第80练 高考大题突破练——概率 Word版含答案

概率某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖.盒中装有10张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案;抽奖规则是:参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖,否则,均为不获奖.卡片用后放回盒子,下一位参加者继续重复进行.（1）活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“海宝”卡? 主持人答:我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；（2）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,用表示获奖的人数，求的分布列及期望.、某网站就观众对2010年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表：喜爱程度喜欢一般不喜欢人数560 240 200（1）现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n的样本，已知从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5人，则n的值为多少？（2）在（1）的条件下，若抽取到的5名不喜欢小品的观众中有2名为女性，现将抽取到的5名不喜欢小品的观众看成一个总体，从中任选两名观众，求至少有一名为女性观众的概率..某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是A. 680B. 320C. 0.68D. 0.3218、某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，(A)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；(B)学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有名学生被考官D面试，求的分布列和数学期望。

1（本小题满分 12 分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；（2））你认为哪位运动员的成绩更稳定？（3）如果从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（参考数据：92 + 82 +102 + 22 + 62 +102 + 92 = 466 ，72 + 42 + 62 + 32 + 12 + 22 + 112 = 236 ）2 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为 5 月1 日至30 日，评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形的高的比为 2：3：4：6：4：1，第三组的频数为 12，请解答下列问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？(2)哪组上交的作品数量最多？共有多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？3 已知向量a =(1, -2)，b =(x, y )．（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a b =-1 的概率；（2）若实数x, y ∈[1,6]，求满足a b > 0 的概率．4某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 2 支，若将上述频率作为概率，试求恰有 1 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率．5为研究气候的变化趋势，某市气象部门统计了共100 个星期中每个星期气温的最高温度和最低温度，如下表：（1）若第六、七、八组的频数t 、m、n 为递减的等差数列，且第一组与第八组的频数相同，求出x 、t 、m 、n 的值；（2）若从第一组和第八组的所有星期中随机抽取两个星期，分别记它们的平均温度为x ，y ，求事件“ | x -y |> 5 ”的概率．6某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5 所示,其中 120～130(包括 120 分但不包括 130 分)的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人.(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人?(2)在抽取的所有学生中,任取一名学生,求分数不小于 90 分的概率. 频率0.400.350.300.250.200.150.100.0570 80 90 100 110 120 130分数气温（℃）频数频率[-5, -1] x = 0．03 [0, 4] 8[5, 9] 12[10,14] 22[15,19] 25[20, 24] t =[25, 29] m =[30, 34] n =合计100 138 图 图321608 06O8图1 171615 1413 0.7 某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间，将测试结果按如下 方式分成五组：每一组3,14) ；第二组 4,15) ，……，第五组7,1．右图是按上述分组 方法得到的频率分布直方 图 图0. 图.0. （I ） 若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为 良好，求该班在这次百米测试中0. 成绩良好的人数；（II ） 设m 、n 表示该班某两位同学的百米0. 测试成绩，且已知 m , n 3,14)7,1 ，求事件“ m n1 ”的概率.8 一人盒子中装有 4 张卡片，每张卡上写有 1 个数字，数字分别是 0，1、2、3。

80分小题精准练(七)(建议用时：50分钟)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝[－1,1]，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则M ∩N ＝( )A ．[0,1]B ．[－1,1]C ．[0,1)D ．(0,1]A [因为M ＝[－1,1]，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }＝{y |0≤y ≤1}，所以M ∩N ＝[0,1]，故选A.]2．(2019·武汉模拟)i 为虚数单位，复数z ＝1＋(1－i)2，则|z |＝( )A ．1B ．2 C.2 D.5D [z ＝1＋(1－i)2＝1－2i ，则|z |＝12＋(－2)2＝5，故选D.]3．已知p ：1x＜1，q ：2 019x ＞2 019，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由1x ＜1得，1－x x ＜0，即x －1x ＞0，得x ＜0或x ＞1，故p ：x ＜0或x ＞1；由2 019x ＞2 019得，x ＞1，故q ：x ＞1.所以p 是q 的必要不充分条件．]4．(2019·济南模拟)某地区某村的前3年的经济收入(单位：万元)分别为100,200,300，其统计数据的中位数为x ，平均数为y .今年经过政府新农村建设后，该村经济收入(单位：万元)在上年基础上翻番，则在这4年里经济收入的统计数据中，下列说法正确的是( )A ．中位数为x ，平均数为1.5yB ．中位数为1.25x ，平均数为yC ．中位数为1.25x ，平均数为1.5yD ．中位数为1.5x ，平均数为2yC [由数据100,200,300可得，前3年统计数据的中位数x ＝200，平均数y ＝100＋200＋3003＝200.根据题意得第4年该村的经济收入的统计数据为600，则由数据100,200,300,600可得，这4年统计数据的中位数为200＋3002＝250＝1.25x ，平均数为100＋200＋300＋6004＝300＝1.5y ，故选C.] 5．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(sin 2α，cos 2α)，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，a·b ＝12，则α＝( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π2B [由题意，得a·b ＝sin 2α－cos 2α＝12，即cos 2α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以2α∈(0，π]，则2α＝2π3，所以α＝π3，故选B.]6．已知点P (3，2)为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)上一点，则它的离心率为( )A.32B.233C. 3 D ．23B [由双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)可得b 2＝1.根据点P (3，2)在双曲线上可得9a 2－2＝1，得a 2＝3.e 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，得e ＝233，故选B.]7．(2019·贵阳模拟)小华的爱好是玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形，如果O 正好是正方形ABCD 的中点，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转．若小华随机向标靶投飞镖，一定能射中标靶，则他射中阴影部分的概率是( )A.13B.14C.16D.17D [如图，记OP 交AB 于H ，OR 交BC 于G .当H 不为AB 的中点时，过O 分别作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，则∠OEH ＝∠OFG＝90°，又O 正好是正方形ABCD 的中点，所以OE ＝OF ，∠EOF ＝90°，又∠GOH ＝90°，所以∠GOF ＝∠EOH ，所以△OEH 和△OFG 全等，所以阴影部分的面积与正方形OEBF 的面积相等，所以阴影部分的面积亦为标靶面积的17.当H 为AB 的中点时，阴影部分的面积为标靶面积的17.所以小华射中阴影部分的概率为17，故选D.]8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x 的值是( )A ．2 B.92 C.32 D ．3D [如图，在长、宽、高分别为2,2，x 的长方体中还原该几何体，得该几何体为四棱锥，记为四棱锥S -ABCD ，则四棱锥S -ABCD 的体积V ＝13×12×(1＋2)×2×x ＝3，得x ＝3，故选D.]9．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y －1≤0，x ＋y －3≥0，y －2≤0，则z ＝y 2－x 2xy 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，136A [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1≤0，x ＋y －3≥0，y －2≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (2,1)，B (3,2)，C (1,2)．z ＝y 2－x 2xy ＝y x －x y ，令t ＝y x ，则z ＝t －1t ，因为t ＝y x 表示可行域内任意一点(x ，y )与原点(0,0)的连线的斜率，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又z ＝t －1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调递增函数，所以z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，故选A. ]10．(2019·兰州模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(0＜ω＜1，|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，2π3上是减函数 B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0 C ．f (x )≥1的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π3，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D [由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0,1)，得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z 使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D.] 11．(2019·四平模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足x ＞0时，f (x )＝2πx －ln x＋ln π2，则函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．5C [函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点个数即函数f (x )的图象与y ＝sin x 图象的交点个数．当x ＞0时，f (x )＝2πx －ln x ＋ln π2，则f ′(x )＝2π－1x ＝2x －ππx ，令f ′(x )＝0，则x ＝π2.当0＜x ＜π2时，f ′(x )＜0；当x ＞π2时，f ′(x )＞0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞上单调递增，所以当x ＝π2时，f (x )取得最小值，且最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，函数y ＝sin x 在x ＝π2处取得最大值1，所以当x ＞0时，f (x )的图象与y ＝sin x 的图象的交点有且只有一个，即⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.又f (x )和y ＝sin x 均为奇函数，所以根据对称性知当x ＜0时，两函数图象有且只有一个交点．又两函数图象均过原点，所以函数f (x )的图象与y ＝sin x 图象的交点个数为3，即函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点个数是3.]12．(2019·郑州模拟)已知曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆，曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线，A 是曲线C 1与C 2的交点，且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52，则△AF 1F 2的面积是( ) A. 3 B. 6 C ．2 D ．4B [不妨设F 1位于x 轴负半轴，F 2位于x 轴正半轴，A (x 0，y 0)位于第一象限，如图所示．设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．作抛物线的准线l ，则l 过F 1，过A作AD 垂直于准线l 于点D ，由抛物线的定义可得|AD |＝x 0＋p 2＝|AF 2|＝52，所以y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝ 6.因为点A 在抛物线上，所以y 20＝2px 0＝6. 由⎩⎨⎧ 2px 0＝6，x 0＋p 2＝52，得⎩⎨⎧ p ＝2，x 0＝32或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，x 0＝1，又∠AF 2F 1为钝角，所以p ＝2，所以F 2(1,0)，所以|F 1F 2|＝2，所以△AF 1F 2的面积S ＝12×2×6＝ 6.]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f (x )＝1－ln x 2x －2的定义域为________． {x |0＜x ≤e ，且x ≠1} [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－ln x ≥0，2x －2≠0，解得0＜x ≤e ，且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |0＜x ≤e ，且x ≠1}．]14．已知曲线y ＝1x ＋ln x a 在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a的值为________．25[因为y ＝f (x )＝1x ＋ln x a ，所以f ′(x )＝－1x 2＋1ax ，所以曲线y ＝1x ＋ln x a 在x ＝1处的切线l 的斜率k ＝f ′(1)＝－1＋1a .直线2x ＋3y ＝0的斜率k ′＝－23.因为切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，得a ＝25.] 15．(2019·洛阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin A ＋cos A ＝2，c ＝2b ，|AB →＋2AC →|＝6，则边长a 的值为________．3 [由3sin A ＋cos A ＝2得，sin(A ＋30°)＝1，又0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.由|AB →＋2AC →|＝6，得(AB →＋2AC →)2＝36，即|AB →|2＋4AB →·AC →＋4|AC →|2＝36，又c ＝2b ，所以4b 2＋4×2b ×b ×cos 60°＋4b 2＝36，得b ＝3，则c ＝2 3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3＋12－2×3×23×12＝9，得a ＝3.]16．如图，已知多面体P ABCDE 的底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥平面ABCD ，ED ∥P A ，且P A ＝3ED ＝3AB ，现将△CDE以直线DE 为轴旋转一周，则直线BP 与动直线CE 所成角的范围为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12 [如图①，在多面体P ABCDE 中，过点B 作BG ∥CE ，则∠PBG 即为PB 与动直线CE 所成的最小角．因为AB ＝1，AP ＝3，P A ⊥AB ，所以∠PBA ＝π3.易得AG ＝DE ＝1，所以∠GBA ＝π4，所以∠PBG ＝π3－π4＝π12.△CDE 以直线DE 为轴旋转一周得到一个圆锥，如图②所示，其中CC ′为底面圆的直径．在图①中过点E 作EF ∥PB ，交CD 于F ，在图②中作同样的点F ，则∠CEF ＝π12，又DE＝CD ＝1，所以∠CED ＝π4，所以∠CEC ′＝π2，则∠FEC ′为BP 与动直线CE 所成的最大角，∠FEC ′＝π2－π12＝5π12，故BP 与动直线CE 所成角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12.① ②]。

第86练高考大题突破练—概率与统计[基础保分练]1.一根直木棍长为6m，现将其锯为2段.(1)若两段木棍的长度均为正整数，求恰有一段长度为2m的概率；(2)求锯成的两段木棍的长度均大于2m的概率.2.(2018·苏州模拟)某市规定，高中学生在校期间需参加不少于80小时的社区服务才合格.某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示.(1)求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；(2)从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率.3.汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.[能力提升练]4.(2019·常州模拟)某学校高二年级共有1600人，现统计他们某项任务完成时间介于30分钟到90分钟之间，图中是统计结果的频率分布直方图.(1)求平均数、众数、中位数；(2)若学校规定完成时间在[30,50)分钟内的成绩为A 等；完成时间在[50,70)分钟内的成绩为B 等；完成时间在[70,90]分钟内的成绩为C 等，按成绩分层抽样从全校学生中抽取10名学生，则成绩为B 等的学生抽取人数为多少？(3)在(2)条件下抽取的成绩为B 等的学生中再随机选取2人，求2人中至少有一人完成任务时间在[60,70)分钟的概率.答案精析基础保分练1.解　(1)∵两段木棍的长度均为正整数，∴两段木棍的长度分别为1m 和5m ，2m 和4m,3m 和3m,4m 和2m,5m 和1m ，共计5种可能的情况，其中恰有一段长度为2m 的情况共计2种，记“若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2m”为事件A ，∴P (A )＝，25答　若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2m 的概率为.25(2)记“锯成的两段木棍的长度均大于2m”为事件B ，∴P (B )＝＝.2613答　锯成的两段木棍的长度均大于2m 的概率为.132.解　(1)由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为20×0.04×5＝4，参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为20×0.02×5＝2，所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4＋2＝6.(2)设所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内为事件C .由(1)可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生有4人，记为a ，b ，c ，d ；参加社区服务在时间段[95,100]的学生有2人，记为A ，B .从这6人中任意选取2人有ab ，ac ，ad ，aA ，aB ，bc ，bd ，bA ，bB ，cd ，cA ，cB ，dA ，dB ，AB ，共15种情况.事件C 包括ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，AB 共7种情况.所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率P (C )＝.7153.解　(1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得＝，∴n ＝2000，50n 10100＋300∴z ＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意，得a ＝2，因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个，事件E 包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个，故P (E )＝，即所求概率为.710710(3)样本平均数＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9，设D 表示事件“从样x 18本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有9.4，8.6，9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，∴P (D )＝＝，6834即所求概率为.34能力提升练4.解　(1)平均数为35×0.1＋45×0.1＋55×0.5＋65×0.2＋75×0.05＋85×0.05＝56.5；众数为55；因为完成时间在[30,50)分钟内的频率为0.2，在[50,60)分钟内的频率为0.5，所以中位数为50＋10×＝56.0.5－0.20.5(2)因为A ，B ，C 的频率比为2∶7∶1，共抽10人，所以B 等中抽7人.(3)抽出的成绩为B 等学生中完成任务时间在[50,60)分钟的学生有5人，设为a ，b ，c ，d ，e ；在[60,70)分钟的学生有2人，设为x ，y ，则7人中任选2人共有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，x )，(a ，y )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，e )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )，共21种.2人中至少有一人完成任务时间在[60,70)分钟内的有(a ，x )，(a ，y )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )，共11种.所以2人中至少有一人完成任务时间在[60,70)分钟的概率为.1121。

80分小题精准练(六)(建议用时：50分钟)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(R S)∪T＝()A．(－∞，1]B．(－∞，－4]C．(－2,1] D．[1，＋∞)A[因为S＝{x|x＞－2}，所以R S＝{x|x≤－2}，又因为T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，∴(R S)∪T＝{x|x≤1}＝(－∞，1]，故选A.]2．复数z满足z(1－i)2＝1＋i2，其中i是虚数单位，则|z|＝()A．1 B. 2 C. 3 D. 5B[因为z(1－i)2＝1＋i2，所以z＝1＋i2×(－2i)＝1－i，故|z|＝12＋(－1)2＝2，故选B.]3．安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为()A.13 B.16C.19 D.112B[他等待时间不多于5分钟的概率为P＝530＝16，故选B.]4．(2019·蚌埠二模)已知两个非零单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论不正确的是()A．e1在e2方向上的投影为cos θB ．e 21＝e 22C ．θ∈R ，(e 1＋e 2)(e 1－e 2)＝0D ．θ∈R ，使e 1·e 2＝ 2D [e 1在e 2方向上的投影为|e 1|cos θ＝cos θ，故A 正确；e 21＝e 22＝1，故B 正确；(e 1＋e 2)(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝0，故C 正确；e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ∈[－1,1]，故D 错误，故选D.]5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 6＝24，S 9＝63，则a 4＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7B [∵等差数列{a n } 的前n 项和为S n ，且S 6＝24， S 9＝63，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 6＝6a 1＋6×52d ＝24，S 9＝9a 1＋9×82d ＝63，解得a 1＝－1，d ＝2， ∴a 4＝－1＋2×3＝5.故选B.] 6．函数y ＝sin 3x1＋cos x，x ∈(－π，π)图象大致为 ( )D [∵f (－x )＝－sin 3x1＋cos x ＝－f (x )，∴函数为奇函数，排除A ；由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin 3π21＋cos π2＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π1＋cos π3＝0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin 2π1＋cos 2π3＝0，故排除B ，C ，故选D.] 7．设a ∈R ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 9与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 29的二项展开式中的常数项相等，则a ＝( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2A [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 9的通项公式为T k ＋1＝C k 9(x 2)9－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝C k 9x 18－2k ·2k x －k＝C k 9·2k x 18－3k ， 由18－3k ＝0得k ＝6，即常数项为T 6＋1＝C 69·26＝84×64，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 29的通项公式为T r ＋1＝C r 9(x )9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2r＝C r 9x 9－r ·a r x －2r ＝C r 9·a r x 9－3r ， 由9－3r ＝0得r ＝3，即常数项为T 3＋1＝C 39·a 3＝84a 3，∵两个二项展开式中的常数项相等，∴84a 3＝84×64，∴a 3＝64，即a ＝4，故选A.]8．20世纪70年代流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换，如果n 是奇数，则下一步变成3n ＋1；如果n 是偶数，则下一步变成n2.这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或32C [若n ＝5，执行程序框图，n ＝16，i ＝2；n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6，结束循环，输出的i ＝6.若n ＝32，执行程序框图，n ＝16，i ＝2；n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6，结束循环，输出的i ＝6.当n ＝4或16时，检验可知不正确，故输入的n ＝5或32，故选C.]9．已知函数f (x )＝3sin x ＋cos x ，先将f (x )图象上所有点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于 y 轴对称，则θ的最小值为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3B [因为f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，将f (x )图象上所有点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ＞0)个单位长度，得函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －θ)＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2θ，由y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，则函数y ＝g (x )为偶函数，即π6－2θ＝k π＋π2，即θ＝－12k π－π6(k ∈Z ),又θ＞0，所以θ的最小值为π3，故选B.]10．《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形．已知一个羡除的三视图如图实线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为( )A ．20B ．24C ．28D ．32B [连接CE ，BE ，DB ，则V E -ABCD ＝13×12×(6＋2)×4×3＝16， V C -BEF＝13×12×4×3×4＝8.∴羡除的体积V ＝V E -ABCD ＋V C -BEF ＝16＋8＝24.故选B.]11．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，若点A 在抛物线上，且|AF |＝5，则|P A |＋|PO |的最小值为( )A. 5 B ．2 5 C.13D ．213D [∵|AF |＝5，由抛物线的定义得点A 到准线的距离为5，即A 点的横坐标为4，又点A 在抛物线上，∴点A 的坐标为(4，±4)；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B (－2,0)，则|P A |＋|PO |的最小值为|AB |＝(4＋2)2＋42＝213，故选D.]12．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足xf ′(x )＝1＋x ，且f (1)＝2，不等式f (x )≥(a ＋1)x ＋1有解，则正实数a 的取值范围是( )A ．(0，e]B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e C [由xf ′(x )＝1＋x ，得f ′(x )＝1x ＋1， ∴f (x )＝ln x ＋x ＋c . 由f (1)＝1＋c ＝2，得c ＝1. 所以不等式 f (x )≥(a ＋1)x ＋1可化为ln x ＋x ＋1≥(a ＋1)x ＋1，即a ≤ln xx ， 令g (x )＝ln xx ，x ＞0，则g ′(x )＝1－ln xx 2，由g ′(x )＝0，得x ＝e ， 所以x ∈(0，e)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增； x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递减； 所以x ＝e 时函数g (x )取得最大值为g (e)＝1e .要使不等式有解，则正实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e .故选C.]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝________. －4 [∵f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3.∴f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.]14．已知a n ＝3n －1，b n ＝6n2a n，数列{b n }的前n 项的和为S n ，则S 9＝________.(用具体数字作答)1 533 [∵a n ＝3n －1，b n ＝6n 2a n ，∴b n ＝2n ·3n 2×3n －1＝3·2n －1. 数列{b n }的前n 项的和为S n ，则S 9＝3×29－12－1＝1 533.]15．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，P 是双曲线的右支上的点，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且原点O 到直线PF 1的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的离心率为________．53 [依题意|PF 2|＝|F 1F 2|，可知△PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，原点O 到直线PF 1的距离等于双曲线的实半轴长，由勾股定理可知|PF 1|＝4b ，根据双曲定义可知2b ＝c ＋a ，整理得c ＝2b －a ，代入c 2＝a 2＋b 2整理得3b 2－4ab ＝0，即b a ＝43，∴双曲线的离心率为：e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋169＝53. ]16．正三棱锥P -ABC 中，2P A ＝AB ＝42，点E 在棱P A 上，且PE ＝3EA .正三棱锥P -ABC 的外接球为球O ，过E 点作球O 的截面α，α截球O 所得截面面积的最小值为________．3π [因为P A ＝PC ＝PB ＝4，AB ＝AC ＝BC ＝42，所以P A 2＋PC 2＝AC 2， 所以∠CP A ＝π2，同理∠CPB ＝∠BP A ＝π2，故可把正三棱锥补成正方体(如图所示)，其外接球即为球O，直径为正方体的体对角线，故2R＝43，设P A的中点为F，连接OF，则OF＝22且OF⊥P A，所以OE＝8＋1＝3，当OE⊥平面α时，平面α截球O的截面面积最小，此时截面为圆面，其半径为(23)2－32＝3，故截面的面积为3π. ]。

[考情分析]概率与统计的综合问题是高考的热点，一般以解答题形式考查，通常以考查随机事件的概率、相互独立事件、样本的数字特征、离散型随机变量的分布列、期望及方差、回归分析、独立性检验为主，有时也与函数、数列、不等式等知识综合考查．考点一求离散型随机变量的分布列、均值与方差例1(2023·湖北宜昌模拟)据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种佩戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，A 市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生)．(1)若从样本中选一名学生，已知这名小学生佩戴眼镜，那么，该学生佩戴的是角膜塑形镜的概率是多少？(2)从这8名佩戴角膜塑形镜的学生中，选出3人，求其中男生人数X 的期望与方差；(3)若将样本的频率当作估计总体的概率，请问，从A 市的小学生中，随机选出20名小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y 的期望与方差．解(1)根据题中样本数据，设“这名小学生佩戴眼镜”为事件A ，“这名小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B ，“这名小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件AB ，则P (A )＝24100＝0.24，P (AB )＝8100＝0.08，故所求的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.080.24＝13，所以从样本中选一名学生，已知这名小学生佩戴眼镜，则该学生佩戴的是角膜塑形镜的概率是13.(2)依题意，佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中选3人，男生人数X 的可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 36C 38＝2056＝514，P (X ＝1)＝C 12C 26C 38＝3056＝1528，P (X ＝2)＝C 22C 16C 38＝656＝328.所以男生人数X 的分布列为X 012P5141528328所以E (X )＝1×1528＋2×328＝34，D (X )×514＋×1528＋×328＝45112.(3)由已知，得Y ～B (20，0.08)，则E (Y )＝np ＝20×0.08＝1.6，D (Y )＝np (1－p )＝20×0.08×0.92＝1.472，所以佩戴角膜塑形镜的人数Y 的期望是1.6，方差是1.472.离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．1.某医药企业使用新技术对某款血液试剂进行试生产．(1)在试产初期，该款血液试剂的I 批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款血液试剂在生产中，经过前三道工序后的次品率为120.第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验．已知批次I 的血液试剂智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率；(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量X 的期望为E (X )，方差为D (X )，则对任意ε>0，均有P (|X －E (X )|≥ε)≤D （X ）ε2药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为80%，现随机选择了100份血液样本，使用该血液试剂进行检测，每份血液样本检测结果相互独立，显示有效的份数不超过60，请结合切比雪夫不等式，通过计算说明该企业的宣传内容是否真实可信．解(1)设批次I 的血液试剂智能自动检测合格为事件A ，人工抽检合格为事件B ，由已知得P (A )＝98100，P (AB )＝1－120＝1920，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1920×10098＝9598.(2)设100份血液样本中检测有效的份数为X ，假设该企业关于此新试剂有效率的宣传内容是客观真实的，那么在此假设下，X ～B (100，0.8)，E (X )＝100×0.8＝80，D (X )＝100×0.8×(1－0.8)＝16，由切比雪夫不等式，有P (X ≤60)≤P (|X －80|≥20)≤D （X ）202＝0.04，即在假设下，100份血液样本中显示有效的份数不超过60的概率不超过0.04，此概率很小，据此我们有理由推断该企业的宣传内容不可信．考点二概率与频率分布直方图的综合例2(2024·甘肃兰州一模)“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值；(2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在(14，16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取20名学生，用P (k )表示这20名学生中恰有k 名学生周平均阅读时间在(8，12]内的概率，其中k ＝0，1，2，…，20.当P (k )最大时，写出k 的值．解(1)∵(0.02＋0.03＋0.05＋0.05＋0.15＋a ＋0.05＋0.04＋0.01)×2＝1，∴a ＝0.1.(2)由频率分布直方图可得，周平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的频率之比为0.05∶0.04∶0.01＝5∶4∶1，∴10人中，周平均阅读时间在(12，14]内的人数为10×510＝5，在(14，16]内的人数为10×410＝4，在(16，18]内的人数为10×110＝1，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，∴P (X ＝0)＝C 36C 310＝20120＝16P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝60120＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝36120＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝4120＝130，∴X 的分布列为X 0123P1612310130数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.(3)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取1名学生，周平均阅读时间在(8，12]内的概率p ＝(0.15＋0.1)×2＝0.5＝12；则P (k )＝C k 20p k (1－p )20－k＝C k 20×12k ×1220－k ＝C k 20220，若P (k )最大，则C k 20最大，∴当k ＝10时，P (k )取得最大值．概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．2.(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值．解(1)依题意可知，患病者该指标的频率分布直方图中第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%，所以95<c<100，所以(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5，q(c)＝0.01×(100－97.5)＋5×0.002＝0.035＝3.5%.(2)当c∈[95，100]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝(c－95)×0.002＋(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.008c ＋0.82≥0.02；当c∈(100，105]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＋(105－c)×0.002＝0.01c－0.98>0.02，故f(c)0.008c＋0.82，95≤c≤100，c－0.98，100<c≤105，所以f(c)在区间[95，105]的最小值为0.02.考点三概率与独立性检验的综合例3(2023·江西南昌模拟)“低碳出行”，一种降低“碳”的出行，以低能耗、低污染为基础，是环保的深层次体现，在众多发达国家被广大民众接受并执行，S市即将投放一批公共自行车以方便市民出行，减少污染，缓解交通拥堵，现先对100人做了是否会考虑选择自行车出行的调查，结果如下表．年龄考虑骑车不考虑骑车15以下63[15，30)166[30，45)136[45，60)1416[60，75)5975以上15合计5545(1)如果把45周岁以下人群定义为“青年人”，完成下列2×2列联表，并判断有多少把握认为该地区市民是否考虑骑车与他(她)是不是“青年人”有关．骑车不骑车合计45岁以下45岁以上合计100参考：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（a＋c）（c＋d）（b＋d），n＝a＋b＋c＋d.α0.050.0250.0100.0050.001xα 3.841 5.024 6.6357.87910.828(2)S市为了鼓励大家骑自行车上班，为此还专门在几条平时比较拥堵的城市主干道建有无障碍自行车道，该市市民小明家离上班地点10km，现有两种上班方案供他选择：方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以19km/h的速度直达上班地点．方案二：开车以30km/h的速度上班，但要经过A，B，C三个易堵路段，三个路段堵车的概率分别是12，12，13，且是相互独立的，并且每次堵车的时间都是10分钟(假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶)．若仅从时间的角度考虑，请你给小明作一个选择，并说明理由．解(1)根据题目所给数据填写2×2列联表如下：骑车不骑车合计45岁以下35155045岁以上203050合计5545100所以χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（35×30－15×20）250×50×55×45≈9.091>7.879，所以有99.5%的把握认为该地区市民是否考虑骑车与他(她)是不是“青年人”有关．(2)方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以19km/h 的速度直达上班地点，则所需时间为1019h.方案二：记开车上班所用时间为X h ，则X 的所有可能取值为13，12，23，56.＝12×12×23＝16，＝12×12×23＋12×12×23＋12×12×13＝512，＝12×12×23＋12×12×13＋12×12×13＝13，＝12×12×13＝112，所以X 的分布列为X 13122356P1651213112E (X )＝13×16＋12×512＋23×13＋56×112＝5 9 h.因为1019<59，所以仅从时间的角度考虑，应选择方案一．此类题目虽然涉及的知识点较多，但每个知识点考查程度相对较浅，考查深度有限，所以解决此类问题，最主要的是正确掌握概率与统计的基本知识，并能对这些知识点进行有效的融合，把统计图表中的量转化为概率或分布列求解中有用的量是解决此类问题的关键．3.一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等．某医学研究院研究团队研发了一种疫苗，并率先对此疫苗开展了Ⅰ期和Ⅱ期临床试验．Ⅰ期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案(0.5mL/次剂量组(低剂量)与1mL/次剂量组(中剂量))，临床试验免疫结果对比如下：接种成功接种不成功合计0.5mL/次剂量组288361mL/次剂量组33336合计611172(1)根据数据说明哪种方案接种效果好，并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与否与两种剂量接种方案有关；(2)若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以X表示这2人中接种成功的人数，求X的分布列和数学期望．附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.α0.400.250.150.100.0500.0250.0100.001 xα0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63510.828解(1)0.5mL/次剂量组(低剂量)接种成功的概率为2836＝79，1mL/次剂量组(中剂量)接种成功的概率为3336＝1112，因为1112>79，所以1mL/次剂量组(中剂量)接种效果好．由2×2列联表得χ2＝72×（28×3－8×33）236×36×61×11≈2.683<2.706，所以没有90%的把握认为该疫苗接种成功与否与两种剂量接种方案有关．(2)X的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝29×112＝2108＝154，P (X ＝1)＝79×112＋29×1112＝29108，P (X ＝2)＝79×1112＝77108，所以X 的分布列为X 012P1542910877108E (X )＝0×154＋1×29108＋2×77108＝183108＝6136.考点四概率与经验回归方程的综合例4(2024·广东深圳模拟)我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为p ，收益率为－10%的概率为1－p ；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为0.4，收益率为－20%的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5.(1)已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑，为该公司选择一个较稳妥的项目；(2)若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：年份x 2020202120222023μ1234累计投资金额y /亿元2356请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于μ的经验回归方程y ^＝b ^μ＋a ^，并预测到哪一年年末，该投资公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元．附：收益＝投入的资金×获利的期望；经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑ni ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b ^x －.解(1)若投资光刻机项目，设收益率为α1，则α1的分布列为α10.3－0.1Pp1－p所以E (α1)＝0.3p ＋(－0.1)(1－p )＝0.4p －0.1.若投资光刻胶项目，设收益率为α2，则α2的分布列为α20.3－0.20P0.40.10.5所以E (α2)＝0.3×0.4＋(－0.2)×0.1＋0×0.5＝0.1.因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，所以0.4p －0.1＝0.1，所以p ＝0.5.因为D (α1)＝(0.3－0.1)2×0.5＋(－0.1－0.1)2×0.5＝0.04，D (α2)＝(0.3－0.1)2×0.4＋(－0.2－0.1)2×0.1＋(0－0.1)2×0.5＝0.03，所以E (α1)＝E (α2)，D (α1)>D (α2)，这说明光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥．综上所述，建议该风险投资公司投资光刻胶项目．(2)因为μ－＝1＋2＋3＋44＝2.5，y －＝2＋3＋5＋644，∑4i ＝1μi y i ＝1×2＋2×3＋3×5＋4×6＝47，∑4i ＝1μ2i ＝12＋22＋32＋42＝30，所以b ^＝∑4i ＝1μi y i －4μ－y－∑4i ＝1μ2i －4μ－2＝47－4×2.5×430－4×2.52＝1.4，a ^＝y －－b ^μ－＝4－1.4×2.5＝0.5，故经验回归方程为y ^＝1.4μ＋0.5.设该公司在芯片领域的投资收益为Y ，则由Y ＝0.1×(1.4μ＋0.5)≥0.75，解得μ≥5，故到2024年年末，该投资公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元．概率与经验回归方程的综合常涉及概率、分布列、离散型随机变量的数字特征、二项分布、超几何分布及经验回归方程等知识，主要考查学生的阅读能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识．4.(2023·河北衡水中学模拟)某单位共有10名员工，他们某年的年薪如下表：员工编号12345678910年薪(万元)44.5656.57.588.5951(1)求该单位员工当年年薪的平均数和中位数；(2)从该单位中任取2人，此2人中年薪高于7万的人数记为X ，求X 的分布列和期望；(3)已知员工的年薪与工作年限正相关，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元、5.5万元、6万元、8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中系数的计算公式分别为b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b ^x －，其中x －，y －为样本均值．解(1)平均数为110×(4＋4.5＋6＋5＋6.5＋7.5＋8＋8.5＋9＋51)＝11万元；中位数为6.5＋7.52＝7万元．(2)年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人，X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 25C 210＝29，P (X ＝1)＝C 15C 15C 210＝59，P (X ＝2)＝C 25C 210＝29，所以X 的分布列为X 012P295929E (X )＝0×29＋1×59＋2×29＝1.(3)设x i ，y i (i ＝1，2，3，4)分别表示工作年限及相应年薪，则x －＝2.5，y －＝6，∑4i ＝1(x i －x －)2＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，∑4i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝－1.5×(－2)＋(－0.5)×(－0.5)＋0.5×0＋1.5×2.5＝7，b ^＝∑4i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑4i ＝1（x i －x －）2＝75＝1.4，a ^＝y －－b ^x －＝6－1.4×2.5＝2.5，所以经验回归方程为y ^＝1.4x ＋2.5.当x ＝5时，y ^＝9.5，所以预测该员工第五年的年薪为9.5万元．考点五统计、概率与正态分布的综合例5(2023·福建漳州统考)近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求，各大养猪场正面临巨大挑战．目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现．现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量(单位：kg)在[1，139]内的猪分为三个生长阶段如下表．猪的三个生长阶段阶段幼年期成长期成年期重量/kg[1，24)[24，116)[116，139]根据以往经验，两个养猪场猪的体重X 均近似服从正态分布N (70，232)．由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为34，45.(1)试估算甲养猪场三个生长阶段猪的数量；(2)已知甲养猪场出售一头成年期猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元．①记Y 为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y 的分布列与数学期望；②假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润的期望．参考数据：若Z ～N (μ，σ2)，P (μ－σ≤Z ≤μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ≤Z ≤μ＋2σ)≈0.9545，P (μ－3σ≤Z ≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由于猪的体重X ～N (70，232)，设各阶段猪的数量分别为n 1，n 2，n 3，∴P (1≤X <24)＝P (70－3×23≤X <70－2×23)≈0.9973－0.95452＝0.0214，∴n 1＝10000×0.0214＝214头，同理，P (24≤X <116)＝P (70－2×23≤X <70＋2×23)≈0.9545，∴n 2＝10000×0.9545＝9545头，P (116≤X <139)＝P (70＋2×23≤X <70＋3×23)≈0.9973－0.95452＝0.0214，∴n 3＝10000×0.0214＝214，∴估计甲养猪场有幼年期猪214头，成长期猪9545头，成年期猪214头．(2)①依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为34，45，Y 的所有可能取值为1100，400，－300.P (Y ＝1100)＝34×45＝35，P (Y ＝400)＝34×15＋14×45＝720，P (Y ＝－300)＝14×15＝120，∴Y 的分布列为Y 1100400－300P35720120∴E (Y )＝1100×35＋400×720－300×120＝785元．②由于各养猪场均有214头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为785元，则总利润的期望为785×214＝167990元．利用正态分布求给定区间的概率时，注意给定区间与μ，σ的转化，使给定区间转化为3σ特殊区间，从而求出其概率．5.(2024·山东济宁模拟)为了响应2024年全国文明城市建设的号召，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会．该市文明办随机抽取了100人的得分(满分：100分)，统计结果如下表所示：组别[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数1020252520 (1)若此次调查问卷的得分Z服从正态分布N(μ，25)，μ近似等于样本的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值代替)，求P(72.5≤Z≤82.5)；(2)该市文明办为鼓励市民积极参与调查问卷，规定：调查问卷得分不低于μ的可以用本人手机随机抽取3次手机话费奖励，3次抽取互不影响，有三种话费奖励金额，每种金额每次被抽到的概率如下表：话费金额/元3510P 252515如果某市民参加调查问卷的得分不低于μ，记“该市民获得手机话费奖励总金额为X”．①求X＝16时的概率；②证明：P(X≤18)＝4P(X≥20)．参考数据：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)这100人的平均成绩为55×10＋65×20＋75×25＋85×25＋95×20100＝77.5，所以μ近似等于77.5，故P(72.5≤Z≤82.5)＝P(77.5－5≤Z≤77.5＋5)≈0.6827.(2)①当X＝16时，3次抽取话费的金额情况是有两次抽到3元，一次抽到10元，因为每次抽取是相互独立的，所以P(X＝16)＝C13×15×＝12125.②证明：由题意，知X的可能取值为9，11，13，15，16，18，20，23，25，30，则P(X≤18)＝P(X＝9)＋P(X＝11)＋P(X＝13)＋P(X＝15)＋P(X＝16)＋P(X＝18)，又P(X＝9)＝8125，P(X＝11)＝C13＝24125，P(X＝13)＝C13＝24125，P(X＝15)＝8125，由(1)，知P(X＝16)＝12125，P(X＝18)＝A33×15＝24 125，所以P(X≤18)＝8＋24＋24＋8＋12＋24125＝100125＝45，又P(X≥20)＝P(X＝20)＋P(X＝23)＋P(X＝25)＋P(X＝30)，所以P(X≥20)＝1－P(X≤18)＝1－45＝15，即4P(X≥20)＝4 5，所以P(X≤18)＝4P(X≥20)．考点六统计、概率与数列的综合例6(2023·江西南昌模拟)草莓具有较高的营养价值、医疗价值和生态价值．草莓浆果芳香多汁，营养丰富，素有“水果皇后”的美称．某草莓园统计了最近100天的草莓日销售量(单位：千克)，数据如下所示．销售量区间天数[150，200)20[200，250)25[250，300)10[300，350)40[350，400)5(1)求a的值及这100天草莓日销售量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)该草莓的售价为60元每千克，为了增加草莓销售量，该草莓园推出“玩游戏，送优惠”活动，有以下两种游戏方案供顾客二选一．游戏一：不透明盒子里装有2个红球，4个黑球，顾客从中不放回摸出3个球，每摸出一个红球每千克草莓优惠3元，摸出黑球不优惠．游戏二：一张纸板共画了11个同心圆，圆心处标记数字0，从内到外的圆环内依次标记数字1到10，在圆心处有一枚骰子，顾客抛掷硬币决定骰子从圆心向外环移动，若掷出的硬币正面向上，则骰子向外移动一环(如：从圆心移动到标上数字1的环内)；若掷出的硬币反面向上，则骰子向外移动两环(如：从标上数字1的环内移动到标上数字3的环内)．顾客重复掷硬币直到骰子移到标上数字9的环内就可以获得“九折优惠券”，或移到标上数字10的环内就游戏结束无优惠．有两个孩子对于选择哪个游戏可以获得更大优惠出现了分歧，你能帮助他们判断吗？解(1)由题意可得(0.004＋a ＋0.002＋0.008＋0.001)×50＝1，解得a ＝0.005.这100天草莓日销售量的平均数x －＝0.2×175＋0.25×225＋0.1×275＋0.4×325＋0.05×375＝267.5.(2)当选择游戏一时，设每千克草莓优惠金额为X ，则X 的所有可能取值为0，3，6.P (X ＝0)＝C 34C 36＝0.2，P (X ＝3)＝C 12C 24C 36＝0.6，P (X ＝6)＝C 22C 14C 36＝0.2.所以X 的分布列为X 036P0.20.60.2E (X )＝0×0.2＋3×0.6＋6×0.2＝3.当选择游戏二时，设骰子移到标上数字n (2≤n ≤9，n ∈Z )的环内的概率为P n ，P 0＝1.第一次掷出的硬币正面向上，骰子向外移动一环，P 1＝12.骰子移到数字n (2≤n ≤9，n ∈Z )处的情况只有两种．第一种情况：骰子先到数字n －2代表的环上，又掷出反面，其概率为12P n －2；第二种情况：骰子先到数字n －1代表的环上，又掷出正面，其概率为12P n －1.所以P n ＝12P n －2＋12P n －1，即P n －P n －1＝－12(P n －1－P n －2)，所以{P n －P n －1}是公比为－12的等比数列．P 1－1＝－12，P 2－P 1，P 3－P 2，…，P n －P n －1，以上各式累加，得P n －1＋…＝－131所以P n ＝231＋1(2≤n ≤9，n ∈Z )．获得“九折优惠券”的概率P 9＝23110，无优惠的概率P 10＝12P 8＝131设选择游戏二时每千克草莓优惠金额为Y ，则Y 的所有可能取值为0，6.E (Y )＝6×23110＋0×1314×110≈4.因为E (X )<E (Y )，所以选择游戏二获得更大优惠的可能性更大．注：P 9也可用列举法求骰子移动到标有数字9的环内．有以下5类情况：①移动两环4次，移动一环1次，其概率为C 45×125，②移动两环3次，移动一环3次，其概率为C 36×126，③移动两环2次，移动一环5次，其概率为C 27×127，④移动两环1次，移动一环7次，其概率为C 18×128，⑤移动一环9次，其概率为129，故P 9＝C 45×125＋C 36×126＋C 27×127＋C 18×128＋129＝34129.高考有时将概率、统计等问题与数列交会在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确地把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．6.(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i 次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量X i 服从两点分布，且P (X i ＝1)＝1－P (X i ＝0)＝q i ，i ＝1，2，…，n ，则E (∑ni ＝1X i )＝∑ni ＝1q i .记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ，求E (Y )．解(1)记“第i 次投篮的人是甲”为事件A i ，“第i 次投篮的人是乙”为事件B i ，所以P (B 2)＝P (A 1B 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)·P (B 2|A 1)＋P (B 1)P (B 2|B 1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.(2)设P (A i )＝p i ，依题可知，P (B i )＝1－p i ，则P (A i ＋1)＝P (A i A i ＋1)＋P (B i A i ＋1)＝P (A i )·P (A i ＋1|A i )＋P (B i )P (A i ＋1|B i )，即p i ＋1＝0.6p i ＋(1－0.8)×(1－p i )＝0.4p i ＋0.2，构造等比数列{p i ＋λ}，设p i ＋1＋λ＝25(p i ＋λ)，解得λ＝－13，则p i ＋1－13＝i 又p 1＝12，p 1－13＝16，i 是首项为16，公比为25的等比数列，即p i －13＝16×－1，所以p i ＝16×1＋13.(3)因为p i ＝16×1＋13，i ＝1，2，…，n ，所以当n ∈N *时，E (Y )＝p 1＋p 2＋…＋p n ＝16×1－25＋n 3＝5181＋n 3.考点七统计、概率与函数的综合例7甲、乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为p (0<p <1)，甲赢的概率为1－p ，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲、乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P 甲∶P 乙分配奖金．记事件A 为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率f (p )，并判断当p ≥23时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由．(注：若随机事件发生的概率小于0.05，则称随机事件为小概率事件)解设游戏继续进行Y 局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢．由题知，当Y ＝4时，甲以5∶3赢，∴P (Y ＝4)＝(1－p )4，当Y ＝5时，甲以5∶4赢，∴P (Y ＝5)＝(1－p )×C 34×(1－p )3p ＝4(1－p )4p ，甲获得全部奖金的概率f (p )＝(1－p )4＋4(1－p )4p ＝(4p ＋1)(1－p )4，p ∈23，∴f ′(p )＝4(1－p )4－4(4p ＋1)(1－p )3＝4(1－p )3(1－p －4p －1)＝－20(1－p )3p ，∵p ∈23，f ′(p )＝－20(1－p )3p <0，∴f (p )在23，，∴f (p )max ＝＝113×＝1135≈0.045<0.05，故事件A 是小概率事件．在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现．7.(2024·河南信阳模拟)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得－300分，设每次击鼓出现音乐的概率为p (1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0；(2)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．设每盘游戏的得分为随机变量ξ，请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．解(1)由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f (p )＝C 13p (1－p )2＝3p 3－6p 2＋3p ，f ′(p )＝3(3p －1)(p －1)，由f ′(p )＝0得p ＝13或p ＝1(舍去)，当p ，f ′(p )>0；当p ，f ′(p )<0，∴f (p )，，∴当p ＝13时，f (p )有最大值，即f (p )的最大值点p 0＝13.(2)ξ的所有可能取值为－300，50，100，150，p (ξ＝－300)＝(1－p )3，p (ξ＝50)＝C 13p (1－p )2，p (ξ＝100)＝C 23p 2(1－p )，p (ξ＝150)＝p 3，∴E (ξ)＝－300(1－p )3＋50C 13p (1－p )2＋100C 23p 2(1－p )＋150p 3＝3－3p 2＋72p －令g (p )＝p 3－3p 2＋72p －1，0<p <25，则g ′(p )＝3p 2－6p ＋72＝3(p －1)2＋12>0，∴g (p )，∴g (p )<＝－2125<0，故有E (ξ)<0.这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知，许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少了．课时作业1．(2023·山西太原联考)为调查学生对政协、人大两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分(满分100分)的频率分布折线图如下．(1)若此次知识问答的得分X ～N (μ，σ2)，用样本来估计总体，设μ，σ分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求P (50.5≤X ≤94)的值；(2)学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会．假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为34，抽到价值20元的学习用品的概率为14.从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为ξ元，求ξ的分布列和数学期望(用分数表示)，并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额．参考数据：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9545，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.9973,210≈14.5.解(1)由折线图可知μ＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.20＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.10＋95×0.05＝65，σ2＝(35－65)2×0.025＋(45－65)2×0.15＋(55－65)2×0.20＋0＋(75－65)2×0.225＋(85－65)2×0.10＋(95－65)2×0.05＝210，所以σ≈14.5，X ～N (65，14.52)，所以P (50.5≤X ≤94)≈P (μ－σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.95452＋0.68272＝0.8186.(2)由题意可知ξ的所有可能取值为10，20，30，40，。