指数函数、幂函数、对数函数增长比较

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。

通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。

1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。

指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。

在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。

2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。

幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。

当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。

对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。

对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。

对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。

指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。

在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。

1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x0510********关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案] y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答] 设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N)．＋作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数1234567891011…累积收益方案一4080120160200240280320360400440…二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252；(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 答案：C4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x) 5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D 2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( ) A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标：1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性．(重点)2.会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．(难点)[自主预习·探新知]指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读教材P98～P103有关内容，完成下列问题．1．三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x>0，n>1时，幂函数y＝x n也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快．思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？[提示]指数函数2．三种函数的增长对比对数函数y＝log a x(a>1)增长最慢，幂函数y＝x n(n>0)，指数函数y＝a x(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有a x>x n>log a x.思考2：在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有log a x<x n<a n成立？[提示]不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，log a x<x n<a x成立．[基础自测]1．思考辨析(1)y ＝x 10比y ＝1.1x 的增长速度更快些．( )(2)对于任意的x >0，都有2x >log 2x .( )(3)对于任意的x ，都有2x >x 2.( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．若x ∈(1,2)，则下列结论正确的是( )A ．2x >x 12>lg xB ．2x >lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．x 12>lg x >2xA3．如图3-6-1所示曲线反映的是________函数模型的增长趋势．图3-6-1对数4．当x >4时，a ＝4x ，b ＝log 4x ，c ＝x 4的大小关系是________.【导学号：60712318】a >c >b[合 作 探 究·攻 重 难]于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.图3-6-2(1)请指出示意图中曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图像，比较f (8)，g (8)，f (2 016)，g (2 016)的大小．[思路探究]先观察图像，比较相关区域函数值的大小，最后得出结论．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)．∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2<2 016.从图像上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8)．[规律方法]三种函数模型的表达形式及其增长特点：(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.[跟踪训练]1.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图3-6-3所示．图3-6-3(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).【导学号：60712319】[解](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[思路探究]首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．[解]设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表．∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三．[规律方法]解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系.[跟踪训练]2．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)【导学号：60712320】[解]设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.乙方案在10年后树木产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材.[1．如图3-6-4给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是什么？图3-6-4提示：由题中图像可知，该函数模型为指数模型．2．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x 呈指数函数变化的变量是什么？提示：由表中的数据变化知，是指数函数变化的变量是y 2.20世纪90年代，气候变化专业委员会向各国政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中CO 2体积分数增加，据测，1990年，1991年，1992年大气中CO 2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位，若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO 2体积分数增加的可比单位数y 与年份增加数x (即当年数与1989年的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r (其中p ，q ，r 为常数)，或g (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数且b >0，b ≠1)．(1)根据题目中的数据，求f (x )，g(x )的解析式；(2)如果1994年大气中CO 2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.【导学号：60712321】[思路探究] (1)列出方程组求系数，从而求解析式；(2)由x ＝5得出函数值，通过比较选择模拟函数．[解] (1)由题目中的数据得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝3，9p ＋3q ＋r ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝12，r ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝3，ab 3＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝83，b ＝32，c ＝－3，所以f (x )＝12x 2＋12x, g (x )＝83·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x－3. (2)因为f (5)＝15，g (5)＝17.25，f (5)更接近16，所以选用f (x )＝12x 2＋12x 作为模拟函数好．[规律方法] 解决函数应用题时的常用方法：(1)先依据给出的数据作出散点图，大体估计函数模型，设出函数模型，列出方程组求系数，即可确定出函数模型.(2)将求出的函数通过数据比较确定出最适合的函数模型.[跟踪训练]3．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．[解] (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， 所以当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列函数中，自变量x 充分大时，增长速度最快的是( )【导学号：60712322】A ．y ＝6xB ．y ＝log 6xC ．y ＝x 6D ．y ＝6x A2．以下四种说法中，正确的是( )A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B ．对任意的x ＞0，x a ＞log a xC ．对任意的x ＞0，a x ＞log a xD ．一定存在x 0，使x ＞x 0，总有a x ＞x n ＞log a xD [对于A ，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B 、C 都受a 的影响．]3．三个变量y 1，y 2，y 3随自变量x 的变化情况如下表：其中关于x ，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________.【导学号：60712323】y 3 y 2 y 1 [由表中数据可知，y 1随x 的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y 2随x 的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y 3随x 的增加增加越来越慢，属于对数函数变化．]4．某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x (q >0，q ≠1)；②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)；③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.③，x 2－8x ＋17 [①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为③由f (1)＝10，f (3)＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝109＋3p ＋q ＝2， 解得p ＝－8，q ＝17，所以，f (x )＝x 2－8x ＋17.]5．用模型f (x )＝ax ＋b 来描述某企业每季度的利润f (x )(亿元)和生产成本投入x (亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y 1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y 2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y 3＝2(亿元)．又11 定义：当f (x )使[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2的数值最小时为最佳模型．(1)当b ＝23时，求相应的a 使f (x )＝ax ＋b 成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y 4(亿元)的值.【导学号：60712324】[解] (1)b ＝23时 ，[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋16， ∴a ＝12时，f (x )＝12x ＋23为最佳模型．(2)f (x )＝x 2＋23，则y 4＝f (4)＝83.。

几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】要点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数(1)xy a a =>和幂函数(0)y x αα=>，通过探索可以发现，在区间()0,+∞上，无论α比a 大多少，尽管在x 的一定范围内，x a 会小于x α，但由于x a 的增长快于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有x a >x α．同样地，对于对数函数log a y x =增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定范围内，log a x 可能会大于x α，但由于log a x 的增长慢于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有log a x x α<．综上所述，在区间()0,+∞上，尽管函数(1)xy a a =>、(0)y x αα=>和log (1)a y x a =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，(1)xy a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)y x αα=>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长则会越来越慢，因此总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log .xa x x a α<<三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）； 2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：(0)y kx b k =+>；（2）线性减少模型：(0)y kx b k =+<．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++<；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++>．（3）指数函数模型()x f x ab c =+（a 、b 、c 为常数，a≠0，b ＞0，b≠1），当1b >时，为快速增长模型；当01b <<时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型()log a f x m x n =+（m 、n 、a 为常数，a ＞0，a≠1）；当1a >时，为平缓增长模型；当01a <<时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型(0)ky k x=≠．当0k >时，函数在区间(),0-∞和()0,+∞上都是减函数；当0k <时，函数在(),0-∞和()0,+∞上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1．（1）已知函数2()2xf x x =-，分别求()f x 在（－1，0）、[0，3）、[3，5）、[5，+∞）上的零点及总个数．（2）比较2x 与x 2的大小关系．（3）通过作图，比较2x 、x 2、log 2x 的大小关系． 【答案】（1）3 （2）略（3）略【解析】运用图象估计零点区间，借助计算器或计算机求出精确解，然后再分区间讨论、比较函数值的大小．应用二分法可求得（－1，0）中x≈－0.7666，[0，3）中x=2.000，[3，5）中x=4.000，[5，+∞）中无零点．∴共有3个零点，分别为x 1≈－0.7666，x 2=2.000，x 3=4.000． （2）在同一平面直角坐标系中画出y=2x ，y=x 2，y=log 2x 的图象，如图所示．当x ∈（－∞，－0.7666）时，2x ＜x 2；当x ∈（－0.7666，2.000）时，2x ＞x 2；当x=－0.7666时，2x =x 2； 当x ∈（2.000，4.000）时，2x ＜x 2；当x=2.000时，2x =x 2； 当x ∈（4.000，+∞）时，2x ＞x 2；当x=4.000 ，2x =x 2．（3）当x ∈（－∞，－0.7666）时，2x ＜x 2；log 2x 不存在；当x ∈（－0.7666,0）时，2x ＞x 2；log 2x 不存在；当x=－0.7666时，2x =x 2； 当x ∈（0，2.000）时，log 2x ＜x 2＜2x ；当x ∈（2.000，4.000）时，log 2x ＜2x ＜x 2；当x=2.000时，log 2x ＜2x =x 2； 当x ∈（4.000，+∞）时，log 2x ＜x 2＜2x ；当x=4.000时，log 2x ＜x 2=2x ．【总结升华】由本例我们可以进一步领悟幂函数、指数函数、对数函数的增长规律，即在（0，+∞）上必存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，log a x ＜x n ＜a x （a ＞1）恒成立．但在（0，x 0）上，该不等式不一定成立．举一反三：【变式1】（2017 北京高考）132223log 5-，，三个数中最大的数是 ． 【答案】2log 5【解析】本题考查幂指对函数比较大小问题．1322212131log 5log 428-=<=>>>>，，2log 5最大．故答案为：2log 5．类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型例2．假设你有一批资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报率如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．【答案】投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．【解析】设第x 天所得回报是y 元，则方案一可以用函数*40()y x N =∈进行描述；方案二可以用函数*10()y x x N =∈进行描述；方案三可以用函数1*0.42()x y x N -=⨯∈进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．如图举一反三：【变式1】我国是电力资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用电的目的，某（2）若该市某家庭某月的用电费为224元，该家庭当月的用电量是多少？【答案】（1）056(0200)06416(200300)096112(300)y .x,x y .x ,x y .x ,x =≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪=->⎩；（2）350【解析】（1）当2000≤≤x 时，x y 56.0=当300200≤<x 时，)200(64.0112-+=x y 当300>x 时，)300(96.0176-+=x y⎪⎩⎪⎨⎧>-=≤<-=≤≤=∴)300(,11296.0)300200(,1664.0)2000(,56.0x x y x x y x x y（2）由（1）知300>x由22411296.0=-x ，得x =350 ∴ 该家庭月用电量为350千瓦时例3．（2018 江苏新沂市模拟）设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m （万元）与总支出n （万元）近似地满足下列关系：9124m x =-，217544n x x =-++，当m ―n ≥0时，称不亏损企业；当m －n ＜0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？ 【思路点拨】（1）通过解不等式m －n ≥0，计算即得结论；（2）通过（1）可知当0＜x ＜4时企业亏损，通过配方可知亏损额219(1)44n m x -=--+，进而计算可得结论．【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x =1时，n －m 取最大值94【解析】（1）依题意，m －n ≥0，即2911752444x x x -≥-++， 整理和：2280x x --≥，解得：x ≥4或x ≤－2（舍），∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机； （2）由（1）可知当0＜x ＜4时企业亏损，亏损额22179119(5)()(1)442444n m x x x x -=-++--=--+， ∴当x =1时，n －m 取最大值94，答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．【总结升华】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意分析题设条件中的数量关系，合理地进行等价转化，注意解题方法的积累．举一反三： 【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x = t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y = f （t ）的图象大致是（ ）【答案】D【解析】函数22(01)2()(12)2t tS tt t≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩故选D．例4．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数关系式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？【答案】复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．【解析】按复利计算利息，也就是增长率问题．已知本金为a元．1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r)；2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2；3期后的本利和为y3=a(1+r)3；……x期后的本利和为y=a(1+r)x．将a=1000（元），r=2.25%，x=5代入上式得y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255．由计算器算得y=1117.68（元）．答：复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．【总结升华】上述公式y=a(1+r)x是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y=a(1+xr)．其中a为本金，r为每一期的利率，x为期数．举一反三：【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．【答案】219.01【变式2】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下的问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；（4）如果20年后该城市的人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？【答案】（1）y=100×（1+1.2)x；（2）15年；（3）0.9%．【解析】本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律．（1）1年后该城市人口总数为：y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；2年后该城市人口总数为： y=100×(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2； 3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3； ……x 年后该城市人口总数为：y=100×（1+1.2)x ． （2）10年后，人口总数为：100×(1+1.2%)10≈112.7（万人）． （3）设x 年后该城市人口将达到120万人， 即100×(1+1.2%)x=120，1.0121.102120log log 1.215()100x ==≈年． （4）设年增长率为x ，依题意，得100×(1+x)20≤120， 由此有(1+x)20≤1.2，由计算器计算得1+x≤1.009，∴x≤0.009=0.9%， 即年自然增长率应控制在0.9%以内．【总结升华】这是一类增长率问题，在实际问题中，有关人口增长、银行利息、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y=N(1+p)x （其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间）的形式．【巩固练习】1．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是（ ） A ．y=1，x ∈Z B ．y=x C ．y=2x D ．y=e x2．某厂日产手套总成本y （元）与手套日产量x （副）的函数解析式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ）A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是（ ）A ．增加7.84%B ．减少7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减）A ．2log v t =B ．12log v t = C ．212t v -= D ．22v t =-5．如下图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y=f (x)的图象大致为下图中四个选项中的（ ）6．某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B 种贴水债券面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C 种面值为1000元，半年到期本息和为1020元. 设这三种债券的年收益率分别为a , b, c ，则a , b, c 的大小关系是（ ）A 、a=c 且a ＜bB 、a ＜b ＜cC 、a ＜c ＜bD 、c ＜a ＜b7．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x ，2010年底世界人口数为y （亿），那么y 与x 的函数关系式为________．8．（2018 四川广元模拟）某城区按以下规定收取水费：若每月用水不超过20 m 3，则每立方米收费按2元收取；若超过20 m 3，则超过的部分按每立方米3元收取，如果某户居在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元，则这户居民这月共用水________m 3．9．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是21()f x x =，2()4f x x =，32()log f x x =，4()2x f x =如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是 ．10．（2018 江苏新沂市期末）设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m （万元）与总支出n （万元）近似地满足下列关系：9124m x =-，217544n x x =-++，当m ―n ≥0时，称不亏损企业；当m －n ＜0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？11．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x 元与日销售量y 件（Ⅰ）确定x 与y 的一个一次函数关系式()x f y =；（Ⅱ）若日销售利润为P 元，根据（Ⅰ）中关系写出P 关于x 的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？【答案与解析】 1．【答案】D【解析】 指数函数模型增长速度最快，并且e ＞2，因而y=e x 增长速度最快．所以选D ． 2．分析：根据题意列出出厂价格和成本之间的不等关系式：5x +4000≤10x ，解出即可． 【答案】D【解析】由5x +4000≤10x ，解得x ≥800，即日产手套至少800副时才不亏本． 故选D ．点评：主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．3．【答案】B 【解析】设该商品原价为a ，四年后价格为a(1+0.2)2(1―0.2)2=0.9216a ．所以(1―0.9216)a=0.0784a=7.84%，即比原来减少了7.84%．4．【答案】C【解析】取t=1.99≈2，代入A ，得v=log 22=1≠1.5；代入B ，得12log 21 1.5v ==-≠；代入C ，得221 1.52v -==；代入D ，得v=2×2－2=2≠1.5．故选C ．5．【答案】C【解析】 设AB=a ，则222211112222y a x x a =-=-+，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方，故选C ．6．【答案】C【解析】40a =元 ，设买B 种债券一年后本期和为x 元，960:10001000:x =，则1041.5x ≈，一年后收益为b =41.5元,同理求得 40.4c =元,故选C.7．【答案】y=54.8(1+x)18【解析】由增长率的基本公式y=a(1+x)n 可写出． 8．【答案】25【解析】设他这个月共用了x 立方米的水，则所交水费2,020()403(20),0x x f x x x ≤≤⎧=⎨+->⎩，∵某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元，超过了2元， ∴x ＞20，则由20×2+(x －20)×3=2.2x 得40+3x －60=2.2x ， 即0.8x =20，得x =25．故他这个月共用了25立方米的水． 故答案为：25．9．分析：根据题意，本题实际考查各类函数的增长模型，通过对四类函数分析，指数函数增长最快，选出选项．【答案】4()2xf x =【解析】根据题意，最终跑在最前面的人一为函数值最大的函数，通过分析各种类型函数的增长21()f x x =，2()4f x x =，32()log f x x =，4()2x f x =中，4()2x f x =增长最快，如图故答案为：4()2xf x =．点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，通过对二次函数，一次函数，对数函数，指数函数的分析选出选项．10．【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x =1时，n －m 取最大值94【解析】（1）依题意，m －n ≥0，即2911752444x x x -≥-++， 整理得：2280x x --≥，解得：x ≥4或x ≤－2（舍），∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机； （2）由（1）可知当0＜x ＜4时企业亏损，亏损额22179119(5)()(1)442444n m x x x x -=-++--=--+， ∴当x =1时，n －m 取最大值94，答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．11．【答案】当x =42时，P 最大=432, 【解析】（I ）因为f (x )为一次函数，设y =ax +b ，解方程组45b 27,5012,a ab +=⎧⎨+=⎩ 得a =－3，b =162,故y =162－3x 为所求的函数关系式， 又∵y ≥0，∴0≤x ≤54． （II ）依题意得：2(30)(30)(1623)3(42)432P x y x x x =-⋅=-⋅-=--+当x =42时，P 最大=432,即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．。

《 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》本节是第三章第六节内容，专门研究指数函数、对数函数、幂函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节学习，可以引导学生积极的展开观察、思考和探究活动。

【知识与能力目标】1、由前面学习指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的基础上,列表画出函数的图像；2、会利用指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。

【过程与方法目标】1、让学生借助表格和图形了解指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像之间的关系，以及变化；2、学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质。

【情感态度价值观目标】使学生通过学习指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢，在学习的过程中体会“指数爆炸”的含义,增强学习函数的积极性和自信心。

【教学重点】列表观察指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的增长快慢。

【教学难点】指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分[互动过程1]复习:指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质．请你画出函数的草图,并观察比较函数图像的变化。

你能判断出哪个函数的函数值随的增长速度增长的比较快吗？二、研探新知，建构概念[互动过程2]提出问题：当时，指数函数是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。

当时，指数函数是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。

当时,幂函数显然也是增函数,并且当n越大时,其函数值的增长就越快。

那么对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢？我们通过对三个具体函数的函数值（取近似值）的比较,来体会它们增长的快慢。

1．完成下表（借助科学计算器或设计程序通过计算机完成）。

2．利用上表中的数据完成下表[互动过程3]1．谈谈你对这三个函数值增长快慢的体会．结论: 在这三个函数中，指数函数增长最快，人们常称这种现象为“指数爆炸”。

《指数函数、嘉函数、对数函数增长的比较》1、指数函数的图像与性质指数函数a。

的图像和性质a > 10 < 6Z < 1图像性质定义域____________________ ,值域___________________图像都经过点____________________当x〉0时， ______________W|XV（）时，___________当x〉0时，_______________当x<0时， _______________在________________________上是增函数在________________________上是减函数2、慕函数的图像与性质⑴一般地，帛函数了 =芝有下列性质：当a〉0时，①图像都通过点、；②在第一象限内，函数值；③在第_象限内，a>\时，图像；④ 在第_象限内，过（1,1）点后,图像o当。

<0时，①图像都通过点；②在第一象限内，函数值，图像是:③在第一象限内，图像,向右；④在第一象限内，过（1,1）点后，|。

|越大，图像3、对数函数的图像与性质y = log/ （" > 0,"。

1）的图像和性质。

图像a>\()<。

< 1上是减函数补充性质三【课堂探究】 指数函数当。

〉1时，指数函数y ="是函数,并且当。

越时，其函数值的增长就,当。

>1时，对数函数y = log,x 是函数,并且当〃越 时，其函数值的增长就越(1) 定义域. (2) 值域3(3) 当工=1时，》〉0,即过定可2当0vxv 1 时，当时,1 23 X(5)在⑸在 'log ；'，其中 a>上是增函数 设 Vi =lo&', y 2 =\ , b> \ (或0 v 。

< 1,0<b<\ )o当x>l 时，“底大图低”，即若a>b,则； 当Ovx< 1时，“底大图高"，即若a>b f 则蓦函数当x> 0,n > 1时，序函数y = x n是增函数，并且当x>l时，n越,其函数值的增长就越> = /对于上述三种增加的函数，它们的函数值的增长快慢有何差别呢？现在比较函数)，=2>y = x2, y = log2 x图像增长快慢比较(如下图)结果：对数函数)，= lOg2X增长最慢，幕函数和指数函数)，=2'快慢叶y=、2则交替进行：在(0,2)上，2'x2i "在(2,4) ±, 2’X2.. 3 \在(4,+8)上，2* __%2\I规律总结：\J(1)在区间(0,+8)上，尽管y = a\a>V), y = \og J x(a>\), y-x"(n〉函数，但它们的增长速度不同.(2)对数函数增长最；(3)当自变量尤大于某一个特定值时，指数函数比幕函数增长快.即总会存在一个毛，当x>x()时，就有lo S/x Z由于指数函数增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”.例1：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？四、【课堂练习】1、比较下列各题中两个值的大小:(1)3°・8,3°气(2) 0.86,1.25°2；(3)2七1.炉；(4) log32.5,log52.52、比较函数y = 4\> = 与y = log,x的增长情况。

《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学案例三亚市第二中学姜治平在高一数学必修Ⅰ第三章《指数函数和对数函数》中第六节《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》的教学时我是这样引入情景的：当a﹥0时指数函数y=a 与幂函数y=x (x﹥0)都是增函数。

当a越大时，其函数值的增长就越快，对数函数y=log x也是增函数，并且当a 越小时，其函数值的增长就越快。

对于这三个增加的函数，它们的函数值的增长快慢有何差别？我们先以三个具体函数y=2 ,y=x (x﹥0),y=log x的函数值（取近似值）比较体会它们增长的快慢，请同学自己动手用计算器来完成书上的表格，同学们还可以做出这三个函数的图像，分别来研究它们的增长的快慢，然后请同学们来谈谈你对这三个函数增长快慢的体会。

这堂课充分体现学生在课堂的主体地位，让学生主动探索、自主探究，调动他们的积极性。

既是学习知识又是动手实践。

从函数值和图像两个方面的来比较这三个函数的增长快慢可以弥补只是从比较函数值这一单一的方式来比较函数的增长快慢，使学生建立数型结合的思维能力。

这也是学习函数的重要方面。

函数应与实际相结合，才能学为所用，指数函数值增长非常快，人们称为“指数爆炸”，这个函数和生活联系最为紧密。

多角度来研究函数有助于开阔学生视野，增强他们的自信心，突出赏识教育这一主题。

这一节课由于是自主探索的课程，与以往的教学方式并不完全相同，学生能够感觉到知识并不一定来源于书本，动手实践一样是获得知识的重要手段和方法，再将所得数据进行再加工提炼得到新知识，这也正符合一切新知的产生过程，说明数学学习与其它学科的学习是相同的，有异曲同工之妙。

教师在这堂课中作用是引发学生的积极性，使课堂气氛贯穿始终，说的更明白一些就是穿针引线的作用，不要过多的干预学生自主学习的机会，让他们觉得函数并不空洞，而是有血有肉的实体，学生在学的过程中也要把握好重点，我们研究的是这三个函数的增长的快慢情况，而不仅仅是求函数值和画像，更重要的是分析增长情况，只有在教师和学生的积极配合下这堂才能充满生机。

4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【教学目标】重点、难点1、理解指数函数、幂函数、对数函数增长速度；（重点）2、会对指数函数、幂函数、对数函数增长进行比较；（难点）学科素养通过对指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，培养数学运算素养.【知识清单】1、指数函数、幂函数、对数函数增长的趋势当自变量x趋于无穷大时，指数函数y=a x(a>1)增长速度最快，其次是幂函数y=x a(a>0)，增长速度最慢的是对数函数y=log a x.【基础过关】1、已知函数y＝x a，y＝x b，y＝x c的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b【经典例题】题型一指数函数、幂函数、对数函数增长速度例1、函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________例2、已知函数：①y ＝2x ；①y ＝log 2x ；①y ＝x －1；①y ＝12x ；则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )A ．①①①①B ．①①①①C ．①①①①D ．①①①①【课堂达标】1．下面给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（ ）A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tB ．C ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 22．设0.5log 3a =,0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则下列选项中正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.已知该动物的数量y （只）与引入时间x （年）的关系为()2log 1y a x =+，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为（ ） A ．300B ．400C ．600D ．7004．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，这样一个细胞分裂__________次以后，得到的细胞个数是128个.() A ．5B ．6C ．7D ．85.将121.2，121.5，1按从小到大的顺序排列为______.6.已知幂函数()f x k x α=⋅的图象过点1(,2)2，则k α+=_______【能力提升】1．设0.90.117.log 0.9,log 0.9, 1.1a b c ===，则比较,,a b c 大小顺序是（ ） A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<2．在某试验中，测得变量x 和变量y 之间的对应数据如下表.则下列函数中，最能反映变量x 和y 之间的变化关系的是( ) A ．2x y =B ．21y x =-C ．22y x =-D ．2log y x =3．下列函数中，既是偶函数，又是(0,)+∞上的增函数是（ ）A ．12y x =B ．12log ||y x =C ．22x x y -=+D ．22x x y -=-4．下列函数中不是幂函数的是( )A ．y =B ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝x －15．已知等式23log log m n =，m ，(0,)n ∈+∞成立，那么下列结论：（1）m n =；（2）1n m <<；（3）1m n <<；（4）1n m <<；（5）1m n <<；其中可能成立的是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（5）C ．（3）（4）D ．（4）（5）6.给定函数（1）1y x =；（2）21y x =-+；（3）1y x =-；（4）3y x =，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是__________7．已知33255()(3)m m m +≤-，求实数m 的取值范围.8．如图所示，某种药物服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间满足函数关系式；不超过1小时为y=kt ，1小时后为1()2t a y -=．（1）写出y 与t 之间的函数关系式． （2）如果每毫升血液中含药量不少于14微克时治疗有效，那么服药后治疗有效的时间是多长？5【参考答案】【知识清单】 【基础过关】 1、A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ． 考点：幂函数的图像特征． 2、D 【解析】 【分析】根据函数单调性及二者间的对称性即可得到结果. 【详解】当01a <<时，函数x y a =与log a y x =都是减函数，所以观察图像知，D 正确．故选D 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了反函数的性质，属于基础题. 【经典例题】例1、2yx6【解析】由于对数函数y=lnx 在区间(0，＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x ，所以函数y ＝x 2比函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快，填2y x =. 例2、D 【解析】 【分析】 【详解】图一与幂函数图像相对应，所以应为①；图二与反比例函数相对应，所以应为①；图三与指数函数相对应，所以应为①；图四与对数函数图像相对应，所以应为①． 所以对应顺序为①①①①，故选D ． [课堂达标] 1．A 【解析】 【分析】从所给的散点图可知，图象大约过()()()2,4,4,16,6,64，依此可判断出结果. 【详解】从所给的散点图可知，图象大约过()()()2,4,4,16,6,64，所以该函数模型应为指数函数． 故选：A 【点睛】本题主要考查函数模型的选择，解题的关键是看出函数的变化趋势和所过的特殊点，属于基础题.72．A 【解析】 【分析】对于根据指数对数函数的图象和性质，通过判断,,a b c 和0，1之间的大小关系得,,a b c 之间的大小关系． 【详解】解：0.50.5log 3log 10a =<=，0.2110331b <=⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭=>， 故a b c <<， 故选A ． 【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，先判断出各个量的范围，进而得到它们的大小关系． 3．A 【解析】 【分析】先利用1x =时，100y =求得a 的值，由此求得函数y 的解析式，再令7x =求得所求结果. 【详解】将1x =，100y =代入()2log 1y a x =+中，所得()2100log 11a =+，解得100a =，则()2100log 1y x =+，所以当7x =时，()2100log 71300y =+=. 故选：A. 【点睛】8本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查对数运算，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】由题意，n 次分裂后，共有2n 个，故可得方程，从而得解． 【详解】由题意，n 次分裂后，共有2n 个，所以有2128n =， ①7n =，故选C. 【点睛】本题主要考查指数函数的运用，考查由实际问题选择函数类型，属于基础题．5、11221 1.2 1.5<<【解析】 【分析】构造函数y x =【详解】解：构造函数y x =y x =在(0,)+∞上单调递增，又1.5>1.2>1，1.5 1.21>>即11221 1.2 1.5<<，9故答案为：11221 1.2 1.5<< 【点睛】本题考查利用函数单调性比较大小，根据式子特点找到函数y x =6.0 【解析】试题分析：因为是幂函数，所以，得12()2α=，1α∴=-，0k α∴+=.考点：幂函数的定义. 【能力提升】 1．A 【解析】 【分析】利用对数函数的性质推导出01,0a b <<<，利用指数函数的性质推导出1c >，由此能求出结果．【详解】解：0.70.70.70log 1log 0.9log 0.71a =<=<=，1.1 1.1log 0.9log 10b =<=，0.901.1 1.11c =>=， b a c ∴<<．故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的合理运用，是基础10题． 2．D 【解析】 【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论. 【详解】将0.50x =， 1.01y =-代入计算，可以排除A ； 将 2.01x =0.98y =代入计算，可以排除B ，C ； 将各数据代入函数2log y x =，可知满足题意. 故选：D . 【点睛】本题主要考查拟合函数，注意排除法的应用，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】根据函数解析式，求得函数单调性和奇偶性即可容易判断. 【详解】对12y x =，其定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，故其不是偶函数，故A 错误； 对12log ||y x =，其在(0,)+∞是减函数，故B 错误；11 对22x x y -=+，其是偶函数，且在()0,+∞上为增函数，故C 正确；对22x x y -=-，其是奇函数，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及指数函数，对数函数，幂函数的性质，属综合基础题. 4．C 【解析】由幂函数的定义知y x =3y x =，1y x -= 均为幂函数，2y x =为正比例函数，不是幂函数，选C.5、AB【解析】【分析】依题意，可设2t m =，3t n =，结合指数函数的性质，分0t =，0t <及0t >讨论即可得解．【详解】设23log log m n t ==，则2t m =，3t n =，当0t =时，1m n ==，故（1）正确；当0t <时，01n m <<<，故（2）正确；当0t >时，1n m >>，故（5）正确；故选：AB.【点睛】12本题考查对数式与指数式互化以及利用幂函数的单调性比较大小的问题，本题也可以采用数形结合法来处理，是一道中档题.6、(1)(2)(3)【解析】【分析】 由减函数的定义和常见函数的性质可以直接判断.【详解】由减函数的定义和常见函数的性质可得: (1)1y x=在()0,∞+上单调递减,满足题意; (2)21y x =-+在R 上单调递减,满足题意; (3)1y x =-在(),1-∞上单调递减,满足题意; (4)3y x =在R 上单调递增,不符合题意. 故答案为: (1)(2)(3).【点睛】本题考查了常见函数单调性的问题,属于基础题.7、[3,1]m ∈-【解析】【分析】 根据函数的单调性得到关于m 的不等式，解出即可．【详解】解：设函数35y x =，函数为R 上的单调递增函数33255()(3)m m m +≤-， 23m m m ∴+≤-+13 22-30m m ∴+≤31m ∴-≤≤所以，m 的取值范围为：[3,1]m ∈-【点睛】本题考查了幂函数的单调性问题，考查不等式问题，属于基础题．8．（1）y=f （t ）=()()t 34t 0t 11()t 12，-⎧≤≤⎪⎨≥⎪⎩； （2）服药一次治疗疾病的有效时间为5-116=41516小时.【解析】【分析】（1）由题设条件中的图象，利用数形结合思想能求出服药后y 与t 之间的函数关系式（2）得到关于t 的不等式组，即可解出结果．【详解】（1）当0≤t≤1时，y=4t ；当t≥1时，y=（12）t -a ，代入点(1,4)，解得a=3， ①y=f （t ）=()()t 34011()12t t t -⎧≤≤⎪⎨≥⎪⎩，；（2）①因为f （t ）≥0.25，即t340.251()0.252t -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得1165tt⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，①116≤t≤5，所以服药一次治疗疾病的有效时间为5-116=41516小时．【点睛】本题考查函数关系式的求法，考查函数的生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．141516。