王式安考研概率讲义

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考研高等数学用的教材

考研高等数学用的教材高等数学教材是考研数学准备中必不可缺的资源。

它们作为培养学生数学思维和解题能力的基石，扮演着重要的角色。

在考研复习过程中，选择适合自己的高等数学教材至关重要，本文将介绍几本经典的高等数学教材，帮助考研学子合理选择自己的学习资料。

一、《高等数学》（第七版）王式安主编《高等数学》是近几十年来中国高等院校广泛采用的一本经典教材。

它以其简明扼要的叙述方式和完备系统的内容，备受好评。

该教材涵盖了数学分析、线性代数、解析几何、概率论等高等数学的主要内容，适合考研学子系统学习和复习使用。

每一章均有大量的例题和习题，帮助学生巩固和检验所学知识，属于考研数学必备教材之一。

二、《数学分析》（第二版）何光学、杨大文主编《数学分析》以分析学为主要内容，涵盖了极限、连续、微分、积分以及级数等方面的知识。

该教材在内容的选择和叙述上相对详细，注重理论的严谨性，适合考研学子深入学习和理解数学分析的基本原理和方法。

此外，该教材还配有大量的习题和习题全解，供学生进行巩固和拓展。

三、《线性代数》（第七版）张贤科、秦忠安主编《线性代数》是考研数学中的一门重要课程。

该教材系统介绍了线性代数的基本概念、线性方程组、行列式、矩阵以及线性空间等内容。

教材讲解精炼、逻辑严密，从基础到进阶，帮助学生全面掌握线性代数的重要概念和方法。

此外，教材还附有大量的习题和实例，并配备了习题详解，方便考研学子进行练习和复习。

四、《概率论与数理统计》（第六版）韩士刚主编《概率论与数理统计》是考研数学中的一门重要课程，也是数学基础必备的一部分。

该教材详细介绍了概率论和数理统计的基本概念、方法和定理，涵盖了概率、随机变量、随机过程、参数估计等内容。

教材内容系统、结构完整，帮助学生深入理解概率论与数理统计的理论体系。

同时，教材中设有丰富的例题和习题，供考研学子进行巩固和实践。

综上所述，以上介绍了几本适合考研高等数学准备的教材。

选择合适的教材对于考研学子来说至关重要，应根据自己的学习风格、数学基础以及复习时间合理进行选择。

考研概率强化讲义(全题目)资料

考研概率与数理统计第一章随机事件和概率第一节基本概念例题例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。

例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。

若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A ． 315个B ． 316个C ． 317个D ． 318个例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。

例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。

考研数学5大神备考经验分享

考研数学145大神备考经验分享摘要：数学是考研中非常重要的科目，分值150分，而且复习知识量多，难度大，所以对数学的复习尤为重要。

老师为大家分享一位145分高分学长的数学备考经验，一起来看看吧！►基本情况：本科大连理工大学，报考学校为天津大学，自己数学基础还算不错。

2019年考研数学一取得145分，在19年来说，145分还算是相当不错的。

每个人的学习方法都是不可复制的，希望大家结合自己的基础，找到适合自己的方法。

一、复习资料介绍1.同济版教材或者本科教材：对于考研数学来说，基础很重要，建议课本一定要看一遍，基础概念很重要，课本会比考研书籍讲的更详细，也能让你更好的理解。

当然视自己的基础而定，基础较差的同学可以先从课本开始学，可以搭配《张宇带你学》一起使用；对于基础好的同学可以直接做一些复习书籍，但是课本尽量放在手边，时不时翻一下。

2.张宇36讲：建议和课本结合使用，看一章内容做一章习题，特别适合巩固基础。

高数十八讲可以搭配张宇老师的基础视频一起使用。

线代概率部分知识点大家可以搭配其他书籍使用，比如李永乐的线性代数辅导讲义和王式安的概率辅导讲义。

3.李永乐复习全书：书中知识点可能讲的不是很详细，很多是直接给出。

例题和习题水平较高，有一定的难度，推荐基础好点的同学使用。

书中有很多难题，这些题很好地与基础知识结合在了一起，如果能吃透，对自己提升较大，但是可能花费时间会多一点。

4.李永乐660题：书中全部为选择题和填空题，题量不多，质量较高，如果自己在初期复习有时间，可以直接开始做，巩固基础知识，而且都是选择填空，做起来也比较轻松。

强化阶段也可考虑使用，需搭配其他的一些书籍使用，光一本660题达不到强化效果。

5.张宇1000题：这本书强烈推荐，适用于强化阶段，题量大，难度高，但是可以提高自己的数学做题技巧。

2020年考研数学不用说，肯定是要偏难的，所以今年的考生如果愿意吃苦，最好是做一下，记得要整理笔记，归纳题型。

考研干货：考研政英数命题组下来的人

考研政英数命题组下来的人1./肖秀荣：1991—2004年为教育部考试中心全国硕士研究生政治理论入学统一考试命题组成员，曾任政治命题组副组长及学科组长。

统治考研政治半壁江山，预测猜题准。

据推算，今年肖老爷子年龄应该有74了，如果退休了，政治就真的不好考了。

/才逸：2000—2010年受聘于教育部考试中心，曾任研究生入学考试政治命题组学科组长。

对命题思路把握的很准，每年也出考前预测8套卷和4套卷，但知名度不高。

/王顺生：1992—2003年连续12年担任全国硕士研究生入学考试政治命题组组长。

2./张剑：1999—2003年任教育部考试中心研究生入学考试英语命题组成员。

黄皮书很有名。

/毕金献：1989—1998年受聘于教育部考试中心，曾任研究生入学考试英语命题组组长。

/冯小诗：1999—2003年任研究生入学考试英语命题组组长。

/吴一安(就是那个2010考研大作文出火锅的，是考研以来最难的)：2010年任研究生入学考试英语命题组组长。

/张振中：1990年起受聘于教育部考试中心，任全国研究生入学统一考试英语命题组成员，曾连续四年担任全国研究生入学统一考试英语命题组组长。

3./王式安：1987—2001年任研究生入学考试数学命题组组长。

讲概率论，和李永乐出了一个系列的书。

/季文铎：近几年刚退。

/蔡燧林：1992—2000年任研究生入学考试数学命题组组长。

高数非常牛，人称命题机器，但是现在基本不出书了。

/胡金德：1989—2001年任研究生入学考试数学命题组成员。

负责线性代数。

/范培华：曾参加全国硕士研究生入学考试数学命题工作14年。

好早之前出过题，应该是讲概率统计的。

/龚冬保：现在不出书了。

/周概容：1987—2003年任研究生入学考试数学命题组成员，曾任命题组组长。

负责概率统计。

/单立波：曾任数学命题组组长。

现在应该还有他的一本小册子在卖，是李王系列的。

注：李永乐、李正元从来都不是命题人。

根据保密协议，命题人离开命题组3年后，身份才可以公开，但仍然不得泄露包括其他命题人信息、题库试题等保密内容。

2010年考研数学真题点评(李永乐、李正元、王式安)

主持人：各位网友大家好，欢迎大家关注腾讯网教育频道联合万学共同制作的2010考研真题解析系列访谈节目。

今天我们非常容幸的邀请到了万学海文的顶级辅导名师，李正元、王式安、李永乐三位老师作客我们的访谈街，为大家第一时间解读2010年的数学考研真题。

李正元老师是北大的教授，李永乐老师是清华的教授。

王式安老师是北京理工大学的教授。

今天三位老师来到我们这里，一定能够给大家带来很大的收获。

希望大家能够受益匪浅。

现在就开始进入正题。

今年的考研题目，考试大纲和09年年的考试大纲是一致的，三位老师认为10年和09年考研的命题思路有什么变化？考试的难度有什么区别？李正元：我觉得从高数来说，大部分题目跟原来的命题思路是一致的，它还是一个基本的题目，难以程度也是适中。

比如说，大的解答题里，15题。

通解，这是一个基本题。

第16题是求一个变限积分。

求一次倒数就可以。

马上就可以回答它的结论。

第三道17道题，两道小题，第一个是比较两个积分题的大小。

积分曲线是一样的。

只要比较里面的函数，这里实际上就归结到L，大于区间上。

有了这个，这个题就非常容易得到了，第二个求极限利用第一道题。

第18道题，这个题目我们说只要利用一下求奇数无奇数合的基本方法就可以得到的，所以这个难以程度，当然最后一道题稍微难一点。

是一个全面积分比较复杂。

在一些少量的题目，我觉得它并不是非常基本，跟以前的题型大家不多见。

主要体现在选择题里，有四道选择题，一道是两个和号的取极限。

要是选择下面四道累计几分，是哪一个，这个题目应该说不那么基本。

大家基本的可能多数同学应该没有做过这个问题。

另外一个，就是关于狭积分的，它不是通过非常简单的计算就可以判断的，所以这两道稍微难一点。

四道选择题里占了两道题比较难的。

恩在基本题的方面在这一点上是和去年不同的地方。

总体上来说大部分题目还是适中的，有少量题目是难的。

高数是这样的情况。

主持人：李老师王老师呢？李永乐：今年的命题和以往的命题思路思想方法都是连贯的。

经验贴：上岸前辈分享考研数学复习规划、名师推荐、辅导用书

经验贴：上岸前辈分享考研数学复习规划、名师推荐、辅导用书摘要：上岸前辈分享考研数学复习规划、名师推荐、辅导用书，我们一起来看看他的数学是如何复习？考研数学的复习，选对老师，后期跟到这位老师学至关重要！一、那我们就先来聊聊老师选谁好！1、汤家凤汤老师的基础班我觉得讲得是所有老师里最负责最踏实的！因为绝大部分老师都是一个样，收着讲，而不是全局概括，往往基础班讲高数上册的前三四章就匆匆了事，汤老师是比较务实的人，他的基础班除了比较偏的几个知识点（三重积分、第二型曲线曲面积分等），从数一到数三的内容都会讲完，你要是看完高数课本，再把老汤的基础班看完，是极好的，你定会打一个不错的基础，但是（重点）！但是如果你不听他的基础课就直接奔着强化课去听，那么就会感觉比较吃力，因为老汤的强化班是建立在基础班上的，算是对基础班的一个延伸概括，当然，他老人家讲课有两个不足之处：（1）重视题量，对概念的讲解却不是特别深入！（这点和张宇正好相反）所以他的课适合基础差的同学打基础的，通过做题来深化对知识点的认识（2）口音问题，这是老汤被黑的重要原因，老汤的江苏南京人，讲话口音有点怪怪的，普通话讲得并不是太好，但是多听几节课，这也不是什么大问题。

概括：所以考研的同学可以打基础的时候看完课本直接上手老汤的基础班！权当练习！2、张宇名师简介：张宇，江湖人称宇哥，他独树一帜，是考研老师新生派的代表人物，其微博名字也为宇哥考研，为人风趣幽默，讲课就像讲故事，听起来毫不费力，如果你对数学没兴趣，听宇哥的课会激发你对数学的热情，听宇哥的课就是一个感觉，上瘾！好听！有意思！相信绝大部分同学都听过他的sin狗（广义化）的公式，宇哥的一大能力就是他能将数学抽象问题形象化，复杂问题简单化例如，二重积分大面包切切切切切、狗减sin狗等于六分之一狗三、夹逼准则哪里跑、格林闭关七天研究出格林公式、欠阿贝尔两块钱以及普京题抓住重点、毛主席题举重若轻等等，这些本来在高数课本中枯燥繁琐的东西在张宇口中变得呼之欲出、极为生动，这都能反应宇哥的特色，我有时候时常思考一个问题，如果中国的老师，都能像宇哥这样循循善诱，讲起课来娓娓动听，那么大部分人都会爱上学习这件事情。

考研届数学名师大盘点,你pick谁

考研届数学名师大盘点，你pick谁摘要：跟一位适合自己、能为自己指点迷津的老师，无疑会大大提高数学水平，今日帮仔为大家盘考下考研届的数学老师，来看一看你pick谁？1、汤家凤老师►名师简介：老汤的基础班被认为是所有老师里最负责最踏实的！因为绝大部分老师都是一个样，收着讲，而不是全局概括，往往基础班讲高数上册的前三四章就匆匆了事。

汤老师是比较务实的人，他的基础班除了比较偏的几个知识点（三重积分、第二型曲线曲面积分等），从数一到数三的内容都会讲完，你要是看完高数课本，再把老汤的基础班看完，是极好的，你定会打一个不错的基础。

但是如果你不听他的基础课就直接奔着强化课去听，那么就会感觉比较吃力，因为老汤的强化班是建立在基础班上的，算是对基础班的一个延伸概括。

►当然，他老人家讲课有两个不足之处：（1）重视题量，对概念的讲解却不是特别深入！（这点和张宇正好相反）所以他的课适合基础差的同学打基础的，通过做题来深化对知识点的认识（2）口音问题，这是老汤被黑的重要原因，老汤的江苏南京人，讲话口音有点怪怪的，普通话讲得并不是太好，但是多听几节课，这也不是什么大问题。

►概括：所以考研的同学可以打基础的时候看完课本直接上手老汤的基础班！权当练习！2、张宇老师►名师简介：张宇，江湖人称宇哥，他独树一帜，是考研老师新生派的代表人物，其微博名字也为宇哥考研，为人风趣幽默，讲课就像讲故事，听起来毫不费力。

如果你对数学没兴趣，听宇哥的课会激发你对数学的热情，听宇哥的课就是一个感觉，上瘾！好听！有意思！相信绝大部分同学都听过他的sin狗（广义化）的公式，宇哥的一大能力就是他能将数学抽象问题形象化，复杂问题简单化。

例如，二重积分大面包切切切切切、狗减sin狗等于六分之一狗三、夹逼准则哪里跑、格林闭关七天研究出格林公式、欠阿贝尔两块钱以及普京题抓住重点、毛主席题举重若轻等等，这些本来在高数课本中枯燥繁琐的东西在张宇口中变得呼之欲出、极为生动，这都能反应宇哥的特色。

原命题组组长王式安谈考研数学命题规律

原命题组组长王式安谈考研数学命题规律大家都知道考研真题的重要性，它反映了我们应该掌握的重点所在。

首先，大家要明确一点：研究生入学考试是一种国家的选拔性考试，而非如英语四六级一样的水平考试。

因而，这种考试的竞争是十分激烈的。

同学们从复习一开始就应该高标准、严要求，不能满足于一般的成绩，而应该像那个冰箱上的广告——没有最好，只有更好。

其次，我们了解这种考试的选拔性质，就可以清楚地理解它的一般命题原则。

研究生入学考试一般来说有两类题肯定是不会考的，一是大家都会的，既然大家都会，就没有区分度，不具备选择功能；一是大多数人都不会的，大家都不会，就等于这道题没出，也无法完成其区分选拔的作用。

因此我的第一个建议就是大家一定要将主要精力放在中等难度的题目上，只要这部分不出差错，我想考研数学过线应该是没问题的。

第三，研究生入学考试数学总共XX年考研阅卷的经验来看，考生在应考中存在三个主要问题。

（1）考生对数学基本概念掌握不牢固，对基本定理停留于记忆层面，理解不透彻，对重要的数学法则，重要的结论不熟练，更不擅于运用。

（2）考生解决数学综合试题和应用题的能力普遍较差，而这类题的分值又往往较高。

（3）没有真正具备数学解题的技能。

最常见的现象是考生拿到题后无从下手，因此，数学考试中常常出现有些考生在有些题目上只能交白卷，这种现象在其他科目的考试中几乎不可能出现。

怎么办?（1）牢牢掌握和理解数学的基本概念、基本定理、重要的数学法则、重要的数学结论等数学基础知识，这些是数学的基本要素，不打牢这个基础，其他一切都谈不上。

（2）通过专门的训练，切实提高数学的解题能力，做到面对任何一道题都能有条不紊地一步步展开分析和运算，考生数学的同学一般都会有过这样的体验，自己没有做出来的题，经别人一说，马上就能恍然大悟，这就是解题能力不强所致，而并不是全然不会做，其实往往就是某一个或两个关键环节没有突破，形成卡壳。

因此要突出对基础知识和主干知识的重点考查。

2016王式安概率论冲刺班讲义

1 { ) } } 例9 ( 设随机变量 X, 1 4 Y 的概率分布相同 , X 的概率分布为P { X =0 P X =1 = , = 3
1, 若 X >0, ì ï ï ( ) [ , ] , 例1 0 0 0 设随机变量 X ~ U -1 2 随机变量Y = í 0, 若 X = 0, ï î-1, 若 X <0, 则方差 D Y= .
æ æ 1 ö2 ö )设ξ, , ç0 ç ÷ ÷ 的随机变量, 例3 ( 是两个相互独立且均服从正态分布则随机变量 9 6 N η è è 2ø ø )= . | | ξ-η| 的数学期望 E( ξ-η|
)设两个随机变量 X, 例4 ( 且都服从均值为 0, 方差为 1 的正态分布 , 则随机 9 8 Y 相互独立 , 2 )= 变量 |X -Y | 的方差 D( . |X -Y |
例7
1, 如果考生不知道正确解法就瞎猜 , 试求 : 4 ( Ⅰ )该考生答对此选择题的概率 . ( 而不是瞎猜的概率 . Ⅱ )当考生答对了 ,
某一选择题有 4 个选项 , 已知考生知道正确解法的概率为 2 , 考生因粗心犯错的概率为 3
㊃3㊃
主要考点 : 离散型和连续型随机变量 , 分布函数 , 分布律 , 概率密度 , 常见分布 , 随机变量函数 1. 的分布 , 随机变量独立 . 典型例题分析 2. ] , ( }= 例 1 设随机变量 X 与Y 相互独立 , 且均服从 U [ 则 P{ 0, 3 m i n X, Y)<1 .
b 0. 1
( D) a = 0. 1 b = 0. 4.
㊃4㊃
2 0 1 6 冲刺讲义 )袋中有一个红球 , 例5 ( 两个黑球 , 三个白球 , 现有放回地从袋中取两次, 每次取一个球, 0 9 以 X, 黑球与白球的个数 . Y, Z 分别表示两次取球所取得的红球 , ( Ⅱ )求二维随机变量 ( X, Y)的概率分布 .

王式安1987年概率题

王式安1987年概率题王式安1987年概率题是一道经典的数学问题，深受学生和数学爱好者的喜爱。

这道题目引发了人们对概率和统计的深入思考，并且也展示了王式安教授在数学领域的杰出贡献。

题目的具体内容如下：假设有一个箱子，里面装有5个红球和7个白球。

现在将球一个一个地取出，但在取出之前，我们需要做一个随机选择，选择一个球的颜色，然后将选择的球取出，不放回。

那么，在取出3个球之后，其中正好有2个是红球的概率是多少？这道题目涉及到了概率计算以及条件概率的概念。

我们先来分析一下解题过程。

首先，我们需要计算在取出3个球之后，其中正好有2个是红球的情况。

这个问题可以分为两种情况：第一种情况是前两个球是红球，第三个球是白球；第二种情况是前两个球是白球，第三个球是红球。

对于第一种情况，我们需要计算的概率是：取出红球的概率乘以取出红球的概率乘以取出白球的概率。

对于第二种情况，我们需要计算的概率是：取出白球的概率乘以取出白球的概率乘以取出红球的概率。

将这两种情况的概率相加，即可得到取出3个球之后，其中正好有2个是红球的概率。

具体计算如下：第一种情况的概率：(5/12) * (4/11) * (7/10) = 14/110第二种情况的概率：(7/12) * (6/11) * (5/10) = 35/220两种情况的概率相加：14/110 + 35/220 = 49/220所以，取出3个球之后，其中正好有2个是红球的概率是49/220。

这道题目展示了概率计算的基本原理，以及如何利用条件概率解决实际问题。

王式安教授以其出色的解题能力和深厚的数学功底，为数学领域做出了重要贡献。

这道题目也成为了数学竞赛和考试中常见的题型，帮助学生提高他们的数学思维和解题能力。

对话海文名师王式安教授

对话海文名师王式安教授——原命题组组长谈09数学概率论复习完美攻略主持人：今天我们非常荣幸的请到了海文考研名师—王式安教授。

王式安教授在1987至2001年担任全国研究生入学考试数学命题组组长，教育部考试中心资深顾问专家，长期主持研究生入学考试数学。

原北京理工大学研究生院院长、应用数学系系主任，教授，享受国务院特殊津贴的数学专家。

美国哥伦比亚、南佛罗里达、纽约等大学的客座教授。

王老师是2004年中央电视台唯一采访的考研辅导名师！首先，请王教授为我们分析一下近年数学试卷的题型及其特点。

王式安：在硕士研究生入学考试的数学统考试卷中，尽管概率统计和线性代数所占分数比例完全相同（数一均为20分；数三、数四都是25分）。

但是概率论与数理统计部分得分一般均低于线性代数部分，更远远低于它在数学试卷中占的比例。

这一方面是因为大多数考生在复习和答卷时，把概率论与数理统计放在最后，常因时间紧迫，思虑不周而造成准备不充分，进而导致答卷失误。

还有些数一的考生根据几年以前的试题分析，认为数一的概率论与数理统计的考题比数三和数四的容易，但是他们忽略了近两、三年来，这一情况已经发生了改变，比如今年概率论与数理统计的两个大题，数一的得分率远远低于数三和数四的得分率；再一方面就是概率论与数理统计自身的特点，使一部分考生在复习时难得要领，与微积分和线性代数相比，概率论与数理统计所研究的不是确定性现象，而是随机现象。

因此，在学习方法上，它不但要求学生善于运用形式逻辑，而且必须掌握较强的直观分析技巧，这也就使得考生在复习和解题时感到困难。

从近几年的硕士研究生入学数学考试阅卷结果也可以看出，这部分试题得分率普遍较低，出于对这类题目的畏惧，有些考生甚至完全放弃这部分试题。

接下来，我帮助大家简单地分析一下概率论与数理统计的试题特点：从历年的考题来看，概率论与数理统计这部分内容考查单一知识点比较少，即使是填空题和选择题。

大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力，考生要能够灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。

2011年考研数学《概率统计》讲义第四讲

r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数
【引例1】枪手进行射击，规定击中区域I内得2分，击中区域II内得1分，脱靶（击中区域III）得0分。
枪手每次射击的得分X是一个随机变量，其分布律为
E() N( ,
e , x 0, f ( x) 其它 0,
x
1

2)
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2

r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望设离散 r.v. X 的概率分布为 P( X xi ) pi , i 1,2,
1 4e , f ( x) 0,
x 4
x 0, x 0.
300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
〖解〗这是求连续型随机变量函数的数学期望。设售出一台设备的净赢利为 X 1, 100, a( X ) 200, 0 X 1.
河南理工大学精品课程概率论与数理统计
k 1

【例1】甲乙两人进行射击所得分数分别为X1，X2，其
分布律分别为
X1 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 X2 pk 0 1 2 0.6 0.3 0.1
试评定甲乙成绩的优劣。〖解〗这是离散型随机变量。由数学期望定义得：
E( X1 ) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8(分) E( X 2 ) 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5(分)
河南理工大学精品课程
概率论与数理统计
【例8】已知随机变量X的分布列为
X P -2 0.4 0 0.3 2 0.3

考研数学《概率统计》讲义第四讲

多维随机变量之间存在一定的关联程度，通过相关系数进行度量。
描述多维随机变量之间相关性的矩阵，其中元素为各分量之间的协方差。
04
数字特征与特征函数
数学期望定义及性质
数学期望的定义
对于离散型随机变量，数学期望是所有可能取值与其对应概率的乘积之和；对于连续型随机变量，数学期望是概率密度函数与自变量的乘积在全体实数范围内的积分。
通过多维随机变量的联合分布，计算函数的期望和方差。
变换后的多维随机变量分布
通过变换得到新的多维随机变量，并求其分布情况。
卷积公式
求解两个独立随机变量之和的分布情况。
独立性、相关性和协方差矩阵
01
独立性
多维随机变量中各个分量相互独立，即一个分量的取值不影响其他分量的取值。
相关性
02
03
协方差矩阵
考研数学《概率统计》讲义第四讲
目
CONTENCT
录
• 概率空间与事件概率 • 一维随机变量及其分布 • 多维随机变量及其分布 • 数字特征与特征函数 • 大数定律与中心极限定理 • 参数估计与假设检验
01
概率空间与事件概率
概率空间定义及性质
概率空间定义
由样本空间、事件域和概率测度三部分构成，用于描述随机试验所有可能结果及其概率的数学模型。
依概率收敛和依分布收敛
依概率收敛
设随机变量序列 {Xn} 和随机变量 X 分布在同一概率空间上，如果对于任意正数 ε，都有 lim(n→∞) P(|Xn - X| ≥ ε) = 0 成立，则称 {Xn} 依概率收敛于 X。
依分布收敛
设随机变量序列 {Xn} 和随机变量 X 的分布函数分别为 Fn(x) 和 F(x)，如果对于 F(x) 的每一个连续点 x，都有 lim(n→∞) Fn(x) = F(x) 成立，则称 {Xn} 依分布收敛于 X。依分布收敛是描述随机变量序列分布函数收敛到某个特定分布的一种弱收敛形式。

王式安概率论必背积分公式 -回复

王式安概率论必背积分公式 -回复王式安概率论必背积分公式在概率论领域中具有重要的作用，它能够帮助我们更好地理解和分析各种概率事件的发生概率。

在本文中，我们将深入探讨王式安概率论必背积分公式的相关知识，并结合具体的例子来解释其应用。

通过阅读本文，读者将能够全面理解和掌握这一重要的概念。

1. 王式安概率论必背积分公式的定义王式安概率论必背积分公式是概率论中的重要公式之一，它用于计算随机变量的概率分布函数。

具体表达式如下：[ P(X x) = _{-}^{x} f(u) du ]其中，( X ) 表示随机变量，( x ) 表示特定的取值，( f(u) ) 表示随机变量的概率密度函数。

2. 理解王式安概率论必背积分公式王式安概率论必背积分公式通过积分的方式来计算随机变量小于等于某一特定取值的概率。

这样的公式能够帮助我们更好地理解随机变量的分布规律，并能够应用在诸如连续型随机变量的概率计算中。

举个简单的例子来说明，假设有一个连续型随机变量X，其概率密度函数为( f(x) = 3x^2, 0 <= x <= 1 )。

那么，当我们想要计算随机变量X小于等于0.5的概率时，可以利用王式安概率论必背积分公式进行计算。

具体来说，就是将概率密度函数带入积分公式，进行积分计算即可得到结果。

3. 王式安概率论必背积分公式的应用王式安概率论必背积分公式在概率论领域中有着广泛的应用，特别是在连续型随机变量分布函数的计算中。

通过这一公式，我们可以更准确地计算各种随机变量的概率分布，从而更好地理解和分析概率事件的发生规律。

除了在理论研究中的应用外，王式安概率论必背积分公式也在实际问题的建模和求解中发挥着重要作用。

比如在金融领域中，利用概率密度函数和分布函数来描述资产价格的波动，从而进行风险管理和投资决策。

4. 个人观点和总结王式安概率论必背积分公式作为概率论中的重要工具，对于我们理解和分析各种随机事件的发生概率具有重要意义。

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我目前在听的课程有:武忠祥高数基础课李永乐线代基础课。

我做过的练习册有:
基础阶段:武忠祥高等数学基础篇、《1800》基础篇+《660》欧几里
得数学每日严选题。

强化部分打算有:武忠祥高数强化讲义+李永乐线代强化讲义(二刷)、
王式安概率论强化讲义、《880》。

虽然是应届生考研，但是很多学过东西都忘记了，所以才选择通过大
量的习题来补基础、练手感，及时是高数有一定基础也要多练题，多总结。

至于复习进度和节奏，我觉得大多数应届的同学可能都是大差不差，所以
建议应届的研友在高数方面有不懂的知识点可以去看看欧几里得数学总结。

它里边每道题都分为四大板块。

不跳步分析，易错点分析，考点分析，举
一反三、挺适合咋们的。

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概率统计第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。

了解：样本空间的概念理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。

§1随机事件与样本空间一、随机试验：E（1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果——样本点ω所有样本点全体——样本空间Ω三、随机事件样本空间的子集——随机事件A B C样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。

如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现Ω——必然事件Φ——不可能事件§2事件间的关系与运算一．事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立二．事件间的运算：并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图三．事件的文字叙述与符号表示例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件：“第i 次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件：（1）122313A A A A A A ；（2）123A A A ；（3）123A A A ；（4）123123123A A A A A A A A A ；再用123,,A A A 表示下列事件：(5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。

§3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω= (3)1212()()()()nn P A A A P A P A P A =++++,i j A A i j =∅≠二．性质(1)()0P ∅= （2）1212()()()()nn P A A A P A P A P A =++++,i j A A i j =∅≠(3)()1()P A P A =-(4),()()A B P A P B ⊂≤ (5)0()1P A ≤≤三．条件概率与事件独立性(1)()()0,(),()P AB P A P B A P A >=事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率；(2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立，,A B 独立,A B 独立,A B 独立,A B 独立；()0P A >时,,A B 独立()()P B A P B =；(3)121212(,,,)()()()1kk i i i i i i k P A A A P A P A P A i i i n =≤<<<≤称12,,n A A A 相互独立,(2321nn n n n C C C n +++=--个等式)相互独立⨯两两独立。

四．五大公式 (1)加法公式：()()()()P AB P A P B P AB =+-P(A )()()()()()()()B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+12(...)n P A A A =…(2)减法公式：()()()P A B P A P AB -=- (3)乘法公式：()0,()()()P A P AB P A P B A >=121(...)0n P A A A ->时，12121312121(...)()()()(...)n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=(4)全概率公式：12,...,n B B B 是完全事件组，且()0i P B >，1,i n =1()()()ni i i P A P B P A B ==∑(5)贝叶斯公式：12,,...,n B B B 是完全事件组，()0,()0,1,,i P A P B i n >>=1()()()()()j j j niii P B P A B P B A P B P A B ==∑1,2,...,j n =§4 古典型概率和伯努利概率一．古典型概率()A n A P A n ==所包含的样本点数样本点总数二．几何型概率()()()A A L P A L ΩΩ==ΩΩ的几何度量的几何度量三．独立重复试验独立——各试验间事件独立，重复——同一事件在各试验中概率不变四．伯努利试验试验只有两个结果A A 和——伯努利试验n 重伯努利试验二项概率公式 (1)k k n kn C P P --0,1,...,k n =()P A p =§5 典型例题分析例1.设,A B 为两事件，且满足条件AB AB =，则()P AB =_______________ . 例2.,A B 为任意两事件，则事件()()A B B C --等于事件()A A C -()B ()AB C -()C ()A B C --()D ()AB BC -例3．随机事件,A B ，满足1()()2P A P B ==和()1P A B = 则有 ()A A B =Ω()B AB φ=()C ()1P A B =()D ()0P A B -=例4．设()()01P A P B <<且()()1P B A P B A += 则必有()A ()()P A B P A B =()B ()()P A B P A B ≠ ()C ()()()P AB P A P B =()D ()()()P AB P A P B ≠例5．(06)设A 、B 为随机事件，且()0P B >，()1P A B =，则必有()A ()()P A B P A >()B ()()P A B P B > ()C ()()P AB P A =()D ()()P A B P B =例6．试证对任意两个事件A 与B ，如果()0P A >，则有()(|)1()P B P B A P A ≥-）例7．有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问：（1）这个球是红球的概率；（2）若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。

例8．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求：（1）先取出的零件是一等品的概率p ；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率q . 例9．袋中装有α个白球和β个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列事件的概率：（1）从袋中取出的第k 个球是白球(1)k αβ≤≤+（2）从袋中取出a b +个球中，恰含a 个白球和b 个黑球(,)a b αβ≤≤例10．随机地向半圆{(,)0x y y <<（其中0a >，是常数）内掷一点，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________。

例11．在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p ，求在第n 次成功之前恰失败了m 次的概率。

例12．四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为_____________。

例13．已知,,A B C 三事件中A B 与相互独立，()0P C =，则,,A B C 三事件()A 相互独立 ()B 两两独立，但不一定相互独立 ()C 不一定两两独立 ()D 一定不两两独立例14．10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为()A 310()B 28()C 210()D 38例15．甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率()A 15()B 25()C 35()D 45例16．10件产品中含有4件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。

例17．两盒火柴各N 根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有R 根的概率。

()R N ≤ 例18．（05）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从1，2，…，X 中任取一个数记为Y ，则(2)P Y ==_____________。

第二讲随机变量及其概率分布考试要求：理解：离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度掌握：分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布及它们的应用会计算：与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函数的概率分布。

数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件§1 随机变量及其分布函数一．随机变量样本空间Ω上的实值函数()X X ω=，ω∈Ω。

常用,,X Y Z 表示二．随机变量的分布函数对于任意实数x ，记函数()()F x P X x =≤，x -∞<<+∞ 称()F x 为随机变量X 的分布函数；()F x 的值等于随机变量X 在(],x -∞内取值的概率。

三．分布函数的性质（1）lim ()0x F x →-∞=，记为()0F -∞=；lim ()1x F x →+∞=，记为()1F +∞=。

（2）()F x 是单调非减，即12x x <时，12()()F x F x ≤ （3）()F x 是右连续，即(0)()F x F x +=（4）对任意12x x <，有1221()()()P x X x F x F x <≤=- （5）对任意x ，()()(0)P X x F x F x ==--性质（1）—（3）是()F x 成为分布函数的充要条件。

例设随机变量X 的分布函数为,0()10,0Axx F x x x ⎧ >⎪=+⎨⎪ ≤⎩，其中A 是常数，求常数A 及(12)P X ≤≤。

§2 离散型随机变量和连续型随机变量一．离散型随机变量随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。

二．离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X 的可能取值是12,,...,,...n x x x 称(),1,2,...k k P X x p k ===为X 的概率分布或分布律分布律性质：（1）0.,1,2,...k p k ≥=（2）1kkp=∑ 分布律也可表示为1212k kXx x x Pp p p三．离散型随机变量分布函数()()k k k k x xx xF x P X x p ≤≤===∑∑，()()(0)P X a F a F a ==--例1．123111326XP求()F x 四．连续型随机变量及其概率密度设X 的分布函数()F x ，如存在非负可积函数()f x ，有()()xF x f t dt -∞=⎰，x -∞<<+∞称X 为连续型随机变量，()f x 为概率密度。