1z z -的最大值6，最小值4.9．方程20x px p ++=3p 的值． 【答案】27p =1p =或3p =【分析】设方程的两根为1x ，2x ，则两根在复平面内对应的点之间的距离就是12x x -，由复数模的性质可得()()2212121243x x x x x x -=+-=，利用根与系数的关系式代入，可得到关于p 的方程，解方程可求p 的值.【详解】设方程的两根为1x ，2x ， 则()22121212333x x x x x x -=⇔-=⇔-= ()2121243x x x x ⇔+-=，由韦达定理可得 243-=p p ．当243-=⇒=p p p 27当2431-=-⇒=p p p 或3p =.【点睛】本题考查了复数的几何意义以及一元二次方程根与系数的关系，把复数在复平面上对应点的距离转化为复数差的模的形式是解题的关键，属于中档题.10．方程220x x m ++=的两个虚根为1z ，2z ，且12212<+-z z i ，求实数m 的范围． 【答案】251,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．根据韦达定理可得211a m b =-⎧⎨=+⎩，再根据模长公式化简不等式可得403b <<，由21m b =+可得答案. 【详解】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．因为方程220x x m ++=有虚根，m R ∈，所以2240m ∆=-<，解得1m ，根据韦达定理得12122z z z z m +=-⎧⎨=⎩，∴2222a m a b =-⎧⎨=+⎩，即211a m b =-⎧⎨=+⎩， 因为12212<+-z z i ，所以22124|||12|z z i <+-，所以224|1||(2)|bi b i -+<-+，所以2244(2)b b +<+，所以2340b b -<，所以403b <<， 所以21609b <<， ∴225119m b <=+<． ∴251,9⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理以及复数的模长公式，属于基础题.11．已知方程240x x m ++=的两根为α，β且满足||6-=αβ，求实数m 的值.指出下面的解法是否有错误，若有请分析错误原因，并给出正确的解答；若没有，请说明理由.||6-=αβ，得2||36-=αβ.∴2()436+-=αβαβ.由方程的根与系数的关系，得2(4)436--=m .解方程，得5m =-.【答案】有错误，理由见解析，5m =-或13m =.【分析】利用举反例的方法，说明错误原因.按照0∆≥和∆<0进行分类讨论，由此求得m 的所有可能取值.【详解】上面解法有错误，原因是当x C ∈时，2z 不一定等于2||z .如z i ，则221,1z z =-=. 正确解法：（1）当1640m ∆=-≥，即4m ≤时，有,R αβ∈，此时解答同上面解法； （2）当∆<0，即4m >4416m i -±-=24--m i . 依题意|||24|6-=-=m i αβ.解方程，得13m =.综上所述，5m =-或13m =.【点睛】本小题主要考查在复数范围内求一元二次方程的根，属于中档题.12．方程2236(1)10x m x m --++=的两个虚根的模之和为2，求实数m 的值. 2【分析】设1x ，2x 是方程的两个根，计算∆<0得到353522-+<<m ，计算11x =，代入数据计算得到答案.【详解】设1x ，2x 是方程的两个根，因为方程有两个虚根，∴∆<0，即()2236(1)4310--⨯+<m m ，化简得2310-+<m m ， 解不等式得353522+<<m ， ∵122x x +=，且12x x =，∴11x =111=x x ，2113+=m . ∴22m =，∴2m =±，检验取2m .【点睛】本题考查了方程的虚根，意在考查学生的计算能力和应用能力.13．设1x ，2x 是方程22230()++-=∈x ax a a a R 的两根，求12x x +（用含a 的解析式表示）.【答案】()21223(18)28(01)2(80)a a a a a x x a a a a ⎧≥≤-⎪++=≤<--<<⎩或 【分析】根据判别式讨论方程根的情况，若0∆≥，再对两实根的符号讨论，结合根与系数关系，即可得出结论；若∆<0，方程两根为共轭虚数，利用模的关系，结合根与系数关系，即可求出结论.【详解】（1）当方程有实根时，2298()(8)0a a a a a ∆=--=+≥，得0a ≥或8a ≤-，若2120x x a a =-≥，得1a ≥或0a ≤.∴当1a ≥或8a ≤-时，12,x x 同号，121232a x x x x ++==； 当01a ≤<时，12,x x 异号， ()221212121284a a x x x x x x x x -++==+-= . （2）当方程有虚根时，(8)a a ∆=+<0，得80a -<<. ∴1211112222+===x x x x x x x ()22=-a a .综上：()21223(18)28(01)2(80)a a a a a x x a a a a ⎧≥≤-⎪++=≤<--<<⎩或 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，以及根与系数关系的应用，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于中档题.14．若1z ，2z 是实系数一元二次方程的两个虚根，12(3)+⋅=a i z ω||2ω≤. 求：（1）实数a 的取值范围；（2）|(4)|-+a ai 的最大值.【答案】（1）11a -≤≤；（226【分析】（1）根据实系数方程的两个虚数根互为共轭复数得其模相等，利用模的性质可得a 的范围； （2）求出|(4)|-+a ai ，结合二次函数性质可得结论．【详解】（1）1z ，2z 是实系数一元二次方程的两个虚根，∴12=z z ，1122|(3)|(3)||+⋅+⋅==a i z a i z z z ω2||2a =≤，所以||1a ≤； （2）222|(4)|(4)2(2)8-+=-+=-+a ai a a a 11a -≤≤上单调递减，所以当1a =-时取到最大26【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的性质，在复数乘除法运算中利用模的性质求模可以更加简便．1212z z z z =，1122z z z z =．。

复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算【课前预习】 一、知识梳理1.复数的模的几何意义：复数),(R b a bi a z ∈+=的模22||b a z +=，它的几何意义是 .2.复数减法的模的几何意义：12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈， 在复平面上对应的向量分别是12,OZ OZ，122112||||||z z Z Z Z Z -===，所以复数12,z z 在复平面上两点间的距离就是： .3.常见几何图形的复数表达式：复数1z 、2z 为定值，且21z z ≠，12,z z 在复平面上所应的点分别是12,Z Z(1)线段21Z Z 的垂直平分线方程： ； (2)以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程： ；(3)以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为)0(2>a a 的椭圆方程： ， 其中a z z 2||021<-<；(4)以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为)0(2>a a 的双曲线方程： ，其中a z z 2||21>-.4.一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠(1)0∆>⇔方程有两个不相等的实数根 ; (2)0∆=⇔方程有两个不相等的实数根 ; (3) 0∆<⇔方程有两个共轭虚根 .注:①实系数一元二次方程的根只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根; ②解实系数一元二次方程,首先要判断∆的符号,以确定根是实数还是虚数，选用不同的求根公式.5.实系数一元二次方程根与系数的关系:方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠的两根为12,x x C ∈,则1212x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(*)注:①12,x x R ∈时(*)式成立,12,x x 为虚数时(*)式也成立;②若1x 为虚数,则21x x =,且21211212Re ;||b c x x x x x x a a+==-==6.复数的开方运算(1)复数的平方根如果复数a bi +和(,,,)c di a b c d R +∈满足: ,称a bi +是c di +的一个平方根.(2)复数的立方根若复数12,z z 满足:312z z =,则称1z 是2z 的一个立方根.1的立方根是21,,ωω.其中ω= ，具有性质3221,,10ωωωωω==++=.二、基础练习1.(1)已知||1z =，||z i -的最大值为 ． (2)已知复数z 满足|1|1z -=,那么z 的轨迹是 ．（用文字描述） 2.(1)在复数集内,方程2230x x ++=的解集为 . (2)在复数集内分解因式:223x x -+(3)若实系数一元二次方程的根为1x =则这个方程为( ) A. 2220x x -+= B.2240x x -+= C.2220x x ++= D.2240x x ++= 3.(1)若32i +是方程220(,)x bx c b c R ++=∈的一个根,则c 等于 .(2)方程22810()x x t t R -++=∈,则t = .4.512i +的平方根为 .5.设ω是方程210x x ++=的根,则231001ωωωω+++++= .6.(1)方程42560x x --=在复数集内的根的个数为( ) A.2 B.3 C. 4 D.5(2)“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.(1)若复数z 满足|3|z +=||z 的最大值是________，最小值是_______．(2)若复数z 满足||||2z i z i ++-=，则|1|z i ++的最大值是_______，最小值是________． (3)集合{||1|1,},{|||||,}M z z z C P z z i z i z C =+=∈=+=-∈，则M P = ．8.方程2236(1)10x m x m --++=的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数m 的值为__________.【例题解析】例1.在复数集中解关于x 的方程：22(1)2340;(2)40x x x mx ++=++=．()m ∈R例2.已知方程012=+-px x （R p ∈）的两根为21x x ，，若1||21=-x x ， 求实数p 的值.例3.已知t R ∈且关于x 的方程220x x t ++=的两个根分别为,αβ，求||||αβ+．例4.已知关于x 的方程2(12)(31)0x i x m i ++--=有实根，求纯虚数m 的值.例5.已知两个复数集合},,2|{},2|2||{11R b A z b iz z z B z z A ∈∈+==≤-=。

学习教课资源店您身旁教与学资源专家！13.6（1）实系数一元二次方程上海市新中高级中学陶志诚一、教课内容剖析本节内容是在前方学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推行和完美.为了实质应用和数学自己发展的需要，数的观点需要再一次扩大——由实数扩大到了复数，解决了负数开平方的问题。

那么实系数一元二次方程 a x2b x c 0 ，当b24ac 0 时方程在复数集中解的状况相同需要进一步研究. 所以，本节课主假如探讨实系数一元二次方程在复数集中解的状况和在复数范围内怎样对二次三项式进行因式分解等问题 .二、教课目的设计理解实系数一元二次方程在复数集中解的状况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用 .三、教课要点及难点在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解.四、教课器具准备电脑、实物投影仪五、教课流程设计学习教课资源店您身旁教与学资源专家！复习引入韦达求 根实系数一元二定理公式运用与深入 (例题分析、稳固练习 )讲堂小结并部署作业六、教课过程设计（一）复习引入1. 初中学习了一元二次方程ax 2 bx c 0 (a 、 b 、c R 且 a 0) 的求根公式，我们回首一下：2当b 24ac 0 时，方程有两个实数根： xbb4ac2a2a2. 上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道 -1 的平方根是 : i .设问①： 一元二次方程 x 21 0在复数范围内有没有解？设问②： 在复数范围内怎样解一元二次方程 x 2x 1 0 ？[ 说明 ] 设问①学生能够依据“复数的平方根”知， x 即为 -1 的平方根：i ；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程.（二）讲解新课1 、实系数一元二次方程在复数集C 中解的状况：设一元二次方程ax2bx c 0(a 、b 、cR 且a 0) .由于 a 0 ，所以原方程可变形为x 2 b xc ，aa配方得学习教课资源店您身旁教与学资源专家！( x b )2( b )2 c ，2a2a a即( x b )2b24ac .2a4a2（ 1）当b24ac0 时，原方程有两个不相等的实数根xb b24ac2a ；2a （ 2）当b24ac0 时，原方程有两个相等的实数根xb；2a（ 3）当b24ac0时， b24ac0 ，4a2由上一堂课的教课内容知，b24ac的平方根为4a2即 x b4ac b 2i ，2a2a此时原方程有两个不相等的虚数根4ac b22ai ，x b4ac b2i .2a2a（ x b4ac b2i 为一对共轭虚数根）2a2a[ 说明 ] 实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当0 时，有两个实根；当0 时，有一对共轭虚根 .设问③：若 4 3i 是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？为何？回到引入部分设问②：在复数范围内解一元二次方程x2x 1 0 .（x13i ，即为上节课学习过的）例 1（ 1）在复数集中解方程：3x2x 2 0；（ 2）在复数集中解对于x 的方程：x2ax 4 0(a R) .解：（ 1）由于△ =1 4 3 2230 ，所以方程3x2x 2 0的解为x1123i ， x2123i .6666（2）由于△ =16- a2，所以当△ >0，即a4或a 4 时，原方程的解为x1a a216， x2a a216.22当△ =0，即a4时，若 a4，则原方程的解为x1x2 2 ；若 a 4 ，则原方程的解为x1 x22.当△ <0，即4a 4 时，原方程的解为x a16 a2i , x2a16 a2i .12222提示学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑△的正负.[ 说明 ] 例 1(2) 需分类议论，要求较高，建议采用，也能够换成课本上的例题1（ P91）例 2已知一元二次方程x2mx n0(m、 n R) ，试确立一组m、n 的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程.[ 说明 ] 例 2 属于开放性问题，比较简单下手，能够让基础不理想的同学试试回答，增强互动.既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式a x2 b x (c、a 、b c 且R0a)在复数范围内总能够分解成两个一次因式的乘积.若方程 ax2bx c0的两个解分别为x1、2，则xax2bx c a( x x1)(x x2 ) .例 3在复数集中分解因式：（ 1） x2x 2 ； （ 2） 2x 24x 5.解：（ 1） x 2x 2= ( x17i)(x 17i) .22（ 2）（见课本 P91）提示学生注意：分解二次三项式ax 2 bx c 时，应提取二次项的系数 a .2 、实系数一元二次方程中根与系数的关系对于实系数一元二次方程ax 2 bx c 0 ，当其有实数根时， 我们在初中已经学习过x 1 x 2bx 2c了根与系数的关系：， x 1a （即韦达定理） .a设问④： 实系数一元二次方程有虚数根时，能否也知足根与系数关系？利 用 求 根 公 式 x 1a 16 a 2 i,x 2a 16 a 2 i 容 易 验 证222 2x 1 x 2b x 2c， x 1a .a例 4 已知 3i2 是对于 x 的方程 2x 2px q 0 的一个根，务实数p 、 q 的值 .解：（见课本 P91 例 2）（三）稳固练习见课本 P91 练习 （ 1）； P92 练习 （2） T1.2.3.[ 说明 ] 以上练习能够依据时间选择一部分在讲堂上达成，其他可作为课后练习.（四）讲堂小结本节课主要议论了实系数一元二次方程解的状况， 知道了在复数集中解实系数一元二次方程和在复数范围内对二次三项式进行因式分解，表现了分类议论的数学思想.（五）课后作业1．书面作业：练习册P55 习题 13．6 A 组 T1.2.3.4.5.2．思虑题：（增补题及备选题）（ 1）在复数集中分解因式： x 4 16.（ 2）方程 z25| z| 60 在复数集中解的个数为（）（ 3）在复数范围内解方程z2z)i 3i为虚数单位 ).( z2(i i参照答案：（ 1）( x 2)(x2)( x2i)( x2i )（ 2）C（ 3）原方程化简为z 2(z z)i1i ,设 z=x+yi(x 、y∈R), 代入上述方程得x 2+y2+2xi=1-i,22且 2x=-1,1∴x+y =1解得 x=-2且y=±3,2∴原方程的解是z=- 1±3i. 22[ 说明 ] 增补的思虑题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．七、教课方案说明本节课由复习引入，带着问题，利用负数的开平方，展开本节课的研究.例题设计主假如为了表现以下三个问题：（ 1）在复数集中解实系数一元二次方程；（2）在复数范围内对二次三项式进行因式分解；（ 3 ）实系数一元二次方程有虚数根时，根与系数关系的初步应用.。

复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算（教师版）（正式版）【课前预习】一、知识梳理1.复数的模的几何意义：复数),(R b a bi a z ∈+=的模22||b a z +=，它的几何意义是点),(b a Z 到原点)0,0(O 的距离。

2.复数减法的模的几何意义：12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈， 在复平面上对应的向量分别是12,OZ OZ，122112||||||z z Z Z Z Z -== ，所以复数12,z z 在复平面上两点间的距离就是：12||z z -3.常见几何图形的复数表达式：复数1z 、2z 为定值，且21z z ≠，12,z z 在复平面上所应的点分别是12,Z Z(1)线段21Z Z 的垂直平分线方程：||||21z z z z -=-；(2)以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：r z z =-||1；(3)以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为)0(2>a a 的椭圆方程：a z z z z 2||||21=-+-，其中a z z 2||021<-<；(4)以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为)0(2>a a 的双曲线方程：a z z z z 2||||||21=---，其中a z z 2||21>-。

4.一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠ (1)0∆>⇔方程有两个不相等的实数根1,2x =(2) 0∆=⇔方程有两个不相等的实数根1,22b x a-=; (3) 0∆<⇔方程有两个共轭虚根1,222b x a a=-±. 注:①实系数一元二次方程的根只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根;②解实系数一元二次方程,首先要判断∆的符号,以确定根是实数还是虚数，选用不同的求根公式.5.实系数一元二次方程根与系数的关系:设方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠的两根为12,x x C ∈,则1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(*) 注:①12,x x R ∈时(*)式成立,12,x x 为虚数时(*)式也成立;②若1x 为虚数,则21x x =,且21211212Re ;||b c x x x x x x a a+==-== 6.复数的开方运算(1)复数的平方根如果复数a bi +和(,,,)c di a b c d R +∈满足:2()a bi c di +=+,称a bi +是c di +的一个平方根.(2)复数的立方根若复数12,z z 满足:312z z =,则称1z 是2z 的一个立方根.1的立方根是21,,ωω.其中ω=12-，具有性质3221,,10ωωωωω==++=. 二、基础练习 1.(1)已知||1z =，||z i -的最大值为 ．(2)已知复数z 满足|1|1z -=,那么z 的轨迹是 ．（用文字描述）以复数1z =所对点(1,0)为圆心，1为半径的圆2.(1)在复数集内,方程2230x x ++=的解集为_____{11-+-_______.(2)在复数集内分解因式:223x x -+=____2(x x ____. (3)若实系数一元二次方程的根为1211x x ==,则这个方程为( B ) A. 2220x x -+= B.2240x x -+= C.2220x x ++= D.2240x x ++=3.(1)若32i +是方程220(,)x bx c b c R ++=∈的一个根,则c 等于___26___.(2)方程22810()x x t t R -++=∈则t =____9______.4.512i +的平方根为_(32)i ±+__.5.设ω是方程210x x ++=的根,则231001ωωωω+++++=__12__. 6.(1)方程42560x x --=在复数集内的根的个数为( C )A.2B.3C. 4D.5(2)“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的( A )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.(1)若复数z满足|3|z +=||z 的最大值是___________，最小值是___________．(2)若复数z 满足||||2z i z i ++-=，则|1|z i ++的最大值是_______，最小值是________．(3)集合{||1|1,},{|||||,}M z z z C P z z i z i z C =+=∈=+=-∈，则M P = _______． 解：(1) |3|z +=，即|(3z --表示以点(A -为圆心，半径的圆．||z 表示圆上的点Z 与原点O之间的距离，||OA =所以所求最大值是(2) ||||2z i z i ++-=表示线段,(0,1),(0,1),|1|BC B C z i -++表示线段BC 上的点Z 到点(1,1)D --1．(3)集合M 表示以点(1,0)E -为圆心，以1为半径的圆，集合P 表示实轴，实轴与圆交于点(0，0)和(-2，0)，则M P = {0,2}-．8.方程2236(1)10x m x m --++=的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数m 的值为【例题解析】例1. 在复数集中解关于x 的方程： 22(1)2340;(2)40x x x mx ++=++=．)(R m ∈分析 解实系数一元二次方程要首先计算判别式，以确定根的情况．2解 (1)24230b ac ∆=-=-< ，所以该方程有一对共轭虚根，所以方程的根为：1233,44x x =-+=-． (2)216m ∆=-， 当0∆>时，即4m >或4m <-时，1,2x = 当0∆=时，即4m =±，若4,2m x ==-；若4,2m x =-=；当0∆<时，即44m -<<时，1,22m x =-．例2. 已知方程012=+-px x （R p ∈）的两根为21x x ，，若1||21=-x x ，求实数p 的值.解：（1）当042≥-=p ∆，即22-≤≥p p 或时，24,242221-+=--=p p x p p x 则4||221-=-p x x ，由5142±=⇒=-p p （2）当042<-=p ∆，即22<<-p 时，24,242221i p p x i p p x -+=--= 则2214||p x x -=-，由3142±=⇒=-p p 综上35±±=或p 。

13.6 实系数一元二次方程（1）一、教学内容分析本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善。

为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。

那么实系数一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac ∆=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究。

因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题。

二、教学目标1.理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；2.会在复数集中解实系数一元二次方程；3.会在复数范围内对二次三项式进行因式分解。

三、教学重点及难点重点：在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解； 难点：系数含字母的实系数一元二次方程根的讨论，培养学生分类讨论的数学思想。

四、教学过程设计（一）复习引入问题1：在初中，怎样解一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠？有哪几种方法？其中，求根公式是怎么表述的？你能推导吗？前提条件是什么？ 因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a +=-， 配方得22()()22b b c x a a a +=-，即2224()24b b ac x a a-+=，当240b ac ∆=->时，原方程有两个不相等的实数根22b x a a =-±；当240bac ∆=-=时，原方程有两个相等的实数根2b x a =-； 当240b ac ∆=-<时，原方程没有实数根。

问题2：在复数集中，负实数a 的平方根是什么？ 问题3：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？说明：问题1让学生明白初中时学的求根公式须满足0∆≥这一前提，从而自然引出0∆<的情况；问题2为后面实系数一元二次方程当0∆<时负数开平方作铺垫；问题3是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程。

复数一、知识点梳理： 1、i 的周期性：44n+14n+24n+34ni =1，所以，i =i, i =-1, i =-i, i =1 n Z4n 4n 1 4n 2 4n 3IIIiC a bi | a,b R 叫做复数集。

3、 复数相等：a bi cdi a c 且b=d ； a bi 0 a 0且b=0实数(b=0)4、 复数的分类：复数Za bi 七—一般虚数(b 0,a 0)虚数(b 0)纯虚数(b 0,a 0)虚数不能比较大小，只有等与不等。

即使是3 i,6 2i 也没有大小。

uu uu r ------- r5、 复数的模：若向量OZ 表示复数 乙则称OZ 的模r 为复数z 的模，z |a bi | ,a 2 b 2 ；积或商的模可利用模的性质(1) z 1 L z nZ 1 Z 2 L Z n ,(2)引Z 2Z 2Z 26、 复数的几何意义：复数z a bi a,b R一一对应复平面内的点Z(a,b)一一对应uu复数Z a bi a,b R平面向量OZ , 7y 轴叫做虚轴.，实轴上的点都表示实数;除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数&复数代数形式的加减运算 复数 Z 1 与 Z 2 的和：z 1+z 2=(a +bi )+( c +di )=( a +c )+( b +d ) i . a, b, c, d R 复数 Z 1 与 Z 2 的差：z 1- z 2=( a +bi )-( c +di )=( a - c )+( b - d ) i . a, b, c, d R 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义： 复数乙=a +bi ，Z 2=c +di a,b,c,d R ； OZ = OZ 1 +OZ 2 =(a ，b )+( c ,d )=( a +c , b +d ) = (a +c )+( b +d ) iuu u uuur ujur复数减法的几何意义：复数Z 1-Z 2的差(a - c )+( b - d )i 对应•由于Z 2Z 1 OZ 1 OZ 2,两个复数的差Z — Z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 9.特别地，z ABz B —Z A , z AB AB z B z A 为两点间的距离。

章节知识清单一、理解复数的有关概念（1）虚数单位i :它的平方等于-1，即21i =-. （2）复数的定义与表示：形如(,)z a bi a b R =+∈的数叫复数，a 叫复数的实部，记作Rez ；b 叫复数的虚部， 记作Imz ；全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式.（3）复数的分类以及复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)ab ia b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)+∈ab i a b R 是实数a ，； 当0b ≠时，复数z a b i =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数； 当且仅当0a b ==时，z 就是实数0. (0,0)(,)(0,0)z a bi a b a b R a b ⎧=+⎪=≠⎧⎨≠∈⎨⎪≠≠⎩⎩实数（b=0）复数纯虚数 虚数（b 0）非纯虚数 （4）两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等. 这就是说，如果a 、b 、c 、d R ∈，那么ab i c d i +=+⇔,a c b d ==（5）复数集与其它数集之间的关系：C R Q Z N ⊆⊆⊆⊆.（6）共轭复数：实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数，也称这两个复数互相共轭.复数z 的共轭复数用z 表示，也就是当z a b i =+时，z a bi =-.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.（7）复数的模：复数z a b i =+在复平面内所对应的点(,)Z a b 到坐标原点的距离叫做复数z 的模，记作||z .由模的定义，可知||||z ab i =+. 二、理解复数的有关运算及性质（1）复数的四则运算：设12,(,,,)z a b i z c d i a b c d R =+=+∈，则 ①加减：12()()z z a c b d i ±=±+±； ②乘法：12()()z z a c b da d b c i ⋅=-++； ③除法：1122222222z z z a c b d b c a d i z c d c d z z ⋅+-==+⋅++⋅. （2）共轭复数的运算：①1212z z z z ±=±； ②1212z z z z ⋅=⋅ ； ③1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ④()()n n z z n =∈Z ；⑤z z =； ⑥z z z ∈⇔=R ； ⑦若z 为纯虚数z z ⇔=-；⑧22z z z z ⋅==. （3）模的运算：①z z = ； ②22z z z z ⋅==； ③1212z z z z =⋅； ④11222(0)z z z z z =≠； ⑤nnz z =（当z ≠0时，n ∈Z ）； *⑥121212z z z z z z -±+≤≤；⑦22221212122()z z z z z z ++-=+；⑧非零复数1i z a b =+，2i()z c d a b c d =+∈R 、、、，对应向量1212120OZ OZ ac bd z z z z ⇔+=⇔-=+⊥（矩形的对角线相等）.向量1OZ ，2OZ ）关于（4） 重要结论：①对复数12,z z 和自然数m n 、有1212,(),()m n m n m n mn nn n z z z z z z z z z +⋅==⋅=⋅；② i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ；114=+n i ，124-=+n i ，i in -=+34，14=n i ； ③ 2(1)2i i ±=±，11ii i±=±；④ 22(i)(i)()i i(i)a b a b a b a b b a +-=++=-，； ⑤ 1的立方根是112，-； 1-的立方根是112-，. 三、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）．4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根 设复数1322i ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=， ③21322i ωω==--． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）．7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=四、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根242b b aca-±-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； 图1图2（3）0∆<⇔在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．。