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t
r 的任意性，
i df (t ) A f (t ) dt i
其解为 即
f (t ) Ce
At
,
i At
( r , t ) ( r )e
对照自由粒子的波函数可知，常量 的总能量： A E.
A
就是粒子
8
那么，定态波函数
其中不含时间部分 (r ) (通常也称定态波函数)
令
2 2
其通解：
( x) C1 cos( Kx C 2) .
a Ka 连续性： ( ) C1 cos( C 2) 0, 2 2 a Ka ( ) C1 cos( C 2) 0, 2 2
另外，
C1
一定不能为零。 ???
Ka n , n 1,2,3,... 为何不为负??? C 2 l / 2, l 为整数， 但奇偶性与n相反 .
2
2 V (r , t ) (r , t ) i (r , t ) 2m t
来源：基本假定之一，不可证明，只可检验。 地位： 低速运动微观粒子的基本规律，地位同牛顿 定律。 成功解释氢原子能级和电（磁）场中氢原子光谱 线的分裂，分享1933年Nobel物理奖。 6
2
其通解为
其中
( x) A cos( kx ).
2
k 2mE / ; 当 x 0 及 x L 时， V ( x) V 0 , 方程变形为 2 d ( x ) 2m 2 (V 0 E ) ( x) 2 ( x) 2 dx
其通解为
其中
( x) Be
非相对论极限下，自由粒子能量 – 动量关系：
2 P E . 2m
进行替换、并作用于波函数，得
2 (r , t ) i (r , t ) . 2m t
2
5
在外力场中：
2 P E V (r , t ) 2m
薛定谔方程(1926)：
进行替换、作用于波函数
下 ,其总能量E满足的关系式， 并由此说明能量是否连续。 解： 一维定态薛定谔方程： 2 2
V0
E m,
O
L
X
d [ V ( x)] ( x) E ( x). 2m dx 2 当 0 x L 时， ( x) 0, 方程变形为 V
18
d ( x) 2mE 2 2 ( x ) k ( x) 2 dx
C1 2 / a .
12
粒子的动量：
n K . Pn 2mE n a
h Pn
粒子的德布罗意波长：
n
2a / n 2 / K .
粒子的能量、动量、德布罗意波长 ( 及频率 ) 均是量子化的。 其中最小能量和最小动量皆不为零， 正是不确定度关系的反映。
7
2 2m V (r ) (r , t ) i t (r , t )
2
根据时间 的任意性、空间坐标 上式两端必为常量，令为 A ,则
i df (t ) 1 2 2 V (r ) (r ) f (t ) dt (r ) 2m
x
Ce .
x
2m(V 0 E ) / . 当 x 0时 B 0, 当 x L 时 C 0.
2
19
(x) A cos(kx ) , 0 x L ;
Be
利用连续性：
Ce
x
, x 0;
x
, x L.
2 2
k 2mE / , 2m(V 0 E ) / .
在某处发现一个微粒的概率正比于描述该微粒 的波函数振幅的平方。
2
称为概率密度。
2
微粒在体积元 dV 内出现的概率为：
dW | ( x, y, z, t ) | dV
2
波函数的归一化条件：
( x, y, z, t ) dV 1
2
波函数的标准条件：单值、有限、连续。
坐标和动量的不确定度关系
满足定态薛定谔方程：
( r , t ) ( r )e
i Et
.
2m (r ) 2 ( E V ) (r ) 0
2
9
3、一维无限深势阱
质量为 m的粒子作一维 运动，在力场中的势设为
V (x)
0 , a / 2 x a / 2 ； V ( x) , x a / 2, x a / 2 .
x Px / 2
能量和时间的不确定度关系
E t / 2
3
六、薛定谔方程
1、薛定谔方程 i ( Et Pr ) 自由粒子 E (r , t ) i (r , t ), t P x (r , t ) i x (r , t ),
P y (r , t ) i (r , t ),
y
P z (r , t ) i (r , t ).
z
4
与能量 E 、动量 P 间有对应的等价关系： E i , P i t
j k ) 即算符 i 、 i ( i t x y z
电子，当 E
1eV , V 0 2eV ,
a 2 A 时 , T 0.51;
a 5 A 时 , T 0.006
o
o
制作扫描隧穿显微镜 ( STM )
15
STM下硅表面结构重现
16
利用STM搬迁原子为电子造的“量子围栏”
17
例： 质量为
对称势场
m的粒子处于一维
V (x)
0 , 0 x L; V ( x) V0 , x 0 , x L 中，推导粒子在 E V 0的情况
20
、20.19 、20.20 作 业 题： 习题20.18
预习内容： 20.8 复习内容：本讲
21
量子物理第3讲 —— 薛定谔方程
方程 势垒 一维无限深势阱
主要内容
六、薛定谔方程
定态薛定谔 一维有限高
1
德布罗意公式
E mc h h v , . h h P m
自由粒子物质波的波函数
2
(r , t ) 0 e
0 即 | |
2
i ( Et Pr )
一维无限深势阱.exe
13
4、一维有限高势垒
V (x)
V0 0 , x 0, x a ; V ( x) E V0 , 0 x a. 具有能量 E ( E V 0 ) 的粒子沿
X 正向射向势垒。 经典力学：粒子没有能力穿过势垒，百分之百地 被弹回。 量子力学：粒子有一定的机会通过势垒。 定义透射系数：
11
n l x ). 所以 ( x) C1 cos( a 2 a/2 1 2 2 归一化： a / 2 | ( x) | dx aC1 1 2
2 n l cos( x ), 波函数： ( x) a a 2 2 l 2 2 n x ), 几率密度： ( x) cos ( a a 2 2 2 2 n 2 . n 1,2,3,... K 2mE E n / 能量量子化： n / a , 2 2ma
2、定态薛定谔方程
定态：粒子于力场中运动时，势能与时间无关， 总能量不随时间变化的状态。 定态波函数： 用于描述处于定态的粒子的波函数。 Schrö dinger方程：
分离变量法： (r , t ) (r ) f (t ) 设 2 i df (t ) 1 2 V (r ) (r ) 则： f (t ) dt ( r ) 2m
O
X
透射波函数振幅 T 入射波函数振幅
2
14
解薛定谔方程表明：
2 4k k T 2 . 2 2 2 2 2 2 (k k ) sh k a 4k k ch k a
2
k 2m(V0 E ) / 2 其中 k 2mE / ,
2
隧道效应： 粒子能够穿透比它的能量还高的势垒 的现象。 已经实验证实并得到实际应用。
x 0 处，A cos C, kAsin C ,
x L 处， A cos(kL ) Be , L kAsin( kL ) Be .
解出
L
L 2mE 2 E (V 0 E ) tan . E 不连续！ V 0 2E
a a ( ) 0 , ( ) 0. 2 2
a/2 0 a/2 X
势壁无限高，阱内的粒子不可越出阱外：
阱内
(a / 2 x a / 2) , 定态薛定谔方程： 2 d ( x ) 2m 2 E ( x) 0 . 2
dx
10
K 2mE / , d 2 2 K . 则 2 dx
