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（完整版）第⼋章相量图和相量法求解电路第⼋章相量图和相量法求解电路⼀、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、⽆功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应⽤情况。
5、掌握最⼤功率传输的概念，及在不同情况下的最⼤传输条件。
⼆、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数相量法是建⽴在⽤复数来表⽰正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表⽰形式及运算规则。
1. 复数的四种表⽰形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表⽰为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平⾯的表⽰。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三⾓形式：两种表⽰法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三⾓形式转换为指数表⽰形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表⽰形式及相互转换关系，这对复数的运算⾮常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采⽤代数形式⽐较⽅便。
若则即复数的加、减运算满⾜实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平⾯上按平⾏四边形法⽤向量的相加和相减求得，如图8.2所⽰。
图 8.2(2) 乘除运算——采⽤指数形式或极坐标形式⽐较⽅便。
若则即复数的乘法运算满⾜模相乘，辐⾓相加。
除法运算满⾜模相除，辐⾓相减，如图8.3⽰。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因⼦：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转⼀个⾓度θ，⽽模不变，如图 8.4 所⽰。
正弦稳态电路分析一、正弦量及其三要素？1. 初相位：时间t=0时所对应的相位；2. 一般取正弦量的正最大值到正弦量计时零点（t=0）所对应的角度为该正弦量的初相位3. 正弦量的正最大值到向右的初相位为正。
即φi>0;向左即为负；4. 各种表示法（1） F=a+jb;a=Ucos ab=Usin a（2）F=a+jb=|F|（cos a+jsin a ） =|F|e ja =|F| a （4）计算器使用pol(-4.07,3.07)=5.09 RCL tan二、电路元件的伏安关系及相量表示形式？X L =wL,X C =1/wCjX L =jwL,jX C =j*1/wC=1/(-jwC)三、阻抗、导纳及其串并联？ 阻抗与导纳互为倒数关系1. 复阻抗：不含独立电源的一端口网络的端电压相量与端电流相量的比值2. 的比值；3. 电压三角形 OZ4. 阻抗三角形四、正弦量的相量表示法？1.有向相量的长度（复数的模）代表正弦量的幅值（有效值）；2.复数的幅角代表正向量的初相位；3.向量形式用大写字母表示并在字母上方加点； 五、阻抗和导纳的性质？电感角大于电容角就呈感性，小于呈容性，等于呈阻性； 六、正弦稳态电路的分析？（1）画出电路的相量模型（电压、电流、各种阻抗） （2）选择适当方法（KVL 、KCL ）列方程（3）求出未知量Q（4）写出电压电流的瞬时值 七、正弦稳态电路的功率？1.有功功率：电阻所消耗；P=UIcosa2.无功功率:电感、电容负载与电源进行能量交换的功率；Q=UIsina3.视在功率：电源输出的功率；S=UI=上述两者平方和的算术平方根4.复功率：S=P+jQ 八、功率因素的提高？在电感两端并联电容的操作，使两者夹角减小1)C=P/wU 2(tan a1-tan a2); 2)Q C =-P(tan a1-tan a2)九、最大功率传输？ 当Z L =R eq -jX eq =Zeq *时，P MAX =U OC2/4R eq十、解题步骤？1.设。
正弦稳态电路的分析1.复数法分析：a. 复数电压和电流表示：将正弦波电流和电压表示为复数形式，即I = Im * exp(jωt)，V = Vm * exp(jωt)，其中Im和Vm为幅值，ω为角频率，j为虚数单位。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立复数表达式。
c.找到电路中的频域参数，如电阻、电感和电容等，并使用复数法计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，这会决定电路中的功率因数。
2.相量法分析：a.相量表示：将电路中的电流和电压表示为相量形式，即以幅值和相位角表示，例如I=Im∠θ，V=Vm∠θ。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立相量表达式。
c.对电路中的频域参数应用相量法，计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，以确定电路中的功率因数。
无论是复数法还是相量法，分析正弦稳态电路的关键是计算电路中的电流和电压的幅值和相位。
在计算过程中，需要使用复数代数、欧姆定律、基尔霍夫定律以及频域的电路参数等相关知识。
在实际应用中，正弦稳态电路的分析主要包括以下几个方面：1.交流电路中的电阻：电阻对交流电流的影响与直流电路相同，即按欧姆定律计算。
复数法计算时，电流和电压与频率无关，可以直接使用欧姆定律计算。
2.交流电路中的电感：电感器对交流电流的响应取决于电流的频率。
复数法计算电感电压和电流时，需要将频率变量引入到电感的阻抗中。
3.交流电路中的电容：电容器对交流电压的响应取决于电压的频率。
复数法计算电容电压和电流时，需要将频率变量引入到电容的阻抗中。
4.交流电路中的复数阻抗：电路中的电感、电容和电阻组成复数阻抗。
复数阻抗可以用来计算电路中的电流和电压。
根据欧姆定律和基尔霍夫定律，可以建立复数电流和电压之间的关系。
5.交流电路中的功率因数：功率因数是电路中有功功率与视在功率之比。
在分析正弦稳态电路时，可以计算电路中电源电压和电流的相位差，从而确定功率因数。
总结起来，正弦稳态电路的分析步骤包括选择复数法或相量法、建立复数或相量表达式、计算电流和电压的幅值和相位、计算功率因数等。
第八章 正弦稳态电路的分析一. 基本要求1.掌握阻抗(导纳)的概念及其串并联化简。
2.能将直流电路的各种分析方法应用到相量法中，来分析计算正弦交流电路。
3.掌握正弦交流电路中各种功率的概念。
4.掌握RLC 串、并联电路的谐振条件及频率特性。
二.本章要点1. R 、L 、C 串联电路的阻抗Z C L j )j()1j(j 1j ΦZ X R X X R CL R C L R Z ∠=+=++=-+=++=ωωωω感抗L X ω=L ，容抗CX ω1C =当0C L >-=X X X , 感性电路，电压超前电流；当0C L <-=X X X , 容性电路，电压落后电流。
图8-1 阻抗三角形2. R 、L 、C 并联电路的导纳Y L C j )j(j j 11ΦY B G B B G C LR Y ∠=+=++=++=ωω 感纳L1L ω=B ，容纳C B ω=C 图8-2 导纳三角形 3.无源一端口的阻抗、导纳、功率阻抗：Z )(ΦZ ΨΨI U I UZ i u ∠=-∠==导纳：Y )(ΦY ΨΨU I UI Y u i ∠=-∠== 阻抗和导纳互为倒数关系Y1=Z 图8-3 无源一端口有功功率：ΦUI P cos =无功功率：ΦUI Q sin = 视在功率：UI S =复功率：Q P I U S j +==* Φcos 叫做电路的功率因数 图8-4 功率三角形4.对于感性负载，当功率因数Φcos 比较低时，可以采用并联电容的方法提高功率因数。
5.阻抗的串联与并联n 个阻抗串联: n 21eq Z Z Z Z ++= n 个阻抗并联:1 1 1 1n 21eq Z Z Z Z +++= 或者n 21eq Y Y Y Y ++= 2个阻抗并联:2121eq Z Z Z Z Z +=分流公式：IZ Z Z I2121+=；I Z Z Z I2112+=图8-5 2个阻抗并联6.应用相量法，并引入阻抗与导纳后，直流电路中的各种定律，定理及分析计算方法都可以推广应用到正弦交流电路。
7.含有电容、电感的电路，当电抗或电纳等于零，电压和电流同相时，电路发生谐振。
谐振时电路呈电阻性，谐振电路对不同频率的信号具有选择性。
电路的品质因数Q 对谐振曲线形状的影响很大。
8.负载阻抗L Z 和电源内阻抗eq Z 为共轭复数时，称为最佳匹配，此时负载可获得最大功率。
三.典型例题例8-1 写出图示电路的输入阻抗ab Z 表达式，已知，不必化简。
(a) (b)图8-6 例8-1图解：(a))j (j 1)j (j 1221ab L R CL R CR Z ωωωω+++⨯+=；(b))j 1()j ()j 1()j (2121ab CR L R CR L R Z ωωωω++++⨯+=例8-2 RLC 串联电路，已知：Ω=15R ，mH 12=L ，F μ5=C ， 端电压V )5000cos(2100t u =。
求：电流i 及各元件的电压相量，并画相量图。
解：用相量法解题时，可先写出已知相量和设定待求相量。
已知相量V 0100︒∠=U，待求相量是I ,R U ,L U 和C U 各部分阻抗：Ω=15R Z , Ω==60j j L L Z ω,Ω-==j40j 1CZ C ω 图8-7 例8-2图Ω+=-+=++=j2015j4060j 15C L R eq Z Z Z ZΩ︒∠=13.5325A 13.53413.53250100eq ︒∠=∠∠==Z U I各元件电压相量：V 13.5360R ︒-∠==I R UV 87.36240j ︒∠==I L UL ω 图8-8 例8-2相量图 V 13.143160j 1︒-∠==I CUC ω 正弦电流i 为：A )13.535000cos(24︒-=t i例8-3 图示电路，已知：Ω=51R ，Ω=22R ,Ω=35L ω,Ω=381Cω，A 155S ︒-∠=I ，求等效阻抗eq Z 及1I、2I ，并画出电流相量图。
图8-9 例8-3图 图8-10 例8-3相量图解：Ω+=+=j355j 11L R Z ω；Ω-=+=j382j 122CR Z ωΩ︒∠=+++=+=08.187.176j38-2j355j38)-j35)(2(5 2121eq Z Z Z Z Z分流公式：A 79.7898.24155j38-2j355j38-2 S 2121︒-∠=︒-∠⨯++=+=I Z Z Z I； A 26.9020.23155j38-2j355j355 S 2112︒∠=︒-∠⨯+++=+=I Z Z Z I相量图见图8-10例8-4 图8-11所示电路，试列出该电路的节点电压方程及网孔电流方程。
图8-11 例8-4图解：1.节点电压方程，以节点③为参考节点。
节点①：1) 1 1 1(3S31S1n23n1321Z UZ U U Z U Z Z Z +=-++ 节点②：S53S3n243n13Z ) Z 1 Z 1( Z 1I U U U +-=+-- 注意：节点法中，与电流源串联的阻抗应略去，自导、互导中均不应出现。
2.网孔电流方程网孔①：S1m22m121)(U I Z IZ Z =-+ 网孔②：S3m34m2432m12)(U I Z I Z Z Z I Z -=-+++- 网孔③：S5m3I I-=例8-5 图8-12中。
试列出该电路的节点电压方程和网孔电流方程。
解：此电路有无伴电压源和无伴受控电流源。
(1) 列节点电压方程。
令节点②为参考节点，对节点①③④列出下列方程：节点①：S2n1U U=图8-12 例8-5图节点③： 3S3n45n2543n131)111(1Z UU Z U Z Z Z U Z -=-+++-节点④：3n451n35n11)11(11I U Z Z U Z U Z β=++--补充控制量3I 与节点电压的关系：3s3n3n13Z U U U I--= (2)列网孔电流方程，设网孔电流m1I、m2I 、m3I ,如图所示，并设受控电流源端电压为C U，并当作电压源处理。
网孔①：C S2m11U U IZ --= 网孔②：C U I Z IZ Z =-+m34m254)( 网孔③：3S 2S m343m24)(U U I Z Z IZ -=++- 补充控制量3I 和网孔电流的关系：3m 3I I = 因增设变量C U补充关系：2m 1m 3I I I -=β 例8-6 图8-13所示电路，已知V 305S ︒∠=U ，分别用节点电压法和网孔电流法求2I 。
图8-13 例8-6图解：(1) 用节点电压法分析，节点②为参考节点。
列节点电压方程：节点①：13053j 23)j2311j321(3n1︒∠++=-+++I U补充：n1n1S 33051U U U I -︒∠=-= 解得：V 27.27043.4n1︒∠=U∴A 611.12j23n12︒∠=-=U I(2) 用网孔电流法求解，设网孔电流如图示：网孔①：︒∠-=⨯-+30531)3j 3(3m2m1I I I网孔②： ︒∠=-+⨯-305j2)4(1m2m1I I补充： m1m23I I I-= 解得： ︒∠==6112.12m2I I例8-7 图8-13所示电路，用戴维南定理求2I 。
(a) (b) (c)图8-14 例8-7图解：1）求开路电压OC U。
如图(a)所示1-1’开路，电容支路无电流，为单回路。
3j 333S 3+-=I U I∴3j 63053+︒∠=I V 4.34346.4305j36j353j 63053051S 3OC ︒∠=︒∠++=+︒∠-︒∠=+⨯-=U I U2）求等效阻抗eq Z ，电压源s U短路，含CCVS, 1-1’端口加电压U ，端口电流为I ，如图(b)所示⎪⎩⎪⎨⎧+==+++--=)3()2(03j3)(2)1(j2313313I I I I I I I I U由式(2)、(3)可解得I I3j 6)3j 2(3++-=代入式(1):I I I U3j 69j 83j 63j 22j +-=+++-= Ω︒-∠=+-==93.74795.1j36j98eqIUZ 开路电压OC U，等效阻抗eq Z 已知：由图(c)求得2I A 6112.13eqOC 2︒∠=+=Z U I 例8-8 图8-15电路是用三表法测量电感线圈参数R 、L 的实验电路，已知电压表V 50V =，电流表A 1A =，功率表W 30W =，电源频率HZ 50=f 。
试求：（1）电感线圈的R 、L 之值；(2)线圈吸收的复功率S 。
解：电压表、电流表读数分别是电压、电流有效值，功率表读数为线圈吸收的有功功率。
(1) 由ΦUI P cos =6.05030cos ===UI P Φ ︒==13.536.0cos -1ΦΦ 图8-15 例8-8图L R ΦZ Z ωj +=∠=Ω==50IUZ ∴Ω+=︒∠=+)40j 30(13.5350j L R ω Ω=30R , Ω=40L ω,mH 12731440==L (2) 计算复功率S设V 050︒∠=U，则A 13.531︒-∠=I VA )40j 30(13.531050+=︒+∠⨯︒∠==*I US W 30=P VAR 40=Q图8-16 (a)阻抗三角形 b)功率三角形例8-9 已知图8-17所示无源一端口的电压V )120cos(2100︒+=t u ω,A )60cos(25︒+=t i ω。
求：一端口的等效阻抗eq Z ，等效导纳eq Y ，复功率S ，视在功率S ，有功功率P ，无功功率Q 和功率因数Φcos 。
解：对应的电压、电流相量为：V 120100︒∠=U，A 605︒∠=I Ω+=Ω︒∠=︒∠︒∠==)32.17j 10(6020605120100eqIUZ S 6005.01eq eq ︒-∠===Z U I Y 图8-17 例8-9图VA )433j 250(VA 60500605120100+=︒∠=︒-∠⨯︒∠==*I US W 250=P ,VAR 433=Q ，VA 500=S5.060cos cos =︒==SPΦ 例8-10 图8-18所示电路中，V 0380︒∠=U, HZ 50=f .感性负载吸收的功率kW 201=P ，功率因数6.0cos 1=Φ，用在负载两端并联电容的方法提高电路的功率因数，若使功率因数提高到9.0cos =Φ，需并联多大电容。
(a) (b)图8-18 例8-10图解：并联前，电流1I I=，1I 落后于U 角度1Φ 此时6.0cos 1=Φ, ︒==-13.536.0cos 11Φ，并C 后，电容电流超前︒90U 由KCL ：C I I I+=1，所以I 落后于U 的角度由1Φ减少到Φ 由（b ）图)tg (tg cos tg cos tg cos 11111111C ΦΦI ΦΦI ΦΦI ΦI -=-= 而CU I ω=C , 11cos ΦUI P =代入得)tg tg (12ΦΦU PC -=ω 此公式即为功率因数由1cos Φ提高到Φcos 所需并联的电容。
