考研概率论讲义

2021年《概率论与数理统计》考研复习笔记与辅导讲义第1章随机事件和概率一、考研辅导讲义1．随机现象与样本空间（1）随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象．（2）样本空间随机现象的一切可能的基本结果，组成的集合，称是由基本结果构成的样本空间，记作，又称样本点．（3）随机事件样本空间的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母A，B，C等表示．注：①随机事件是由样本空间中的样本点组成，由一个样本点组成的子集是最简单件，称为基本事件．②随机事件既然由样本点组成，因此，随机事件是由基本事件组成．③如果一次试验的结果为某一基本事件出现，就称该基本事件出现或发生．如果组成事件A的一个基本事件出现或发生，也称事件A出现或发生．④把Ω看成一事件，则每次试验必有Ω中某一基本事件（即样本点）发生，也就是每次试验Ω必然发生，称Ω为必然事件．⑤把不包含任何样本点的空集看成一个事件，称为不可能事件．（4）随机变量表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母X，Y，Z，或者ξ，η等表示．2．事件间的关系（1）包含关系如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记为或．（2）事件相等若与同时成立，则称事件A与事件B相等，记作A＝B．（3）互斥事件（互不相容事件）若事件A与事件B满足关系，即A与B同时发生是不可能事件，则称事件A和事件B为互斥或互不相容，即两互斥事件没有公共样本点．注：事件的互斥可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：①若n个事件中任意两个事件均互斥，即，i≠j，i，j ＝1，2，…，n，则称这n个事件是两两互斥或两两互不相容．②如果可数无穷多个事件…中任意两个事件均互斥，即，i≠j，i，j＝1，2，…，n，…，则称这可数无穷个事件是两两互斥或两两互不相容．【例】对任意两个互不相容的事件A与B，必有（）．A．如果P（A）＝0，则P（B）＝0B．如果P（A）＝0，则P（B）＝1C．如果P（A）＝1，则P（B）＝0D．如果P（A）＝1，则P（B）＝1【答案】C查看答案【解析】．（4）对立事件如果事件A与事件B有且仅有一个发生，则称事件A与事件B为对立事件或互逆事件，记为或．注：①如果A与B为对立事件，则A，B不能同时发生，且必有一个发生，即A、B满足A∪B＝Ω且．②在样本空间中，集合是由所有不属于事件A的样本点构成的集合．【例】设随机事件A和B满足条件，则（）．A．B．C．D．【答案】A查看答案【解析】，所以即而，故，也就有即A∪B＝Ω．3．事件间的运算（1）事件的交（积）如果事件A与事件B同时发生，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交或积，记为A∩B或AB，即集合A∩B是由同时属于A与B的所有公共样本点构成．注：事件的交可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：（2）事件的并如果事件A与事件B至少有一个发生，则称这样一个事件为事件A与事件B的并或和，记为A∪B，即集合A ∪B是由属于A与B的所有样本点构成．注：事件的并可推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：（3）完备事件组如果有限个事件满，且，则称为Ω的一个完备事件组或完全事件组．注：可以推广完备事件组到可数无穷多个事件的情形：且．（4）事件的差事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，记为A－B．即在样本空间中集合A－B是由属于事件A而不属于事件B的所有样本点构成的集合．显然．（5）事件的运算规律交换律结合律分配律对偶律【例】A，B，C为任意三随机事件，则事件（A－B）∪（B－C）等于事件（）．A．A－CB．A∪（B－C）C．（A∪B）－CD．（A∪B）－BC【答案】D查看答案【解析】因，故．而图1-14．概率的概念及基本性质（1）概率的公理化定义设为一个样本空间，F为的某些子集组成的一个事件域．如果对任一事件F,定义在F上的一个实值函数满足：①非负性公理：若F,则，②正则性公理：③可列可加性公理：若互不相容，则，则称为事件A的概率，称三元素F为概率空间．（2）概率性质①；②若两两互斥，则有③；④，则P（A）≤P（B）；⑤0≤P（A）≤1【例】若A，B为任意两个随机事件，则（）．【2015数一、数三】A．B．C．D．【答案】C查看答案【解析】由于，按概率的基本性质，有且，从而．（3）事件独立性设A，B两事件满足等式P（AB）＝P（A）P（B），则称A与B相互独立．注：对n个事件，如果对任意k（1＜k≤n），任意满足等式则称为相互独立的事件．事实上，n个事件相互独立需要个等式成立．（4）相互独立的性质①A与B相互独立A与或与B或与相互独立．将相互独立的n个事件中任何几个事件换成它们相应的对立事件，则新组成的n个事件也相互独立．【例】设，，为三个随机事件，且与相互独立，与相互独立，则与相互独立的充分必要条件是（）．[数三2017研]A．与相互独立B．与互不相容C．与相互独立 D．与互不相容【答案】C查看答案【考点】相互独立【解析】由，得．【例】已知随机事件A，B，C中，满足P（AB）＝1．则事件（）．A．相互独立B．两两独立，但不一定相互独立C．不一定两两独立D．一定不两两独立【答案】A查看答案【解析】讨论事件的独立性，可等价的考虑A，B，C的独立性．因为P（AB）＝1．可知P（A）＝P（B）＝1，而概率等于1的事件与所有的事件相互独立．所以成立：P（AB）＝P（A）P（B）；P（AC）＝P（A）P（C）；P （BC）＝P（B）P（C）．又因P（AB）＝1．所以事件AB与C也相互独立，P（ABC）＝P（AB）P（C）＝P（A）P（B）P（C）．总之A，B，C相互独立．②当0＜P（A）＜1时，A与B独立P（B|A）＝P（B）或成立．③若相互独立，则必两两独立，反之，若两两独立，则不一定相互独立．④当相互独立时，它们的部分事件也是相互独立的．【例】设随机事件A与B相互独立，且，则（）．A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【答案】B查看答案【解析】因为事件A，B相互独立，则．故于是，则．（5）概率的运算公式①加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）－P（BC）－P（AC）＋P （ABC）．②减法公式P（A－B）＝P（A）－P（AB）；③乘法公式当P（A）＞0时，P（AB）＝P（A）P（B|A）；当＞0时，有④全概率公式设为Ω的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件A，有【例】甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中一半白球一半黑球．现从甲袋中任取2球与从乙袋中任取一球混合后，再从中任取一球为白球的概率为（）．A．B．C．D．【答案】C查看答案【解析】设事件A为最后取出的球为白球，事件B为球来自甲袋，显然，为球来自乙袋．且B，构成一个Ω的完备事件组，由全概率公式，因为最后三个球中二个球是从甲袋中来．所以取出的球来自甲袋概率为，当然．，这是因为已知取出的球来自甲袋的条件下，取出的为白球的概率，就相当于从甲中取出一白球的概率，甲中5个球2个为白，故，同理．因为乙中半白半黑，总之⑤贝叶斯公式设为Ω的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件A，且P （A）＞0有【例】设A、B为随机概率，若，则的充分必要条件是（）．[数一2017研]A．B．C．D．【答案】A查看答案【考点】概率公式计算【解析】因为，得，化简得．A项，，因为，所以．5．古典概型、几何概型、条件概率及伯努利试验（1）古典型概率当试验结果为有限n个样本点，且每个样本点的发生具有相等的可能性，称这种有限等可能试验为古典概型．此时如果事件A由个样本点组成，则事件A的概率称P（A）为事件A的古典型概率．【例】袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球．以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．求P｛X ＝1︱Z＝0｝；解：由于本题是有放回地取球，则基本事件总数为．（2）几何型概率当试验的样本空间是某区域（该区域可以是一维，二维或三维等等），以L（Ω）表示样本空间Ω的几何度量（长度、面积、体积等等）．L（Ω）为有限，且试验结果出现在Ω中任何区域的可能性只与该区域几何度量成正比．称这种拓广至几何度量上有限等可能试验为几何概型．此时如果事件A的样本点表示的区域为，则事件A的概率称这种P（A）为事件A的几何型概率．【例】在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为______．【答案】【解析】本题是几何型概率．不妨假定随机地取出两个数分别为X和Y．显然X与Y是两个相互独立的随机变量．如果把（X，Y）看成平面上的一个点的坐标，则由于0＜X＜1，0＜Y＜1，所以（X，Y）为平面上正方形0＜X＜1，0＜Y＜1中的一个点．而X与Y两个数之差的绝对值小于的点（X，Y）对应于正方形中的区域．图1-2在区间（0，1）中随机选取的所有可能的两个数X和Y．这些（X，Y）点刚好是图1-3单位正方形中满足的点的区域，就是图中阴影标出的区域D．根据几何型概率（3）条件概率设A，B为两事件，且P（A）＞0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．【例】设A、B为两个随机事件，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，如果P（A|B）＝1，则（）．【2016数三】【答案】A查看答案【解析】根据条件得P（AB）＝P（B），则【例】设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，P（AB）＝，P＝，则P（AB|）＝______．【答案】【解析】由条件概率的定义知，P（AB︱）＝，其中P（）＝1－P （C）＝1－＝，P（AB）＝P（AB）－P（ABC）＝－P（ABC），由于A，C互不相容，即AC＝Ø，ABC AC，得P（ABC）＝0，代入得P（AB）＝，故将P（）＝和P（AB）＝，代入公式，得P（AB）＝＝．（4）伯努利试验如果试验E只有两个可能的结果：A及，并且P（A）＝p，（其中0＜p＜1），把E独立地重复n次的试验就构成了一个试验，这个试验称作n重伯努利试验，又称n次独立重复试验，并记作B．一个伯努利试验的结果可以记作ω＝（ω1，ω2，…，ωn）其中的ωi（1≤i≤n）的全体就是这个伯努利试验的样本空间Ω，对于ω＝（ω1，ω2，…，ωn）∈Ω，如果ωi（1≤i≤n）中有k个为A，则必有n－k个为，于是由独立性即得如果要求“n重伯努利试验中事件B出现k次”这一事件的概率为【例】设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为．【2016数三】【答案】【解析】根据题意，取球次数恰好为4，则前三次恰好取到三种颜色中的两种，第四次取到剩下一种颜色的球．故前三次中取到的两种颜色取到的次数分别为1次和2次．综上，取球次数恰好为4的概率为【例】在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，则在第n次成功之前恰失败了m次的概率为______．图1-3【答案】【解析】为了分析试验的结构，可以作图形分析：“第n次成功之前失败了m次”这事件意味着第n次成功前有（n－1）次成功和m次失败．总共做了（n ＋m）次试验．最后一次是成功，前n＋m－1次试验中有m次失败和（n－1）次成功，故事件的概率应为。

2016考研数学概率论零基础入门讲目录第一讲随机事件与概率 (1)第二讲一维随机变量及其概率分布 (7)第三讲随机变量的数字特征 (12)【注】（1）数二的考生不需要学习这部分内容。

（2）老师没有完全按照讲义的顺序讲课，而是打乱了顺序，重新整合授课体系，但是老师所讲的内容多数是包含在讲义中的，讲义中没有的内容需要同学们自己做笔记.第一讲随机事件与概率一、从古典概型讲起1.随机试验与随机事件称一个试验为随机试验，如果满足：（1）同条件下可重复（2）所有试验结果明确可知且不止一个（3）试验前不知哪个结果会发生【注】①在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母A, B, C 等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为Ω．每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为φ．②随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为ωi .2.古典概率称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型，如果其基本事件空间(样本空间)满足:(1)只有有限个基本事件(样本点)；(2)每个基本事件(样本点)发生的可能性都一样．【注】①等可能：对于可能结果: ω1,ω2 , ,ωn ，我们找不到任何理由认为其中某一结果ωi 更易发生，则只好（客观）认为所有结果在试验中发生的可能性一样.②如果古典概型的基本事件总数为n ，事件A 包含k 个基本事件，即有利于A 的基本事件k 个．则A 的概率定义为P( A) =k=事件A所含基本事件的个数n由上式计算的概率称为A 的古典概率．3.计数方法基本事件总数1n （1）穷举法：样本点总数不大时 （2）集合对方法：①加法原理：完成一件事，有n 类方法，第一类方法中有m 1 种方法，第二类方法中有m 2种方法，……，第n 类方法中有m n 种方法，则完成此事共有m 1 + m 2 + + m n 种办法.②乘法原理：完成一件事，有 n 个步骤，第一步中有 m 1 种方法，第二步中有 m 2 种方法，……，第n 步中有m n 种方法，则完成此事共有m 1 ⋅ m 2 m n 种办法.③排列：从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n ) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫排列.所有排列的个数叫做排列数，记作 P m= n (n -1) (n - m +1) =n !(n - m )!.当m = n 时，P m = P n = n !，称为全排列.nn④组合：从n 个不同元素中取出m(m ≤ n ) 个元素并成一组，叫组合.所有组合的个数mP m m m 叫做组合数，记作C n = n，也有 P n m != C n ⋅ m !.（3）用对立事件思想 4.例题分析【例 1】从 0 到 9 这十个数字中任取 3 个不同的数字，求 （1）三个数中不含 0 和 5 的概率 （2）三个数中不含 0 或 5 的概率 （3）三个数中含 0，但不含 5 的概率【例 2】假设袋中有 5 个球，3 白球 2 黑球，求 （1）先后有放回取 2 球，至少有一白球的概率； （2）先后无放回取 2 球，至少有一白球的概率； （3）任取 2 球，至少有一白球的概率.【例 3】假设袋中有 100 个球，40 个白球，60 个黑球（1）先后无放回取 20 个，求取到 15 个白球 5 个黑球的概率； （2）先后无放回取 20 个，求第 20 次取到白球的概率； （3）先后有放回取 20 个，求取到 15 个白球 5 个黑球的概率；2∑ ∏ （4）先后有放回取 20 个，求第 20 次取到白球的概率. 二、几何概型 1.引例 天上掉馅饼 2.几何概型的定义如果(1)样本空间(基本事件空间)Ω 是一个可度量的几何区域；(2)每个样本点(基本事件) 发生的可能性都一样，即样本点落入 Ω 的某一可度量的子区域 A 的可能性大小与 A 的几何度量成正比，而与 A 的位置及形状无关，我们就称这样的随机试验的概率模型为几何概型，在几何概型随机试验中，如果 S A 是样本空间 Ω 一个可度量的子区域，则事件 A ＝“样本点落入区域 S A ”的概率定义为P ( A ) =S A 的几何测度 Ω的几何测度由上式计算的概率称为 A 的几何概率【评注】 基本事件有限、等可能的随机试验为古典概型；基本事件无限、等可能的随机试验为几何概型． 3.例题分析【例 1】君子有约，上午 9:00-10:00 到新东方大厦门口见面，先到者等 20 分钟即离开，求甲、乙两人相遇的概率.【例 2】在区间(0,1) 中随机取两个数，则两数之和小于 6的概率为 .5三、重要公式求概率1.重要公式总结(1)求逆公式 P ( A ) = 1- P ( A ).(2)减法公式 P (A －B )＝P (A ) －P (AB )． (3)加法公式 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )P (A ∪B ∪ C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )P (AB )P (AC )P (BC )＋P (ABC )．【注】①设 A 1，A 2，…，A n 是两两互不相容的事件，则 P ( n nA i ) = P ( A i )i =1i =1②若 A 1，A 2，…，A n 相互独立，则 P ( n nA i ) = 1 - [1 - P ( A i )]i =1i =1（4）条件概率公式 设 A 、B 为任意两个事件，若 P (A )＞0，我们称在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率为条件概率，记为 P (B ｜A )，并定义3nP (B | A ) = P ( AB )P ( A )(P (A )＞0).【注】(1)条件概率 P (·｜A )是概率，概率的一切性质和重要结果对条件概率都适用，例如：P (B | A ) = 1- P (B | A ),P (B - C | A ) = 1- P (B | A ) - P (BC | A ) > 0 ，等等．(2)条件概率就是附加一定的条件之下所计算的概率．当说到“条件概率”时，总是指另外附加的条件，其形式可归结为“已知某事件发生了”． （5）乘法公式如果 P (A )＞0，则 P (AB )＝P (A )P (B ｜A )．一般地，如果 P (A 1…A n －1)＞0，则P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2｜A 1)P (A 3｜A 1A 2)…P (A n ｜A 1…A n －1) 【注】A i 先于 A i ＋1 发生时用此公式． （6）全概率公式（全集分解思想）n如果A i= Ω, A iAj= φ(i =/ i -1 j ), P ( A i ) > 0 ，则对任一事件 B ，有nnB =A iB , P (B ) = ∑P ( A i)P (B | A i).i -1i -1（7）贝叶斯(Bayes )公式(逆概公式)n如果A i= Ω, A iAj= φ(i =/ i =1j ), P ( A i ) > 0 ，则对任一件事 B ，只要 P (B )＞0，有P ( A i | B ) =P ( A i )P (B | A i )(i = 1,2, , n )∑P ( A i)(B | A i)i =1【注】①要注意 P (AB )与 P (B ｜A )的区别：P (AB )是在样本空间为 Ω 时，A 与 B 同时发生的可能性，而 P (B ｜A )则是表示在 A 已经发生的条件下，B 发生的可能性，此时样本空间已由 Ω 缩减为 A ，只要题目中有前提条件： “在 A 发生的条件下”或“已知 A 发生”等等，均要考虑条件概率．②全概率公式是用于计算某个“结果”B 发生的可能性大小．如果一个结果 B 的发生总是与某些前提条件(或原因、因素或前一阶段结果)A i 相联系，那么在计算 P (B )时，我们总是将 B 对 A i 作分解：B =A iB ，应用全概率公式计算 P (B )．如果在 B 发生的条件下探求导致这i4一结果的各种“原因”A i发生的可能性大小P(A i｜B)，则要应用Bayes 公式．2.随机事件相互独立与独立试验序列概型(1)独立性定义描述性定义(直观性定义)设A、B 为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A 与B 相互独立．设A1，A2，…，A n是n 个事件，如果其中任何一个或几个事件发生的概率都不受其余的某一个或某几个事件发生与否的影响，则称事件A1，A2，…，A n相互独立．数学定义设A、B 为事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A 与B 相互独立，简称为A 与B 独立．设A1，A2，…，A n为n 个事件，如果对其中任意有限个事件A i1，A i2，…，A ik(k≥2)，有P(A i1A i2…A ik)＝P(A i1)P(A i2)…P(A ik)，则称n 个事件A1，A2，…，A n相互独立．(2)独立性的判定1°直观性判定：若试验独立其结果必相互独立．例如：甲、乙各自试验结果相互独立；袋中有返回取球其结果相互独立等．2°充要条件．k k〈1〉A1…A n相互独立⇔任意k≥2；P( A ij ) =∏P( A ij ).j =1 j =1特别地A、B 独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．若0＜P(A)＜1，则A、B 独立⇔P(B | A) =P(B | A) =P(B).〈2〉n 个事件相互独立的充要条件是，它们中任意一部分事件换成各自的对立事件所得到的n 个事件相互独立．3°必要条件．〈1〉n 个事件相互独立必两两独立，反之不然．〈2〉n 个事件相互独立，则不含相同事件的事件组经某种运算后所得的事件是相互独立的．例如，A、B、C、D 相互独立，则AB 与C ∪D 相互独立，A 与BC－ D 相互独立，等等．4°一定独立与一定不独立的判定．概率为1 或零的事件与任何事件都相互独立．如果0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，A 与B 互5不相容或存在包含关系，则 A 与B 不相互独立．【评注】在现实生活中，难于想像两两独立而不相互独立的情况，可以这样想：独立性毕竟是一个数学概念，是现实世界中通常理解的那种“独立性”的一种数学抽象，它难免会有些不尽人意的地方．3.例题分析【例1】假设有10 份报名表，3 份女生报名表，7 份男生报名表。

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。

例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

概率论与数理统计概率论与数理统计是一门研究客观世界随机现象及其统计规律的学科，也是高等院校工程类和经济管理类专业的一门重要的基础课，更是全国硕士研究生招生考试数学一和数学三的重要考查内容，分值约占总分的20%。

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本书可作为高校概率统计课程配套的参考资料，也可作为成人教育、教师和科技工作者的参考用书，希望本书能成为广大读者的良师益友。

本书若有不到之处，恳请读者批评指正。

汤老师微博汤老师微信公众号汤老师一直播ID：186288809汤家凤2021年3月于南京S^CONTENTS^^第一章随机事件与概率 (1)本章理论体系 (1)经典题型讲解 (7)题型一事件的关系与运算、概率基本公式 (7)题型二事件的独立性 (9)题型三三种常见的概型 (10)题型四全概率公式与贝叶斯公式 (11)第二章一维随机变量及其分布 (15)本章理论体系 (15)经典题型讲解 (20)题型一一维离散型随机变量的分布律与分布函数 (20)题型二一维连续型随机变量的概率密度与分布函数 (23)题型三一维既非离散又非连续型随机变量的分布函数 (28)题型四随机变量函数的分布 (28)第三章二维随机变量及其分布 (35)本章理论体系 (35)经典题型讲解 (40)题型一二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布 (40)题型二二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布 (42)题型三二维随机变量的条件分布、独立性 (45)题型四二维随机变量函数的分布 (51)第四章随机变量的数字特征 (61)本章理论体系 (61)经典题型讲解 (64)题型一离散型随机变量的数字特征 (64)题型二连续型随机变量的数字特征 (69)题型三多维随机变量的数字特征 (70)题型四相关性与独立性 (74)第五章大数定律与中心极限定理 (78)本章理论体系 (78)经典题型讲解 (80)1题型一切比雪夫不等式 (80)题型二大数走律 (81)题型三中心极限定理 (81)第六章数理统计基本概念 (84)本章理论体系 (84)经典题型讲解 (90)题型一统计量的基本概念 (90)题型二三个扌由样分布 (91)题型三分位点 (95)题型四统计学的数字特征与概率 (96)第七章参数估计 (99)本章理论体系 (99)经典题型讲解 (104)题型一离散型总体参数的点估计 (104)题型二连续型随机变量参数的点估计 (106)题型三估计量的无偏性（数学三不要求） (111)题型四参数的区间估计（数学三不要求） (115)第八章假设检验（数学三不要求） (117)本章理论体系 (117)经典题型讲解 (122)题型一-个正态总体的假设检验 (122)题型二两个正态总体的假设检验 (123)2机事件与概率藝存彖一、随机试验与随机事件定义H随机试验设E为随机试验，若满足如下条件：(1)在相同的条件下该试验可重复进行；(2)试验的结果是多样的且所有可能的结果在试验前都是确定的；(3)某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，简称试验，一般用字母E表示.定义何样本空间设E为随机试验，随机试验E的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验E的样本空间，记为0,0中的任意一个元素称为样本点.(1)样本空间中所有元素为随机试验的最基本的结果，即所有元素都具有不可再分性；(2)样本空间必须是所有可能的基本结果，即具有完备性，且同一个基本结果在样本空间中只出现一次.定义❸随机事件设E为随机试验4为其样本空间，则O的子集称为随机事件，其中0称为不可能事件称为必然事件.例如：一个均匀的正六面体的骰子，六个面分别标有1、2、3、4、5、6,随机扔骰子，该试验骰子朝上一面的数字的样本空间为0={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},表示“扔骰子后朝上的面的数为偶数”，事件B={1,2,3},表示“扔骰子后朝上的面的数不超过3”.二、事件的运算与关系(-)事件的运算定义❹事件的积设为两个随机事件，则事件A与事件B同时发生的事件.称为事件的积事件，记为43或A A B,如图1-1所示.图1-11>»考研数学概率论与数理统计辅导教程定义目事件的和设A,£为两个事件，则事件A或事件£发生的事件（或事件A,B至少有一个发生的事件），称为事件的和事件，记为A+B或A U如图1-2所示.AUB图1-2定义❻事件的差设A,B为两个随机事件，则事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件的差事件，记为A—3,如图1-3所示.A-B图1-3定义❼出件的补设。

考研数学概率论辅导讲义主讲：马超第二章 随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<→⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω→≤=)()(x X P x F 分布函数： 函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-102、重要公式和结论例2．1：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X 的分布律。

例2．2：给出随机变量X 的取值及其对应的概率如下：,31,,31,31,,,2,1|2k k PX ， 判断它是否为随机变量X 的分布律。

例2．3：设离散随机变量X 的分布列为214181812,1,0,1，，，-P X ，求X 的分布函数，并求)21(≤X P ，)231(≤<X P ，)231(≤≤X P 。

例2．4： )()(21x f x f +是概率密度函数的充分条件是： （1）)(),(21x f x f 均为概率密度函数 （2）1)()(021≤+≤x f x f例2．5：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b 个球（放回），试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。

例2．6：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。

例2．7：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？例2．8：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b 个球，试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。

概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。

例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。

每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。

例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。

例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。

在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。

例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。

试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。

记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。

出现的情况，则样本和反面次，观察正面）将一枚硬币抛掷：（例，）对偶律：）（）（）（）（）（）（）（）（）分配律：）（）（）（）（）结合律：，）交换律：合的运算律相似）、事件的运算律（与集的一个划分。

或为样本空间事件组（完全事件组）则称这个事件组为完备或（发生，即仅有一个事件且在每次试验中必有一个时，两个互不相容（即当，，，或可列无限多个事件，，限个事件、完备事件组：如果有。

，，即有的对立事件记作，为对立事件（或互逆）与发生，称事件一个必有一个发生，且仅有和事件，如果事件、对立：在每次试验中为互不相容事件。

、，称不能同时发生，即与若事件、互不相容（互斥）：不发生。

发生而表示的差：与、事件同时发生，，表示一般：同时发生与表示事件或之交：与、事件至少有一个发生，，表示一般：至少有一个发生。

与表示事件之和（并）：与、事件相等，记做与，称且、相等：若。

或的样本点，则有中至少有一个不属于且。

若或，记作包含发生，称发生必然导致事件、包含：若事件、、，随机事件为的样本空间为设随机试验算：二、事件的关系及其运的事件。

每次试验中一定不发生事件事件，不可能每次试验中一定发生的：必然事件事件。

两种特殊的事件单子集，称基本；由一个样本点组成的，，，记作事件，简称为事件，称为随机中满足某些条件的子集的样本空间、随机事件：随机试验记作素点样本空间的元素称为元作记的集合称为样本空间，的所有可能结果所组成、样本空间：随机试验。

有的结果是明确可知的一个结果会发生，但所）试验之前不能确定哪一个；）每次试验的结果不止复进行；）可在相同的条件下重机试验，记作三个条件的试验称为随、随机试验：满足以下件：一、随机试验与随机事内容提要及有关公式随机事件及其概率第一章概率论与数理统计T H A A A A BA B A B A B A A A A A C A B A C B A C A B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A AB B A A B B A A A j i A A A A A j i A A A A A A A B B A A A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A A A A B A AB B A B A A A A A A A A B A B A B A B A B A A B B A B A A B A B A B B A A B A B B A i A B A EC B A E E ii i i i i i i i i i i i i i ni j i i j i n n i i i i i i i i i 311,43219),),8765.)(4.3.21),2,1(.3.,,2321.11111111121211212112121∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞==∞=∞==============ΩΩ=Ω=≠==≠===-===⊆⊆⊂⊃⊇⊆⊇=Ω--ΩΩΩφφφφω，则有是两两互不相容的事件，，，设特别地：有限可加性，（有，一般地：对任意事件）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（有、、件）加法公式：对任意事（）（）（）且（）（）（时，特别：当）（）（）（，有和个事件）减法公式，对任意两（）（）（）（、概率的性质：（，则为两两互不相容的事件，，、）可列可加性设（）（，对于必然事件）规范性（）（，对于任意事件）非负性（）为概率：（事件集合上的函数，则称满足下列条件的的样本空间为试验、概率的定义：设随机质三、事件的概率及其性示事件。

概率论与数理统计考研辅导讲义白云霄第一章 随机事件及其概率1、随机事件、样本空间、概率的定义例1. 写出下列试验的样本空间与事件A 的样本点1． 同时掷两颗骰子，记录其点数之和；A ：点数之和为偶数 2． 相继掷两次硬币。

A ：第一次出现正面3． 研究甲、乙两件产品的销售状况（畅销、滞销） 4． 经过三个十字路口遇到红灯的个数2、事件的关系及其运算例2设A,B 是任意两个随机事件，则()()()(){}______=++++B A B A B A B A P 例3设,,A B C 为三个事件，试将下列事件用,,A B C 表示出来： （1） A 发生，B 与C 不发生 （2） A ，B ，C 至少有一个发生 （3） A ，B ，C 恰好有一个发生 （4） A ，B ，C 至少有一个不发生 （5） A ，B ，C 最多有一个不发生（6）A 不发生，B ，C 中至少有一个发生3、概率的计算方法有：古典概率、加法公式、乘法公式、 条件概率、全概公式及逆概公式、二项公式 1． 古典概型 I 取次品例1一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取4个，求：（1） 只有一件次品的概率；（2）至多一个次品的概率；（3）至少一个次品的概率。

例2袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有两个人依次随机的从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是? II 排数字例3从1，2，3，4中任意选出三个不同的数字形成三位数，求此三位数大于300的概率。

例4一个三位数由1，2，3，4中的三个数字形成（个、十、百位可以相同），求此三位数大于300的概率。

例5 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率 III 质点入盒例6将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各是多少？例7设将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随意地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为?IV 配鞋子例8从5双不同大小的鞋中取出4只，求： （1） 刚好是两双的概率；（2）不配队的概率 V 几何概型例9设,x y 在[0，1]随机取值，求 （1）(1)P x y +<；（2）1()4P xy <例10某码头上只能容一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内随机到达， 如他们需要停靠的时间为3小时，求一船要在江中等待的概率。

考研数学之概率讲义分析概率统计第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。

了解：样本空间的概念理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。

§1随机事件与样本空间一、随机试验：E（1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果——样本点ω所有样本点全体——样本空间Ω三、随机事件样本空间的子集——随机事件A B C样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。

如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现Ω——必然事件Φ——不可能事件§2事件间的关系与运算一．事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算：并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件：“第i 次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A U U ； （2）123A A A ；（3）123A A A U U ； （4）123123123A A A A A A A A A U U ； 再用123,,A A A 表示下列事件：(5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。

§3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式一．公理化定义 ,,A P Ω(1)()0P A ≥ (2)()1P Ω=(3)1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++U UL U UL L L ,i j A A i j =∅≠ 二．性质(1)()0P ∅=（2）1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++U UL U UL L L ,i j A A i j =∅≠ (3)()1()P A P A =-(4),()()A B P A P B ⊂≤ (5)0()1P A ≤≤三．条件概率与事件独立性(1)()()0,(),()P AB P A P B A P A >=事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率； (2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立，,A B 独立,A B €独立,A B €独立,A B €独立；()0P A >时,,A B 独立()()P B A P B =€；(3)121212(,,,)()()()1kki i i i i i k P A A A P A P A P A i i i n =≤<<<≤L L L称12,,n A A A L 相互独立,(2321n n n n n C C C n +++=--L 个等式)相互独立⨯垐?噲?两两独立。

考研数学基础班概率统计讲义第一章随机事件与概率一、随机试验与随机事件（一）基本概念1、随机试验—具备如下三个条件的试验：（1）相同条件下可重复。

（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。

（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E 。

2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。

3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。

（二）事件的运算1、事件的积—事件A 与事件B 同时发生的事件，称为事件A, B 的积，记为AB 。

2、事件的和—事件A 或者事件B 发生,称为事件A, B 的和事件，记为A + B 。

3、事件的差—事件A 发生而事件B 不发生,称事件A, B 的差事件，记为A - B 。

（三）事件的关系1、包含—若事件A 发生则事件B 一定发生，称A 包含于B ，记为A ⊂ B 。

若A ⊂ B 且B ⊂ A ，称两事件相等，记A = B 。

2、互斥（不相容）事件—若A 与B 不能同时发生，即AB = φ ，称事件A, B 不相容或互斥。

3、对立事件—若AB = φ 且A + B = ∧ 称事件A, B 为对立事件。

【注解】（1）A = ( A- B) + AB ，且A - B 与AB 互斥。

（2）A + B = ( A - B) + (B - A) + AB ，且A - B, B - A, AB 两两互斥。

（四）事件运算的性质1、（1）AB ⊂ A(或B) ⊂ A + B ；（2）AB = BA, A + B = B + A ；2、（1）A ⋃ A = A, A ⋂ A = A ；（2）A ⋂ (B ⋃ C) = ( A⋂ B) ⋃ ( A⋂ C), A ⋃ (B ⋂ C) = ( A ⋃ B) ⋂ ( A⋃ C) ；3、（1）A = ( A- B) ⋃ A ；（2）( A- B) ⋂ A = A - B ；（3）A + B = ( A - B) ⋃ AB ⋃ (B - A) 。