电力生产最小成本
摘要
本文是需解决发电机厂每天在不同时间段用电需求量不同的情况下，根据给定不同型号不同数量的发电机，合理分配各台发电机在不同时间段的开启和关闭以及运行时的输出功率，既使得一天内总发电成本最小，又使发电机组在一天中各个时段的总输出功率达到用电需求的问题，为解决这个问题，采用了单目标非线性规划方法，建立了所求问题的最优化模型，借助Lingo软件对模型进行求解，得到每日最小发电总成本，以此制定发电机组的启停计划。
问题一：为了使发电厂一天总的发电成本最低，同时还要考虑到不同时间段开机数量不同对启动成本的相互影响，将七个时间段的成本统一考虑，其中，启动成本与发电机开启数量有关，要让成本少，应在满足相应约束条件下尽量减少开机数量，尽量让上一阶段的发电机下一阶段依然工作，边际成本与开启发电机台数、输出功率、最小功率、时长有关，固定成本与开启发电机台数、时长有关，选取相应的约束条件对目标函数进行约束，从而给出优化模型，运用非线性规划的方法，利用Lingo编程求解，得到发电厂每天最小发电总成本为：1427179 元。具体的发电机使用方案见附录一中表一、表二。
问题二：根据题目的要求，在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，在建模时将每台发电机的实际输出功率降至80%，所以可以按照问题一建立的模型，将其约束条件中每个时间段的实际输出功率改为功率的80%但同时要满足用电量，同样利用Lingo编程求解，得到发电厂每天最小发电总成本为：1444670元。具体的发电机使用方案见附录一中表三、表四。
在得到上述两个问题的结果后，对结果的正确性性进行检验，并且对所得结果进行分析，给出自己的评价，并且对所建模型的合理性进行判断，以及对模型做了适当的推广。
关键词：单目标非线性规划发电机的合理搭配电力生产最优解
1问题重述
1.1问题背景
为了满足人们的用电需求，有四种类型的发电机可供发电厂选择，发电厂需将不同型号的发电机合理搭配，在使每天发电功率满足人们用电需求的同时，又使发电厂的发电成本最小。在此将用户每日的用电情况主要分为7个阶段，每个阶段的用电需求各不相同，为了能够高效低成本完成每天发电计划，就必须使得每阶段的供需平衡，否则就会影响电力系统的安全运行。为了能够实现这样的平衡状态，就需要电力部门对发电机组进行合理的启停计划，在满足每日用电需求的前提下，追求发电成本的最小化。
在不考虑其它成本因素的前提下，假定所有发电机组的发电成本都是由三部分组成：固定成本和边际成本以及启动成本。需要考虑的约束有：发电机组使用数量范围约束和发电机组输出功率范围约束以及每日电力需求约束。
因此，在不同时段开启哪些型号发电机，使发电厂每天的发电总成本最小是一个有现实意义的问题。
1.2已知条件
为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表1。
表1：每日用电需求（兆瓦）
时段
（0-24）
0-6 6-9 9-12 12-14 14-18 18-22 22-24 需求11000 33000 25000 36000 25000 30000 18000 每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。
表2：发电机情况
可用数量最小输出
功率
（MW）最大输出
功率
（MW）
固定成本
（元/小
时）
每兆瓦边际
成本（元/
小时）
启动
成本
型号1 10 800 1800 2200 2.7 5000 型号2 5 1000 1500 1800 2.2 1600 型号3 8 1200 2000 3800 1.8 2400 型号4 4 1800 3500 4800 3.8 1200
只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。
1.3需要解决的问题
问题（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总
2
3
成本为多少？ 问题（2）如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？
2模型假设与符号说明
2.1模型假设
假设1：每台发电机在同一时间段内按照预订功率稳定运行，并且输出功率恒定不变。
假设2：发电机在工作过程中不考虑其电能的损失，即实际输出电能全部转化为用户需求。
假设3：在第一时间段开机前，所有的机组都处于关闭状态。 假设4：发电机运行中不出现故障。
假设5：发电机一经启动便开始正常运行，即，忽略启动延迟时间。
2.2符号说明
符号
符号说明
j i a 第i 种型号在第j 个时间段的输出功率 j i x 第i 种型号在第j 个时间段运行的台数 i G 第i 种型号发电机每小时固定成本 i Q 第i 种发电机每台启动成本 i B 第i 种发电机的每小时边际成本 j T
第j 个时间段的总时间 W
每天发电机组的总成本 j N 第j 时间段用户的电量需求 i 发电机的型号，取1、2、3、4 j
时间段，取1、2、3、4、5、6、7
3问题分析
多机组启停优化问题是在满足约束条件的前提下，优化确定每个阶段机组的启停，求出机组的最佳运行方案，实现每日发电总成本最小。
4
3.1问题一的分析
为解决问题一，需建立每日发电成本的目标函数和约束条件的数学表达式。因为总成本是由各个时间段的总固定成本、总边际成本和总启动成本构成，因此就可以根据已知的数据，求出相应的成本表达式。其中最为复杂的是启动成本表达式的建立，因为启动机组需要相应的启动费用，而关闭机组则不需要费用，这样上一阶段的电机运行情况将直接影响下一阶段的启动成本，进而影响总成本，因此在考虑电机的启动成本时应该把下一阶段电机的运行状况和上一阶段的运行状况联系起来，故在此需要对全天的7个时间段的发电机的开启情况进行统一、合理的安排，不可只考虑某一个时间段。
3.2问题二的分析
在第二问中总成本仍由三部分成本组成，不过此时的约束条件发生了改变，此时增加了如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升的约束条件。在求解过程中，仍可以使用第一问所建立的模型，不过要将第一问的约束条件改变，因为要正在工作的机组要留出20%的发电余量，所以每台发电机的输出功率就应该将实际输出功率减少20%，即将每日的用电需求提高25%，然后再对模型进行求解。总之，机组组合问题是一个多变量、多约束的混合非线性规划问题，因此在求解时需要对各个时段每一台用于发电的发电机所需要的各项成本进行求和计算，在此我们采用Lingo 软件对其进行求解，得到发电厂每日最小发电总成本。
4模型建立与求解
4.1问题一模型的建立及求解
4.1.1确定目标函数
由题目给出的条件及模型的假设知：发电厂每日发电总成本仅由发电机组的固定成本、边际成本和启动成本构成。 （1）每天四种型号发电机固定成本：
∑∑===417
1
i j i j j i G T x G
（2）每天四种型号发电机边际成本：
()
i j j i i j i j i B T x M a B ∑∑==-=417
1
（3）每天四种型号发电机总启动成本： ()()
[()]
i i j i j i i j j i j i Q x x x x Q }2/{4
17
11-==--+-=∑∑
目标函数为：
Min W=G+B+Q
5
4.1.2确定约束条件
（1）因为ij x 是第i 种型号的发电机在第j 时间段内运行的台数，所以ij x 不大于本型号发电机的台数，即：
??
?
??
?
?≤≤≤≤≤≤≤≤4
0805
01004321j j j j x x x x （2）由于ij a 代表的是第i 种型号在第j 个时间段的输出功率，所以ij a 介于最小输出功率与最大输出功率之间，即：
??
?
??
?
?≤≤≤≤≤≤≤≤3500
1800200012001500
100018008004321j j j j a a a a （3）发电机每小时的输出功率应大于或等于电力需求，即：
()∑∑==≤417
1
i j ij ij j x a N
4.1.3问题一的模型
综上所述，得到问题一的多变量最优化模型： Min W=∑∑==4
17
1
i j i j j i G T x +()
i j j i i j i j i B T x M a ∑∑==-4
17
1
+
{()()
[()]
i i j i j i i j j i j
i Q x x x x
}2/417
1
1-==--+-∑∑
6
?????
???
?
?
??
??
??
???
≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤∑∑==417143214321350018002000120015001000180080040805010
0..i j ij ij j j j j j j j j j x a N a a a a x x x x t s
4.1.4模型一的求解
由上述分析可知，该问题为多变量非线性规划问题，应用LINGO 程序进行编程计算，最终得出每时段各型号发电机的使用数量及其各自的功率。由各型号发电机使用数量及各自功率可求出各时段内的最小成本及一天的最小总成本，得到发电厂每天最小发电总成本为：1427179元。具体的数据见表：
各个时间段不同型号发电机的开启台数
台数 时间段 型号
0~6
6~9 9~12 12~14 14~18 18~22 22~24 1 0 7 7 9 9 1 6 2 0 5 4 4 0 4 5 3 0 0 2 0 0 0 0 4
4
4
1
4
9
2
7
各个时间段不同型号发动机的开启功率
(第j 个时间段i 型号的开启数目为0时，讨论其功率没有意义，故用“—”表示)
从表格可以看出，在该模型的运行下,发电供需可以保持平衡，且符合经济效益，既使得发电机能产生最低功率满足用户需求，也使得成本最低，并且一些次要因素所影响的概率很小，因此当每个时间段开启发电机台数和相应的功率如上表时，可以认为该模型所得方案是最优方案。
4.2问题二模型的建立及求解
4.2.1确定目标函数
由题目给出的条件及模型的假设知：发电厂每日发电总成本仅由发电机组的固定成本、边际成本和启动成本构成。 （1）每天四种型号发电机固定成本：
∑∑===417
1
i j i j j i G T x G
（2）每天四种型号发电机边际成本：
()
i j j i i j i j i B T x M a B ∑∑==-=417
1
（3）每天四种型号发电机总启动成本： {()()
[()]
i i j i j i i j j i j i Q x x x x Q }2/4
17
11-==--+-=∑∑
目标函数为：
Min W=G+B+Q
发电 功率时间段 型号
0~6
6~9 9~12 12~14 14~18 18~22 22~24 1 — 1800 1800 1800 1800 1800 1750 2 — 1500 1500 1500 — 1500 1500 3 — — 2000 — — — — 4
2750
3220
2400
3450
2200
3000
—
8
4.2.2确定约束条件
（1）因为ij x 是第i 种型号的发电机在第j 时间段内运行的台数，所以ij x 不大于本型号发电机的台数，即：
??
?
??
?
?≤≤≤≤≤≤≤≤4
0805
01004321j j j j x x x x （2）由于ij a 代表的是第i 种型号在第j 个时间段的输出功率，但发电机组要留20%的发电余量，所以实际输出功率0.8ij a 应大于最小输出功率，功率ij a 应介于最小输出功率与最大输出功率之间，即：
???
??
?
?≤≤≥≤≤≥≤≤≥≤≤≥3500
1800,18008.02000
1200,12008.015001000,10008.01800800,8000.8a 44332211j j j
j j j j j
a a
a a a a a
（3）因为正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然
上升。所以发电厂发电功率的百分之八十应大于人们的用电需求本，即：
8.0)(417
1
*≤∑∑==i j ij ij j x a N
4.2.3问题二的模型
综上所述，得到问题一的多变量最优化模型： Min W=∑∑==4
17
1
i j i j j i G T x +()
i j j i i j i j i B T x M a ∑∑==-4
17
1
+
{()()
[()]
i
i j i j i i j j i j
i Q x x x x
}2/417
1
1-==--+-∑∑
9
?????
???
?
?
??
??
??
???
≤≤≤≥≤≤≥≤≤≥≤≤≥≤≤≤≤≤≤≤≤∑∑==41714433221143218.0)(35001800,1800
8.020001200,12008.015001000,1000
8.01800800,8000.840805010
0..i j ij ij j
j j j j j j j j j j j j x a N a a a a a a a a x x x x t s 4.2.4模型二的求解
由上述分析可知，该问题为多变量非线性规划问题，应用LINGO 程序进行
编程计算，最终得出每时段各型号发电机的使用数量及其各自的功率。由各型号发电机使用数量及各自功率可求出各时段内的最小成本及一天的最小总成本，得到发电厂每天最小发电总成本为：1444670.元。具体的数据见表：
表三：各个时间段不同型号发电机的开启台数
台数 时间段 型号
0~6
6~9 9~12 12~14 14~18 18~22 22~24 1 0 8 10 9 9 10 0 2 5 5 4 5 5 5 5 3 2 3 4 4 0 3 2 4
3
3
2
3
10
表四：各个时间段不同型号发动机的开启功率
发电 功率时间段 型号
0~6
6~9 9~12 12~14 14~18 18~22 22~24 1 — 1762 1100 1677 1544 1650 — 2 1400 1500 1500 1500 1500 1500 1500 3 2000 2000 2000 2000 — 2000 2000 4
—
1800
—
1800
1800
—
2166
(第j 个时间段i 型号的开启数目为0时，讨论其功率没有意义，故用“—”表示)
从表格可以看出，在该模型的运行下,发电功率可以保持供需平衡，且符合经济效益，既使得发电机能产生最低功率满足用户需求，也使得成本最低，并且一些次要因素所影响的概率很小，因此当每个时间段开启发电机台数喝相应的功率如上表时，可以认为该模型所得方案是最优方案。
5结果分析
5.1问题一的结果分析
将问题一机组启动计划最优化方案转化为图示1以便于直接观察：
图1
各时间段开启不同型号发电机的台数
246810时间段
1
2
3
4
5
6
7
型号1型号2型号3型号4
11
图2
对图1和图2进行观察可知：型号1发电机虽然有10台数目最多，由于其启动成本高，并没有全部使用，并且开启数量不变，可以很好的节约总成本。由于型号2发电机各成本都较低，故其使用频率相当高，全部投入使用，并且全为满功率工作。型号3发电机边际成本、启动成本较低，故投入使用数较多且为满功率工作。而型号4发电机虽然固定成本与边际成本都最高，其启动成本最低，故使用数量在不同时段有明显波动，且输出高功率。所以增配型号2和3发电机数量，适当减少型号4发电机的数量，可以降低固定成本。
5.2问题二的结果分析
将问题二机组启动计划最优化方案转化为图示3以便于直接观察：
图3
各时间段开启不同发电机的功率
5001000150020002500时间段
1
2
3
4
5
6
7
型号1型号2型号3型号4
各个时间段开启不同型号发电机的台数
24681012时间段
1234567
型号1型号2型号3型号4
12
图4
由图3可清晰看出各型号电机在不同时段的使用情况。其中，型号1的发电机组在除第一、七时不使用，其余时段的使用数量在8台左右，以减少开启成本；型号2的发电机组在每天的各个时段的使用数量均维持在5台；型号3的发电机组在每天的各个时段的使用数量均维持在4台及以下；型号4的发电机组在每天的各个时段的使用数量处于0—4台之间。
6模型的评价与改进
6.1 模型的优点
（1）将一天所有时段作为整体，考虑到各个时段间启动发电机对成本的影响，构建了不同时段发电机组的启动成本计算公式，该公式可以很好的计算不同时段发电机组的启动成本。
(2)建立该模型时，约束条件考虑较全面，所得的模较合理。
（3）提供了一种求解多变量，多约束整数非线性规划的组合优化问题的思路，此方法思路清晰明了，构思新颖，方便易行。
6.2 模型的缺点
根据题目的要求，以及其他条件的限制和约束，对模型进行了一些合理的假设，虽然求出的结果在所要求的误差范围之内，但是假设还是会对所求结果有一定的影响。对于这些方面还需要做进一步的探讨和改进。
7模型的应用和推广
7.1模型的应用
(1)由所得的结果可知发电厂对每种型号的发电机利用率是不同的，所以发
各个时间段不同型号发电机发电功率
5001000150020002500时间段
1
2
3
4
5
6
7
型号1型号2型号3型号4
电厂在选购不同型号的发电机时可以参考所得结果，合理选购，使得每台发电机
都被使用，减少发电厂费用的支出。
(2)根据不同时段的用电需求，可以看出在0－6和22—24时间段是用电低谷，此时人们大多在休息，而在12－14时间段是用电高峰期，这也使符合人们的生
活规律。夏季中午温度较高，需要各种电器设备来降温消暑，所以用电增加，针
对用电高峰期，给出以下建议，如：尽量的使用功率小的空调，适当的提高空调
温度，从而节约能源，减少用电压力。
7.2 模型推广
此模型不仅适用于电力生产问题，也可以应用于其他的行业，即在有限的资源条
件下，合理的分配资源得到相应的要求，同时使得消耗最小。此模型具有很好的
应用价值，可以作进一步的推广和研究。
8参考文献
[1] 宋来忠,王志明.数学建模与实验.北京：科学出版社，2005.
[2] 王正东.数学软件与数学实验.北京：科学出版社，2010.
[3] 赵静，但琦，数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社，2008.
[4] 吴礼斌，李柏年.数学实验与建模.北京：国防工业出版社，2007.
[5] 谢金星.优化建模与LINDO/LINGO软件.北京：清华大学出版社，2005.
附录一
问题一中发电机的使用方案：
表一：各个时间段不同型号的发电机开启台数
台数时间段
型号
0~6 6~9 9~12 12~14 14~18 18~22 22~24
1 0
2 2 2 2 2 2
2 5 5 4 5 5 5 5
3 2 8 8 8 8 8 4
4 0 3 0 2 0 4 0
表二：各个时间段不同型号发电机开启的功率
13
发电
功率时间段
型号0~6 6~9 9~12 12~14 14~18 18~22 22~24
1 —1800 800 1800 800 1451 1251
2 1400 1500 1480 1500 1480 1500 1500
3 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000
4 —1967 —222
5 —1800 —
问题二中发电机的使用方案：
表三：各个时间段不同型号发电机的开启台数
台数时间段
型号
0~6 6~9 9~12 12~14 14~18 18~22 22~24
1 0 8 10 9 9 10 0
2 5 5 4 5 5 5 5
3 2 3
4 4 0 3 2
4 0 3 0 3 2 0 3
表四：各个时间段不同型号发动机的开启功率
发电
功率时间段
型号0~6 6~9 9~12 12~14 14~18 18~22 22~24
1 —176
2 1100 1677 1544 1650 —
2 1400 1500 1500 1500 1500 1500 1500
3 2000 2000 2000 2000 —2000 2000
4 —1800 —1800 1800 —2166
14
附录二
模型一求解程序：
sets:
shijianduan/1..7/:n,t,d;
xinghao/1..4/:m,w,k,a,b,z;
link(xinghao,shijianduan):x,c;
endsets
min=@sum(xinghao(i):x(i,1)*z(i))
+@sum(xinghao(i):@sum(shijianduan(j):x(i,j)*(a(i)+b(i)*(c(i,j)-w(i)))*t(j)))
+@sum(xinghao(i):@sum(shijianduan(j)|j#le#6:@if(x(i,j+1)#gt#x(i,j),((x(i,j+1)-x(i,j))*z(i)),0)));
@for(link(i,j):@gin(x(i,j)));
@for(link(i,j):x(i,j)<=m(i));
@for(link(i,j):c(i,j)>=w(i));
@for(link(i,j):c(i,j)<=k(i));
@for(shijianduan(j):d(j)=@sum(xinghao(i):x(i,j)*c(i,j)));
@for(shijianduan(j):d(j)>=n(j));
data:
n=11000,33000,25000,36000,25000,30000,18000;
t=6,3,3,2,4,4,2;
m=10,5,8,4;
w=800,1000,1200,1800;
k=1800,1500,2000,3500;
a=2200,1800,3800,4800;
b=2.7,2.2,1.8,3.8;
z=5000,1600,2400,1200;
enddata
Local optimal solution found.
Objective value: 1427179.
Objective bound: 1427179.
Infeasibilities: 0.3649081E-11
Extended solver steps: 2
Total solver iterations: 989
Variable Value
N( 1) 11000.00
15
N( 2) 33000.00 N( 3) 25000.00 N( 4) 36000.00 N( 5) 25000.00 N( 6) 30000.00 N( 7) 18000.00 T( 1) 6.000000 T( 2) 3.000000 T( 3) 3.000000 T( 4) 2.000000 T( 5) 4.000000 T( 6) 4.000000 T( 7) 2.000000 D( 1) 11000.97 D( 2) 33000.98 D( 3) 25001.58 D( 4) 36001.47 D( 5) 25001.34 D( 6) 30001.12 D( 7) 18001.81 M( 1) 10.00000 M( 2) 5.000000 M( 3) 8.000000 M( 4) 4.000000 W( 1) 800.0000 W( 2) 1000.000 W( 3) 1200.000 W( 4) 1800.000 K( 1) 1800.000 K( 2) 1500.000 K( 3) 2000.000 K( 4) 3500.000 A( 1) 2200.000 A( 2) 1800.000 A( 3) 3800.000 A( 4) 4800.000 B( 1) 2.700000 B( 2) 2.200000 B( 3) 1.800000 B( 4) 3.800000 Z( 1) 5000.000 Z( 2) 1600.000 Z( 3) 2400.000 Z( 4) 1200.000
16
X( 1, 1) 0.000000 X( 1, 2) 2.000000 X( 1, 3) 2.000000 X( 1, 4) 2.000000 X( 1, 5) 2.000000 X( 1, 6) 2.000000 X( 1, 7) 2.000000 X( 2, 1) 5.000000 X( 2, 2) 5.000000 X( 2, 3) 5.000000 X( 2, 4) 5.000000 X( 2, 5) 5.000000 X( 2, 6) 5.000000 X( 2, 7) 5.000000 X( 3, 1) 2.000000 X( 3, 2) 8.000000 X( 3, 3) 8.000000 X( 3, 4) 8.000000 X( 3, 5) 8.000000 X( 3, 6) 8.000000 X( 3, 7) 4.000000 X( 4, 1) 0.000000 X( 4, 2) 3.000000 X( 4, 3) 0.000000 X( 4, 4) 4.000000 X( 4, 5) 0.000000 X( 4, 6) 2.000000 X( 4, 7) 0.000000 C( 1, 1) 803.6196 C( 1, 2) 1800.000 C( 1, 3) 800.0000 C( 1, 4) 1800.000 C( 1, 5) 800.0000 C( 1, 6) 1450.559 C( 1, 7) 1250.905 C( 2, 1) 1400.194 C( 2, 2) 1500.000 C( 2, 3) 1480.317 C( 2, 4) 1500.000 C( 2, 5) 1480.267 C( 2, 6) 1500.000 C( 2, 7) 1500.000 C( 3, 1) 2000.000 C( 3, 2) 2000.000
17
C( 3, 3) 2000.000
C( 3, 4) 2000.000
C( 3, 5) 2000.000
C( 3, 6) 2000.000
C( 3, 7) 2000.000
C( 4, 1) 1803.160
C( 4, 2) 1966.993
C( 4, 3) 1800.000
C( 4, 4) 2225.368
C( 4, 5) 1803.121
C( 4, 6) 1800.000
C( 4, 7) 1801.000
附录三
模型二的求解程序：
sets:
shijianduan/1..7/:n,t,d;
xinghao/1..4/:m,w,k,a,b,z;
link(xinghao,shijianduan):x,c;
endsets
min=@sum(xinghao(i):x(i,1)*z(i))
+@sum(xinghao(i):@sum(shijianduan(j):x(i,j)*(a(i)+b(i)*(c(i,j)-w(i)))*t(j)))
+@sum(xinghao(i):@sum(shijianduan(j)|j#le#6:@if(x(i,j+1)#gt#x(i,j),((x(i,j+1)*0.8-x(i,j))*z(i)),0)));
@for(link(i,j):@gin(x(i,j)));
@for(link(i,j):x(i,j)<=m(i));
@for(link(i,j):c(i,j)>=w(i));
@for(link(i,j):c(i,j)<=k(i));
@for(shijianduan(j):d(j)=@sum(xinghao(i):x(i,j)*c(i,j)));
@for(shijianduan(j):d(j)>=n(j));
data:
n=11000,33000,25000,36000,25000,30000,18000;
t=6,3,3,2,4,4,2;
m=10,5,8,4;
w=800,1000,1200,1800;
k=1800,1500,2000,3500;
a=2200,1800,3800,4800;
b=2.7,2.2,1.8,3.8;
z=5000,1600,2400,1200;
enddata
18
Local optimal solution found.
Objective value: 1444670.
Objective bound: 1444670. Infeasibilities: 0.4085621E-13
Extended solver steps: 77
Total solver iterations: 28108
Variable Value
N( 1) 11000.00
N( 2) 33000.00
N( 3) 25000.00
N( 4) 36000.00
N( 5) 25000.00
N( 6) 30000.00
N( 7) 18000.00
T( 1) 6.000000
T( 2) 3.000000
T( 3) 3.000000
T( 4) 2.000000
T( 5) 4.000000
T( 6) 4.000000
T( 7) 2.000000
D( 1) 11000.00
D( 2) 33000.00
D( 3) 25000.00
D( 4) 36000.00
D( 5) 25000.00
D( 6) 30000.00
D( 7) 18000.00
M( 1) 10.00000
M( 2) 5.000000
M( 3) 8.000000
19
M( 4) 4.000000
W( 1) 800.0000
W( 2) 1000.000
W( 3) 1200.000
W( 4) 1800.000
K( 1) 1800.000
K( 2) 1500.000
K( 3) 2000.000
K( 4) 3500.000
A( 1) 2200.000
A( 2) 1800.000
A( 3) 3800.000
A( 4) 4800.000
B( 1) 2.700000
B( 2) 2.200000
B( 3) 1.800000
B( 4) 3.800000
Z( 1) 5000.000
Z( 2) 1600.000
Z( 3) 2400.000
Z( 4) 1200.000 X( 1, 1) 0.000000 X( 1, 2) 8.000000 X( 1, 3) 10.00000 X( 1, 4) 9.000000 X( 1, 5) 9.000000 X( 1, 6) 10.00000 X( 1, 7) 0.000000 X( 2, 1) 5.000000 X( 2, 2) 5.000000 X( 2, 3) 4.000000 X( 2, 4) 5.000000 X( 2, 5) 5.000000 X( 2, 6) 5.000000 X( 2, 7) 5.000000 X( 3, 1) 2.000000 X( 3, 2) 3.000000 X( 3, 3) 4.000000 X( 3, 4) 4.000000 X( 3, 5) 0.000000 X( 3, 6) 3.000000 X( 3, 7) 2.000000 X( 4, 1) 0.000000 X( 4, 2) 3.000000
20
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、B,C、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A、B，C、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A、B 离地距离之和， ()g θ为C、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。 不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=?，显然，() h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =?<而()()()0h f g πππ=?>，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 x+y+z=10；
电力生产问题 为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表1。 所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。 （ 只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。 问题（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？ 问题（2）如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？ 电力生产问题的数学模型 摘要 本文解决的是电力生产问题，在发电机的发电量能满足每日的电力需求的条件下，为了使每日的总成本达到最低，我们建立了一个最优化模型。 对于问题一：由已知条件可知有固定成本、边际成本、启用成本，据此，我们确定了三个指标：即固定总成本、边际总成本、启动总成本。总成本即为这三项总成本之和。每天分为七个时段，发电机共有四种型号，方案结果应该包括每个时段每种型号平均功率及该时段该型号发电机的数量，一共有56个未知数，为减少未知数，并将非线性约束条件转化为线性约束条件，将整数规划转化为非整数规划，我们以每个时段每种型号的几个发电机发出的总功率为变量，并列出相应的约束条件，然后通过LINGO求出个时段各种型号发电机的总功率，再采用分支定界法求出最小总成本为
146.9210万元。再根据总功率利用Matlab软件计算出总功率所对应的该型号发电机的数量（见表一）。 对于问题二：题目要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。其他条件与问题一相同，因此，只需增加一个约束条件，即发电机机组所能发出的最大总功率乘以80%后大于用电需求。为锻炼编程技术，故在第二问改用Matlab软件编程来求解，将所要求的7个时段4种型号的发电机的平均功率一共28个未知数用X1，X2,，，，X28表示，将其对应的发电机数量用X29，X30，，，X56表示，并利用矩阵列出约束条件和目标函数，然后编程并运行求解，得到的发电机数量有的不为整数，然后采用分支定界法，得到调整后的结果，最小总成本为157.5426万元。 ! 关键词：线性规划、总功率、使用数量、总成本 1.问题重述 1.1问题背景 为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表1。 所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。 任何代价。 1.2需要解决的问题 问题（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？ 问题（2）如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？ 2.模型假设 假设1：调整发电机功率没有成本 :
野兔生长问题 摘要 根据题目，野兔生长属自然范畴，若在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的，从著名的斐波纳契数列解决兔子生长问题也可以看出，兔子的生长，呈递增的状态。可由题目条件可知，野兔生长并不是处于理想的情况下的，中间有递减的情况，考虑到自然的各种原因，诸如，天敌的捕杀，自然灾害，疾病，生存地的减少等。 对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型拟和多项式拟合来模。Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。用多项式拟合可以大致模拟预测未来的兔子数量。 之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。该结果比较符合客观规律。 利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等；也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也由此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。 关键字：Logistic模型生态学 MATLAB程序 问题重述 野兔生长问题。首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。我们探讨了其中的因素： （1），兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。 （1），自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。 （2），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。 （3），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。。（4），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。
数学建模之电力的生产问 题 Prepared on 22 November 2020
电力生产最小成本 摘要 本文是需解决发电机厂每天在不同时间段用电需求量不同的情况下，根据给定不同型号不同数量的发电机，合理分配各台发电机在不同时间段的开启和关闭以及运行时的输出功率，既使得一天内总发电成本最小，又使发电机组在一天中各个时段的总输出功率达到用电需求的问题，为解决这个问题，采用了单目标非线性规划方法，建立了所求问题的最优化模型，借助Lingo软件对模型进行求解，得到每日最小发电总成本，以此制定发电机组的启停计划。 问题一：为了使发电厂一天总的发电成本最低，同时还要考虑到不同时间段开机数量不同对启动成本的相互影响，将七个时间段的成本统一考虑，其中，启动成本与发电机开启数量有关，要让成本少，应在满足相应约束条件下尽量减少开机数量，尽量让上一阶段的发电机下一阶段依然工作，边际成本与开启发电机台数、输出功率、最小功率、时长有关，固定成本与开启发电机台数、时长有关，选取相应的约束条件对目标函数进行约束，从而给出优化模型，运用非线性规划的方法，利用Lingo编程求解，得到发电厂每天最小发电总成本为：1427179 元。具体的发电机使用方案见附录一中表一、表二。 问题二：根据题目的要求，在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，在建模时将每台发电机的实际输出功率降至80%，所以可以按照问题一建立的模型，将其约束条件中每个时间段的实际输出功率改为功率的80%但同时要满足用电量，同样利用Lingo编程求解，得到发电厂每天最小发电总成本为：1444670元。具体的发电机使用方案见附录一中表三、表四。 在得到上述两个问题的结果后，对结果的正确性性进行检验，并且对所得结果进行分析，给出自己的评价，并且对所建模型的合理性进行判断，以及对模型做了适当的推广。 关键词：单目标非线性规划发电机的合理搭配电力生产最优解
2009《数学建模》期末试卷A 考试形式：开卷 考试时间：120分钟 姓名： 学号： 成绩： ___ 1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。 2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。 设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r <。 在每个生产周期T 内，开始一段时间（00T t ≤≤） 边生产边销售，后一段时间（T t T ≤≤0）只销售不 生产，存贮量)(t q 的变化如图所示。设每次生产开工 费为1c ，每件产品单位时间的存贮费为2c ，以总费用最小为准则确定最优周期T ，并讨论k r <<和k r ≈的情况。 3．（10分）设)(t x 表示时刻t 的人口，试解释阻滞增长（Logistic ）模型 ?????=-=0)0()1(x x x x x r dt dx m 中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。 4．（25分）已知8个城市v 0，v 1，…,v 7之间有一个公路网（如图所示）， 每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间． （1）设你处在城市v 0，那么从v 0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？ （2）求出该图的一棵最小生成树。 5．（15分）求解如下非线性规划: 20 s.t.2 122 2 121≤≤≤+-=x x x x x z Max 6．（20分）某种合金的主要成分使金属甲与金属乙.经试验与分析, 发现这两种金属成分所占的百分比之和x 与合金的膨胀系数y 之间有一定的相关关系.先测试了12次, 得数据如下表：
的模型。 7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。 《数学建模》模拟试卷（三）参考解答 1. 数学模型是对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的,作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制。 数学建模方法 一般来说数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。 机理分析是根据客观事物特征的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的数学模型常有明确的物理意义。 测试分析是将研究对象看作一个"黑箱"(意即内部机理看不清楚)，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合得最好的模型。 数学建模的一般步骤 (1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。 (2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。 (3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。 4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。 (5)模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。 (6)模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。 (7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。 2. 单位时间总费用 k T r k r c T c T c 2)()(21-+= ，使)(T c 达到最小的最优周期 )(2T 21*r k r c k c -＝ 。当k r <<时，r c c 21*2T ＝ ，相当于不考虑生产的情况；当k r ≈时，∞→*T ，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。 3. t ——时刻； )(t x ——t 时刻的人口数量； r ——人口的固有增长率； m x ——自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；
201数学建模生产计划 摘要 本文主要研究足球生产计划的规划问题。 对于问题一足球总成本包括生产成本与储存成本，又由于足球各月的生产成本、储存成本率及需求量已知，故各月足球的生产量对总成本起决定因素。在此建立总成本与足球生产量之间的关系，运用Matlab求出了总成本的最优解。 对于问题二储存成本率的大小影响了储存成本的高低，要使总成本最低，在储存成本率变化的情况下必须不断调整足球各月生产量，我们在Matlab中运用散点法，取了501个点，进而对图形进行线性拟合，得出储存成本率减小时各月足球生产量的变化情况。 对于问题三考虑到储存容量不能用储存成本率直接由函数表达，因此在Matlab 采用散点法结合表格分析法对501个点进行分析可得到储存成本率为0.39%时，储存容量达到最大。 关键词：最优解散点法线性拟合表格分析法 问题的重述 皮革公司在6个月的规划中根据市场调查预计足球需求量分别是10,000、15,000、30,000、35,000、25,000和10,000，在满足需求量的情况下使总成本最低，其包括生产成本及库存成本。根据预测，今后六个月的足球的生产单位成本分别是$12.50、$12.55、$12.70、$12.80、$12.85和$12.95，而每一个足球在每个月中的持有成本是该月生产成本的5%。目前公司的存货是5,000，每个月足球最大产量为30,000，而公司在扣掉需求后，月底的库存量最多只能储存10,000个足球。 问题一、建立数学模型，并求出按时满足需求量的条件下，使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。 问题二、如若储存成本率降低，生产计划会怎样变化？ 问题三、储存成本率是多少时？储存容量达到极限。 问题的分析 问题一要求在足球的需求量一定的情况下，使生产总成本和储存成本最小。又足球的生产成本和储存成本率已知，故只需要建立生产总成本和储存成本与各月足球的生产量之间的优化模型，运用Matlab即可求出足球生产总成本和储存成本的最优化组合。
----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 试 题 说 明 1.本次数学建模周共有如下十五道题。每支队伍（2-3人/队）必须从以下题中任意选取一题，并完成一篇论文，具体要求参阅《论文格式规范》。 2.指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。 3.题目标注为“A ”的为有一定难度的题目，选择此题你们将更有可能得到高分。 （一）乒乓球赛问题 (A) A 、 B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次 序出场而B 队以 j β次序出场，则打满5局A 队可胜ij a 局。由此得矩阵 () ij R a =如下： （1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？ （2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3） 如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？ （4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式 有何优缺点？ （二）野兔生长问题 时野兔的数量。 （三）停车场的设计问题 在New England 的一个镇上，有一位于街角处面积100?200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。 容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。 （四）奖学金的评定 (A) 背景 A Better Class (ABC)学院的一些院级管理人员被学生成绩的评定问题所困扰。平均来说，ABC 的教员们一向打分较松（现在所给的平均分是A —）,这使得无法对好的和中等的学生加以区分.然而,某项十分丰厚的奖学金仅限于资助占总数10%的最优秀学生,因此,需要对学生排定名次. 教务长的想法是在每一课程中将每个学生与其他学生加以比较,运用由此得到的信息构造一个排名顺序.例如,某个学生在一门课程中成绩为A,而在同一课程中所有学生都得A,那么就此课而言这个学生仅仅属于“中等”。反之，如果一个学生得到了课程中唯一的A ，那么，他显然处在“中等至上”水平。综合从几门不同课程所得到的信息，使得可以把所有学院的学生按照以10%划分等级顺序（最优秀的10%，其次的10%，等等）排序。 问题 （1）假设学生成绩是按照（A+，A, A —, B+ ,…）这样的方式给出的,教务长的想法能否实现?
电力生产问题 摘要 本文解决的是电力生产中发电机的安排问题，在满足每日各时间段电力需求的条件下，安排各型号发电机来供电，以期获得最小的成本。为解决此问题，我们建立了两个最优化模型。 针对问题一：建立了非线性单目标最优化模型。从已知条件、目标函数、约束条件三方面进行综合分析可知，每天的总成本由总固定成本、总边际成本、总启动成本组成，确定总成本为目标函数，各时段各型号发电机工作数量及其总超出功率为主要变量，并列出相应约束条件。最后通过Lingo软件[2]求出最小成本为1540770元，并得出各时段各型号发电机的数量及其功率如下表（具体见表三）： 针对问题二：建立了线性单目标最优化模型。引入非负变量，即为各时段新增开的各型号的发电机台数，通过此变量线性表示出启动成本。以总成本为目标函数，在模型一的基础上，只需改变一个约束条件，即发电机组在任意时间段内所能发出的最大总功率的80%要大于等于该时段的用电需求。最后通过lingo软件求出最小成本为1885420元，并得出各时段各型号发电机的数量及其功率。 关键词：非线性最优化模型线性最优化模型最小生产成本
1 问题重述 1.1 问题背景 在电力生产过程中，为满足每日的电力需求并且使生产成本达到最小，因不同发电性能的发电机成本不同，故可以选用不同型号的发电机组合使用。 1.2 题目信息 题中给出了一天中七个时段的用电需求（见表一）及四种发电机的发电性能和相应成本（见表二）。其中，所有发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于其最小输出功率，且所有发电机均存在一个启动成本，以及工作于其最小功率状态时固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。 问题（1）：在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？ 问题（2）：如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？ 2 模型假设 假设1：不计发电机启动时所需时间； 假设2：各发电机均在24时关闭，即不考虑循环过程； 假设3：各发电机的输出功率在时段初调整好后，保持不变； 假设4：题目所列出的成本以外的成本消耗不计。
华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟 学号姓名年级专业 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s = （x1.x2.x3.x4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。（12分） . .
电力生产问题数学模型
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电力生产问题数学模型 摘要 本文研究电力生产问题中的最优化电力资源配置，属于求解优化电力配置下的最小成本问题。由于电力生产有非线性、多变量等特点，所以我们基于在每一时间段非线性局部最优的前提下，建立整体的单目标多变量的非线性最优化模型 。 因此对于研究的课题，我们建立了一个有约束条件的目标函数的最优化模型来求解。在该模型的基础上我们建立起解决问题所需模型。 解决问题(1)时，我们运用LINGO 工具求解所建立的数学模型，得到每个时段的台数和成本如下表：(详细数据见) 时段1 时段2 时段3 时段4 时段5 时段6 时段7 总成本/元 型号1 0 2 0 2 0 1 0 0 1750 750 1750 1000 1300 750 … … … … … … … … 型号4 0 3 3 3 3 3 3 0 2166.6 1800 3500 1800 1800 解决问题(2)时，我们从节约能源和成本的前提出发，让在工作的每一台发电机保留出20%的发电能力，而不是让其发出多于需求电量的20%白白浪费，因此我们将“每个时段的电力需求”这个约束条件由问题（1）中的j ij j D P m ≤≤改为 8.0?≤≤j ij j D P m 。得到每个时段的台数和成本如下表：(详细数据见) 时段1 时段2 时段3 时段4 时段5 时段6 时段7 总成本/元 型号1 0 5 0 8 1 5 0 0 1400 1400 1400 1400 1400 0 … … … … … … … … 型号4 3 3 3 3 3 3 3 1866.6 2466.6 2466.6 2400 2000 1800 1800 关键词：非线性 整体最优化 LIGNO 软件 时 段 型 号 时 段 型 号
实验名称：第十一章最短路问题 一、实验内容与要求 掌握Dijkstra算法和Floyd算法，并运用这两种算法求一些最短路径的问题。 二、实验软件 MATLAB7.0 三、实验内容 1、在一个城市交通系统中取出一段如图所示，其入口为顶点v1，出口为顶点v8，每条弧段旁的数字表示通过该路段所需时间，每次转弯需要附加时间为3，求v1到v8的最短时间路径。 V1 1 V2 3 V3 1 V5 6 V6 V4 2 V7 4 V8
程序： function y=bijiaodaxiao(f1,f2,f3,f4) v12=1;v23=3;v24=2;v35=1;v47=2;v57=2;v56=6;v68=3;v78=4; turn=3; f1=v12+v23+v35+v56+turn+v68; f2=v12+v23+v35+turn+v57+turn+v78; f3=v12+turn+v24+turn+v47+v78; f4=v12+turn+v24+v47+turn+v57+turn+v56+turn+v68; min=f1; if f2 f4 实验结果： v1到v8的最短时间路径为15，路径为1-2-4-7-8. 2、求如图所示中每一结点到其他结点的最短路。V110 V3V59 V6 floy.m中的程序： function[D,R]=floyd(a) n=size(a,1); D=a for i=1:n for j=1:n R(i,j)=j; end end R for k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j) 第１题企业评价 选定20个评价者对某一企业的市场营销效果进行评价，将评价等级分为五等，如表一所示，评价等级的数字表示人数，如“资产负债率”一栏表示有6个人认为很好，9个人认为较好等等，采用适当的方法对该企业属于哪一等级作出评价。 表一企业市场营销效果评价情况 第2题强烈的碰撞 美国国家航空和航天局（NASA）从过去某个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地球会产生的后果。 作为这种努力的组成部分，要求你们队来考虑这种撞击的后果，加入小行星撞击到了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞到地球的其它地方可能会有很不同的后果。 假设小行星的直径大约为1000米，还假设它正好在南极与南极洲大陆相撞。 要求你们对这样一颗小行星的撞击提供评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区的估计，对南半球海洋的食物生产的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的估计。 第3题灌溉问题 下图是一个农田图，边表示田埂，周围是灌溉渠，问至少要挖开多少个田埂才能使每一块地都能灌上水？给出挖开田埂的一个方案。 第４题路线设计 现在有8个城市，已知两个城市之间的路费如下表，现在有一个人从A城市出发旅行，应该选择怎样的路线才能刚好每个城市都到达一次又回到A城市，其总路费最少？ A B C D E F G H A B C D E F G 56 35 21 51 60 43 39 21 57 78 70 64 49 36 68 --- 70 60 51 61 65 26 13 45 62 53 26 50 第5题水质评价 按照《中华人民共和国地下水质量标准》，地下水水质共分六个等级（如表一）。现经过抽样得到三个地区的水质状况（如表二），对照标准，试评价他们各属哪一级。 Ⅰ类Ⅱ类Ⅲ类Ⅳ类Ⅴ类 第一题：生产计划安排 2）产品ABC的利润分别在什么范围内变动时，上述最优方案不变 3）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜 4）如果生产一种新产品D，单件劳动力消耗8个单位，材料消耗2个单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产 答： max3x1+x2+4x3! 利润最大值目标函数x1,x2,x3分别为甲乙丙的生产数量 st!限制条件 6x1+3x2+5x3<45! 劳动力的限制条件 3x1+4x2+5x3<30! 材料的限制条件 End！结束限制条件 得到以下结果 1.生产产品甲5件，丙3件，可以得到最大利润，27元 2.甲利润在—元之间变动，最优生产计划不变 3. max3x1+x2+4x3 st 6x1+3x2+5x3<45 end 可得到生产产品乙9件时利润最大，最大利润为36元，应该购入原材料扩大生产，购入15个单位 4. max3x1+x2+4x3+3x4 st 6x1+3x2+5x3+8x4<45 3x1+4x2+5x3+2x4<30 end ginx1 ginx2 ginx3 ginx4 利润没有增加，不值得生产 第二题：工程进度问题 某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程，每项工程有不同的开始时间，工程周期也不一样，下表提供了这些项目的基本数据。 工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成，必要时，其余的二项工程可以在预算的限制内完成部分。然而，每个工程在他的规定时间内必须至少完成25%。每年底，工程完成的部分立刻入住，并且实现一定比例的收入。例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是*50（第二年）+*50（第三年）+（+）*50（第四年）+（+）*50（第五年）=（4*+2*）*50（单位：万元）。试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的总收入达到最大。 答： 假设某年某工程的完成量为Xij, i表示工程的代号，i=1,2,3，j表示年数，j=1,2,3，如第一年工程1完成X11，工程3完成X31，到第二年工程已完成X12，工程3完成X32。 另有一个投入与完成的关系，即第一年的投入总费用的40%，该工程在年底就完成40%，工程1利润： 50*X11+50*(X11+X12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13) 工程2利润： 70*X22+70*(X22+X23)+70*(X22+X23+X24) 工程3利润： 20*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34) 工程4利润： 20*X43+20*（X43+X44） max(50*X11+50*(x11+x12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13))+(70*X22+70*(X22+X23) )+70*(X22+X23+X24)+(150*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34)) +(20*X43+20*(X43+X44)) st 5000*X11+15000*X31=3000 5000*X12+8000*X22+15000*X32=6000 5000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43=7000 8000*X24+15000*X34+12000*X44=7000 8000*X25+15000*X35=7000 X11+X12+X13=1 X22+X23+X24+X25≥ X22+X23+X24+X25≤1 X31+X32+X33+X34+X35≥ X31+X32+X33+X34+X35≤1 X43+X44=1 全为大于零的数 试卷学期《数学模型》期末考试A山东轻工业学院08/09学年II 页）本试卷共4< 题说明总号考次开试分考卷试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以 使用计算器，但上述物品严禁相互借用。16分，每小题8分）一、简答题<本题满分得分）式，写出与§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下<11、在阅卷人<2）式的差别，并解释这个差别；中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产 费用，在什么条件下可2、试说明在§3.1 以不考虑它；8分）二、简答题<本题满分16分，每小题得分1阅卷人?s)(ti的变化情时、对于1§5.1传染病的SIR 模型，叙述当0?况并加以证明。 E 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度的减函数，)0?0,b?c?a?bE,(a即，请问如何达到最大经济效益？本题满分16分，每小题8分）三、 简答题<得分s程是法图解说明为什么方策、1在§9.3 随机存储略中，请用)S?(x)?cI(I的最小正根。阅卷人0、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模 的能力？2 分）四、<本题满分20得分219人，二年级有某中学有三个年级共1000名学生，一年级有人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办316人，三年级有465 阅卷人Q ;<2））按比例加惯例的方法法分配各年级的优秀学生名额：<1值法。另外如果校级优秀学个，重新进行分配，并按照席位分配的理想生名额增加 到21化准则分析分配结果。得分分）16五、<本题满分阅 卷人大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个层次结构图如图，已知准则层。 选可业就岗位供择对目标层的成对比较矩阵1 / 4 选择就业岗位 71/1/43511????????23111/2/AB??41，比较矩阵分别为成，方案层对准则层的对 ????1????22171/51/1????117463????????3112/B?3B?1/41。，JhYEQB29bj ????32????1/21/6111/71/3????请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。 16分）六、<本题满分得分某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的阅卷人<额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制退保）。 定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？5Y944Acbad 退保死亡II 学期《数学模型》期末考试A试卷解答山东轻工业 学院08/09学年0.05 0.03 分）分，每小题8一、简答题<本题满分160.15 0.07 m(m?1)???2mr?vt2?）得4分1、答：由<1，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20.1 健康疾病2???knk2?)t?2r?n?(knm?代入得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。，6分将 vv0.6 ???2r?r2??r，则得<2因为）。所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 crc，每天的平均费用是，则平均每天的生产费用为2、答：假设每件产品的生产费用为 33ccrT112??crC(T)?4分，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 1132T1)TdC()TdC(11)T(TC?下面求最小，发现使，所以111dTdT12c1??TT，与生产费用无关，所以不考虑。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。81cr2分 二、简答题<本题满分16分，每小题8分） 1di??s?),(1s??i，1、答：由<14若）0?dtdi1s)(t??s,?0i时，4增 加; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。分当0?dtdi1?i(ts),?0i时，达到最大值当； 摘要： 在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。由生物知识知道，鼠患的主要原因是由于人为对自然环境的损坏使得生态失去了平衡，至使老鼠的视线得到了很好的扩充，在加上天敌数量的减少，使得老鼠数目得不到有效控制。为了更好的对其进行有效、合理的控制，并对其各种方案进行有效性分析，本文主要通过对老鼠和天敌数目之间的关系利用微分等数学方法对模型进行了建立，并在最后给出了自己的最好的方案，但本文存在一定的缺点，对数据的要求较高，需要对大量数据进行统计，使得模型过于复杂。 关键字：微分方程、几何型曲线、生态平衡、鼠患 一、问题重述 在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。 老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，繁殖力强。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。 更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。 控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法: (1) 灭鼠药现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。 (2) 引入老鼠的天敌通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、狐狸、狼等，将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它们控制老鼠的数量。这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。 (3) 人工种植牧草鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。 问题1、建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题； B题人员安排问题 “PE公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。 表1 公司的人员结构及工资情况 目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。 表2 不同项目和各种人员的收费标准 为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示： 表3：各项目对专业技术人员结构的要求 说明： ●表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“～”符号的同理； ●项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加； ●高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备 有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求； ●各项目客户对总人数都有限制； ●由于C、D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。 由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？并写出相应的论证报告。 问题重述: 本问题是人事安排,在满足客户要求,和公司人员结构的前提下,公司获得最大利润问题,即: 4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？ 要建立模型: 1,客户要求:不同工种的人数,见表3. 2,公司人员结构:见表1. 3,不同项目,和各种人员收费标准:见表2. 建立最佳收益模型f(x)max,并列出不同项目的人员结构. 模型假设: 假设四个项目同时开始,并且同时结束,所有人都工作.同等级别的人的能力一样. C 、D 项开支由公司支付。 符号说明 i ：用i ＝1,2,3,4分别表示高级工程师，工程师，助理工程师和技术员。 j ：用j ＝1,2,3,4分别表示项目A,B,C 和D 。 ij X ：公司分配第i 级别工作人员到第j 个项目上的人数。例如23X 表示公司 分配工程师到项目C 上的人数。 ij a ：第i 级别工作人员分配到第j 个项目上的收费。 ij b : 第i 级别工作人员分配到第j 个项目上时公司的开支（包括工资和管理 费）。 ij A : 表示到项目j 工作的第i 级别工作人员为公司贡献的纯利润收入。 j λ： 表示第j 个项目的总工时（即项目j 的总工作量）。 模型的建立： 总收益=总收入-总支出 公司每天的总收费为： ij i j ij X a ∑∑==414 1 ， 每天的总开支为：ij i j ij X b ∑∑==41 4 1 公司每天的直接收益为： ij i j ij ij X a X f ∑∑===4 14 1 )( － ij i j ij X b ∑∑==4 14 1 = ij i j ij ij X b a )(4 14 1 ∑∑==- （1） 由此可得，方程模型：Max ：ij i j ij ij ij X b a X f )()(414 1 ∑∑==-=数学建模36套试题
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