二次函数与幂函数知识点练习-2022届高三数学二轮复习(含答案)

二次函数练习题及答案二次函数是高中数学中的一个重要知识点，也是数学建模和应用题中常见的内容。

在学习二次函数的过程中，练习题是必不可少的。

通过大量的练习，可以加深对二次函数的理解，提高解题能力。

本文将给出一些常见的二次函数练习题及答案，希望对读者的学习有所帮助。

题目一：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（1,3），且在x轴上的截距为4，求a，b，c的值。

解答：由已知条件可得方程组：3=a+b+c0=a+4b+16c解方程组得：a=2，b=-6，c=7题目二：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（-2,5），且在x轴上的截距为6，求a，b，c的值。

解答：由已知条件可得方程组：5=4a-2b+c0=36a+6b+c解方程组得：a=-1/6，b=1/3，c=1/2题目三：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（3,2），且在x轴上的截距为5，求a，b，c的值。

解答：由已知条件可得方程组：2=9a+3b+c0=25a+5b+c解方程组得：a=-1/5，b=2/5，c=0题目四：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（-3,4），且在x轴上的截距为7，求a，b，c的值。

解答：由已知条件可得方程组：4=9a-3b+c0=49a+7b+c解方程组得：a=-1/7，b=2/7，c=4/7通过以上四道题目的练习，我们可以发现，已知二次函数的图象经过一个点和在x轴上的截距，可以得到一个含有三个未知数的方程组，通过解方程组可以求解出a，b，c的值。

这是二次函数的基本应用之一。

除了已知图象经过一个点和在x轴上的截距，还有其他常见的二次函数练习题类型，如已知顶点坐标、已知对称轴、已知与其他函数的关系等。

通过大量的练习，可以熟练掌握这些题型，并且在实际应用中能够灵活运用。

二次函数练习题的答案不仅仅是求出a，b，c的值，更重要的是理解解题过程。

在解题过程中，我们需要灵活运用二次函数的性质，如顶点坐标公式、对称性、判别式等。

2023高考一轮复习讲与练08 二次函数与幂函数练高考 明方向1．(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在0+∞（，）上递减，则α=_____【答案】1-【解析】由题意()f x 为奇函数，所以α只能取1,1,3-，又()f x 在(0,)+∞上递减，所以1α=-． 2．（2017浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关 【答案】B【解析】函数()f x 的对称轴为2a x =-， ①当02a-≤，此时(1)1M f a b ==++，(0)m f b ==，1M m a -=+； ②当12a-≥，此时(0)M f b ==，(1)1m f a b ==++，1M m a -=--； ③当012a<-<，此时2()24a a m f b =-=-，(0)M f b ==或(1)1M f a b ==++，24a M m -=或214a M m a -=++．综上，M m -的值与a 有关，与b 无关．选B ．3．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若101a b c >><<，，则( ) (A )c c a b < (B )c c ab ba < (C )log log b a a c b c <(D )log log a b c c <【答案】C【解析】对A ：由于01c <<，∴函数cy x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；对B ：由于110c -<-<，∴函数1c y x-=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；对C ： 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a， 只需ln b b 和ln a a ，构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确，对D ： 要比较log a c 和log b c ，只需比较 ln ln c a 和ln ln c b ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误 4．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟 D ．4.25分钟【答案】B【解析】由题意可知2p at bt c =++过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入2p at bt c =++中可解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，∴20.2 1.52p t t =-+-=20.2( 3.75)0.8125t --+， ∴当 3.75t =分钟时，可食用率最大．5．(2013广东)定义域为的四个函数,,,中，奇函数的个数是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】是奇函数的为与，故选C ．讲典例 备高考O 5430.80.70.5t p R 3y x =2x y =21y x =+2sin y x =43213y x =2sin y x =二次函数与幂函数奇函数的定义偶函数的定义 函数的对称性 奇偶性的判断奇偶性的应用周期性的判断 周期性的应用类型一、幂函数的定义 基础知识：1、幂函数的定义一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．基本题型：1．（幂函数的判断）下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2 B ．y ＝10x C ．y ＝1x 3D ．y ＝x ＋1【答案】C【详解】根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．（幂函数的判断）给出下列函数：①31y x =；②32y x =-；③42y x x =+；④35y x=；⑤()21y x =-；⑥0.3xy =，其中是幂函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】由幂函数的定义：形如y x α=（α为常数）的函数为幂函数，则可知①331y x x -==和④5353y x x ==是幂函数.类型二、幂函数的图象 基础知识：1、五个常见幂函数的图象基本题型：1．（根据解析式确定图象）已知(),1,m n ∈+∞，且m n >，若26log log 13m n n m +=，则函数()nmf x x =的图像为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得：26log log 2log 6log 13m n m n n m n m +=+=，令()log 01m t n t =<<，则6213t t+=，解得12t =或6t =（舍去），所以n =，即21mn =，所以()2m n f x x =的图像即为()f x x =的图像．2．（根据图象确定解析式）图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3 D ．1-、12、3 【答案】D【详解】由题意得，根据幂函数的图象与性质可知，2310C C C ααα>>>，所以解析式中指数α的值依次可以是11,,32-， 3．（利用图象比较大小）对于幂函数()45f x x =，若120x x <<，则122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭，()()122f x f x +的大小关系是（ ）A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭D ．无法确定【答案】A【解析】幂函数()45f x x =在0,上是增函数，大致图象如图所示.设()1,0A x ，()2,0C x ，其中120x x <<，则AC 的中点E 的坐标为12,02x x +⎛⎫⎪⎝⎭，且()1AB f x =，()2CD f x =，122x x EF f +⎛⎫= ⎪⎝⎭.()12EF AB CD >+，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫∴>⎪⎝⎭.4．（利用图象比较大小）已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 【答案】A【解析】由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ． 5．（幂函数图象的性质）下列命题中，假命题的个数为_________． ①幂函数的图象有可能经过第四象限；②幂函数的图象都经过点()1,1；③当0a =时，函数a y x =的图象是一条直线；④当0a <时，函数a y x =在定义域内是严格减函数； ⑤过点()1,1-的幂函数图象关于y 轴对称． 【答案】3【详解】对于①，正数的指数幂为正数，故幂函数的图象不可能经过第四象限，故错误；对于②，1的任何指数幂均为1，所以幂函数的图象都经过点()1,1，故正确；对于③，当0a =时，函数a y x =的定义域为{}0x x ≠，其a y x =图象是两条射线，故错误；对于④，当1a =-时，1y x=在定义域内不具有单调性，故错误；对于⑤，当幂函数过点()1,1-时，()11a-=得a 为偶数，故幂函数图象关于y 轴对称，故正确.类型三、幂函数的性质 基础知识：1、五个常见幂函数的性质1．（幂函数单调性）已知点(2,8)在幂函数()nf x x =的图象上，设,(ln ),a f b f c f π===⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．a c b <<【答案】D【解析】由已知得82n =，解得：3n =，所以3()f x x =1<1<，ln ln 1e π>=， 又0-==<，所以ln π<<，由3()f x x =在R 上递增，可得：(ln )f f f π<<⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<.2．（幂函数图象的对称性）已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______. 【答案】1【详解】因为()()22322n nf x n n x-=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=. 3．（幂函数的奇偶性）设11,2,3,,12a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且函数a y x =为奇函数的所有a 的值为（ ）A ．1,3-B ．1,1-C ．1,3D ．1,1,3-【答案】C【详解】1a =时，函数解析式为y x =满足题意；2a =时，函数解析式为2yx ，偶函数，不符合题意；3a =时，函数解析式为3y x =满足题意；12a =时，函数解析式为12y x =，定义域为[)0,+∞，不符合题意；1a =-时，函数解析式为1y x -=，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，不符合题意.类型四、二次函数的解析式 基础知识：二次函数解析式的三种形式基本题型：1．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 【答案】12x 2－32x ＋2【解析】因为f (x )是二次函数且f (0)＝2，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)．又因为f (x ＋1)－f (x )＝x －1，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－(ax 2＋bx ＋2)＝x －1，整理得(2a －1)x ＋a ＋b ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝0，a ＋b ＋1＝0，解得a ＝12，b ＝－32，所以f (x )＝12x 2－32x ＋2.2．已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f (x )＝________. 【答案】f (x )＝x 2＋2x .【解析】法一：设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . 法二：由二次函数f (x )与x 轴交于(0,0)，(－2,0)，知f (x )的图象关于x ＝－1对称．设f (x )＝a (x ＋1)2－1(a >0)，又f (0)＝0，得a ＝1，所以f (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x .3．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象经过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.基本方法：求二次函数解析式的方法类型五、二次函数的图象与性质 基础知识：函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是减函数， 在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上是增函数 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数， 在⎣⎡⎭⎫－b 2a，＋∞上是减函数基本题型：1．（根据函数图象求范围）(多选)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．b ＝－2aB ．a ＋b ＋c <0C ．a －b ＋c >0D ．abc <0 【答案】AD【解析】根据对称轴x ＝－b2a＝1得到b ＝－2a ，A 正确；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c >0，B 错误；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c <0，C 错误；函数图象开口向下，所以a <0，b ＝－2a >0，当x ＝0时，y ＝c >0，故abc <0，D 正确．2．（根据解析式确定函数图象）(多选)在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1和函数g (x )＝ax ＋1的图象可能是( )【答案】ABD【解析】若a ＝0，则f (x )＝x ＋1，g (x )＝1，A 符合；若a <0，则f (x )的图象开口向下，过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a ，g (x )的图象过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a <－1a ，B 符合；若0<a <14， 则f (x )的图象开口向上，与x 轴有两个交点，过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a，g (x )的图象过 点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a >－1a ，C 不符合；若a >14，则f (x )的图象开口向上，与x 轴没有交点， 过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a ，g (x )的图象过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a >－1a ，D 符合． 基本方法：1、分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号，它决定二次函数图象的开口方向； 二是看对称轴和顶点，它们决定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息． 类型四、二次函数给定区间上最值问题 基础知识：1、闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．2、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 基本题型：1．（轴定区间定）已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则f (x )的最小值是________． 【答案】－1【解析】∵函数f (x )＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数f (x )＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减，∴f (x )min ＝2－6＋3＝－1.2、（轴动区间定）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，则实数a 的值为________． 【答案】－1或2【解析】易知y ＝－x 2＋2ax ＋1－a (x ∈R)的图象的对称轴为直线x ＝a .当a <0时，函数f (x )的图象如图①中实线部分所示，当x ＝0时，y max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，即a ＝－1. 当0≤a ≤1时，函数f (x )的图象如图②中实线部分所示，当x ＝a 时，y max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1.∴a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1±52.∵0≤a ≤1，∴a ＝1±52不满足题意．当a >1时，函数f (x )的图象如图③中实线部分所示，当x ＝1时，y max ＝f (1)＝a ＝2，∴a ＝2.综上可知，a 的值为－1或2.3、（轴定区间动）设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 【解析】f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为直线x ＝1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，当t ≤0时，f (x )min ＝t 2＋1；当0<t <1时，f (x )min ＝1；当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.新预测 破高考1．已知幂函数()f x 的图象经过点(4,2)，则下列命题正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在定义域上是单调递增函数C ．()f x 的值域为RD ．()f x 在定义域内有最大值【答案】B【详解】设()f x x α=，则42α=，解得12α=，()12f x x ∴==()f x 的定义域为[)0,+∞，故A 错误；可得()f x 在定义域上是单调递增函数，故B 正确；值域为[)0,+∞，故C 错误；故()f x 在定义域内没有最大值，故D 错误.2．下列关于幂函数的结论，正确的是（ ）.A ．幂函数的图象都过(0,0)点B ．幂函数的图象不经过第四象限C ．幂函数为奇函数或偶函数D ．幂函数在其定义域内都有反函数【答案】B【解析】幂函数1y x -=不过点(0,0)，则A 错误；当()0,x ∈+∞时，0a x >，则幂函数的图象不经过第四象限，则B 正确；12y x =的定义域为[0,)+∞，不关于原点或y 轴对称，则C 错误；2y x 在(,)-∞+∞内无反函数，则D 错误；3．已知函数：①2xy =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③1y x -=；④12y x =；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（ ）A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②【答案】D【详解】①：函数2xy =是实数集上的增函数，且图象过点(0,1)，因此从左到右第三个图象符合；②：函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是实数集上的减函数，且图象过点(0,1)，因此从左到右第四个图象符合；③：函数1y x-=在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；④：函数12y x =在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，4．(多选)函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1与g (x )＝x a 在同一坐标系中的图象可能为( )【答案】ACD【详解】当a <0时，g (x )＝x a 为奇函数，定义域为{x |x ≠0}，且在(0，＋∞)上递减，而f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向下，对称轴为x ＝－1a >0，f (0)＝1，故A 符合；当a ＝2n (n ∈N *)时，g (x )＝x a 为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向上，且对称轴为x ＝－1a <0，Δ＝4－4a <0，其图象和x 轴没有交点，故D 符合；当a ＝12n (n ∈N *)时，函数g (x )＝x a 的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上递增，f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向上，且对称轴为x ＝－1a <0，Δ＝4－4a >0，图象和x 轴有两个交点，故C 符合．B 明显不符合题意，故选A 、C 、D. 5．若幂函数()222333m m y m m x+-=++的图象不过原点且关于原点对称，则（ ）A ．2m =-B ．1m =-C ．2m =-或1m =-D ．31m -≤≤-【答案】A【详解】根据幂函数的概念，得2331m m ++=，解得1m =-或2m =-，①若1m =-，则4y x -=，令()4f x x -=，其定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()()44f x x x f x ---=-=≠-，显然幂函数为偶函数，不是奇函数，图象不关于原点对称，不符合题意，舍去；②若2m =-，则3y x -=，令()3f x x -=，其定义域为R ，且()()()33f x x x f x ---=-=-=-，即幂函数为奇函数，图象关于原点对称，符合题意.所以2m =-.6．若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()21f x f x --的最大值为（ ）A ．12B ．12-C ．34-D ．-1【答案】C【解析】设幂函数()y f x x α==，图象过点(8,，故318=2=2ααα，故()f x =()()21f x f x x --=t =，则()21y t t =-+，0t ≥，∴12t =时，max 34y =-.7．幂函数()0y xαα=≠，当α取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点1,0A ，()0,1B ，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数m y x =，n y x =的图象三等分，即有BM MN NA ==，则mn 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【答案】A【解析】由题1,0A ，()0,1B ，BM MN NA ==，所以12,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233m ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，2133n⎛⎫= ⎪⎝⎭，11213333mmnn m⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1mn ∴=.8．幂函数f(x)＝x 3m －5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】∵幂函数f(x)＝x 3m －5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m ＜53.又∵m∈N， ∴m＝0,1.∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．当m ＝0时，f(x)＝x －5是奇函数；当m ＝1时， f(x)＝x －2是偶函数．∴m ＝1,故选B.9．已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =-的图象与y m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A．(0,1])⋃+∞ B ． (0,1][3,)⋃+∞ C ．)⋃+∞ D ．[3,)⋃+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m=单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥. 10．已知幂函数()()22644m m f x m m x--=-+，()m R ∈，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则()3f -，()1f -，()f π的大小关系是（ ）A ．()()()π31f f f <-<-B ．()()()13πf f f -<-<C ．()()()31πf f f -<-<D ．()()()3π1f f f -<<-【答案】A【详解】对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，即()f x 在0,上单调减，又()f x 是幂函数，知：2244160m m m m ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =或3m =（舍去），∴6()f x x -=，()f x是偶函数，∴(1)(1)f f -=，(3)(3)f f -=，而(1)(3)()f f f π>>，即(1)(3)()f f f π->->， 11．已知点⎝⎛⎭⎫2，18在幂函数f (x )＝x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫33，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫22，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b【答案】C【解析】因为点⎝⎛⎭⎫2，18在函数f (x )的图象上，所以18＝2n ，解得n ＝－3，所以f (x )＝x －3，易知当x >0时，f (x )单调递减．因为33<22<1，ln π>ln e ＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫33>f ⎝⎛⎭⎫22>f (ln π)，即a >c >b ，故选C. 12．(多选)已知函数f (x )＝3x 2－6x －1，则( )A ．函数f (x )有两个不同的零点B ．函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增C ．当a ＞1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝3D ．当0＜a ＜1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝13【答案】ACD【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式Δ＝(－6)2－4×3×(－1)＝48＞0，所以函数f (x )有两个不同的零点，A 正确．因为二次函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，且图象开口向上，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，B 不正确．令t ＝a x ，则f (a x )＝g (t )＝3t 2－6t －1＝3(t －1)2－4. 当a ＞1时，1a ≤t ≤a ，故g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上先减后增，又a ＋1a 2＞1，故最大值为g (a )＝3a 2－6a －1＝8， 解得a ＝3(负值舍去)．同理当0＜a ＜1时，a ≤t ≤1a ，g (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫1a ＝3a 2－6a －1＝8， 解得a ＝13(负值舍去)．故C 、D 正确．13．已知幂函数()223mm y f x x --+==（其中22m -<<，m ∈Z ）满足：①在区间,0上为减函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.则()f x 在[]0,4x ∈的值域为__________. 【答案】()4f x x =，值域为[]0,256【解析】22m -<<，m ∈Z ，1m ∴=-，0，1.对任意x ∈R ，都有()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，f x 是偶函数.当1m =-时，()4f x x =，满足条件①②；当1m =时，()0f x x =，不满足条件①；当0m =时，()3f x x =，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数()f x 的解析式为()4f x x =，且在区间[]0,4上是增函数，∴当[]0,4x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,256。

幂函数1、下列说法正确的是( ) A.幂函数一定是奇函数或偶函数 B.任意两个幂函数图象都有两个以上交点C.如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个幂函数相同D.图象不经过点(1,1)-的幂函数一定不是偶函数 2、已知函数122()(1)a f x a a x -=--为幂函数，则a 等于( )A.-1或2B.-2或1C.-1D.13、幂函数()f x 的图象经过(4,2),(8,)A B m ，则m =( ) A.4B.22C.2D.24、已知函数16()7(01)x f x a a a -=+>≠且的图象恒过定点P ，若定点P 在幂函数()g x x α=的图象上，则幂函数()g x 的图象是图中的( )A. B.C. D.5、已知幂函数()()223()22Z n nf x n n x n -=+-∈的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上是减函数，则n 的值为( )A ．1B ．2C ．1或2D ．1或-3 6、幂函数()y f x =经过点3)，则()f x 是( ) A.偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 B.偶函数，且在(0,)+∞上是减函数C.奇函数，且在(0,)+∞是减函数D.非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数7、已知12()f x x =，若01a b <<<，则下列各式中正确的是( ) A.11()()f a f b f f a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.11()()f f f b f a a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.11()()f a f b f fb a ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.11()()f f a f f b a b ⎛⎫⎛⎫<<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8、幂函数2231()(69)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 的值为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 2或49、函数()1a f x x =+，若()f x 在区间[],(0)a b a b <<内的值域为[]3,6，则()f x 在[],b a --内的最大值与最小值之和为( ) A.-9B.-7C.-5D.9或-510、已知点(,8)m 在幂函数()(1)nf x m x =-的图象上，设((ln π)3a fb f ==，)2c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A. a c b << B. a b c << C. b c a <<D. b a c <<11、已知幂函数221(55)m y m m x +=--在(0,)+∞上为减函数，则实数m =__________. 12、若()af x x =是幂函数，且满足(4)3(2)f f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 13、若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()31f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________.14、已知幂函数()223mm f x x -++=()Z m ∈为偶函数，且在区间()0,+∞上是增函数，则函数()f x 的解析式为_______15、已知幂函数()f x x α=的图像经过点12A ⎛ ⎝.（1）求实数α的值；（2）判断()f x 在区间(0,)+∞内的单调性，并用定义法证明.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：由幂函数的图象与性质知D 正确. 故选D.2答案及解析： 答案：C解析：因为122()(1)a f x a a x-=--为幂函数，所以211a a --=，所以2a =或-1.又20a -≠，所以1a =-.故选C.3答案及解析： 答案：B解析：因为函数()f x 为幂函数，所以设()f x x α=. 由函数()f x 的图象经过点(4,2)A ，得42α=，得12α=，所以()f x =，故(8)f m ===故选B.4答案及解析： 答案：A解析：令160x -=，即16x =，得(16)8f =，即函数16()7(01)x f x a a a -=+>≠且的图象恒过定点(16,8)P .又定点(16,8)P 在幂函数()a g x x =的图象上，所以168α=，即4322α=，解得34α=，所以34()g x x =，结合幂函数图象的特点可知选A. 故选A.5答案及解析： 答案：A解析：函数()()223()22nnf x n n xn Z -=+-∈为幂函数，∴2221n n +-=，解得1n =或3n =-.当1n =时，()2f x x =-，其图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上是减函数； 当3n =-时，18()f x x =，其图象关于y 轴对称，但在()0,+∞上是增函数； ∴n 的值应为1.故选A.6答案及解析： 答案：D解析：设幂函数的解析式为： y x α=，将(代入解析式得：3α12α=， ∴12y x =.故选D.7答案及解析： 答案：C解析：因为函数12()f x x =在(0,)+∞上是增函数，又110a b b a<<<<.故选C.8答案及解析： 答案：C解析：因为()f x 为幂函数，所以2691m m -+=，所以2m =或4m =， 又因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以2310m m -+>，所以m <或m >2<<，4>， 所以4m =.故选C.9答案及解析： 答案：D解析：当21(Z)k k α=-∈时，函数()a g x x =是奇函数，()a g x x =在[],a b 上的值域是[]2,5，则()a g x x =在[],b a --上的值域是[]5,2--，所以()f x 在[],b a --上的值域是[]4,1--，()f x 在[],b a --上的最大值与最小值之和等于-5；当2(Z)k k α=∈时，函数()f x 是偶函数，则()f x 在[],b a --上的值域是[]3,6，()f x 在[],b a --上的最大值与最小值之和等于9.故选D.10答案及解析： 答案：A解析：因为函数()(1)nf x m x =-为幂函数，所以11m -=，所以2m =，所以()nf x x =.因为点(2,8)在幂函数()nf x x =的图象上，所以3n =，所以3()f x x =.因为函数3()f x x =在定义域R 上为增函数，1ln π2<<<，所以(ln π)f f f <<，即a c b <<.故选A.11答案及解析： 答案：-1解析：∵221(55)m y m m x +=--是幂函数，∴2551m m --=，解得6m =或1m =-.当6m =时，22113(55)m y m m x x +=--⋅=，不满足在(0,)+∞上为减函数；当1m =-时，2211(55)m y m m x x +-=--=，满足在(0,)+∞上为减函数，∴1m =-.12答案及解析： 答案：13解析：因为(4)3(2)f f =，所以432a a =，即23a =，所以111123223aa f --⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13答案及解析： 答案：()2,+∞解析：设幂函数为()f x x α=其图像过点()2,8，所以28α=，解得3α=，所以()3f x x =.因为()3f x x =在R 上为增函数，所以由()()31f a f a ->-，得31a a ->-，解得2a >，所以满足不等式()()31f a f a ->-的实数a 的取值范围是()2,+∞.14答案及解析： 答案：()4f x x =解析：因为幂函数()223mm f x x -++=()m Z ∈为偶函数，所以223mm -++为偶数.又()f x 在区间()0,+∞上是增函数，所以223m m -++，0∆>， 所以13m -<<，又Z m ∈，223m m -++为偶数， 所以1m =，故所求解析式为()4f x x =.15答案及解析：答案：（1）∵()f x x α=的图像经过点12A ⎛ ⎝，∴12α⎛⎫= ⎪⎝⎭1222α-=，∴12α=-.（2）减函数.证明如下： 任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则11222121()()f x f x x x ---=-=-==.∵210x x >>，∴120x x -<0>，于是21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <，所以12()f x x -=在区间(0,)+∞内是减函数.。

§2.4二次函数与幕函数基础知识・自主学习I要点梳理i. 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x) = ax2+ bx+ c(a 丰 0).②顶点式：f(x)= a(x—m)2+ n(a^ 0).③零点式：f(x) = a(x—x i)(x—X2)(a^ 0).(2) 二次函数的图象和性质解析式f(x) = ax2+ bx+ c(a>0)f(x)= ax2+ bx+ c(a<0)♦V 1\ ；j图象Im^l定义域(— 8,+8 )(— 8,+8 )Hac—b2\2( 4ac—b"|值域.4a，1-亠，4a J在x€ ] —g,—g"上单调递在x€ —上，+s上单调递k 2a_-2a )单调性减；在x€ —2a，+s」上单减在x€ j—g,—"2a上单调调递增递增对称性函数的图象关于x= —士对称2•幕函数(1)定义：形如y=x：( a R)的函数称为幕函数，其中x是自变量，a是常数.⑵幕函数的图象比较I 夯基释疑1 •判断下面结论是否正确(请在括号中打或“X”2⑴二次函数y = ax + bx + c , x € [a , b]的最值一定是⑵二次函数y = ax 2 + bx + c , x € R ，不可能是偶函数. ⑶幕函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0). ⑷当n>0时，幕函数y = x n 是定义域上的增函数.(5) 若函数 f(x)= (k 2— 1)x 2+ 2x — 3 在(一汽 2)上单调递增，则 k = ±22. (6)已知 f(x)= x —4x + 5, x € [0,3)，则 f(x)max = f(0) = 5, f (X )min = f (3) = 22. (2013 重庆).3— a a + 6 (— 6< a < 3)的最大值为9 3/2C . 3 D~2答案 B _______________ ____________ 解析 因为' 3 — a a + 6 = 18— 3a — a 2=7-,所以当a = — 2时，打3—a a +6的值最大，最大值为 |3 .函数f(x)= (m — 1)x 2+ 2mx + 3为偶函数，则f(x)在区间(一5,— 3)上C .单调递减D •单调递增答案 D解析 由f(x)为偶函数可得 m = 0, ••• f(x) = — x 2 + 3, ••• f(x)在区间(一5,— 3)上单调递增. 4.已知函数 y = x 2— 2x + 3在闭区间［0, m ］上有最大值 3,最小值2，贝V m 的取值范围为)24ac — b4aA •先减后增B •先增后减答案［1,2］2解析y = x —2x+ 3的对称轴为x= 1.当m<1时，y= f(x)在［0, m］上为减函数.2…y max =f(0) = 3,ymin= f(m)= m—2m+ 3= 2・•m = 1,无解.当 1 w m W 2 时，y min = f(1) = 12—2X 1 + 3 = 2,y max= f(0) = 3.当m>2 时，y max = f(m) = m —2m+ 3= 3,•m = 0 或m= 2，无解.•1 w m w 2.5. 若幕函数y= (m2—3m+ 3)xm2—m —2的图象不经过原点，则实数m的值为__________ .答案1或2厂2m —3m+ 3=1解析由$ ，解得m= 1或2.m2—m—2w 0经检验m= 1或2都适合.题型一二次函数的图象和性质例 1 已知函数f(x) = x2+ 2ax + 3, x€ ［—4,6］.(1) 当a= —2时，求f(x)的最值；⑵求实数a的取值范围，使y= f(x)在区间［—4,6］上是单调函数；(3)当a= 1时，求f(|x|)的单调区间.思维启迪对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用.解(1)当a=— 2 时，f(x)= x2—4x+ 3= (x—2)2—1，由于x€ ［—4,6］,•f(x)在［—4,2］上单调递减，在［2,6］上单调递增，•f(x)的最小值是f(2) = —1，又f(—4)= 35, f(6) = 15,故f(x)的最大值是35.(2) 由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x=—a，所以要使f(x)在［—4,6］上是单调函数, 应有一a w —4 或一a> 6，即a w —6 或a > 4.2(3) 当a= 1 时，f(x)= x + 2x+ 3,•f(|x|)= x2+ 2|x| + 3,此时定义域为x€ ［—6,6］,f x + 2x+ 3, x€ 0, 6］且f(x) = 2,X2- 2x+ 3, x€ ［—6, 0］••• f(|x|)的单调递增区间是(0,6］,单调递减区间是［一6,0］.思维升华(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.跟踪训练1 (1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x= 2,最小值为一1,则它的解析式是1 2答案y=5(x—2) —1⑵若函数f(x) = 2x2+ mx —1在区间［—1 ,+^ )上递增，则f( —1)的取值范围是_答案(一3—3］解析•••抛物线开口向上，对称轴为x=—m,•- m< —1, m>4.又f(—1) = 1 —m W—3, • f( —1)€ (—3,—3］.题型二二次函数的应用例 2 已知函数f(x) = ax2+ bx + 1(a, b € R), x € R.(1) 若函数f(x)的最小值为f(—1) = 0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2) 在(1)的条件下，f(x)>x+ k在区间［—3,—1］上恒成立，试求k的范围.思维启迪利用f(x)的最小值为f(—1) = 0可列两个方程求出a、b;恒成立问题可以通过求函数最值解决.解(1)由题意有f(—1)= a—b+ 1 = 0,口b且一2a=—1, •a= 1, b= 2.•f(x)= x2+ 2x+ 1,单调减区间为(一a,—1］,单调增区间为［—1 ,+ ^).(2)f(x)>x+ k在区间［—3,—1］上恒成立，转化为x2+ x+ 1>k在区间［—3,—1］上恒成立.设g(x) = x2+ x+ 1, x€ ［—3,—1］,贝U g(x)在［—3,—1］上递减. …g(x)min = g( - 1)=•k<1，即k的取值范围为(一3,1).1解2m +1 > 0，得m》—^;思维升华有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法. 用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.&【养;丨％：二已知函数f(x)= x1 2+ 2ax+ 2, x€ [ —5,5].(1) 当a=—1时，求函数f(x)的最大值和最小值；⑵求实数a的取值范围，使y= f(x)在区间[—5,5]上是单调函数.解(1)当a=— 1 时，f(x)= x2—2x+ 2= (x—1)2+ 1 , x€ [ —5,5],所以当x= 1时，f(x)取得最小值1；当x=—5时，f(x)取得最大值37.⑵函数f(x)= (x+ a)2+ 2 —a2的图象的对称轴为直线x=—a,因为y= f(x)在区间[—5,5]上是单调函数，所以一a< — 5 或一a> 5，即a< — 5 或 a > 5.故a的取值范围是(一5] U [5 ,+^).题型三幕函数的图象和性质例3 (1)已知幕函数f(x)= (n2+ 2n —2)xn2—3n(n € Z)的图象关于y轴对称，且在(0,+^ )上是减函数，则n的值为()A . —3B . 1C . 2D . 1 或21 1⑵若(2m+ 1)2 >(m2+ m—1) 2，则实数m的取值范围是()-亚-12C. (—1,2)D. ，2思维启迪(1)由幕函数的定义可得n2+ 2n —2= 1,再利用f(x)的单调性、对称性求n；⑵1构造函数y= x2，利用函数单调性求m范围.答案(1)B (2)D解析(1)由于f(x)为幕函数，所以n2+2n— 2 = 1,解得n= 1或n =—3,经检验只有n= 1适合题意，故选 B.1(2) 因为函数y= x2的定义域为[0,+^), 且在定义域内为增函数，2m+ 1 > 0,所以不等式等价于m2+ m —1 > 0,| 22m+ 1>m + m—1.2解m + m—1 > 0, mW —,5 — 12或m》躬—1综上一^< m<2.思维升华⑴幕函数解析式一定要设为y= x a(a为常数的形式)；(2)可以借助幕函数的图象理解函数的对称性、单调性.乐金叮％：S 已知幕函数f(x)= x(m2+ m)—1(m€ N*)(1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；⑵若该函数还经过点(2, .2)，试确定m的值，并求满足条件f(2 —a)>f(a—1)的实数a的取值范围.解(1)m2+ m= m(m+ 1), m€ N*,而m与m + 1中必有一个为偶数，••• m(m+ 1)为偶数.•••函数f(x) = x(m2+ m)—1(m€ N*)的定义域为［0,+ )，并且在定义域上为增函数.(2) •/ 函数f(x)经过点(2, ,2),1• 2 = 2(m2+ m)—1，即22= 2(m2+ m)—1.•m2+ m= 2.解得m= 1 或m=— 2.1_ * 石又T m€ N , •m= 1.「. f(x)= x2 .［2— a > 0,由f(2—a)>f(a—1)得| a—1》02—a>a—1.3 3解得1< a<夕•••a的取值范围为［1 ,刁.思想与方法系列2分类讨论思想在函数中的应用典例：(12分)已知函数f(x)= ax2—|x|+ 2a—1(a为实常数).(1)若a= 1，作出函数f(x)的图象；⑵设f(x)在区间［1,2］上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.思维启迪(1)因f(x)的表达式中含|x|,故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式,然后作图.⑵因a€ R，而a的取值决定f(x)的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决.规范解答解(1)当 a = 1 时，2f(x)= x -凶 + 1广2x + x + 1, x<0 i 2.［3 分］x -x +1, x >0作图(如右图所示)［5分］⑵当 x € ［1,2］时，f(x)= ax - x + 2a - 1.［6 分］ 若a = 0,则f(x) = - x - 1在区间［1,2］上是减函数, g(a) = f(2) = - 3.［7 分］ 若a 工0,则 f (x )=a ［x -2a ― 4a -1，1f(x)图象的对称轴是直线 x =当a<0时，f(x)在区间［1,2］上是减函数,g(a) = f(2) = 6a - 3.1 1当0< <1，即a>;时，f(x)在区间［1,2］上是增函数,2a 2 g(a) = f(1) = 3a - 2. 1 1 1当 1 < < 2,即；w aw ：时，2a 4 2 f 1、 1g (a )=f 旁=2a -扃―j 1 1当2a>2，即0<a<4时，f(x)在区间［1,2］上是减函数, g(a) = f(2) = 6a - 3.［11 分］1 a<43a - 2, a>2温馨提醒本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法，在二次函数最值问题的讨论中，一是要对二次项系数进行讨论， 二是要对对称轴进行讨论. 在分类讨论时要遵循分类 的原则：一是分类的标准要一致， 二是分类时要做到不重不漏， 三是能不分类的要尽量避 免分类，绝不无原则的分类讨论 •思想方法・感悟提高方法与技巧_ 1综上可得，g(a) = 2a -扃―1,1 1 1 w a w［12 分］1. 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律:(1) 在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般 从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.(2) 在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解. 2 •幕函数y = x a (a€ R )图象的特征o>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； a <0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立. 失误与防范1 •对于函数y = ax2 + bx + c ,要认为它是二次函数，就必须满足a 丰0,当题目条件中未说明0时，就要讨论 a = 0和0两种情况.2.幕函数的图象一定会出现在第一象限内， 一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性； 幕函数的图象最多只能同时出现在两个象限内； 如果幕函 数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点练出高分A 组专项基础训练一、选择题 1.若f (x) = x 2— ax + 1有负值，则实数a 的取值范围是 A. a <— 2 C . a>2 或 a<— 2 答案 C解析 ■/ f(x)= x 2— ax + 1有负值， ••• △= a 2 — 4>0,贝U a>2 或 a< — 2.答案 C解析 若a>0,则一次函数y = ax + b 为增函数，二次函数 y = ax 2 + bx + c 的开口向上，故 可排除A ；若a<0，一次函数y = ax + b 为减函数，二次函数 y = ax 2 + bx + c 开口向下，故可排除 D ； 对于—2<a<2 1<a<32 .一次函数y =ax + b 与二次函数y = ax 2 + bx + c 在同一坐标系中的图象大致是()D选项B，看直线可知a>0, b>0,从而—f<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，2a故应排除B，因此选C.3. 如果函数f(x)= x2+ bx+ c对任意的实数x,都有f(1 + x)= f(—x)，那么()A . f(—2)<f(0)<f(2)B. f(0)< f( —2)<f(2)C. f(2)<f(0)<f( —2)D . f(0)<f(2)<f( —2)答案D解析由f(1 + x)= f( —x)知f(x)的图象关于x=舟对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f(0)<f(2)<f( —2).4 .设二次函数f(x)= ax2—2ax+ c在区间[0,1]上单调递减，且f(m) < f(0)，则实数m的取值范围是()A .(―汽0]B . [2 ,+^ )C.(―汽0] U [2 ,+ s) D . [0,2]答案 D解析二次函数f(x) = ax2—2ax+ c在区间[0,1]上单调递减，则a^ 0, f' (x) = 2a(x—1)<0, x€ [0,1],所以a>0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x= 1.所以f(0) = f(2)，则当f(m)w f(0)时，有0< m W 2.15.已知f(x)= x2，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是()1 1A. f(a)<f(b)<f(a)<f(b)B. f(a)<f(b)<f(b)<f(a)1 1C. f(a)<f(b)<f(b)<fq1 1D. f(a)<f(a)<f(b)<f(b)答案C1解析因为函数f(x) = x 2在(0, + s)上是增函数，1 1又0<a<b<；<-,故选 C.b a、填空题6 .若函数y= mx2+ x+ 5在［—2 ,+s )上是增函数，则m的取值范围是 ______________1答案0W m<-4解析m=0时，函数在给定区间上是增函数；1 m z 0时，函数是二次函数，对称轴为x=—2,1 1由题意知 m>0, • 0<mw ：综上0w m W ；.4 47 .若方程x 2— 11x + 30 + a = 0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是1答案 0<a W 14解析令 f(x)= x — 11x + 30 + a. 01i , • 0<a W 4.f 5 >0 41的图象经过第一、三象限；当a=㊁时，y = 乂“的图象经过第一象限. 三、解答题9 .已知二次函数f(x)的二次项系数为=0有两个相等的根，求 f(x)的单调区间. 解•/ f(x) + 2x>0 的解集为(1,3), 设 f(x) + 2x = a(x — 1)(x — 3)，且 a<0,••• f(x)= a(x — 1)(x — 3) — 2x = ax 2 — (2 + 4a)x + 3a.① 由方程 f(x) + 6a = 0 得 ax 2— (2 + 4a)x + 9a = 0•②•••方程②有两个相等的根， •- △=[ — (2 + 4a)]2— 4a 9a = 0,1解得a = 1或a =—匚.由于a<0，舍去a = 1.51将a = — 1代入①式得5 1 26 3 1 2 6f(x)=—5x— 5x— 5=—尹+ 3)+5，•函数f(x)的单调增区间是(—8, — 3],单调减区间是[一 3, + m.10.已知函数f(x) = — x 2 + 2ax +1 — a 在x € [0,1]时有最大值2,求a 的值. 解函数 f(x)=— x 2+ 2ax +1 — a2 2=—(x — a) + a — a + 1, 对称轴方程为x = a.(1)当 a<0 时，f(x) max = f (0) = 1 一a,结合图象有 8 .当a€ 1 1 1匸 1 ? 2? 1 ，幕函数 y = x a 的图象不可能经过第象限.答案 二、四解析当％=— 1、1、3时，y = x a ,且不等式f(x)> — 2x 的解集为(1,3) •若方程f(x) + 6a--1 一a= 2, - - a = —1.2⑵当0W a W 1 时，f(x)max= a — a +1,2 9…a — a + 1 = 2, a — a — 1 = 0, •a=丄±先舍).⑶当 a>1 时，f(x)max = f ⑴=a , a = 2. 综上可知，a =— 1或a = 2.即 2— <2 ,a> — 3,二—3<a<0. 当 a > 0 时，_ a<1 , O w a<1.故—3<a<1. 2.已知函数 f(x)= ax 2 + bx + c ,且 a>b>c , a + b + c = 0，集合 A = {m|f(m)<0}，则()A. ? m € A ,都有 f(m + 3)>0B. ? m € A ,都有 f(m + 3)<0C. ? m °€ A ，使得 f(m °+ 3) = 0D. ? m °€ A ,使得 f(m °+ 3)<0 答案 A解析 由 a>b>c , a + b + c = 0 可知 a>0, c<0, 且 f(1) = 0, f(0) = c<0,即1是方程ax 2 + bx + c = 0的一个根， 当 x>1 时，f(x)>0. 由 a>b ，得 1>a设方程ax 2 + bx + c = 0的另一个根为 治,b贝y X 1 + 1 = — b >— 1, 即卩 X 1>— 2,a 由 f(m)<0 可得—2<m<1, 所以 1<m + 3<4,由抛物线的图象可知，f(m + 3)>0，选A. 3.已知函数f(x) = x 2— 2ax + 2a + 4的定义域为 R ，值域为［1 ,),则a 的值域为 _________答案 —1或3解析 由于函数f(x)的值域为［1 , + s ),1 •设函数 f(x)=!(2X—W x , x >0,7, x<0,B 组专项能力提升若f(a)<1，则实数a 的取值范围是A.(―汽一3)C . (— 3,1) 答案 C解析当a<0时， (2)「7<1 ,B . (1 ,+^ )D . (— s,— 3) U (1 ,+^ )所以f(x)min = 1 且A<0. •• —v'5+ 1<a<.；;5+ 1.2 2又f(x) = (x—a) — a + 2a + 4,当x€ R 时，f(x)min = f(a) = —a?+ 2a+4 = 1,即 a —2a—3= 0,解得a= 3或a =— 1.4 .已知函数f(x)= 3ax + 2bx+ c, a + b+ c= 0，且f(0) f(1)>0. b(1)求证：一2<b< —1 ;a⑵若X1、X2是方程f(x) = 0的两个实根，求x1 —X2|的取值范围.(1)证明当a= 0 时，f(0) = c, f(1) = 2b+ c,又b+ c= 0, 则f(0) f(1) = c(2b+ c)=—c2<0 与已知矛盾，因而0,则f(0) f(1) = c(3a+ 2b+ c)=—(a + b)(2a+ b)>0 b b b即(匚 + 1)(匚 + 2)<0，从而-2<;<— 1.a a a(2)解X1、X2是方程f(x) = 0的两个实根，2b a+ b则X1 + X2=—3a, X1X2=—3a ,那么(X1 —X2) = (X1 + X2) —4X1X22b 2 a+ b 4=(—刃 + 4% 右=44, b丄3、2丄1=9(a+ 2)+ 3 二2<a<-1••• 3=(x1—X2)2<9,二jw |x1 —X2|<|,x/3 2(1)若函数f(x)的最小值是f(—1) = 0，且c= 1,F(x) =即|X1 —X2I的取值范围是［g, 3). 55 .已知函数f(x)= ax2+ bx+ c(a>0, b € R, c€ R).f(x , x>0,八‘求F(2) + F(—2)的值;、—f(x), x<0,⑵若a= 1, c= 0,且|f(x)|w 1在区间(0,1］上恒成立，试求b的取值范围.解(1)由已知c= 1, a—b+ c= 0,且一2^ =—1,解得a= 1, b= 2.••• f(x)= (x+ 1)2.1(x+ 1 2, X>0 ,•F(x) = 2I —(x+12, x<0.•F(2)+ F(—2) = (2 + 1)2+ ［—(— 2 + 1)2］= 8.(2)f(x) = x2+ bx,原命题等价于—1w x2+ bx w 1在(0,1］上恒成立,1 1即b三-―x且b> —-― x在(0,1］上恒成立.1 1又-一x的最小值为0,—- —x的最大值为一2. x x ••• — 2< bw 0.故b的取值范围是[—2,0].X X。

二次函数知识点集锦（带详细解析答案）一、中考要求：1．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．2．能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力；能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验．4．能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．5．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．6．能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测．二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2022、2022年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:序所考知识点比率号二次函数的图象和性12.5~3%质二次函数的图象与系26%数的关系二次函数解析式的求2.5~10.53法%二次函数解决实际问48~10%题(二)中考热点：二次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查二次函数的概念、图象、性质及应用，这些知识是考查学生综合能力，解决实际问题的能力．因此函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题．三、中考命题趋势及复习对策二次函数是数学中最重要的内容之一，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总分的10％～15％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查学生的计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创造能力。

★★★(I)考点突破★★★考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：2ya某b某c（a≠0，a，b，c1．二次函数的定义：形如为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：⑴二次函数y=a某2(a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大．y=a(某－h)2＋k的对称轴是某=h，顶点坐标是（h，k）。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第12讲二次函数、幂函数考向预测核心素养二次函数一般与其他知识综合考查，幂函数的考查以图象、性质为主，题型一般为选择题、填空题，中档难度.直观想象、逻辑推理、数学抽象一、知识梳理1．常见的五种幂函数的图象2．幂函数y＝xα的性质(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；(3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．3．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 4．二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 RR值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 常用结论1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 58T 6改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－120，0 解析：选C.由题意知⎩⎨⎧a >0，Δ<0，即⎩⎨⎧a >0，1－20a <0，解得a >120. 2．(人A 必修第一册P 91练习T 1改编)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．解析：因为函数f (x )＝kx α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.答案：32一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝2x 12是幂函数．( )(2)根据二次函数的两个零点就可以确定函数的解析式．( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值是4ac －b24a.( )答案：(1)× (2)× (3)× 二、易错纠偏1．(二次函数性质不明致误)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B.(－∞，3] C ．(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析：选D.函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.2．(二次函数图象特征不清致误)设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”)解析：f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，所以m ∈(0，1)，所以m －1<0，所以f (m －1)>0.答案：>3．(幂函数概念不清致误)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．解析：设y ＝f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，代入解析式得α＝－12，则y ＝x －12，由性质可知函数y ＝x －12在(0，＋∞)上单调递减．答案：y＝x－12(0，＋∞)考点一幂函数的图象及性质(自主练透)复习指导：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x 12的图象，了解它们的变化情况．1．已知点⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )A．奇函数 B.偶函数C．定义域内的减函数 D.定义域内的增函数解析：选A.设f(x)＝xα，由已知得⎝⎛⎭⎪⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．2．(链接常用结论2)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x m2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝( )A．2 B.－1C.4D.2或－1解析：选A.由题意知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则f(x)在(0，＋∞)上为常数，不合题意．当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则f(x)＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．所以m＝2.3.若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >a B.a >b >c >d C ．d >c >a >bD.a >b >d >c解析：选B.由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.4．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，则m ＝________，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为________．解析：因为f (x )的图象过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，又m ∈N *，所以m ＝1.即f (x )＝x 12，其定义域为{x |x ≥0}，且在定义域上函数为增函数， 所以由f (2－a )>f (a －1)得0≤a －1<2－a ，解得1≤a <32.答案：1 1≤a <32幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．考点二 二次函数的解析式(综合研析)复习指导：理解二次函数的定义，能够根据已知条件求二次函数的解析式．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．【解】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的策略|跟踪训练|已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， 所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称．又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1，2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)．因此设f(x)＝a(x－1)(x－3)．又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图象和性质(多维探究)复习指导：理解二次函数的定义，能够根据二次函数的图象讨论性质，从数形结合的观点研究和二次函数有关的问题．角度1 二次函数的图象(1)(多选)(2022·济南月考)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，则( )A．b2＞4ac B.2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D.5a＜b(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则( )A．f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0【解析】(1)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．(2)因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0.【答案】(1)AD (2)C识别二次函数图象应学会“三看”角度2 二次函数的单调性与最值(1)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A．[－3，0) B.(－∞，－3]C．[－2，0] D.[－3，0](2)若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[1，2]上有最大值4，则a 的值为________． 【解析】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意； 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a， 由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎨⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． (2)f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .①当a ＝0时，函数f (x )在区间[1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； ②当a >0时，函数f (x )在区间[1，2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；③当a <0时，函数f (x )在区间[1，2]上单调递减，最大值为f (1)＝3a ＋1＝4，解得a ＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a 的值为38.【答案】 (1)D (2)38若本例(1)中函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________．解析：由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a 2a ＝－1，所以a ＝－3. 答案：－3(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．|跟踪训练|1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D.由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C ；又f (0)＝c <0，排除B ，故选D.2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，则m 的取值范围为( )A ．(0，4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C.y ＝x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3.3．(多选)(2022·邯郸九校联盟期中)若函数f (x )＝x |x －a |在[0，2]上的最大值为2，则a 的取值可以为( )A ．1 B.3 C.2 2D.42－4解析：选AC.若a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，f (x )max ＝f (2)＝2|2－a |＝2，解得a ＝1(舍去)或a ＝3(舍去)． 若a >0时，f (x )＝⎩⎨⎧－x （x －a ），x ≤a ，x （x －a ），x >a ，当a2>2即a >4时，f (x )max ＝f (2)＝－2(2－a )＝2，解得a ＝3(舍去)． 当x >a 时，令f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，解得x ＝（2＋1）a 2(负值舍去)．当a2≤2≤（2＋1）a 2即4(2－1)≤a ≤4时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24＝2，解得a ＝2 2. 当2>（2＋1）a2即a <4(2－1)时，f (x )max ＝f (2)＝2(2－a )＝2.解得a ＝1.[A 基础达标]1．若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B.[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D.(－∞，0)解析：选D.设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A．1或3 B.1C.3D.2解析：选B.由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.3．(2022·潍坊模拟)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )A．a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0解析：选A.由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－b2a＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0.4．(多选)(2022·淄博模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( ) A．f(－1) B.f(1)C.f(2)D.f(5)解析：选ACD.因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )A．－3 B.1C.2D.1或2解析：选B.由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )A ．在x 轴上截得的线段的长度是2B ．与y 轴交于点(0，3)C ．顶点是(－2，－2)D ．过点(3，0)解析：选ABD.由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，－b 2a ＝2，解得b ＝－4a ，c ＝3a ，所以二次函数为y ＝a (x 2－4x ＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.7．(2022·山东烟台模拟)若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．解析：y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162， 因为值域为[0，＋∞)，所以m －7－8⎝⎛⎭⎪⎫m －1162＝0， 解得m ＝9或m ＝25. 答案：9或258．若(3－2m )12>(m ＋1)12，则实数m 的取值范围为________． 解析：因为y ＝x 12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m >m ＋1，解得－1≤m <23.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，239．(2022·潍坊质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，－2≤x ≤c ，1x ，c <x ≤3.若c ＝0，则f (x )的值域是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则实数c 的取值范围是________．解析：当c ＝0时，即x ∈[－2，0]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，当x ∈(0，3]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.作出y ＝x 2＋x 和y ＝1x 的图象如图所示，当f (x )＝－14时，x ＝－12；当x 2＋x ＝2时，x ＝1或x ＝－2；当1x ＝2时，x ＝12，由图象可知当f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2时，需满足12≤c ≤1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，110．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1，2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1，2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . 所以g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．[B 综合应用]11．(多选)(2022·潍坊模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x －x 2，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的最大值为14B ．f (x )在(－1，0)上是增函数C ．f (x )＞0的解集为(－1，1)D ．f (x )＋2x ≥0的解集为[0，3]解析：选AD.由题意，得当x ≥0时，f (x )＝x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14；当x <0时，f (x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，f (x )的最大值为14，A 正确；f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－12，0上是减函数，B 错误； f (x )＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C 错误； 当x ≥0时，f (x )＋2x ＝3x －x 2≥0的解集为[0，3]， 当x ＜0时，f (x )＋2x ＝x －x 2≥0无解，故D 正确．12．(2022·合肥质检)已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)．若对任意的x ∈[－1，0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2] B.[4，＋∞) C ．[2，＋∞)D.(－∞，4]解析：选B.因为f (x )＞0的解集为(－1，3)，故－2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－1，3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c 2＝－1×3，b 2＝－1＋3，即⎩⎨⎧b ＝4，c ＝6，令g (x )＝f (x )＋m ，则g (x )＝－2x 2＋4x ＋6＋m ＝－2(x －1)2＋8＋m ，由x ∈[－1，0]可得g (x )min ＝m ，又g (x )≥4在[－1，0]上恒成立，故m ≥4.13．(多选)(2022·菏泽模拟)已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题，其中是真命题的是( )A ．若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上单调递增 B ．存在a ∈R ，使得f (x )为偶函数C ．若f (0)＝f (2)，则f (x )的图象关于x ＝1对称D ．若a 2－b －2＞0，则函数h (x )＝f (x )－2有2个零点解析：选AB.对于选项A ，若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2在区间[a ，＋∞)上单调递增，正确；对于选项B ，当a ＝0时，f (x )＝|x 2＋b |显然是偶函数，正确；对于选项C ，取a ＝0，b ＝－2，函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |化为f (x )＝|x 2－2|，满足f (0)＝f (2)，但f (x )的图象不关于x ＝1对称，错误；对于选项D ，如图，a 2－b －2＞0，即a 2－b ＞2，则h (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|－2有4个零点，错误．14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥2f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：由题意知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，则2f (x )＝f (2x )，因此原不等式等价于f (x ＋a )≥f (2x )．易知f (x )在R 上是增函数，所以x ＋a ≥2x ，即a ≥(2－1)x .又x ∈[a ，a ＋2]，所以当x ＝a ＋2时，(2－1)x 取得最大值(2－1)(a ＋2)，因此a ≥(2－1)(a ＋2)，解得a ≥ 2.故a 的取值范围是[2，＋∞)．[C 素养提升]15．(2022·兰州模拟)已知幂函数f (x )的部分对应值如表：x 112则不等式f (|x |)≤2的解集是________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，所以α＝12，所以f (x )＝x 12.不等式f (|x |)≤2等价于|x |12≤2，所以|x |≤4， 所以－4≤x ≤4.所以不等式f (|x |)≤2的解集是[－4，4]． 答案：[－4，4]16．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的“平均值函数”，求实数m 的取值范围．解：设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根，解方程得x 0＝1(舍去)或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．。

课时作业 A 组——基础对点练1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k＋α＝32. 答案：C2．已知幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1,1,3}的图象关于y 轴对称，则下列选项正确的是( ) A ．f (－2)>f (1) B ．f (－2)<f (1) C ．f (2)＝f (1)D ．f (－2)>f (－1)解析：由于幂函数f (x )＝x n 的图象关于y 轴对称，可知f (x )＝x n 为偶函数，所以n ＝－2，即f (x )＝x －2，则有f (－2)＝f (2)＝14，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)<f (－1)，故选B. 答案：B3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝1解析：由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1. 答案：B4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，∴y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上．选D. 答案：D5．设函数f(x)＝x2－x＋a(a＞0)．若f(m)＜0，则f(m－1)的值为() A．正数B．负数C．非负数D．正数、负数和零都有可能解析：函数f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝12，图象开口向上，且f(0)＝f(1)＝a＞0.所以当f(m)＜0时，必有0＜m＜1，而－1＜m－1＜0，所以f(m－1)＞0.答案：A6．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是()A．f(m)＜f(0)B．f(m)＝f(0)C．f(m)＞f(0)D．f(m)与f(0)大小不确定解析：因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或－1.当m ＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m＜0，所以f(m)＜f(0)．答案：A7．已知函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是()A．[1,2]B．(0,1]C．(0,2] D．[1，＋∞)解析：作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1≤m≤2时，函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.答案：A8．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解析：因为a >0，所以f (x )＝x a 在(0，＋∞)上为增函数，故A 错．在B 中，由f (x )的图象知a >1，由g (x )的图象知0<a <1，矛盾，故B 错．在C 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知a >1，矛盾，故C 错．在D 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知0<a <1，相符，故选D. 答案：D9．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案：B10．已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)解析：设x >0，则－x <0，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，并且函数f (x )是R 上的单调递增函数，所以当f (2－x 2)>f (x )时，满足2－x 2>x ，解得－2<x <1，故选D. 答案：D11．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析：由已知得⎩⎨⎧16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，9a ＋3b ＋c ＝0.7，解得⎩⎨⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B. 答案：B12．已知y ＝f (x )是奇函数，且满足f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2－2x ，则当x ∈[－4，－2]时，f (x )的最小值为( ) A ．－1B ．－13C ．－19D ．19解析：设x ∈[－4，－2]，则x ＋4∈[0,2]．∵y ＝f (x )是奇函数，∴由f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，可得f (x ＋2)＝－3f (－x )＝3f (x )，∴f (x ＋4)＝3f (x ＋2)，故有f (x )＝13f (x ＋2)＝f (x ＋4)9.故f (x )＝19f (x ＋4)＝19[(x ＋4)2－2(x ＋4)]＝19(x 2＋6x ＋8)＝(x ＋3)2－19.∴当x ＝－3时，函数f (x )取得最小值为－19.故选C. 答案：C13．设函数则使得f (x )≤4成立的x 的取值范围是________． 解析：f (x )的图象如图所示，要使f (x )≤4只需≤4，∴x ≤64.答案：(－∞，64]14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是__________．解析：如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1. 答案：(－3,1)15．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是__________．解析：函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，∴f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.答案：[7，＋∞)16．若x ＞1，x a －1＜1，则a 的取值范围是________． 解析：因为x ＞1，x a －1＜1，所以a －1＜0，解得a ＜1. 答案：a ＜1B 组——能力提升练1．(2018·福州市质检)已知函数f (x )＝x 2－πx ，α，β，γ∈(0，π)，且sin α＝13， tan β＝54，cos γ＝－13，则( ) A ．f (α)＞f (β)＞f (γ) B ．f (α)＞f (γ)＞f (β) C ．f (β)＞f (α)＞f (γ)D ．f (β)＞f (γ)＞f (α)解析：因为sin α＝13，tan β＝54，cos γ＝－13，且α，β，γ∈(0，π)，所以0＜α＜π6或 5π6＜α＜π，π4＜β＜π3，π2＜γ＜2π3，因为函数f (x )＝x 2－πx 的图象的对称轴为x ＝π2，其图象如图所示，由图易知，f (α)＞f (β)＞f (γ)，故选A.答案：A2．(2018·衡阳模拟)已知a 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，a ]，都有f (x )∈[－a ，a ]，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．(0，＋∞)D ．(0,2]解析：当0<a <1时，f (0)＝a ，f (a )≥－a ，即a 2－2a ＋a ≥－a ，因此0<a <1；当a ≥1时，f (0)＝a ，f (1)≥－a ，f (a )≤a ，即1－2＋a ≥－a ，a 2－2a ＋a ≤a ，因此1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为0<a ≤2.故选D. 答案：D3．函数f (x )＝(m 2－m －1)·x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( ) A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0D ．无法判断解析：∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数． 又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A. 答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,3) B ．[－3，－1] C ．[－3,3)D ．[－1,1)解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，所以g (x )＝⎩⎨⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a .又g (x )有三个不同的零点，则方程3－x ＝0，x >a 有一个解，解得x ＝3，所以a <3，方程x 2＋4x ＋3＝0，x ≤a 有两个不同的解，解得x ＝－1或x ＝－3，又因为x ≤a ，所以a ≥－1.故a 的取值范围为[－1,3)． 答案：A5．幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2解析：由题意知⎩⎨⎧m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.故选B.答案：B6．下列选项正确的是( )A ．0.20.2>0.30.2C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3>0.93.1解析：A 中，∵函数y ＝x 0.2在(0，＋∞)上为增函数，0.2<0.3，∴0.20.2<0.30.2；B 中，∵函数y ＝在(0，＋∞)上为减函数，∴；C 中，∵0.8－1＝1.25，y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2；D 中，1.70.3>1,0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1.故选D. 答案：D7．已知二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋c ，f ′(0)<0，且f (x )∈[0，＋∞)，则f (－1)f ′(0)的最大值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－52D ．－32解析：由题意得f ′(x )＝2ax －b ，因为f ′(0)<0，所以b >0.由f (x )∈[0，＋∞)得⎩⎨⎧a >0Δ＝b 2－4ac ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04ac b2≥1，所以c >0，a ＋c b >0，f (－1)f ′(0)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋c b ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c b 2＝a 2＋c 2＋2ac b 2≥4acb 2≥1，所以a ＋c b ≥1，当且仅当a ＝c ＝b 2时，等号成立，所以f (－1)f ′(0)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋cb ≤－2. 答案：B8．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)的定义域和值域分别为A ，B ，若集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }对应的平面区域是正方形区域，则实数a ，b ，c 满足( ) A ．|a |＝4B ．a ＝－4且b 2＋16c ＞0C ．a ＜0且b 2＋4ac ≤0D ．以上说法都不对解析：由题意可知a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.设y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于两点(x 1,0)，(x 2,0)， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，f (x )的定义域为[x 1，x 2]， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－4ca ＝b 2－4ac －a.由题意可知4ac －b 24a ＝b 2－4ac－a ，解得a ＝－4.∴实数a ，b ，c 满足a ＝－4，b 2＋16c ＞0，故选B. 答案：B9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( ) A ．2 B ．－1或－3 C ．2或－3D ．－1或2解析：函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图象的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0<a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在(a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52，∵0<a ≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a >1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 答案：D10．对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值 D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上解析：由已知得，f ′(x )＝2ax ＋b ，则f (x )只有一个极值点，若A 、B 正确，则有⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，2a ＋b ＝0，解得b ＝－2a ，c ＝－3a ，则f (x )＝ax 2－2ax －3a . 由于a 为非零整数，所以f (1)＝－4a ≠3，则C 错．而f (2)＝－3a ≠8，则D 也错，与题意不符，故A 、B 中有一个错误，C 、D 都正确．若A 、C 、D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8， ②4ac －b 24a ＝3， ③由①②得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝83－a ，c ＝83－2a ，代入③中并整理得9a 2－4a ＋649＝0，又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋649＝0无整数解，故A 错．若B 、C 、D 正确，则有⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，则f (x )＝5x 2－10x ＋8，此时f (－1)＝23≠0，符合题意．故选A.答案：A 11．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.答案：[2,3]12．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是__________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内， ∴⎩⎨⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，∴⎩⎨⎧ b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2.根据约束条件作出可行域(图略)，可知14<b －2a －1<1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1x ，x ＞0，则|P A |2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2. 令t ＝x ＋1x ，则由x ＞0，得t ≥2.所以|P A |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2，由|P A |取得最小值得⎩⎨⎧ a ≤222－4a ＋2a 2－2＝(22)2或⎩⎨⎧a ＞2a 2－2＝(22)2， 解得a ＝－1或a ＝10.答案：－1，1014．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2， 故当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2。

幂函数与二次函数A 级——基础达标1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数( ) A ．是增函数 B ．不是单调函数 C ．是减函数D ．不能确定解析：A 因为函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，即mm －1＝0，解得m ＝0．所以f (x )＝－x 2＋3为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上此函数单调递增．故选A ．2．(2022·济南质检)若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A ．3 B ．－3 C ．13D ．－13解析：C 设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12α＝13． 3．(2022·浙江模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则( )A ．b <a ＋c ，c 2<abB ．b <a ＋c ，c 2>abC ．b >a ＋c ，c 2<abD ．b >a ＋c ，c 2>ab解析：D 由题图知，a >0，b >0，c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，f (－1)＝a －b ＋c <0，所以c ＝－(a ＋b )，b >a ＋c ，所以c 2－ab ＝[－(a ＋b )]2－ab ＝a 2＋b 2＋ab >0，即c 2>ab ．故选D ．4．已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，m 的值域为⎣⎡⎦⎤－12，2，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤－π3，0 B ．⎣⎡⎦⎤－π6，0 C ．⎣⎡⎦⎤－π3，π6 D ．⎣⎡⎦⎤－π6，π3 解析：B 由题得f (x )＝－10⎝⎛⎭⎫sin 2x ＋sin x ＋14＋2，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，m ，令t ＝sin x ，则f (x )＝g (t )＝－10⎝⎛⎭⎫t ＋122＋2，令g (t )＝－12，得t ＝－1或t ＝0，由g (t )的图象，可知当－12≤t ≤0时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，2，所以－π6≤m ≤0．故选B ． 5．不等式⎝⎛⎭⎫12x≤x 的解集是( ) A ．⎣⎡⎦⎤0，12 B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．⎣⎡⎦⎤0，22 D ．⎣⎡⎭⎫22，＋∞ 解析：B 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与y ＝x 的图象，如图所示：当⎝⎛⎭⎫12x ＝x 时，解得x ＝12，由图象知⎝⎛⎭⎫12x ≤x 的解集是⎣⎡⎭⎫12，＋∞故选B ． 6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )A ．在x 轴上截得的线段的长度是2B ．与y 轴交于点(0,3)C ．顶点是(－2，－2)D ．过点(3,0)解析：ABD 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，－b 2a ＝2，解得b ＝－4a ，c ＝3a ，所以二次函数为y ＝a (x 2－4x ＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选A 、B 、D ．7．(多选)已知函数y ＝x α(α∈R )的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( ) A ．函数y ＝x α的图象过原点 B ．函数y ＝x α是奇函数 C ．函数y ＝x α是单调减函数 D ．函数y ＝x α的值域为R解析：ABD 因为函数y ＝x α(α∈R )的图象过点(3,27)，所以27＝3α，即α＝3，所以f (x )＝x 3，A 项，因为f (0)＝0，所以函数y ＝x 3的图象过原点，因此本说法正确；B 项，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以函数y ＝x 3是奇函数，因此本说法正确；C 项，因为y ＝x 3是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；D 项，因为y ＝x 3的值域是全体实数集，所以本说法正确．故选A 、B 、D ．8．已知函数f (x )＝4＋log a (2x －3)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ，且点P 在函数g (x )＝x α的图象上，则α＝________．解析：令2x －3＝1，得x ＝2，此时f (2)＝4，∴函数f (x )＝4＋log a (2x －3)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(2,4)，即P (2,4)，又∵点P 在函数g (x )＝x α的图象上，∴2α＝4，∴α＝2．答案：29．已知幂函数f (x )的部分对应值如表：则不等式f (|x |)≤2的解集是解析：设幂函数为f (x )＝x α，则⎝⎛⎭⎫12α＝22，∴α＝12，∴f (x )＝x 12，不等式f (|x |)≤2等价于|x |12≤2，∴|x |≤4，∴－4≤x ≤4．∴不等式f (|x |)≤2的解集是[－4,4]．答案：[－4,4]10．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝f (x )＋2x ＋c ，若g (x )>2对任意的x ∈R 恒成立，求实数c 的取值范围． 解：(1)∵f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3．又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2．当m ＝0或2时，f (x )＝x 3，不是偶函数； 当m ＝1时，f (x )＝x 4，是偶函数． 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 4．(2)由(1)知f (x )＝x 4，则g (x )＝x 2＋2x ＋c ＝(x ＋1)2＋c －1． 由g (x )>2对任意的x ∈R 恒成立，得g (x )min >2(x ∈R )． ∵g (x )min ＝g (－1)＝c －1，∴c －1>2，解得c >3．故实数c 的取值范围是(3，＋∞)．B 级——综合应用11．(2022·合肥质检)已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)．若对任意的x ∈[－1,0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，4]解析：B 因为f (x )＞0的解集为(－1,3)，故－2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根为－1,3，所以⎩⎨⎧－c2＝－1×3，b2＝－1＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝6，令g (x )＝f (x )＋m ，则g (x )＝－2x 2＋4x ＋6＋m ＝－2(x －1)2＋8＋m ，由x ∈[－1,0]可得g (x )min ＝m ，又g (x )≥4在[－1,0]上恒成立，故m ≥4，故选B ．12．(多选)若a ＋b >0，函数f (x )＝(x －a )(x ＋b )－1的零点为x 1，x 2(x 1<x 2)则( ) A ．x 1<b B ．x 2>a C ．x 1＋x 2＝a －bD ．x 1＋x 2＝b －a解析：BC 设g (x )＝(x －a )(x ＋b )，则g (a )＝g (－b )＝0，f (x 1)＝g (x 1)－1＝0，g (x 1)＝1，同理g (x 2)＝1，所以x 1＋x 2＝a ＋(－b )＝a －b ，由a ＋b >0得a >－b 且a >0，又x 1<x 2，g (x )的图象是开口向上的抛物线，所以x 1<－b ，x 2>a ，故选B 、C ．13．请先阅读下列材料，然后回答问题．对于问题“已知函数f (x )＝13＋2x －x 2，问函数f (x )是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”，一个同学给出了如下解答：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，u 有最大值，u max ＝4，显然u 没有最小值．故当x ＝1时，f (x )有最小值14，没有最大值．(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答； (2)试研究函数y ＝2x 2＋x ＋2的最值情况．解：(1)不正确．没有考虑到u 还可以小于0．正确解答如下：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4，易知u ≠0，当0<u ≤4时，1u ≥14，即f (x )≥14；当u <0时，1u<0，即f (x )<0．∴f (x )<0或f (x )≥14，即f (x )既无最大值，也无最小值．(2)∵x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74≥74，∴0<y ≤87，∴函数y ＝2x 2＋x ＋2的最大值为87⎝⎛⎭⎫当x ＝－12时取到，无最小值．C 级——迁移创新14．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f (1)－f (－1)1－(－1)＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1．所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0,2)．答案：(0,2)15．已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1． (1)求a ，b 的值；(2)若存在x ∈[3,4]，使g (x )<2m 2－tm ＋7对任意的t ∈[0,5]都成立，求m 的取值范围； (3)设f (x )＝g (x )x ，若不等式f (2x )－k ·2x ≥0在x ∈[－1,1]上有解，求实数k 的取值范围．解：(1)g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b ＝a (x －1)2＋1＋b －a ． ∵a >0，∴g (x )在[2,3]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)＝1，g (3)＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝1，9a －6a ＋1＋b ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. (2)由(1)得g (x )＝x 2－2x ＋1，∵存在x ∈[3,4]，使g (x )<2m 2－tm ＋7对任意的t ∈[0,5]都成立， ∴g (x )min ＝g (3)＝4<2m 2－tm ＋7对任意的t ∈[0,5]都成立，即－mt ＋2m 2＋3>0对任意的t ∈[0,5]都成立，其中t 看作自变量，m 看作参数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋3>0，－5m ＋2m 2＋3>0，解得m ∈(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞． (3)由(1)得f (x )＝g (x )x ＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x－2，∴f (2x )－k ·2x ＝2x ＋12x －2－k ·2x ≥0，令2x ＝t ⎝⎛⎭⎫12≤t ≤2， 则不等式可化为k ≤1＋1t 2－2t，∵不等式f (2x )－k ·2x ≥0在x ∈[－1,1]上有解， ∴k ≤⎝⎛⎭⎫1＋1t 2－2t max ，又∵1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t －12， 12≤t ≤2⇒12≤1t ≤2，∴⎝⎛⎭⎫1＋1t 2－2t max ＝1， k ≤1，即实数k 的取值范围是(－∞，1]．。