充分条件与必要条件考前冲刺专题练习(三)含答案人教版高中数学选修1-1

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设a ，b ∈R ，那么“ab >1”是“a >b >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a b >1得，ab －1＝a －b b >0，即b (a －b )>0，得⎩⎨⎧ b >0a >b 或⎩⎨⎧b <0a <b，即a >b >0或a <b <0，所以“ab >1”是“a >b >0”的必要不充分条件，选B.答案：B2．“θ≠π3”是“cos θ≠12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为“θ≠π3”是“cos θ≠12”的逆否命题：“cos θ＝12”是“θ＝π3”的必要不充分条件，选B. 答案：B3．命题p ：a －1a >0；命题q ：y ＝a x 是R 上的增函数，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a －1a >0得a >1或a <0；由y ＝a x 是R 上的增函数得a >1.因此，p 是q 成立的必要不充分条件，选A. 答案：A4．对于非零向量有a ＝(a 1，a 2)和b ＝(b 1，b 2)，“a ∥b ”是“a 1b 2－a 2b 1＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由向量平行的坐标表示可得a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，选B. 答案：B5．已知h ＞0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足|a －b |＜2h ，命题乙为：两个实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，那么( ) A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充分必要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧ |a －1|＜h ，|b －1|＜h ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－h ＜a －1＜h ，－h ＜b －1＜h ，两式相减得－2h ＜a －b ＜2h ，故|a －b |＜2h .即由命题乙成立推出命题甲成立，所以甲是乙的必要条件．由于⎩⎪⎨⎪⎧|a －2|＜h ，|b －2|＜h ，同理也可得|a －b |＜2h .因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B. 答案：B6．已知各个命题A 、B 、C 、D ，若A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充分必要条件，试问D 是A 的________条件(填：“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”)． 解析：∵A ⇒B ⇒C ⇔D ， ∴D 是A 的必要不充分条件． 答案：必要不充分7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充分必要条件是m ＝________.解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案：－238．有四个命题：①“x 2≠1”是“x ≠1”的必要条件；②“x ＞5”是“x ＞4”的充分不必要条件；③“xyz ＝0”是“x ＝0，且y ＝0，且z ＝0”的充分必要条件；④“x 2＜4”是“x ＜2”的充分不必要条件．其中是假命题的有________．解析：“x 2≠1”是“x ≠1”的充分条件，①错误；“x ＞5”是“x ＞4”的充分不必要条件，②正确；“xyz ＝0”是“x ＝0，且y ＝0，且z ＝0”的必要不充分条件，③错误；“x 2＜4”是“x ＜2”的充分不必要条件，④正确． 答案：①③9．在下列各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由． (1)A ：|p |≥2，p ∈R ，B ：方程x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根； (2)A ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，B ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.解析：(1)当|p |≥2时，例如p ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而方程x 2＋px ＋p ＋3＝0要有实根，必有p ≤－2或p ≥6，可推出|p |≥2，故A 是B 的必要不充分条件．(2)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r＝|c |a 2＋b 2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2； 反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b 2＝r 成立， 说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故A 是B 的充分必要条件．10．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充分必要条件是xy >0.证明：(1)必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0.又由x >y ，得y －x <0，所以xy >0.(2)充分性：由xy >0，及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y .综上所述，1x <1y的充分必要条件是xy >0.[B 组 能力提升]1．(2016·高考北京卷)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：结合平面向量的几何意义进行判断．若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 答案：D2．不等式x －1>0成立的充分不必要条件是( ) A ．－1<x <0或x >1 B ．0<x <1 C ．x >1D ．x >2解析：由不等式知x >1为x －1>0的充分必要条件，结合选项知D 为充分不必要条件． 答案：D3．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的________条件． 解析：由1×1＋1×(－a )＝0，∴a ＝1，即为充分必要条件． 答案：充分必要4．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充分必要条件是________．解析：若b ≥0，函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调增加的；若y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调的，则只能是单调增加的，故b ≥0. 答案：b ≥05．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分条件，求a 的取值范围． 解析：设q 、p 表示的范围为集合A 、B ， 则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3.所以－1≤a ≤6. 6．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解析：令集合M ＝{x |4x ＋p <0}＝{x |x <－p 4}，N ＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}． (1)若M ⊆N ，则－p4≤－1⇔p ≥4，所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件； (2)若“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件，则M ⊇N ， 显然{x |x <－p4}⊇{x |x <－1或x >2}不成立．所以不存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件．。

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．“1<x<2”是“x<2”成立的______
（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件（2020年高考湖南（文））
2．已知 a b c R ∈、、,“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的
（ ） A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）
3．“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的”
（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件（2020年高考北京卷（理））
4．“18a =”是“对任意的正数x ，21a x x +≥”的（ ）。

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得分 一、选择题
1．设O 为ABC ∆所在平面上一点.若实数x y z 、、满足0xOA yOB zOC ++=
222(0)x y z ++≠,则“0xyz =”是“点O 在ABC ∆的边所在直线上”的[答]
（ ） A ．充分不必要条件.
B ．必要不充分条件.
C ．充分必要条件.
D ．既不充分又不必要条件. （2020上海春） 2．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件(2020安徽理) 3．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件(2020上海文)。

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得分 一、选择题
1．给定两个命题p ,q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件,则p 是q ⌝的
（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件 (
D ) 既不充分也不必要条件（2020年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））
2．“2()6k k Z π
απ=+∈”是“1cos 22
α=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件（2020北京理）
3．设p ∶22,x x q --＜0∶1||2
x x +-＜0，则p 是q 的（A ） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(2020山东文)。

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第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（2020山东文7)
2．若a 与b-c 都是非零向量，则“a ·b=a ·c ”是“a ⊥(b-c)”的（ ）
（A ）充分而不必要条件
（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件(2020北京文)
3．“2
1sin =A ”是“A=30º”的（ ）B A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也必要条件(2020浙江)。

充分条件与必要条件（简答题：容易）1、已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．2、（本小题满分12分）已知：（为常数）；：代数式有意义．（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．3、已知（为常数）；代数式有意义.（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.4、设命题；命题，若非是非的必要不充分条件，求实数的取值范围.5、已知集合，q:,并且是的充分条件，求的取值范围.6、设，，命题，命题．（Ⅰ）当时，试判断命题是命题的什么条件；（Ⅱ）求的取值范围，使命题是命题的一个必要但不充分条件．7、已知是的充分条件，而是的必要条件，同时又是的充分条件，是的必要条件，试判断：（1）是的什么条件？（2）是的什么条件？（3）其中有哪儿对条件互为充要条件？8、（本小题满分12分）已知：（为常数）；：代数式有意义．（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．9、已知；．若是的必要不充分条件．求实数的取值范围．10、设命题：；命题：.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.11、已知命题p：x2－8x－20≤0，命题q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．12、已知p：－2≤1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．13、已知命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．14、（本小题满分14分）已知，.（1）若，命题“或”为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.参考答案1、2、（1），；（2）.3、（1）的取值范围是；（2）的取值范围是4、5、6、（Ⅰ）命题p是命题q的必要不充分条件（Ⅱ）{a|a＜-5}7、（1）是的必要条件；（2）是的充分条件；（3）与，与，与三对互为充要条件8、（1），；（2）.9、或.10、11、0＜a≤3．12、．13、14、（1）；（2）.【解析】1、试题分析：第一步求两个不等式的解集，其中，第二步，,,若是的充分不必要条件，那么是的真子集，根据数轴判断端点的大小，求实数的取值范围.试题解析：，∵，∴，故有，解得，因此，所求实数的取值范围是．考点：充分必要条件【方法点睛】本题考查了根据充分必要条件求参数参数取值的问题，属于基础题型，记条件对应的集合分别记为,若是的真子集，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件，若,与互为充要条件，所以当两个命题是以集合形式给出时，若是的充分不必要条件，那么是的真子集，若是的必要不充分条件，那么是是真子集，若若是的充要条件，那么;有时条件给出是的充分不必要条件，也可利用逆否等价性，转化为是的充分不必要条件.2、试题分析：（1）通过解不等式得到：，：，求两个不等式的交集即可；（2）若是成立的充分不必要条件，则，列式求解即可.试题解析：：等价于：即；：代数式有意义等价于：，即（1）时，即为若“”为真命题，则，得：故时，使“”为真命题的实数的取值范围是，（2）记集合，若是成立的充分不必要条件，则，因此：，，故实数的取值范围是。

充分条件与必要条件（选择题：较难）1、“x＝2”是“(x－2)(x－3)＝0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2、如果对于任意实数表示不超过的最大整数，那么“”是“成立”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3、给定两个命题p，q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4、“”是“方程为双曲线的方程”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5、设函数，则“”是“为偶函数” 的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6、设命题实数满足，命题实数满足，则命题是命题的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7、对于常数，“关于的方程有两个正根”是“方程的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件8、以下三个命题中，正确的个数是（）①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②在△中，“”是“”成立的充要条件；③若函数在上有零点，则一定有.A． B． C． D．9、设，则对任意实数是的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件10、已知为命题，则“为假”是“为假”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11、命题A：点M的直角坐标是，命题B：点M的极坐标是，则命题A是命题B的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12、在中，，是角A，B，C，成等差数列的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也必要条件13、给定两个命题p，q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14、设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既非充分又非必要条件15、是方程表示椭圆的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16、设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件17、已知向量a＝（－1，2），b＝（3，m），m∈R，则“m＝－6”是“a∥（a＋b）”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件18、是定义在上的函数的导函数，，设命题：；命题：是函数的极值点，则是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件19、下列命题：①△ABC的三边分别为则该三角形是等边三角形的充要条件为；②数列的前n项和为，则是数列为等差数列的必要不充分条件；③在△ABC中，A＝B是sin A＝sin B的充分必要条件；④已知都是不等于零的实数，关于的不等式和的解集分别为P，Q，则是的充分必要条件，其中正确的命题是（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①③20、若定义在上的函数满足，且，则对于任意的，都有是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件21、已知复数,则“”是“是纯虚数”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件22、设p：，q:，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案1、A2、A3、A4、B5、C6、D7、D8、B9、A10、A11、B12、B13、A14、C15、B16、A17、A18、B19、D20、C21、C22、A【解析】1、试题分析：，所以但不能得出，故是的充分不必要条件.故选A.考点：充分条件、必要条件.2、若“”，设其中即“”成立能推出“”成立反之，例如满足但，即成立，推不出故“”是“|x-y|＜1”成立的充分不必要条件故选A3、试题分析：若是的必要而不充分条件，说明是大范围，是小范围.故是小范围，是大范围.所以是的充分不必要条件.考点：充要条件.4、试题分析：若方程表示椭圆，则，解得且，所以是方程表示椭圆的必要不充分条件，故选B．考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．5、若，即，所以，所以，即为偶函数；当时，也为偶函数；所以“”是“为偶函数” 的充分而不必要条件；故选A.6、命题表示的是下图的圆，命题表示的是下图的三角形区域ABC,所以是既不充分也不必要条件。

1.2 充分条件与必要条件习题课自主预习·探新知情景引入某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯，这就是电器上常用的“双刀”开关．A开关闭合时B灯一定亮吗？B灯亮时A 开关一定闭合吗？新知导学1．x<13是x<5的__必要不充分__条件．2．x>2是x2－3x＋2>0的__充分不必要__条件．3．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件．若A＝B，则p是q的__充要__条件．若A B，则p是q的__充分不必要__条件．q是p的__必要不充分__条件．若A B，则p不是q的__充分__条件，q不是p的__必要__条件．4．p是q的充要条件是说，有了p成立，就__一定有__q成立．p不成立时，__一定有__q 不成立．预习自测1．(2020·湖南湘潭市高二期末)“x>2”是“x>1”的( A )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]结合题意可知x>2可以推出x>1，但x>1并不能保证x>2，故为充分不必要条件，故选A．2．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( B )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]ln(x＋1)＜0⇔0＜x＋1＜1⇔－1＜x＜0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件．3．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的( C )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]若－1<x<3成立，则x<3成立；反之，若x<3成立，则－1<x<3未必成立，如x ＝－2，所以p是q的必要不充分条件．4．“lg x>lg y”是“x>y”的__充分不必要__条件．[解析]由lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y，充分条件成立．又由x>y成立，当y＝0时，lg x>lg y不成立，必要条件不成立．5．(2020·山东昌平高二检测)已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，当a为何值时，(1)p是q的充分不必要条件；(2)p是q的必要不充分条件；(3)p是q的充要条件．[解析]A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，B＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，(1)因为p是q的充分不必要条件，所以A B，而当a＝1时，A＝{1}，显然成立，当a>1，A＝[1，a]，需1<a<2，综上可知1≤a<2时，p是q的充分不必要条件．(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B A，故A＝[1，a]，且a>2，所以a>2时，p是q的必要不充分条件．(3)因为p是q的充要条件，所以A＝B，故a＝2.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶利用图示法进行充分、必要条件判断典例1 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么：(1)s是q的__充要__条件？(2)r是q的__充要__条件？(3)p是q的__必要__条件？[解析]根据题意得关系图，如图所示．(1)由图知：∵q⇒s，s⇒r⇒q，∴s是q的充要条件．(2)∵r⇒q，q⇒s⇒r，∴r是q的充要条件．(3)∵q⇒s⇒r⇒p，∴p是q的必要条件．『规律方法』对于多个有联系的命题(或两个命题的关系是间接的)，常常作出它们的有关关系图表，根据定义，用“⇒”“⇐”“⇔”建立它们之间的“关系链”，直观求解，称作图示法．┃┃跟踪练习1__■已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s 的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④r是s的充分条件而不是必要条件．则正确命题的序号是( B )A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②④[解析] 由题意知，故①②正确；③④错误． 命题方向❷利用集合法进行充分、必要条件的判断典例2 设p 、q 是两个命题，p ：log 12(|x |－3)>0，q ：x 2－56x ＋16>0，则p 是q的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[思路分析] p 、q 都是不等式的解集，解不等式可得其解集，利用集合之间的子集关系即可判断出p 是q 的什么条件．[解析] 由log 12 (|x |－3)>0得，0<|x |－3<1，∴3<|x |<4，∴3<x <4或－4<x <－3， 由x 2－56x ＋16>0得x <13或x >12，显然(3,4)∪(－4，－3)(－∞，13)∪(12，＋∞)，∴p 是q 的充分不必要条件．故选A ．『规律方法』 如果条件p 与结论q 是否成立都与数集有关(例如方程、不等式的解集、参数的取值范围等)，常利用集合法来分析条件的充分性与必要性，将充要条件的讨论转化为集合间的包含关系讨论，可借助数轴等工具进行．┃┃跟踪练习2__■设命题甲为0<x <5，命题乙为|x －2|<3，那么甲是乙的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] 由|x －2|<3得－1<x <5， 令A ＝{x |0<x <5}，B ＝{x |－1<x <5}， ∴AB ，∴甲是乙的充分不必要条件．命题方向❸利用充要性求参数范围典例3 已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，且p 是q 的充分条件，求a 的取值范围．[思路分析] 先分别求出命题p 、q 中x 的取值范围，再探求符合条件的a 的取值范围． [解析] p ：由x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0得，3a <x <a ；q ：由x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，得x <－4或 x ≥－2.∵p 是q 的充分条件，∴a ≤－4或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0.综上可知a 的取值范围是a ≤－4或－23≤a <0.『规律方法』 利用条件的充要性求解参数问题，关键是将条件属性转化为适当的解题思路，如数集类问题，一般是将条件属性转化为集合包含关系，借助数轴列出不等式(组)，从而求解．┃┃跟踪练习3__■ 已知p ：－1≤x －13≤3，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由p ：－1≤x －13≤3得－2≤x ≤10，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得－m ≤x －1≤m ， ∴1－m ≤x ≤1＋m .∵p 是q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≤101－m ≥－2，∴m ≤3，又∵m >0，∴0<m ≤3.学科核心素养 数学中的等价转化1．证明充要条件一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”和“必要性”这两个方面．解题时要避免将充分性当作必要性来证明的错误，这就需要分清条件与结论，若“条件”⇒“结论”，即是证明充分性，若“结论”⇒“条件”，即是证明必要性．2．等价法：就是从条件开始，逐步推出结论，或者是从结论开始，逐步推出条件，但是每一步都是可逆的，即反过来也能推出，仅作说明即可，必要性(或者充分性)可以不再重复证明．典例4 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝aq n＋b (a ≠0，q 是不等于0和1的常数)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.[解析] (1)先证充分性：∵a ＋b ＝0，∴S n ＝aq n＋b ＝aq n－a ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq －a ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(aq n－a )－(aq n －1－a )＝a (q －1)·qn －1(n ≥2)．∴a 1＝aq －a ，a 2＝aq 2－aq ，∴a 2a 1＝aq 2－aq aq －a ＝q ，且a n ＋1a n ＝a q －1·q n a q －1·q n －1＝q ，n ≥2. 故数列{a n }是公比为q 的等比数列． (2)再证必要性： ∵数列{a n }为等比数列，∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 11－q －a 11－qq n .∵S n ＝aq n＋b ，∴a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q ，∴a ＋b ＝0.故数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.『规律方法』 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证命题的必要性．证明分为两个环节：一是充分性；二是必要性，证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．┃┃跟踪练习4__■已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．[解析] 因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}． 所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．易混易错警示 转化要保持等价性典例5 已知方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0有两个大于2的根，试求实数m 的取值范围．[错解] 由于方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0有两个大于2的根，设这两个根为x 1、x 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m ＋22－4m 2－1≥0x 1＋x 2＝2m ＋2>4x 1x 2＝m 2－1>4，解得m > 5.所以当m ∈(5，＋∞)时，方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0有两个大于2的根．[错解分析] 若x 1>2，x 2>2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>4x 1x 2>4，成立；但若⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>4x 1x 2>4，则不一定有x 1>2，x 2>2成立，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>4x 1x 2>4，是x 1>2，x 2>2的必要不充分条件．[正解] 由于方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0有两个大于2的根，设这两个根为x 1、x 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m ＋22－4m 2－1≥0x 1－2＋x 2－2>0x 1－2x 2－2>0，结合⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ＋2x 1x 2＝m 2－1，解得m >5.所以m的取值范围为(5，＋∞)．。

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．若α∈R,则“α=0”是“sin α<cos α”的
（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件（2020年高
考浙江卷（文））
2．对于常数m 、n ,“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的
（ ） A ．充分不必要条件.
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件.
D ．既不充分也不必要条件. （2020上
海文） 3．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件
A ．充要
B ．充分非必要
C ．必要非充分
D ．既非充分又非必要(2020上海理)
4．“18a =”是“对任意的正数x ，21a x x +≥”的（ ）。

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第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1． “b a <<0”是“b
a )41()41(>”的___________(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选填一种)条件．
2．“x>1”是“|x|>1”的
（A ）．充分不必要条件 （B ）．必要不充分条件
（C ）．充分必要条件 （D ）．既不充分又不必要条件（2020湖南文3）
3．“0<x<5”是“不等式|x －2|<3”成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．不充分不必要条件(2020试题) 4．设11229(,),(4,),(,)5
A x y
B
C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的 A
A ．充要条件
B ．必要不充分条件。