3 流体运动学基础
流体运动学主要讨论流体的运动参数（例如速度和加速度）和运动描述等问题。运动是物体的存在形式，是物体的本质特征。流体的运动无时不在，百川归海、风起云涌是自然界流体运动的壮丽景色。而在工程实际中，很多领域都需要对流体运动规律进行分析和研究。因此，相对于流体静力学，流体运动学的研究具有更加深刻和广泛的意义。
3.1 描述流体运动的二种方法
为研究流体运动，首先需要建立描述流体运动的方法。从理论上说，有二种可行的方法：拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法。流体运动的各物理量如位移、速度、加速度等等称为流体的流动参数。对流体运动的描述就是要建立流动参数的数学模型，这个数学模型能反映流动参数随时间和空间的变化情况。拉格朗日方法是一种“质点跟踪”方法，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动情况。欧拉方法则是一种“观察点”方法，通过分布于各处的观察点，记录流体质点通过这些观察点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动情况。下面分别介绍这二种方法。
3.1.1拉格朗日(Lagrange)方法
这是一种基于流体质点的描述方法。通过描述各质点的流动参数变化规律，来确定整个流体的变化规律。无数的质点运动组成流体运动，那么如何区分每个质点呢？区分各质点方法是根据它们的初始位置来判别。这是因为在初始时刻（t =t 0）,每个质点所占的初始位置（a,b,c ）各不相同，所以可以据此区别。这就像长跑运动员一样，在比赛前给他们编上号码，在任何时刻就不至于混淆身份了。当经过△t 时间后，t = t 0+△t ，初始位置为a,b,c ）的某质点到达了新的位置(x ,y ,z )，因此，拉格朗日方法需要跟踪质点的运动，以确定该质点的流动参数。拉格朗日方法在直角坐标系中位移的数学描述是：
⎪⎭
⎪
⎬⎫
===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x （3－1）
式中，初始坐标（a,b,c ）与时间变量t 无关，（a,b,c,t ）称为拉格朗日变数。类似地，对任一
物理量N ，都可以描述为：
),,,(t c b a N N = （3－2）
显然，对于流体使用拉格朗日方法困难较大，不太合适。
3.1.2欧拉(Euler)方法
欧拉方法描述适应流体的运动特点，在流体力学上获得广泛的应用。欧拉方法利用了流场的概念。所谓流场，是指流动的空间充满了连续的流体质点，而这些质点的某些物理量的分布在整个流动空间，形成物理量的场，如速度场、加速度场、温度场等，这些场统称为流场。通过在流场中不同的空间位置(x ,y ,z )设立许多“观察点”，对流体的流动情况进行观察，来确定经过该观察点时流体质点的流动参数，得到物理量随时间的函数(x ,y ,z,t )，(x ,y ,z,t )称为欧拉变数。欧拉方法在直角坐标系中速度的数学描述是：
⎪⎭
⎪
⎬⎫
===),,,(),,,(),,,(t z y x z z t z y x y y t z y x x x （3－3） 类似地，对任一物理量N ，都可以描述为：
),,,(t z y x N N = （3－4）
需要注意的是，“观察点”的空间位置(x ,y ,z )是固定的，当质点从一个观察点运动到另一个观
察点，质点的位移是时间t 函数（同样地，其他物理量也是），只不过这种函数是用观察点和时间t 为变量，即欧拉变数(x ,y ,z,t )表示出来的。因此，欧拉变数(x ,y ,z,t )中的x 、y 、z 不是独立变量，它们也是t 的函数，即有：
⎪⎭
⎪
⎬⎫
===)()()(t z z t y y t x x （3－5）
欧拉方法对流场的表达式举例如下： 描述速度场的表达式：
),,,(t c b a v v =，或写成分量形式： （3－6）
⎪
⎭
⎪
⎬⎫
===),,,(),,,(),,,(t z y x v v t z y x v v t z y x v v z z y y x x （3－7）
压强场的表达式：
),,,(t z y x p p = （3－8）
密度场的表达式：
),,,(t z y x ρρ= （3－9）
温度场的表达式：
),,,(t z y x T T = （3－10）
可以用河流上的水文站来理解欧拉方法。为测绘河流的水情，需要在河流沿线设立许多水文站，即水情观察点，综合各水文站的数据，即可知道整个河流的水文情况（如水位分布、流速分布等）。
如果将观察点的区域适当扩大，这样的观察点又称为控制体。与观察点一样，控制体的空间坐标和形状一经确定，即固定不变。控制体的表面称为控制面，流体质点经过控制面进出控制体。控制体是研究流体运动的常用方法。 3.1.3拉格朗日方法与欧拉方法的等价关系
上述二种方法的着眼点尽管不同，实质上它们是等价的。如果编号为（a,b,c ）的质点，在t 时刻正好到达空间位置(x ,y ,z )，则根据（3－1）和（3－3）有：
),,,()],,,(),,,,(),,,,([),,,(t c b a N t c b a z t c b a y t c b a x N t z y x N N === （3－11）
因此，用一种方式描述的质点流动规律完全可以转化为另一种方式。本书中的描述主要是用欧拉方法。
3.2 流体动力学中的基本概念
为后面叙述方便，本节集中介绍流体动力学中经常使用的几个概念。
3.2.1定常场与非定常场
如果流场中的各物理量的分布与时间t 无关，即：
0=⋅⋅⋅=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂t
T t t p t ρv （3－12） 则称为定常场或定常流动。定常场各物理量分布具有时间不变性。如果任何一个物理量分布
不具有时间不变性，则称为非定常场或非定常流动。
3.2.2均匀场与非均匀场
如果流场中的各物理量的分布与空间无关，即：
0=⋅⋅⋅∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂z
T y T x T z y x z p y p x p z y x ρρρv v v （3－13） 则称为均匀场或均匀流动。均匀场各物理量分布具有空间不变性。如果任何一个物理量分布不具有空间不变性，则称为非均匀场或非均匀流动。
3.2.3质点导数
将式（3－4）对时间t 求导，因其中的变量x 、y 、z 又是t 的复合函数，见式（3－5），故有：
t
N
dt dz z N dt dy y N dt dx x N dt dN ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= （3－14） 我们称上式为质点导数。
考虑到位移对时间的导数就是速度，即：
z y x v dt
dz
v dt dy v dt dx ＝＝＝,, （3－15）
所以质点导数又可写成：
t
N
z N v y N v x N v dt dN z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= （3－16） 若令： z
y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇k j i （3－17） 则（3－16）又可写成：
