分式经典题型分类练习题
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分式经典题型分类练习题
分式的运算
一、分式的定义及有关题型
题型一：考查分式的定义
分式的定义是指分子和分母都是代数式的算式。例如，下列代数式中，x-y和2x+y-a+b是分式。
题型二：考查分式有意义的条件
当分母不等于0时，分式才有意义。例如，当x不等于-4时，分式(x-4)/(x+4)有意义。
题型三：考查分式的值为的条件
当分式的值为0时，分子等于0.例如，当x=1或x=-3时，分式(x-1)/(x+3)的值为0.
题型四：考查分式的值为正、负的条件
当分式的分子和分母都大于0或者都小于0时，分式的值为正；当分子和分母符号不同，分式的值为负；当分子等于0时，分式的值为0.
练：
1.当分母不等于0时，下列分式有意义：
1) (x-3)/(6|x|-3)
2) (3-x)/[(x+1)+12]
3) 1/(x^2-1)
2.当分子等于0时，下列分式的值为0：
1) (x+4)/(x-5)
2) (25-x^2)/(x^2-6x+5)
3.解不等式：
1) |x|-2<=x+1
2) (x+5)/(x^2+2x+3)>2/(x+3)
二、分式的基本性质及有关题型
1.分式的基本性质：分式可以化简、加减乘除。
2.分式的变号法则：分式的分子和分母同乘或同除一个非零数时，分式的值不变；分子和分母同变号时，分式的值也不变。
题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
为了方便计算，可以把分数系数、小数系数化为整数系数，但不改变分式的值。
题型二：分数的系数变号
为了方便计算，可以把分式的分子和分母的首项的符号变为正号，但不改变分式的值。
题型三：化简求值题
通过化简分式，可以求出分式的值。例如，已知(12x-3xy+2y)/(yx+2xy+y)的值为5，求1/(x*y)的值。
练：
1.把下列分式的分子、分母的系数化为整数，但不改变分式的值：
1) 0.03x-0.2y/0.08x+0.5y
2) 3/0.4a+b/5
修改后的文章：
分式的运算
一、分式的定义及有关题型
题型一：考查分式的定义
分式的定义是指分子和分母都是代数式的算式。例如，下列代数式中，x-y和2x+y-a+b是分式。
题型二：考查分式有意义的条件
当分母不等于0时，分式才有意义。例如，当x不等于-4时，分式(x-4)/(x+4)有意义。
题型三：考查分式的值为的条件
当分式的值为0时，分子等于0.例如，当x=1或x=-3时，分式(x-1)/(x+3)的值为0.
题型四：考查分式的值为正、负的条件
当分式的分子和分母都大于0或者都小于0时，分式的值为正；当分子和分母符号不同，分式的值为负；当分子等于0时，分式的值为0.
练：
1.当分母不等于0时，下列分式有意义：
1) (x-3)/(6|x|-3)
2) (3-x)/[(x+1)+12]
3) 1/(x^2-1)
2.当分子等于0时，下列分式的值为0：
1) (x+4)/(x-5)
2) (25-x^2)/(x^2-6x+5)
3.解不等式：
1) |x|-2<=x+1
2) (x+5)/(x^2+2x+3)>2/(x+3)
二、分式的基本性质及有关题型
1.分式的基本性质：分式可以化简、加减乘除。
2.分式的变号法则：分式的分子和分母同乘或同除一个非零数时，分式的值不变；分子和分母同变号时，分式的值也不变。
题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
为了方便计算，可以把分数系数、小数系数化为整数系数，但不改变分式的值。
题型二：分数的系数变号
为了方便计算，可以把分式的分子和分母的首项的符号变为正号，但不改变分式的值。
题型三：化简求值题
通过化简分式，可以求出分式的值。例如，已知(12x-3xy+2y)/(yx+2xy+y)的值为5，求1/(x*y)的值。
练：
1.把下列分式的分子、分母的系数化为整数，但不改变分式的值：
1) 0.03x-0.2y/0.08x+0.5y
2) 3/0.4a+b/5
1.求解分式
已知 $\frac{1-3x}{x^2-1}=\frac{M}{x+1}+\frac{N}{x-1}$，求 $M$ 和 $N$ 的值。
2.化简求值
已知 $a$ 满足 $a^2-a=\frac{1}{2}$，计算 $\frac{a-1}{a+1}
\div \frac{2a+2}{2a-1}$ 和 $\frac{x^2-y^2}{x-y} \div [(x+y)
\cdot \frac{1}{3}]$。
3.求解方程
已知 $\frac{5x-4AB}{(x-1)(2x-1)(x-1)(2x-1)}=-1$，求
$A$ 和 $B$ 的值，使得 $\frac{399a+805}{a+2}$ 为整数。
4.计算指数幂和科学记数法
1）计算 $(a^{-2})^{-3} \cdot (bc^{-1})^3$，$\frac{(2ab^2)^{-2} \cdot (a^2b)^2}{(3ab \cdot ab^3)^{-2}}$，$(3x^3y^2z^{-1})^{-2} \cdot (5xy^{-2}z^3)^2$，$(a+b)^{-3}(a-b)^5$ 和 $(a-b)^{-2}(a+b)^2$。 2）计算 $(3 \cdot 10^{-3}) \cdot (8.2 \cdot 10^{-2})^2$ 和
$\frac{(4 \cdot 10^{-3})^2}{(2 \cdot 10^{-2})^3}$。
5.解分式方程
1）解方程 $\frac{1}{3}=\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x-1}$，$\frac{2}{x-3}-\frac{5}{x+4}=\frac{1}{x}$，$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x^2-x-12}$ 和 $\frac{4}{x-3}+\frac{1}{x+1}=\frac{x-2}{x^2-4}$。
2）解方程 $\frac{x^4}{x^2-5x+1}=x+\frac{1}{x-1}$ 和
$\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=\frac{1}{x-3}$。
一）分式方程的基本解法
解分式方程，通常的方法是去分母，并且要检验。下面举例说明：
例1】解方程：$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}=1$
解：$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}=\frac{x+2+x-1}{(x-1)(x+2)}=\frac{2x+1}{x^2+x-2}=1$
即$2x+1=x^2+x-2$
化简得$x^2-x-3=0$，解得$x_1=-2,x_2=3$
但要检验$x_1=-2$是否为方程的解：$\frac{1}{-2-1}+\frac{1}{-2+2}=\frac{1}{-3}+\frac{1}{0}$，分母为0，不符合定义，故$x_1=-2$不是方程的解。
因此，方程的解为$x=3$。
例2】解方程：$\frac{x-1}{x+2}+\frac{x+2}{x-1}=5$
解：$\frac{x-1}{x+2}+\frac{x+2}{x-1}=\frac{(x-1)^2+(x+2)^2}{(x+2)(x-1)}=5$
即$(x-1)^2+(x+2)^2=5(x+2)(x-1)$
化简得$x^2-6x+5=0$，解得$x_1=1,x_2=5$
但要检验$x_2=5$是否为方程的解：$\frac{5-1}{5+2}+\frac{5+2}{5-1}=\frac{4}{7}+\frac{7}{4}\neq 5$，故$x_2=5$不是方程的解。
因此，方程的解为$x=1$。
例3】解方程组$\begin{cases}x+y=2\\xy+3z=1\\yz+4x=1\end{cases}$
解：由第一个方程得$y=2-x$，代入第二个方程得$x(2-x)=-3z+1$，即$x^2-2x+3z-1=0$
由第一个方程得$y=2-x$，代入第三个方程得(2-x)z+4x=1，化简得$x^2-2x+2z-1=0$
联立以上两个方程，得$z=1$，代入第二个方程得$x^2-2x-2=0$，解得$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
代入第一个方程得$y_1=1-\sqrt{3},y_2=1+\sqrt{3}$
