北京市2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(四)

金山中学2017学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．已知函数0,0,()1,0,x f x x <⎧=⎨≥⎩则(())f f x = ．2．若以()1341a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a 的取值范围为 ．3．若直线l 过点()1,3A -,且与直线230x y --=垂直,则直线l 的方程为________________. 4．已知圆的方程为422=+y x ，则经过点)3,1(的圆的切线方程为__________________． 5．若不等式组12016,1,x x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集中有且仅有有限个实数，则a 的值为 ．6．已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________． 7．已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 . 8．若实数,x y 满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的取值范围是__________.9．在数列{}n a 中,已知41n a n =-，则过点()20174,P a 和点()20183,Q a 的直线的倾斜角是__________. (用反三角函数表示结果)10．设12,F F 分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且()112OB OA OF =+，()212OC OA OF =+，则OB OC +=__________． 11．已知函数()()b a x a b x x f -+--+=2422是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是__ ____．12．定义变换T 将平面内的点(),(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q．若曲线0:C 1(0,0)42x yx y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C ， ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与,x y 轴正半轴的交点为(),0n n A a 和()0,n n B b ,记(),n n n D a b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质：①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称；②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点()0,2；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则1lim =∞→n n S .其中所有正确结论的序号是 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．64<<k 是“方程14622=-+-k y k x 表示椭圆”的 （ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件14．已知向量a b =满足1a =，2b =，,a b 的夹角为120°，则2a b -等于 （ ） （A ）3 （B ）15 （C ）（D ）515．已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间),2[+∞上是增函数，则a 的取值范围（ ）（A ）（]4,∞- （B ）（]2,∞- （C ）（]4,4- （D ）[]4,4- 16．如图，已知21l l ⊥,圆心在1l 上、半径为m 1的圆O 在0=t 时与2l 相切于点A ,圆O 沿1l 以s m /1的速度匀速向上移动,圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x ,令x y cos =,则y 与时间t (10≤≤t ,单位:s )的函数)(t f y =的图像大致为1三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分 已知集合[]{}(){}2,2,3,(3)0xA y y xB x x a x a ==-∈=--+>．（1）当4a =-时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．（1）求)(x f 的单调增区间；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，且3)(=C f ，1=c ，2432sin sin RB A =，a ＞b ，求a 、b 的值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分. 如图，已知直线:0(0)l x c c -=>为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O 处发现了北偏东60海面上A 处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B 航行，以便上海轮后逃窜。

北京市丰台区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知(2,1,1)a =- ，(42)b x =- ,,，且//a b，则x =（）A ．10-B ．2-C ．2D ．102．若直线l 过两点(0,0)和，则直线l 的倾斜角为（）A ．2π3B ．π3C ．5π6D ．π63．过点(1,4)A ，且横、纵截距相等的直线方程为（）A ．4y x =或y x=B ．50x y ++=或4y x =C ．30x y -+=或50x y +-=D ．50x y +-=或4y x=4．已知以点()0,1为圆心，2为半径的圆C ，则点()1,2M 与圆C 的位置关系是（）A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断5．如图，在平行六面体ABCD EFGH -中，AD AB a b AE c ===,,，I 为线段CH 的中点，则AI可表示为（）A ．1122-++ a b cB ．1122a b c++C ．1122a b c--+ D ．1122a b c-+ 6．在空间直角坐标系Oxyz 中，若点()1,2,3B -关于y 轴的对称点为点B '，点()1,1,2C -关于Oyz 平面的对称点为点C '，则B C ''=（）A ．()2,1,1--B ．()0,3,5-C ．()2,1,1-D ．()0,3,5-7．过原点且倾斜角为30︒的直线被圆22(2)4x y +-=所截得的弦长为（）A ．1B ．2CD ．8．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且||||PA PB =，若直线P A 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为（）A ．270x y +-=B ．240x y --=C ．50x y +-=D ．10x y +-=9．在棱长为4的正方体内有一点P ，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O ，则OP =（）AB C ．2D 10．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足AM =x AB +y AC-(x +y -1)AD ，点N 满足BN =λBA +(1-λ)BC ，当AM 、BN 最短时，AM ·MN=（）A ．-43B ．43C ．-13D ．13二、填空题11．圆222690x y x y +-++=的圆心坐标为；半径为.12．已知直线l α∥，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)，则m =.13．已知两平行直线1:230l x y +-=，21:20l x my +-=，则1l 与2l 间的距离是.14．已知(2,1,3)AB =- ，(112)AC =--,,，(21)AD λ=- ,,，若,,,A B C D 四点共面，则实数λ=.15．在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,),A x y 22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l .已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则(,)d P l =；若定点00(,)C x y ，动点(,)P x y 满足()(0)d C P r r =>,，则点P 所在的曲线所围成图形的面积是.三、解答题16．已知直线1l 过点(2,2)，直线2l ：y x =．(1)若12l l ⊥，求直线1l 的方程；(2)若直线1l 与x 轴和直线2l 围成的三角形的面积为2，求直线1l 的方程．17．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1,,CA a CB b CC c ===，1=2CA CB CC ==，12π3ACB ACC ∠=∠=，1π2BCC ∠=，点N 是棱AB 的中点，点M 在棱11C B 上，且112C M MB =.(1)用,,a b c 表示向量AM；(2)求AM ；(3)求证：1AM A N ⊥.18．已知圆22:2440C x y x y +-+-=，圆221:(3)(1)4C x y -+-=及点(3,1)P .(1)判断圆C 和圆1C 的位置关系，并说明理由；(2)若斜率为k 的直线l 经过点P 且与圆C 相切，求直线l 的方程.19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，12AD AA ==，点E 在AB 上，且1AE =.(1)求直线1BC 与直线CE 所成角的大小；(2)求直线1BC 与平面1A EC 所成角的正弦值；(3)若点P 在侧面11A ABB 上，且点P 到直线1BB 和CD 的距离相等，求点P 到直线1AD 距离的最小值．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，PAD △为等腰三角形，PA PD =，AD BC ∥，22AD CD BC ===，点,E F 分别为棱,PD PB 的中点．(1)求证：直线//BD 平面AEF ；(2)求直线BD 到平面AEF 的距离；(3)试判断棱PC 上是否存在一点G ，使平面AEF 与平面ADG 若存在，求出PGPC的值；若不存在，请说明理由.21．已知圆M 的圆心在y 轴上，半径为2，且经过点(2,2)A -.(1)求圆M 的标准方程；(2)设点(0,1)D ，过点D 作直线1l ，交圆M 于P ，Q 两点（P ，Q 不在y 轴上），过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于E ，F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值.。

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

北京五十七中2017--2018第一学期高二数学期中考试班级___________姓名_________一．选择（本题8道小题，每题5分，共40分）1、已知正四棱锥侧棱长为5，底面边长为6，则此的正四棱锥的表面积是（ ） A.48 B. 712 C. 84 D.71236+2、若直线y x b =+与圆222x y +=相切，则b 的值为（A ）4± （B ）2± （C）（D）± 3、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为（A ）若,,αγβγ⊥⊥则αβ （B ）若,,m m αβ则αβ （C ）若,m n αα，则m n （D ）若,,m n αα⊥⊥则m n 4、由直线上的点向圆(x -3)2+(y +2)2=1引切线，则切线长的最小值为 ( )AB .C D .5、已知AB 和AC 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60，则2AB AC -与CA 的夹角是（A ）30 （B ）60 （C ）90 （D ）1206、在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S == B ．21S S =且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠ D ．32S S =且31S S ≠7、若圆(x-3)2+(y+5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r 取值范围是A 、 （4，6）B 、[4，6）C 、（4，6]D 、[4，6]1y x =+正（主）视图俯视图8. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）（A ） 4个 （B ）6个 （C ）10个 （D ）14个二．填空题(共6道小题，每题5分，共30分) 9、已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于_______. 10、已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_______.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为等于_______.12．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.13、在四边形ABCD 中，2AB =. 若1()2DA CA CB =+，则AB ⋅DC =____. :40l x y -+=()()22:112C x y -+-=C l BADC. PR QPD 1C 1B 1BCDA 1A1 1CA 14、正方体1111ABCD ABCD -的棱长为1，点P Q R ，，分别是棱11111A A A B A D ，，的中点，以PQR ∆为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高__h =.三．解答题（共6个小题，80分）15、（本小题共13分）三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直， 90=∠ABC ，12AB BC BB ===，,M N 分别是AB ，1AC 的中点．（Ⅰ）求证：||MN 平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：⊥MN 平面C B A 11； （Ⅲ）求三棱锥-M C B A 11的体积．16．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中， 四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且//,,AF BE AB BE ⊥平面ABCD平面,ABEF AB =22AB BE AF ===.（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ； （Ⅱ）若二面角D AB E --为直二面角， （i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小； （ii ）棱DE 上是否存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ?若存在，求出DPDE的值；若不存在，请说明理由．FADCBE17、已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：x －2y =0的距离为55，求该圆的方程．（13分）18．（本小题满分14分）如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是的中点，，.（Ⅰ）求证：1⊥BC D E ； （Ⅱ）求证：// 平面；（Ⅲ）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3，求线段1D E 的长度.19．（本小题满分13分）如图,已知定圆:C 4)3(22=-+y x ，定直线:m 360x y ++=，过)0,1(-A 的一条动直线l 与直线m 相交于N ,与圆C 相交于Q P ,两点，M 是PQ 中点.（Ⅰ）当l 与m垂直时，求证：l 过圆心C （Ⅱ）当PQ =时，求直线l 的方程；（Ⅲ）设t =⋅,试问t 是否为定值, 若为定值，请求出t 的值；若不为定值， 请说明理由.20．（本小题13分）已知数列满足：，．记集合． （Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．1111ABCD A BC D -ABCD 11BCC B E CD 1D E CD ⊥22AB BC ==1B C 1BED {}n a *1a ∈N 136a ≤()12n =，，…{}*|n M a n =∈N 16a =M M M M1北京五十七中2017--2018第一学期高二数学期中考试试题答案选择答案：1-8 CBDA CDAC填空答案：9、33410、211、3412、)5,3(13、214、23解答题答案：15、（Ⅰ）证明：连结，，是，的中点．又平面，平面．--------------------4分（Ⅱ）三棱柱中，侧棱与底面垂直，四边形是正方形．．．连结，．，又中的中点，．与相交于点，平面． --------------------9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知是三棱锥的高． 在直角中，，．又．． --------------------13分16．（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）连结BD ，设ACBD O =，因为四边形ABCD 为正方形， 所以O 为BD 中点．设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，则//OG BE ，且12OG BE =． 由已知//AF BE ，且12AF BE =，所以//,AF OG OG AF =． 所以四边形AOGF 为平行四边形． 所以//AO FG ，即//AC FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC //平面DEF ．……………………………………………………5分（Ⅱ）由已知，//,AF BE AB BE ⊥，所以AF AB ⊥．因为二面角D AB E --为直二面角， 所以平面ABCD ⊥平面ABEF ． 所以AF ⊥平面ABCD ，FADCBEOG所以,AF AD AF AB ⊥⊥．四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥． 所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点，,,AD AB AF 分别为,,x y z 轴建立空间直 角坐标系（如图）． 因为22AB BE AF ===，所以(000),(0,2,0),(2,2,0),(200),(0,2,2),(0,0,1)A B C D E F ，，，，， 所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2)AC CD CE ==-=-． （i ）设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0CD CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得20, 220. y x z -=⎧⎨-+=⎩即0, 0. y x z =⎧⎨-=⎩取1x =，得(1,0,1)=n ．设直线AC 与平面CDE 所成角为θ，则1sin cos ,2AC θ=〈〉==n ，因为090θ≤≤︒，所以30θ=︒．即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30︒．………………………………9分（ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ=． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-． 因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--． 又(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=--，所以2(22)20,2(22)20.BP DF BP EF λλλλ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=---=⎪⎩解得 23λ=．因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =． （另解）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ=． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-． 因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--． 设平面DEF 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则 0,0m DF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 由(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=--，得000020, 20. x z y z -+=⎧⎨--=⎩取01x =，得(1,1,2)=-m ．由m BP μ=，即(22,22,2)(1,1,2)λλλμ--=-，可得22,22, 22.λμλμλμ-=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得23λ=．因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =．………………………………………………………………14分17、设圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 (R>0) 1分令x=0,得y=b±√(R^2-a^2),由①得 3分 [b+√(R^2-a^2)]-[b-√(R^2-a^2)]=2所以R^2-a^2=1 ..............(1) 5分 令y=0,得x=a±√(R^2-b^2),在x 轴截得的弦长为2√(R^2-b^2), 由②得在x 轴所截得的弦对应的圆心角为90度则2R^2=[2√(R^2-b^2)]^2 7分 得R^2=2b^2,...............(2) 9分 由③得|a-2b|/√5=√5/5即|a-2b|=1.............(3) 11分 解方程组得a=1,b=1或a=-1,b=-1,R^2=2 12分所以圆的方程(x+1)^2+(y+1)^2=2或(x-1)^2+(y-1)^2=2 13分18．（本小题满分14分） （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形，所以 BC CD ⊥，1BC CC ⊥， 又因为 1=CDCC C ，所以 平面， ………………2分因为 1D E ⊂平面， 所以 1BC D E ⊥. (4)分（Ⅱ）证明：因为 1111//, BB DD BB DD =，所以四边形11D DBB 是平行四边形. 连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点. 在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，所以 1//EF B C . ………………6分又因为 1⊄B C 平面1BED ，⊂EF 平面1BED ，所以 1//BC 平面1BED . (8)（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E ⊥， 又因为 ，，所以 1D E ⊥平面ABCD . ………………9分设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，1ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，zBC ⊥11DCC D 11DCC D 1D E CD ⊥BCCD C = 1轴如图建立空间直角坐标系，设1D E a =，则11(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), (0,1,0), (1,2,), (1,0,0)E B D a C B a G . 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ， 因为1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==，由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩令1x =，得(1,1,0)=-n . ………………11分设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ， 因为1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==，由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令，得. (12)分由平面与平面所成的锐二面角的大小为π3，得||π|cos ,|cos 3⋅<>===m n m n m n ， ………………13分解得. ………………14分19. （本小题满分13分）解:（Ⅰ）由已知31-=m k ,故3=l k ,所以直线l 的方程为)1(3+=x y . 将圆心C)3,0(代入方程易知l 过圆心C . …………………………3分(Ⅱ) 当直线l 与x 轴垂直时,易知1-=x 符合题意; ………………4分当直线与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为)1(+=x k y ,由于32=PQ ,11z =(0,,1)a =-m 11BCC B 1BED 1a =所以.1=CM 由1132=++-=k k CM ,解得34=k . 故直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x . ………………8分(Ⅲ)当l 与x 轴垂直时,易得)3,1(-M ,)35,1(--N ,又)0,1(-A 则),3,0(= )35,0(-=AN ,故5-=⋅. 即5t =-. ………………10分当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为)1(+=x k y ,代入圆的方程得056)62()1(2222=+-+-++k k x k k x k .则,1322221kk k x x x M++-=+= 2213)1(k kk x k y M M++=+=,即)13,13(2222k kk k k k M ++++-, =)13,113(222k k k k k ++++.又由⎩⎨⎧=+++=,063),1(y x x k y 得)315,3163(k kk k N +-+--, 则)315,315(kkk +-+-=.=t 5)1)(31()1)(31(5)31)(1()3(5)31)(1(51522222-=++++-=+++-+++--=⋅k k k k k k k k k k k k AN AM . 综上,t 的值为定值,且5t=-. …………14分另解一:连结CA ,延长交m 于点R ,由(Ⅰ)知m AR ⊥.又l CM ⊥于M,故△ANR ∽△AMC.于是有AR AC AN AM ⋅=⋅.由,105,10==AR AC 得.5=⋅AN AM故t AM AN =⋅=-.5-= ………………………14分另解二:连结CA 并延长交直线m 于点B ,连结,,CN CM 由(Ⅰ)知,m AC⊥又l CM ⊥,所以四点B N C M ,,,都在以CN 为直径的圆上,由相交弦定理得5t AM AN AM AN AC AB =⋅=-⋅=-⋅=-. ……………14分20．（本小题13分）已知数列满足：，，且． 记集合．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．解：（Ⅰ） ，，．（Ⅱ）证明：因为集合存在一个元素是 的倍数，所以不妨设是 的倍数．由 可归纳证明对任意， 是 的倍数．如果，则的所有元素都是 的倍数．如果 ，因为或 ，所以是 的倍数，于是是 的倍数．类似可得，， ， 都是 的倍数．从而对任意，是 的倍数，因此 的所有元素都是 的倍数．综上，若集合存在一个元素是 的倍数，则的所有元素都是 的倍数．（Ⅲ）由 ， 可归纳证明 ．因为 是正整数， 所以 是 的倍数，从而当时，是 的倍数．如果 是 的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数， 是 的倍数，因此当 时， ，这时 的元素个数不超过 ．如果 不是 的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数，不是 的倍数，因此当 时， ，这时 的元素个数不超过 ．当时，有 个元素．综上可知，集合 的元素个数的最大值为 ．{}n a *1a ∈N 136a ≤121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…{}*|n M a n =∈N 16a =M M M M知识点清单√1、如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点M 在AD 上，正方形ABCD 以AD 为轴逆时针旋转θ角)3π(0≤≤θ到11AB C D 的位置 ，同时点M 沿着AD 从点A 运动点D ，11MN DC =，点Q 在1MN 上，在运动过程中点Q 始终满足QM 1cos =θ，记点Q 在面ABCD 上的射影为0Q ，则在运动过程中向量0BQ 与BM 夹角α的正切值tan α的最大值为 .2．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是 （A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞4、在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 是边BC 上的动点，且3AB =，4AC =,AD AB AC λμ=+(0,0λμ>>)，则当λμ取得最大值时,AD 的值为A ．72B ．3C ．52D ．1255、设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，则2x y +的最大值是_______的取值范围是 ．6、．如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，224AB CD BC ===，O 是边AB的中点. 将三角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠=，如图2. 设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线. （Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值.AOBCD1图ODCB2图1A7、一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，（其中D 为11A B 的中点）Ⅰ.求证：1C D ⊥平面11ABB AⅡ.当点F 在棱1BB 上的什么位置时，有1AB ⊥平面1C DF ， 请证明你的结论Ⅲ.对（2）中确定的点F ，求三棱锥11B C DF -的体积．8、如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====.（Ⅰ）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF平面PAB ；（Ⅱ）求二面角B PD A --的大小；（Ⅲ）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥?若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由.俯视图侧视图主视图21112D C 1B 1A 1BCAFADCBP如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，∠BAC =90°，1AB =，12BC BB ==，1C D CD =1CC D ⊥平面11ACC A .（Ⅰ）求证：1AC DC ⊥；（Ⅱ）若M 为1DC 中点，求证：//AM 平面1DBB ；（Ⅲ）在线段BC 上（含端点）是否存在点P ，使直线DP 与平面1DBB 所成的角为π3？若存在，求BPBC的值，若不存在，说明理由.M如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ， 90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．13．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为A．3B ．43 C． D ．414．已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向俯视图正视图侧视图15．（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当且E 为PB 的中点时，求AE 与 平面PDB 所成的角的大小.16、（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=.(Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC（Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.P ABCD -PD ABCD ⊥底面AEC PDB ⊥平面PD=17.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 18. (本小题共14分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1BDBC 的值.19． 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A．2 B．4 C．2+ D ．520．（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点． (Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．俯视图侧(左)视图O FECBA21. 设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则()221x y ++的最小值为A.1B. 92C. 5D. 922．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：○1 当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ○2 (0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；○3 (0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________.23. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在,请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.D CP1图 图2F7. 若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2||z y x =-的最大值为A.8-B.4-C.1D.28. 已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是A. 1,1m n ==B. 4,1m n ==C. 3,4m n ==D. 4,4m n ==12. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为___. 13、（13）在△ABC 所在平面内一点P ，满足2155AP AB AC =+，延长BP 交AC 于点D ，若AD AC λ=，则λ=_______．14．已知实数,,u v ,x y 满足221u v +=，10,220,2,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则z ux vy =+的最大值是______.15、若点(,)P a b 在不等式组20,20,1x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内，则原点O 到直线10ax by +-=距离的取值范围是__.主视图左视图俯视图。

房山区2023-2024学年度第一学期期中学业水平调研高二数学（答案在最后）第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知()1,3A -，()3,5B ，则线段AB 的中点坐标为（）A.（1，4）B.（2，1）C.（2，8）D.（4，2）【答案】A 【解析】【分析】用中点坐标公式即可求解.【详解】设线段AB 的中点坐标为(),M a b ，则132352a b -+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即14a b =⎧⎨=⎩，则线段AB 的中点坐标为()1,4M .故选：A.2.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点．设AB a =，AD b =，1AA c = ，用基底{},,a b c 表示向量AE，则AE = （）A.a b c ++r r rB.12a b c++ C.12a b c++ D.12a b c ++ 【答案】B【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.【详解】11122AE AC CE AB AD AA a b c =+=++=++.故选：B3.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C 【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解【详解】连接1A D ，DB ，如图，因为正方体中11//A D B C ，所以1BA D ∠就是1A B 与1B C 所成的角，在1BA D 中，11A D A B BD ==.∴160BA D ∠=︒.故选：C4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11AA BC ⋅=（）A. B. C.2D.4【解析】【分析】根据向量数量积定义计算即可.【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,易知12AA =，1BC = 因为11AA BB = ，1BB 与1BC 的夹角为π4，所以1AA 与1BC 的夹角为π4，1111π2cos 2442AA BC AA BC ⋅=⋅=⨯= .故选：D5.如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，则下列叙述中错误的是（）A.ACD ∠是直线AC 与平面BCD 所成角B.ABD ∠是二面角A BC D --的一个平面角C.线段AC 的长是点A 到直线BC 的距离D.线段AD 的长是点A 到平面BCD 的距离【答案】B 【解析】【分析】根据线面垂直即可求解AD ，根据BC ⊥平面ACD ，即可得BC AC ⊥，进而判断C ，结合二面角的定义即可判断B.【详解】对于AD ，由于AD ⊥平面BCD ，所以ACD ∠是直线AC 与平面BCD 所成角，线段AD 的长是点A 到平面BCD 的距离，故AD 正确，对于B ，AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ,所以BC AD ⊥,又BC CD ⊥，,,AD CD D AD CD =⊂ 平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD ，CA ⊂平面ACD ,故BC AC ⊥,又BC CD ⊥，AC ⊂平面ABC ,CD ⊂平面BCD ,故ACD ∠是二面角A BC D --的一个平面角，故B 错误，对于C ，由于BC AC ⊥，所以线段AC 的长是点A 到直线BC 的距离，C 正确,故选：B6.已知直线1l ：()210x a y a +-+=与直线2l ：20ax y ++=平行，则a 的值为（）A.1-或2B.13C.2D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据两直线平行，即可列式求解.【详解】因为12l l //，所以2112a a a -=≠，解得：1a =-.故选：D7.在同一平面直角坐标中，表示1l ：y ax b =+与2l ：y bx a =-的直线可能正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合各选项分析直线的斜率与在y 轴上的截距，即可判断.【详解】对于A ：由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故A 错误．对于B ：由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故B 错误．对于C ：由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b >，在y 轴上的截距0a ->，即a<0，故C 正确．对于D ：由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b >，矛盾，故D 错误．故选：C ．8.长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，M 为AB 的中点，1D M MC ⊥，则AD =（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】连接1CD ，设AD a =()0a >，表示出CM ，1CD ，1MD ，利用勾股定理计算可得.【详解】如图连接1CD ，设AD a =()0a >，则CM =1==CD ，1MD ==因为1D M MC ⊥，所以22211MC MD CD +=，即22158a a +++=，解得1a =（负值舍去）.故选：A9.设P 为直线1y =-上的动点，过点P 作圆C ：()()22324x y ++-=的切线，则切线长的最小值为（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可.【详解】圆心为()3,2C -，半径为2r =，设切点为Q ，要使得切线长PQ 最小，则CP 最小，此时CP l ⊥，所以3CP =，所以PQ ==故选：B10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()()221:204C x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB =，则实数m 的取值范围是（）A.22⎣⎦B.521,42⎡⎢⎣⎦C.212⎛ ⎝⎦D.521,22⎢⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设(),P x y ，因为点()1,0A -，()2,0B ，2PA PB =，=22650x y x +-+=，所以()2234x y -+=，可得圆心()3,0，半径2R =，由圆()()221:24C x y m -+-=可得圆心()2,C m ，半径12r =，因为在圆C 上存在点P 满足2PA PB =，所以圆()2234x y -+=与圆()()221:24C x y m -+-=有公共点，所以112222-≤≤+，整理可得：2925144m ≤+≤，解得：52122m ≤≤，所以实数m的取值范围是22⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D.第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.已知()2,1A ，()0,3B -，则直线AB 的斜率AB k =__________．【答案】2【解析】【分析】根据直线斜率公式进行计算即可.【详解】根据题意，1(3)220AB k --==-，故答案为：2.12.已知()0,0A ，()2,2B ，()4,2C ，则ABC 外接圆的方程为____________．【答案】22620x y x y +-+=【解析】【分析】首先设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，从而得到044220164420F D E F D E F =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，再解方程组即可.【详解】设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则064422021644200F D D E F E D E F F ==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩，所以ABC 外接圆的方程为：22620x y x y +-+=.故答案为：22620x y x y +-+=13.已知直线l 与平面α所成角为45︒，A ，B 是直线l 上两点，且6AB =，则线段AB 在平面α内的射影的长等于____________．【答案】【解析】【分析】依题意可得线段AB 在平面α内的射影的长等于45cos AB ︒.【详解】因为直线l 与平面α所成角为45︒，A ，B 是直线l 上两点，且6AB =，则线段AB 在平面α内的射影的长等于456s 2co AB ︒=⨯=故答案为：14.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，则点1D 到点B 的距离等于____________；点1D 到直线AC 的距离等于____________．【答案】①.②.5【解析】【分析】以向量DA ，DC ，1DD所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，根据两点间的距离公式可求点1D 到点B 的距离；连接1D A ，作1D E 垂直AC ，垂足为E ，求出向量1AD uuu r 在向量AC上的投影，由勾股定理即可求点1D 到直线AC 的距离.【详解】如图，以向量DA ，DC ，1DD所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由11AA AD ==，2AB =，则()10,0,1D ，()1,2,0B ，所以1D B ==，所以点1D 到点B .连接1D A ，作1D E 垂直AC ，垂足为E ，由()1,0,0A ，()0,2,0C ，所以()11,0,1AD =- ，()1,2,0AC =-，所以15AD AC AE AC⋅===，又1AD =，所以点1D 到直线AC 的距离5d ==.；5.15.已知圆O ：()2220x y rr +=>和直线l ：40x y -+=，则圆心O 到直线l 的距离等于_____________；若圆O 上有且仅有两个点到直线l ，写出一个符合要求的实数r 的值，r =______________．【答案】①.②.2（答案不唯一）.【解析】【分析】根据点到直线距离公式计算；将圆O 上有且仅有两个点到直线l 转化为半径与圆心O 到直线l 的距离之间的关系即可求解.【详解】圆心O 到直线l 的距离为d ==；因为圆O 上有且仅有两个点到直线l ，所以d r <-<r <<.故答案为：2（答案不唯一）.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PAB 是等边三角形，O 为AB 的中点，且PO ⊥底面ABCD ，点F 为棱PC 上一点．给出下面四个结论：①对任意点F ，都有CD OF ⊥；②存在点F ，使//OF 平面PAD ；③二面角P AC B --；④平面PAB ⊥平面ABCD ．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】根据题意，利用空间直线与直线，直线与平面位置关系，依次进行判断即可.【详解】对于①，若点F 与点C 重合，显然不满足CD OF ⊥，所以①错；对于②，若点F 为线段PC 中点，取线段PD 中点E ，连接EF ，则//EF CD 且12EF CD =，所以//EF AO 且EF AO =，则四边形AOFE 为平行四边形，得//OF AE ，因为OF ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以//OF 平面PAD ，所以②正确；对于③，因为O 为AB 的中点，且PO ⊥底面ABCD ，过O 作OH AC ⊥于H ，则PHO ∠即为二面角P AC B --的平面角，根据边长可求得32PO =，4OH =，所以32tan 24PHO ∠==，所以③正确；对于④，因为PO ⊥底面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ，所以④正确；故答案为：②③④三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知三条直线1l ：20x y +-=，2l ：3100x y -+=，3l ：3450x y -+=．（1）求直线1l ，2l 的交点M 的坐标；（2）求过点M 且与直线3l 平行的直线方程；（3）求过点M 且与直线3l 垂直的直线方程．【答案】（1）()1,3M -（2）34150x y -+=（3）4350x y +-=【解析】【分析】（1）联立直线方程，即可求解；（2）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；（3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解；【小问1详解】联立203100x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩，故交点M 坐标为()1,3M -；【小问2详解】所求直线与直线3l 平行，则所求直线可设3405x y C C -+=≠（），所求直线过点()1,3M -，则()31430C ⨯--⨯+=，解得15C =，故所求直线方程为34150x y -+=；【小问3详解】所求直线与直线3l 垂直，则所求直线可设430x y D ++=，所求直线过点()1,3M -，则()41330D ⨯-+⨯+=，解得5D =-，故所求直线方程为4350x y +-=．18.已知圆C 的圆心为点()1,3C -，半径为2．（1）写出圆C 的标准方程；（2）若直线l ：20x y --=与圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）()()22134x y -++=（2）【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程定义可得解；（2）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得.【小问1详解】因为圆心()1,3C -，半径2r =，所以圆C 的标准方程为()()22134x y -++=.【小问2详解】圆心C 到直线l 的距离d ==2AB∴===AB ∴=19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，1==PA AB ，M 为PB 的中点．（1）求证：AM ⊥平面PBC ；（2）求直线PD 与平面PBC 所成角的大小；（3）求点D 到平面PBC 的距离．【答案】（1）见解析（2）π6（3）2【解析】【分析】（1）根据线线，线面的垂直关系的转化，即可证明线面垂直；（2）首先建立空间直角坐标系，由（1）可知向量AM是平面PBC 的法向量，利用向量法求线面角的大小；（3）根据（2）的结果，结合点到平面的距离的定义，即可求解.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，所以BC AM ⊥，因为PA AB =，且点M 是PB 的中点，所以AM PB ⊥，且BC PB B = ，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AM ⊥平面PBC ；【小问2详解】以点A 为原点，以向量,,AB AD AP 为,,x y z 轴的方向向量，建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，11,0,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1,1PD =- ，由（1）可知，向量AM是平面PBC 的法向量，设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，所以1sin cos ,2PD AM θ== ,则π6θ=，所以直线PD 与平面PBC 所成角的大小为π6；【小问3详解】因为1PA AD ==，则PD =由（2）可知，直线PD 与平面PBC 所成角的大小为π6，所以点D 到平面PBCπ62=.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，D 是BC的中点，BC =11A A AB AC ===．（1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）求二面角1D AC C --的余弦值；（3）判断直线11A B 与平面1ADC 是否相交，如果相交，求出A 到交点H 的距离；如果不相交，求直线11A B 到平面1ADC 的距离．【答案】（1）见解析（2）3（3）相交，AH =【解析】【分析】（1）构造中位线，利用线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值；（3）利用平面的性质，即可判断直线11A B 与平面1ADC 的位置关系，并利用图形求解.【小问1详解】连结1AC 交1AC 于点E ，连结DE，因为点,D E 分别是1,BC A C 的中点，所以1//DE A B ，且DE ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC ；【小问2详解】因为1AB AC ==，BC =，所以AB AC ⊥，且1A A ⊥平面ABC ，所以如图，以点A 为原点，以向量1,,AB AC AA 为,,x y z轴的方向向量建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，11,,022D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,1,1C ，11,,022AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10,1,1AC =uuu r ，设平面1ADC 的法向量为(),,m x y z=，则1110220AD m x y AC m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，令1x =，则1y =-，1z =，所以平面1ADC 的法向量为()1,1,1m =-，平面1ACC 的法向量()1,0,0n =，设二面角1D AC C --的平面角为θ，则13cos cos ,33m n m n m n θ⋅==== ，所以二面角1D AC C --的余弦值为33；【小问3详解】如图，延长1C D 交1B B 于点G ，连结GA 并延长，交11B A 的延长线于点H ，因为点D 是BC 的中点，所以11GB BB ==，所以112BA B H =，即111A H AA ==，则22112AH =+=21.已知圆M ：22420x y x y +--=和直线l ：1y kx =-．（1）写出圆M 的圆心和半径；（2）若在圆M 上存在两点A ，B 关于直线l 对称，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线AB 的方程．【答案】（1）圆心为()2,1，半径为5（2）30x y +-=或0x y +=【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径；（2）推出直线l 即为AB 的垂直平分线，过圆心()2,1M ，从而得到1k =，直线AB 的斜率为1-，再结合图形，得到当AB 过点M 和过原点时，满足要求，得到答案.【小问1详解】22420x y x y +--=变形为()()22215x y -+-=，故圆M 的圆心为()2,1【小问2详解】由垂径定理可知，线段AB 的垂直平分线一定过圆心()2,1M ，又A ，B 关于直线l 对称，故直线l 即为AB 的垂直平分线，所以直线l 过点()2,1M ，将其代入1y kx =-中得，211k -=，解得1k =，故直线AB 的斜率为1-，又以线段AB 为直径的圆经过原点，圆M 也经过原点，故当AB 过点M 时满足要求，此时直线AB 的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，当当AB 过原点时，也满足要求，此时直线AB 的方程为()00y x -=--，即0x y +=，综上，直线AB 的方程为30x y +-=或0x y +=.。

北京市广渠门中学2024—2025学年度第一学期期中试题高二年级数学学科时间：120分钟 2024.11本试卷共2页，150分。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

一、选择题（每小题4分，共40分）1.若直线与直线平行，则系数a 为（ ）A.-3B.-6C.D.2.经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的方程是（ ）A. B.C. D.3.在三棱锥中，等于（ ）A. B. C. D.4.过点，的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）A.1或3B.1或4C.1D.45.已知椭圆的一个焦点的坐标是（-2，0），则实数m 的值为（ ）A.1C.2D.46.我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°7.已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）A.7B.6C.5D.4220ax y ++=320x y --=32-23()2211x y ++=0x y +=10x y -+=10x y --=10x y ++=10x y +-=O ABC -OA AB CB +- OA AB OC AC()2,M m -(),4N m 2213x y m m+=111ABC A B C -AC BC ⊥12AC BC AA ===1A C 1ABBA8.“”是“直线与圆相切”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当a ，b 变化时，直线的斜率的取值范围是（ ）A. B.C. D.10.某地居民的居住区域大致呈如图的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.已知，.现准备修建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离的平方和最小，图中，，，是的五等分点，则转播台应建在（ ）A.处B.处C.处D.处二、填空题（每小题5分，共25分）11.与圆的位置关系是________.12.已知圆：与圆：内切，则实数a 的值为________.13.已知圆C ：（a 为实数）上任意一点关于直线：的对称点都在圆上，则________.14.如图，在棱长为2的正方体中，E 为的中点，点P 在线段上，则点P 到直线的距离的最小值为________.0a =()210x ay a a -+-=∈R 221x y +=xOy (),P a b 430ax by a +++=OP ⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎢⎣,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ 60km AB =30km AE CD ==1P 2P 3P 4P AC 1P 2P 3P 4P 40y -+=()2211x y +-=1C ()2236x a y -+=2C ()2224x y +-=22230x y x ay +++-=l 20x y -+=a =1111ABCD A B C D -BC 1D E 1CC15.定义：若对平面点集中的任意一点，总存在正实数r ，使得集合，则称为一个“开集”。

延庆区2023—2024学年高二数学本试卷共4页，150分，考试时长120分钟．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知直线，则直线的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．（2）复数，则（ ）A ．B ．C ．D ．（3）平行线与之间的距离为（ ）ABC ．D ．5（4）在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（ ）A ．B ．C ．D ．（5）已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．（6）若平面，平面的法向量为，则平面的一个法向量可以是（ ）A ．B ．C ．D ．（7）已知向量，，，若，，共面，则等于（ ）A ．B ．C ．5D ．9（8）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（9）在四棱锥中，底面是矩形，平面，为中点，，则直线与所成角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．l 40y --=l π6π32π35π6()i 12i z =-z =12i +12i -2i +2i-230x y -+=220x y --=52()1,2,3P -xOy ()1,2,3--()1,2,3--()1,2,3--()1,2,3()1,2,2a =- ()3,6,6b =-- ()2,4,4c = a c ∥a c⊥ a b ∥a b ⊥ αβ⊥α()2,1,4n =- β()2,1,4--()2,0,1()1,2,1-11,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,0,1a = ()2,2,1b =- ()3,4,c z = a b c z 9-5-a ∈R 1a =210ax y +-=()140x a y +++=S ABCD -ABCD SA ⊥ABCD E SA 2SA AD AB ==BE SD π12π6π37π12（10）已知正三棱锥的底面的边长为2，是空间中任意一点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京师大附中高中二年级上学期期中考试数学试卷本试卷满分100分。

考试时间为120分钟。

第一部分：学考数学（共76分）一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 某超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则n 为（ ） A. 3B. 2C. 5D. 92. 从2件正品、2件次品中随机抽取出两件，则恰好是1件正品、1件次品的概率是（ ） A. 3／4B. 1／4C. 1／2D. 2／33. 口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（ ）A.61B.31 C.21 D.32 4. 有5个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是（ ） A. 2／5B. 3／5C. 4／5D. 3／105. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个，则互斥但不对立的两个事件是（ ） A. 至少一个白球与都是白球B. 至少一个白球与至少一个红球C. 恰有一个白球与恰有2个白球D. 至少一个白球与都是红球6. 从装有1个白球、2个黑球的盒子中任取两球，则取到的两球均为黑球的概率是（ ） A. 1／4B. 1／2C. 1／3D. 2／37. 下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，分数区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100]中的学生人数是（ ）sA. 60B. 55C. 45D. 508. 某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次是（ ） A. 分层抽样，简单随机抽样 B. 简单随机抽样，分层抽样 C. 分层抽样，系统抽样D. 简单随机抽样，系统抽样9. 如下图，长方形的面积为2，将1000颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有600颗豆子落在阴影部分内，则可以估计图中阴影部分的面积约为A.32 B.54 C.56 D.34 10. 已知由数字1、2、3组成无重复数字的三位数，则该数为偶数的概率为（ ） A. 2／3 B. 1／4 C. 1／3 D. 1／2二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11. 从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）125、124、122、123、126，则该样本方差=2s ________12. 袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回地随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是________13. 在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________14. 调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程为321.0254.0+=∧x y ，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元。

2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i 2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0B．1C．2D．35．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5B．20.5C．21.5D．25.58．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1B．3C．5D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第象限．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为万元．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．13．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是（只写一个）．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A ∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i【解答】解：根据题意可得：复数为3+4i，所以结合共轭复数的定义可得：复数3+4i的共轭复数是3﹣4i．故选：A．2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面【解答】解：列举法是集合表示法的一种，在知识结构图中，列举法应该放在集合的表示后面，即它的下位，由此知应选B．故选：B．3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|【解答】解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设：|a|≤|b|，由此推出矛盾．故选：C．4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0B．1C．2D．3【解答】解：①，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，不是对具有函数关系的变量进行分析，故①正确；②，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故②不正确；③，在线性回归分析中，相关系数为r满足|r|越接近1，线性相关程度越强，正确．∴正确结论的个数是2个．故选：C．5．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故选：C．6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得．故选：A．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5B．20.5C．21.5D．25.5【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D 到C，所以能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是5+4+6+5.5=20.5km．故选：B．8．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1B．3C．5D．6【解答】解：∵数列{x n}满足x1=5，，∴由表得：x2=f（5）=6，x3=f（6）=3，x4=f（3）=1，x5=f（1）=4，x6=f（4）=2，x7=f（2）=5，x8=f（5）=6，∴数列{x n}是以6为周期的周期数列，∵2017=336×6+1，∴x2017=x1=5．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．【解答】解：∵复数z=1﹣i在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1），∴复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．故答案为：四．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．【解答】解：根据线性回归直线方程，计算x=2时，=0.2×2+0.3=0.7，即预测家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．故答案为：0.7．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为A．【解答】解：由乙说：我没回答对C，则乙可能答对A或B，但甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B，则乙只能是答对A，B中的任一个，再由丙说：我们三人都同时答对一个题，则由此可判断乙答对的题为A．故答案为：A．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是4．【解答】解：程序在运行过程中各变量变化的如下表示：S n 是否继续循环循环前 2 1/第一圈﹣1 2 是第二圈 3 是第三圈 2 4 否故最后输出的n值为4故答案为：413．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=76．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第9项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第9项为76，即a9+b9=76，．故答案为：76；14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C是封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是R（只写一个）．【解答】解：（1）根据题意，对于复数集，由复数的运算法则，若x，y∈C，则x+y∈C，xy∈C，则复数C是封闭的，（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则实数集R符合，则满足条件的一个F可以是R；故答案为：（1）是，（2）R．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．【解答】解：∵z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），由z1=z2•（1+i），得2+4i=（a+i）（1+i）=（a﹣1）+（a+1）i．∴，即a=3．∴|z2|=|3+i|=．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．【解答】解：（1）函数的导数为：f′（x）=3x﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．可得6﹣=0，解得a=4；（2）f（x）=x2﹣12lnx，导数为f′（x）=3x﹣=，由f′（x）＞0，可得x＞2；由f′（x）＜0，可得0＜x＜2；即f（x）的增区间为（2，+∞）．减区间为（0，2）；（3）由（2）可得函数f（x）的极小值为f（2）=6﹣12ln2，且2∈[，e]，可得f（x）的最小值为6﹣12ln2．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A ∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}与{b n}不为“好友数列”．由a n=2n，，可得集合A为正偶数集，集合B中不含1，3，虽然满足①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅但A∪B≠N*，则数列{a n}与{b n}不为“好友数列”；（2）设数列{a n}的公差为d的等差数列，由a16=36，即有a1+15d=36，由题意可得36﹣15d≥1，解得d=1或2，若d=1，则a1=21，a n=n+20，b n=n（1≤n≤20），与无穷数列{a n}与{b n}矛盾，舍去；若d=2，则a1=6，a n=2n+4，b n=，综上可得a n=2n+4，b n=，n∈N*．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i【解答】解：∵，∴=i8=（i4）2=1．故选：B．19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，a n a n+1=6，∵a1=2∴a2=3，a3=2，a4=3，…，∴a n=，（k∈N*）．故选：A．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x【解答】∵f（x）=sinx+e x，∴，，，，∴f n（x）=f n（x），+4，故选：B．二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是1+．【解答】解：由题意可知，复数z的轨迹为单位圆，如图，|z﹣（1+i）|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离，由图可知，|z﹣（1+i）|的最大值为|AP|=1+．故答案为：1+．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=﹣2．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（1）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0；当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；x＞2时，f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，所以f（x）在x=﹣2处取得极大值，在x=2处取得极小值，x=1不为极值点，故答案为：﹣2．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=+．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为16．【解答】解：（1）∵等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得a1=1，d=，∴a n=1+（n﹣1）×=+．故答案为：+．（2）∵，∴数列{b n}的前8项和为：S8=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=1+1+1+2+2+3+3+3=16．故答案为：16．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数，导数为f′（x）=x2+2ax+b，f′（﹣1）=0，即为1﹣2a+b=0，可得b=2a﹣1；（2）a≤1时，f（x）=x3+ax2+（2a﹣1）x导数为f′（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1），当a=1时，f′（x）=（x+1）2≥0，f（x）在R上递增；当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，可得f（x）在（﹣1，1﹣2a）递减；在（﹣∞，﹣1），（1﹣2a，+∞）递增；（3）a=﹣1，f（x）=x3﹣x2﹣3x，导数为f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），f（x）在（﹣1，3）递减，在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增；可得f（x）的极小值为f（3）=﹣27，极大值为f（﹣1）=，方程f（x）=m有三个不等的实数根，可得﹣27＜m＜，即m的取值范围是（﹣27，）．。

北京市京源学校2024-2025学年第一学期高二期中考试数学试卷一、选择题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）A. B. C. D.2.已知是空间向量的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）A. B. C. D.3.已知向量，，且与垂直，则的值是（ ）A. B. C. D.4.已知m ，n 是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则5.“”是“直线和直线平行”的（ ）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.圆的圆心到直线的距离为（ ）A.2B ：17.设直线的斜率为，且，则直线的倾科角的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知长方体的一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球面的表面积是（ ）A. B. C. D.以上都不对9.一个边长为10cm 的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为（ ）Oxyz ()1,2,1-xOz ()1,2,1---()1,2,1-()1,2,1--()1,2,1--{},,a b c p a b =+ q a b =- a b 2a b + 2a c+ ()1,0,1a =- ()1,2,1b =- ka b + 23a b - k 115654535αβγm α∥n α∥m n∥m α∥m β∥αβ∥αγ⊥βγ⊥αβ∥m α⊥n α⊥m n ∥32a =210x ay +-=()110a x ay -+-=()2212x y -+=10x y ++=l k 1k -≤<l α30,,34πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ 30,,64πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ 3,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭30,,34πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭25π50π125πA. B.10.如图，已知大小为二面角棱上有两点，，，，，，若，，则AB 的长度（ ）A.C.22D.4011.已知，，是曲线的最大值是（ ）A.2B.12.已知在正方体中，，是正方形ABCD 内的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于（ ）A. B. C. D.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。