分式典型例题

分式知识点和典型例习题

【知识网络】

【思想方法】

1．转化思想

转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．

2．建模思想

本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．

3．类比法

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分)

4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:0bcbcaaaa

2.异分母加减法则:0,0bdbcdabcdaacacacacac;

3.分式的乘法与除法:bdbdacac,bcbdbdadacac

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;am● an =am+n; am÷ an =am－n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= am bn , (am)n= amn

7.负指数幂: a-p=1pa a0=1

8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

分式方程典型易错点及典型例题分析

一、 错用分式的基本性质

例1 化简

二、 错在颠倒运算顺序

例2 计算

三、错在约分

例1 当为何值时，分式有意义？

四、错在以偏概全

例2 为何值时，分式有意义？

五、错在计算去分母

例3 计算.

六、错在只考虑分子没有顾及分母

例4 当为何值时，分式的值为零.

典例分析

类型一：分式及其基本性质

1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）

A. B. C. D.

2．若分式的值等于零，则x＝_______；

变式1（1）已知分式的值是零，那么x的值是（ ）

A．－1 B．0 C．1 D．±１

（2）当x________时，分式没有意义．

【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）

A．B．C．

D．

类型二：分式的运算技巧

(一)

通分约分

4．化简分式:

计算：

计算：

（二）裂项或拆项或分组运算

5．巧用裂项法

计算：

【变式1】分组通分法

计算：

类型三：条件分式求值的常用技巧

6．参数法 已知，求的值．

【变式1】整体代入法 已知，求的值.

【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．

已知：，求的值．

【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．

已知：，求的值．

类型四:解分式方程的方法

解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧．

（一）与异分母相关的分式方程

7．解方程=

第二讲 分式方程

【知识要点】

1.分式方程的概念以及解法;

2.分式方程产生增根的原因

3.分式方程的应用题

【主要方法】

1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母

3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.

题型一：用常规方法解分式方程

解下列分式方程

（1） （2）xx3

11



01

32



xx（3） （4）1

14

11

2





xxx

xx

xx





45

35

题型二：特殊方法解分式方程

解下列方程

（1）； （2）444

1



xx

xx

56

910

89

67











xx

xx

xx

xx

（3）

41

31

51

21







xxxx题型三：求待定字母的值

（1）若关于的分式方程有增根，求的值.x

31

32



xm

xm

（2）若分式方程的解是正数，求的取值范围.1

22





xax

a（3）若分式方程无解，求的值。

xm

xx





221

m

（4）若关于的方程不会产生增根，求的值。x

11122





xx

xk

xx

k

（5）若关于分式方程有增根，求的值。x

43

221

2



xxk

xk

题型四：解含有字母系数的方程

解关于的方程x(1 ) （2）；)0(



dc

dc

xbax

bxa211

)2(ab（3）.)(11

ba

xb

bxa

a

题型五：列分式方程解应用题

一、工程类应用性问题

1、一项工程，甲、乙、丙三队合做4天可以完成，甲队单独做15天可以完成，乙

队单独做12天可以完成，丙队单独做几天可以完成？

2、某 市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城

市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，

实际每天铺设多长管道？

二、行程中的应用性问题

2、 甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车

的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早

第 1 页 共 5 页 第15章 分式 典型例题与训练

01各个击破

命题点一 分式的有关概念

【例1】(1)当x≠2时，分式22xx有意义；

(2)当x=-2时，分式21232xx的值为零.

【方法归纳】分母中含有字母是分式的重要标志，分式有意义的条件是：分母不为0；分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0.

1.(成都中考)要使分式15x有意义，则x的取值范围是( )

A.x≠1 B.x＞1 C.x＜1 D.x≠-1

2.(凉山中考)分式33xx的值为零，则x的值为( )

A.3 B.-3 C.±3 D.任意实数

3.(赤峰中考)化简ababba22结果正确的是( )

A.ab B.-ab C.a2-b2 D.b2-a2

4.(绥化中考)化简11122aa的结果是_______.

命题点二 分式的运算

【方法归纳】分式的运算要把握两个关键：一是灵活运用因式分解去通分和约分；二是巧借运算律简化运算.

6.(抚州中考)先化简：，再任选一个你喜欢的数x代入求值.

命题点三 分式方程

第 2 页 共 5 页 【例3】(绥化中考)分式方程的解是(C)

A.x=-2 B.x=2 C.x=1 D.x=1或x=2

【方法归纳】解分式方程应注意：

(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.

(2)解分式方程一定注意要验根.

7.(黑龙江中考)已知关于x的分式方程1的解是非负数，则m的取值范围是( )

A.m＞2 B.m≥2 C.m≥2且m≠3 D.m＞2且m≠3

8.(成都中考)已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是_____.

9.(广州中考)从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍.