高中数学第二章数列211数列同步训练新人教B版5

习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。

必修五 第二章 数列 2.1 数列 同步测试一、选择题1． 下面三个结论：（1）数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点； （2）数列的项数是无限的；（3）数列通项的表示式是唯一的.其中正确的是 （ ） Ａ．（1）（2） Ｂ．（1） Ｃ．（2）（3） Ｄ．（1）（2）（3） 2．已知n n a n -=22，那么其中的一项是 （ ） Ａ．30 Ｂ．44 Ｃ．66 Ｄ．903．在数列}{n a 中，已知)(,1,11221N n a a a a a n n n ∈+===++，则=8a （ ） Ａ．19 Ｂ．20 Ｃ．21 Ｄ．22 4．在数列}{n a 满足111+=+n n a a 且21=a ，则其中一项是 （ ） Ａ．2917Ｂ．85 Ｃ．118 Ｄ．18115．已知正数数列}{n a 的前项的和n S 满足)1(21nn n a a S +=，则它的第2项的值是（ ） Ａ．12- Ｂ．1 Ｃ．23- Ｄ．26．共有30项的数列}{n a 通项公式是nna n --=9998，其中最大值项与最小值项分别是（ ）Ａ．130,a a Ｂ．910,a a Ｃ．3010,a a Ｄ．91,a a 二、填空题7．数列0，1，0，2，0，3，0，Λ4的一个通项公式是 . 8．数列}{n a 的前项的和n S 13+=n ，则数列的通项公式是n a = . 9．数列}{n a 满足：n n n n a a a )1(11-+=--，)2(≥n 且11=a ，则35a a 的值是 .10．已知数列：,,11,22,5,2Λ则52是这个数列的第 项. 11．已知数列}{n a 满足条件：1322321+-=++++n n a a a a n Λ，则=+++1054a a a Λ .12．已知数列}{n a ：m )1(,,1,1,1---Λ和数列}{n b ：1)1(,,1,1,1+--m Λ的项数均为常数)(N m m ∈，给出下列结论：①两数列的各项和相等； ②数列}{n n b a +的所有项都为零； ③两数列均为有穷数列； ④两数列为同一数列。

2.1 数列 (人教B版必修5)1AC2A3A 4A B C D5 A B C D67 ( A ＝32，为＝47，15．在数列{n a }中，1a ＝3，17a ＝67，通项公式是关于n 的一次函数． (1)求数列{n a }的通项公式；(2)求2011a ；(3)2 011是否为数列{n a }中的项？若是，为第几项？16．数列{n a }的通项公式为n a ＝302n n +-. (1)问－60是不是{n a }中的项？(2)当n 分别取何值时，n a ＝0？n a ＞0？n a ＜0?2.1 数列 (人教B 版必修5)答题纸得分： 一、选择题二、填空题9. 10. 11. 12. 三、解答题 13. 14. 15. 16.2.1 数列 (人教B 版必修5)答案一、选择题1．B 2．A 3.C 4. C 解析：对于A ，n a ＝1n，*n ∈N ，它是无穷递减数列；对于B ，n a ＝－n ，*n ∈N ，它 也是无穷递减数列；D 是有穷数列；对于C ，n a ＝112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭，它是无穷递增数列．5. B 解析：不是所有的数列都有通项公式，如0,1,2,1,0，…6. C 解析：由题意知数列的通项公式是n a ＝221n n +，∴ 10a ＝2×102×10＋1＝2021.故选C.7. C 解析：依次对递推公式中的n 赋值，当n ＝2时，2a ＝21a ；当n ＝3时，3a ＝322a ＝31a ；当n ＝4时，4a ＝433a ＝41a .8. B 解析：由1a >0，且1n a +＝12n a ，得n a >0.又1n na a+＝12<1，∴ 1n a +<n a .因此数列{n a }为递减数列．二、填空题 9.511010. 9 解析：由n a ＝19－2n >0，得n <192.∵ *n ∈N ，∴ n ≤9. 11. 6 －7 解析：由题意，得⇒12．34 解析：7a ＝61a -＋1，6a ＝51a＋1，∴ 5a ＝34.三、解答题 13.解：(1) 8a ＝2288+＝136，10a ＝221010+＝155. (2)令n a ＝22n n +＝110，∴ 2n n +＝20.解得n ＝4.∴ 110是数列的第4项．14. 解：数列的一个通项公式n a ＝21nn -. ∵ 1n a +－n a ＝121n n ++－21nn -＝1(21)(21)n n -+-＜0， ∴ 1n a +＜n a .∴ {n a }是递减数列．15. 解：(1)设n a ＝kn b + (k ≠0)， 则有解得k ＝4，b ＝－1. ∴ n a ＝4n －1.(2) 2011a ＝4×2 011－1＝8 043.(3)令2 011＝4n －1，解得n ＝503*∈N ， ∴ 2 011是数列{n a }中的第503项． 16. 解：(1)假设－60是{n a }中的项，则－60＝302n n +-.解得n ＝10或n ＝－9(舍去)． ∴ －60是{n a }中的第10项． (2)令302n n +-＝0，解得n ＝6； 令302n n +-＞0，解得0＜n ＜6； 令302n n +-＜0，解得n ＞6. 即当n ＝6时，n a ＝0； 当0＜n ＜6时，n a ＞0；当n ＞6时，n a ＜0.。

高中数学 2.1数列（同步练习）新人教B 版必修5 主要知识：1．数列的有关概念；2．数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法．3．n a 与n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩． 主要方法：1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归；2．数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=- 时，一定要注意条件2n ≥ ，求通项时一定要验证1a 是否适合． 同步练习1． 写出下面各数列的一个通项： 14916(1),,,,24578101113--⨯⨯⨯⨯；n a = 。

(2)数列的前n 项的和 221n S n n =++；n a = 。

2．已知1111,1(2)n n a a n a -==+≥，则5a = ． 3．在数列{}n a 中11n a n n =++，且9n S =，则n = ． 4．已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）A ．9B ．8 C. 7 D ．65．已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a = ；若它的第k 项满足58k a <<，则k = ．6．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为 ；数列{}n na 中数值最小的项是第 项．7．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为 ． 8．在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =_____.9．若数列}{n a 的前n 项的和323-=n n a S ，那么这个数列的通项公 A ．132-⨯=n n a B 、n n a 23⨯= C 、33+=n a n D ．n n a 32⨯=10．根据下面各个数列{}n a 的首项和递推关系，写出其通项公式：（1）==+11,1n a a )(2*N n n a n ∈+；n a = 。

2.1.1 数 列5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，…中x 的值是( )A.19B.20C.21D.22 解析：观察题意可得规律：1+1=2,1+2=3,2+3=5,…，8+13=x=21,13+21=34, ∴x=21，故选C. 答案：C2.将正整数的前5个数排列:①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2.那么可以称为数列的只有( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④ 解析：数列是按“次序”排列着的一列数.学生易把“次序”误认为是“规律”而错选B. 答案：D3.数列5，7，11，9，13，15，17，19与数列5，7，9，11，13，15，17，19是同一数列吗? 答：_______________（填“相同”或“不相同”）.解析：两个数列中的项都是相同的，如果不注意观察有同学会得出错误答案.因为项相同，但是所对应的项数是不一样的.n=3时，第一个数列对应着11，而第二个数列对应着9. 答案：不相同4.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，…，照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140、85. 答案：140 8510分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知数列2，5，22，11，…，则52是该数列的( )A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项 解析：把22写成52,8写成20，由题意，可得a n =13-n ，令13-n =52⇒13-n =20⇒3n-1=20⇒n=7.答案：B2.以下四个数中，哪个是数列{n(n+1)}中的一项( )A.380B.39C.32D.23 解析：n(n+1)是这个数列的通项公式，即a n =n(n+1). ∵380=19×20=19×(19+1)，∴380是该数列中的第19项，或者令n(n+1)=380，得n=19，是个整数，符合题意. 答案：A3.数列9116,718,514,312--，…的一个通项公式为__________________.解析：12212514514,112123123122+⨯+=+=+⨯+=+=, 718718+==23+=+⨯9116,13219116+=24+1421+⨯,…，第n 项为1212++n n； 而奇数项为正，偶数项为负，故a n =(-1)n-1(1212++n n).答案：a n =(-1)n-1(1212++n n)4.画出函数y=2x,x∈{1,2,3,4,5}的图象，并比较数列2,4,6,8,10的图象.解：此函数的图象不是直线，由于定义域的限制，函数图象仅有5个孤立的点构成：(1,2)，(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)，数列2,4,6,8,10的图象与其是一样的，在数列2,4,6,8,10中，其自变量分别是1,2,3,4,5.图象如下：5.已知有穷数列：5，7，9，11，…，2n-7.则2n-7(n ＞5)是这个数列的第几项? 解：我们可以通过通项公式来数项数.可以观察到其通项公式：a m =2m+3（m=1，2，…，n+2）.a m 是这个数列的第m 项，由2m+3=2n-7，得m=n-5，故2n-7是数列的第n-5项.6.求数列352,152,52,…的通项公式. 解：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，…的一个通项公式10·2n-1-5.故所求数列的通项公式为：a n =521021-∙-n .30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式为( )A.21)1(+-nB.2cos πnC.cos 21+n πD.cos 22+n π解析：当n=4时，21)1(21)1(4+-=+-n =1≠-1，cos 2πn =cos 24π=cos2π=1≠-1，排除A 、B ；当n=2时，cos2)1(π+n =cos 23π=0≠1，排除C. 答案：D2.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-8n+15,则3( )A.不是数列{a n }中的项B.只是数列{a n }中的第2项C.只是数列{a n }中的第6项D.是数列{a n }中的第2项或第6项解析：令a n =3,即n 2-8n+15=3,解得n=2或n=6.答案：D3.一给定函数y=f(x)的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0,1)，由关系式a n+1=f(a n )得到的数列{a n }满足a n+1＞a n (n∈N *)，则该函数的图象是( )解析：分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断.由a n+1=f(a n )，a n+1＞a n ，得f(a n )＞a n ，即f(x)＞x ，故选A ． 答案：A4.数列1，1，2，2，3，3，4，4，……的一个通项公式是( )A.a n =22)1(11+-++n n B.a n =⎪⎩⎪⎨⎧为偶数为奇数n nn n 2C.a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+为偶数为奇数n n n n 2121 D.a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-为偶数为奇数n n n n 221解析：将1，0，1，0，1，0，…与1，2，3，4，5，6，…数列对应相加得到的数列为2，2，4，4，6，6，…∴a n =22)1(11+-++n n ；当然我们也可以从选项入手，也可得. 答案：A5.数列{a n }的通项公式为a n =nn ++11，则910-是此数列的第____________项.解析：利用常用的变形方法：分母有理化，将通项公式变形，a n =910111-=-+=++n n nn ，观察可得：n=9.答案：96.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有____________个点.解析：从（1）—（5）可以发现，第n 个图形应有n 列点，每列n 个点，它们有一个公共点,（1）中有12-(1-1)个点，（2）中有22-(2-1)个点，（3）中有32-(3-1)个点，（4）中有42-(4-1)个点，（5）中有52-(5-1)个点.故第n 个图中有n 2-(n-1)个点，即n 2-n+1个点.答案：n 2-n+17.数列11，103，1 005，10 007，…的一个通项公式是_________________________. 解析：观察每一项的数位越来越多，都比前一项多了一个位数，可与10的幂值联系，又末尾是奇数1，3，5，7等等，即11=10+1,103=100+3=102+3,1 005=1 000+5=103000+7=104+7,则可归纳出通项公式.答案：a n =10n+2n-18.已知数列a n =(m 2-2m)(n 3-2n)是递减数列，求实数m 的取值范围. 解：∵数列为递减数列，∴a n+1＜a n .∴a n+1-a n =(m 2-2m)［(n+1)3-2(n+1)-n 3+2n ］=(m 2-2m)(3n 2+3n-1)＜0.∵n∈N *， ∴3n 2+3n-1=3(n+21)2-47≥5＞0. ∴m 2-2m ＜0.解得0＜m ＜2，故m∈(0,2).9.根据数列的前四项，写出数列的一个通项公式. （1）1，3，5，7，…； （2）2，5，10，17，…； （3）541,431,321,211⨯⨯-⨯⨯-，…. 解：（1）数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减1，所以通项公式为a n =2n-1；（2）如果数列的各项分别减去1，则变为1，4，9，16，6…，所以通项公式为a n =n 2+1； （3）数列的前四项的分母是两个连续正整数的积，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式为a n =)1()1(+-n n n.10.某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金b[]n 元，然后再将剩余金额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.设a k （1≤k≤n）为第k 位职工所得的奖金额，试求a 2、a 3，并用k 、n 和b 表示a k （不必证明）.解：按照题目中的已知条件“然后再将剩余金额除以n 发给第2位职工”,将第一个，第二个，第三个，…将职工的奖金所得一一列出，就可以发现这个数列的规律.从而归纳出这个数列的通项公式.第1位职工的奖金a 1=nb；第2位职工的奖金a 2=b n n )11(1-；第3位职工的奖金a 3=b n n 2)11(1-；……第k 位职工的奖金a k =b nn k 1)11(1--.。