全国统考2022高考数学一轮复习高考大题专项六概率与统计学案理含解析北师大版

高考大题专项练61.(2015某某某某二中一模)在一次考试中,5名同学的数学、物理成绩如下表所示:(1)根据表中数据,求物理分y 对数学分x 的回归方程;(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动,以X 表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数,求随机变量X 的分布列及数学期望EX. 附:回归方程y=bx+a 中,b=,a=-b. 解:(1)∵=93,=90,∴(x i -)2=(-4)2+(-2)2+02+22+42=40,(x i -)(y i -)=(-4)×(-3)+(-2)×(-1)+0×(-1)+2×2+4×3=30,∴b==0.75,a=-b=20.25,∴物理分y 对数学分x 的回归方程为y=0.75x+20.25.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,P (X=0)=;P (X=1)=;P (X=2)=. 故X 的分布列为∴EX=0×+1×+2×=1.〚导学号92950958〛2.随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:28,42,41,36,44,39,37,37,25,44,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:分组频数频率[25,3 0) 3 0.1 2[30,3 5) 5 0.2 0[35,4 0) 8 0.3 2[40,45)n1f1[45,50]n2f2(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.解:(1)n1=7,n2=2,f1=0.28,f2=0.08;(2)样本频率分布直方图为:(3)根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.2.设所取的4人中,日加工零件数落在区间(30,35]的人数为ξ,则ξ~B(4,0.2),所以,P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-0.2)4=1-0.409 6=0.590 4.故在该厂任取的4人中,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.590 4.〚导学号92950959〛3.(2015某某某某高三质检一)某学校为了解学生身体发育情况,随机从高一学生中抽取40人作为样本,测量出他们的身高(单位:cm),身高分组区间及人数见下表:分组 [155,160) [160,165) [165,170) [170,175)[175,180] 人数a 814 b2(1)求a ,b 的值并根据题目补全直方图;(2)在所抽取的40人中任意选取两人,设Y 为身高不低于170 cm 的人数,求Y 的分布列及数学期望. 解:(1)a=40×0.03×5=6,b=40-(6+8+14+2)=10.(2)由题意得Y 的可能取值为0,1,2,且P (Y=0)=;P (Y=1)=;P (Y=2)=. 所以Y 的分布列为Y 0 1 2 PY 的数学期望EY=0×+1×+2×.〚导学号92950960〛4.(2015某某三模)学校组织“踢毽球”大赛,某班为了选出一人参加比赛,对班上甲、乙两位同学进行了8次测试,且每次测试之间相互独立,成绩如下:(单位:个/分钟)甲80 81 93 72 88 75 83 84 乙 897878782 3 0 4 7 7 3 5(1)用茎叶图表示这两组数据;(2)从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加比赛合适?请说明理由?(3)若将频率视为概率,对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测,记这三次成绩高于79个/分钟的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.(参考数据:22+12+112+102+62+72+12+22=316,02+112+122+22+52+52+42+32=344)解:(1)以十位数为茎,个位数为叶,由已知作出甲乙两同学“踢毽球”的茎叶图如图:(2)==82,=82,=39.5,=43.由于甲、乙的平均成绩相等,而甲的方差较小,所以甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.(3)由题意可知,ξ的取值为0,1,2,3,由表格可知:高于79个/分钟的频率为,则高于79个/分钟的概率为,则P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,∴ξ的分布列如下:ξ0 1 2 3P∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×.〚导学号92950961〛5.(2015某某某某一模)某市一所高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的X围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].(1)求频率分布直方图中x的值;(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若招生1 200名,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;(3)从学校的高一学生中任选4名学生,这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)解:(1)由直方图可得20×x+0.025×20+0.006 5×20+0.003×2×20=1.所以x=0.012 5.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20=0.12,因为1 200×0.12=144,所以1 200名新生中有144名学生可以申请住宿.(3)X的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知,每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.所以X的分布列为:X0 1 2 3 4PEX=0×+1×+2×+3×+4×=1.所以X的数学期望为1.〚导学号92950962〛6.(2015某某一模)某市为了治理污染,改善空气质量,市环境保护局决定每天在城市主要路段洒水防尘,为了给洒水车供水,供水部门决定最多修建3处供水站.根据过去30个月的资料显示,每月洒水量X(单位:百立方米)与气温和降雨量有关,且每月的洒水量都在20以上,其中不足40的月份有10个月,不低于40且不超过60的月份有15个月,超过60的月份有5个月,将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率,并假设各月的洒水量相互独立.(1)求未来的3个月中,至多有1个月的洒水量超过60的概率;(2)供水部门希望修建的供水站尽可能运行,但每月供水站运行的数量受月洒水量限制,有如下关系:若某供水站运行,月利润为12 000元;若某供水站不运行,月亏损6 000元.欲使供水站的月总利润的均值最大,应修建几处供水站?解:(1)依题意可得P1=P(20<x<40)=,P2=P(40≤x≤60)=,P3=P(x>60)=.由二项分布可得,在未来三个月中,至多有1个月的洒水量超过60的概率为P=(1-P3)3+(1-P3)2·P3=+3×,至多有1个月的洒水量超过60的概率为.(2)记供水部门的月总利润为Y元,①修建一处供水站的情形,由于月洒水量总大于20,故一处供水站运行的概率为1,对应的月利润为Y=12 000,EY=12 000×1=12 000(元);②修建两处供水站的情形,依题意,当20<X<40,一处供水站运行,此时Y=12 000-6 000=6000,P(Y=6 000)=P(20<X<40)=P1=;当X≥40,两处供水站运行,此时Y=12 000×2=24 000,P(Y=24 000)=P(X≥40)=P2+P3=.由此得Y的分布列为Y 600024000P则EY=6 000×+24 000×=18 000(元);③修建三处供水站情形,依题意可得当20<X<40时,一处供水站运行,此时Y=12 000-12 000=0,由此P(Y=0)=P(20<X<40)=P1=;当40≤X≤60时,两处供水站运行,此时Y=12 000×2-6 000=18 000,由此P(Y=18 000)=P(40≤X≤60)=P2=;当X>60时,三处供水站运行,此时Y=12 000×3=36 000,由此P(Y=36 000)=P(X>60)=P3=.由此得Y的分布列为由此EY=0×+18 000×+36 000×=15 000(元).欲使供水站的月总利润的均值最大,应修建两处供水站.〚导学号92950964〛。

课后限时集训(六十二)变量间的相关关系、统计案例建议用时：40分钟一、选择题1．如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程y^＝b^1x＋a^1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程y^＝b^2x＋a^2，相关系数为r2.则( )A．0＜r1＜r2＜1 B．0＜r2＜r1＜1C．－1＜r1＜r2＜0 D．－1＜r2＜r1＜0D[根据相关变量x，y的散点图知，变量x，y具有负线性相关关系，且点(10,21)是离群值．方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些，成负相关；方案二中，剔除离群值，线性相关性强些，也是负相关．所以相关系数－1＜r2＜r1＜0.故选D.]2．(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i，y i)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋b e x D．y＝a＋b ln xD[根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来(图略)，由图并结合选项可排除A，B，C，故选D.]3．为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为y^＝b^x＋a^.已知∑10i＝1x i＝225，∑10i＝1y i＝1 600，b^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )A．160 cm B．163 cm C．166 cm D．170 cmC[∵∑10i＝1x i＝225，∴x＝110∑10i＝1x i＝22.5.∵∑10 i＝1y i＝1 600，∴y＝110∑10i＝1y i＝160.又b^＝4，∴a^＝y－b^x＝160－4×22.5＝70.∴回归直线方程为y^＝4x＋70.将x＝24代入上式得y^＝4×24＋70＝166.故选C.]4．现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的( )A．样本中的女生数量多于男生数量B．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量C．样本中的男生偏爱两理一文D．样本中的女生偏爱两文一理D[由条形图知女生数量多于男生数量，有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，男生偏爱两理一文，女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故选D.]5．某医疗所为了检查新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1 000名注射疫苗的人与另外1 000名未注射疫苗的人半年的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，并计算得P(χ2≥6.635)≈0.01，则下列说法正确的是( )A．这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%B．若某人未使用疫苗，则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1流感C．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”D．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”C[因为P(χ2≥6.635)≈0.01，这说明假设不合理的程度为99%，即这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用不合理的程度约为99%，所以有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”，故选C.]二、填空题6．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y^＝13x＋a^，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数a^的值为________．1 8[依题意可知样本点的中心为⎝⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a^，解得a^＝18.]7．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m，如下表：则丁[r越大，m越小，线性相关性越强．]8．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.①[χ2≈3.918＞3.841，而P(χ2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．]三、解答题9．某厂商为了解用户对其产品是否满意，在使用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：(1)2人，求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率；(2)有多大把握认为用户对该产品是否满意与用户性别有关？请说明理由．P (χ2≥k ) 0.100 0.050 0.025 0.010 k2.7063.8415.0246.635注：χ2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋d .[解] (1)用分层抽样的方法在满意产品的用户中抽取5人，则抽取比例为550＝110.所以在满意产品的用户中应抽取女用户20×110＝2(人)，男用户30×110＝3(人)．抽取的5人中，三名男用户记为a ，b ，c ，两名女用户记为r ，s ，则从这5人中任选2人，共有10种情况：ab ，ac ，ar ，as ，bc ，br ，bs ，cr ，cs ，rs .其中恰好是男、女用户各1人的有6种情况：ar ，as ，br ，bs ，cr ，cs . 故所求的概率为P ＝610＝0.6.(2)由题意，得χ2的观测值为k ＝80×30×20－20×10230＋20×10＋20×30＋10×20＋20≈5.333＞5.024. 又P (χ2≥5.024)＝0.025.故有97.5%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”． 10．调查某公司的五名推销员，其工作年限与年推销金额如下表：推销员 ABCDE工作年限x (年) 2 3 5 7 8 年推销金额y (万元)33.546.58(1)金额之间关系的一般规律；(2)利用最小二乘法求年推销金额关于工作年限的回归直线方程； (3)利用(2)中的回归方程，预测工作年限为10年的推销员的年推销金额． 附：b ^＝∑ni ＝1x i －x y i －y ∑ni ＝1x i －x 2，a ^＝y －b ^x .[解] (1)年推销金额关于工作年限的散点图如图：从散点图可以看出，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，工作年限与年推销金额正相关，即工作年限越长，年推销金额越大．(2)由表中数据可得：x ＝15×(2＋3＋5＋7＋8)＝5，y ＝15×(3＋3.5＋4＋6.5＋8)＝5，b ^＝∑ni ＝1 x i －x y i －y ∑ni ＝1 x i －x 2＝－3×－2＋－2×－1.5＋0＋2×1.5＋3×39＋4＋0＋4＋9＝2126，a ^＝y －b ^x ＝5－2126×5＝2526，∴年推销金额关于工作年限的回归直线方程为 y ^＝2126x ＋2526.(3)当x ＝10时，y ^ ＝2126×10＋2526＝23526，∴预测工作年限为10年的推销员的年推销金额为23526万元．1．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y ^＝－0.7x ＋10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是( )x 6 8 10 12 y6m32A ．变量xB ．可以预测，当x ＝20时，y ^＝－3.7 C ．m ＝4D ．该回归直线必过点(9,4)C [由－0.7<0，得变量x ，y 之间呈负相关关系，故A 正确；当x ＝20时，y ^＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B 正确；由表格数据可知x ＝14×(6＋8＋10＋12)＝9，y ＝(6＋m＋3＋2)＝11＋m 4，则11＋m4＝－0.7×9＋10.3，解得m ＝5，故C 错；由m ＝5，得y ＝6＋5＋3＋24＝4，所以该回归直线必过点(9,4)，故D 正确．故选C.] 2．在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 m 8 10 12由表中数据求得y 关于x 的回归方程为y ＝0.65x －1.8，则(4,1)，(m,2)，(8,3)这三个样本点中落在回归直线下方的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个B [由表中数据，得x ＝15×(4＋m ＋8＋10＋12)＝34＋m 5，y ＝15×(1＋2＋3＋5＋6)＝3.4，代入回归方程y ^＝0.65x －1.8中， 得3.4＝0.65×34＋m5－1.8，计算得出m ＝6.所以x ＝4时，y ^＝0.65×4－1.8＝0.8＜1，点(4,1)在回归直线y ^＝0.65x －1.8上方；x ＝6时，y ^＝0.65×6－1.8＝2.1＞2，点(6,2)在回归直线y ^＝0.65x －1.8下方；x ＝8时，y ^＝0.65×8－1.8＝3.4＞3，点(8,3)在回归直线y ^＝0.65x －1.8下方．综上，(4,1)，(6,2)，(8,3)这三个样本点中落在回归直线下方的有2个．故选B.] 3．针对时下的“游戏热”，某校团委对“学生性别和喜欢打游戏是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的13，女生喜欢打游戏的人数占女生人数的16，男生喜欢打游戏的人数占男生人数的23.若有95%的把握认为是否喜欢打游戏和性别有关，则男生至少有________人．则k ≥3.841，即k ＝4x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 18·x 3－5x 18·2x 32x ·x 3·13x 18·11x 18＝36x143≥3.841，解得x ≥15.257.因为各部分人数均为整数，所以x 是18的倍数，所以若有95%的把握认为是否喜欢打游戏和性别有关，则男生至少有18人．]4．手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者(200名女性、300名男性)进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：值，给出结论即可)；(2)把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为是否是评分良好用户与性别有关？参考公式及数据：χ2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d . P (χ2≥k ) 0.10 0.05 0.01 0.001 k2.7063.8416.63510.828[解] (1)女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下图所示：女性用户 男性用户由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大． (2)由题可得2×2列联表如下：女性用户 男性用户 合计 评分良好用户 140 180 320 不是评分良好用户60 120 180 合计200300500则χ2＝500×140×120－180×602200×300×320×180≈5.208>2.706，所以有90%的把握认为是否是评分良好用户与性别有关．某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x (单位：亿元)对年销售额y (单位：亿元)的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量x i和年销售额y i的数据，i＝1,2， (12)并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．令u i＝x2i，v i＝ln y i(i＝1,2，…，12)，经计算得如下数据：x y∑12i＝1(x i－x)2∑12i＝1(y i－y)2u v2066770200460 4.20∑12 i＝1(u i－u)2∑12i＝1(u i－u)·(y i－y)∑12i＝1(v i－v)2∑12i＝1(x i－x)·(v i－v)3 125 00021 5000.30814(1)设{u i}和{y i}的相关系数为r1，{x i}和{v i}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)；(ⅱ)若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元．附：①相关系数r＝∑i＝1nx i－x－y i－y－∑i＝1nx i－x－2∑i＝1ny i－y－2，回归直线y^＝a^＋b^x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2，a ^＝y －－b ^x －；②参考数据：308＝4×77，90≈9.486 8，e 4.499 8≈90. [解] (1)由题意，r 1＝∑12i ＝1u i －u －y i －y－∑12i ＝1u i －u －2∑i ＝112y i －y－2＝21 5003 125 000×200＝21 50025 000＝4350＝0.86，r 2＝∑i ＝112x i －x－v i －v－∑i ＝112x i －x－2∑i ＝112v i －v－2＝14770×0.308＝1477×0.2＝1011≈0.91， 则|r 1|<|r 2|，因此从相关系数的角度，模型y ＝e λx ＋t 的拟合程度更好． (2)(ⅰ)先建立v 关于x 的线性回归方程， 由y ＝e λx ＋t ，得ln y ＝t ＋λx ，即v ＝t ＋λx ，由于λ＝∑i ＝112x i －x－v i －v－∑i ＝112x i －x－2＝14770≈0.018≈0.02， t ＝v －－λx －＝4.20－0.018×20＝3.84，所以v 关于x 的线性回归方程为v ^＝0.02x ＋3.84，所以ln y ^＝0.02x ＋3.84，则y ^＝e 0.02x ＋3.84. (ⅱ)下一年销售额y 需达到90亿元，即y ＝90， 代入y ^＝e 0.02x ＋3.84，得90＝e 0.02x ＋3.84， 又e 4.499 8≈90，所以4.499 8≈0.02x ＋3.84， 所以x ≈4.499 8－3.840.02＝32.99，所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元．。

错误![命题解读] １．概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．２．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析与独立性检验的考查．３．离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析问题、解决问题的能力．【例１】（２0１8·全国卷Ⅱ）如图是某地区２000年至环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据２000年至的数据（时间变量t的值依次为１,２，…，１7）建立模型１：y＝—３0．４＋１３．５t；根据至的数据（时间变量t的值依次为１,２，…，7）建立模型２：y＝99＋１7．５t.（１）分别利用这两个模型，求该地区的环境基础设施投资额的预测值；（２）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．[解] （１）利用模型１，该地区的环境基础设施投资额的预测值为y＝—３0．４＋１３．５×１9＝２２6．１（亿元）．利用模型２，该地区的环境基础设施投资额的预测值为y＝99＋１7．５×9＝２５6．５（亿元）．（２）利用模型２得到的预测值更可靠．理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出，２000年至的数据对应的点没有随机散布在直线y＝—３0．４＋１３．５t上下，这说明利用２000年至的数据建立的线性模型１不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.相对的环境基础设施投资额有明显增加，至的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用至的数据建立的线性模型y＝99＋１7．５t可以较好地描述以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型２得到的预测值更可靠．（ⅱ）从计算结果看，相对于的环境基础设施投资额２２0亿元，由模型１得到的预测值２２6．１亿元的增幅明显偏低，而利用模型２得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型２得到的预测值更可靠．（以上给出了２种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可）[律方规法] １．在求两变量相关系数和两变量的回归方程时，由于r和b的公式组成比较复杂，求它们的值计算量比较大，为了计算准确，可将其分成几个部分分别计算，这样等同于分散难点，各个攻破，提高了计算的准确度．２．有关独立性检验的问题的解题步骤：（１）作出２×２列联表；（２）计算随机变量K２的值；（３）查临界值，检验作答．给某山区果农．为验证该技术的效果，该果农选择４0株葡萄树进行试验，其中２0株不进行任何处理，记为对照组，另外２0株采用新技术培养，记为实验组．葡萄成熟收割后，该果农统计了这４0株葡萄树的年产量数据（单位：kg）．对照组１２１５２１２３２6２４３５３５３４３２５１５２４9４6４３５３４４6１6３４３实验组２３３２３４３6４２４１５１５9４6４３４３４５５２676５6５6２５6５５５8的平均值和方差的大小（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（２）若每株葡萄树的年产量不低于４５kg，则认为“产量高”，否则认为“产量一般”．请根据此样本完成此２×２列联表，并据此样本分析是否有9５%的把握认为产量的提高与使用新技术有关；对照组实验组合计产量高产量一般合计（３）从“产量高”的数据中随意抽取３株做进一步科学研究中，计算恰好有２株来自实验组的概率．附：χ２＝错误!，其中n＝a＋b＋c＋d．P（χ２≥k）0．0５00．0１00．00１k３．8４１6．6３５１0．8２8对照组葡萄产量的方差．（２）完成２×２列联表如下表所示：对照组实验组合计产量高7１２１9产量一般１３8２１合计２0２0４0所以χ２的观测值k＝错误!≈２．５06＜３．8４１．所以没有9５%的把握认为产量的提高与使用新技术有关．（３）记事件A为“这３株中恰好有２株来自实验组”，则P（A）＝错误!＝错误!.所以恰好有２株来自实验组的概率为错误!.离散型随机变量的分布列、均值和方差的应用离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习时应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心．【例２】（本题满分１２分）（２0１6·全国卷Ⅰ）某公司计划购买２台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个２00元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个５00元.１现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了１00台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图所示的错误!２以这１00台机器更换的易损零件数的频率代替１台机器更换的易损零件数发生的概率，错误!错误!３n表示购买２台机器的同时购买的易损零件数．（１）求X的分布列；（２）若要求错误!４确定n的最小值；（３）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝１9与n＝２0之中选其一，应选用哪个？[信息提取] 看到１这种条件，想到解题时可能要分类求解；看到２想到频数与频率间的关系，想到横轴中的取值含义；看到３想到X的所有可能取值；看到４想到X和n的含义，想到（１）中的分布列．[规范解答] （１）由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,１0,１１的概率分别为0．２,0．４,0．２,0．２．·１分由题意可知X的所有可能取值为１6,１7,１8,１9,２0,２１,２２．从而P（X＝１6）＝0．２×0．２＝0．0４；P（X＝１7）＝２×0．２×0．４＝0．１6；P（X＝１8）＝２×0．２×0．２＋0．４×0．４＝0．２４；P（X＝１9）＝２×0．２×0．２＋２×0．４×0．２＝0．２４；P（X＝２0）＝２×0．２×0．４＋0．２×0．２＝0．２；P（X＝２１）＝２×0．２×0．２＝0．08；P（X＝２２）＝0．２×0．２＝0．0４．·４分所以X的分布列为（２）由（１）知P（X≤１8）＝0．４４，P（X≤１9）＝0．68，故n的最小值为１9．·7分（３）记Y表示２台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．当n＝１9时，E（Y）＝１9×２00×0．68＋（１9×２00＋５00）×0．２＋（１9×２00＋２×５00）×0．08＋（１9×２00＋３×５00）×0．0４＝４0４0；·9分当n＝２0时，E（Y）＝２0×２00×0．88＋（２0×２00＋５00）×0．08＋（２0×２00＋２×５00）×0．0４＝４080．·１１分可知当n＝１9时所需费用的期望值小于当n＝２0时所需费用的期望值，故应选n＝１9．·１２分[易错与防范]易错点防范措施忽视X的实际含义导致取值错误，进而导致概率计算错误.细心审题，把握题干中的重要字眼，关键处加标记，同时理解X取每个值的含义.忽视P（X≤n）≥0．５的含义，导致不会求解.结合（１）中的分布列及n的含义，推理求解便可.忽视n＝１9与n＝２0的含义导致无法解题.本题中购买零件所需费用包含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.（１）明确随机变量可能取哪些值．（２）结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．（３）根据分布列和均值、方差公式求解．某校首届安琪杯教职工运动会上有一个扑克小游戏，游戏规则如下：甲、乙双方每局比赛均从５张扑克牌（３张红桃A,２张黑桃A）中轮流抽取１张，抽取到第２张黑桃A的人获胜，并结束该局比赛．每三局比赛为一轮．（１）若在第一局比赛中甲先抽牌，求甲获胜的概率；（２）若在一轮比赛中规定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比赛输的人下一局比赛先抽，每一局比赛先抽牌并获胜的人得１分，后抽牌并获胜的人得２分，未获胜的人得0分．求此轮比赛中甲得分X的概率分布列及其数学期望E（X）．[解] （１）设“在第一局比赛中甲先抽牌，甲获胜”为事件M，甲先抽牌，甲获胜等价于把这５张牌进行排序，第二张黑桃A排在３号位置或５号位置，共有２＋４＝6（种），而２张黑桃A的位置共有C错误!＝１0（种）．所以P（M）＝错误!＝错误!.（２）甲得分X的所有可能取值为0,１,２,３,５．由（１）知在一局比赛中，先抽牌并获胜（后抽牌并输）的概率为错误!，则后抽牌并获胜（先抽牌并输）的概率为错误!.当X＝0时，即三局甲都输，P（X＝0）＝错误!×错误!×错误!＝错误!；当X＝１时，即第一局甲胜，二、三局甲输或第二局甲胜，一、三局甲输或第三局甲胜，一、二局甲输，P（X＝１）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!；当X＝２时，即第一局甲胜，第二局甲输，第三局甲胜，P（X＝２）＝错误!×错误!×错误!＝错误!；当X＝３时，即第一局甲输，二、三两局甲都胜或者第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲输，P（X ＝３）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!＝错误!；当X＝５时，即三局甲都胜，P（X＝５）＝错误!×错误!×错误!＝错误!.所以此轮比赛中甲得分X的概率分布列为X0１２３５P错误!错误!错误!错误!错误!概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键．复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．【例３】（２0１４·全国卷Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取５00件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：（１）求这５00件产品质量指标值的样本平均数错误!和样本方差s２（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（２）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ２），其中μ近似为样本平均数错误!，σ２近似为样本方差s２.１利用该正态分布，求P（１87．8<Z<２１２．２）；２某用户从该企业购买了１00件这种产品，记X表示这１00件产品中质量指标值位于区间（１87．8,２１２．２）的产品件数，利用１的结果，求E（X）．附：错误!≈１２．２．若Z～N（μ，σ２），则P（μ—σ<Z<μ＋σ）＝0．68２6，P（μ—２σ<Z<μ＋２σ）＝0．9５４４．[解] （１）抽取产品的质量指标值的样本平均数错误!和样本方差s２分别为错误!＝１70×0．0２＋１80×0．09＋１90×0．２２＋２00×0．３３＋２１0×0．２４＋２２0×0．08＋２３0×0．0２＝２00，s２＝（—３0）２×0．0２＋（—２0）２×0．09＋（—１0）２×0．２２＋0×0．３３＋１0２×0．２４＋２0２×0．08＋３0２×0．0２＝１５0．（２）１由（１）知，Z～N（２00,１５0），从而P（１87．8＜Z＜２１２．２）＝P（２00—１２．２＜Z＜２00＋１２．２）＝0．68２6．２由１知，一件产品的质量指标值位于区间（１87．8,２１２．２）的概率为0．68２6，依题意知X～B（１00,0．68２6），所以E（X）＝１00×0．68２6＝68．２6．[律方规法] 统计与概率的综合应用（１）正态分布：若变量X服从正态分布N（μ，σ２），其中μ为样本的均值，正态分布曲线的对称轴为x＝μ；σ为样本数据的标准差，体现了数据的稳定性．（２）二项分布：若变量X～B（n，p），则X的期望E（X）＝np，方差D（X）＝np（１—p）．图．（１）根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；（２）假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N（μ，σ２），且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在8２场比赛中得分在２6分以上的平均场数．参考数据：错误!≈５．66，错误!≈５．68，错误!≈５．70．正态总体N（μ，σ２）在区间（μ—２σ，μ＋２σ）内取值的概率约为0．9５４．[解] （１）μ＝错误!（7＋8＋１0＋１５＋１7＋１9＋２１＋２３）＝１５，σ２＝错误![（—8）２＋（—7）２＋（—５）２＋0２＋２２＋４２＋6２＋8２]＝３２．２５．所以σ≈５．68．所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为１５，标准差σ为５．68．（２）由（１）得甲在每场比赛中得分在２6分以上的概率P（X≥２6）≈错误![１—P（μ—２σ＜X＜μ＋２σ）]≈错误!（１—0．9５４）＝0．0２３，设在8２场比赛中，甲得分在２6分以上的次数为Y，则Y～B（8２,0．0２３）．Y的均值E（Y）＝8２×0．0２３≈２．由此估计甲在8２场比赛中得分在２6分以上的平均场数约为２．[大题增分专训]１．某县响应中央的号召，积极开展了建设社会主义新农村的活动，实行以奖代补，并组织有关部门围绕新农村建设中的五个方面（新房舍、新设施、新环境、新农民、新风尚）对各个村进行综合评分，高分（大于等于88分）的村先给予５万元的基础奖励，然后比88分每高１分，奖励增加５千元，低分（小于等于7５分）的村给予通报，取消５万元的基础奖励，且比7５分每低１分，还要扣款１万元，并要求重新整改建设，分数在（7５,88）之间的只享受５万元的基础奖励，下表是甲、乙两个乡镇各１0个村的得分数据（单位：分）：甲：6２,7４,86,68,97,7５,88,98,76,99；乙：7１,8１,7２,86,9１,77,8５,78,8３,8４．（１）根据上述数据完成以下茎叶图，并通过茎叶图比较两个乡镇各１0个村的得分的平均值及分散程度（不要求计算具体的数值，只给出结论即可）；（２）为继续做好社会主义新农村的建设工作，某部门决定在这两个乡镇中各任意抽取一个进行工作总结，求抽取的２个村中至少有一个得分是低分的概率；（３）从获取奖励的角度看，甲、乙两个乡镇哪个获取的奖励多？[解] （１）茎叶图：通过茎叶图可以看出，甲乡镇１0个村的平均得分比乙乡镇１0个村的平均得分高，甲乡镇１0个村的得分比较分散，乙乡镇１0个村的得分比较集中．（２）由茎叶图可知甲乡镇１0个村中低分的有４个，乙乡镇１0个村中低分的有２个，所以从甲乡镇１0个村中随机抽取１个，得分是低分的概率为错误!＝错误!，从乙乡镇１0个村中随机抽取１个，得分是低分的概率为错误!＝错误!，故抽取的２个村中至少有一个得分是低分的概率为错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.（３）由茎叶图可知甲乡镇１0个村中，高分（大于等于88分）有４个，分别是88分、97分、98分、99分，奖励分共9＋１0＋１１＝３0分，低分（小于等于7５分）有４个，分别是7５分、7４分、68分、6２分，扣款分共１＋7十１３＝２１分，分数在（7５,88）之间的有２个，故甲乡镇所获奖励为6×５＋３0×0．５—２１×１＝３0＋１５—２１＝２４万元．由茎叶图可知乙乡镇１0个村中，高分（大于等于88分）有１个，为9１分，奖励分共３分，低分（小于等于7５分）有２个，分别是7１分、7２分，扣款分共４＋３＝7分，分数在（7５,88）之间的有7个，故乙乡镇所获奖励为8×５＋３×0．５—7×１＝４0＋１．５—7＝３４．５万元．故从获取奖励的角度看，乙乡镇获取的奖励多．２．（２0１8·太原二模）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[１00,１２0）内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲、乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了５0件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测．甲套设备的样本频数分布表和乙套设备的样本频率分布直方图如下所示．甲套设备的样本频数分布表质量指标值[9５,１00）[１00,１0５）[１0５,１１0）[１１0,１１５）[１１５,１２0）[１２0,１２５]频数１４１9２0５１（１）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（３）将频率视为概率，若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取３件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的数学期望E（X）．附：P（χ２≥k0）0．１５0．１00．0５0．0２５0．0１k0２．07２２．706３．8４１５．0２４6．6３５２[解] （１）根据题中数据填写列联表如下：甲套设备乙套设备合计合格品４8４３9１不合格品２79合计５0５0１00２∵３．0５３＞２．706，∴有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．（２）根据题中数据可知，甲套设备生产的合格品的概率约为错误!，乙套设备生产的合格品的概率约为错误!，并且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[１0５,１１５）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备的相比，较为分散．因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备．（３）由题知，X～B错误!，∴E（X）＝３×错误!＝错误!.３．（２0１8·石家庄二模）随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站１～8月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据．0．0１）；（２）已知6月份该购物网站为庆祝成立１周年，特制定奖励制度：以z（单位：件）表示日销量，z∈[１800,２000），则每位员工每日奖励１00元；z∈[２000,２１00），则每位员工每日奖励１５0元；z∈[２１00，＋∞），则每位员工每日奖励２00元．现已知该网站6月份日销量z服从正态分布N （２000,１0 000），请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元．（当月奖励金额总数精确到百分位）参考数据：错误!x i y i＝３３8．５，错误!x错误!＝１３08，其中x i，y i分别为第i个月的促销费用和产品销量，i＝１,２,３， (8)参考公式：１对于一组数据（x１，y１），（x２，y２），…，（x n，y n），其回归方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝错误!，a＝错误!—b错误!.２若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ２），则P（μ—σ，μ＋σ）＝0．68２7，P（μ—２σ，μ＋２σ）＝0．9５４５．[解] （１）由题可得错误!＝１１，错误!＝３，将数据代入得b＝错误!＝错误!＝错误!≈0．２１9，a＝错误!—b错误!≈３—0．２１9×１１≈0．５9，所以y关于x的回归方程y＝0．２２x＋0．５9．（２）由题知该网站6月份日销量z服从正态分布N（２000,１0 000），则日销量在[１800,２000）上的概率为错误!＝0．４77 ２５，日销量在[２000,２１00）上的概率为错误!＝0．３４１３５，日销量在[２１00，＋∞）上的概率为错误!＝0．１５8 6５，所以某位员工当月奖励金额的总数为（１00×0．４77 ２５＋１５0×0．３４１３５＋２00×0．１５8 6５）×３0＝３9１9．7２５≈３9１9．7３（元）．。

解答题专项六 概率与统计中的综合问题解答题专项练《素养分级练》P3961.(2022·河北张家口三模)港珠澳大桥桥隧全长55千米,桥面为双向六车道高速公路,设计速度为100千米/小时,限制速度为90~120千米/小时,通车后由桥上监控显示每辆车行车和通关时间的频率分布直方图如图所示:(1)估计车辆通过港珠澳大桥的平均时间t (单位:分钟)(精确到0.1);(2)以(1)中的平均时间t 作为μ,车辆通过港珠澳大桥的时间X 近似服从正态分布N (μ,36),任意取通过大桥的1 000辆汽车,求所用时间少于39.5分钟的车辆大致数目(精确到整数).附:若X~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X ≤μ+σ)≈0.682 6,P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)≈0.954 4.解:(1)由频率分布直方图可得t =32.5×0.015+37.5×0.18+42.5×0.27+47.5×0.3+52.5×0.2+57.5×0.035≈45.5(分钟). (2)由题知X~N (45.5,36),所以P (X<39.5)=P (X<μ-σ)=12[1-P (μ-σ<X ≤μ+σ)]=0.158 7,所以1 000×0.158 7≈159,故所用时间少于39.5分钟的车辆大致数目为159.2.一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成,若笔试和抢答满分均为100分,其中5名选手的成绩如下表所示:对于这5名选手,根据表中的数据,试解答下列两个小题:(1)求y 关于x 的线性回归方程;(2)现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动,以ξ表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数,求随机变量ξ的分布列及数学期望E (ξ). 附:b ^=∑i=1n(x i -x )(y i -y )∑i=1n(x i -x )2,a ^=y −b ^x .解:(1)x =87+90+91+92+955=91, y =86+89+89+92+945=90,∑i=15(x i -x )2=(-4)2+(-1)2+02+12+42=34,∑i=15(x i -x )(y i -y )=(-4)×(-4)+(-1)×(-1)+0×(-1)+1×2+4×4=35,所以b ^=3534,a ^=y −b ^x =90-3534×91=-12534,故线性回归方程为y ^=3534x-12534. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2.因为笔试成绩在90分或90分以上的选手有S 2,S 3,S 4,S 5,共4人,他们笔试和抢答的成绩平均分分别为89.5,90,92,94.5,平均分高于90分的有2人,所以P (ξ=0)=C 22C 42=16;P (ξ=1)=C 21C 21C 42=23;P (ξ=2)=C 22C 42=16,故ξ的分布列为所以E (ξ)=0×16+1×23+2×16=1. 3.(2023·湖北襄阳高三检测)为落实教育部的双减政策,义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱,该校期末将进行篮球定点投篮测试,规则为:每人至多投3次,先在M 处投一次三分球,投进得3分,未投进不得分,以后均在N 处投两分球,每投进一次得2分,未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试,并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试,进行了五轮投篮训练,每人每轮在M 处和N 处各投10次,根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表:甲乙若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.(1)已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当,求这300名学生通过测试人数的数学期望; (2)在甲、乙两位同学均通过测试的条件下,求甲得分比乙得分高的概率. 解:(1)甲同学两分球投篮命中的概率为510+410+310+610+7105=0.5,甲同学三分球投篮命中的概率为110+0+110+210+1105=0.1,设甲同学累计得分为X ,则P (X=4)=0.9×0.5×0.5=0.225,P (X=5)=0.1×0.5+0.1×0.5×0.5=0.075,则P (X ≥4)=P (X=4)+P (X=5)=0.3,所以甲同学通过测试的概率为0.3.设这300名学生通过测试的人数为Y ,由题设Y~B (300,0.3),所以E (Y )=300×0.3=90. (2)乙同学两分球投篮命中率为210+410+310+510+6105=0.4,乙同学三分球投篮命中率为110+210+310+110+3105=0.2.设乙同学累计得分为Y ,则P (Y=4)=0.8×0.4×0.4=0.128,P (Y=5)=0.2×0.4+0.2×0.6×0.4=0.128. 设“甲得分比乙得分高”为事件A ,“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B ,则P (AB )=P (X=5)·P (Y=4)=0.075×0.128=0.009 6,P (B )=[P (X=4)+P (X=5)]·[P (Y=4)+P (Y=5)]=0.076 8,由条件概率公式可得P (A|B )=P (AB )P (B )=0.009 60.076 8=18.4.(2022·山东潍坊三模)盲盒,是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子,具有随机性.因其独有的新鲜性、刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱.已知M 系列盲盒共有12个款式,一批盲盒中,每个盲盒随机装有一个款式,甲同学已经买到3个不同款,乙、丙同学分别已经买到m 个不同款,已知三个同学各自新购买一个盲盒,且相互之间无影响,他们同时买到各自的不同款的概率为13. (1)求m ;(2)设X 表示三个同学中各买到自己不同款的总人数,求X 的分布列和数学期望. 解:(1)由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为912×12-m12×12-m 12=13,解得m=20或4,因为0<m ≤12,所以m=4.(2)由题意知X 的所有可能取值为0,1,2,3, P (X=0)=312×412×412=136;P (X=1)=912×412×412+312×812×412×2=736; P (X=2)=912×812×412×2+312×812×812=49; P (X=3)=13. 其分布列为所以数学期望E (X )=0×136+1×736+2×49+3×13=2512. 5.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:(1)是否可以认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件“选到的人患有该疾病”,P (B |A )|A )P (B |A )的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.(ⅰ)证明:R=P (A |B )(A |B )P (A |B );(ⅱ)利用该调查数据,给出P (A|B ),P (A|B )的估计值,并利用(ⅰ)的结果给出R 的估计值. 附:χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ).解: (1)由题意可知,n=200,所以χ2=n (ad -b c )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )=200×(40×90-10×60)2100×100×50×150=24>6.635,所以我们有99%的把握可以推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(ⅰ)证明:R=P (B |A )P (B |A )P (B |A )P (B |A )=P (B |A )·(B |A )P (B |A )=P (AB )P (A )P (AB )P (A )·P (AB )P (A )P (AB )P (A )=(A B )P (AB )·P (AB )=P (AB )P (B )P (AB )P (B )(A B )P (B )P (AB )P (B )=P (A |B )·(A |B )P (A |B ).(ⅱ)P (A|B )=P (AB )P (B )=n (AB )n (B )=40100=0.4,P (A|B )=AB )P (B )=AB )n (B )=10100=0.1, 同理P (A|B )=(AB )P (B )=(AB )n (B )=90100=0.9,P (A |B )=P (AB )P (B )=n (AB )n (B )=60100=0.6,所以R=P (A |B )·(A |B )P (A |B )=0.4×0.90.6×0.1=6. 所以指标R 的估计值为6.6.(2022·江西鹰潭二模)为迎接北京冬季奥运会,某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生成绩作为样本进行统计,测试满分为100分,统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[40,100]内,并制成如下所示的频率分布直方图.(1)估计这200名学生的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值为代表);(2)在这200名学生中用分层随机抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组中抽取了10人,再从这10人中随机抽取3人,记X 为3人中成绩在[80,90)的人数,求X 的分布列和数学期望;(3)规定成绩在[90,100]的为A 等级,成绩在[70,90)的为B 等级,其他为C 等级.以样本估计总体,用频率代替概率,从所有参加测试的同学中随机抽取10人,其中获得B 等级的人数恰为k (k ≤10)人的概率为P ,当k 为何值时P 的值最大? 解:(1)这200名学生的平均成绩为(45×0.005+55×0.02+65×0.025+75×0.03+85×0.015+95×0.005)×10=69.5(分). (2)由[70,80),[80,90),[90,100]的三组频率之比为0.3∶0.15∶0.05=6∶3∶1,从[70,80),[80,90),[90,100]中分别抽取6人,3人,1人,X 所有可能取值为0,1,2,3,则P (X=0)=C 73C 103=724,P (X=1)=C 72C 31C 103=2140,P (X=2)=C 71C 32C 103=740,P (X=3)=C 33C 103=1120. 故X 的分布列为X123P7242140 740 1120故E (X )=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910. (3)依题意,B 等级的概率为(0.03+0.015)×10=0.45,且k~B (10,0.45),所以P (k )=C 10k 0.45k (1-0.45)10-k,而{P (k )≥P (k -1),P (k )≥P (k +1),则{C 10k 0.45k (1-0.45)10-k ≥C 10k -10.45k -1(1-0.45)10-k+1,C 10k 0.45k (1-0.45)10-k ≥C 10k+10.45k+1(1-0.45)10-k -1,即{10-k+1k×0.45≥0.55,0.55≥0.45×10-(k+1)+1k+1,解得7920≤k ≤9920, 因为k ∈N *,所以k=4.。

热点探究课(六) 概率与统计中的高考热点题型[命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，留意考查同学的应用意识及阅读理解力量、分类争辩与化归转化力量.2.概率问题的核心是概率计算，其中大事的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列与组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析的考查.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中低档类题目，特殊是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．热点1统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估量、推断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等学问交汇考查，考查同学的数据处理力量．近几年消灭各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解“三高”疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：患“三高”疾病不患“三高”疾病总计男630女总计36其中女性抽多少人？(2)为了争辩“三高”疾病是否与性别有关，请计算出统计量χ2的值，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“三高”疾病与性别有关．下面的临界值表供参考：P(χ2≥x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式χ2＝n(a d－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)【导学号：57962479】[解](1)完善补充列联表如下：患“三高”疾病不患“三高”疾病总计男24630女121830总计3624604分在患“三高”疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝14，所以女性应当抽取12×14＝3(人). 6分(2)依据2×2列联表，则χ2的值χ2＝60×(24×18－6×12)230×30×36×24＝10＞7.879. 10分所以在允许犯错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患“三高”疾病与性别有关.12分[规律方法] 1.将抽样方法与独立性检验交汇，背景新颖，求解的关键是抓住统计图表特征，完善样本数据．2．(1)本题常见的错误是对独立性检验思想理解不深刻，作出无关错误判定．(2)进行独立性检验时，提出的假设是两者无关．[对点训练1]柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的生疏，对于雾霾天气的争辩也渐渐活跃起来，某争辩机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据：x 4578y2 3 5 6(1)请画出上表数据的散点图；(2)请依据上表供应的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (3)试依据(2)求出的线性回归方程，猜测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数． ⎝ ⎛⎭⎪⎫相关公式：b ＝∑ni ＝1x i y i－n x －y －∑n i ＝1x 2i－n x －2，a ＝y －b x －[解] (1)散点图如图所示．4分(2)∑4i ＝1x i y i ＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106， x ＝4＋5＋7＋84＝6，y ＝2＋3＋5＋64＝4，∑4i ＝1x 2i＝42＋52＋72＋82＝154，6分则b ＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －∑4i ＝1x 2i －4x －2＝106－4×6×4154－4×62＝1，a ＝y －b x －＝4－6＝－2， 故线性回归方程为y ＝bx ＋a ＝x －2.8分(3)由回归直线方程可以猜测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.12分热点2 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立大事与互斥大事的概率是高考的热点，几何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立大事，互斥大事常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，精确 判定概率模型，恰当选择概率公式．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放状况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾202060(2)试估量生活垃圾投放错误的概率． [解] (1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为大事A ，则大事A 表示生活垃圾投放正确．大事A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－ 0.7＝0.3. [规律方法] 1.本题求解的关键是从图表中提炼数据信息，理解第(1)，第(2)问的含义．2．第(2)问可直接求解，也可间接求解，即求垃圾投放正确的概率，然后通过1－P (A )求解．[对点训练2] 现有4个人去参与某消遣活动，该活动有甲、乙两个玩耍可供参与者选择．为增加趣味性，商定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子打算自己去参与哪个玩耍，掷出点数为1或2的人去参与甲玩耍，掷出点数大于2的人去参与乙玩耍．(1)求这4个人中恰有2人去参与甲玩耍的概率；(2)求这4个人中去参与甲玩耍的人数大于去参与乙玩耍的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参与甲、乙玩耍的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．[解] 依题意，这4个人中，每个人去参与甲玩耍的概率为13，去参与乙玩耍的概率为23. 2分设“这4个人中恰有i 人去参与甲玩耍”为大事A i (i ＝0,1,2,3,4)．则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i 4分(1)这4个人中恰有2人去参与甲玩耍的概率P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. 6分(2)设“这4个人中去参与甲玩耍的人数大于去参与乙玩耍的人数”为大事B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，7分所以P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4) ＝C 34⎝⎛⎭⎪⎫133·23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.8分(3)依题设，ξ的全部可能取值为0,2,4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥． 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781. 10分所以ξ的分布列是ξ 0 2 4 P8274081178112分热点3 离散型随机变量的均值与方差(答题模板)离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习中应强化应用题的理解与把握，弄清随机变量的全部取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，精确 计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性训练．(本小题满分12分)(2021·河北名校联考)甲、乙两人进行围棋竞赛，商定先连胜两局者直接赢得竞赛，若赛完5局仍未消灭连胜，则判定获胜局数多者赢得竞赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局竞赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得竞赛的概率；(2)记X 为竞赛决出胜败时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).【导学号：57962480】[规范解答] 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得竞赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.2分(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. 4分 (2)X 的可能取值为2,3,4,5， 5分P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59， 7分P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29， 8分P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝ P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1081， 10分P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P5929108188111分 EX ＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.12分[答题模板] 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤： 第一步：确定随机变量的全部可能值． 其次步：求第一个可能值所对应的概率． 第三步：列出离散型随机变量的分布列． 第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．[温馨提示] 1.(1)求解的关键在于理解“甲在4局以内”赢得竞赛的含义，进而将大事转化为“三个互斥大事”的概率和．(2)第(2)问中利用对立大事求P (X ＝5)的概率． 2．步骤要规范，擅进步行文字符号转化．如第(1)问，引进字母表示大事，或用文字叙述正确，得2分；把大事拆分成A ＝A 1A 2＋B 1A 2A 3＋A 1B 2A 3A 4，就得2分，计算概率值正确，得1分．第(2)问求出X 的四个值的概率，每对一个得1分，列出随机变量X 的分布列得1分．3．解题过程中计算精确 ，是得满分的根本保证．如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四个概率的和是否为1，若和不为1，就有概率值消灭错误了，不得分．[对点训练3] 某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满足度．现从调查人群中随机抽取16名，如图1茎叶图记录了他们的治安满足度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．图1(1)若治安满足度不低于9.5分，则称该人的治安满足度为“极平安”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极平安”的概率；(2)以这16人的样本数据来估量整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)中任选3人，记X 表示抽到“极平安”的人数，求X 的分布列、均值与方差．[解] (1)设A i 表示所取3人中有i 个人是“极平安”，且i ＝0,1,2,3.至多有1人是“极平安”记为大事A ，则A ＝A 0＋A 1，2分 所以P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 212C 14C 316＝121140.4分(2)由茎叶图可知，16人中任取1人是“极平安”的概率 P ＝416＝14，依题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14， 则P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3. 6分所以P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×⎝⎛⎭⎪⎫342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164. 8分X 的分布列为X 0 1 2 3 P2764276496416410分EX ＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34. 或EX ＝np ＝34.D X ＝np (1－p )＝3×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝916.12分热点4 概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确生疏和使用这些图表是解决问题的关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上把握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．(2021·济南调研)2022年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满足度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满足度评分 低于 60分 60分 到79分 80分 到89分 不低 于90分 满足度等级不满足基本满足满足格外满足已知满足度等级为基本满足的有680人．(1)若市民的满足度评分相互独立，以满足度样本估量全市市民满足度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人格外满足的概率；(2)在等级为不满足市民中，老年人占13.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满足的缘由，并从中选取3人担当整改督导员，记X 为老年督导员的人数，求X 的分布列及数学期望EX ；(3)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满足指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，依据你所学的统计学问，推断该项目能否通过验收，并说明理由.⎝ ⎛⎭⎪⎫注：满足指数＝满足程度的平均分100图2[解] (1)由频率分布直方图可知则10×(0.035＋a ＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a ＝0.025， 所以市民格外满足的概率为0.025×10＝14. 2分又市民的满足度评分相互独立，故所求大事的概率P ＝1－C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫140⎝ ⎛⎭⎪⎫344－C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝1－189256＝67256. 4分(2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×13＝5人， 从15人中选取3名整改督导员的全部可能状况为C 315， 由题知X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 310C 315＝2491，P (X ＝1)＝C 15C 210C 315＝4591，P (X ＝2)＝C 25C 110C 315＝2091，P (X ＝3)＝C 35C 315＝291，6分X分布列为所以EX＝0×2491＋1×4591＋2×2091＋3×291＝1. 8分(3)由频率分布直方图，得(45×0.002＋55×0.004＋65×0.014＋75×0.02＋85×0.035＋95×0.025)×10＝80.7，所以估量市民满足度程度的平均得分为80.7.因此市民满足度指数为80.7100＝0.807＞0.8，所以该项目能够通过验收. 12分[规律方法] 1.本题将频率分布直方图结合古典概型与均值，立意新颖、构思奇妙．考查同学的识图力量和数据处理力量．2．求解时留意两点：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率；(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本大事的构成，活用公式，本题X听从超几何分布，利用其概率公式代入计算．[对点训练4]某市训练局为了了解高三同学体育达标状况，对全市高三同学进行了体能测试，经分析，全市同学体能测试成果X听从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三同学中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成果在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成果在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．[解](1)由X～N(80，σ2)，知P(x≤80)＝12. 2分又P(x＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，则P(80≤x＜85)＝P(75≤x≤80)＝P(x≤80)－P(x＜75)＝0.2. 3分P(85≤x＜95)＝P(x＞85)－P(x≥95)＝P(x＜75)－P(x≥95)＝0.2. 4分故所求大事的概率P＝0.2×0.2×0.1·A33＝0.024. 5分(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，所以ξ听从二项分布B(3,0.4)，6分P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝C13×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝C23×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，8分所以随机变量ξ的分布列为Eξ＝3×0.4＝1.2. 12分。

概率与统计高考大题专项(六)概率与统计考情分析一、考查范围全面概率与统计解答题对知识点的考查较为全面,近五年的试题考点覆盖了概率与统计必修与选修的各个章节内容,考查了抽样方法、统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体、回归分析、相关系数的计算、独立性检验、古典概型、条件概率、相互独立事件的概率、独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差、超几何分布、二项分布、正态分布等基础知识和基本方法.二、考查方向分散从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列等知识交汇考查;三是期望与方差的综合应用,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查;四是以生活中的实际问题为背景将正态分布与随机变量的期望和方差相结合综合考查.三、考查难度稳定高考对概率与统计解答题的考查难度稳定,多年来都控制在中等或中等偏上一点的程度,解答题一般位于试卷的第18题或第19题的位置.近两年有难度提升的趋势,位置有所后调.典例剖析题型一相关关系的判断及回归分析【例1】近年来,随着互联网技术的快速发展,共享经济覆盖的范围迅速扩张,继共享单车、共享汽车之后,共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天.得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图.x50100150200300400t906545302020(1)若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数,求ξ的概率分布列.(2)令z=ln x ,由散点图判断y=bx+a 与y=bz+a 哪个更合适于此模型(给出判断即可,不必说明理由)?并根据你的判断结果求回归方程.(b 的结果保留一位小数)(3)若一年按365天计算,试估计收费标准为多少时,年销售额L 最大?(年销售额L=365·入住率·收费标准x )参考数据:b=∑i=1nx i y i -n。

高考大题专项(六) 概率与统计1.(2020北京,18)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:方案男生女生支持不支持支持不支持一200人400人300人100人二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;(3)将该校学生支持方案的概率估计值记为p0,假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1,试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)2.(2020全国3,理18)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):空气质量等级锻炼人次[0,200] (200,400] (400,600]1(优) 216 252(良) 510 123(轻度污染)6 7 84(中度污染)7 2 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,依据α=0.05的独立性检验,能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关联?空气质量情况人次≤400人次>400好不好附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),α 0.050 0.010 0.001xα3.841 6.635 10.828 .3.“学习强国”APP是由中宣部主管,以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台,2019年1月1日上线后便成为党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况,研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查,将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表所示:分[60,70) [70,80) [80,90) [90,100)数频60 100 20 20数频0.3 0.5 0.1 0.1率(1)由频率分布表可以认为,这200名党员这两天在“学习强国”APP上的得分Z近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为这200名党员得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),σ2近似为这200名党员得分的方差,求P(57.4≤Z≤83.8);(2)以频率估计概率,若从该地区所有党员中随机抽取4人,记抽得这两天在“学习强国”APP上的得分不低于80分的人数为X,求X的分布列与数学期望.参考数据:√5≈2.2,√6≈2.4,√7≈2.6,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.4.微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号,很多手机用户加入微信运动后,为了让自己的步数能领先于朋友,运动的积极性明显增强.微信运动公众号为了解用户的一些情况,在微信运动用户中随机抽取了100名用户,统计了他们某一天的步数,数据整理如下:x/万步0≤x≤0.40.4<x≤0.80.8<x≤1.21.2<x≤1.61.6<x≤2.02.0<x≤2.42.4<x≤2.8y/人5 20 50 18 3 3 1(1)根据表中数据,在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图,并在纵轴上标明各小长方形的高;(2)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取3人,求至少2人步数多于1.2万步的概率;(3)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取2人,其中每日走路不超过0.8万步的有X人,超过1.2万步的有Y人,设ξ=|X-Y|,求ξ的分布列及数学期望.5.某市举办了一次“诗词大赛”,分预赛和复赛两个环节,已知共有20 000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本,得到如下的统计数据.得分[0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100](百分制)人10 20 30 25 15数(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,求恰有1人预赛成绩优良的概率.(2)由样本数据分析可知,该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且σ2=361.利用该正态分布,估计该市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于72分的人数.(3)预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛,复赛规则如下:①参加复赛的学生的初始分都设置为100分;②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量n,每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格(即用分数来买答题资格),规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2,…,n);③每答对一题得2分,答错得0分;④答完n道题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.75,且每道题答对与否都相互独立,则当他的答题数量n为多少时,他的复赛成绩的期望值最大?参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997.6.棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子位于第n 站的概率为P n .(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋手所走步数之和X 的分布列与数学期望; (2)证明:P n+1-P n =-12(P n -P n-1)(1≤n ≤98);(3)求P 99,P 100的值.参考答案高考大题专项(六) 概率与统计1.解(1)该校男生支持方案一的概率为200200+400=13,该校女生支持方案一的概率为300300+100=34.(2)3人中恰有2人支持方案一分两种情况,①仅有两个男生支持方案一,②仅有一个男生支持方案一,一个女生支持方案一,所以3人中恰有2人支持方案一概率为:(13)2(1-34)+C 21(13)(1-13)34=1336.(3)p 1<p 0.2.解(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:空气质量1 234等级概率的估计值0.43 0.27 0.21 0.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1100(100×20+300×35+500×45)=350.(3)根据所给数据,可得2×2列联表:空气质量情况 人次≤400 人次>400 好 33 37 不好228根据列联表得χ2=100×(33×8-22×37)255×45×70×30≈5.820>3.841.所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.3.解(1)由题意得:μ=65×0.3+75×0.5+85×0.1+95×0.1=75,σ2=(65-75)2×0.3+(75-75)2×0.5+(85-75)2×0.1+(95-75)2×0.1=30+10+40=80,∵σ=√80=4√5≈8.8,∴P (57.4≤Z ≤83.8)=P (μ-2σ≤Z ≤μ+σ)≈0.683+0.9542=0.8185.(2)从该地区所有党员中随机抽取1人,抽得的人得分不低于80分的概率为40200=15.由题意得,X 的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B 4,15,∴P (X=0)=C 40(45)4=256625; P (X=1)=C 41×15×(45)3=256625; P (X=2)=C 42×(15)2×(45)2=96625;P (X=3)=C 43×(15)3×45=16625; P (X=4)=C 44×(15)4=1625, 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P 256625 256625 96625 16625 1625所以E (X )=4×15=45.4.解(1)根据题意,补充下表,x/ 万步 0≤x ≤0.4 0.4<x ≤0.8 0.8<x ≤1.2 1.2<x ≤1.6 1.6<x ≤2.0 2.0<x ≤2.4 2.4<x ≤2.8 y/人 5205018331频率 0.05 0.20 0.50 0.18 0.03 0.03 0.01 频率组距0.1250.5 1.25 0.45 0.075 0.075 0.025根据表中数据,作出频率分布直方图如下:(2)由题意知,步数多于1.2万步的频率为0.25,所以认定步数多于1.2万步的概率为0.25,所以至少有2人多于1.2万步的概率为P=C 32×142×34+C 33×143=532,综上所述,至少2人步数多于1.2万步的概率为532.(3)由题知微信好友中任选一人,其每日走路步数不超过0.8万步的概率为14,超过1.2万步的概率为14,且当X=Y=0或X=Y=1时,ξ=0,P (ξ=0)=12×12+C 21×14×14=38,当X=1,Y=0或X=0,Y=1时,ξ=1,P (ξ=1)=C 21×14×12+C 21×14×12=12,当X=2,Y=0或X=0,Y=2时,ξ=2,P (ξ=2)=14×14+14×14=18,所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P 38 12 18E (ξ)=1×12+2×18=34.5.解(1)由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有40人,其中成绩优良的人数为15人,记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,恰有1人预赛成绩优良”为事件A ,则P (A )=C 251C 151C 402=2552.(2)由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为。

单元质检卷六数列(A)(时间:60分钟满分:76分)一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020某某某某联考)在等差数列{a n}中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5=()A.60B.56C.12D.42.在等比数列{a n}中,若a4·a5·a6=8,且a5与2a6的等差中项为2,则公比q=()A.2B.12C.-2D.-123.(2020某某广雅中学模拟)在数列{a n}中,已知a1=2,a n+1=a n3a n+1(n∈N*),则a n的表达式为()A.a n=24n-3B.a n=26n-5C.a n=24n+3D.a n=22n-14.已知数列{a n}为等比数列,首项a1=2,数列{b n}满足b n=log2a n,且b2+b3+b4=9,则a5=()A.8B.16C.32D.645.(2020某某某某二模,文9,理9)孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法,是数论中一个重要定理,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》,1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲,1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.这个定理讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将2至2 021这2 020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列,则此数列的项数是()A.132B.133C.134D.1356.在各项不为零的等差数列{a n}中,2a2 017-a20182+2a2 019=0,数列{b n}是等比数列,且b2 018=a2 018,则log2(b2 017·b2 019)的值为()A.1B.2C.4D.8二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.7.(2021某某某某模拟,理13)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若5a2=S5+5,则数列{a n}的公差为.8.(2020某某某某三模,文15)已知数列{a n}是公比为3的等比数列,其前n项和S n满足2S n=ma n+4,则a1=.三、解答题:本题共3小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(12分)(2019全国2,文18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n.求数列{b n}的前n项和.10.(12分)等差数列{a n}的前n项和为S n,a5=21,S5=2a6+3.(1)求数列{a n}的通项公式;,数列{b n·b n+1}的前n项和为T n,求T n.(2)记b n=nS n11.(12分)(2020某某实验中学4月模拟,17)已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x+6=0的实数根.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{an2n }的前n 项和.参考答案单元质检卷六 数列(A )1.A 因为在等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,所以2a 5=a 2+a 8=8,解得a 5=4,所以(a 3+a 7)2-a 5=(2a 5)2-a 5=64-4=60.2.B 根据题意,在等比数列{a n }中,若a 4·a 5·a 6=8,则(a 5)3=8,解得a 5=2,又a 5与2a 6的等差中项为2,则a 5+2a 6=4,解得a 6=1,则q=a 6a 5=12.故选B .3.B 由a n+1=a n3a n +1(n ∈N *),得1a n+1=3+1a n,则数列{1a n}是首项为12,公差为3的等差数列,所以1a n=12+3(n-1)=6n -52,即a n =26n -5(n ∈N *).4.C 设等比数列{a n }的公比为q ,已知首项a 1=2,所以a n =2q n-1,所以b n =log 2a n =1+(n-1)log 2q ,所以数列{b n }是等差数列.因为b 2+b 3+b 4=9,所以3b 3=9,解得b 3=3,所以a 3=23=2×q 2,解得q 2=4,所以a 5=2×24=32.故选C .5.D 设所求数列为{a n },该数列为11,26,41,56,…,所以,数列{a n }为等差数列,设公差为d ,且首项为a 1=11,公差d=26-11=15,所以a n =a 1+(n-1)d=11+15(n-1)=15n-4,解不等式2≤a n ≤2021,即2≤15n-4≤2021,解得25≤n ≤135.故选D.6.C 由题意a 2017+a 2019=2a 2018,2a 2017-a 20182+2a 2019=4a 2018-a 20182=0,由a n ≠0,所以a 2018=4,由{b n }是等比数列,得b 2017·b 2019=a 20182=16,所以log 2(b 2017·b 2019)=log 216=4,故选C .7.-1设等差数列{a n }的公差为d.∵5a 2=S 5+5,∴5(a 1+d )=5a 1+10d+5,∴d=-1.8.-4由已知2S n =ma n +4,可得2S n+1=ma n+1+4,两式相减,得2a n+1=ma n+1-ma n ,即a n+1=mm -2a n ,所以mm -2=3,解得m=3,又因为2S 1=3a 1+4,所以a 1=-4.9.解(1)设{a n }的公比为q ,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 10.解(1)设等差数列{a n }的公差为d.则{a 1+4d =21,5a 1+5×42d =2(a 1+5d)+3,解得{a 1=1,d =5,所以a n =5n-4. (2)由(1)可得S n =(5n -3)n2,所以b n =nS n=25n -3,b n+1=n+1Sn+1=25n+2,则b n ·b n+1=4(5n -3)(5n+2)=4515n -3−15n+2, 所以T n =4512−17+17−112+…+15n -3−15n+2=4512−15n+2=2n5n+2.11.解(1)方程x 2-5x+6=0的两实数根为2,3.由题意,得a 2=2,a 4=3.设数列{a n }的公差为d ,则a 4-a 2=2d ,故d=12,所以a 1=32.所以{a n }的通项公式为a n =12n+1.(2)设{a n 2n }的前n 项和为S n ,由(1)知a n2n =n+22n+1,则S n =322+423+…+n+12n +n+22n+1,12S n =323+424+…+n+12n+1+n+22n+2,两式相减,得12S n =34+123+…+12n+1-n+22n+2=34+141-12n -1-n+22n+2,所以S n =2-n+42n+1.。

高考大题专项(六) 概率与统计1.某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件,尺寸在[223,228]内(单位:mm)的零件为一等品,其余为二等品.在两种工艺生产的零件中,各随机抽取10个,其尺寸的茎叶图如图所示.(1)分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数;(2)已知甲工艺每天可生产300个零件,乙工艺每天可生产280个零件,一等品利润为30元/个,二等品利润为20元/个.视频率为概率,试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高?2.从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值.经数据处理后得到该样本的频率分布直方图,其中质量指标值不大于1.50的茎叶图如图所示,以这100件产品的质量指标值在各区间内的频率代替相应区间的概率.(1)求图中a,b,c的值;(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(说明:①同一组中的数据用该组区间的中点值作代表;②方差的计算只需列式正确);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90%”的规定?3.为响应阳光体育运动的号召,某县中学生足球活动正如火如荼地开展,该县为了解本县中学生的足球运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全县24 000名中学生(其中男生14 000人,女生10 000人)中抽取120名,统计他们平均每天足球运动的时间,如下表:(平均每天足球运动的时间单位为小时,该县中学生平均每天足球运动的时间X围是[0,3])男生平均每天足球运动的时间分布情况::女生平均每天足球运动的时间分布情况(1)请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间(结果精确到0.1);(2)若称平均每天足球运动的时间不少于2小时的学生为“足球健将”.低于2小时的学生为“非足球健将”.①请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表,并通过计算判断,能否有90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关?②若在足球活动时间不足1小时的男生中抽取2名代表了解情况,求这2名代表都是足球运动时间不足半小时的概率.,其中n=a+b+c+d.参考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)4.2018年8月8日是我国第十个全民健身日,其主题是:新时代全民健身动起来.某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;(2)①若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;②已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2 000,若18岁以上(含18岁)为成年人,试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.5.在国际风帆比赛中,成绩以低分为优胜,比赛共11场,并以最佳的9场成绩计算最终的名次.在一次国际风帆比赛中,前7场比赛结束后,排名前8位的选手积分如下表:(1)根据表中的比赛数据,比较A与B的成绩及稳定情况;(2)从前7场平均分低于6.5的运动员中,随机抽取2个运动员进行兴奋剂检查,求至少1个运动员平均分不低于5分的概率;(3)请依据前7场比赛的数据,预测冠亚军选手,并说明理由.6.某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位:件)进行了统计,制成频率分布直方图如下:(1)若将上述频率视为概率,已知该服装店过去100天的销售中,实体店和网店销售量都不低于50件的概率为0.24,求过去100天的销售中,实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数;(2)若将上述频率视为概率,已知该服装店实体店每天的人工成本为500元,门市成本为1 200元,每售出一件利润为50元,求该门市一天获利不低于800元的概率;(3)根据销售量的频率分布直方图,求该服装店网店销售量中位数的估计值(精确到0.01).7.随着新课程改革和高考综合改革的实施,高中教学以发展学生学科核心素养为导向,学习评价更关注学科核心素养的形成和发展.为此,我市于2018年举行第一届高中文科素养竞赛,竞赛结束后,为了评估我市高中学生的文科素养,从所有参赛学生中随机抽取1 000名学生的成绩(单位:分)作为样本进行估计,将抽取的成绩整理后分成五组,从左到右依次记为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)请补全频率分布直方图并估计这1 000名学生成绩的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表);(2)采用分层抽样的方法从这1 000名学生的成绩中抽取容量为40的样本,再从该样本成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查,求至少有一名学生成绩不低于90分的概率;(3)我市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰,授予“文科素养优秀标兵”称号.一名学生本次竞赛成绩为79分,请你判断该学生能否被授予“文科素养优秀标兵”称号.8.某市100 000名职业中学高三学生参加了一项综合技能测试,从中随机抽取100名学生的测试成绩,制作了以下的测试成绩X(满分是184分)的频率分布直方图.市教育局规定每个学生需要缴考试费100元.某企业根据这100 000 名职业中学高三学生综合技能测试成绩来招聘员工,划定的招聘录取分数线为172分,且补助已经被录取的学生每个人400+100(X-172)元的交通和餐补费.(1)已知甲、乙两名学生的测试成绩分别为168分和170分,求技能测试成绩X的中位数,并对甲、乙的成绩作出客观的评价;(2)令Y表示每个学生的缴费或获得交通和餐补费的代数和,把Y用X的函数来表示,并根据频率分布直方图估计Y≥800的概率.。

单元质检卷六数列(B)(时间:60分钟满分:76分)一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若1a1+1a2+1a3=2,a2=2,则S3=()A.8B.7C.6D.42.等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{a n}的前9项的和S9等于()A.66B.99C.144D.2973.(2020某某某某中学三模,理5)有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,向共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为()A.35B.75C.155D.3154.(2020某某某某模拟,理6)已知数列{a n}为等差数列,若a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,则a3a4=()A.-14B.9C.14D.205.已知在等比数列{a n}中,a n>0,a22+a42=900-2a1a5,a5=9a3,则a2 019的个位数字是()A.6B.7C.8D.96.(2020某某武邑中学三模,5)若数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a 2=2,(S n +1)(S n+2+1)=(S n+1+1)2,则S n =()A.n(n+1)2B.2n-1C.2n -1D.2n-1+1二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.7.(2020海淀期中,13)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=9,公差d=-2.则S n 的最大值为. 8.(2020某某某某一模,文16)记S n 为数列{a n }的前n 项和,若2S n -a n =12n -1,则a 3+a 4=,数列{a n+2-a n }的前n 项和T n =.三、解答题:本题共3小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(12分)(2020某某永州二模,理17)已知S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和,S 3=6,a 3是a 1与a 9的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数列b n =(-1)n 4a n 4n 2-1(n ∈N +),数列{b n }的前2n 项和为P 2n ,若|P 2n +1|<12020,求正整数n 的最小值.10.(12分)(2020某某某某4月模拟,18)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=4a n+3n-1,b n=a n+n.(1)证明:数列{b n}为等比数列;(2)求数列{a n}的前n项和.11.(12分)(2020某某名校大联考,理18)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2+n,数列{b n}满足a n=b12+1+b222+1+…+b n2n+1.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)若=a n b n4-n,求数列{}的前n项和T n.参考答案单元质检卷六数列(B)1.A因为等比数列{a n}的前n项和为S n,且1a1+1a2+1a3=2,a2=2,则1a1+1a2+1a3=a1+a3a1a3+1a2=a1+a2+a3a22=S34=2,则S3=8.故选A.2.B由等差数列的性质得a1+a7=2a4,a3+a9=2a6,∴a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,∴a4=13,a6=9,∴a4+a6=22,∴数列{a n}前9项的和S9=9(a1+a9)2=9(a4+a6)2=9×222=99.3.C由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,前n项和为S n,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的总两数为a1(1-q5)1-q =5×(1-25)1-2=155.故选C.4.D因为方程x2-9x+14=0的两个实数根为2,7.所以a1=2,a6=7或a1=7,a6=2,当a1=2,a6=7时,d=a6-a16-1=1,则a3=4,a4=5,所以a3a4=20.当a1=7,a6=2时,d=a6-a16-1=-1,则a3=5,a4=4,所以a3a4=20.故选D.5.D设等比数列{a n}的公比q,首项为a1,由a22+a42=900-2a1a5,得a22+a42+2a2a4=900,解得a2+a4=30,即a1q+a1q3=30,由a5=9a3,得q=3,所以a1=1,所以a n=3n-1,所以a1=30=1,a2=31=3,a3=32=9,a4=33=27,a5=34=81,a6=35=243,…,所以a n的个位数是以4为周期重复出现的.所以a2019的个位数字是a3的个位数字9,故选D.6.C∵(S n+1)(S n+2+1)=(S n+1+1)2,令b n=S n+1,∴b n·b n+2=b n+12,∴{b n}为等比数列,设其公比为q,∵b1=S1+1=a1+1=2,b2=S2+1=a1+a2+1=4,∴q=b2b1=2,∴b n=b1·q n-1=2×2n-1=2n,∴S n=b n-1=2n-1.故选C.7.25∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=9,公差d=-2,∴S n =9n+n(n -1)2×(-2)=-n 2+10n=-(n-5)2+25,∴n=5时,S n 取最大值且最大值为25.8.-1812−12n+1∵2S n -a n =12n -1,∴2S n+1-a n+1=12n ,两式相减,得a n+1+a n =-12n ,∴a 3+a 4=-123=-18;∵a n+1+a n =-12n ,∴a n+2+a n+1=-12n+1,两式相减,得a n+2-a n =-12n+1+12n =12n+1,∴{a n+2-a n }是以14为首项,12为公比的等比数列,∴T n =14(1-12n )1-12=12−12n+1.9.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由a 3是a 1与a 9的等比中项,可得a 1·a 9=a 32,即a 1(a 1+8d )=(a 1+2d)2,解得a 1=d.又因为S 3=3a 1+3d=6,所以a 1=d=1,所以数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n =n.(2)由(1)可得b n =(-1)n4n 4n 2-1=(-1)n12n -1+12n+1,所以P 2n =-1-13+13+15−15−17+…-14n -3−14n -1+14n -1+14n+1=-1+14n+1.因为|P 2n +1|=14n+1<12020,所以n>20194,所以正整数n 的最小值为505.10.(1)证明∵b n =a n +n ,∴b n+1=a n+1+n+1.又a n+1=4a n +3n-1,∴b n+1b n=a n+1+n+1a n +n=(4a n +3n -1)+n+1a n +n=4(a n +n)a n +n=4.又b 1=a 1+1=1+1=2,∴数列{b n }是首项为2,公比为4的等比数列. (2)解由(1)知,b n =2×4n-1,∴a n =b n -n=2×4n-1-n ,∴S n =a 1+a 2+…+a n =2(1+4+42+…+4n-1)-(1+2+3+…+n )=2(1-4n )1-4−n(n+1)2=23(4n -1)-12n 2-12n.11.解(1)因为S n =n 2+n ,所以当n=1时,a 1=S 1=2,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n-(n-1)2-(n-1)=2n ,又a 1=2也满足上式,所以a n =2n (n ∈N *).因为b12+1+b 22+1+…+bn2+1=a n =2n ,所以b 12+1+b 222+1+…+bn-12n -1+1=2n-2(n ≥2,n ∈N *),两式作差,得b n2n +1=2,所以b n =2n+1+2(n ≥2,n ∈N *),当n=1时,b13=2,所以b 1=6.又b 1=6满足上式,所以b n =2n+1+2(n ∈N *).(2)因为=a nb n 4-n=n ·2n ,所以T n =1×2+2×22+3×23+…+n ·2n ,2T n =1×22+2×23+…+(n-1)×2n +n ·2n+1,两式相减,得-T n =2+22+23+…+2n -n ·2n+1,即-T n =2n+1-2-n ·2n+1,所以T n =(n-1)·2n+1+2.。

概率与统计高考大题专项(六)概率与统计考情分析一、考查范围全面概率与统计解答题对知识点的考查较为全面,近五年的试题考点覆盖了概率与统计必修与选修的各个章节内容,考查了抽样方法、统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体、回归分析、相关系数的计算、独立性检验、古典概型、条件概率、相互独立事件的概率、独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差、超几何分布、二项分布、正态分布等基础知识和基本方法.二、考查方向分散从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列等知识交汇考查;三是期望与方差的综合应用,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查;四是以生活中的实际问题为背景将正态分布与随机变量的期望和方差相结合综合考查.三、考查难度稳定高考对概率与统计解答题的考查难度稳定,多年来都控制在中等或中等偏上一点的程度,解答题一般位于试卷的第18题或第19题的位置.近两年有难度提升的趋势,位置有所后调.典例剖析题型一相关关系的判断及回归分析【例1】近年来,随着互联网技术的快速发展,共享经济覆盖的范围迅速扩张,继共享单车、共享汽车之后,共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天.得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图.x50100150200300400t906545302020(1)若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数,求ξ的概率分布列.(2)令z=ln x ,由散点图判断y=bx+a 与y=bz+a 哪个更合适于此模型(给出判断即可,不必说明理由)?并根据你的判断结果求回归方程.(b 的结果保留一位小数)(3)若一年按365天计算,试估计收费标准为多少时,年销售额L 最大?(年销售额L=365·入住率·收费标准x )参考数据:b=∑i=1nx i y i -n。