幂函数比大小

幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。

幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。

幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。

②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。

幂的大小比较经典例题
幂的大小比较是数学中的经典问题，可以通过比较底数和指数的大小来确定幂的大小关系。

以下是一些常见的幂大小比较例题：例题1：
比较2^3和3^2的大小。

解答：
计算2^3=8，3^2=9，可以看出3^2大于2^3，即3^2>2^3。

例题2：
比较5^4和4^5的大小。

解答：
计算5^4=625，4^5=1024，可以看出5^4小于4^5，即5^4<4^5。

例题3：
比较10^7和7^10的大小。

解答：
计算10^7=10000000，7^10=282475249，可以看出10^7小于7^10，即10^7<7^10。

例题4：
比较(-2)^5和(-3)^4的大小。

解答：
计算(-2)^5=-32，(-3)^4=81，可以看出(-2)^5大于(-3)^4，即(-2)^5>(-3)^4。

需要注意的是，当底数相同而指数不同时，幂的大小关系与指数
的奇偶性有关。

例如，当底数为正数时，指数为偶数时幂的值总是大于0，指数为奇数时幂的值总是小于0。

反之，当底数为负数时，指数为偶数时幂的值总是大于0，指数为奇数时幂的值总是小于0。

指、对、幂的大小比较【考试提醒】指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．【核心题型】题型一　直接法比较大小利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“-1,0，12，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log 23，可知1=log 22<log 23<log 24=2，进而可估计log 23是一个1~2之间的小数，从而便于比较．命题点1　利用函数的性质1(2024·全国·模拟预测)已知a =30.6，b =log 25，c =log 323，则实数a ，b ，c 的大小关系是()A.b >a >cB.a >b >cC.b >c >aD.a >c >b【答案】A【分析】利用指数函数单调性可得32<a =30.6<2、对数函数的单调性可得b =log 25>2，c =log 323<32，从而可得结果.【详解】由y =3x 在R 上单调递增，可得30.6>30.5=3>32，又30.6 5=27<25=32，则32<a =30.6<2．由y =log 2x 在0,+∞ 上单调递增，可得b =log 25>log 24=2．由y =log 3x 在0,+∞ 上单调递增，可得c =log 323<log 333=32．所以b >a >c ，故选：A 【变式训练】1(2024·四川德阳·二模)已知a =4ln3π,b =3π,c =4lnπ3，则a ,b ,c 的大小关系是()A.c <b <aB.b <c <aC.b <a <cD.a <b <c【答案】B【分析】观察a ,c 的式子结构，构造函数f x =ln xx，利用导数判断得f x 的单调性，从而判断得c <a ，再利用对数函数的单调性判断得b <c ，从而得解.【详解】因为a =4ln3π=4πln3,b =3π,c =4lnπ3=4×3lnπ，观察a ,c 的式子结构，构造函数f x =ln x x ，则f (x )=1-ln xx 2，当x ∈(0,e )时，f (x )>0,f (x )单调递增，当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0,f (x )单调递减，因为π>3>e ，所以f (π)<f (3)，即lnππ<ln33，所以3lnπ<πln3，即4×3lnπ<4πln3，即c <a ；又lnπ>ln e =1，所以3π<3×4<4×3lnπ，即b <c ；综上，b <c <a .故选：B .2(2023·甘肃平凉·模拟预测)已知幂函数f x =mx n 的图象过点2,22 ，设a =f m ,b =f n ,c =f ln2 ，则a 、b 、c 的大小用小于号连接为．【答案】c <a <b【分析】首先求出幂函数的解析式，再利用其单调性即可比较大小.【详解】幂函数f x =mx n 的图象过点2,22 ，则m =1m (2n )=22⇒m =1,n =3，所以幂函数的解析式为f x =x 3，且函数f x 为单调递增函数，又ln2<1<3，所以f (ln2)<f (1)<f (3)，即c <a <b .故答案为：c <a <b3(2023·黑龙江哈尔滨·三模)若a =log 23+log 32,b =log 2e +ln2,c =136，则实数a ,b ,c 由小到大排列为<<.【答案】 bca 【分析】根据给定条件，构造函数f (x )=log 2x +log x 2,x >2，再利用导数探讨单调性比较大小作答.【详解】依题意，c =32+23=log 222+log 222，而a =log 23+log 32,b =log 2e +ln2，令函数f x =log 2x +log x 2=ln x ln2+ln2ln x ,x >2，求导得f(x )=1x ln2-ln2x (ln x )2=(ln x )2-(ln2)2(x ln2)(ln x )2>0，因此函数f (x )在(2,+∞)上单调递增，而2<e <22<3，于是f (e )<f (22)<f (3)，又a =f (3),b =f (e ),c =f (22)，所以b <c <a .故答案为：b ；c ；a 命题点2　找中间值1(2024·陕西西安·模拟预测)已知a =ln5，b =log 35，c =5-0.3，则()A.b <c <aB.c <a <bC.c <b <aD.b <a <c【答案】C【分析】通过和1的比较可得答案.【详解】因为a =ln5=log 35log 3e >b =log 35>1，c =5-0.3<1，所以c <b <a ．故选：C 【变式训练】1(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知a =log 53,b =log 43,c =0.4-0.3，则()A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <a <b【答案】A【分析】由log 35>log 34>1，利用换底公式可判断a <b <1,利用指数性质可判断c >1，进而得出结果.【详解】由题得a =log 53=1log 35,b =log 43=1log 34，而log 35>log 34>1，所以a <b <1,c =0.4-0.3>0.40=1，所以a <b <c .故选：A .2(2024·四川成都·三模)2-3,213,sin 32,log 213四个数中最大的数是()A.2-3B.213C.sin32D.log 213【答案】B【分析】引入0，1，分别比较这四个数和0，1的大小，即可得到结论.【详解】因为2-3=123=18<1，213>20=1，sin 32<1，log 213=-log 23<0.所以213最大.故选：B3(2024·北京石景山·一模)设a =20.3，b =sin π12，c =ln2，则()A.c <b <aB.b <c <aC.a <b <cD.b <a <c【答案】B【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助1，12进行比较判断选项.【详解】a =20.3>20=1，b =sin π12<sin π6=12，而e <2<e ，则12<ln2<1，即12<c <1，所以b <c <a .故选：B 命题点3　特殊值法1(2024·全国·模拟预测)若log a b >1，则下列不等式一定成立的是()A.a >b B.ab <a +b -1C.a +1b>b +1a D.a -1b<b -1a 【答案】D【分析】由log a b >1，分类讨论0<a <1和a >1可判断A ，B ；取特值可判断C ；根据y =x +1x的单调性可判断D .【详解】因为log a b >1，所以log a b >log a a ，当0<a <1时，解得0<b <a <1；当a >1时，解得1<a <b ，所以a -1 b -1 >0，即ab >a +b -1，A ，B 错误.当a =2,b =3时，a +1b<b +1a ，C 错误.因为y =x +1x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以a +1a <b +1b ，即a -1b<b -1a ，D 正确.故选：D 【变式训练】1(多选)(2024·福建龙岩·一模)下列命题正确的是()A.若a <b <0，则a 2>ab >b 2B.若a <b <0，则ac 2<bc 2C.若0<a <b <c ，则c a >cb D.若0<a <b ，则2a +b2>2ab【答案】AC【分析】对A 和C 利用不等式性质即可判断，对B 和D 举反例即可反驳.【详解】对A ，因为a <b <0，则两边同乘a 得a 2>ab ，两边同乘b 得ab >b 2，则a 2>ab >b 2，故A 正确；对B ，当c =0时，ac 2=bc 2，故B 错误；对C ，因为0<a <b ，则1a >1b ，又因为c >0，所以c a >cb，故C 正确；对D ，举例a =2,b =8，则2a +b 2=2×2+82=8，而2ab =22×8=8，此时两者相等，故D 错误.故选：AC .2(多选)(2023·全国·模拟预测)下列说法正确的有()A.若0<a <1，则ln a +1ln a≤-2 B.若lg a <lg b ，则a 2<b 2C.若a <b <c ,a +b +c =0，则c -a b 2>0D.若2a <2b a ,b ∈N * ，则a -b ≤-1【答案】ABD【分析】运用基本不等式，结合特例法、不等式的性质、指数函数的单调性逐一判断即可.【详解】选项A ：当0<a <1时，ln a <0,-ln a +1-ln a≥2，所以ln a +1ln a ≤-2，当且仅当ln a =1ln a ，即a =1e时等号成立，故选项A 正确；选项B ：由lg a <lg b 得0<a <b ，所以a 2<b 2，故选项B 正确；选项C ：令a =-3,b =0,c =3，满足a <b <c ,a +b +c =0，但c -a b 2>0不成立，故选项C 错误；选项D ：由2a <2b 得a <b ，因为a ,b ∈N *，所以a +1≤b ，所以a -b ≤-1，故选项D 正确．故选：ABD .3(2024·上海静安·二模)在下列关于实数a 、b 的四个不等式中，恒成立的是．(请填入全部正确的序号)①a +b ≥2ab ；②a +b 22≥ab ；③|a |-|b |≤|a -b |；④a 2+b 2≥2b -1．【答案】②③④【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证|a |-|b |≤|a -b |即证2a b ≥2ab 可判断③.【详解】对于①，取a =-1,b =1，故①错误；对于②，a +b 2 2-ab =a 2+b 2+2ab -4ab 4=a 2+b 2-2ab 4=a -b 2 2≥0，故②正确；对于③，当a ≥b ，要证|a |-|b |≤|a -b |，即证a -b 2≤a -b 2，即a |2+ b |2-2a b ≤a 2+b 2-2ab ，即证2a b ≥2ab ，而2a b ≥2ab 恒成立，当a <b 时，a -b 0,a -b 0，所以|a |-|b |≤|a -b |，故③正确.对于④，a 2+b 2-2b +1=a 2+b -1 2≥0，所以a 2+b 2≥2b -1，故④正确.故答案为：②③④.题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．1(2024·天津·一模)已知a=30.3，b=log43，c=12-0.3，则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b【答案】B【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案.【详解】因为0=log41<b=log43<log44=1，c=12-0.3=20.3>1，a=30.3>1，因为y=x0.3在0,+∞上单调递增，所以20.3<30.3，所以b<c<a.故选：B【变式训练】1(2024·陕西西安·模拟预测)已知a=π-0.2,b=log3π,c=sin π5，则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【答案】C【分析】根据指数函数的性质判断a的范围，利用指数函数、幂函数以及正弦函数的单调性可比较a,c的大小关系，结合b的范围，即可判断出答案.【详解】由题意得a=π-0.2<π0=1，且a=π-0.2>4-0.2=2-0.4>2-0.5=22=sinπ4>sinπ5=c，又b=log3π>1，故c<a<b，故选：C2(2024·广东肇庆·模拟预测)已知a=1.013.2,b=0.523.2,c=log0.523.2，则() A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>a>c 【答案】A【分析】利用幂函数和对数函数的性质来判断即可.【详解】幂函数y=x3.2在0,+∞上单调递增，故a=1.013.2>0.523.2=b>0，又c=log0.523.2<log0.521=0，所以a>b>c.故选：A.3(2024·四川攀枝花·二模)若a=323,b=log3e,c=1e-13，则()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a 【答案】A【分析】利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.【详解】易知y =x 13在0,+∞ 上单调递增，则3 23=313>e 13=1e-13，即a >c ，而由y =a xa >1 单调递增，得313>30=1,e 13>e 0=1，即a >c >1，又y =log 3x 单调递增，故1=log 33>b =log 3e ,则a >c >1>b .故选：A题型三　构造函数比较大小某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．1(2024高三·全国·专题练习)若a =1.1,b =ln1110e ，c =e 0.1，则a ,b ,c 的大小关系为()A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.a <c <b【答案】A【分析】构造函数m (x )=ln x -x +1,n (x )=e x -x -1，利用导数求证不等式ln x ≤x -1,和e x ≥x +1，即可求解.【详解】设m (x )=ln x -x +1,n (x )=e x -x -1，则当x >1时,m (x )=1x -1<0,m x 在1,+∞ 单调递减，当0<x <1时，m(x )>0,m x 在0,1 单调递增，故当m (x )≤m 1 =0，故ln x ≤x -1,当且仅当x =1时取等号，当x >0,n x =e x -1>0⇒x >0,n x 在0,+∞ 单调递增，当n x =e x -1<0⇒x <0,n x 在-∞,0 单调递减，所以n (x )≥n (0)=0，故e x ≥x +1，当且仅当x =0时取等号，所以b =ln 1110e =ln 1110+1<1.1，故b <a ．e 0.1>1.1，故a <c 因此b <a <c ，故选：A【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：(1)结合函数性质进行比较；(2)利用特殊值进行估计，再进行间接比较；(3)根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小【变式训练】1(2024·辽宁·二模)若a =1.01+sin0.01,b =1+ln1.01,c =e 0.01，则()A.b >c >aB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b【答案】B【分析】通过构造函数f (x )=1+x +sin x -e x ，利用导数与函数单调性间的关系，得到f (x )=1+x +sin x-e x 在区间0,12上单调递增，从而得出c <a ，构造函数G (x )=e x -ln (x +1)-1，利用导数与函数单调性间的关系，得到G (x )=e x -ln (x +1)-1在区间0,1 上单调递增，从而得出b <c ，即可得出结果.【详解】令f (x )=1+x +sin x -e x ，则f (x )=1+cos x -e x ，令h (x )=1+cos x -e x ，则h (x )=-sin x -e x <0在区间0,12上恒成立，即f(x )在区间0,12 上单调递减，又f 12 =1+cos 12-e 12>1+cos π6-e 12=1+32-e 12，而1+32 2=1+34+3>e ，所以f 12 =1+32-e 12>0，即f (x )=1+x +sin x -e x 在区间0,12上单调递增，所以f (0)<f (0.01)，得到0<1.01+sin0.01-e 0.01，即e 0.01<1.01+sin0.01，所以c <a ，令G (x )=e x -ln (x +1)-1，则G (x )=e x -1x +1，当x ∈(0,1)时，G (x )>0，即G (x )=e x -ln (x +1)-1在区间0,1 上单调递增，所以G (0)<G (0.01)，得到0<e 0.01-ln1.01-1，即1+ln1.01<e 0.01，所以b <c ，综上所述，b <c <a ，故选：B .【点睛】关键点点晴：通过构造函数f (x )=1+x +sin x -e x 和G (x )=e x -ln (x +1)-1，将问题转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.2(2023·辽宁·模拟预测)已知a =1e1e,b =ln22 ln22,c =ln33ln33，试比较a ,b ,c 的大小关系()A.a <b <c B.b <a <cC.a <c <bD.c <b <a【答案】C【分析】根据三个指数的底数的形式，通过构造新函数，利用导数的性质判断其大小，再根据三个数的形式构造新函数，通过取对数法，结合导数的性质判断其单调性，最后利用单调性判断即可.【详解】设f x =ln x x x >0 ⇒fx =1-ln x x 2，当x >e 时，f x <0，f x 单调递减，所以有f e >f 3 >f 4 ，因为1e =ln e e ,ln22=2ln24=ln44，所以1e >ln33>ln44，设g x =x x (x >0)⇒ln g x =x ln x ，设y =x ln x ⇒y =ln x +1，当0<x <1e 时，y <0，函数y =x ln x 单调递减，因为1e >ln33>ln44>0，所以ln g 1e <ln g ln33 <ln g ln44，因为函数y =ln x 是正实数集上的增函数，故g 1e <g ln33 <g ln44，即1e 1e <ln33 ln33<ln44 ln44=ln22 ln22，所以a <c <b ，故选：C【点睛】关键点睛：根据所给指数的底数和指数的形式，构造函数，利用导数的性质是解题的关键3(2023·湖南·模拟预测)设a =52-ln5 e2，b =1e ，c =ln44，则a ，b ，c 的大小顺序为()A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c 【答案】A【分析】根据a、b、c的结构，构造函数f x =ln xx，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案．【详解】因为a=5(2-ln5)e2=ln e25e25，b=1e=ln ee，c=ln44故构造函数f x =ln xx，则fx =1-ln xx2，令f x =1-ln xx2=0，解得x=e，当x∈0，e时，f x >0，f x 在0，e上单调递增，当x∈e，+∞时，f x <0，f x 在e，+∞上单调递减，又因为a=fe25，b=f e ，c=f4所以a<b，c<b．因为c=f4 =ln44=ln22=f2 ，又e25<2<e，所以fe25<f2 ，即c>a，故a<c<b，故选：A．【课后强化】基础保分练一、单选题1(2024·天津·二模)若a=log131.9，b=log215.8，c=22.01，则a，b，c的大小关系为()A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法求解即可.【详解】a=log131.9<log131=0，0=log21<b=log215.8<log216=4，c=22.01>22=4，所以c>b>a.故选：B.2(2024·北京顺义·二模)已知a=log42，b=12e，c=π12，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b 【答案】D【分析】利用换底公式计算a，利用指数函数单调性判断b，c即可得答案.【详解】因为a=log42=log22log24=12，b=12e<12 2=14，c=π12>π0=1，所以c>a>b.故选：D3(2024·全国·模拟预测)若a =2π2，b =π2 2，c =log π2cos π5，则()A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.b >c >a【答案】A【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小．【详解】由0<cos π5<1，则c =log π2cos π5<0，又a =2π2>232=2 3=22>2.828，且0<b =π2 2< 3.22 2=1.62=2.56，所以a >b >c ．故选：A ．4(2024·全国·模拟预测)若a =log 83,b =0.132,c =ln cos 22023 ，则下列大小关系正确的是()A.b <a <cB.c <a <bC.a <b <cD.c <b <a【答案】D【分析】利用指数函数，对数函数及幂函数的单调性可比较a 与1和12，b 与0和12的大小，后利用0<cos 22023<1结合对数函数单调性，可比较c 与0的大小，即可得答案.【详解】因对数函数y =log 8x 在0,+∞ 上单调递增，则log 88=12<log 83<log 88=1，即12<a <1．因指数函数y =110x 在R 上单调递减，幂函数y =x 13在R 上单调递增，则0<0.132=110 32<110 13<18 13=12，即0<b <12<a <1．又注意到0<cos 22023<1，y =ln x 在0,+∞ 上单调递增，所以ln cos 22023 <0，即c <0，所以c <b <a ．故选：D ．二、多选题5(2024·贵州遵义·一模)已知正实数a ，b 满足sin a +ln a =b +ln b ，则()A.2a >bB.a -12>b-12C.log 1ea <log 1ebD.e 1a>e1b【答案】AC【分析】利用导数证明sin x <x ,x >0，利用不等式的性质，结合函数y =x +ln x 的单调性可得b <a ，再逐项判断即可得解.【详解】令函数f (x )=x -sin x ,x >0，求导得f x =1-cos x ≥0，函数f (x )在(0,+∞)上递增，f (x )>f (0)=0，即当x >0时，sin x <x ，则当a >0时，sin a <a ，于是b +ln b =sin a +ln a <a +ln a ，而函数y =x +ln x 在(0,+∞)上递增，因此a >b >0，对于A ，2a >a >b ，A 正确；对于B ，函数y =x-12在(0,+∞)上递减，则a -12<b -12，B 错误；对于C ，函数y =log 1ex 在(0,+∞)上递减，则log 1ea <log 1eb ，C 正确；对于D ，1a <1b，则e 1a<e 1b，D 错误.故选：AC6(2024·全国·模拟预测)已知a>0，b>0，且a+b=2，则()A.a2+b2≥2B.14<2a-b<4 C.log2a+log2b≥0 D.a2-b>0【答案】AB【分析】根据基本不等式可判定A，根据指数函数的单调性可判定B，根据基本不等式、对数运算及对数函数单调性可判断C，根据二次函数的性质可判断D.【详解】∵a>0，b>0，且a+b=2，∴a2+b2≥a+b22=2，当且仅当a=b=1时取等号，故A正确.∵a>0，b>0，且a+b=2，∴0<a<2，0<b<2，∴-2<a-b<2，∴14<2a-b<4，故B正确.由2=a+b≥2ab，得0<ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，∴log2a+log2b=log2ab≤log21=0，故C错误.∵a2-b=a2-2-a=a+1 22-94，又0<a<2，∴-2<a2-b<4，故D错误.故选：AB.三、填空题7(2023·吉林长春·模拟预测)已知a=log3322，b=22-33，c=ln1e，则a，b，c的大小关系为．【答案】c<a<b【分析】由对数函数及指数函数单调性得到a∈0,1，b>1，c=-12，从而得到大小关系.【详解】因为y=log33x在0,+∞上单调递减，1>22>33，故a=log3322<log3333=1且a=log3322>log331=0，所以a∈0,1，因为y=22x在R上单调递减，-33<0，所以b=22-33>22 0=1，c=ln1e=ln e-12=-12，故c<a<b.故答案为：c<a<b8(2023·全国·模拟预测)已知a=ln3，b=log113，现有如下说法：①a<2b；②a+b>3ab；③b-a<-ab.则正确的说法有.(横线上填写正确命题的序号)【答案】②③【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质判断即可.【详解】因为a=ln3>0，b=log113>0，所以a=ln3=log e3，2b=2log113=log113<log e3=a，所以a>2b，故①错误；1 a +1b=log3e+log311=log311e>log327=3，所以a+b>3ab，故②正确；1a -1b=log 3e -log 311=log 3e 11<log 313=-1，所以b -a <-ab ，故③正确.故答案为：②③四、解答题9(22-23高三·全国·对口高考)(1)比较a a b b 与b a a b (a >0,b >0)的大小；(2)已知a >2，比较log (a -1)a 与log a (a +1)大小【答案】(1)a a b b ≥b a a b ；(2)log (a -1)a >log a (a +1)【分析】(1)利用作商法，分类讨论即可；(2)利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.【详解】(1)因为a >0,b >0，所以a a b b b a ab =a b a -b，所以①当a =b >0时，a a b b b a ab =a b a -b=1，所以a a b b =b a a b ，②当a >b >0时，ab>1,a -b >0，即a ba -b>1，所以a a b b >b a a b ，③当b >a >0时，0<ab<1,a -b <0，即a ba -b>1，所以a a b b >b a a b ，综上所述：当a >0,b >0，a a b b ≥b a a b .(2)log (a -1)a -log a (a +1)=lg alg a -1-lg a +1 lg a =lg 2a -lg a +1 lg a -1 lg a lg a -1 ，因为a >2，所以lg a +1 >0,lg a -1 >0,lg a >0，所以lg a lg a -1 >0，由lg a +1 lg a -1 <lg a -1 +lg a +1 22=lg a 2-1 22<lg a 222=lg 2a ，所以lg 2a -lg a +1 lg a -1 >0，所以lg 2a -lg a +1 lg a -1 lg a lg a -1 >0，即log (a -1)a -log a (a +1)>0，故log (a -1)a >log a (a +1).10(2020高三·上海·专题练习)设a >5-12，且a ≠1，记x =log a 2 ,y =log a +12,z =log a +22，试比较x ,y ,z 的大小.【答案】x>y>z【分析】根据对数函数的性质，由1<5+12<a+1<a+2，先得到log a+12>log a+22；再分别讨论5-12<a<1，a>1两种情况，得到x>y，即可得出结果.【详解】因为a>5-12，所以1<5+12<a+1<a+2，根据对数函数的性质可得：log a+12>log a+22，即y>z；又a≠1，当5-12<a<1时，1a<25-1=5+12，所以x=log a2=-log a2=log1a 2>log5+122>log a+12，即x>y，因此x>y>z；当a>1时，由a<a+1，得x=log a2=log a2>log a+12，即x>y，因此x>y>z；综上，x>y>z.【点睛】本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，属于常考题型.综合提升练一、单选题1(2024·天津河东·一模)设a=23,b=log23,c=log33，则a,b,c的大小关系为()A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.a<b<c【答案】A【分析】根据对数的单调性以及指数的单调性即可利用中间值求解.【详解】a=23>21=2,b=log23<log24=2,c=log33=2，故b<c<a,故选：A2(2024·河南·模拟预测)设a=log32,b=log333,c=log222,d=20.49，则()A.a<b=c<dB.d<c=b<aC.a<d<b=cD.c<a<d<b【答案】C【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得a,b,c,d的取值范围，即可求解.【详解】由a=log32<log33=1,b=log333=32,c=log222=32,1=20<d<20.5=2，即1<d<2<32，所以a<d<b=c．故选：C．3(2024·陕西安康·模拟预测)若a=11232,b=ln20232024,c=log2738，则()A.b<c<aB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a 【答案】C【分析】根据对数运算以及对数函数单调性可得c>16,b<0，结合分数指数幂运算分析可得0<a<c，即可得结果.【详解】因为c=log2738=13log32>13log33=16>0，a=11232=112 3=1243>0，因为16>1243>0，可知c>a>0，又因为b=ln 20232024<ln1=0，所以b<a<c.故选：C.4(2024·四川·模拟预测)已知a=ln 32,b=13,c=e-2，则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a 【答案】A【分析】利用当x>0时，ln x≤x-1判断a>b，通过函数y=1x在是减函数判断b>c.【详解】当x>0时，设f x =ln x-x+1，则f x =1x-1，当0<x<1时，f x >0，f x 单调递增，当x>1时，f x <0，f x 单调递减，所以f x ≤f1 =0，也就是说当x>0时，ln x≤x-1，用1x代替x，可得ln1x≤1x-1，即ln x≥1-1x，所以ln 32>1-23=13，即a>b．又知13>1e2=e-2，所以b>c，所以a>b>c．故选：A5(2023·天津河北·一模)若a=37-38,b=log1737,c=log1838，则a,b,c的大小关系为()A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a 【答案】D【分析】首先化简a=37-38=73 38>1，b=log773=1-log73<1，c=log883=1-log83<1，再根据log73>log83即可得解.【详解】a=37-38=73 38>73 0=1，即a>1，b=log1737=log773=1-log73<1，c=log1838=log883=1-log83<1，又log73>log83，所以c>b，所以a>c>b，故选：D6(2024·全国·模拟预测)已知a>b>1，则下列各式一定成立的是()A.log a b>1B.ln a-b>0 C.2ab+1<2a+b D.b⋅a b<a⋅b a【答案】D【分析】根据对数函数的单调性即可判断AB；根据指数函数的单调性即可判断C；构造函数f x =ln x x-1x>1，利用导数判断出函数的单调性即可判断D.【详解】对于AB，因为a>b>1，所以log a b<log a a=1，故A错误；因为a>b>1，所以a-b>0，但a-b不一定大于1，故ln a-b不一定大于0，故B错误；对于C，因为ab+1-a+b=a-1b-1>0，则ab+1>a+b，所以2ab+1>2a+b，故C错误；对于D，不等式b⋅a b<a⋅b a等价于a b-1<b a-1，两边取自然对数得b-1ln a<a-1ln b，因为a>b>1,a-1>0,b-1>0，所以原不等式等价于ln aa-1<ln bb-1，设函数f x =ln xx-1x>1，则f x =1-1x-ln xx-12，令g x =1-1x-ln x x>1，则g x =1x2-1x=1-xx2，当x>1时，g x <0，所以g x 在1,+∞上单调递减，故当x>1时，g x <g1 =0，所以f x <0，故f x 在1,+∞上单调递减，所以f a <f b ，即ln aa-1<ln bb-1，故D正确．故选：D．7(2024·宁夏银川·二模)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数，且当x1<x2<2时，[f(x2 )-f(x1)](x2-x1)>0恒成立，若a=f(1)，b=f(ln10)，c=f354，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b【答案】D【分析】根据条件先得到函数的对称性和单调性，再根据单调性比较大小.【详解】当x1<x2<2时，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立，即当x1<x2<2时，f(x2)>f(x1)，函数f(x)在-∞,2上单调递增，又f(x+2)为偶函数，即f(x+2)=f(-x+2)，所以函数f(x)关于x=2对称，则函数f(x)在2,+∞上单调递减，所以a=f(1)=f(3)因为10<523<e3，所以10<52 3<e3所以2<ln10<ln e3=3<35 4，所以f ln10>f3 >f35 4，即c<a<b，故选：D.8(2024·全国·模拟预测)已知a=e π10，b=1+sin9π10，c=1.16，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a【答案】C【分析】先利用常见不等式放缩得到a，b的大小关系，再利用幂函数的单调性比较a，c的大小关系即可得到答案.【详解】令f x =e x-x-1x≥0，则f x =e x-1≥0恒成立，所以f x 在0,+∞单调递增，所以当x>0时，f x >f0 =0，即e x>x+1x>0；令g x =x-sin x x≥0，则g x =1-cos x≥0恒成立，所以g x 在0,+∞ 单调递增，所以当x >0时，g x >g 0 =0，即sin x <x (x >0)；由诱导公式得b =1+sin 9π10=1+sin π10，所以b =1+sin π10<1+π10<e π10，因此a >b ；因为a =e π10<e 410=e 0.4，c =1.16= 1.115 0.4，故只需比较e 与1.115的大小，由二项式定理得，1.115=(1+0.1)15>1+C 115×(0.1)1+C 215×(0.1)2>3>e ，所以c >a ．综上，c >a >b .故选：C【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为：(1)中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系；(2)构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性与极值等性质进而比较大小；(3)放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小.二、多选题9(2023·广东广州·模拟预测)下列是a >b >c (a ，b ，c ≠0)的必要条件的是()A.ac >bcB.ac 2>bc 2C.2a -c >2a -bD.7a +b >7b +c【答案】CD【分析】AB 选项，可举出反例；CD 选项，利用指数函数单调性可进行判断.【详解】A 选项，若c <0，则A 错误，B 选项，等价为a 2>b 2，当a >0>-a >b 时不成立，故B 错误，C 选项，因为y =2x 在R 上单调递增，而a -c >a -b ，所以2a -c >2a -b ，C 正确；D 选项，因为y =7x 在R 上单调递增，而a +b >b +c ，所以7a +b >7b +c ，D 正确.故选：CD10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ,b ,c ，其中a ,c c >a >0 是函数f x =e xx-m m >e 的两个零点．实数b 满足b =log 73a +22c b >1 ，则下列不等式一定成立的有()A.a +c <b +1 B.c -a >b -1C.ca>b D.ac <b【答案】BCD【分析】设g x =e x xx >0 ，利用导数研究其性质，画出大致图象，a ,c c >a >0 是直线y =m 与函数g x 的图象交点的横坐标，数形结合可得0<a <1<c ，又由条件得7b =3a +4c ，可推出7b -c <1，得b <c ，即可判断ABC ；由e a a =e c c 0<a <1<c ，取对数后可得c -aln c -ln a=1，设t =c a ,t >1，令h (t )=2ln t -t +1t ,t >1，利用导数可证得ln c -ln a <c -a ac，进而可判断D .【详解】设g x =e x x x >0 ，gx =e x x -1 x2，当x ∈0,1 时，gx <0，当x ∈1,+∞ 时，g x >0，所以g x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以，当x =1时，g x 取极小值g 1 =e.a ,c c >a >0 是函数f x =e xx-m m >e 的两个零点，即直线y =m 与函数g x 的图象交点的横坐标，如图，由图可知，0<a <1<c ，由b =log 73a +22c b >1 ，得7b =3a +4c ，所以7b -c=47 c +3a 7c <47 c +37 c <47+37=1，所以b <c ，所以0<a <1<b <c ，所以B ，C 正确，无法判断A 是否正确；对于D ，由e a a =e c c 0<a <1<c ，取对数后可得c -a =ln c -ln a ，即c -aln c -ln a =1，ln c -ln a -c -a ac=ln ca -c a +a c ，设t =c a ,t >1，令h (t )=2ln t -t +1t ,t >1，则h(t )=2t -1-1t 2=-(t -1)2t 2<0，所以h (t )在(1,+∞)上单调递减，则h (t )<h (1)=0，所以ln c -ln a -c -a ac=ln ca -c a +a c <0，即ln c -ln a <c -a ac，从而可得ac <c -aln c -ln a ，所以ac <1<b ，D 正确，故选：BCD ．11(2024·重庆·一模)已知3a =5b =15，则下列结论正确的是()A.lg a >lg bB.a +b =abC.12a>12bD.a +b >4【答案】ABD【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D .【详解】由题意得a =log 315>log 31>0，b =log 515>log 51=0，0<1a =log 153，0<1b =log 155，则0<1a <1b ，则a >b >0，对A ，根据对数函数y =lg x 在0,+∞ 上单调递增，则lg a >lg b ，故A 正确；对B ，因为1a +1b =log 153+log 155=1，即a +bab=1，则a +b =ab ，故B 正确；对C ，因为a >b >0，根据指数函数y =12 x 在R 上单调递减，则12 a <12b，故C 错误；对D ，因为a >b >0，1a +1b =1，a +b =a +b 1a +1b =2+b a +ab≥2+2b a ⋅a b =4，当且仅当a =b 时等号成立，而显然a ≠b ，则a +b >4，故D 正确；故选：ABD .三、填空题12(23-24高三上·北京昌平·阶段练习)①在△ABC 中，b =2，c =3，B =30°，则a =；②已知a =90.1，b =30.4，c =log 40.3，则a 、b 、c 的大小关系是【答案】 3+132c <a <b【分析】对于①：利用余弦定理运算求解即可；对于②：根据指、对数函数单调性分析判断.【详解】对于①：利用余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即4=a 2+3-3a ，而a >0，解得a =3+132；对于②：因为a =90.1=30.2，且y =3x 在定义域内单调递增，可得30<30.2<30.4，即1<a <b ，又因为c =log 40.3<log 41=0，所以c <a <b .故答案为：3+132；c <a <b .13(22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习)已知a =log 372,b =1413,c =log 135，则a ，b ，c 的大小关系为.【答案】c <b <a【分析】由题意根据对数函数、指数函数单调性比较大小即可.【详解】由题意c =log 135<log 131=0<b =14 13<14 0=1=log 33<a =log 372，故a ，b ，c 的大小关系为c <b <a .故答案为：c <b <a .14(2023高三上·全国·专题练习)若n ∈N *，n >1，则log n n +1 与log n +1n +2 的大小关系为.(用“<”连接)【答案】log n +1n +2 <log n n +1【分析】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系.【详解】log n +1n +2 log n n +1=log n +1n ⋅log n +1n +2 <log n +1n +log n +1n +2 2 2=log n +1n 2+2n 2 2<log n +1n 2+2n +1 2 2=1，因为n ∈N *，n >1，则log n n +1 >log n 1=0，log n +1n +2 >log n +11=0，所以log n +1n +2 <log n n +1 .故答案为：log n +1n +2 <log n n +1 .四、解答题15(22-23高三上·甘肃兰州·阶段练习)比较下列两组数的大小(写出详细理由)．(1)a =0.40.3，b =0.30.3，c =0.30.4(2)a =log 26，b =log 312，c =log 515【答案】(1)a >b >c (2)c <b <a【分析】(1)由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，可得答案；(2)由题意，根据对数运算性质化简，结合中间值法，可得答案.【详解】(1)由函数y =x 0.3，且0.4>0.3，则0.40.3>0.30.3；由函数y =0.3x ，且0.4>0.3，则0.30.3>0.30.4；则0.40.3>0.30.3>0.30.4，即a >b >c .(2)a =log 22×3 =log 22+log 23=1+log 23，b =log 34×3 =log 34+log 33=1+log 34，c =log 55×3 =log 55+log 53=1+log 53，则log 53<1<log 34<32<log 23，故c <b <a .16(2020高三·全国·专题练习)比较大小：①5.25-1，5.26-1，5.26-2；②0.53，30.5，log 30.5；③log 0.76，0.76，60.7．【答案】①5.25-1>5.26-1>5.26-2；②log 30.5<0.53<30.5；③log 0.76<0.76<60.7．【解析】(1)构造相应的函数，依据其单调性比较函数值的大小，如：y =x -1在(0,+∞)上递减有5.25-1>5.26-1，y =5.26x 是增函数有5.26-1>5.26-2，即可得大小关系；(2)将0.53，30.5，log 30.5与0和1比较大小，即可确定它们的大小关系；(3)利用同底的指数、对数以0、1作为界值，比较log 0.76，0.76，60.7的大小【详解】①∵y =x -1在(0,+∞)上递减，5.25<5.26∴5.25-1>5.26-1，∵y =5.26x 是增函数，-1>-2∴5.26-1>5.26-2综上，5.25-1>5.26-1>5.26-2；②∵0<0.53<1，30.5>1，log 30.5<0∴log 30.5<0.53<30.5；③log 0.76<log 0.71<0，0<0.76<0.70=1，60.7>60=1，则log 0.76<0.76<60.7【点睛】本题考查了比较指数式、对数式的大小，结合相应的指数或对数函数，利用其单调性比较函数值的大小，或以0、1作为界值，结合同底的指数函数或对数函数的单调性比较大小17(2022高三·全国·专题练习)已知a ,b 均为正实数，且a ≠1．(1)比较a b 2+b a2与1a +1b 的大小；(2)比较log a b 3+1 和log a b 2+1 的大小．【答案】(1)a b 2+b a2≥1a +1b (2)答案见解析【分析】(1)利用作差法比较大小，即得答案；(2)结合指数函数以及对数函数的单调性，分类讨论a ,b 的取值范围，即可得答案.【详解】(1)a b 2+b a 2-1a +1b =a -b b 2+b -aa 2=a +b (a -b )2a 2b 2，a ,b 均为正实数，∴a +b >0,(a -b )2≥0，∴a +b (a -b )2a 2b 2≥0,∴a b 2+b a 2≥1a +1b ；(2)当a >1时，函数y =log a x 为增函数；当0<a <1时，函数y =log a x 为减函数．①当b >1时，b 3>b 2，则b 3+1>b 2+1，若a >1，则log a b 3+1 >log a b 2+1 ；若0<a <1，则log a b 3+1 <log a b 2+1 ；②当b =1时，log a b 3+1 =log a b 2+1 ；③当0<b <1时，b 3<b 2，则b 3+1<b 2+1，若a >1，则log a b 3+1 <log a b 2+1 ；若0<a <1，则log a b 3+1 >log a b 2+1 ．综上所述，当a >1b >1 或0<a <10<b <1时，log a b 3+1 >log a b 2+1 ；当a ≠1b =1时，log a b 3+1 =log a b 2+1 ；当a >10<b <1 或0<a <1b >1时，log a b 3+1 <log a b 2+1 .18(22-23高三下·全国·开学考试)已知函数f x =e x -ax -1a ∈R 的最小值为0．(1)求实数a 的值；(2)设m 1=1.1+ln0.1，m 2=0.1e 0.1，m 3=19，判断m 1，m 2，m 3的大小．【答案】(1)a =1(2)m 1<m 2<m 3【分析】(1)求出函数的导函数，分a ≤0、a >0两种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的最小值为f ln a =e ln a -a ln a -1，从而得到ln a +1a -1=0，再令φa =ln a +1a-1，利用导数说明函数的单调性，即可得到a 值，从而得解；(2)由(1)可得e x ≥x +1，当x >-1时两边取对数得到ln x ≤x -1，当x ∈0,1 时，设F x =xe x -1+x-ln x ，根据函数值的情况判断m 2>m 1，当x ∈0,1 时，设G x =x +ln x -ln x1-x，即可判断m 2<m 3，从而得解.【详解】(1)解：由题意得f x =e x -a ．当a ≤0时，f x =e x -a >0，f x 单调递增，无最小值，不满足题意．当a >0时，令f x =0，得x =ln a ．当x ∈-∞,ln a 时，f x <0；当x ∈ln a ,+∞ 时，f x >0．所以f x 在-∞,ln a 上单调递减，在ln a ,+∞ 上单调递增．所以f x 的最小值为f ln a =e ln a -a ln a -1=0，即ln a +1a-1=0．设φa =ln a +1a -1，则φ a =a -1a 2．令φ a =0，得a =1．当a ∈0,1 时，φ a <0；当a ∈1,+∞ 时，φ a >0，所以φa 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，即φa min =φ1 =0．故ln a +1a-1=0的解只有a =1，综上所述，a =1．(2)解：由(1)可得f x =e x -x -1≥0，所以e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立．当x >-1时，不等式两边取对数，得x ≥ln (x +1)，所以ln x ≤x -1，当且仅当x =1时等号成立．当x ∈0,1 时，设F x =xe x -1+x -ln x ，则F x =e x +ln x -1+x -ln x ≥x +ln x +1-1+x -ln x =0，当且仅当x +ln x =0时，等号成立．因为0.1+ln0.1≠0，所以0.1e 0.1-1.1-ln0.1>0，所以m 2>m 1．当x ∈0,1 时，设G x =x +ln x -ln x1-x，因为0<1-x <1，所以G x =x +ln x -ln x +ln 1-x =x +ln 1-x <x +1-x -1=0，。

第17讲幂指对比较大小知识梳理（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同，如1ax 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法必考题型全归纳题型一：直接利用单调性【例1】（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知0.53a =，3log 0.5b =，30.5c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．b<c<a【对点训练1】（2024·天津滨海新·统考三模）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减，若2(log 0.2)a f =，0.2(2)b f =，0.3(0.2)c f =则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c <<B ．<<c a bC ．a c b<<D ．b a c<<【对点训练2】（2024·全国·校联考模拟预测）已知0.1log 0.2a =，lg b a =，2a c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b<c<aD ．b a c<<【对点训练3】（2024·天津·统考二模）设113431log 4,,33a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．c b a<<题型二：引入媒介值【例2】（2024·天津河北·统考一模）若125()3a -=，121log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．c b a>>【对点训练4】（2024·天津南开·统考二模）已知0.22a =，12lg2b =-，32log 10c =-，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a>>B ．a b c>>C ．a c b>>D ．b a c>>【对点训练5】（2024·湖南娄底·统考模拟预测）已知1ln1.1x -=， 1.1log 1.2y =， 1.12z =，则三者的大小关系是（）A ．y x z <<B ．z y x <<C ．x y z<<D ．x z y<<【对点训练6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知5log 11a =，log b =c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b<c<aC ．c<a<bD ．a b c<<题型三：含变量问题【例3】（理科数学-学科网2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷））已知π(0,)6θ∈，2222ln(2cos 1)(2cos 1)a θθ-=-，22ln(cos 1)(cos 1)b θθ-=-，22ln(sin 1)(sin 1)c θθ-=-，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b<c<aB ．a c b <<C ．a b c<<D ．c<a<b【对点训练7】（云南省大理市辖区2024届高三毕业生区域性规模化统一检测数学试题）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c<<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．c<a<b【对点训练8】（江西省宜春市2024届高三模拟考试数学（文）试题）已知实数x ，y ，R z ∈，且满足ln e e ex y z x y z==-，1y >，则x ，y ，z 大小关系为（）A ．y x z>>B ．x z y>>C ．y z x>>D ．x y z>>【对点训练9】（山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题）已知函数()31sin 2f x x x =-，若π0,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos a fθθ=，()()sin sin b f θθ=，12c f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．c a b>>【对点训练10】（2024·陕西西安·统考一模）设0,1a b a b >>+=且1111,log ,log bb a b x y a z ab a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,x y z 的大小关系是（）A ．x z y <<B ．z y x <<C ．y z x<<D ．x y z<<题型四：构造函数【例4】（2024·山东潍坊·三模）已知2024202320222022,2023,2024a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b>>D ．a b c>>【对点训练11】（2024·广西·校联考模拟预测）已知a ，2ln1.3b =，0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．b a c<<【对点训练12】（2024·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知9log a =0.25πb -=，3sin 4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c<<D ．a c b<<【对点训练13】（河北省唐山市开滦第二中学2024届高三核心模拟（三）数学试题）设114a =，31sin 421b =，121e 1c =-，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b>>D ．c a b>>【对点训练14】（湖北省武汉市2024届高三5月模拟训练数学试题）已知()()ln1.01ln ln1.011.01ln1.01a =-，()()sin ln 1cos1.01b =+，()tan sin1.011e c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．c a b<<【对点训练15】（2024·山西大同·统考模拟预测）已知0.1a =，ln1.1b =，221c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a>>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．a b c>>【对点训练16】（2024·河南·模拟预测）已知sin 0.9a =，0.9b =，0.1e c -=，cos0.9d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．a b c d>>>B ．b c a d>>>C ．c b a d>>>D ．b a d c>>>题型五：数形结合【例5】（广东省六校2024届高三上学期第三次联考数学试题）已知1a >，123,,x x x 为函数2()x f x a x =-的零点，123x x x <<，若1322x x x +=，则（）A ．322ln x a x <B ．322ln x a x =C ．322ln x a x >D ．32x x 与2ln a 大小关系不确定【对点训练17】（2024·天津和平·统考三模）已知,,a b c 满足3222,log 2,20a a b b c c -=++=---=，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b<<D ．c b a<<【对点训练18】（2024·广东汕头·统考三模）已知12log a a =，13log b b =，15log c c =，则a ，b ，c 大小为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b<<D ．c b a<<【对点训练19】（江苏省南通市海门市2022-2024学年高三上学期期中数学试题）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c --+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．c b a<<【对点训练20】（河南省洛平许济2022-2024学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题）已知eππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（）A ．c b a<<B ．b c a<<C ．b a c<<D ．c a b<<【对点训练21】（2024·全国·高三专题练习）已知y ＝(x －m )(x －n )＋2023(n >m )，且α，β(α<β)是方程y ＝0的两个实数根，则α，β，m ，n 的大小关系是（）A ．α<m <n <βB ．m <α<n <βC ．m <α<β<nD ．α<m <β<n【对点训练22】（2024·安徽亳州·高三校考阶段练习）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等，定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()e x g x x =-，()ln h x x =，()20232023x x ϕ=+的“躺平点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．c b a>>题型六：特殊值法、估算法C ．c b a>>D ．c a b>>【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）已知3142342,3,log 4,log 5a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（）A ．b a d c>>>B ．b c a d>>>C ．b a c d>>>D ．a b d c>>>【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知a =142b =，2e log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c>>D ．b c a>>【对点训练26】（2024·全国·高三专题练习）三个数22a e =，ln 44b =，ln 33c =的大小顺序为（）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．a b c<<题型七：放缩法【例7】（百师联盟2024届高三二轮复习联考（三）数学（理）全国Ⅰ卷试题）已知m ＝log 4ππ，n ＝log 4ee ，p ＝13e -，则m ，n ，p 的大小关系是（其中e 为自然对数的底数）（）A ．p ＜n ＜mB ．m ＜n ＜pC ．n ＜m ＜pD ．n ＜p ＜m【对点训练27】（四川省绵阳市2024届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题）设0.03e x =，21.03y =，()0.60.4ln ee z =+，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．z y x >>B ．y x z >>C ．x z y>>D ．z x y>>【对点训练28】（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷（三））已知2022a =，2223b =，c a b =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b>>D ．a b c>>【对点训练29】（2024届新高考Ⅰ卷第三次统一调研模拟考试数学试题）下列大小关系正确的为（）A ．()0.010.012ln e e3-+<B ．sin 0.01ln 0.990+<C ．cos 0.01ln1.011+<D ． 2.01 1.993425+>【对点训练30】（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知实数0.9e a =- 5.1log 4b =，6log 5c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b<<B ．a b c<<C ．b a c<<D ．c a b<<【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知4log 5x =，19ln5y =，76z =，则x ，y ，z 的大小关系是（）A ．x y z >>B ．z y x >>C ．x z y>>D ．y z x>>【对点训练32】（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知()e 0.1e 0.1a +=-，e e b =，()e 0.1e 0.1c -=+，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c<<D ．a c b<<【对点训练33】（2024·山东青岛·统考模拟预测）已知3log 2x =，4log 3y =，2334z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则x 、y 、z 的大小关系为（）A ．x y z >>B ．y x z>>C ．z y x>>D ．y z x>>【对点训练34】（2024·广东·统考模拟预测）已知cos 4a =，则2a ，()0.5log a -，0.35a 的大小关系为（）A ．()20.50.35log a a a >->B ．()20.50.35log a a a >>-C ．()20.5log 0.35a a a->>D ．()20.5log 0.35aa a >->题型八：不定方程【例8】（黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2024学年高三下学期清北班阶段性测试（开学考试）数学试卷）已知a 、b 、c 是正实数，且2e 2e e 0a a b b c ++-+=，则a 、b 、c 的大小关系不可能为（）A ．a b c ==B ．a b c >>C ．b c a>>D ．b a c>>【对点训练35】（湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校、浙江省杭州第二中学2024届高三二模联考数学试题）设实数a ，b 满足100110102023a b a +=，101410162024a b b +=，则a ，b 的大小关系为（）A ．a b>B ．a b=C ．a b<D ．无法比较【对点训练36】已知实数a 、b ，满足26log 3log 4a =+，345a a b +=，则关于a 、b 下列判断正确的是()A ．2a b <<B ．2b a <<C ．2a b <<D ．2b a<<【对点训练37】已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是()A ．2a b >>B ．2b a >>C ．2b a >>D ．2a b>>【对点训练38】若4a <且44a a =，5b <且55b b =，6c <且66c c =，则()A ．a b c<<B ．c b a<<C ．b c a<<D ．a c b<<题型九：泰勒展开【对点训练40】设a =0.10.1,,ln 0.99e b c ==-，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<【对点训练41】2ln1.01,ln1.02,1a b c ===-，则（）A ．a b c<<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．a c b<<题型十：同构法【例10】（贵州省毕节市2024届高三诊断性考试（二）数学试题）已知e e m m +=，5e n n +=，则lg n m 与lg m n 的大小关系是（）A ．lg lg n m m n<B ．lg lg n m m n>C ．lg lg n m m n=D ．不确定【对点训练42】（四川省德阳市2024届高三下学期4月三诊考试理科数学试题）已知实数x 、y 满足e ln e ,1=>y x x y y ，则x 、y 的大小关系为（）A ．y x≥B ．y x<C ．y x>D ．y x≤【对点训练43】已知1a >，1b >，且满足2324a b lna ln b -=-，则()A ．22a b>B ．22a b<C ．22a b >D ．22a b <【对点训练44】已知不相等的两个正实数x ，y 满足2244(log log )x y y x -=-，则下列不等式中不可能成立的是()A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y <<D ．1y x<<2025高考数学必刷题【对点训练45】若1alna blnb clnc >>=，则()A ．b c c a a b e lna e lnb e lnc+++>>B ．c a b c a b e lnb e lna e lnc +++>>C ．a b c a b c e lnc e lnb e lna +++>>D ．a b b c c a e lnc e lna e lnb+++>>【对点训练46】若242log 42log a b a b +=+，则()A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【对点训练47】（多选题）已知0a >，0b >且a e lnb a b +>+，则下列结论一定正确的是()A ．a b >B ．a e b >C ．2a e b +>D ．0a lnb +>【对点训练48】（多选题）若242log 42log a b a b +=+，则下列结论错误的是()A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <。

如何解决指数，幂函数，对数的大小的方法指数、幂函数和对数都是数学中常见的数学函数。

它们在数学和实际问题中的重要性不言而喻，因此我们有必要了解如何比较它们的大小。

首先，让我们回顾一下指数。

指数函数是一种形式为f(x) = a^x的函数，其中a是一个常数且a > 0。

指数函数的特点是它随着自变量x的增大而迅速增长。

具体来说，当a > 1时，指数函数增长得非常快，而当0 < a < 1时，指数函数增长得非常慢。

因此，我们可以通过比较指数函数的底数a来确定函数的大小。

例如，f(x) = 2^x和g(x) = 3^x，由于2 < 3，因此对于任意的x值，f(x) < g(x)。

接下来，让我们考虑幂函数。

幂函数是一种形式为f(x) = x^a的函数，其中a是一个常数且a > 0。

幂函数的特点是当自变量x的绝对值增大时，函数值的绝对值也会增大。

具体来说，幂函数的斜率由指数a决定。

当0 < a < 1时，幂函数在自变量x接近0时的斜率非常陡峭，而当a > 1时，幂函数在自变量x接近0时的斜率非常平缓。

因此，我们可以通过比较幂函数的指数a来确定函数的大小。

例如，f(x) = x^2和g(x) = x^3，由于2 < 3，因此对于任意的x值，f(x) < g(x)。

最后，让我们来讨论对数函数。

对数函数是指数函数的逆函数。

对数函数的式子为f(x) = log_a(x)，其中a是一个常数且a > 0。

对数函数的定义域和值域都是正实数集合。

对数函数的特点是它的增长速度非常缓慢。

具体来说，当x增加时，对数函数的增长速度趋于缓慢。

因此，我们可以通过比较对数函数的底数a来确定函数的大小。

例如，f(x) = log_2(x)和g(x) = log_3(x)，由于2 < 3，因此对于任意的x值，f(x) < g(x)。

综上所述，要比较指数、幂函数和对数的大小，我们可以:1.比较指数函数的底数a，较大的底数对应的指数函数更大。

幂比较大小底数法幂比较大小底数法是一种用于比较幂的方法。

在数学中，我们经常需要判断两个幂的大小关系。

幂比较大小底数法就是一种有效的方法来判断两个幂的大小。

幂是指数运算的一种形式，其通常表示为a的n次方，即an。

其中，a称为底数，n称为指数。

底数和指数都可以是整数、小数、分数等等。

要理解幂比较大小底数法，首先需要了解指数运算的性质。

指数运算的一个重要性质是指数的大小关系决定了幂的大小关系。

也就是说，如果两个指数n和m满足n > m，那么an就大于am。

根据这个性质，我们可以推导出幂比较大小底数法的基本原理。

假设有两个幂a的n次方和b的m次方，我们希望比较它们的大小关系。

我们可以先比较底数a和b的大小关系。

如果a大于b，那么an 一定大于bm，无论n和m的大小如何。

如果b大于a，那么bm一定大于an，同样无论n和m的大小如何。

只有当底数a和b相等时，我们需要进一步比较它们的指数n和m的大小关系。

对于相等的底数a和b，我们可以使用正常的大小比较来判断它们的指数n和m的大小关系。

如果n大于m，那么an就大于bm。

如果m大于n，那么bm大于an。

只有当指数n和m相等时，才可以判断它们的幂an和bm的大小关系。

综上所述，幂比较大小底数法的基本思想就是先比较幂的底数的大小关系，然后再比较它们的指数的大小关系。

这个方法可以用来比较任意两个幂的大小。

举个例子来说明幂比较大小底数法的应用。

假设我们要比较2的3次方和3的2次方的大小。

首先比较底数2和3的大小关系，我们知道2小于3。

因此，无论指数是多少，2的幂一定都小于3的幂。

所以，2的3次方小于3的2次方。

幂比较大小底数法在实际应用中有广泛的用途。

比如，在数学中，我们经常需要比较两个幂的大小关系来解决问题。

幂比较大小底数法可以帮助我们快速准确地比较这些幂的大小，从而得到正确的解答。

在计算机科学中，幂比较大小底数法也被广泛应用于算法设计和优化中，可以提高计算效率。

“十大方法”，玩转指对幂比较大小目录一、重难点题型方法方法一：单调性法方法二：“媒介值”法方法三：作差法方法四：作商法方法五：构造函数法方法六：乘方法方法七：对数法方法八：零点法方法九：特殊值法方法十：放缩法二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：单调性法【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)设a=30.9，b=90.5，c=13-12，则( )．A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a 【答案】C【分析】将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解.【详解】因为a=30.8，b=90.5=(32)0.5=31，c=13-12=3-1 -12=312=30.5，又函数y=3x在R上单调递增，1>0.8>0.5，所以31>30.8>30.5所以b>a>c，故选：C例2.(2022秋·四川广安·高一统考期末)a=0.20.3，b=0.20.4，c=log0.20.1，则( )A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b 【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性来比较大小即可.【详解】根据函数y=0.2x在R上单调递减得1=0.20>a=0.20.3>0.20.4=b>0，根据函数y=log0.2x在0,+∞上单调递减得c=log0.20.1>log0.20.2=1，故c>a>b.故选：D.【方法技巧总结】1.指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如a x 1和a x 2，利用指数函数y =a x 的单调性；②指数相同，底数不同，如x a 1和x a 2利用幂函数y =x a单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如log a x 1和log a x 2利用指数函数log a x 单调性比较大小；2.除了指对幂函数，其他函数(比如三角函数，对勾函数等)也都可以利用单调性比较大小。

第2招：一争高下-利用指对幂函数性质比较大小第2招：一争高下 - 利用指对幂函数性质比较大小1.求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过指数(真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.2.利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“,,”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”),也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计.3.利用函数的单调性比较大小:例:在上单调递增,则,,(在单调区间内,单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁).总之,比较数式的大小,若同底,考虑指数函数(或对数函数),若同指,则考虑幂函数,再利用函数的单调性比较大小,若不同底,也不同指,则其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决,或者利用中间量法.方法一:估算法就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数值扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法.例如比较与的大小.因为,进而可估计是一个大于且小于的数,从而便于比较,同理可得为大于且小于的数,所以.方法二:数形结合法就是利用函数图象或数学结果的几何意义,将比较大小与某些函数图象结合起来,利用函数图象性质,再辅以简单计算,确定正确答案的方法.例如已知,,,则( )A.B.C.D.因为,在同一平面直角坐标系中分别作出函数,,的图象,如图所示:由图象知,由于函数为增函数,∴,∴,故选C.方法三:单调性比较法解题时根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较大小,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,然后根据函数的单调性进行比较大小.例如(2020·全国卷II理·11)若,则( )A.B.C.D.本题考查函数的单调性.由,得,即,设函数,则,因为函数在上为增函数,在上为减函数,则在上为增函数,所以函数在上为增函数,所以,所以,所以,故选A方法四:对数法比较大小题型特点:有些题目可以用函数方法或中间量的方法来比较大小,但是有些题目,靠上述手段很难比较大小,我们就需要新的武器——对数法比大小.例如比较与的大小.设,则,设,则,等号两边同时取对数有,,所以,所以,即.(2020·全国卷III理·12)已知,,设,, ,则( )A.B.C.D.【答案】A【解析】本题考查对数函数的性质、不等式的性质.易知,,,由,知,因为,,所以,,即,,又因为, ,所以,即,综上所述,,故选A.1.（2021八省联考）已知且,且,且,则( )A.B.C.D.2.(原创）已知,,,则,,的大小关系为( ) A.B.C.D.3.（原创）三个数,,大小关系是( )A.B.C.D.。