一维势垒贯穿时透射系数的计算与MATLAB分析

一维热传导方程数值解法及matlab实现分离变量法和有限差分法一维热传导方程的Matlab解法：分离变量法和有限差分法。

问题描述：本实验旨在利用分离变量法和有限差分法解决热传导方程问题，并使用Matlab进行建模，构建图形，研究不同情况下采用何种方法从更深层次上理解热量分布与时间、空间分布关系。

实验原理：分离变量法：利用分离变量法，将热传导方程分解为两个方程，分别只包含变量x和变量t，然后将它们相乘并求和，得到一个无穷级数的解。

通过截取该级数的前n项，可以得到近似解。

有限差分法：利用有限差分法，将空间和时间分别离散化，将偏导数用差分代替，得到一个差分方程组。

通过迭代求解该方程组，可以得到近似解。

分离变量法实验：采用Matlab编写代码，利用分离变量法求解热传导方程。

首先设定x和t的范围，然后计算无穷级数的前n项，并将其绘制成三维图形。

代码如下：matlabx = 0:0.1*pi:pi;y = 0:0.04:1;x。

t] = meshgrid(x。

y);s = 0;m = length(j);for i = 1:ms = s + (200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t));endsurf(x。

t。

s);xlabel('x')。

XXX('t')。

zlabel('T');title('分离变量法（无穷）');axis([0 pi 0 1 0 100]);得到的三维热传导图形如下：有限差分法实验：采用Matlab编写代码，利用有限差分法求解热传导方程。

首先初始化一个矩阵，用于存储时间t和变量x。

然后计算稳定性系数S，并根据边界条件和初始条件，迭代求解差分方程组，并将其绘制成三维图形。

代码如下：matlabu = zeros(10.25);s = (1/25)/(pi/10)^2;fprintf('稳定性系数S为:\n');disp(s);for i = 2:9u(i。

一维热传导方程matlab程序一维热传导方程是研究物体在一维情况下的温度分布变化的方程，其数学表达式为：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u表示温度，t表示时间，x表示空间位置，α表示热扩散系数。

为了求解一维热传导方程，我们可以采用有限差分法来进行数值计算。

具体来说，我们可以将时间和空间进行离散化，然后利用差分公式来逼近偏微分方程。

下面是一维热传导方程的matlab程序：% 定义参数L = 1; % 空间长度T = 1; % 时间长度N = 100; % 空间网格数M = 1000; % 时间网格数dx = L/N; % 空间步长dt = T/M; % 时间步长alpha = 0.1; % 热扩散系数% 初始化温度分布u = zeros(N+1,1);u(1) = 100; % 左端点温度为100度% 迭代求解for k = 1:Mfor i = 2:Nu(i) = u(i) + alpha*dt/dx^2*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1)); endend% 绘制温度分布图像x = linspace(0,L,N+1);plot(x,u,'LineWidth',2);xlabel('位置');ylabel('温度');title('一维热传导方程的数值解');在上述程序中，我们首先定义了一些参数，包括空间长度L、时间长度T、空间网格数N、时间网格数M、空间步长dx、时间步长dt 以及热扩散系数alpha。

然后，我们初始化了温度分布，将左端点的温度设为100度。

接下来，我们使用双重循环来迭代求解温度分布，最后绘制出了温度分布的图像。

通过这个程序，我们可以方便地求解一维热传导方程，并得到其数值解。

当然，如果需要更精确的结果，我们可以增加空间网格数和时间网格数，来提高计算精度。

一维非定常热传导方程的求解及matlab 源程序1、计算模型本题计算的模型示意图如图1所示，在已知两边界点温度数值的情况下，根据一维非定常热传导方程，求解整个计算域长度上的温度分布。

一维非定常热传导方程为0x Tt T 22=∂∂⋅-∂∂α，式中α=1。

总长为10m ，两端的边界数值分别为T0=100℃和Tn=300℃。

计算域内的热传导满足方程：∂T ∂t −∂∙∂2T∂X2=0图1 一维非定常热传导方程计算模型示意图2、数值分析方法在本题的计算过程中，用到的数值分析方法有：差分近似导数，追赶法解三对角方程组。

对于一维非定常热传导而言，热传导参数的分布是连续的，具有无穷多个数值，它们的数值由给定的非定常热传导方程决定。

但是微分方程无法直接求解，因此通过差分近似导数的方法，将微分方程转化成代数方程，然后通过迭代即可计算出平衡时刻各个参考点的温度。

在计算时，先由一维非定常热传导的微分方程，推导出与其对应的线性方程，将第i 个时间层上某个离散点处的温度用第i-1个时间层上某些点的温度数值来表示。

这样在求解过程中，先假定第0时间层的时刻各参考点的温度初值，然后运用线性方程组推导出第1时间层时刻，各个参考点的温度数值，再求第2时间层时刻各个参考点处的温度数值，依次类推，直到相邻时间层上的速度残差达到预先设定的收敛要求为止。

此计算模型中给定的左边界温度值为T0=100℃，右边界温度值为Tn=300℃，均恒定不变。

总长度10m 进行N 等分。

3、数值计算过程一维非定常热传导方程为：0x T t T 22=∂∂⋅-∂∂α，移项处理得：22xT t T ∂∂⋅=∂∂α一阶向前差分：t T ∂∂=t 1n ∆-+nii T T ；二阶中心差分：()211222x T x T T T ni n i n i ∆+⋅-⋅∂=∂∂⋅∂-+； 因此可化简为代数方程为：()2111n 2t x T T T T T ni n i n i n i i ∆+⋅-⋅∂=∆--++ ; 即 ()()nin i n i n i iT T T T x tT ++⋅-⋅∆∆⋅∂=-++1121n 2；用()n i n i T T 11121++++代替n i T 1+，用()n i n i T T ⋅-⋅-+22211代替n i T ⋅-2，用()ni n i T T 11121-+-+代替n i T 1-，即： ()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅-⋅-++⋅∆∂=∆+⋅-⋅∂=∆--+-++++-++n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i i T T T T T T x x T T T T T 111111122111n 212221212t ()()()()()n i n i n i n i n i n i n i T T T x t T T x t T x t Tx t 1121121211222212-+++++-+⋅-⋅∆⋅∆⋅∂--=⋅∆⋅∆⋅∂+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅∂+-⋅∆⋅∆⋅∂因此，上式的含义是：第n+1个时间层上第i-1个，第i 个和第i+1个参考点处的温度值，与第n 个时间层上第i-1个，第i 个和第i+1个参考点处的温度值的关系式；代数关系式示意图如图2所示:图2代数方程式示意图令A=()22x t ∆⋅∆⋅∂，B=()21x t ∆∆⋅∂+ ，Ki=()()n i n i n i n i T T T x t T 11222-++⋅-⋅∆⋅∆⋅∂-- 则上式可化简为：Ki T A T B T A n i n i n i =⋅+⋅-⋅++++-11111即2321K T A T B T A =⋅+⋅-⋅'21232K T A K T A T B =⋅-=⋅+⋅-3432K T A T B T A =⋅+⋅-⋅112---=⋅+⋅-⋅n n n n K T A T B T A'1112----=⋅-=+⋅-⋅n n n n n K T A K T B T A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--'16543'2165432B -A 0 0 0 0 0 00 0A B -A 0 0 00 0 0A B -A 0 00 0 0 0A B -A 00 0 0 0 0A B -A 0 0 0 0 0 0A B -n n K K K K K K T T T T T T当第0时间层时刻各个参考点温度已知时，方程式右侧的矩阵[K2’ K3 K4 K5 ……Kn-2 Kn-1’] ‘为已知量，系数矩阵U 也为已知量，则可以计算出第1时间层各个参考点的温度值[T2 T3 T4 T5 T6……Tn-1] ‘，并且T1=100，Tn=300。

量子隧穿效应的可视化1 技术指标设计一个用户界面，通过输入粒子质量，势垒高度等参数，进行量子隧穿规律的演示。

要求：(1)有用户任意输入可调参数的界面，可调参数包括输入的粒子质量，粒子能量，势垒高度，势垒宽度等，输入完成后进行运行，反射率和透射率可以直观的显示出来，并统计实际透射粒子数以及反射个数以便用户比较。

(2)用Matlab来进行模拟。

编写隧穿效应程序及使用GUI（图形用户接口）设定用户界面。

(3)根据量子力学中对一维方势垒的求解，设计出各个模块的参数（例如透射系数大小、反射系数大小等）；(4)可以给出该条件下，看到量子隧穿规律的动画演示，并且在有参数改变的情况下，可以观察动画演示的改变。

2 基本原理隧穿效应也叫势垒贯穿。

按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。

但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。

它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。

能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。

而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子穿越势垒，好像从大山隧道通过一般。

这就是隧穿效应。

在两块金属（或半导体、超导体）之间夹一层厚度约为0.1nm的极薄绝缘层，构成一个称为“结”的元件。

设电子开始处在左边的金属中，可认为电子是自由的，在金属中的势能为零。

由于电子不易通过绝缘层，因此绝缘层就像一个壁垒，我们将它称为势垒。

一个高度为U0、宽为a的势垒，势垒右边有一个电子，电子能量为E 。

按照经典理论,在E>U0情况下,粒子运动到x>0区域去的概率也为1。

但是，按照量子力学的结论,对于能量稍大于U0的粒子束运动到势垒边缘时,其反射率一般不为零,有电子作反向运动。

对于能量低于势垒的粒子,其穿透势垒的透射率一般不为零,它与势垒高度a有关,也与势垒高度和总能量差(U0-E )有关.这种在粒子总能量低于势垒的情况下,粒子能穿过势壁甚至穿透一定宽度的势垒而逃逸出来的现象称为隧道效应隧道效应无法用经典力学的观点来解释。

三方势垒的穿透隧道效应势垒散射再到无穷远处去。

●特点：◆波函数在无穷远处不为零；◆粒子的能量可以取任意值，组成连续谱。

◆求解散射问题，是由已知能量E来求定态薛定谔方程的解；也就是求出一个动量和能量已知的粒子，在受到势场的作用后，被散射到各个方向去的概率。

● 一维问题一个粒子被散射后，或者穿透势垒，或者被势垒反射。

要求透射概率和反射概率。

能量为E 的粒子沿x 轴正方向射向方势垒：⎩⎨⎧><=)0(.0)0(,)(0a x x a x V x V 或≤≤ (5. 94)在经典力学中，只有能量E 大于V 0的粒子才能越过势垒运动到x > a 的区域；能量E 小于V 0的粒子运动到势垒左边缘x =0处就会被反射回去，不能穿过势垒。

从量子力学的观点来看，考虑到粒子的波动性，这个问题与波碰到一层厚度为a 的介质的问题相似，其结果是有一部分波透图5 - 7 一维方势垒过，一部分波被反射。

因此，按照波函数的统计诠释，无论粒子能量E 是大于V 0还是小于V 0，都有一定的概率穿透势垒，也有一定的概率被反射。

这里我们只具体计算E < V 0的情况。

( 2 ) 势垒外部的定态薛定谔方程及其解 在势垒外( x < 0或x > a )，定态薛定谔方程可表示为02d d 222=+ψψE m x. (5.95)它的两个线性无关解可取为 x k x i 1e ~)(ψ 和 x k x i 2e ~)(-ψ,其中k 由 /2E m k =确定。

假设粒子从左边入射，在x < 0区域： 入射波)e ~(i x k ， 反射波)e ~(i x k -； 在x > 0区域： 透射波(x k i e ~)。

为了简便，将入射波的波幅取为1，入射粒子流密度为)e e e e (2i i i i i in xk x k x k x k xx m j --∂∂-∂∂= v mk == , (5.96)因此，可以取⎪⎩⎪⎨⎧>+=-)(e )e e )(i i i a x T R x xk k x k ψ (5.97)透射波和反射波都是德布罗意波。

摘要：此文介绍了一种使用MATLAB求解一维定态薛定谔方程的方法。

利用充分格式进行离散化，得出相应的矩阵方程，用MATLAB求解本征值和本征函数。

此方法简单可靠，可以处理各种时间无关的束缚态问题。

宏观物体遵循的是牛顿运动方程，给定初始条件以及受力条件，我们就可以求出任意时刻粒子的状态。

而在原子尺度上，所有粒子都表现出波的行为，粒子的状态用波函数Ψ(x,y,z,t)来描述，描述微观粒子运动的方程是由薛定谔于1925年提出薛定谔方程。

微观粒子的运动与其所处的势场相关，当势场不随时间变化时，称为定态，一维情况下的定态薛定谔方程为−ℏ22md2ψ(x)dx2+U(x)ψ(x)=Eψ(x) (1)其中，U(x)表示粒子所处的势场。

由定态波函数可以得出总波函数Ψ(x,t)=ψn(x)e−Ent/ℏ1926年，Born提出，波函数模的平方|Ψ(x,t)|2代表在位置x，时刻t寻找到电子的概率，这就是波函数的条统计解释。

可以由遵循微分方程的波函数表示，薛定谔波方程涉及空间坐标和时间。

对于一维情况，在时刻t时，在x1和x2之间的某处找到电子的概率由下式给出P(t)=∫x1x2Ψ(x,t)Ψ∗(x,t)dx时间无关薛定谔方程(1)是系统的能量本征方程。

该特征值方程通常由一组特定的函数ψ1(x),ψ2(x),ψ3(x),...和相应的一组常数E1,E2,E3,...满足解的条件，被称为是哈密顿算符的本征函数和相应的本征值。

当测量处于ψn(x)状态的系统的能量时，结果将始终为En。

对于束缚态情况，必须有ψn(x)=0,ifx→±∞一维定态薛定谔方程是二阶微分方程，但是，能够解析求解的情况屈指可数，如氢原子，谐振子，无限深势阱等。

随着计算机技术的发展，我们可以数值上进行求解。

本文利用MATLAB软件，使用矩阵方法求解束缚态的本征值问题。

对于原子系统，以nm和eV的能量测量长度更方便。

我们可以使用缩放因子Length:Lse=1×10−9,convert m to nm;Energy:Ese=1.6×10−19,convert J to eV.因此我们可以将等式(1)写成[Csed2dx2+U(x)]ψ(x)=Eψ(x)whereCse=−ℏ22m(1Lse2Ese)为了求解上述方程式，首先进行离散化处理。

隧道效应tunnel effect定义由微观粒子波动性所确定的量子效应。

又称势垒贯穿。

考虑粒子运动遇到一个高于粒子能量的势垒，按照经典力学，粒子是不可能越过势垒的；按照量子力学可以解出除了在势垒处的反射外，还有透过势垒的波函数，这表明在势垒的另一边，粒子具有一定的概率，粒子贯穿势垒。

理论计算表明，对于能量为几电子伏的电子，方势垒的能量也是几电子伏，当势垒宽度为1埃时，粒子的透射概率达零点几；而当势垒宽度为10时，粒子透射概率减小到10-10 ，已微乎其微。

可见隧道效应是一种微观世界的量子效应，对于宏观现象，实际上不可能发生。

在势垒一边平动的粒子，当动能小于势垒高度时，按经典力学，粒子是不可能穿过势垒的。

对于微观粒子，量子力学却证明它仍有一定的概率穿过势垒，实际也正是如此，这种现象称为隧道效应。

对于谐振子，按经典力学，由核间距所决定的位能决不可能超过总能量。

量子力学却证明这种核间距仍有一定的概率存在，此现象也是一种隧道效应。

隧道效应是理解许多自然现象的基础。

概述在两层金属导体之间夹一薄绝缘层，就构成一个电子的隧道结。

实验发现电子可以通过隧道结，即电子可以穿过绝缘层，这便是隧道效应。

使电子从金属中逸出需要逸出功，这说明金属中电子势能比空气或绝缘层中低．于是电子隧道结对电子的作用可用一个势垒来表示，为了简化运算，把势垒简化成一个一维方势垒。

所谓隧道效应，是指在两片金属间夹有极薄的绝缘层（厚度大约为1nm（10-6mm），如氧化薄膜），当两端施加势能形成势垒V时，导体中有动能E的部分微粒子在E＜V的条件下，可以从绝缘层一侧通过势垒V而达到另一侧的物理现象。

产生隧道效应的原因是电子的波动性。

原理经典物理学认为，物体越过势垒，有一阈值能量；粒子能量小于此能量则不能越过，大于此能量则可以越过。

例如骑自行车过小坡，先用力骑，如果坡很低，不蹬自行车也能靠惯性过去。

如果坡很高，不蹬自行车，车到一半就停住，然后退回去。

一维梁的M A T L A B有限元法分析问题如下：梁A B在A和B两端固定，中间点表示为C，在中间区域承受均匀分布的载荷q，如图所示。

梁A B的抗弯刚度为E I。

1，使用R i t z法确定点C处的位移和弯矩，并讨论随着包含更多基本函数的准确性。

提示：根据偏转曲线的形状，可以选择基函数的形式，其中系数，并且应该由点A或B处的边界条件确定。

2，采用一维有限元法解决问题，并讨论网格越细时的准确性。

提示：使用1-D梁单元。

1R i t z法一维欧拉-伯努利梁的势能如下：设选择基函数，容易看出基函数满足边界条件设，代入势能表达式得到由于三角函数是正交函数系，所以得到令q=10N/m m，E=200000M P a，I=10000，L=200m m在M A T L A B中计算A k前十项得到A=-0.008400754770396-0.000320811945459-0.000049922673823 -0.000020050746591-0.000009258470170-0.000003960641302 -0.000001943426801-0.000001253171662-0.000000837688763 -0.000000513299113计算C点位移,使用1-10个试函数结果如下：0.0084007547703960.0084007547703960.0085006001180410.0085006001180410.0085191170583800.0085191170583800.0085230039119830.0085230039119830.0085246792895100.008524679289510计算C点弯矩,,使用1-10个试函数结果如下：0.8291212625436840.7024697829907620.746814316705690 0.7151514468174600.7379958063005830.723923419683592 0.7333220380018130.7254063205297550.732103122461494 0.727037063279377可以看到，位移收敛是很快的，弯矩收敛速度慢于位移。

一维热传导MATLAB模拟昆明学院2015届毕业设计（论文）设计（论文）题目一维热传导问题的数值解法及其MATLAB模拟子课题题目无姓名伍有超学号 2所属系物理科学与技术系专业年级 2011级物理学2班指导教师王荣丽2015 年 5 月摘要本文介绍了利用分离变量法和有限差分法来求解一维传导问题的基本解，并对其物理意义进行了讨论。

从基本解可以看出，在温度平衡过程中，杠上各点均受初始状态的影响，而且基本解也满足归一化条件，表示在热传导过程中杆的总热量保持不变。

通过对一维杆热传导的分析，利用分离变量法和有限差分法对一维热传导进行求解，并用MATLAB 数学软件来对两种方法下的热传导过程进行模拟，通过对模拟所得三维图像进行取值分析，得出由分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律，所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。

关键词：一维热传导；分离变量法；有限差分法；数值计算；MATLAB 模拟AbstractIn this paper, the method of variable separation andfinite difference method are introduced to solve the problem of one-dimensional heat conduction problems, and the physical significance of numerical methods for heat conduction problems are discussed. From the basic solution, we can see the temperature on the bar are affected by the initial state during the process of temperature balance, and basic solution also satisfy the normalization condition which implied the invariance of the total heat in the bar during the heat conduction process. Through the analysis of the one-dimensional heat conduction, by taking use of variable separation method and finite difference method, we simulated the one-dimensional heat conduction problem by MATLAB. The three-dimensional images of the simulation results obtained by the method of separation of variables and finite difference method are similar to each other, and the temperature curve is in accordance with the law of temperature variation during heat conduction. Thus, we can go to the conclusion that both methods can be used to deal with the one-dimensional heat conduction problems.Keywords: One-dimensional heat conduction; method of variableseparation; finite difference method; numerical2method; MATLAB simulation目录第一章绪论11.1热传导的概念......................................................... .. (1)1.2热质的运动和传递......................................................... (1)第二章一维热传导问题的两种数值解法32.1一维热传导问题的初值问题32.2一维热传导问题的分离变量法42.3一维热传导问题的有限差分法63第三章一维有界杆热传导问题的MATLAB模拟9 3.1一维有界杆热传导问题93.2分离变量法的MATLAB模拟93.3有限差分法的MATLAB模拟12第四章总结与展望18参考文献19谢辞204第一章绪论1.1热传导的概念由于温度分布不均匀，热量从介质中温度高的地方流向温度低的地方称为热传导。