考研数学概率名师精华讲义D数字特征

四、随机变量的数字特征这一部份，“数学一”、“数学三”和“数学四”的考试大纲、内容和要求完全一致，．Ⅰ考试大纲要求㈠考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质㈡考试要求一、考试大纲要求理解随机变量的数字特征（数学期望、方差，标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征概念和大体性质计算具体散布的数字特征；掌握常常利用散布（二项散布、超几何散布、泊松散布、一维和二维均匀散布、指数散布、一维和二维正态散布）的数字特征（解题时能够直接利用这些数字特征）．2、会按照随机变量的概率散布求其函数的数学期望；会按照二维随机变量的概率散布求其函数的数学期望．3、理解有关数字特征的概率意义，例如，对于指数散布，“平均无端障工作的时刻”或“平均等待时刻”……能够理解为相应时刻的数学期望．Ⅱ考试内容提要㈠数学期望表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置．一、数学期望的概念(1) 概念离散型和持续型随机变量X的数学期望概念为{}⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞- d )( )()( ，，连续型离散型x x xf x X x X kk k P E其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无穷，则要求级数绝对收敛；对于持续型变量，要求概念中的积分绝对收敛；不然以为数学期望不存在．(2) 随机变量的函数的数学期望 设)(x g y =为持续函数或分段持续函数，而X 是任一随机变量，则随机变量)(X g Y =的数学期望能够通过随机变量X 的概率散布直接来求，而没必要先求出Y 的概率散布再求其数学期望；对于二元函数),(Y X g Z =，有类似的公式：(){}⎪⎩⎪⎨⎧===⎰∑∞∞．；（连续型）离散型－d )()( )( )(x x f x g x X x g X g Y kk k P E E()(){}()()()()⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰∑∑∞∞-∞∞-．；连续型离散型 d d ,, ,,,y x y x f y x g y Y x X y x g Y X g Z i jj i j i P E E二、数学期望的性质(1) 对于任意常数c ，有c c =E ．(2) 对于任意常数λ，有X X E E λλ=． (3) 对于任意m X X X ,,,21 ，有()m m X X X X X X E E E E +++=+++ 2121．(4) 若是m X X X ,,,21 彼此独立，则()m m X X X X X X E E E E 2121=．㈡ 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征． 一、方差的概念 称222)()(X X X X X E E E E D -=-=为随机变量X 的方差，称X D =σ为随机变量X 的标准差．随机变量X 的方差有如下计算公式：(){}()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎰∑∞∞-．；连续型离散型 )( d )( )( 22x x f X x x X X x X kk k E P E D2、方差的性质(1) 0≥X D ，而且0=X D 当且仅当X （以概率１）为常数； (2) 对于任意实数λ，有X X D D 2λλ=；(3) 若m X X X ,,,21 两两独立或两两不相关，则()m m X X X X X X D D D D +++=+++ 2121．㈢ 协方差和相关系数考虑二维随机向量),(Y X ，其数字特征包括每一个变量的数学期望和方差，和X 和Y 的联合数字特征——协方差和相关系数．一、协方差和相关系数的概念(1) 协方差 随机变量X 和Y 的协方差概念为Y X XY Y Y X X Y X E E E E E E -=--=))((),cov(，其中{}()()()⎪⎩⎪⎨⎧===⎰⎰∑∑∞∞-∞∞-．；连续型离散型 d d , , y x y x xyf y Y x X y x XY i jj i j i P E(2) 相关系数 随机变量X 和Y 的相关系数概念为()y x YX XY YX Y X σσρE E E D D -==,cov ．2、协方差的性质 设随机变量X 和Y 的方差存在，则它们的协方差也存在． (1) 若X 和Y 独立，则0),cov(=Y X ；对于任意常数c ，有0),cov(=c X ．(2) ),cov(),cov(X Y Y X =．(3) 对于任意实数a 和b ，有),cov(),cov(Y X ab bY aX =． (4) 对于任意随机变量Z Y X ,,，有．，),cov(),cov(),cov( ),cov(),cov(),cov(Z X Y X Z Y X Z Y Z X Z Y X +=++=+(5) 对于任意X 和Y ，有()Y XY X D D ≤,cov ．(6) 对于任意X 和Y ，有),cov(2)(Y X Y X Y X ±+=±D D D ．3、相关系数的性质 相关系数的如下三条大体性质，决定了它的重要应用．设ρ——X 和Y 的相关系数，,,,,222121Y X Y X D D E E ====σσμμ(1) 11≤≤-ρ．(2) 若X 和Y 彼此独立，则ρ=0；可是，当ρ=0时X 和Y 却未必独立． (3) 1=ρ的充分必要条件是X 和Y （以概率１）互为线性函数．三条性质说明，随着变量X 和Y 之间的关系由彼此独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值ρ从0增加到1，说明相关系数能够做两个变量统计相依程度的气宇．4、随机变量的相关性 假设随机变量X 和Y 的相关系数ρ存在．若ρ= 0，则称X 和Y 不相关，不然称X 和Y 相关．(1) 若两个随机变量独立，则它们必然不相关，而反之未必；(2) 若X 和Y 的联合散布是二维正态散布，则它们“不相关”与“独立”等价．㈣ 矩 在力学和物理学顶用矩描画质量的散布．概率统计顶用矩描画概率散布．常常利用的矩有两大类：原点矩和中心矩．数学期望是一阶原点矩，而方差是二阶中心矩．一、原点矩 对任意实数0≥k ，称k k X E =α为随机变量Ｘ的k 阶原点矩，简称k 阶矩．X E 1=α．原点矩的计算公式为：{}⎪⎩⎪⎨⎧===⎰∑∞∞-．；连续型离散型 d )( )()( x x f x x X x X ki i k i kk P E α二、中心矩 称()kk X X E E -=μ为随机变量Ｘ的k 阶中心矩．X D =2μ．㈤ 切比雪夫（切贝绍夫）不等式 设随机变量X 的数学期望X E 和方差X D 都存在，则对于任意0>ε，有{}2D E P εεXX X ≤≥-．Ⅲ 典型例题分析〖填空题〗例（函数的方差） 已知随机变量X 的散布函数为：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--=．　若　，若，若，＜若 1 , 1 10 , 0.7501 , 25.01 , 0 x x x x x F则⎪⎭⎫⎝⎛+21X X D = ． 分析 由散布函数，可得随机变量X 的概率散布．，，125.025.04125.04111025.02125.021125.050.025.0101~2222=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-X X X X X X X E D E例（函数的期望） 设随机变量X 散布函数为F (x )，则随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=01,,0 ,0,0,1 X X X Y 若若若的数学期望=Y E ．分析 随机变量Y 只有1-和1两个可能值． ．；， )]0()00([1)0(1)00( )0(1}0{}1{ )00(}0{}1{F F F F Y F X Y F X Y +--=-+--=-=>==-=<=-=E P P P P例（函数的期望） 设随机变量X 服从参数为的泊松散布，则随机变量)1(1X Y +=的数学期望Y E = ．分析 事实上，有．)e 1(2e 2e e 2e 2!5.0e 2! )1(5.0e 5.01e !5.011115.05.05.05.05.015.0015.005.0----∞=-∞=+-∞=--=-=-=+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∑∑m m k k k km k k k XY E E 例（标准差） 假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态散布．已知随机测量的绝对误差以概率不大于20米，则随机测量误差的标准差σ= ．分析 由条件“无系统误差”知，测量误差X 服从正态散布),0(2σN ，因此{}．，，20.1096.12096.12095.020 20 ≈===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=≤σσσσX X P P ， 例(方差) 设随机变量X 和Y 独立同正态散布()21,0N ，则 Y X -D= ．分析 易见，)(Y X -E = 0，)(Y X -D = 1，故Y X U -=～N (0,1)．因此，()()．；，ππππ2112d e 22 d e 21 22202222-=-==+======-⎰⎰∞-∞∞--U U U U U U U x x x x U Y X x x E E D E D E E E E 22 例 100次独立重复实验成功次数的标准差的最大值等于 ． 分析 100次独立重复实验成功的次数X 服从参数为）（p ,100的二项散布．由于当p =时，)1(p p -取最大值．这时2525.0100100=⨯==pq X D ，可见标准差的最大值等于5．例（二项散布） 有若干瓶超过保质期的饮料，假设其中变质的期望瓶数为18瓶，标准差为4瓶．则变质饮料的瓶数X 的概率散布是 ． 分析 假设总共有n 瓶超过保质期的饮料，p 是其中变质饮料的瓶数所占的比重．显然变质饮料的瓶数X 服从参数为（n ,p ）的二项散布．此刻求n 和p ．由条件知．，，，91162164)1( 182==⇒==-===p n p np X np X D E 例（协方差） 假设随机变量X 和Y 的方差都等于1，X 和Y 的相关系数为，则随机变量Y X U +=和Y X V 2-=的协方差为 ．分析 已知 ()25.0,1===Y X Y X cov ，D D ．因此，有()()()()()．25.125.021),cov(2),cov(2,,2,)2,cov()2,cov(2,, -=--=--=-+-=-+-=-+=Y X Y X Y Y X Y Y X X X Y X Y Y X X Y X Y X V U D D cov cov cov cov cov 〖选择题〗例 对于任意随机变量X 和Y ，若是()()Y X Y X -=+D D ，则 (A) X 和Y 独立． (B) X 和Y 不独立．(C) Y X XY D D D =． (D) Y X XY E E E =． [ D ] 分析 由()()，Y X Y X -=+D D 可见，，，Y Y XY Y Y XY Y X Y X Y X Y X Y X E E E E E E D D D D ==-=-+=++0),cov(),cov(2),cov(2例 设X 在区间[－1,1]上均匀散布，则X U arcsin =和X V arccos =的相关系数等于(A) 1-． (B) 0． (C) ． (D) 1． [ A ] 分析 由于X U arcsin =和X V arccos =有明显的线性关系：2arccos arcsin π=+X X ，可见X U arcsin =和X V arccos =相关系数ρ的绝对值等于1．因为X arcsin 和X arccos 增减转变趋势恰好相反，所以当即能够判定1-=ρ．例 假设实验E 以概率p 成功，以概率p q -=1失败，别离以X 和Y 表示在n 次独立地重复实验中成功和失败的次数，则X 和Y 的相关系数ρ等于(A)1-． (B) 0． (C) 1/2． (D) 1． [ A ] 分析 因为X +Y =n ，即X 和Y 互为线性函数，故X 和Y 的相关系数ρ=±1．由于Y =n －X ，可见X 和Y 为负相关，故1-=ρ． 〖计算题〗例 (期望的应用) 自动生产线加工的零件的内径X (mm)服从正态散布)1,(μN ，内径小于10或大于12mm 的为不合格品，其余为合格品．每件产品的本钱为10元,内径小于10mm 的可再加工成合格品，尚需费用5元．全数合格品在市场上销售，每件合格品售价20元．问零件的平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大？解 每件产品的销售利润L 与自动生产线加工的零件的内径X (mm)有如下关系：()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<==.12 , 10,1210 , 01 ,10 , 5 X X X X L L 若若若{}{}{}()()[]()()[]()()，1010 512 02 12 11010 510 12 10 12 10105121010----=----+---=>-<+≤≤=μΦμΦμΦμΦμΦμΦX X X L P P P E 其中()x Φ是标准正态散布函数，()()x x ϕΦ='——标准正态密度．因此，有()()()．，，， 4ln 2)10()12( ee4 0e 25e 22001051220d d 222)10(2)12(2)10(2)12(2222=---==+-=-+--=--------μμππμϕμϕμμμμμX L E由此，可见当31.10≈μmm 时，平均利润最大．例（函数的期望） 假设某季节性商品，适时地售出1kg 能够获利s 元，季后销售每千克净亏损t 元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X （kg ）是一随机变量，而且在区间),(b a 内均匀散布．问季初应安排多少这种商品，能够使期望销售利润最大？解 按照条件随机变量X 的概率密度为：()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=，若不然．，，若 0 1b x a ab x f 以表示)(h P Y =销售利润，它与季初应安排商品的数量h 有关．由条件，知⎩⎨⎧>≤--==．，若，，若h X sh h X t X h sX h P Y )()( 为求使期望利润最大的h ，咱们计算销售利润)(h P Y =的数学期望．为此，第一注意到：b h a <<，销售利润)(h P Y =的数学期望为：；sh x x f h x x xf t s x x f sh x x f ht x x xf t s xx f sh x x f ht x t s xx f sh x x f t x h sx h P Y hh hhhhh hh +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=+-+=+--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞000000d )(d )()(d )(1d )(d )()(d )(d )(])([d )(d )(])([)(E E对求导并令其等于0，得，0d )()(d )()()()(d d 00=++-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎰⎰s x x f t s s x x f h hf h hf t s h Y hh E．，ts tasb h t s s a b a h x x f h++=+=--=⎰00d )( 于是，季初安排0h 千克商品，能够使期望销售利润最大，（数学期望） 独立地重复进行某项实验，直到成功为止，每次实验成功的概率为p ．假设前5次实验每次的实验费用为10元，从第6次起每次的实验费用为5元．试求这项实验的总费用的期望值a ．解 (1) 以X 表示实验的总次数，第一求X 的概率散布．设k A ={第k 次实验成功}（k =1,2,…），则p A k =)(P ；X 的概率散布为{}),2,1()(111 ====--n pq A A A n X n n n P P ， 其中p q -=1．于是实验的总次数X 服从参数为p 的几何散布．(2) 此刻求实验的总费用的期望值a ．由条件知，实验的总费用为()⎩⎨⎧>+≤=⎩⎨⎧>-+≤=．若，若，若，若X X X X X X X X Y 5 , 5 525 , 10 5 , 5 5 505 , 10 该项实验的总费用Y 是一随机变量，其期望值为()，∑∑∑∑∞=-=-∞=-=-++=++==15151161511255552510n n n n n n n n q nq p nqp pqn npqY a E ()；，256256651165151116511651d d 1d p q q q q q qqq q nqq q q q t nt n n n n q n n +-=-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--==∑∑⎰∑=-==-p q p q q q p q q p qq p nqp n n n n n n 1)1(11d d d d d d 21111=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∑∑∑∞=∞=∞=-； ()．5561515112526552555q q q pq nq p nqp a n n n n ++-=++=∑∑∞=-=- 例如，设p = , q = ，得=a 元；设p = q = ，得=a 元；设p = , q = ，得=a 元；设p = , q = ，得=a 元．例（变量和的期望） 假设n 个信封内别离装有发给n 个人的通知，但信封上各收信人的地址是随机填写的．以X 表示收到自己通知的人数，求X 的数学期望和方差．解 (1) 记k A ={第k 封信的地址与内容一致}．第k 个人的通知随意装入n 个信封中的一个信封，恰好装进写有其地址的信封的概率等于１/n ，故)(k A P =１/n ．同理)()1(1)()()(j i n n A A A A A i j i j i ≠-==P P P ．引进随机变量⎩⎨⎧=,, 0 ,, 1 不出现若出现若k A k A k U (k =1,…,n )， 则n U U U X +++= 21．从而，有．．；；111)](1)[( 1)(1)(P }1{212=⨯=+++=-=-======nn U U U X nn A A U n A U nA U n k k k k k k k E E E E P P D P E P(2) 对于任意j i ≠，乘积j i U U 只有０和１两个可能值，且()11)()()(}1{-====n n A A A A A U U i j i j i j i P P P P ．因此，对于任意j i ≠，有()()2111,cov nn n U U U U U U j i j i j i --=-=E E E ．(3) 最后求方差D X ．()()()．11)1(1)1(1,cov 1,cov )()(222111222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-⨯=-+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=∑∑∑≠==n n n n n n n n U U n n U n U U U U U X X X j i j i nk k nm m m D D E E E E D注 该题的解法具有典型性：求解时并无直接利用X 的概率散布，仅利用数学期望和方差的性质．固然，也能够先求X 的概率散布，然后再按照概念求数学期望．但是,求概率散布需要相当繁杂的计算,而且由此概率散布求数学期望并非易事．例（函数的期望） 求{}1 , min X E ，假设随机变量X 服从柯西散布，其概率密度为()()∞<<∞-+=x x x f 11)(2π． 解 由于{}⎪⎩⎪⎨⎧≥<=，，若，，若1 1 1 1 , min x x x X 可见{}()()()()()．１－１－１－ 212ln 11d 21d21d 1d 1d 1 , min 12212212+=+++=+++++=⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞ππππππx x x x x x xx x x xx X E例（数学期望） 假设一种电器设备的利用寿命X （单位：小时）是一随机变量，服从参数为λ=的指数散布．利用这种电器每小时的费用为C 1=3元，当电器工作正常时每小时可获利润C 2=10元．此设备由一名工人操作，每小时报酬为C 3=4元，而且按约定操作时刻为h 小时支付报酬．问约定操作时刻h 为多少时，能使期望利润最大？解 以Y 表示销售利润，则由条件知()⎩⎨⎧≤-->--=．，若，，若 )( 312312h X h C X C C h X h C C C Y 由条件知，随机变量X 的散布函数和概率密度相应为⎩⎨⎧≤>-=-；，，，0 0 0e 1)(x x x F x λ 和 ⎩⎨⎧≤>=-；，，，0 0 0e )(x x x f x λλ． 其中01.0=λ．期望销售利润为{}{}()()[]()[]；h C h h C C h C C h C h C C C x x C C h X h C h X h C C C xx f x g Y h h h h h hx 31112111233120123312e e )(e )(e 1e )(d e )()(d )()(-+-+-=+--+----=-+≤->--==----------∞∞-⎰⎰λλλλλλλλλλλλP P E()[]；0e )(e 11)(d d 3123112=--=-++---=---C C C C h h C C hYh h λλλλλE 123ln 1C C C h --=λ．将C 1=3元，C 2=10元．C 3=4元，和λ=代入，得9.55≈h 小时．例（最小值的期望） 一微波线路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引发线路故障．假设两个中间站无端障的时刻都服从指数散布，平均无端障工作的时刻相应为１和(千小时)，试求线路无端障工作时刻X 的数学期望．解 设)2,1(=i X i 是第i 个中间站无端障工作时刻，则{}21,min X X X =．由条件知，能够以为1X 和2X 独立，E 1X =1，E 2X =1/＝２；()()⎩⎨⎧>>=⎩⎨⎧≤>=⎩⎨⎧≤>=----．若不然，；，，若；若，若 ；若若 0 00 2e ),(0 , 0 0 , 2e 0 , 0 ,0 , e 212212 2 121x x x x f x x x f x x x f x x x x解法１ 按照（）式，有{}()()()．千小时 )(31d e 3d e d e 2d e 2d e d d ,d d ,d d ,,min 03012220x 221121212212112121212121212121==+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--≥<∞∞-∞∞-t t x x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x X t x x x x x x x x x E解法２ 先求X 的概率密度f (x )．X 的散布函数为{}[]{}[]{}{}，)](1)][(1[1,1,min 1,min )( 21212121x F x F x X x X x X X x X X x X x F ---=>>-=>-=≤=≤=P P P P()()⎩⎨⎧≥>-=⎩⎨⎧≥>-=--．若　若 ；若若２２0 , 0 ,0 , e 10 , 0 ,0 , e 1 1x x x F x x x F xx 因此，有()()．；若若 ；若若千小时)(31d e 30 , 0 ,0 , e 30 , 0 ,0 , e 103 3 3 ==⎩⎨⎧≥>=⎩⎨⎧≥>-=⎰∞---t t X x x x f x x x F t x x E例（最小值的期望） 设随机变量X 和Y 彼此独立，而且都服从正态散布),(2σμN ，求随机变量},min{Y X Z =的数学期望．解 设()[]σμ-=X U ，()σμ-=Y V ，有 μσμσμσ+=++=},min{},min{V U V U Z ．U 和V 服从标准正态散布()1 ,0N ，其联合密度为 例插图()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=2exp 21,22v u y x πϕ．因此按照式，有(见插图){}{}(){}．ππππππϕ1d e 21d e 21d ed e21d ed e21 d d 2exp min 21 d d ,min 2222222222-=--=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞--∞∞--∞∞-∞---∞∞-∞---∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-u u v v vv u u v v v v vv v 22u vuv u vu v u u u u,u u u,U,V min E πσμμσ-=+==}, min{ },min{V U Y X Z E E E ． 注 一样能够求得{}πσμ+=Y X ,max E ． 例（方差） 假设随机向量),(Y X 在以点)1,1(),0,1(),1,0(为极点的三角形区域上服从均匀散布．试求随机变量Z=X+Y 的方差．解 区域}11,0),{(≥+≤≤=y x y x y x D ，：是以点)1,1(),0,1(),1,0(为极点的三角形区域（见插图）．随机向量( X , Y )的概率密度为()()()⎩⎨⎧∉∈=．，若；，若D y x D y x y x f ,0,2, 解法1 第一求Z=X+Y 的概率密度()z f ：显然当z <1或z >2时()z f =0；设21≤≤z ，当0≤x ≤1而且０≤z －x ≤１（即z －1≤x ≤１）时，),(x z x f -=2，不然),(x z x f -=０，故有()()() 22d 2d ,11⎰⎰-∞∞--==-=z z x x x z x f z f ．因此()()()()()()． 181916611; 611d 22; 34d 22222122221=-=-==+=-==+=-==+⎰⎰Z Z Z Y X z z z Z Y X z z z Z Y X E E E E E E D D例插图解法2 设)(1x f 是X 的概率密度．当x<0或x>1时)(1x f =0；当0≤x ≤1时, 有()() 2d 2d ,11-1x y y y x f x f x===⎰⎰-∞∞．于是，随机变量X 的概率密度为：()⎩⎨⎧≤≤=．若不然，；若 0 10 , 21x x x f ()()()．；； 1819421 21d 2d 32d 2d 221031221021=-=-=======⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-X X X x x x x f x X x x x x xf X E E D E E同理可得：E Y =2/3，D Y=1/18．此刻求 ()Y X XY Y X E E E -=,cov ：()．；；181362182),cov(2)( 36194125 Y)cov(X, 125d d 2d d ,1110-=-=++=+-=-=-====⎰⎰⎰⎰-Y X Y X Y X Y X XY y y x x y x y x xyf XY xD D D DE E E E例（相关系数） 假设随机变量X 和Y 的数学期望都等于１，方差都等于2, 其相关系数为，求随机变量Y X U 2+=和Y X V 2-=的相关系数ρ．解 第一求U 和V 的数学期望和方差．()()．，1232-=-==+=Y X V Y X U E E E E ，由条件知()5.02125.0,cov =⨯⨯=Y X ，()()()()．，1,cov 22,cov 1,cov 22,cov ==-=-=-Y X Y X Y X Y X()(),122,cov 242=++=+=Y X Y X Y X U D D D D()()82,cov 242=-++=-=Y X Y X Y X V D D D D ．注意到, 224Y X UV -=， ()3222=+==Y Y Y X E D E E , 有()()．6312344,cov 2222-=+-=--=--=-=V U Y X VU Y X V U UV V U E E E E E E E E E E从而，随机变量Y X U 2+=和Y X V 2-=的相关系数为()6124.046646 ,cov -=-=-==V U V U D D ρ．例(相关系数) 假设随机变量1021,,,X X X 独立同散布，且方差存在．求随机变量651X X X U +++= 和 1065X X X V +++=的相关系数ρ．解 记)10,,2,1( ===i b X a X i i D E ，．由于1021,,,X X X 独立，可见(61,,X X )和(107,,X X )独立，和(41,,X X )和(65,X X )独立．因此．b X X X X X X X X X X X X X X X X V U 2)(),cov(),cov(),cov(),cov(65656565656110561=+=+=++=+++=++++=D D D于是，由D U = D V =6b ，可见3162 2===b b V U b D D ρ．〖证明题〗（相关性和独立性） 对于任意二随机事件A 和B ，设随机变量⎩⎨⎧-=，不出现若出现若 ,1, ,1A A X ⎩⎨⎧-=；不出现若出现若 , 1 , ,1B B Y试证明“随机变量X 和Y 不相关” 当且仅当“事件A 和B 独立”．证明 易见事件A 和B 独立当且仅当事件A 与B 独立．记()1p A =P ，()2p B =P ，()12p B A =P ．有()()121-=-=p A A X P P E ； ()()122-=-=p B B Y P P E ．此刻求E XY ．显然，XY 只有1和－1两个可能值．{}{}{}()()()()[]{}{}{}{}()．；．；；211221212112211221124),cov(12241224112 1111211,11,11p p p Y X Y X Y X p p p p Y X p p p XY XY XY p p p XY XY p p p B A B A B A B A Y X Y X XY -=-=+--=+--=-=-==++-==-=-=+--=+-+=+=-==+====E E E E E P P E P P P P P P P P P由此可见，随机变量X 和Y 不相关的充分和必要条件是，事件A 和B 独立，即()()()02112=-=-B A B A p p p P P P ．由独立事件的性质知，若事件A 与B 独立，则事件A 与B 也独立．从而随机变量X 和Y 不相关当且仅当事件A 和B 独立．。