专题幂函数以及函数的应用(解析版)

函数与导数06 函数 幂函数一、具体目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象,了解它们的变化情况.二、知识概述： 1.幂函数的概念(1)一般地，形如ny x =的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，n 是常数．(2)在同一平面直角坐标系中，幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象的比较如下．2.幂函数的性质：（1）恒过点(1,1)；（2）在第一象限当0n >时ny x =是增函数，当0n <时ny x =是减函数； （3）幂函数的图象不经过第四项限. 3.判数函数是幂函数的依据：【考点讲解】幂函数错误!未找到引用源。

，其中错误!未找到引用源。

为常数，其本质特征是以幂的底错误!未找到引用源。

为自变量，指数错误!未找到引用源。

为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 4.在错误!未找到引用源。

上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴 (简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．5.幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．1. 【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=【解析】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性问题，由题意可知函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增.故选A.【答案】A【真题分析】2.【2018优选题】函数()()952411＝－－-+m m f x m m x是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，+∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，ab <0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【解析】由题意可知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递增．∵()()952411＝－－-+m m f x m m x是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，4m 9－m 5＋1＝4×29－25＋1＝2017， f (x )＝x 2017 在(0，＋∞)上为增函数，符合题意；当m ＝－1时，4m 9－m 5＋1＝4×(－1)9－(－1)5＋1＝－2, f (x )＝x -2在 (0，＋∞)上为减函数，不符合题意．∴f (x )＝x 2017，该函数为R 上的奇函数，且为R 上的增函数．∵a ＋b >0，∴a >－b ，∴f (a )>f (－b )＝－f (b )，即f (a )＋f (b )>0.故选A. 【答案】A3.【2018优选题】在同一平面直角坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax ＋1a的图像可能是( )【解析】当a ＞0时，函数y ＝x a 在第一象限单调递增，直线y ＝ax ＋1a 经过第一、二、三象限，无选项符合题意；当a ＜0时，函数y ＝x a 在第一象限单调递减，直线y ＝ax ＋1a 经过第二、三、四象限，选项B 符合题意．故选B. 【答案】B4.【2016全国Ⅲ】已知a ＝432，b ＝233，c ＝1325，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】∵b ＝233＝433，c ＝1325＝235＝435，a ＝432，且函数y ＝43x 在区间(0，＋∞)上单调递增，5>2>3，∴)435>432>433，∴b <a <c .故选A.【答案】A5.【2019优选题】幂函数f (x )的图像经过点(4，2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a ) < f (b ) < f ⎝⎛⎭⎫1a < f ⎝⎛⎭⎫1bB ．f ⎝⎛⎭⎫1a < f ⎝⎛⎭⎫1b < f (b ) < f (a )C ．f (a ) < f (b ) < f ⎝⎛⎭⎫1b < f ⎝⎛⎭⎫1aD ．f ⎝⎛⎭⎫1a < f (a ) < f ⎝⎛⎭⎫1b < f (b ) 【解析】设幂函数的解析式为f (x )＝x α，由f (x )的图像经过点(4，2)，得4α＝2，解得α＝12，即f (x )＝12x .∵f (x )＝12x 在(0，＋∞)上是增函数，且0 < a < b < 1，∴0 < a < b < 1b < 1a ，∴f (a )< f (b ) < f ⎝⎛⎭⎫1b < f ⎝⎛⎭⎫1a . 【答案】C6.【2018上海卷7】已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧---∈3,2,1,21,21,1,2α，若幂函数αx x f =)(为奇函数，且在0+∞（，）上递减，则α=_____【解析】本题考点是幂函数与奇函数的综合应用，由题意可知幂函数要满足两个条件，一个条件就是奇函数，此时3,1,1-=α，另一个条件是在区间0+∞（，）上递减，此时1-=α，所以答案是-1. 【答案】1-7.【2014上海,理9】若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .【解析】根据幂函数的性质，由于1223<，所以当01x <<时2132x x <，当1x >时，2132x x >，因此()0f x <的解集为(0,1). 【答案】(0,1)8.【2019优选题】幂函数1222)33)(+-+-=m m x m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．【解析】若幂函数1222)33)(+-+-=m m xm m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则由2331m m -+=，解得：2m =或1m =，2m =时，()f x x =，是增函数，1m =时，()1f x =，是常函数，故答案为2．【答案】29.【2017优选题】幂函数错误!未找到引用源。

幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。

3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c>>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．<<c a bD ．c b a<<【答案】A【解析】 3()f x x =，在R 上单调递增，而()(3)a f b f π=-=-，，根据单调递增的性质，得0a b <<，又1c =，所以a b c <<.故选：A6（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）下列比较大小正确的是（）A 12433332-->>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】 幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。

专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0<b ,a <b ，则b >-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b <b aC.sin b <b a <log 12cD.sin b <log 12c <b a【答案】B【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得a ,b ,c 的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判断即可.【解析】因为y =x a 图象过1,1 ，故由图象可得a <0，又y =b x 图象过0,1 ，故由图象可得0<b <1，又y =log c x 图象过1,0 ，故由图象可得c >1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b <b a .故选：B14(2024高三·全国·专题练习)在同一平面直角坐标系中，函数y =1a x，y =log a x +12 (a >0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a <b <1B.0<a <1<bC.0<b <1<aD.a <0<1<b【答案】B【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到a ,b 的范围，从而得到结果.【解析】由图象可得，指数函数y =a x 为减函数，对数函数y =log b x 为增函数，所以0<a <1,b >1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】D【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a ,b ,c ∈0,1 ，得到log a b <1=log a a ，求出b>a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a <b <1．由g c +f g a c =0，得ln c +e ln a c=0，即ln c +a c =0．易知a c >0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】A【分析】令g x =e x -x -1，利用导数求得g x 在(0,1)单调递增，得到g x >g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a <b <c【答案】C【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.【解析】b =log 1225>log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a <b 2，故选项C 正确．当a ,b ∈(0,1)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a >log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。

第1页共8页2023-2024学年高中数学必修一：幂函数及函数的应用
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是(B )
A ．y ＝－x 3
B ．y ＝x －3
C ．y ＝2x 3
D ．y ＝x 3－1
解析：由幂函数的定义可得y ＝x －3是幂函数．
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(B
)
A ．310元
B ．300元
C ．290元
D ．280元
解析：由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b (a ≠0)，将(1,800)，
(2,1300)代入得a ＝500，b ＝300.故y ＝500x ＋300，当x ＝0时，y ＝300.
3．若f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )≥2，则当x ≤0时有
(B )
A ．f (x )≤2
B ．f (x )≥2
C ．f (x )≤－2
D ．f (x )≥－2
解析：当x ≤0时，－x ≥0，f (x )＝f (－x )，所以f (－x )≥2，所以当x ≤0时，f (x )≥2.故选B.
4.在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a
的图象可能是(C )。

知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质： 幂函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 321x yy ＝x －1教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.幂函数的概念数学抽象水平1水平11.了解幂函数的定义，能区别幂函数与指数函数。

2.能够使用幂函数的简单性质实行实数大小比较。

3.通过作出一些简单幂函数的图像，能根据图像描述出这些简单幂函数的基本性质。

【考查内容】幂函数的图像与性质、指数幂的大小比较。

【考查题型】选择题、填空题、解答题【分值情况】选择、填空题5分，解答题4分2.幂函数的图像与性质 直观想象 水平1 水平23.幂指数对图像的影响 数学运算 水平1 水平14.幂函数的凸凹性 数学运算 水平1 水平1第十二讲 幂函数知识通关{y|y∈R，且y≠0}奇x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减题型一幂函数的概念规律方法判断函数为幂函数的方法例1、(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3(2)若f(x)＝(m2－4m－4)x m是幂函数，则m＝________.解析：(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B．(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.答案(1)B (2)5或－1【变式训练1】（1）幂函数)(xf的图像过点)9,3(3，则)()8(=fA. 8B. 6C. 4D. 2（2）设}1,21,3,2,1{-∈α，则使函数αxy=的定义域为R且函数αxy=为奇函数的所有α的值为（）A .3,1- B. 1,1- C. 1,3 D. 3,1,1-2、(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在n 取±2，±12四个值，则相对C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点)21,2(--分别在幂函数f(x)，的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．（1）根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①幂函数图像在定义域(0,1)上的部分，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴 (简记为指大图低)； ②幂函数图像在定义域(1，＋∞)上的部分，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系， 即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或21x y =或y ＝x 3)来判断．（当0<α时，在第一象限内为双曲线型；当10<<α时，在第一象限内为抛物线型，且开口向右；当1>α时，在第一象限C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B ． （2）设f(x)＝x α，g(x)＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x 2，g(x)＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； ②当x ＝1时，f(x)＝g(x)； ③当x ∈(0,1)时，f(x)<g(x)． 答案 B【变式训练2】如图是函数nm x y = (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn>1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >1解析：由图象可知y ＝x mn 是偶函数，而m ，n 是互质的，故m 是偶数，n 是奇数，又当x ∈(1，＋∞)时，nm x y =的图象在y ＝x 的图象下方，故mn <1.答案 C题型三 利用幂函数的性质比较大小规律方法 比较幂值大小的三种基本方法例3、比较下列各组数中两个数的大小：(1)3.0)52(与3.0)31(；(2)1)32(--与1)53(--解析：(1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，又3152>，所以3.03.0)31()52(>. (2)因为幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又5332-<-，所以11)53()32(--->-. 【探究1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为")31()52("3.03.0-与，则二者的大小关系如何？ 解析：因为3.03.03)31(=-，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，又352<，所以3.03.03)52(<.即3.03.0)31()52(-<. 【探究2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为"3.0)52("523.0与，则二者的大小关系如何？ 解析：因为x y )52(1=在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以523.0)52()52(>，又因为函数522x y =在(0，＋∞)上为增函数，且3.052>，所以52523.0)52(>，所以523.03.0)52(>.【变式训练3】 比较下列各组数的大小：(1)33)5.2()2(----与；(2)8787)91(8---与；(3)533252)9.1()8.3()1.4(--与与.解析：(1)∵幂函数3-=x y 在)0,(-∞上为减函数， 又5.22->- ∴33)5.2()2(---<-(2)∵87x y =在),0(+∞上为增函数，9181,)81(88787>-=--，∴8787)91()81(-<-，∴8787)91(8-<--(3)∵11)1.4(5252=>，11)8.3(03232=<<--，0)9.1(53<-，533252)9.1()8.3()1.4(->>-∴考向一 幂函数的凸凹性 （1）上凸函数、下凸函数的定义设函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对于],[b a 中任意不同两点21,x x ，2)()()2(2121x f x f x x f +≥+都成立，则称)(x f 在],[b a 上是上凸的函数，即上凸函数。

专题3.4 幂函数1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（ ）A ．幂函数y =x -1是奇函数B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C 【解析】根据奇偶函数的定义依次判断即可.【详解】因为11xx -=，11=--xx ，所以A 正确；因为22()x x -=，所以B 正确；因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确.故选：C.2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=-B ．23y x=-C ．13y x=-D ．3y x -=【答案】B 【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增；C: 13y x=-为奇函数，故排除；D: 3y x -=为奇函数，故排除.故选:B.练基础3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =.因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =.故选D.4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1(42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（ ）A ．4BC ．2D ．12【答案】A 【解析】依题意得1(2α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.7．（2021·浙江高一期末）幂函数()()22222m f x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果.【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（ ）A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x =既是二次函数，也是幂函数【答案】D 【解析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x =可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确.【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x =在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x =是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D.9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（ ）A ．[-1，+∞)B ．[0，+∞)C ．(-∞，+∞)D ．(-∞，0)【答案】B 【解析】根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.【详解】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， )，所以f (3)=3α=123，解得α=12，所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可.【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误.故选：AB1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】D 【解析】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23.∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D.2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f (x )=x m的图象过点(2,4)，且a =m 12，b =(13)m，c =―log m 3，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a >c >bB ．b >c >aC ．a >b >cD ．c >a >b 【答案】C练提升【解析】幂函数f (x )=x m 的图象过点(2,4)，∴2m ＝4，m ＝2；∴a =m 12=2>1，b =(13)m =19∈(0,1)，c =―log m 3＝﹣log 23＜0，∴2＞19＞―log 23，∴a >b >c ．故选：C ．3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】C 【解析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小.【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=，∴13α=，即()13f x x =.由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e<，于是4log 2ln 2<，12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>.故选：C.4．（2021·安徽高三二模（理））函数()nxf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（ ）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<【答案】A 【解析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1(2x y =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11()()22mn<，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若，则D ．若，则.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A 正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B 不正确.当，即，所以C 正确.当若时，=..=.即成立，所以D 正确.()f x x α=1x >()1f x >120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x x α=2=4α1=2α12()f x x =()f x [0,)+∞()f x [0,)+∞()f x 1x >1>()1f x >120x x <<()()122212(()22f x f x x x f ++-22-122x x +-0<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：ACD.7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数1,0(),0x x e x f x xe x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数解，且幂函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值可能是（ ）A ．1B ．1eC ．2D ．e【答案】AD 【解析】作出()f x 的图象，根据方程根的个数判断参数a 的取值，再结合函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，即可求解出结果．【详解】当0x ≤时，()x f x xe =，()()1xf x e x '=+，当1x <-时()0f x '<，当10x -<<时()0f x '>所以()x f x xe =在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，最小值为1(1)f e --=-；所以()f x 的图象如图所示，因为()f x a =有且仅有一个实数解，即()y f x =的图象与y a =有且只有一个交点，所以[)1,1,0,a e e ⎧⎫∈+∞-⎨⎬⎩⎭，又因为()a g x x =在()0,∞+上单调递增，所以0a >，所以[){},1a e ∈+∞ .故选：AD8.（2019·上海高考模拟）设α∈12,―1,―2,3，若f (x )=x α为偶函数，则α=______．【答案】―2【解析】由题可知，α=―2时，f (x )=x ―2，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；α=13,12,―1,3时，不满足f(-x)=f(x), ∴α=―2．故答案为：―2．9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x 的增大而减小.（1）求m 值.（2）若满足()()22132mma a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意可知39m -为负偶数，且*N m ∈，即可求得m 值；（2）将所求不等式化为()()22132a a +<-，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<，解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2；因为函数的图象关于y 轴对称，所以39m -为偶数，故1m =.（2）由（1）可知，1m =，所以得()()22132a a +<-，解得4a >或23<a ，即a 的取值范围为()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）01k ≤≤；（3）[][)1,02,-+∞ 【解析】（1）由幂函数的定义2(1)1m -=，再结合单调性即得解.（2）求解()f x ，()g x 的值域，得到集合A ，B ，转化命题p 是q 成立的必要条件为B A ⊆，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，根据二次函数的性质，分类讨论02k ≤和12k ≥两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去；当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.（2）由（1）得：2()f x x =，当[1,2)x ∈时，[)()1,4f x ∈，即[)1,4A =，当[1,2)x ∈时，[)()2,4g x k k ∈--，即[)2,4B k k =--，由命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，显然B ≠∅，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≤⎧⎨≥⎩，所以实数k 的取值范围为：01k ≤≤.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，二次函数的开口向上，对称轴为2k x =，要使|()|F x 在[0,1]上单调递增，如图所示：或即02(0)0k F ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或12(0)0k F ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：10k -≤≤或2k ≥.所以实数k 的取值范围为：[][)1,02,-+∞ 1.（2019·全国高考真题（理））若a >b ，则（ ）A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，，知A 错，排除A ；因为，知B 错，排除B ；取，满足，，知D 错，排除D ，因为幂函数是增函数，，所以，故选C ．2．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩…若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B．1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(,0)(0,-∞ D．(,0))-∞+∞ 【答案】D 【解析】2,1a b ==a b >ln()0a b -=9333a b =>=1,2a b ==-a b >12a b =<=3y x =a b >33a b >练真题注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.3.（2020·江苏高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-4. (2018·上海卷)已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ .【答案】-1【解析】∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.5.（浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=，解得a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.。

高一数学重点知识点：幂函数解析高中数学相对于初中来说在学习方法和解题难度上都会有所增加，所以我们要熟悉每个重点知识点，以此来找到更好的学习方法。

掌握幂函数的内部规律及本质是学好幂函数的关键所在，下面是整理的高一数学重点知识点：幂函数解析，希望对广大朋友有所帮助。

定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+)。

当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

专题3.5 幂函数知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考如何判断一个函数是幂函数？知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝12x；(3)y ＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义R R R[0，＋∞){x|x≠0}域值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．幂函数的概念 幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式．【例1】现有下列函数：①3y x =；②1()2x y =；③24y x =；④51y x =+；⑤2(1)y x =-；⑥y x =；⑦(1)xy a a =>，其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：形如(y x αα=为常数）的函数叫做幂函数，∴①3y x =、⑥y x =是幂函数，故①⑥满足条件；而②1()2xy =、⑦(1)xy aa =>是指数函数，故②⑦不满足条件；显然，③24y x =、④51y x =+；⑤2(1)y x =-不是幂函数，故③④⑤不满足条件；故其中幂函数的个数为2，故选：B ．【变式训练1】在函数①1y x=，②33y x =，③21y x =+，④1y =，⑤3y x =，⑥12y x -=中，是幂函数的是( ) A ．①②④⑤ B ．①⑤⑥ C ．①②⑥ D ．①②④⑤⑥【解答】解：根据幂函数的定义，在函数①11y x x-==，②33y x =，③21y x =+，④1y =，⑤3y x =，⑥12y x -=中，是幂函数的有①⑤⑥， 故选：B ． 【例2】已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则(α=)A ．1-B ．0C ．1D ．2【解答】解：幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，42α∴=，2α∴=， 故选：D ．【变式训练1】幂函数()a f x x =的图像过点(2,4)，且()16f m =，则实数m 的值为( ) A ．4或12B ．2±C ．4±D ．14或2【解答】解：幂函数()af x x =的图像过点(2,4)，24a∴=，2a ∴=，即2()f x x =．2()16f m m ==，则实数4m =±，故选：C ．【变式训练2】已知幂函数()(,)f x k x k R R αα=⋅∈∈的图象经过点1(4,)2，则(k α+= )A ．12B ．1C ．32D ．2【解答】解：幂函数()(,)f x k x k R R αα=⋅∈∈的图象经过点1(4,)2，∴1142k α=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1k =，12α=-，11122k α∴+=-=． 故选：A ．幂函数的图象及应用 (1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象． (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．【例3】幂函数1y x -=及直线y x =，1y =，1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），则幂函数12y x =的图象经过的“卦限”是()A ．①，⑦B ．④，⑧C ．③，⑦D ．①，⑤【解答】解：取12x =得，12112()(0,1)22y ==，故在第⑤卦限；再取2x =得，1222(1,2)y ==，故在第①卦限，故选：D ．【变式训练1】如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =D ．58y x =【解答】解：由于①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数(0,1)α∈， 故选：D ．【变式训练2】幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则幂函数()y f x =的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：设幂函数的解析式为ay x =， 幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，24a ∴=，解得12a =∴y x=，其定义域为[0，)+∞，且是增函数，当01x <<时，其图象在直线y x =的上方．对照选项． 故选：C ．【变式训练3】函数y x =，2y x =和1y x=的图象如图所示，有下列四个说法：①如果21a a a>>，那么01a <<；②如果21aa a>>，那么1a >； ③如果21aa a>>，那么10a -<<；④如果21aa a>>时，那么1a <-． 其中正确的是( )A ．①④B ．①C ．①②D ．①③④【解答】解：易知函数y x =，2y x =和1y x=的图象交点坐标为(1,1)， 函数y x =与1y x=的图象还有一个交点(1,1)--，当三个函数的图象依1y x=，y x =，2y x =次序呈上下关系时，01x <<，故①正确，当三个函数的图象依2y x =，y x =，1y x=次序呈上下关系时，10x -<<或1x >，故②错误，由于三个函数的图象没有出现1y x=，2y x =，y x =次序的上下关系，故③错误，当三个函数的图象依2y x =，1y x=，y x =次序呈上下关系时，1x <-，故④正确，所以正确的有①④， 故选：A ．【例4】已知幂函数21()(3)m f x m x -=-在(0,)+∞内是单调递减函数，则实数m =2-．【解答】解：由题意得，23110m m ⎧-=⎨-<⎩，解得2m =-．故答案为：2-．【变式训练1】已知幂函数2()(57)m f x mm x =-+是R 上的增函数，则m 的值为 3 ． 【解答】解：函数2()(57)m f x m m x =-+是幂函数，则2571m m -+=，即2560mm -+=，解得2m =或3m =；当2m =时，2()f x x =不是R 上的增函数，不满足题意；当3m =时，3()f x x =是R 上的增函数，满足题意．则m 的值为3 故答案为：3 【变式训练2】幂函数2225()(5)mm f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则f （3）(= ) A ．27B ．9C ．19D ．127【解答】解：幂函数2225()(5)mm f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，∴225125m m m m ⎧+-=⎨+-⎩是正数， 解得2m =，3()f x x ∴=， f∴（3）3327==．故选：A ．【变式训练3】若幂函数21()(5)m f x m m x -=+-在(0,)+∞上单调递减，则(m = ) A ．3-或2B ．2C ．3-D ．2-【解答】解：幂函数21()(5)m f x mm x -=+-在(0,)+∞上单调递减，∴25110m m m ⎧+-=⎨-<⎩，解得3m =-， 故选：C ．比较幂值的大小 比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．【例5】若2222555511(2),3,(),()23a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．a b c d >>>B ．b a d c >>>C ．b a c d >>>D ．a b d c >>>【解答】解：2222555511(2),3,(),()23a b c d ====，函数25y x =是(0,)+∞上的增函数，113223>>>，b a c d ∴>>>， 故选：C ．【变式训练1】已知2525()24a =，501.02b =，1001.01c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【解答】解：2525()24a =，502251.02(1.02)b ==，1004251.01(1.01)c ==， 251.04124≈，21.02 1.0404=，41.01 1.0406≈， 函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，b c a ∴<<．故选：B ．【变式训练2】若120.5a =，130.5b =，140.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．a c b >>【解答】解：构造函数()0.5xf x =，因为函数()0.5xf x =，为单调递减函数． 且111234>>，所以111()()()234f f f <<，即1113240.50.50.5<<， 所以a b c <<． 故选：B ．【变式训练3】三个数20.3a =，0.31.9b =，0.32c =之间的大小关系是( ) A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解：幂函数0.3y x =在(0,)+∞上为增函数，0.30.302 1.9 1.9∴>>，即1c b >>， 200.30.31a =<=， c b a ∴>>，故选：B ．幂函数综合问题 【例6】已知幂函数22()(317)m f x m m x -=--的图象关于y 轴对称．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数2()(2)43g x f x x=-+在[1-，2]上的值域． 【解答】解：（1）因为22()(317)m f x m m x -=--是幂函数，所以23171m m --=，解得6m =或3m =-．又()f x 的图象关于y 轴对称，所以6m =， 故4()f x x =．（2）由（1）可知，4222222111()164316()4316()84g x x x x x x =-+=-+=-+．因为[1x ∈-，2]，所以2[0x∈，4]，所以221111116()[,243]844x -+∈．故()g x 在[1-，2]上的值域为11[,243]4． 【变式训练1】已知幂函数2()(33)m f x m m x =-+的图象关于y 轴对称，集合{|131}A x a x a =-<+．（1）求m 的值； （2）当2[x ∈时，()f x 的值域为集合B ，若x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由幂函数2()(33)m f x m m x =-+，可知2331mm -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，()f x x =的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，2()f x x =的图象关于y 轴对称，满足条件，因此，2m =．（2）当[1x ∈-，2]时，()f x 的值域为1[,4]2，则集合1[,4]2B =，由题意知BA ，得131112314a a a a -<+⎧⎪⎪-<⎨⎪+⎪⎩，解得1a ，所以a 的取值范围为[1，)+∞． 【变式训练2】已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()f x 满足条件(2)(1)f a f a ->-，试求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)，∴(2)2α=，2α∴=，2()f x x ∴=．（Ⅱ）函数2()f x x =为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，且满足()(||)f x f x =，∴不等式(2)(1)f a f a ->-可化为(|2|)(|1|)f a f a ->-，|2||1|a a ∴->-，两边平方得22(2)(1)a a ->-，解得32a <，即实数a 的取值范围为3(,)2-∞．1．若函数2()(1)m f x mm x =--为幂函数，则实数(m = )A ．2B ．1-C ．1-或2D ．3【解答】解：函数2()(1)m f x m m x =--为幂函数，211m m ∴--=，求得1m =-或2， 故选：C ．2．现有下列函数：①3y x =；②1()2xy =；③24y x =；④51y x=+；⑤2(1)y x =-；⑥y x =；⑦(1)xy aa =>，其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：形如(y x αα=为常数）的函数叫做幂函数，∴①3y x =、⑥y x =是幂函数，故①⑥满足条件；而②1()2xy =、⑦(1)xy aa =>是指数函数，故②⑦不满足条件；显然，③24y x =、④51y x =+；⑤2(1)y x =-不是幂函数，故③④⑤不满足条件；故其中幂函数的个数为2， 故选：B ． 3．若函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，则实数m 的值是( )A ．1或2-B ．1-C ．2D ．1-或2【解答】解：幂函数的系数为1，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-． 故选：D ．4．设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为( ) A ．1或2或0 B ．1或2或3 C ．1或2或3或4D ．0或1或2或3【解答】解：取13()f x x =，3()g x x =，由133xx =可得0x =或1x =或1x =-，故()y f x =和()y g x =是有3个交点， 取12()f x x =，3()g x x =，由132xx =可得0x =或1x =，故()y f x =和()y g x =是有2个交点， 取2()f x x -=，3()g x x =，由23xx -=可得1x =，故()y f x =和()y g x =是有1个交点，任意幂函数的图像必过(1.1)点，即()y f x =和()y g x =至少有1个交点，任意两个幂函数的图像不可能有4个交点，故()y f x =和()y g x =交点个数为1或2或3， 故选：B ．5．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,8)，则(3)f -的值为( ) A ．27B ．27-C ．127D ．127-【解答】解：设幂函数()f x 的解析式为()y f x x α==，R α∈， 因为()f x 的图象过点(2,8)， 所以28α=，解得3α=， 所以3()f x x =，所以3(3)(3)27f -=-=-．故选：B ．6．如图所示的曲线是幂函数ny x =在第一象限内的图象．已知n 分别取1-，1，12，2四个值，则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的n 依次为( )A ．2，1，12，1-B ．2，1-，1，12C ．12，1，2，1-D ．1-，1，2，12【解答】解：根据幂函数ny x =在第一象限内的图象，已知n 分别取1-，1，12，2四个值，在图象中，做出直线2x =，根据直线2x =和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的n 依次为：2，1，12，1-，故选：A ．7．已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x mm m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于( ) A ．12±B ．2C ．2D ．2±【解答】解：函数1()(21)a g x a x +=-是幂函数，211a ∴-=，解得1a =，2()g x x ∴=；令0x b -=，解得x b =，∴函数1()2x bf x m-=-的图象经过定点1(,)2b ，212b ∴=，解得2b =．故选：B ．8．函数23()f x x =的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称D ．直线y x =对称【解答】解：函数()f x 的定义域是实数集合，关于原点对称，2233()()()f x x x f x -=-==，是偶函数，∴函数()f x 图象关于原点y 轴对称，故选：A ．9．已知对数函数log(0,1)ay x a a =>≠的图象经过点(3,1)P -，则幂函数ay x =的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：对数函数log(0,1)ay x a a =>≠的图象经过点(3,1)P -，1log 3a ∴-=，13a ∴=，故幂函数3a y x x ==D 所示，故选：D．10．写出一个同时满足下列性质的幂函数2()f x x-=．①偶函数；②在(,0)-∞上递增．【解答】解：根据幂函数()f x xα=是偶函数，且在(,0)-∞上递增，可以写出2()f x x-=．故答案为：2()f x x-=．11．函数21()(5)mf x m m x+=--是幂函数，且为偶函数，则实数m的值是．【解答】解：由函数21()(5)mf x m m x+=--是幂函数，得251m m--=，即260m m--=，解得2m=-或3m=；又()f x为偶函数，即1m+为偶数，所以实数m的值是3．故答案为：3．12．幂函数2225()(5)m mf x m m x+-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则f（3）(=)A．27B．9C．19D．127【解答】解：幂函数2225()(5)m mf x m m x+-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，∴225125m mm m⎧+-=⎨+-⎩是正数，解得2m =，3()f x x ∴=， f∴（3）3327==．故选：A ．13．函数()af x x =的图象经过点1(3，9)，则f （9）的值为( )A ．13B ．3C ．181D ．81【解答】解：函数()af x x =的图象经过点1(3，9)，∴1()93a=，2a ∴=-， 则f （9）21981-==， 故选：C ．14．已知幂函数22()(317)m f x mm x -=--的图象关于y 轴对称．（1）求()f x 的解析式； （2）求函数2()(2)43g x f x x=-+在[1-，2]上的值域． 【解答】解：（1）因为22()(317)m f x m m x -=--是幂函数，所以23171m m --=，解得6m =或3m =-．又()f x 的图象关于y 轴对称，所以6m =， 故4()f x x =．（2）由（1）可知，4222222111()164316()4316()84g x x x x x x =-+=-+=-+．因为[1x ∈-，2]，所以2[0x∈，4]，所以221111116()[,243]844x -+∈．故()g x 在[1-，2]上的值域为11[,243]4． 15．已知函数2255(32)aa y aa x -+=-+．（1）a 为何值时此函数为幂函数？（2）a 为何值时此函数为正比例函数？ （3）a 为何值时此函数为反比例函数． 【解答】解：（1）由于函数2255(32)aa y a a x -+=-+，故当2321aa -+=，即35a +=，或35a -=时，函数为幂函数．（2）当22320551a a a a ⎧-+≠⎨-+=⎩，即4a =时，此函数为正比例函数．（3）当22320551a a a a ⎧-+≠⎨-+=-⎩，即3a =时，此函数为反比例函数．16．已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()f x 满足条件(2)(1)f a f a ->-，试求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)，∴(2)2α=，2α∴=，2()f x x ∴=．（Ⅱ）函数2()f x x =为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，且满足()(||)f x f x =，∴不等式(2)(1)f a f a ->-可化为(|2|)(|1|)f a f a ->-，|2||1|a a ∴->-，两边平方得22(2)(1)a a ->-，解得32a <，即实数a 的取值范围为3(,)2-∞．。

专题08 二次函数与幂函数、函数与方程【名师预测】江苏高考对幂函数的要求比较低，近几年在江苏高考中没有涉及，在平时的复习中可以适当的关注，函数与方程的思想是数学四大思想之一，也体现了数形结合的思想，是近几年江苏高考的热点，也是江苏高考的重点，经常体现在填空题的11-14题，或者是函数压轴解答题。

高考对函数与方程，函数的零点及函数的性质等是函数重点考查的内容，在平时复习中需重点关注。

【知识精讲】一、二次函数1．二次函数的概念：形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数. 2．表示形式(1)一般式：f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0).(2)顶点式：f (x )=a (x −h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标. 3．二次函数的图象与性质)R4．常用结论(1)函数f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标是方程ax 2＋bx ＋c =0的实根.(2)若x 1，x 2为f (x )=0的实根，则f (x )在x 轴上截得的线段长应为|x 1−x 2|=||a .(3)当0a >且0∆<(0∆≤)时，恒有f (x )>0(()0f x ≥)；当0a <且0∆<(0∆≤)时，恒有f (x )<0(()0f x ≤). 三、幂函数1．幂函数的概念：一般地，形如y =x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 为自变量，α为常数. 2．几个常见幂函数的图象与性质3．常用结论(1)幂函数在(0,)+∞上都有定义. (2)幂函数的图象均过定点(1,1).(3)当0α>时，幂函数的图象均过定点(0,0),(1,1)，且在(0,)+∞上单调递增. (4)当0α<时，幂函数的图象均过定点(1,1)，且在(0,)+∞上单调递减. (5)幂函数在第四象限无图象. 四、函数的零点1．函数零点的概念：对于函数(),y f x x D =∈，我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数(),y f x x D =∈的零点．2．几个等价关系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)=x 2＋1，由于方程x 2＋1=0无实数根，故该函数无零点．3．零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 4．二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的零点)5．常用结论(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)函数()()()F x f x g x =-有零点⇔方程()0F x =有实数根⇔函数()y f x =与()y g x =的图象有交点；(4)函数()()F x f x a =-有零点⇔方程()0F x =有实数根⇔函数()y f x =与y a =的图象有交点⇔{|()}a y y f x ∈=，其中a 为常数.五、二分法()f x ()f x1．二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]，验证()()0f a f b ⋅<，给定精确度ε； ②求区间(a ，b )的中点c ； ③计算f (c )；a ．若f (c )=0，则c 就是函数的零点；b ．若f (a )·f (c )<0，则令b =c (此时零点x 0∈(a ，c ))； c ．若f (c )·f (b )<0，则令a =c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a −b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④.【典例精练】考点一 求二次函数、幂函数的解析式例1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.【解析】法一：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧－b2a＝－2，4ac －b24a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－2，4a －2b ＋c ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法三：设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)． 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1， 将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.故答案为：19x 2＋49x －59例2．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，所以f (x )的对称轴为x ＝2. 又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又因为f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，a ＝1.所以所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3. 例3．已知函数f (x )＝(3－m )x 2m －5是幂函数，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 【解析】函数f (x )＝(3－m )x 2m －5是幂函数，则3－m ＝1，解得m ＝2，∴f (x )＝x －1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2. 故答案为：2 【方法点睛】1．求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：2．求幂函数解析式的方法幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数； (2)底数为自变量； (3)系数为1.考点二 二次函数的图象与性质例4．已知函数242y x ax =+-在区间(,4]-∞上为减函数，则实数a 的取值范围是_______. 【解析】函数242y x ax =+-的图象开口向上，且以直线2x a =-为对称轴， 若函数242y x ax =+-在区间(,4]-∞上为减函数，则24a -≥，解得2a ≤-， 故实数a 的取值范围为(,2]-∞-． 故答案为：(,2]-∞-例5． (1)已知函数f (x )＝x 2＋abx ＋a ＋2b ，若f (0)＝4，则f (1)的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________． 【解析】(1)因为f (0)＝4，所以a ＋2b ＝4，即a ＝4－2b所以f (1)＝ab ＋a ＋2b ＋1＝ab ＋5＝(4－2b )b ＋5＝－2b 2＋4b ＋5＝－2(b －1)2＋7 所以当b ＝1时，f (1)的最大值为7.(2)函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，x ∈[0,1]，对称轴方程为x ＝a . 当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， 所以1－a ＝2，所以a ＝－1.当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1， 所以a 2－a ＋1＝2，即a 2－a －1＝0， 解得a ＝1±52(舍去)．当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 故答案为：(1)7 (2)－1或2例6．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .【解析】根据题意，得222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得02m -<<．故答案为：02m -<< 【方法点睛】1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴． 2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键 (1)思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .考点三 幂函数的图象与性质例7．已知幂函数y ＝x 2m－m 2(m ∈N *)在(0，＋∞)是增函数，则实数m 的值是________．【解析】由题意知2m －m 2＞0，解得0＜m ＜2，因为m ∈N *，所以m ＝1. 故答案为：1例8．设525352)52(,)52(,)53(===c b a ，则c b a ,,的大小关系是________．【解析】因为52x y =在),0(+∞上是增函数，所以,c a > 又因为x y )52(=在),(+∞-∞上是减函数，所以b c >. 综上，a >c >b . 故答案为：a >c >b【方法点睛】幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数y ＝x α(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. 考点四 函数零点所在区间的判定例9．函数()ex f x x -=-的零点所在的区间为________．【解析】易知函数()exf x x -=-的图象是连续的，且通过计算可得()()11e 1e 10f -=--=+>，12111e 0222f ⎛⎫⎛⎫-=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00e 010f =-=>，12111e 0222f -⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，()111e 110ef -=-=-<，由函数零点存在性定理可得函数零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭例10．已知定义在R 上的函数f (x )图象的对称轴为x ＝－3，且当x ≥－3时，f (x )＝2x －3.若函数f (x )在区间(k －1，k )(k ∈Z)上有零点，则k 的值为________． 【解析】当x ≥－3时，由f (x )＝2x －3＝0，解得x ＝log 23.因为1＜log 23＜2，即函数的零点所在的区间为(1,2)，所以k ＝2.又函数f (x )的图象关于x ＝－3对称，所以另外一个零点在区间(－8，－7)上，此时k ＝－7. 故答案为：－7或2【方法点睛】确定函数f (x )的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y ＝f (x )必须在区间[a ，b ]上是连续的，当f (a )·f (b )＜0时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f (x )＝g (x )－h (x )，作出y ＝g (x )和y ＝h (x )的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点．考点五 判断函数零点个数例11．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )，当x ≥0时，f (x )＝lg(x 2－3x ＋3)，则f (x )在R 上的零点个数为________．【解析】当x ≥0时，f (x )＝lg(x 2－3x ＋3)，由lg(x 2－3x ＋3)＝0，得x 2－3x ＋3＝1，解得x ＝1或x ＝2因为函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数的零点个数为4. 故答案为：4例12．函数f (x )＝e x ＋12x －2的零点个数为________．【解析】因为f ′(x )＝e x ＋12＞0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1－2＜0，f (1)＝e －32＞0，所以函数在区间(0,1)上有且只有一个零点． 故答案为：1【方法点睛】判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．考点六 函数零点的应用例13．已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，x 2－1，x ≥0，若函数y ＝g (g (x ))－2m 有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】当x ＜0时，g (x )＝－x ＋1＞0，此时g (g (x ))＝(－x ＋1)2－1＝x 2－2x ， 当0≤x ＜1时，g (x )＝x 2－1＜0，此时g (g (x ))＝－(x 2－1)＋1＝－x 2＋2， 当x ≥1时，g (x )＝x 2－1≥0，此时g (g (x ))＝(x 2－1)2－1＝x 4－2x 2， 所以函数y ＝g (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，－x 2＋2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1，画出函数y ＝g (g (x ))的图象如图所示：结合图象可知，若函数y ＝g (g (x ))－2m 有3个不同的零点，则1＜2m ≤2，即12＜m ≤1，所以实数m的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，1. 故答案为：⎝⎛⎦⎤12，1例14．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩,设()21()(4)f x x x =⊗+-，若函数()y f x k =+恰有三个零点，则实数k 的取值范围是________．【解析】由新定义可得2224,(1)(4)1()1,(1)(4)1x x x f x x x x ⎧+--+≥⎪=⎨---+<⎪⎩，即24,23()1,23x x x f x x x +≤-≥⎧=⎨--<<⎩或.其图象如图所示：所以由()y f x k =+恰有三个零点可得，−1<−k ≤2，所以−2≤k <1. 故答案为：−2≤k <1 【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用方法【名校新题】一、填空题1．（2019·淮海中学第二次月考）已知幂函数()y f x =的图象过点3⎛ ⎝⎭，则14f ⎛⎫⎪⎝⎭＝__________． 【解析】因为幂函数()y f x =的图象过点3⎛ ⎝⎭，则132αα==,14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2 故答案为2.2．（2019·镇江期中）已知函数在(﹣1， )上是增函数，则 的取值范围为__________．【解析】函数的对称轴是x=a ，函数 在(﹣1， )上是增函数， 故a≤﹣1，﹣4a≥4，故f （2）=4﹣4a+4=8﹣4a≥12， 故答案为：[12，+∞）．3．（2019·南通学情调研）已知函数()()1ln 1,121,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若函数()()g x f x a =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.【解析】函数()()g x f x a =-有三个不同的零点等价于()y f x =的图象与直线y a =有三个不同交点， 作出函数()y f x =的图象：由图易得：(]a 1,2∈ 故答案为：(]1,24．（2019·苏锡常镇一模）若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为_____． 【解析】设1212()()(),12f x a x x x x x x =--≤≤≤ ，则12(1)(1)(1)[0,1)f x x a=--∈ 故答案为： [0,1)5．（2019·南通适应性考试）若函数2()1()f x ax a a R =+-∈存在零点，且与函数(())f f x 的零点完全相同，则实数a 的值为________.【解析】因为函数2()1()f x ax a a R =+-∈存在零点，不妨令0x 为函数()f x 零点，则0()0f x =，又函数()f x 与函数(())f f x 的零点完全相同， 所以0(())0f f x =，即(0)0f =，所以1a =. 故答案为：16．（2019·南京六校12月联考）已知函数()2221f x x ax a =-+-.若对任意的(0,3)a ∈，存在0[0,4]x ∈，使得0|()|t f x ≤成立，则实数t 的取值范围是___．【解析】∵()2221f x x ax a =-+-的对称轴为x=a ，且()0,3a ∈，∴函数f （x ）=2221x ax a -+-在[0，a ]上是减函数， 在[a ，2]上是增函数；∴函数f （x ）=2221x ax a -+-在[]0,4的最小值为f （a ）=﹣()21a -∈](40-，， ①当2≤a ＜3时，函数f （x ）=2221x ax a -+-（x ∈[]0,4）在x=0时取得最大值， 且最大值为2a ﹣1，由于此时2≤a ＜3，则3≤2a ﹣1＜5；()()(){}()x f a f 0f 0max f max ===，2a ﹣1)35⎡∈⎣，∴3t ≤ ②0＜a ＜2时，函数f （x ）=2221x ax a -+-（x ∈[]0,4）在x=4时取得最大值， 且最大值为42﹣8a+2a ﹣1=15﹣6a ，由于此时0＜a ＜2，则3＜15﹣6a ＜15；()()(){}()()x f a f 4f 41563,15max f max a ===-∈，，∴3t ≤综上， ∴3t ≤；即t 的取值范围是：3t ≤． 故答案为：3t ≤7．（2019·苏州期末）设函数220()20x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，，，若方程()3f x kx -=有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是_______．【解析】由题意，若方程()3f x kx -=，即()3f x kx =+有三个相异的实根， 即函数()y f x =和3y kx =+的图象由三个不同的交点，如图所示， 又由直线3y kx =+和2(0)y x x =-<必有一个交点，所以0>2k >-， 则3y kx =+与()220,0y x x x =-+=≥的图象有两个交点，联立方程组()2320,0y kx y x x x =+⎧⎨=-+=≥⎩ ，整理得()2230x k x +-+=，由()22120k ∆=-->，解得2k <-2k >+ 所以实数k的取值范围是(2,2--.故答案为：(2,2--8．（2019·扬州中学4月月考）定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，，，，则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为___．【解析】由题知函数()f x 的周期为4，又函数()f x 为奇函数，∴()4()()f x f x f x +==--，即()()4f x f x +=--故()f x 关于（2,0）中心对称，又g(x)=5log |x|为偶函数，则画出f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个.故答案为：59．（2019·南通四模）已知()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数，当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()121f x x =--．若函数()log a y f x x =-(1a >)在()0,∞+上恰有4个互不相同的零点，则实数a 的值 ．【解析】当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，得12,02()1211322,22x x f x x x x ⎧<<⎪⎪=--=⎨⎪-≤≤⎪⎩ ，且()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数，函数()log a y f x x =-(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个互不相同的零点，∴函数()y f x =与log a y x =(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个不同的交点，分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x ＝72时，有72log a ＝1，所以a =72.故答案为：7210．（2019·镇江三模）已知函数ln ,0()21,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.【解析】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点画出函数()ln ,021,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图：y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点， 在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞故答案为：()2,+∞11．（2019·盐城期中）已知函数 ， ，，若 在区间 上有且只有2个零点，则实数 的取值范围是_________. 【解析】当0⩽x ⩽1时, =0， 易知x =0不是方程 =0的解， 故m =−x 在(0,1]上是减函数， 故m−1=−；即m - 时,方程f (x )=0在[0,1]上有且只有一个解，当x >1时，令mx +2=0得,m =−，故−2<m <0，即当−2<m <0时,方程f (x )=0在(1,+∞)上有且只有一个解，综上所述,若f (x )在区间[0,+∞)上有且只有2个零点， 则实数m 的取值范围是.故答案为：12．（2019·常州期中）已知函数，若关于x 的函数 有6个不同的零点，则实数m 的取值范围是______． 【解析】作出 的函数图象如图所示：设 ，则当 或 时， 方程 只有1解，当 或 时，方程 有2解， 当 时，方程 有3解，当 时，方程 无解．关于 的函数 有6个不同的零点， 关于 的方程 在 上有两解，，解得 ． 故答案为：13．（2019·扬州一模）已知函数4()3f x a x a x=++-+有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为_______． 【解析】函数()43f x a x a x =++-+=0，得|x +a |4x--a ＝3， 设g （x ）＝|x +a |4x--a ，h （x ）＝3， 则函数g （x ）424x a x a xx x ax ⎧---≤-⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩，，＞，不妨设f （x ）＝0的3个根为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3， 当x ＞﹣a 时，由f （x ）＝0，得g （x ）＝3，即x 4x-=3， 得x 2﹣3x ﹣4＝0，得（x +1）（x ﹣4）＝0，解得x ＝﹣1，或x ＝4；若 ①﹣a ≤﹣1，即a ≥1，此时 x 2＝﹣1，x 3＝4，由等差数列的性质可得x 1＝﹣6， 由f （﹣6）＝0，即g （﹣6）＝3得646+-2a ＝3，解得a 116=，满足f （x ）＝0在（﹣∞，﹣a ]上有一解． 若②﹣1＜﹣a ≤4，即﹣4≤a ＜1，则f （x ）＝0在（﹣∞，﹣a ]上有两个不同的解，不妨设x 1，x 2，其中x 3＝4，所以有x 1，x 2是﹣x 4x--2a ＝3的两个解，即x 1，x 2是x 2+（2a +3）x +4＝0的两个解． 得到x 1+x 2＝﹣（2a +3），x 1x 2＝4，又由设f （x ）＝0的3个根为x 1，x 2，x 3成差数列，且x 1＜x 2＜x 3，得到2x 2＝x 1+4， 解得：a ＝﹣1（舍去）或a ＝﹣1． ③﹣a ＞4，即a ＜﹣4时，f （x ）＝0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a 116=或﹣1．故答案为：a 116=或﹣12-14．（2019·天一中学11月月考）设0,a e ≠是自然对数的底数，函数2,0(),0x ae x x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩有零点，且所有零点的和不大于6，则a 的取值范围为______． 【解析】①0a <，0x ≤时，()()'10,xf x ae f x =-<∴在(),0-∞单调递减，且()()00,f a f x =<∴在(),0-∞有一个小于0的零点；0x >时，()f x 在()0,∞+单调递增，()11f =，()f x ∴在()0,∞+有一个小于1的零点，因此满足条件.②0a >（1）01a <≤时，()f x 在(),0-∞单调递减， ()()00,f a f x =>∴在(],0-∞上没有零点. 又240a a ∆=-<,故()f x 在()0,∞+上也没有零点，因此不满足题意.(2)14a <<时，()f x 在1,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 上单调递减，在1ln ,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ()1ln 1ln 0,f a f x a ⎛⎫=+>∴ ⎪⎝⎭在(],0-∞上没有零点. 又240a a ∆=-<，故()f x 在()0,∞+上也没有零点，因此不满足题意.(3)4a =时，()()24,0,44,0x e x x f x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩在 (],0-∞上没有零点， ()f x 在()0,∞+上只有零点2，满足条件.(4)4a >时，()f x 在(],0-∞上没有零点，在()0,∞+上有两个不相等的零点， 且和为a ,故满足题意的范围是46a <≤.综上所述，a 的取值范围为()[],04,6-∞⋃ 故答案为：()[],04,6-∞⋃. 二、解答题15．（2019·泰州中学期初考试）已知函数2()1f x x =-，()1g x a x =-，()()()F x f x g x =-．（1）2a =，[]0,3x ∈，求()F x 值域； （2）2a >，解关于x 的不等式()F x ≥0．【解析】（1）()()()F x f x g x =-2121x x =---2221(13){23(01)x x x x x x -+≤≤=+-≤<；13x ≤≤，[]2210,4x x --∈； 01x ≤<，[)2233,0x x +-∈-；所以()()()F x f x g x =-的值域为[3,4]-；（2）(1)(1)(1)(){(1)(1)(1)x x a x F x x x a x -+-≥=-++<；1x ≥，()0F x ≥，2a >，得1x ≤或1x a ≥-；1x a ⇒≥-或1x = 1x <，()0F x ≥，得1x a ≤--或1x ≥；1x a ⇒≤--综上：()01F x x a ≥⇒≤--或1x a ≥-或1x =16．（2019·海安中学月考）已知函数 ． （1）若关于 的方程 只有一个实数解，求实数 的取值范围； （2）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【解析】（1）方程 ，即 ， 变形是 ， 显然 是该方程的根．从而欲使原方程只有一个实数解，即要求方程 有且仅有一个等于1的解或无解， 结合图象得 ．（2）不等式 对 恒成立，即 （*）对 恒成立， ①当 时，（*）显然成立，此时 ； ②当 时，（*）可变形为，令因为当 时， ，当 时， ， 所以 ，故此时 ，结合①②得，实数 的取值范围是 ．17．（2019·泰州中学检测）已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)·|x －a |. （1）若a ＝－1，求满足f (x )＝1的x 的取值集合； （2）若函数f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若a ＜1且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．【解析】（1）当a ＝－1时，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x ＜－1.当x ≥－1时，令2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1； 当x ＜－1时，f (x )＝1恒成立， ∴x 的取值集合为{x |x ≤－1或x ＝1}．（2）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－a ＋1x ＋a ，x ≥a ，a ＋1x －a ，x ＜a ，若f (x )在R 上单调递增，且f (x )是连续的，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a ，a ＋1＞0，解得a ≥13，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，＋∞. （3）设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－a ＋3x ＋a ＋3，x ≥a ，a －1x －a ＋3，x ＜a .若不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立，则当x ＜a 时，∵a ＜1 ∴g (x )单调递减，其值域为(a 2－2a ＋3，＋∞)． ∵a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞2，∴g (x )≥0恒成立．当x ≥a 时，∵a ＜1，∴a ＜a ＋34，∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫a ＋34＝a ＋3－a ＋328≥0，得－3≤a ≤5.∵a ＜1 ∴－3≤a ＜1，综上，a 的取值范围是[－3,1)．18．（2019·南京调研）设函数f k (x )＝2x ＋(k －1)·2－x (x ∈R ，k ∈Z)．（1）若f k (x )是偶函数，求不等式f k (x )＞174的解集；（2）设不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4的解集为A ，若A ∩[1,2]≠∅，求实数m 的取值范围；（3）设函数g (x )＝λf 0(x )－f 2(2x )－2，若g (x )在x ∈[1，＋∞)上有零点，求实数λ的取值范围． 【解析】（1）因为f k (x )是偶函数，所以f k (－x )＝f k (x )恒成立，即2－x ＋(k －1)·2x ＝2x ＋(k －1)·2－x ，所以k ＝2.由2x ＋2－x ＞174，得4·22x －17·2x ＋4＞0，解得2x ＜14或2x ＞4，即x ＜－2或x ＞2，所以不等式f k (x )＞174的解集为{x |x ＜－2或x ＞2}．（2）不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4，即为2x －2－x ＋m ·2x ≤4，所以m ≤2－x －2x ＋42x，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x 2＋4·12x －1. 令t ＝12x ，x ∈[1,2]，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，12， 设h (t )＝t 2＋4t －1，t ∈⎣⎡⎦⎤14，12， 则h (t )max ＝h ⎝⎛⎭⎫12＝54.由A ∩[1,2]≠∅，即不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4在[1,2]上有解，则需m ≤h (t )max ，即m ≤54.所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. （3）函数g (x )＝λ(2x －2－x )－(22x ＋2－2x)－2在x ∈[1，＋∞)上有零点，即λ(2x －2－x )－(22x ＋2－2x)－2＝0在x∈[1，＋∞)上有解因为x ∈[1，＋∞)，所以2x －2－x ＞0，所以问题等价于λ＝22x ＋2－2x ＋22x －2－x在x ∈[1，＋∞)上有解． 令p ＝2x ，则p ≥2，令u ＝p －1p ，则u 在p ∈[2，＋∞)上单调递增，因此u ≥32，λ＝u 2＋4u.设r (u )＝u 2＋4u ＝u ＋4u ，则r ′(u )＝1－4u 2，当32≤u ≤2时，r ′(u )≤0，即函数r (u )在⎣⎡⎦⎤32，2上单调递减，当u ≥2时，r ′(u )≥0，即函数r (u )在[2，＋∞)上单调递增，所以函数r(u)在u＝2时取得最小值，且最小值r(2)＝4 所以r(u)∈[4，＋∞)从而满足条件的实数λ的取值范围是[4，＋∞)．。

专题20 幂函数题组1幂函数的概念1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝a x（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】由幂函数的定义知，y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝ax（a＞1）七个函数中，是幂函数的是y＝x2和y＝x，故选C.2.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（）A.0B.1C.2D.0或1【答案】B【解析】因为f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，所以3m－5<0，故m<.又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，当m＝0时，f（x）＝x－5，f（－x）≠f（x），不符合题意；当m＝1时，f（x）＝x－2，f（－x）＝f（x），符合题意.综上知，m＝1.3.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（）A. B.－1 C.2或－1 D.2【答案】D【解析】因当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，所以m2－m－1＝1，且－m－1＜0，解得m＝2或－1，且m＞－1，即m＝2.故选D.题组2求幂函数的解析式4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（）A.f（x）＝3xB.f（x）＝x3C.f（x）＝x－2D.f（x）＝（）x【答案】B【解析】幂函数f（x）＝xα的图象过点（，），所以＝（）α，解得α＝3，所以幂函数为f（x）＝x3，故选B.5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16，4），则f（）的值为（）A.3B.C.D.【答案】C【解析】∵幂函数y＝f（x）＝xα的图象经过点（16，4），∴16α＝4，解得α＝，∴f（x）＝，∴f（）＝＝.故选C.题组3 幂函数的定义域和值域6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（）A.（－∞，＋∞）B.（－∞，）C.[，＋∞）D.（，＋∞）【答案】D【解析】幂函数f（x）＝＝，其定义域为（0，＋∞），∴4x－3>0，∴x>，∴函数y＝f（4x－3）的定义域是（，＋∞）.7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（）A.①B.②C.③D.④【答案】A【解析】对于①，具有（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于②，具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；但不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于③，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于④，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.故选A.题组4比较幂值的大小8.下列关系中正确的是（）A.<<B.<<C.<<D.<<【答案】D【解析】由于幂函数y＝在（0，＋∞）上递增，因此<，又指数函数y＝（）x在（0，＋∞）上递减，因此<，故<<.故选D.9.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a【答案】C【解析】∵0.6∈（0，1），∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在（0，＋∞）是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴b<a<c，故选C.题组5 幂函数的图像10.函数y＝的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设y＝f（x）＝，f（－x）＝＝＝＝＝f（x），又函数f（x）的定义域为R，故f（x）为偶函数，即其图象关于y轴对称.又∵>0，∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，又∵>1，∴f（x）在第一象限的图象与函数y＝x2的图象相类似，故选A.11.函数y＝ax2＋a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当a＞0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向上，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），故排除A，C；当a＜0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向下，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），函数y＝的图象在第二、四象限，故选D.12.如图所示，幂函数y＝xα在第一象限的图象，比较0，α1，α2，α3，α4，1的大小（）A.α1<α3<0<α4<α2<1B.0<α1<α2<α3<α4<1C.α2<α4<0<α3<1<α1D.α3<α2<0<α4<1<α1【答案】D【解析】由图知取x＝2得0<<<1<<，∴α3<α2<0<α4<α1.又α1>1，0<α4<1，故选D.13.幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数y＝的图象经过的“卦限”是（）A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤【答案】D【解析】幂函数y＝的图象形状是上凸形，在经过（1，1）点以前在y＝x上方，而过了（1，1）点后在y ＝x下方，故可知y＝过①⑤“卦限”.题组6 幂函数的性质14.幂函数y＝xα，对于给定的有理数α，其定义域与值域相同，则此幂函数（）A.一定是奇函数B.一定是偶函数C.一定不是奇函数D.一定不是偶函数【答案】D【解析】函数y＝的定义域和值域都是[0，＋∞），它既不是奇函数，也不是偶函数；函数y＝x3的定义域和值域都是R，它是奇函数；如果一个幂函数是偶函数，它的图象一定分布在第一和第二象限，它的值域是（0，＋∞）或[0，＋∞），与它的定义域不同，所以如果一个幂函数的定义域与值域相同，它一定不是偶函数，答案为D.15.函数f（x）＝在[－1，1]上是（）A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数【答案】A【解析】因为f（－x）＝＝－＝－f（x），所以f（x）是奇函数.因为>0，f（x）＝在第一象限内是增函数，所以f（x）＝在[－1，1]上是增函数，综上可知，f（x）＝在[－1，1]上是增函数且是奇函数.16.函数y＝x－2在区间[，2]上的最大值是（）A. B.－1 C.4 D.－4【答案】C【解析】函数y＝x－2在区间[，2]上是减函数，所以x＝时，y取最大值，最大值是（）－2＝4.故选C.17.下列结论中，正确的是（）A.幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1）B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数D.当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数【答案】C【解析】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间（0，＋∞）上都有定义，且y＝xα>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间（－∞，0），（0，＋∞）上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误，故选C.18.已知幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间为________.【答案】[0，＋∞）【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），∴＝2α，解得α＝，∴y＝，所以其单调增区间为[0，＋∞）.19.已知幂函数f（x）＝x3m－9（m∈N*）的图象与x轴、y轴都无公共点且关于y轴对称，求满足≤的a的取值范围.【答案】由已知得3m－9≤0，∴m≤3.又∵幂函数f（x）的图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，又∵m∈N*，∴m＝1，3.当m＝1或m＝3时，有≤或（a＋1）－1≤（3－2a）－1.又∵y＝和y＝x－1在（－∞，0），（0，＋∞）上均单调递减，∴a＋1≥3－2a>0或0>a＋1≥3－2a或a＋1<0<3－2a，解得≤a＜或a＜－1.故a的取值范围是（－∞，－1）∪[，）.题组7 幂函数的综合应用20.已知幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）（k∈Z）满足f（2）<f（3）.（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）对于幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）满足f（2）<f（3），因此（2－k）（1＋k）>0，解得－1<k<2.因为k∈Z，所以k＝0或k＝1.当k＝0时，f（x）＝x2，当k＝1时，f（x）＝x2，综上所述，k的值为0或1，f（x）＝x2.（2）函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x＝－mx2＋（2m－1）x＋1，由于要求m>0，因此抛物线开口向下，对称轴方程为x＝，当m>0时，＝1－<1，因为在区间[0，1]上的最大值为5，所以或解得m＝＋，满足题意.21.集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：①函数f（x）的定义域是[0，＋∞）；②函数f（x）的值域是[－2，4）；③函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：（1）判断函数f1（x）＝－2（x≥0）及f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论.【答案】（1）函数f1（x）＝－2不属于集合A.因为f1（x）的值域是[－2，＋∞），所以函数f1（x）＝－2不属于集合A.f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）在集合A中，因为①函数f2（x）的定义域是[0，＋∞）；②f2（x）的值域是[－2，4）；③函数f2（x）在[0，＋∞）上是增函数.（2）∵f（x）＋f（x＋2）－2f（x＋1）＝6·（）x（－）<0，∴不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）对任意的x≥0恒成立.。

第12讲幂函数的图象和性质【人教A版2019】·模块一幂函数的概念·模块二幂函数的图象与性质·模块三课后作业1．幂函数的概念(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数.只有同时满足这三个条件，才是幂函数.【考点1对幂函数的概念的理解】【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数为幂函数的是（）A．=22B．=22−1C．=2D．J2【解题思路】根据幂函数的定义即可求解.【解答过程】由幂函数的定义可知：J2是幂函数，=22，=22−1和=2的系数不为1，故不是幂函数，故选：D.【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中不是幂函数的是（）A．=B．=3C．=3D．=−1【解题思路】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.【解答过程】对于选项A，==12，故它是幂函数．故A项正确；对于选项B，=3是幂函数，故B项正确；对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；对于选项D，=−1是幂函数，故D项正确.故选：C.【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）现有下列函数：①=3；②=；③=42；④=5+1；⑤=−12；⑥=；⑦=(>1)，其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据幂函数的定义逐个辨析即可【解答过程】幂函数满足=形式，故=3，=满足条件，共2个故选：B.【变式1.2】（2023秋·云南德宏·高一统考期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（）A．=3B．=12C．=22D．=+1【解题思路】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.【解答过程】对于A，由幂函数的定义知=3=13是幂函数，由题意可知op的定义域为R,o−p= 3−=−3=−op，所以op是奇函数，符合题意；故A正确；对于B，由幂函数的定义知=12=−2是幂函数，由题意可知op的定义域为−∞,0∪0,+∞,o−p==12=op，所以op是偶函数，不符合题意；故B错误；对于C，由幂函数的定义知=22不是幂函数，不符合题意；故C错误；对于D，由幂函数的定义知=+1不是幂函数，不符合题意；故D错误；故选：A.【考点2求幂函数的函数值、解析式】【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点(2,2)，则f(9)＝（）A．−3B．−13C．3D．13【解题思路】代点的坐标求出α的值，得到函数op的解析式，即得解.【解答过程】由题意f(2)＝2α＝2=212，所以α＝12，所以f(x)＝，所以f(9)＝9＝3.故选：C.【例2.2】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知幂函数的图象过点4,=（）A．−12B．−2C．12D．2【解题思路】设幂函数=,将4,，即得答案.【解答过程】设幂函数=，由于的图象过点4,故4=12,∴=−12，即=−12，故选：A.【变式2.1】（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足o6)o2)=4，则）A．2B．14C．−14D．−2【解题思路】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【解答过程】依题意，设=，则o6)o2)=62=3=4，所以o13)=(13)=13=14.故选：B.【变式2.2】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点3,2在幂函数=−1的图象上，则（）A．=−1B．=212C．=3D．=13【解题思路】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.【解答过程】∵函数=−1是幂函数，∴−1=1，即=2,∴点8,2在幂函数=的图象上，∴8=2，即=13，故=13.故选：D.1．常见幂函数的图象与性质幂函数图象定义域R R R 值域R R奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上为增函数，增函数，减函数在R 上为增函数在上为增函数，减函数，增函数定点（1,1）温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a >0时，y ＝x α是增函数；当α<0时，y ＝x α是减函数．2．一般幂函数的图象与性质(1)一般幂函数的图象：①当α=1时，y =x 的图象是一条直线.②当α=0时，y ==1(x ≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：（p 、q 互质）p ，q 都是奇数p是偶数，q是奇数p是奇数，q是偶数(2)一般幂函数的性质：通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.3．对勾函数的图象与性质参考幂函数的性质，探究函数的性质.(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.(2)(3)的值域为(-,-2]∪[2,+).(4)奇偶性：函数为奇函数.(5)单调性：由函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减.【考点1幂函数的定义域、值域】【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）给出5个幂函数：①=−2；②=45；③=14；④=23；⑤=−45，其中定义域为R的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解题思路】根据幂函数的定义域求得正确答案.【解答过程】①=−2=12的定义域为U≠0，不符合.②=45=54的定义域为R，符合.③=14=4的定义域为U≥0，不符合.④=23=32的定义域为R，符合.⑤=−45=的定义域为U≠0，不符合.所以符合的是②④.故选：C.【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数op=的图像过点(8,4)，则op=的值域是（）A．−∞,0B．−∞,0∪0,+∞C．0,+∞D．0,+∞【解题思路】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.【解答过程】∵幂函数op=的图像过点(8,4)，∴8=4，解得=23，∴op=23=32≥0，∴op的值域是0,+∞.故选：D.【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）函数=−1+12的定义域为（）A．−∞,+∞B．−∞,0∪0,+∞C．0,+∞D．0,+∞【解题思路】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【解答过程】因为=−1+12=1+，则≠0≥0，可得>0，故函数的定义域为0,+∞.故选：D.【变式1.2】（2023秋·北京·高一校考期末）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（）A．=13B．=−12C．=53D．=23【解题思路】由幂函数性质可得解.【解答过程】A中定义域和值域都是；,定义域和值域都是(0，+∞)；B中=−12=C中定义域和值域都是；D中=23=(13)2定义域为R，值域为[0，+∞)故选：D.【考点2幂函数的图象】【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A．①=−1，②=12，③=13B．①=−1，②=13，③=12C．①=13，②=12，③=−1D．①=13，②=−1，③=12【解题思路】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.【解答过程】由函数=−1=1是反比例函数，其对应图象为①；函数=12=的定义域为(0,+∞)，应为图②；因为=13的定义域为R且为奇函数，故应为图③.故选：A.【例2.2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点4,2在幂函数的图象上，则的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案．【解答过程】设幂函数op=，将点4,2代入，得4=2，解得=12，所以op=12，定义域为[0,+∞)，且在定义域内单调递增，大致图像为B，故选：B．【变式2.1】（2023·全国·高三对口高考）已知幂函数=（s∈且p与q互质）的图像如图所示，则（）A．p、q均为奇数且<0B．p为奇数，q为偶数且<0C．p为奇数，q为偶数且>0D．p为偶数，q为奇数且<0【解题思路】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.【解答过程】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定<0，又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D.【变式2.2】（2023·全国·高一假期作业）如图所示，图中的曲线是幂函数=在第一象限的图象，已知取±2，±12四个值，则相应于1，2，3，4的依次为（）A．−2，−12，12，2B．2，12，−12，−2C．−12，−2，2，12D．2，12，−2，−12【解题思路】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.【解答过程】解：根据幂函数=的性质，在第一象限内的图象:当>0时，越大，=递增速度越快，故1的=2，2的=12；当<0时，越大，曲线越陡峭，所以曲线3的=−12，曲线4的=−2.故选:B.【考点3由幂函数的图象与性质求参数】【例3.1】（2023·全国·高一假期作业）幂函数=2−3在第一象限内是减函数，则=（）A．2B．2C．−2D．−2【解题思路】先根据幂函数定义求出m的可能值，再结合函数的单调性即可得解.【解答过程】由幂函数的定义可知2−3=1，解得=±2，由幂函数的单调性可知<0，所以=−2．故选:D．【例3.2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知幂函数op=2−2−2K2的图象经过原点，则=（）A．－1B．1C．3D．2【解题思路】令2−2−2=1求解，再根据函数图象经过原点判断.【解答过程】解：令2−2−2=1，解得=−1或=3.当=−1时，=−3的图象不经过原点.当=3时，=的图象经过原点.故选：C.【变式3.1】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知幂函数=2+2−2⋅2−2在0,+∞上是减函数，则n的值为（）A．−3B．1C．3D．1或−3【解题思路】先由函数是幂函数，得到=−3或=1，再分别讨论，是否符合在0,+∞上是减函数的条件.【解答过程】因为函数是幂函数，则2+2−2=1，所以=−3或=1.当=−3时，=15在0,+∞上是增函数，不合题意.当=1时=−1在0,+∞上是减函数，成立.故选：B.【变式3.2】（2023秋·广西贵港·高一统考期末）若幂函数=−2+2r259的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数,在−∞,0上单调递减，则=（）A．19B．19或499C．−13D．−13或73【解题思路】由题意知是偶函数，在−∞,0上单调递减,可得−2+2+259为正偶数，再根据−2+2+259的范围可得答案.【解答过程】由题意知是偶函数，因为在−∞,0上单调递减,所以−2+2+259为正偶数，又−2+2+259=−(−1)2+349≤349，∴−(−1)2+349=2，解得=73或−13．故选：D．【考点4比较幂值的大小】【例4.1】（2023春·浙江·高一校联考期中）记=0.20.1,=0.10.2,=(2)−0.5，则（）A．>>B．>>C．>>D．>>。

3.3 幂函数（精讲）思维导图常见考法考点一 幂函数的概念【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）在函数21y x=，22y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3（2）．（2021·福建高一期末）若函数1()|1|m f x m x +=-是幂函数，则m =（ ） A ．0B ．1C ．0或2D ．1或2【答案】（1）B （2）C 【解析】（1）因为221y x x-==，所以是幂函数； 22y x =由于出现系数2，因此不是幂函数； 2y x x =+是两项和的形式，不是幂函数；01y x ==（0x ≠），可以看出，常数函数1y =的图象比幂函数0y x =的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数1y =不是幂函数.故选：B .（2）若函数1()|1|m f x m x +=-是幂函数， 则11m -=，解得：0m =或2m =， 当0m =时，()f x x =符合题意， 当2m =时3()f x x =符合题意， 所以0m =或2，故选：C 【一隅三反】1．（2021·陕西高一期末）已知函数()()()2211 n n f x n n xn Z -+=--∈为幂函数，则()2f =___.【答案】8【解析】由于函数()()()2211 n n f x n n xn Z -+=--∈为幂函数，则211n n --=，即220n n --=，n Z ∈，解得1n =-或2，所以，()3f x x =，因此，()3228f ==.故答案为：8.2（2021年广东湛江）在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为【答案】1【解析】∵y ＝1x 2＝x －2，∵是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数． 3.（2021年广东潮州）已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．【答案】见解析【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.考点二 幂函数的三要素【例2】（1）（四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高一下学期开学考试数学试题）若幂函数()f x 的图象过点19,3⎛⎫⎪⎝⎭，则()12f =___________．（2）（2021·上海高一课时练习）在函数①75y x =；②56y x =；③47y x =；④25y x -=；⑤13y x -=；⑥23y x =中定义域与值域相等的有_________个. 【答案】（1）36（2）3 【解析】（1）设()f x x α=，则1(9)93f α==，12α=-，所以12()f x x -=， 所以123(12)126f -==．故答案为：36（2）①75y x =的定义域为R ，值域为R .②56y x =的定义域为[)0+∞，，值域为[)0+∞，. ③47y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. ④25y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(0+)∞，. ⑤13y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.⑥23y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. 故定义域与值域相等的有①, ②和⑤ 故答案为：3 【一隅三反】1．（2021·安徽高一期末）已知点()4,8P 在幂函数()f x 的图象上，则()5f 等于_______________. 【答案】55【解析】由题意，可设()n f x x =，又()4,8P 在()f x 上，∴48n =，即32n =，∴32(5)555f ==， 故答案为：55.2.．（专题4.3幂函数（A 卷基础篇））设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为（ ） A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3【答案】A【解析】当1α=-时，函数y ＝1x -的定义域为{}|0x x ≠，不是R ，所以1α=-不成立； 当12α=时，函数y ＝12x 的定义域为{}|0x x ≥，不是R ，所以12α=不成立； 当1α=或3α=时，满足函数y ＝x α的定义域为R ，故选：A.考点三 幂函数的性质【例3】（1）（2021·广西高一期末）幂函数()f x x α=的图象过点(9,3)，那么函数()f x 的单调递增区间是（ ） A ．(2,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．(,2)-∞-（2）（2021·安徽高一开学考试）已知幂函数()()233mf x m m x =-+是偶函数，则()2f =________.（3）（2021·安徽省安庆九一六学校高一开学考试）已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞（4）（2021·上海高一期末）幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A ． IV,VIIB ． IV,VIIIC ． III, VIIID ．III, VII 【答案】（1）C （2）4（3）C （4）B【解析】（1）因为幂函数过点(9,3)，所以()993f α==，解得12α=，所以()f x x =，那么可知函数的增区间为[0,)+∞．故选：C（2）因为函数()f x 为幂函数，所以2331m m -+=，解得1m =或2m =. 当1m =时，()f x x =，函数()f x 为奇函数，不合题意；当2m =时，()2f x x =，函数()f x 为偶函数，所以()24f =.故答案为：4.（3）因为幂函数()(1)n f x a x =-的图像过点(2,8)，所以1128n a -=⎧⎨=⎩，所以23a n =⎧⎨=⎩，所以3()f x x =，由于函数3()f x x =在R 上单调递增，所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <．故b 的取值范围是(,1)-∞.故选：C.（4）对于幂函数13y x -=，因为103-< ，所以13y x -=在第一象限单调递减，根据幂函数的性质可知：在直线1x =的左侧，幂函数的指数越大越接近y 轴 ，因为113->-，所以13y x -=的图象比1y x -=的图象更接近y 轴 ，所以进过第IV 卦限， 在直线1x =的右侧，幂函数的指数越小越接近x 轴，因为1103-<-<，所以13y x -=的图象位于1y x -=和1y =之间，所以经过VIII 卦限， 所有函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是IV,VIII ， 故选：B【一隅三反】1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）幂函数()()22222mf x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（ ） A ．1- B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意； 当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.2．（2021·重庆巴蜀中学高一期末）已知幂函数()()231mf x m m x =--在其定义域内不单调，则实数m =（ ）A ．23-B ．1C ．23D ．1-【答案】A【解析】由幂函数定义，2311m m --=，解得：23m =-或1m =，又()f x 在定义域内不单调，所以23m =-，故选：A ．3．（2021·四川高一期末）若幂函数()()223,p p f x qx q R p Z -++=∈∈在()0,∞+上是增函数，且在定义域上是偶函数，则p q +=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】因为()()223,p p f x qx q R p Z -++=∈∈是幂函数，所以1q =；又()()223pp f x x p Z -++=∈在()0,∞+上是增函数，所以2230p p -++>，解得13p -<<，因为p Z ∈， 所以0p =或1或2，当0p =时，()3f x x =，因为()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以()3f x x =是奇函数，不满足题意，舍去；当1p =时，()4f x x =，因为()()()44f x x x f x -=-==，所以()4f x x =是偶函数，满足题意；当2p =时，()3f x x =是奇函数，不满足题意，舍去；故1p =，所以2p q +=.故选：C.4．（2021·上海高一期末）在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)ba y x x =>图像的关系可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于A ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)bay x x =>为减函数，符合题意；对于B ， 二次函数2y ax bx =+开口向下，则0a <，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)b a y x x =>为减函数，不符合题意；对于C ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴12b x a=-=-，则2ba =，即幂函数(0)b a y x x =>为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D ， 二次函数2y ax bx =+开口向下，则0a <，其对称轴122b x a =->-，则01ba<<，即幂函数(0)b ay x x =>为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意； 故选：A5．（2021·全国高一课时练习）（多选）已知幂函数(*(),mnf x x m n =∈N，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（ ）A ．当m ，n 都是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．当m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．当01mn<<时，幂函数()f x 在(0,)+∞上是减函数 【答案】AB【解析】()mn m n f x x x ==，当m ，n 都是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确； 当m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数，故B 中的结论正确； 当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 在0x <时无意义；故C 中的结论错误； 当01mn<<时，幂函数()f x 在()0.+∞上是增函数，故D 中的结论错误． 故选AB ．6．（2021·海南省）（多选）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．y x = B ．3y x =C ．1y x=-D ．4y x =【答案】AB【解析】对于选项A ：y x =是奇函数且是增函数，故选项A 正确； 对于选项B ：3y x =是奇函数且是增函数，故选项B 正确； 对于选项C ：1y x=-是奇函数，在(),0-∞和()0,∞+单调递增，但在定义域内不是增函数，故选项C 不正确； 对于选项D ：4y x =是偶函数，不符合题意，故选项D 不正确； 故选：AB7（2021·广东高一期末）已知幂函数21()m f x x +=过点(3,27)，若()23(98)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(2,6) 【解析】幂函数21()m f x x +=过点(3,27)，21333m +∴=， 1m ∴=，幂函数3()f x x =，显然()f x 是奇函数，且在R 上单调递增． 若2(3)(98)0f k f k ++-<，则不等式即2(3)(89)f k f k +<-，2389k k ∴+<-，26k ∴<<，故答案为：(2,6)．考点四 幂函数的综合运用【例4】（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()2144m f x m m x +=+-在区间0,上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减. 【答案】（1）()2f x x =；（2）证明见解析.【解析】（1）解：由题可知：2441+-=m m ，解得1m =或5m =-.若1m =，则()2f x x =在区间0,上单调递增，符合条件； 若5m =-，则()4f x x -=在区间0,上单调递减，不符合条件.故()2f x x =.（2）证明：由（1）可知，()216g x x x=+. 任取1x ，()20,2x ∈，且12x x <，则()()()()22121212121212161616g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+--=-+-⎢⎥⎣⎦. 因为1202x x <<<， 所以120x x -<，124x x +<，12164x x >， 所以()()121212160x x x x x x ⎡⎤-+->⎢⎥⎣⎦，即()()12g x g x >，故()g x 在区间()0,2上单调递减. 【一隅三反】1．（2021·福建仙游一中高一开学考试）若幂函数221()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若2(2)(4)f a f a -<-，求a 的取值范围.【答案】（1）3()f x x =；（2）{2a a >或}3a <-. 【解析】（1）因为221()(22)m f x m m x +=+-是幂函数，所以2221m m +-=，解得32m =-或1m =， 又()f x 是增函数，210m +>即12m >-，1m ∴=，则3()f x x =； （2）因为()f x 为增函数，所以由2(2)(4)f a f a -<-可得224a a -<-，解得2a >或3a <-a ∴的取值范围是{2a a >或}3a <-.2．（2021·平罗中学高一期末）已知幂函数()()22122m f x m m x +=+-在()0,∞+上是增函数 （1）求()f x 的解析式（2）若(2)(1)f a f a -<-，求a 的取值范围.【答案】（1）3()f x x =，（2）3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】（1）因为221()(22)m f x m m x +=+-是幂函数，所以2221m m +-=，解得32m =-或1m = 因为()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以210m +>，解得12m >-，则1m =， 故3()f x x =（2）因为()f x 为R 上的增函数，因为(2)(1)f a f a -<-所以201021a a a a -⎧⎪-⎨⎪-<-⎩，解得：322a <， 故a 的取值范围是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦． 3．（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ∈Z ）是偶函数，且在()0,∞+上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；（3）若实数a ，b （a ，b +∈R ）满足237a b m +=，求3211a b +++的最小值． 【答案】（1）()2f x x =；（2）()1,1-；（3）2． 【解析】（1）．2221m m -+=，1m ∴=2520k k ->，502k ∴<<（k ∈Z ） 即1k =或2()f x 在()0+∞，上单调递增，()f x 为偶函数2k ∴=即()2f x x =（2）()()()()212212f x f x f x f x -<-⇒-<- 212x x ∴-<-，22(21)(2)x x -<-，21x <， ∴()1,1x ∈-（3）由题可知237a b +=，()()()()11213112164a b a b ++∴+++=⇒+= ()()()1132323111112211641141314a b b a a b a b a b ++⎡⎤++⎛⎫∴+=+⋅+=+⋅+≥+=⎢⎥ ⎪++++++⎝⎭⎣⎦， 当且仅当()3112314131b a a b a b ++⋅=⇒=+++，即2a =，1b =时等号成立． 所以3211a b +++的最小值是2．。

专题01 指对幂比较大小【考点1】指数函数1.定义：函数()1,0≠>=a a a y x叫做指数函数，定义域为R . 2.性质： 【考点2】对数函数1.定义：函数()1,0log ≠>=a a x y a 叫做对数函数，定义域是()0,+∞.（1）定义域：R2.性质： 【考点3】幂函数1、幂函数定义一般地，形如()f x x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2、五种常见幂函数R RR {|0}x x ≥ {|0}x x ≠3幂函数()f x x α=，在(0,)x ∈+∞①当0α>时，()f x x α=在(0,)+∞单调递增； ②当0α<时，()f x x α=在(0,)+∞单调递减；方法一：放缩法1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数 2、指数和幂函数结合来放缩。

3、利用均值不等式等不等关系放缩4、“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维. 方法二：作差法、作商法1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解 方法三：构造函数，运用函数的单调性比较学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练.构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律.1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f （）外衣”比较大小；2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小.题型一:简单放缩比较大小例1．（1）、（2022·天津·高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.（2）、（2022•天津模拟）设，b ＝0.50.8，c ＝0.8﹣0.5，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．a ＜b ＜cD ．c ＜a ＜b【分析】利用对数函数的单调性可判断＜0.5，再利用指数函数的单调性判断b 、c 即可．【解答】解：∵＜ln＝0.5，0.5＝0.51＜0.50.8＜0.50＝1， 即0.5＜b ＜1， c ＝0.8﹣0.5＞0.80＝1，∴a ＜b ＜c ， 故选：C ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用【变式训练1-1】、（2021·天津·高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c<a<b C ．b<c<a D ．a c b <<【详解】2log 0.3<122log 0.4log 0.4=-0.3000.40.4<<=a c b ∴<<. 故选：D.【变式训练1-2】、（2022•东湖区校级三模）已知a ＝log 29，b ＝e 0.6，c ＝20.55，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞a ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b【分析】通过临界值即与函数的单调性即可比较大小．【解答】解：因为a ＝log 29＞log 28＝3，b ＝e 0.6＜e 1≈2.7，所以a ＞b ． 又因为e ＞e 0.55＞20.55，所以b ＞c ，所以选项C 正确．故选：C ．【点评】本题主要考查指数对数运算，属于简单题．题型二:作差法或作商法比较大小例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）已知0.2653log 7log 6a b c ===，，，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）、（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知0.2653,log 7,log 6a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>0f x ，所以()50f =，即65【变式训练2-1】、（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知12log 13a =，1312b =，13log 14c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【变式训练2-2】、（2018•新课标Ⅲ）设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则（ ） A ．a +b ＜ab ＜0B ．ab ＜a +b ＜0C ．a +b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a +b【分析】法二、利用作商法，结合对数的运算性质分析得答案． 法一、直接利用对数的运算性质化简即可得答案． 【解答】解：法一、∵＝log 0.32+log 0.30.2＝log 0.3（2×0.2）＝log 0.30.4∈（0，1）， 且a ＝log 0.20.3∈（0，1），b ＝log 20.3＜0， ∴ab ＜0，可得a +b ＜0，结合，可得ab ＜a +b ＜0． 故选：B ．法二、∵a ＝log 0.20.3＝，b ＝log 20.3＝，∴＝，，∵，，∴ab ＜a +b ＜0． 故选：B ．【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．题型三:利用函数的单调性比较大小例3．（1）、（2022·四川巴中·模拟预测（理））已知2220a =，2121b =，2022c =，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C（2）、（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知2πln 5,5πln 2,10ln πa b c ===，则下列结论正确的是（ ） A ．b ＞c ＞a B ．a ＞b ＞c C ．b ＞a ＞c D ．c ＞b ＞a【答案】D0f x ，【变式训练3-1】、（2022·江西师大附中三模（理））设23,e 2a b c ===a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．c b a << B ．b<c<a C ．b a c << D ．a b c <<【变式训练3-2】、（2022·河南·三模（理））已知2πln3a =，3πln 2b =，6ln πc =，则下列结论正确的是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>0f x ，题型四:高考压轴题目例4．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.【变式训练4-1】、（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【详解】解：58log a b log =5458<，5548log <，45138<，13458log <综上，c >故选：AA 组 基础巩固1．（2022·辽宁·高三期中）已知0.21.2a =，0.2log 1.2b =， 1.20.8c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】D【分析】分别判断出,,a b c 的范围即可.【详解】因为0.21.21a =>，0.2log 1.20b =<， 1.200.81c <=<，所以a c b >>．故选：D2．（2022·吉林·扶余市第一中学高一期中）若0.23a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．<<b c a3．（2022·江苏淮安·高三期中）已知25a =，8log 3b =，则32a b -=（ ）A ．25B ．5C ．259D ．534．（2022·山东青岛·高一期中）设332224(),(),()355-===a b c ，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>综上可得，c a b >>， 故选：C.5．（2022·山东·青岛二中分校高一期中）已知0.22a =，30.3b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b<c<a D ．c<a<b【答案】C【分析】根据指数函数的单调性比较大小． 【详解】∵0.3x y =是减函数，30.20>>， 所以30.200.30.30.31<<=， 又0.20221>=， ∴b<c<a ． 故选：C ．6．（2022·江苏·星海实验中学高一期中）已知6log 8a =，4log 3b =，7log 9c =，则（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．a b c >>7．（2022·安徽·高二开学考试）已知0.3152log 3,log 2,4a b c -===，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】C8．（2022·贵州·模拟预测（文））已知 1.52a =，0.74b =，3log 8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．b<c<aC ．c<a<bD ．c b a <<【答案】D【分析】利用指数函数2x y =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】∵0.7 1.4 1.52422<=<，∴2b a <<， ∵33log 8log 92<=，∴2c <， ∴c b a <<， 故选：D.9．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）已知11235515,log 22log 3,5a b c -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，则下列关系正确的是（ ） A ．b<c<a B ．b a c << C ．c b a << D ．a b c <<10．（2022·浙江·高一期中）设24()5a =，21log 3b =，139()10c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【详解】634()5a =0<，1c <，又2log b =.cB 组 能力提升11．（2022·河南河南·一模（文））已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<0fx，解得所以()(ln ,xf x x=因为πe >，12．（2022·四川雅安·模拟预测（理））设a =，31sin 460b =，61ln 60c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．c<a<b B ．c b a << C ．b<c<a D ．b a c <<住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.13．（2022·湖南·模拟预测）若51e ln 5100a b c ===，，（e 2.71828=）试比较,,a b c 的大小关系（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．b c a >> 2.71828得2e 7.5<1.609，下面说明)()()246446x x +-+0fx，(f x 6x ，则ln 52ln =1320111ln 1ln 1ln 11219101119⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111ln 20.6932101119g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈+++≈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111ln 189⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0.2232，则5ln 52ln 2ln 20.69320.2232 1.60964=+≈⨯+≈，综上，ln 1⎛+++ ⎝14．（2022·河南·三模（理））已知2πln3a =，3πln 2b =，6ln πc =，则下列结论正确的是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>0f x ，15．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））若12ln3,lg5,log 6a b c ===，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．a c b >>【详解】ln3a =>，a c >，22log 5log lg5log 101+log ==∴构造函数()f x =显然函数()f x (0,又20log 5<2(log 5)f <a c b >>故选：D ．16．（2021·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知12log 13a =，14131312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>C 组 真题实战练17．（2021·广西师范大学附属外国语学校模拟预测（理））已知5log 6a =，3log 5b =，2log 3c =，32d =，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ） A ．b a d c <<< B ．a b c d <<< C ．b a c d <<< D ．a b d c <<<【详解】5log 6a =456129653125=<=4556253243=>=因此，a b d c <<<故选：D.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；18．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>19．（2020·全国·高考真题（文））设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b<c<a D ．c<a<b20．（2018·天津·高考真题（文））已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.21．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b22．（2021·全国·高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =．则（ ） A ．a b c << B ．b<c<aC ．b a c <<D ．c<a<bf x，。

第六讲：基本初等函数【考点梳理】 1．幂函数的概念一般地，形如y x α=(R α∈)的函数称为幂函数，其中底数x 为自变量，α为常数.2．几个常见幂函数的图象与性质3(1)幂函数在(0,)+∞上都有定义. (2)幂函数的图象均过定点(1,1).(3)当0α>时，幂函数的图象均过定点(0,0),(1,1)，且在(0,)+∞上单调递增. (4)当0α<时，幂函数的图象均过定点(1,1)，且在(0,)+∞上单调递减. (5)幂函数在第四象限无图象.4.根式的概念及性质（1）概念：叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （2）性质：①n a =(n N *∈且1n >)；②当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 5.分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是mn a =0a >，,m n N *∈，且1n >)；②正数的负分数指数幂的意义是mn a-=(0a >，,m n N *∈，且1n >)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．6.指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈R ； ②()(0,,)r s rs a a a r s =>∈R ； ③()(0,0,)r r r ab a b a b r =>>∈R .7.指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ．（2）指数函数()xf x a =的图象和性质定义域为R ，值域为(0,)+∞8.（1）对数：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠且，那么数 x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lg N ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数ln N .（3）对数式与指数式的互化：log xa a N x N =⇔=.9.对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数log (0,1)a N a a >≠且具有以下性质： ①负数和零没有对数，即0N >； ②1的对数等于0，即log 10a =； ③底数的对数等于1，即log 1a a =； ④对数恒等式log (0)a N a N N =>. （2）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么： ①log ()log log a a a M N =M +N ⋅； ②log log log aa a M=M N N-； ③log log ()na a M =n M n ∈R . （3）对数的换底公式 对数的换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c bb a ac c b a=>≠>≠>且且. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e 为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： ①log log 01,0()且m na a nb b a a b m=>≠>； ②(1log 01;01log )且且a b b a a b b a=>≠>≠； ③log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=(其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，0d >).10.对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如log xa y =(0a >，且1a ≠)的函数叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞．（2）对数函数的图象与性质定义域：(0,)+∞【典型题型讲解】考点一：幂函数的定义及其图像【典例例题】例1．幂函数()()22121m f x m m x -=-+在()0,∞+上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．2-B ．0或2C ．0D ．2【答案】D 【详解】因为()f x 是幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =，当0m =时，()1f x x -=在()0,∞+上为减函数，不符合题意，当2m =时，()3f x x =在()0,∞+上为增函数，符合题意，所以2m =. 故选：D.例2．已知幂函数pq y x =（p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）A ．p ，q 均为奇数，且0p q > B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q<C ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q >D ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q< 【答案】D 【详解】因函数p q y x =的图象关于y 轴对称，于是得函数pq y x =为偶函数，即p 为偶数， 又函数pq y x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且在(0,)+∞上单调递减，则有pq<0， 又因p 、q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确. 故选：D【方法技巧与总结】1、5种特殊幂函数的图像及其性质；2、幂函数的单调性及奇偶性的性质判断方法. 【变式训练】1．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______． 【答案】．3x （答案不唯一）【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性得到指数满足的条件，再写出一个满足题意的幂函数即可.【详解】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或m nα=（,m n 是奇数，且互质）， 所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.2.已知幂函数()()22322nnf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______. 【答案】1因为()()22322nnf x n n x-=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意， 当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.3.如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质：∈都经过点（0，0）和（1，1）； ∈在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快 【详解】解：从幂函数的图象与性质可知：∈α越大函数增长越快；∈图象从下往上α越来越大；∈函数值都大于1；∈α越大越远离x 轴；∈α＞1，图象下凸；∈图象无上界；∈当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；∈当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快．4.已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根， 则实数k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(]0,1D ．()0,∞+ 【答案】A 【详解】当2x <时，函数3()(1)f x x =-是增函数，函数值集合是(,1)-∞，当2x ≥时，2()f x x=是减函数，函数值集合是(]0,1，关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，即函数()y f x =的图象与直线y k =有两个交点， 在坐标系内作出直线y k =和函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当01k <<时，直线y k =和函数()y f x =的图象有两个交点，即方程()f x k =有两个不同的实根，所以实数k 的取值范围为(0,1). 故选：A考点二：指数与指数幂的运算【典例例题】 例1．化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（2）111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【答案】（1）99π+；（2）ab；（3）12a .【详解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决； 【变式训练】1121)-=（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．0【答案】B 【详解】()121121133221561)a b a bab ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1111111115332223632615661a b a baba b---+-⋅⋅⋅==⋅=⋅2.甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（ ） A ．2x =-或2log 3x = B ．1x =-或1x = C ．0x =或2x = D ．1x =-或2x =【答案】D 【详解】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，甲写错了常数b ， 所以14和174是方程20t ct m ++=的两根，所以1179442c ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，乙写错了常数c ，所以1和2是方程20t nt b ++=的两根，所以1b =⨯22=， 则可得方程29202t t -+=，解得12142,t t ==，所以原方程的根是1x =-或2x = 故选：D考点三：指数函数的图像及性质【典例例题】例1.函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞【答案】C 【详解】由题设，|1|2x y =-与y m =只有一个交点， 又|1|2x y =-的图象如下：∈m ∈{}[)01,∞⋃+. 故选：C.例2.已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（ ）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞【答案】D 【详解】因为()1f x -为定义在R 上的奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,0-对称， 且()10f -=，又()10f =，所以()30f -=． 依题意可得，当31x -<<-或1x >时，()0f x <．所以()250xf -<等价于3251x -<-<-或251x ->，解得12x <<或2log 6x >． 故选：D【方法技巧与总结】1、指数函数的解析式具有单一性；2、指数函数的单调性和图像与底数有关系. 【变式训练】 1.函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的值域为()0,1 C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+ D ．()f x 是增函数 【答案】A 【解析】 【详解】对于A 选项，函数()f x 的定义域为R ，且()1002f =≠， 所以，函数()f x 的图象不关于原点对称，A 错； 对于B 选项，因为e 11x -+>，所以，()()10,11e xf x -=∈+，B 对； 对于C 选项，由()111e 2xf x -=>+可得1x e -<，则0x -<，解得0x >，C 对； 对于D 选项，对任意的R x ∈，1e 1x y -=+>，且函数1e x y -=+在R 上单调递减，故函数()f x 是增函数，D 对. 故选：A.2.函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92或4.5【详解】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ， 又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭19522⎛ += ⎝（当且仅当()2121m nm n -=-，即53m =，23n =时取等号），121m n∴+-的最小值为92.故答案为：92.3.已知定义在R 上的函数()f x 满足：∈()2()0f x f x -+=；∈()()20f x f x ---=；∈在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【详解】由(2)()0f x f x -+=知()f x 的图象关于(1,0)对称， 由(2)()0f x f x ---=知()f x 的图象关于1x =-对称， 作出()f x 与||1()()2x g x =在[3-,3]上的图象：由图可知函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为4．故选：B ．4．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．()0,1 C ．()1,4 D ．()2,4【答案】B 【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a -∞，0a >， 当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0-∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤， 当0x a <≤时()()22f x x =-，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈-⎣， 则()())(]22,43,4f x a ⎡∈-⎣，所以()2202a a a ⎧<-⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈故选：B5．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x π=++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】4043 【详解】由题意，函数()4sin 22x x f x π=++， 可得()()244sin sin[(2)]22222xx f x x f x x ππ-+=+++-++- 224424222224222222x xx x x x--⋅⋅=+=+=++⋅++， 设124043202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则404340421202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，可得140432404222022202220222022S f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦404312404320222022f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以4043S =.故答案为：4043.6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．【答案】10092 【详解】由(1)2(1)f x f x +=-，得(2)2()f x f x +=，于是()()()()210102020220182201620f f f f ====，又当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，故可得()102f =， 则()1010100912020222f =⨯=. 故答案为：10092.7．已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【详解】∈当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；∈当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<， 又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；∈当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；∈当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.8．设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【答案】[1,2] 【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意； 若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得11≤-a ， 综上可得a 的范围是[]1,2． 故答案为：[]1,2考点四：对数概念与对数运算【典例例题】例1.（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 【答案】（1）7；（2）109；（3）2a bb+-． 【详解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. 【变式训练】 1.（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35 【答案】（1）18；（2）21a bb ++. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案. （2）首先根据题意得到3log 7b =，3log 52=a ，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅= （2）由37b =得到3log 7b =， 由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a . 33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.2．（2022·广东惠州·一模）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3010≈）A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B 【详解】将信噪比SN从1000提升至5000时，C 大约增加了()()()222log 15000log 11000log 11000W W W +-++ 222lg 5000lg1000log 5001log 1001lg 51lg 2lg 2lg 20.2323%lg1000log 100133lg 2---=≈==≈=.故选：B.3．（2022·广东韶关·一模）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的该种放射性物质的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质剩留的是原来的1100？（ ） （参考数据：lg20.3010,lg30.4771≈≈） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19【答案】．A【详解】设该种放射性物质初始质量为m ，经过n 年，剩留量变为1100m ， 则可建立模型为31()4100n m m ⋅=， 即1lg22100163lg32lg 20.477120.3010lg 4n --===≈--⨯， 所以大约经过16年，该物质剩留的是原来的1100. 故选：A.4．（2022·广东·金山中学高三期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y %，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数()100.05ty e R λλ-=+∈描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ） （参考数据ln3 1.1≈） A ．11分钟 B ．14分钟 C ．15分钟D ．20分钟【答案】．A【详解】依题意可知0=t 时，0.2y =，即0.050.2,0.15λλ+==， 所以100.050.15ty e -=+， 由100.050.1150.ty e -≤=+，得1013t e-≤，两边取以e 为底的对数得 1ln ln 3 1.1103t -≤=-≈-，11t ≥， 所以至少需要11分钟. 故选：A考点五：对数函数的图像及性质【典例例题】例1．（2022·广东中山·高三期末）已知函数()log a f x x =（0a >，1a ≠），则()1y f x =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】．B【详解】由题意，()(1)log (1)a y g x f x x ==-=-，∈()log (1)()a g x x g x -=--=，即()g x 为偶函数，排除A 、D ； 当3x =时，(3)log (31)log 2a a y g ==-=， 当32x =时，33()log (1)log 222a a y g ==-=-，∈3x =、32x =对应函数值异号，排除C ；故选：B例2．（2022·广东珠海·高三期末）设3log a π=，2log 3b =，0.30.2c =，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】．B【详解】3331log 2ππ<<<<，即312a <<，223log 3log 2b b =>>， 而0.300.20.21c c =<⇒<，所以b a c >>， 故选：B ．【方法技巧与总结】1、对数的函数的图像画法，定点问题；2、对数函数的图像及性质应用. 【变式训练】1．（2022·广东茂名·一模）已知,,x y z 均为大于0的实数，且523log x yz ==，则,,x y z 大小关系正确的是（ ）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】．C【详解】解：因为,,x y z 均为大于0的实数，所以523log 1x yz t ===>，进而将问题转化为函数52,3,log x xy y y x ===与直线1y t =>的交点的横坐标的关系，故作出函数图像，如图， 由图可知z x y >> 故选：C2．（2022·广东茂名·一模）已知函数2log ,02()3,2x x f x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若123,,x x x 均不相等，且123()()()f x f x f x ==，则123x x x ⋅⋅的取值范围是___________ 【答案】(2,3)【详解】不妨设123x x x <<，由图可得，()21223log log 30,1x x x ==-+∈， 所以2122log log ,x x =-即121=x x ，由123()()()f x f x f x ==得，3(2,3)x ∈，所以123x x x 的取值范围是(2,3) 故答案为：(2,3)3．（2022·广东湛江·一模）已知函数21()2f x x ax =++，()lng x x =-，用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，若()h x 恰有3个零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】．3,2⎛- ⎝【详解】函数21()2f x x ax =++恒过点1(0,)2 ，且其图象开口向上，()ln g x x =-的零点为1，当21()2f x x ax =++的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>的零点至多有两个，不符合题意，故要使()h x 恰有3个零点，则函数()f x 在区间(0,1)上存在两个零点，如图示，故20121(1)1021Δ402a f a a ⎧<-<⎪⎪⎪=++>⎨⎪⎪=-⨯>⎪⎩解得32a -<<故答案为：3,2⎛- ⎝4.己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a << B．b a < Ca b < D．a b <<【答案】A 【解析】 【分析】对33log log 4log log 3a b a b -=-利用换底公式等价变形，得333311log log log log -<-b a b a ，结合1y x x=-的单调性判断b a <，同理利用换底公式得343411log log log log b a b a->-，即34log log b a >，再根据对数运算性质得4log log log a =3log y x =单调性，b >. 【详解】由33log log 4log log 3a b a b -=-可得333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-， 因为1y x x=-在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，且3log a ，3log (0,)b ∈+∞，所以33log log b a <，即b a <，其次，343411log log log log b a b a->-，所以34log log b a >，又因为4log log log a =>3log y x =单调递增，所以由3log log b >b >b a <<． 故选：A5.（多选题）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.对于B ，()x x f x a a -=-，定义域R 关于原点对称，()()x xf x a a f x --=-=-，所以()f x 在R 上是奇函数，故B 正确.对于C ，对于()x xf x a a -=-，由题意不妨令1212,,x x x R x R >∈∈，则()()()()()121212121212121212111x x x x xxx x x x x x x x x x a a a a a f x f x a a a a a a a a++++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1212,,x x x R x R >∈∈，1a >，所以12121210,0,0x x x x x x a a a a +++>>->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上是单调递增函数，故C 正确.对于D ，()()()()()()()()()2222222x x x xx x x x x x x x xx a a a aa a a a a a a a ax f a f x --------=---=---+--=-()()()()22322221111112x x x x x x xx xxxa a a a a a a a a aa----+-⎛⎫⎛⎫--=⎪-==⎪⎝⎭⎝⎭，因为1a >，0x ≥，所以()3210,010,xxxa a a+≥>->，所以()()23101x x xa a a-+-≤，当且仅当0x =时等号成立，即当0x ≥时，()()22f x f x ≤成立，故D 正确.故选：BCD6.（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则ab的取值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】CD 【详解】设()e xf x x =+，则()f x 在R 上单调递增，因为()()()ln ln e ln eb af b f a b a -=+-+ln (ln )0a a a a =+-+=，则ln b a =， 设0at b=>，则a bt =，即()ln ln ln ln a b bt b t ===+， 所以ln ln t b b =-，设()ln ,0g x x x x =->，()111x g x x x-'=-=， 当'(0,1),()0x g x ∈<，当'(1,),()0x g x ∈+∞>， 则()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，()()min 11g x g ==，即ln 1t ≥，所以e t ≥，即e ab≥， 故ab的取值可以是3和4. 故选：CD. 【巩固练习】1．已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减【答案】B 【解析】 【详解】解：1()33x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为R ，且()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，又3xy =与13x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，所以1()33xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增；故选：B2．1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数1.7783）（ ）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍【答案】C 【详解】设该哺乳动物原体重为1M 、基础代谢率为1F ，则34101F c M =，经过一段时间生长，其体重为110M ，基础代谢率为2F ，则()3420110F c M ⋅= 则()33334444201011101010F c M c M F =⋅=⋅⋅=，则3234110 1.7783 5.6F F ≈=≈故选：C3．已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（ ）A ．26B ．16C ．－16D ．－26【答案】A 【详解】 由题意得当m 1≥时，1312m +-=-，方程无解，当1m <时，3log (5)22m -+-=-，解得4m =-，所以()216(64)(2)3126f m f f ++=-==-=，故选：A4．若函数()32log 9x f x x x=+-0x ，则()0091xx -=（ ）．A ．13B ．1 CD ．2【答案】B 【详解】由题设1x >，由0()0f x =得：0009(1)x x -= 若009(1)xx t -=，可得002103x t x -=>，若0t =，可得0201103tx x -=>，综上，22133x x t t =，故1t =.故选：B5．已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （ ） A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-【答案】C 【详解】因为1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11112222f x f x ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，即2T =，所以()3331010log 90log log 927f f f⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[)310log 1,027∈-，所以310log 273101017log 311272727f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 所以()317log 9027f =， 故选：C6．关于函数131()(2)2xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（ ）A ．若3m n -<<，则()()f m f n <B ．若0m n <<，则()()f m f n <C ．若()()f m f n <，则22m n <D ．若()()f m f n <，则33m n <【答案】C 【详解】解：因为113311()(2)()(2)()22xx x x f x x x f x ---=-⋅-=-=，所以函数131()(2)2xx f x x =-是一个偶函数，又0x >时，122xxy =-与13y x =是增函数，且函数值为正数， 故函数131()(2)2xx f x x =-在(0,)+∞上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(,0)-∞上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小， 函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A 选项，由3m n -<<，无法判断m ，n 离原点的远近，故A 错误； B 选项，0m n <<，则m 的绝对值大，故其函数值也大，故B 不对； C 选项是正确的，由()()f m f n <，一定得出22m n <；D 选项由()()f m f n <，可得出||||m n <，但不能得出33m n <，不成立， 故选：C ．7．区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈，1.58≈）（ ） A ．1393.1610s ⨯B ．1391.5810s ⨯C ．1401.5810s ⨯D ．1403.1610s ⨯【答案】B 【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间为x 秒，则有5121422.510x =⨯，两边取常用对数，得()51251214142lg lg lg 2lg 2.5102.510x ==-⨯⨯ ()()512lg2lg2513512lg22lg513=-+=-+()512lg221lg213514lg215139.2=---=-≈， 所以139.21390.2139101010 1.5810x ==⨯≈⨯. 故选：B. 8．已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（ ） A ．3log 2 B ．2log 3 C ．2 D ．3【答案】A 【详解】因为1log 3m p =，所以3log m p =，得3p m =， 所以2223923(3)0p p p p m n -=⨯-=⨯-=.即3(23)0p p -=. 因为30p ≠，所以32p =，解得3log 2p = 故选：A ．9．已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（ ）A ．111x y z +=B ．111y z x+= C ．112x y z += D ．112x z y+=【答案】C 【详解】令(34zx y a ===，则34log ,log ,log x a y a z ===，故111log 3,log 4,log a a a x y z===112log 122log a a x y z +=== 故选：C 二、多选题10．在同一直角坐标系中，函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【详解】当1a >时，x y a =在(,)-∞+∞单调递增且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递增且其图象恒过点(3,0)，则选项B 符合要求；当01a <<时，x y a =在(,)-∞+∞单调递减且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递减且其图象恒过点(3,0)，则选项D 符合要求；综上所述，选项B 、D 符合要求. 故选：BD.11．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab bc ac += B ．ab bc ac += C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121c b a=-【答案】ACD 【解析】 【详解】解：设1469a b c t ==>=，则4log a t =，6log b t =，9log c t =， 所以6694lg lg log log lg 6lg 6lg lg log log lg 9lg 4t tt t b b t t c a t t+=+=+()2lg 94lg 9lg 4lg 9lg 4lg 62lg 6lg 6lg 6lg 6lg 6⨯+=+====， 即2b b c a +=，所以112c a b +=，所以121c b a =-，故D 正确；由2b bc a+=，所以2ab bc ac +=，故A 正确，B 错误； 因为()249444a c a a a ⋅==⋅，()()()22494966bbb b b ⋅=⨯==，又469a b c ==，所以()()2246a b =，即4949b b a c ⋅=⋅，故C 正确；故选：ACD12．下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（ ）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax =+C ．()21xaf x e =-- D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-【答案】ACD 【详解】对于A 中，当1a =时，函数()(lg f x x =的定义域为R ，关于原点对称，又由()()((+-lg lg lg10f x f x x x =+-==，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，所以A 正确； 对于B 中，因为函数2yx 为偶函数，所以函数()2f x x ax =+不可能是函数，即不存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数，所以B 不符合题意； 对于C 中，由函数()21x af x e =--定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称， 又由()()f x f x -=-，即2211xx a ae e --=-+--，解得4a =-，所以C 符合题意；对于D 中，当1a =时，函数()()())2ln 1[ln 12ln]2xx xx xf x x e x e x =+-==+-，其定义域为R ，关于原点对称，又由()))()lnlnx xf x f x x x -=-=-=-，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，所以D 正确； 故选：ACD.13．已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x π-<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（ ）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD()()()123f x f x f x t ===，进而得到1x ,2x ,3x 关于t 的增减性以及t 的取值范围，数形结合分析选项即可得解.【详解】作出函数()f x 的大致图象,如图所示， 设()()()123f x f x f x t ===，数形结合得:13,x x 均是关于t 的增函数，2x 是关于t 的减函数，且24t <<.当01x <≤时，令()2f x =，得16x =或56， 所以12115626x x <<<<，312x <<，且121x x =+，所以()1232,3x x x ++∈，故A 正确；不妨设223x =，则()()2324sin 3t f x f x π====，此时()232x f x =>，所以B 错误；因为121x x =+，所以()21211111511,24364x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12x x 与3x 均为关于t 的增函数，所以12351,362x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为1x 为关于t 的增函数，11162x <<，()324f x t <=<，所以()131,23x f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD. 三、填空题 14．2log 142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.【答案】10 【详解】24log 2log 21422424102-⎛⎫++=++=++= ⎪⎝⎭.故答案为：10.15．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：∈,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；∈()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________. 【答案】1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】由题意：是指数函数里的减函数，故可以是：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.16．已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a 的取值范围为___________.【答案】41,log 32⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦(]2,4【详解】若1a ≤，则()41a f a =-，故1412a <-≤，解得41log 32a <≤，故41log 32a <≤； 若1a >，则2()log f a a =，故21log 2a <≤，解得24a <≤，故24a <≤； 综上：41log 32a <≤或24a <≤. 故答案为：41,log 32⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦(]2,4. 7．已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论：∈函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；∈函数()y f x =是以2为周期的周期函数；∈当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--；∈函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．【答案】∈∈∈【详解】由题知()y f x =为奇函数，其图象关于原点中心对称，又对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--，所以其图象还关于点()1,0对称，据此可判断函数()f x 为周期函数，2是函数()f x 的周期．又当()1,2x ∈时，()21log f x x =-，画出函数图象可知∈∈正确，∈错误．当()0,1x ∈时，()21,2x -∈，所以()()221log 2f x x -=--，又因为函数()f x 是以2为周期的奇函数，所以()()()2f x f x f x -=-=-，所以()()()22log 21f x f x x =--=--，所以∈也正确． 故答案为：∈∈∈．。