中考数学知识点过关培优训练：切线长定理(圆)(解析版)

切线及切线长定理（解析版）【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1)相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．这条直线叫做圆的割线.(2)相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3)相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线l 的距离为 d，那么，（1）d＜r直线l 与⊙O相交；直线l 与⊙O相切；直线l 与⊙O相离.要点二、切线的性质和判定定理1．切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.要点诠释：切线的性质中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线判定：过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：（1）切线的判定中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.（2）切线证明的两种基本类型：①有交点，连半径，证垂直；②无交点，做垂直，证半径。

要点三、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.【同步训练】类型一、切线的判定与性质1如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交 BC 于D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．求证：AC 是⊙D 的切线．【答案与解析】证明：过点 D 作DF⊥AC 于 F．∵∠B＝90°，∴ DB⊥AB．∵ AD 平分∠BAC，∴ DF＝BD．∴ AC 与⊙D 相切．2如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 交AB 于D，E 为BC 中点. 求证：DE 是⊙O 切线.【答案与解析】证明：连结 OD、CD，则: OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵ AC 是圆 O 的直径，∴ ∠ADC=90°.∴ △CDB 是直角三角形.∵ E 是 BC 的中点，∴ DE=EB=EC，∴ ∠ECD=∠EDC。

备考2024年中考数学二轮复习-图形的性质_圆_切线长定理-综合题专训及答案切线长定理综合题专训1、(2018灌云.中考模拟) 如图，D为上一点，点C在直径BA的延长线上，且．（1）判断直线CD与的位置关系，并说明理由．（2）过点B作的切线交CD的延长线于点E，若，，求的半径长．2、(2019.中考模拟) 如图1所示，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．（1）当∠DEF＝45°时，求证：点G为线段EF的中点；（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF＝时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．3、(2019.中考模拟) 如图，已知直线y＝﹣m（x﹣4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．（1）证明：∠MCN＝90°；（2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM＝1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．4、(2019.中考模拟) 如图1，等腰直角三角形ABC的腰长是2，∠ABC=90度．以AB为直径作半圆O，M是BC上一动点（不运动至B、C两点），过点M引半圆为O的切线，切点是P，过点A作AB的垂线AN，交切线MP于点N，AC与ON、MN分别交于点E、F．（1）证明：△MON是直角三角形；（2）当BM= 时，求的值（结果不取近似值）；（3）当BM= 时（图2），判断△AEO与△CMF是否相似？如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由．5、(2014杭州.中考真卷) 在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=﹣ x，y= x的图象分别是直线l1， l2，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l1， l2中的两条相切．例如（，1）是其中一个圆P的圆心坐标．（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．6、(2018方城.中考模拟) 如图，已知⊙O与等腰△ABD的两腰AB、AD分别相切于点E、F，连接AO并延长到点C，使OC=AO，连接CD、CB．（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若AB=4cm，填空：①当⊙O的半径为cm时，△ABD为等边三角形；②当⊙O的半径为cm时，四边形ABCD为正方形．7、(2019黄冈.中考真卷) 如图，在Rt 中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙0交AB于点D，过点D作⊙0的切线交BC于点E，连接OE.（1）求证：是等腰三角形；（2）求证：8、(2018襄阳.中考真卷) 如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN 于点D，C，且CB=CE．（1）求证：DA=DE；（2）若AB=6，CD=4 ，求图中阴影部分的面积．9、(2018游仙.中考模拟) 如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长；（2）求证：FQ=BQ10、(2019昆明.中考模拟) 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求Rt△CED的内切圆半径的取值范围.11、(2019莲湖.中考模拟) 如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°.（1）∠APB=；（2）当OA=2时，AP=.12、(2020哈尔滨.中考模拟) CA、CB为⊙O的切线，切点分别为点A、B，延长AO交⊙O于点D，连接AB、CO，AB与CO交于点M，（1）如图1，求证：∠ACB=2∠BAO；（2）如图2，连接BD，求证：BD=2OM；（3）如图3，在（2）的条件下，F为OD上一点，连接FM并延长交AC于点H，连接BH，若DF=2OF，HM=3，tan∠ACB= ，求线段BH的长。

第三章 圆第七节 切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（ ）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。

中考复习专题——切线长定理与弦切角定理【知识要点】1.切线长定理：过圆外一点P 做该圆的两条切线，切点为A 、B 。

AB 交PO 于点C ，则有如下结论： （1）PA=PB（2）PO ⊥AB,且PO 平分AB（3）APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠2.弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等【典型例题】【例1】 如图1，AB ， AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B 、 C 、 D 是优弧BC 上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.图1 图2 图3 举一反三：1.如图2，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为 AB 上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.2.如图3，PA ，PB 切⊙ O 于 A ， B 两点， AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ×CD .C BO A DC BA D POPBAO举一反三：1.如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为A ．1 个；B ．2个；C ．4个；D ．5个．【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．举一反三：1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．2．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．3．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．4.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2 cm，AD=4 cm．(1)求⊙O的直径BE的长；(2)计算△ABC的面积．【课后作业】1．如图1，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=︒，则DBE ∠的大小为( )A. 20︒B. 40︒C. 60︒D. 70︒图1 图2 图32.如图2，ABC ∆是圆的内接三角形，PA 切圆于点A ，PB 交圆于点D .若60ABC ∠=，1PD =，8BD =，则PAC ∠=________,PA =________.3.如图3，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ， ∠PCB ＝25°，则∠ADC 为A.105°B.115°C.120°D.125°4.如图4，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为 A.2 B.3 C.23图4 图5 图65.如图5，AB 是⊙ O 的直径，AC 、BC 是⊙ O 的弦，PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350，那么∠ACP 等于A. 350B. 550C. 650D. 12506.如图6，在⊙ O 中，AB 是弦，AC 是⊙ O 的切线，A 是切点，过 B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙ O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD ，则∠BAD=A. 300B. 450C. 500D. 6007．已知：如图7－154，⊙O 的半径OA ⊥OB ，过A 点的直线交OB 于P ，交⊙O 于Q ，过Q 引⊙O 的切线交OB 延长线于C ，且PQ=QC ．求∠A 的度数．CDE OAFB PO ACBD EO A C B D A P O C O DB C D8．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．9.已知：如图，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF ⊥AE于F．求证：（1）△ABE为等腰三角形；（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．。

《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABCC．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A．B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。

2016中考数学备考资料：圆的切线几何公式定理_考点解析
学习是一个循序渐进的过程，需要同学们不断的学习和努力。

查字典数学网提供了2016中考数学备考资料，希望能帮助大家更好的复习所学的知识。

经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

圆的切线
垂直于过切点的半径;经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的性质：(1)经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

切割线定理圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点，则有pC^2=pApB
割线定理与切割线定理相似两条割线交于p点，割线m交圆于A1 B1两点，割线n交圆于A2 B2两点
则pA1pB1=pA2pB2
圆是轴对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

这就是我们为大家准备的2016中考数学备考资料的内容，希望符合大家的实际需要。

切线长定理【知识要点】 一、切线长定理： 1．切线长概念：在经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，是圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 3．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠． 4．两个结论：圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．【典型例题】例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝，40APB ∠=︒， 求：①⊙O 的半径；②EOD ∠的度数．例2 如图，⊙O 分别切ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===． （1）求AD 、BE 、CF 的长；P（2）当90C ∠=︒，求内切圆半径r ．例3 如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，AGB:AMB=1:2，AP=6，试求AB 、OA 、OP 、OC 、PG 的长度。

例4 如图，已知经过半径为6cm 的⊙O 的直径AB 的两端作该圆的切线AC 和BD ，再过⊙O 上一点P 作切线与AC 、BD 分别交于C 、D 两点，四边形ABDC 的面积为902cm ，求四边形ABDC 各边的长。

例5．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 、BC 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、E,DO 交AE 于F ，OC 交BE 于G ．求证：（1）CO DO ⊥（2）四边形EFOG 是矩形BAPGCOBM·ABC PDO·AODBCEFG【课堂训练】1．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，OP 与⊙O 相交于点M ,以下结论，错误的是（ ） A 、OP AB ⊥ B、AM=DM C 、APO BPO ∠=∠ D 、M 是PAB ∆的外心2．若⊙O 的切线长和半径相等，则两条切线所夹的角的度数为：（ ） A 、30︒ B 、45︒ C 、60︒ D 、90︒ 3．圆的外切平行四形一定是 形．4．圆外切梯形的周长为24cm ，则它的中位线的长是 ㎝．5．直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝，则此直角三角形的外接圆半径为 ㎝， 内切圆半径为 ㎝．6．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G ，且AB ∥CD ，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠= ，⊙O 的半径= ㎝，BE+CG= ㎝．7．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ，若2,OM cm AB PB ==， 则⊙O 的半径是 ㎝．8．如图，四边形ABCD 是直角梯形，以垂直于底的腰AB 为直径的⊙O 与腰CD 相切于E ，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD 的周长为38㎝，求梯形的上、下底AD 、BC 的长．C课后作业姓名日期完成时间家长签名1．如图，Rt ABC∆中，90BAC∠=︒，以AB为直径的⊙O交BC于点D，切线DE交AC于E．求证：12DE AC=．2．如图，AF是⊙O直径，CB切⊙O于B，CE⊥AF于E，交AB于D，求证：CB=CD．3．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F．（1）求证：2AB AE BC=⋅；（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的长．·AODBE·AODB CEF。

1. 2. 3. 4. 中考数学知识点过关培优训练：切线长定理•选择题 如图，是用一把直尺、 含60°角的直角三角板和光盘摆放而成, 点，点B 为光盘与直尺唯一交点，若 AB= 3,则光盘的直径是（ C. 6 点A 为60°角与直尺交D. 3如图，AB 是O O 的直径，点 C 为O O 外一点，CA CD 是O 0的切线, OA. 32 ，则/ DBA 勺大小是（B. 48°C. 60° PA PB 切O 0于点 A B, PA= 10, CD 切O O 于点 E , 如图, C. 20 交PA A D 为」切点，连接D. 66°PB 于 C D 两点，则D. 22PB CD 分别切O O 于A 、B E, CD 交PA PB 于C D 两点，若/ P = 40°，则如图，PAA.50°B. 62C. 66D.70°5.如图，AB AC BD是O O的切线，切点分别是P、C D.若AB= 5, AC= 3, 则BD的长是A. 4B. 3C. 2D. 16.已知O Oi和O Q外切于M AB是O O和O Q的外公切线, A, B为切点，若MA= 4cm MB=3cm贝y M到AB的距离是（A. cm2B.匕cm5 C.cm D.4825cm7.如图，P为O O外一点，PA PB分别切O B,CD切O O于点E,分别交PA PB于A. 5B. 7C.D.10&如图，直线AB CD BC分别与O O相切于E F、G且AB// CD 若OB= 6cm OC= 8cmB. 12C. 11D. 109.如图，△ ABC是一张周长为17 cm的三角形的纸片, BC= 5cm O O是它的内切圆，小明准备用剪刀在O O的右侧沿着与O O相切的任意一条直线MN剪下△AMN则剪下的三角形的周长为（B. 7cmD.随直线MN的变化而变化10.如图，PA PB 切于A , B 两点，CD 切O O 于点E ,交PAPB 于C D.若O O 的半径为1, △ PCD 勺周长等于2二，则线段AB 的长是（ ）.填空题11.如图，PA PB DE 分别切O O 于A B 、C, O O 的半径为6cm , OP 的长为10cm,则厶PDE12.如图，P 为O O 外一点，PA PB 分别切O O 于A B, CD 切O O 于点E,分别交 PA PB13.如图，四边形 ABCD 是O O 的外切四边形，且 AB= 10, CD= 12,则四边形 ABC 啲周长C. 6cmC. 2 -A. 12cm14•如图，PA PB切O O于A B,点C在上, DE切O O于C,交PA PB于D E已知C D,已知△15.如图，PA PB分别切圆O于A B,并与圆O的切线，分别相交于周长等于10cm贝U PA= _______ cmN、P,且16.如图，四边形ABC［的边AB BC CD DA和O O分别切于L、MCD= 5cm,则四边形ABCC周长为_______ cm18.如图，已知以直角梯形ABCD勺腰CD为直径的半圆O与梯形上底均相切，切点分别是D, C, E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5，则该梯形的周长19.已知：PA PB EF分别切O O于A B、D,若PA= 15cm那么△PEF周长是cm.若/ P= 50°,那么/ EOF= ________ .20.如图所示，O D的半径为3, A是圆D外一点且AD= 5, AB, AC分别与O D相切于点B,C. G是劣弧BC上任意一点，过G作O D的切线，交AB于点E,交AC于点F.(1 )△ AEF的周长是______ ;(2)当G为线段AD与O D的交点时」，连结CD则五边形DBEFC的面积是__________ .三•解答题21.如图，PA PB是O O的切线，A、B为切点，AC是O O的直径，/ BAC= 20°，求/ P的CD切O O于点E △ PCD的周长为12,/ AP申60° .求:(1) PA的长;(2)Z COD勺度数.23.如图，AB为O O直径，PA PC分别与O O相切于点A C, PQL PA PQ交OC的延长线于点Q.(1)求证：OQ= PQ(2 )连BC并延长交PQ于点D, PA= AB,且CQ= 6，求BD的长.24.如图，/ APB= 52°, PA PB DE都为O O的切线，切点分别为A、B、F,且PA= 6.(1 )求厶PDE的周长；(2)求/ DOE勺度数.25.已知PA PB分别切O O于A、B, E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D.(1 )若PA= 6,求厶PCD勺周长.(2)若/ P= 50° 求/ DOC26•如图所示，PA PB 是O O 的切线，切点分别是 A B, Q 为O O 上一点,cQ 点作O O 的参考答案1解：设三角板与圆的切点为C,连接OA OBAB由，切线长定理知AB= AC= 3, 0A平分/ BAC•••/ OAB= 60°,在Rt △ ABO中, OB= AB an / OAB= 3 二•光盘的直径为 6 _，故选：A.2 .解：T CA CD是O O的切线，•••CA= CD•••/ ACD= 48°,• / CAD=/ CDA= 66°,•••CALAB AB是直径，•••/ ADB=Z CAB= 90°,•••/ DBA/ DA申90。

专题05 切线的性质与判定+切线长定理考点类型知识串讲（一）切线的判定与性质（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；（3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直（二）切线长定理（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．（三）三角形的内切圆（1）概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形，（2）普通三角形与内切圆的关系：r为内切圆的半径S△ABC=1×r×（AB+BC+AC）2（3）直角三角形的三边与内切圆的关系考点训练考点1：切线的判定——连半径证垂直典例1：（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，以菱形ABCD的边AD为直径作⊙O交AB于点E，连接DB交⊙O 于点M，F是BC上的一点，且BF=BE，连接DF．(1)求证：DM=BM；(2)求证：DF是⊙O的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AM，根据AD是直径，得出∠AMD=90°，根据菱形性质得出AD=AB，根据等腰三角形性质得出DM=BM即可；（2）连接DE，根据AD是直径，得出∠AED=90°，求出∠DEB=180°−90°=90°，根据菱形的性质得出∠DBE=∠DBF，AD∥BC，证明△DBE≌△DBF(SAS)，得出∠DFB=∠DEB=90°，根据平行线的性质得出∠ADF=∠DFB=90°，得出AD⊥DF，即可证明结论．【详解】（1）证明：连接AM，如图所示：∵AD是直径，∴∠AMD=90°，∴AM⊥BD，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，∴DM=BM；（2）证明：连接DE，如图所示：∵AD是直径，∴∠AED=90°，∴∠DEB=180°−90°=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠DBE=∠DBF，AD∥BC，∵BE=BF，DB=DB，∴△DBE≌△DBF(SAS)，∴∠DFB=∠DEB=90°，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DFB=90°，∴AD⊥DF，∵AD为直径，∴DF是⊙O的切线．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，三角形全等的判定和性质，菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．【变式1】（2023·福建福州·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D为边AC上一点．(1)尺规作图：在边AB上作一点O，使得∠AOD=2∠BDO；（要求：不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，以点O为圆心，OB为半径的圆与BC交于点E，且∠AOD=∠DOE．求证：AC与⊙O相切．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）作线段BD的垂直平分线与AB的交点即为所求；（2）先说明OD为半径，再证明OD⊥AC即可．【详解】（1）如图所示，点O即为所求．（2）如图，连接OD,OE．∵∠AOD是△BOD的外角，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB．∵∠AOD=2∠BDO，∴∠OBD=∠ODB．∴OB=OD即OD为半径．∵∠AOE是△BOE的外角，∴∠AOE=∠OBE+∠OEB=∠AOD+∠DOE．∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．∵∠AOD=∠DOE，∴∠AOD=∠OBE．∴OD∥BC．∴∠ADO=∠C=90∘即OD⊥AC．∵OD为半径，∴AC与⊙O相切．【点睛】本题主要考查切线的判定和基本作图的综合应用．掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2】（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接OC，交⊙O于点E，弦AD∥OC．(1)求证：点E是BD的中点；(2)求证：CD是⊙O的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由AB是直径推出AD⊥BD，再由AD∥OC得到OC⊥BD，再由垂径定理可得DE=BE，即点E是BD的中点；（2）先证明△OCD≌△OCB(SAS)，从而∠ODC=∠OBC，由BC与⊙O相切于点B可知∠ODC=90°，从而得解．【详解】（1）证明：连接BD，∵AB是直径，∴AD⊥BD，∵AD∥OC，∴OC⊥BD，∴DE=BE，(垂径定理)即点E是BD的中点；（2）连接OD，由（1）知DE=BE，∴∠1=∠2，∵OD=OB，∠1=∠2，OC=OC，∴△OCD≌△OCB∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD是⊙O的切线．【点睛】本题考查了切线的判定和垂径定理以及圆心角、弧、弦之间的关系，注：在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弧、弦中有一组量相等，其余各组量也相等或互补．【变式3】（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，E在CA的延长线上．给出以下三个条件：①AC是⊙O的直径，②EB是⊙O的切线，③∠ABE=∠C．(1)请从上述三个条件中选两个作为已知，剩下的一个条件作为结论，组合成一个新的真命题，并给予证明；(2)在（1）的条件下，若AB=AE，求∠C的度数．【答案】(1)选择①②作为条件，③作为结论；选择①③作为条件，②作为结论；证明见解析(2)30°【分析】（1）选择①②作为条件，③作为结论：如图所示，连接OB，根据切线的性质和圆周角定理得到∠ABC=∠OBE=90°，则可得∠OBC=∠ABE，再由等边对等角得到∠C=∠OBC，由此可得∠ABE=∠C；选择①③作为条件，②作为结论：如图所示，连接OB，由圆周角定理得到∠OBC+∠OBA=90°，由等边对等角得到∠C=∠OBC，由此即可得到∠OBC=∠ABE，进一步得到∠OBE=90°，则EB是⊙O的切线；（2）证明∠ABE=∠C=∠E，再由∠ABE+∠C+∠E+∠ABC=180°进行求解即可．【详解】（1）解：选择①②作为条件，③作为结论：如图所示，连接OB，∵AC是⊙O的直径，EB是⊙O的切线，∴∠ABC=∠OBE=90°，∴∠OBC=∠ABE，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∴∠ABE=∠C；选择①③作为条件，②作为结论：如图所示，连接OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90，∴∠OBC+∠OBA=90°，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∵∠ABE=∠C；∴∠OBC=∠ABE，∴∠ABE+∠OBA=90°，即∠OBE=90°，∵OB是⊙O的半径，∴EB是⊙O的切线；（2）解：∵AB=AE，∴∠ABE=∠E，又∵∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠C=∠E，∵∠ABE+∠C+∠E+∠ABC=180°，∴3∠C+90°=180°，∴∠C=30°．【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知切线的性质与判定条件是解题的关键．考点2：切线的判定——作垂直证半径典例2：（2023·福建莆田·统考二模）（1）如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于点O，以OB为半径作⊙O．判断直线AC是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）如图2，某湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，∠ABC=90°．现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈道所在的⊙O，圆心在BC上且与AB，CD相切．求作⊙O．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）直线AC是⊙O的切线，理由见解析；（2）见解析【分析】（1）过点O作OD⊥AC与点D，利用角平分线的性质可得OB=OD，（2）延长BA，CD相交于点E，作∠BEC的平分线交BC于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可．【详解】解：（1）直线AC是⊙O的切线，理由：过点O作OD⊥AC与点D，，∵∠ABC=90°，AO平分∠BAC，∴OB=OD，∴直线AC是⊙O的切线；（2）如图所示，⊙O即为所求．．【点睛】本题考查了角平分线的性质，切线的判定等知识，掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式1】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，OD⊥AB 于D，以O为圆心、OD为半径作⊙O．求证：AC与⊙O相切．【答案】见详解【分析】过点O作OE⊥AC于点E，由题意易得∠BDO=∠CEO=90°，OB=OC，∠B=∠C，则可证△BDO≌△CEO，进而可得OD=OE，最后问题可求解．【详解】证明：过点O作OE⊥AC于点E，如图所示：∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴∠B=∠C，OB=OC，∵OD⊥AB，∴∠BDO=∠CEO=90°，∴△BDO≌△CEO(AAS)，∴OD=OE，即OE为⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．(1)求证：⊙D与AC相切；(2)若AC=5，BC=3，试求AE的长．【答案】(1)见解析(2)AE=1【分析】（1）过D作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质定理可得BD=FD即可证明：⊙D与AC相切；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求出AB的长，设圆的半径为x，利用切线长定理可求出CF=BC=3，所以AF=2，AD=AB−x，利用勾股定理建立方程求出x，进而求出AE的长．【详解】（1）证明：过D作DF⊥AC于F，∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴BD=DF，∴⊙D与AC相切；（2）解：设圆的半径为x，【答案】见解析【分析】过点O作OC 可得证．∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，在Rt△OAB中，OA=典例3：（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB=10，AD=6，则CB长（ ）A．4B．5C．6D．无法确定【答案】A【分析】利用切线的性质得出∠ADO=∠ODC，进而得出∠ADO=∠AOD，即可得出OA=6，即：OB=4，同理：BC=OB即可得出结论.【详解】解：连接OD．OC∵AD，CD是⊙O的切线，∴∠ADO=∠ODC，∵CD∥AB，∴∠ODC=∠AOD，∴∠ADO=∠AOD∴AD=OA∵AD=6，∴OA=6，∵AB=10，∴OB=4，同理可得【点睛】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是求出【变式1】（2023·福建·九年级专题练习）如图，从B，如果∠APB＝60°，PA＝6，那么弦【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，熟练运用垂径定理是本题是关键．【变式3】（2023·福建泉州30°，切线PA交OC典例5：（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C是AB上一点，若∠APB＝40°，则∠ACB的度数是（ ）【答案】A【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．【变式1】（2023·福建·模拟预测）如图，的延长线交于E．∠D与∠E的关系是（A．∠D+∠E=90°B．12【答案】C【分析】连接BC,OC，根据圆周角定理及等边对等角得出关系计算即可．则CE⊥OC，∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB∴∠D=∠ABC=∠OCB．∴2∠ABC+∠BOC=180°，∠BOC+∠E=90°．∴2∠D−∠E=90°，故选：C．【点睛】题目主要考查切线的性质及圆周角定理，等边对等角，作出辅助线，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．【变式2】（2023·福建福州·统考二模）如图，△ABC中，O是BC上一点，以O为圆心，OC长为半径作半圆与AB相切于点D．若∠BCD=20°，∠ACD=30°，则∠A的度数是（）A．75°B．80°C．85°D．90°【答案】B【分析】由切线的性质得到∠ODB=90°，由等腰三角形的性质，得到∠ODC=∠OCD=20°，由三角形外角的性质得到∠BOD=∠OCD+∠ODC=40°，由直角三角形的性质得到∠B=50°，由三角形内角和定理即可求出∠A的度数．【详解】解：连接OD，∵AB与⊙O相切于D，∴半径OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=20°，∴∠BOD=∠OCD+∠ODC=40°，∴∠B=90°−∠BOD=50°，∵∠BCD=20°，∠ACD=30°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=50°，∴∠A=180°−∠ACB−∠B=80°．故选：B．【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键．【变式3】（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C是⊙O上一点，连接BC、OC，延长OC交过点A的切线于点P，若∠P=40°，则∠ABC的度数是（ ）A．35°B．20°C．30°D．25°【答案】D【分析】根据PA是⊙O的切线，OA是⊙O的半径得∠PAO=90°，∠P=40°，即可得∠AOC=50°，根据圆周角定理即可得．【详解】解：∵PA是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴∠PAO=90°，∵∠P=40°，∴∠AOC=180°−∠P−∠PAO=180°−40°−90°=50°，典例6：（2022秋·九年级单元测试）如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，AB=18cm，BC=20cm，AC=12cm，MN切⊙O交AB于M，交BC于N，则△BMN的周长为（）A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm【答案】D【分析】利用切线长定理得到等边，再利用给出的三条边长，设未知数列方程组，计算出边长，再利用等边换边得到△BMN的周长．【详解】∵⊙O是△ABC的内切圆,AB、AC、BC是⊙O的切线，又∵MN切⊙O于点K，∴AF=MK、AE=AF、CE=CD、ND=NK、BF=BD，∴△BMN的周长为：BM+MN+BN=BM+MK+NK+BN=(BM+MF)+(BN+ND)=BF+BD设AE=AF=a，BF=BD=b，CE=CD=c，则AB=18=b+a、BC=20=b+c、AC=12=a+c，解得a=5b=13c=7，A．8B．10【答案】D【分析】如图所示，连接OB，先根据直径所对的圆周角是直角得到三角形的性质和勾股定理求出【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式2】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线分别交AB，AC于D、E两点，若△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，则BC的长为（ ）A．12B．10C．8D．6【答案】D【分析】设⊙I与DE的切点为点M，⊙I与△ABC三边的切点分别为N、G、H，根据切线的性质得到DM=DN，EM=EH，BN=BG，CH=CG，列得AD+DN+BN+AE+EH+CH+BC−(AD+DM+EM+AE)=12，求出2BC=12，即可得到答案．【详解】解：如图，设⊙I与DE的切点为点M，⊙I与△ABC三边的切点分别为N、G、H，∵⊙I为△ABC的内切圆，∴DM=DN，EM=EH，BN=BG，CH=CG，∵△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，∴AB+AC+BC−(AD+DE+AE)=12，即AD+DN+BN+AE+EH+CH+BC−(AD+DM+EM+AE)=12，∴2BC=12，∴BC=6；故选：D．【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，正确理解切线长定理是解题的关键．【变式3】（2022秋·九年级单元测试）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7B．8C．9D．16【答案】A【分析】根据切线长定理，进行线段的等量转换即可解答．【详解】解：如图，将三角形三边以及DE与圆的切点，分别标为G、I、H、F，∵⊙O是△ABC的内切圆，且DE为⊙O的切线，∴DF=DG，EF=EH，BG=BI，CH=CI，∴△ADE的周长=AD+AE+FD+FE=AD+AE+DG+EH=AG+AH=AB+AC−BG−CH=AB+AC−BC∵ △ABC 的周长为25，BC 的长是9，∴ △ADE 的周长= △ABC 的周长−2BC =25−2×9=7．故选：A ．【点睛】本题考查了切线长定理，熟练进行线段的等量转化是解题的关键．考点7：直角三角形与内切圆A ．2B ．3【答案】A【分析】根据等积法求内切圆半径，进行求解即可．【详解】解：∵∠C =90°，AC ∴AB =62+82=10，∵S △ABC =S △AOB +S △AOC +S ∴12AC ⋅BC =12AB ⋅r +12AC ⋅r ∴r =2；故选A ．A．5B【答案】D【分析】连接OD，OF，首先根据切线长定理得到连接OD，OF，∵AC、AB、CB与⊙O相切，∴BD=BE=10，CE=CFRt△ABC中，AB=BD+AD=x+10，AC=CF+AF=x=3，BC=BE+CE=13，由勾股定理得，A B2+A C2=B C2，∴(10+x)2+(x+3)2=132，∴x1=2，x2=−15（舍去），∴OD=2，故选：D．【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．考点8：一般三角形与内切圆A．1B．2【答案】A【分析】作辅助线如解析图，根据【点睛】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键【变式1】（2022春·湖北武汉设这个三角形内切圆的半径为r ，则S =12ar +12br +12cr =45，即12r (a +b +c )=45，∵三角形的三边a ，b ，c 分别为7，6，3∴12r (7+6+3)=45，同步过关一、单选题1．（2022春·重庆·九年级校联考阶段练习）△ABC 的边BC 经过圆心O ，AC 与圆相切于点A ，若∠B =20°，则∠C 的大小等于（ ）A ．50°B ．25°C ．40°D ．20°【答案】A【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质得到∠OAC=90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接OA，∵∠B=20°，∴∠AOC=2∠B=40°，∵AC与圆相切于点A，∴∠OAC=90°，∴∠C=90°−40°=50°，故选：A．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．2．（2022秋·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（ ）A．50°B．55°C．65°D．75°【答案】C【分析】首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．【详解】解：∵BD是切线，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵∠BOC＝50°，A．55°B【答案】C【分析】根据切线的性质求出∴PA=PB∴∠PAB=∠PBA∵∠P=70°∴∠PBA=(180°−70°)÷2=55°∵OB⊥PB∴∠OBP=90°∴∠ABO=90°−55°=35°故选：B.【点睛】本题考查圆的切线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.8．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】B【分析】连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数．【详解】解：连接OC，∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵∠CDB与∠BAC都对BC，且∠CDB=25°，∴∠BAC=∠CDB=25°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=25°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=50°，则∠E=40°．故选：B．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．9．（2023·四川内江·威远中学校校考一模）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是EC的中点，过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接AC，EC．若∠ACE=32°，则∠ADB的度数为（）A．48°B．52°C．58°D．68°【答案】C【分析】根据垂径定理得到BA⊥EC，求得∠BAC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据直角三角形的性质求出∠B，根据切线的性质得到BA⊥AD，进而得出答案．【详解】解：∵点A是EC的中点，∴BA⊥EC，∵∠ACE=32°，∴∠BAC=90°-∠ACE =58°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=32°，∵AD是⊙O的切线，∴BA⊥AD，∴∠ADB=90°-∠B=58°，∴⊙O的半径为6．故选C．【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．【答案】3．【分析】连接OA，根据切线的性质得出OA的长，问题得解．【详解】解：连接OA，【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．12．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图∵PA、PB分别与⊙O相切于点A，B，∴OA⊥AP，OB⊥BP．三、解答题17．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC=BC．【答案】见解析【分析】连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】证明：连结OC，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵OA=OB，∴AC=BC．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．18．（2023·山东济宁·九年级统考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．【答案】证明见解析．【分析】利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A，然后利用∠COB＝2∠PCB即可证得结论，再根据圆周角定理，易得∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线．【详解】连接AC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∴∠COB＝2∠ACO．又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定及圆周角定理的运用，关键是利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A．19．（2023·广东·九年级专题练习）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线.【答案】证明见解析【分析】连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC是⊙O的切线．。