高中数学苏教版必修222 圆与圆的位置关系

学业分层测评(二十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的位置关系是________．
【解析】圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的圆心是C1(－2,2)，半径长r1＝1；圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的圆心是C2(2,5)，半径长r2＝6，则|C1C2|＝5＝r2－r1，故两圆内切．
【★★答案★★】内切
2．两圆相交于点A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线l：x－y＋c＝0上，则m＋c＝________.
【解析】由题意可知，AB⊥l，由于k l＝1，故k AB＝－1，
即3＋1
1－m
＝－1，解得m＝5.又AB的中点在直线l上，故3－1＋c＝0，解得c
＝－2，所以m＋c＝5－2＝3.
【★★答案★★】 3
3．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是__________．
【解析】由题意，得2r＝32＋(－1)2＝10，
∴r＝10 2.
【★★答案★★】10 2
4．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4相切，则m的值为________. 【导学号：60420090】
【解析】圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为 2.当C1，C2外切时有(－2－m)2＋(m＋1)2＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5；当C1，C2内切时有(－2－m)2＋(m＋1)2＝3－2，即m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m
＝－2.
【★★答案★★】－5，－2，－1,2
5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是________________．
【解析】动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5，－7)为圆心，以3或5为半径的圆．
【★★答案★★】(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
6．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋3＝0的公切线有且仅有________条．
【解析】C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
C2：(x－2)2＋(y－1)2＝2.
圆心距d＝C1C2＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13.
d>r1＋r2＝1＋2，
∴两圆C1与C2相外离有4条公切线．
【★★答案★★】 4
7．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则PQ的最小值是__________．
【解析】若两圆相交或相切，则最小值为0；若两圆外离，则最小值为C1C2－r1－r2.(x－4)2＋(y－2)2＝9的圆心为C1(4,2)，半径r1＝3；(x＋2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C2(－2，－1)，半径r2＝2.又C1C2＝35，显然两圆外离，所以PQ 的最小值是35－5.
【★★答案★★】35－5
8．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋64＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________. 【导学号：60420091】
【解析】依题意，已知曲线为一个圆，其标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝8，所以所求圆的圆心在直线y＝x上，直径为已知圆圆心到直线x＋y－2＝0的距离
减去已知圆半径，即|6＋6－2|
2
－22＝32，设所求圆的圆心为(a，b)，
则⎩
⎨⎧ b ＝a ，
(6－a )2＋(6－b )2＝22＋322，
得a ＝b ＝52，
所以所求圆的标准方程为
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝92. 【★★答案★★】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －522＝92 二、解答题
9．圆C 的半径为3，圆心C 在直线2x ＋y ＝0上且在x 轴的下方，x 轴被圆C 截得的弦长BD 为2 5.
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆E 与圆C 关于直线2x －4y ＋5＝0对称，试判断两圆的位置关系．
【解】 (1)设圆心坐标为(a ，－2a )，则圆的方程为(x －a )2＋(y ＋2a )2＝9， 作CA ⊥x 轴于点A ，在Rt △ABC 中，CB ＝3，AB ＝5，
∴CA ＝2，
所以|－2a |＝2⇒a ＝±1，
又因为点C 在x 轴的下方，所以a ＝1，
即C (1，－2)，
所以圆的方程为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.
(2)点C (1，－2)到直线的距离为
d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝|2＋8＋5|4＋16
＝352＞3， 所以圆C 与直线2x －4y ＋5＝0相离．
而圆E 与圆C 关于直线2x －4y ＋5＝0对称，
所以圆E 与直线2x －4y ＋5＝0也相离，故两圆相离．
10．设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值．
【解】 M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，即{(x ，y )|x 2＋y 2＝2a 2，y ≥0}，表
示以原点O为圆心，半径等于2a的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)．N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a>0}，表示以O′(1，3)为圆心，半径等于a的一个圆．
再由M∩N≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切．
当半圆和圆相外切时，由OO′＝2＝2a＋a，
求得a＝22－2；
当半圆和圆相内切时，由OO′＝2＝2a－a，
求得a＝22＋2，
故a的取值范围是[22－2,22＋2]，
a的最大值为22＋2，最小值为22－2.
[能力提升]
1．(2016·镇江高一检测)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0
的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝25
4截得的弦长是__________．
【解析】圆C1，C2方程相减得公共弦所在的直线方程为x＋y－1＝0，则
圆心C3(1,1)到直线的距离d＝|1＋1－1|
2
＝
2
2，所以所求弦长为2r
2－d2＝
2×
25
4－
1
2＝23.
【★★答案★★】23
2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|
＝________.
【解析】依题意，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a>0，因此圆的方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×102－4×17＝8.
【★★答案★★】8
3．过点A(4，－1)，且与圆x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1,2)的圆的方程是________．
【解析】圆x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心为(－1,3)，半径为5，所以两圆
的圆心连线的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.
设要求的圆的圆心为(x ，y )， 则(x －4)2＋(y ＋1)2＝(x －1)2＋(y －2)2，
化简得x －y －2＝0即圆心所在直线方程，联立两条直线方程得圆心坐标为(3,1)，半径为5，即所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.
【★★答案★★】 (x －3)2＋(y －1)2＝5
4．(2016·无锡高一检测)已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上．
(1)若动圆C 过点(－5,0)，求圆C 的方程；
(2)是否存在正实数r ，使得动圆C 满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)依题意，可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25，其中圆心(a ，b )满足a －b ＋10＝0.
又因为动圆过点(－5,0)，故(－5－a )2＋(0－b )2＝25.
解方程组⎩⎨⎧ a －b ＋10＝0，(－5－a )2＋(0－b )2＝25，
得⎩⎨⎧ a ＝－10，b ＝0或⎩⎨⎧
a ＝－5，
b ＝5，
故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25.
(2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|10|2＝5 2. 当r 满足r ＋5<d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相切的圆；
当r 满足r ＋5＝d ，即r ＝52－5时，动圆C 中有且仅有一个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切；当r 满足r ＋5>d ，即r >52－5时，与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有两个． 综上，当r ＝52－5时，动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个．。