考研数学概率论与数理统计复习讲义

河南省考研数学学科概率论与数理统计知识点梳理概率论与数理统计是数学学科中的重要分支，也是考研数学科目中的一项重要内容。

对概率论与数理统计的知识点进行全面梳理，有助于我们更好地理解和掌握这一部分知识，提高考研数学的水平。

本文将详细介绍河南省考研数学学科概率论与数理统计的知识点。

一、概率论基础1.1 概率的定义和性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，是概率论的核心概念。

概率的定义和性质是概率论的基础内容，主要包括概率的基本性质、经典概型、事件的运算等。

1.2 随机变量与概率分布随机变量是用来描述随机试验结果的数学量，概率分布则是随机变量取值和其对应的概率之间的关系。

常见的概率分布包括离散型分布和连续型分布，如二项分布、正态分布等。

1.3 数学期望与方差数学期望是对随机变量的平均值的度量，描述了随机变量取值的集中程度。

方差则衡量了随机变量取值偏离其均值的程度。

二、概率计算方法2.1 组合分析与计数原理组合分析和计数原理是解决概率计算问题的常用方法。

组合分析研究的是从给定元素集合中选取部分元素组成新集合的方法和性质，计数原理则是用来确定样本空间的元素个数的方法。

2.2 条件概率与事件独立性条件概率指在已知一事件发生的条件下另一事件发生的概率。

事件独立性则是指两个事件的发生与否互相独立，即一个事件的发生不会对另一个事件的发生产生影响。

2.3 事件的概率计算利用条件概率、组合分析和计数原理等方法，可以计算复杂事件的概率。

例如，可以利用贝叶斯公式计算后验概率，利用全概率公式计算联合概率等。

三、随机变量与概率分布3.1 离散型随机变量离散型随机变量的取值只能是有限个或可列个，其概率分布一般用概率质量函数来描述。

常见的离散型随机变量有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

3.2 连续型随机变量连续型随机变量的取值是连续的，其概率分布一般用概率密度函数来描述。

常见的连续型随机变量有均匀分布、正态分布、指数分布等。

概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+…2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数). 2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布 (1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0). (3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x ex f -∞<x<∞, σ>0. 特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(zα)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y ,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y) 关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y ,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j= p i ··p ·j( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X(x)f Y(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 5.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ2 6.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E {[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l}第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i XX n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…),}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.抽样分布 即统计量的分布 1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点.注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p (x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.文 - 汉语汉字 编辑词条文，wen ，从玄从爻。

考研数学三概率论与数理统计知识点考研数学概率论与数理统计总结一、第一章随机事件与概率重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算二、常考题型事件、概率与独立性是本章给出的概率论中最基本、最重要的三个概念。

事件关系及其运算是本章的重点和难点，概率计算是本章的重点。

注意事件与概率之间的关系。

本章主要考查随机事件的关系和运算，概率的性质、条件概率和五大公式，注意事件的独立性。

近几年单独考查本章的试题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基本知识点来考查。

相当一部分考生对本章中的古典概型感到困难。

大纲只要求对古典概率和几何概率会计算一般难度的题型就可以。

考生不必可以去做这方面的难题，因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点。

三、注意事项与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。

但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。

一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多;而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理;这些因素都可能影响到概率的复习。

概率这门课如果有难点就应该是"记忆量大"。

在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆;在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点;但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处(因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题)。

概率部分第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》中在每章开始列出的那些大表格，都应该自己记忆，可以省略不看的内容少之又少。

概率论与数理统计讲义稿HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】第一章随机事件与概率§1.1 随机事件1.1.1 随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。

为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。

称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。

必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。

假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。

于是这三个结果就构成了样本空间Ω。

但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。

如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。

经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。

比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。

尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。

E：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。

在抛掷硬币这一试验例1.1.11中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正面,反面}。

E：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出2现的点数。

湖南省考研数学专业复习资料概率论与数理统计重点整理概率论与数理统计是数学专业考研中非常重要的一门课程。

它不仅在理论上有着广泛的应用，而且在实际问题的解决中也起着重要的作用。

为了帮助湖南省考研数学专业的同学们更好地复习概率论与数理统计，本文将对该课程的重点内容进行整理和总结。

一、概率论的基本概念和性质1.1 概率的定义与性质概率是事件发生的可能性大小的度量，其定义包括古典概型、几何概型和统计概型。

概率具有非负性、规范性、可列可加性等基本性质。

1.2 随机变量与概率分布随机变量是概率实验结果的数值描述，分为离散型和连续型随机变量两种。

概率分布描述随机变量取值的概率，包括离散型随机变量的概率质量函数和连续型随机变量的概率密度函数。

1.3 数学期望数学期望是随机变量取值的平均值，对于离散型随机变量和连续型随机变量有不同的计算方法。

1.4 方差与协方差方差衡量随机变量取值与其均值之间的离散程度，协方差衡量两个随机变量之间的相关程度。

二、随机变量的常用分布2.1 离散型随机变量的分布常见的离散型随机变量分布包括伯努利分布、二项分布、多项分布、泊松分布等，每种分布的特点和计算方法需要熟练掌握。

2.2 连续型随机变量的分布常见的连续型随机变量分布包括均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布等，每种分布的特点、密度函数和分布函数需要熟悉。

2.3 极限定理中心极限定理和大数定律是概率论中两个重要的极限定理，它们在实际问题中的应用非常广泛。

三、参数估计与假设检验3.1 参数估计参数估计是根据样本数据估计总体参数的值，包括点估计和区间估计两种方法。

最大似然估计是常用的点估计方法。

3.2 假设检验假设检验是根据样本数据判断总体参数是否满足某种假设，包括单个总体的假设检验和两个总体的假设检验。

四、多元分布及相关分析4.1 多元随机变量及其分布多元随机变量是对多个随机变量的描述，包括离散型和连续型两种情况。

多元随机变量的分布包括联合分布、边缘分布和条件分布。

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。

例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

概率论与数理统计讲义一、概率论1.1 引言概率论是研究随机现象的理论，广泛应用于自然科学、社会科学以及工程技术等领域。

它通过量化随机事件发生的可能性，帮助我们理解事件之间的关系和规律。

1.2 随机变量与概率分布随机变量是描述随机事件的事物，可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。

概率分布则是描述随机变量取值的概率情况，包括离散型随机变量的概率质量函数和连续型随机变量的概率密度函数。

1.3 期望与方差期望是随机变量取值的平均值，用来描述随机变量的集中程度。

方差则是随机变量与其期望之间的差异程度，用来描述随机变量的离散程度。

1.4 概率分布函数的性质概率分布函数有许多重要的性质，包括非负性、归一性、单调性、可加性等。

这些性质能够帮助我们更好地理解随机事件的规律和特征。

二、数理统计2.1 统计学概述统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，通过对样本数据的研究，推断出总体的一些特征和规律。

统计学广泛应用于社会调查、市场研究以及科学实验等领域。

2.2 描述统计学描述统计学是对数据进行总结和描述的统计学方法。

它包括数据的集中趋势度量、离散程度度量以及数据分布特征等内容。

2.3 参数估计参数估计是根据样本数据推断总体参数的一种统计学方法。

点估计通过寻找最优参数估计量来描述总体参数的真实值，区间估计则给出了参数估计的置信区间。

2.4 假设检验假设检验是用来判断总体参数是否满足某种假设的统计学方法。

它将原假设和备择假设相比较，通过计算统计量的值来判断是否拒绝原假设。

2.5 方差分析与回归分析方差分析和回归分析是用来研究多个变量之间关系的统计学方法。

方差分析用于比较多个总体均值是否相等，而回归分析则用于建立变量之间的数学模型。

三、应用案例3.1 金融风险管理概率论与数理统计在金融风险管理中发挥着重要作用。

通过对金融市场的随机波动性进行建模和分析，可以帮助投资者制定更合理的投资策略，降低风险。

3.2 医学研究数理统计在医学研究中具有广泛的应用。

概率论与数理统计概率论与数理统计是一门研究客观世界随机现象及其统计规律的学科，也是高等院校工程类和经济管理类专业的一门重要的基础课，更是全国硕士研究生招生考试数学一和数学三的重要考查内容，分值约占总分的20%。

本书根据概率论与数理统计课程的教学要求及全国硕士研究生招生考试的数学考试大纲编写而成。

本书作者在高校从事概率统计教学工作接近三十年，指导全国硕士研究生招生考试数学（包括高等数学、线性代数、概率统计）复习二十六年，有极其丰富的教学经验。

本书理论体系清晰系统，原理讲解深入浅出、通俗易懂，重要考点把握精准。

使用本书可以帮助考生迅速掌握概率统计的理论架构，提高考生分析问题、解决问题的能力。

本书的主要特点有：1.对各章知识进行系统总结基本概念理解到位、理解原理和性质的内涵及使用方法，清晰易懂，层次分明。

关键知识点后添加必要的注解，使重点更加突岀，提高相应知识的深度和广度。

2.对各章基本题型及重要考点进行分类与高等数学和线性代数相比，概率统计的重要考点相对较少，本书将每章的重要考点以题型的形式总结出来，同时在各题型中安排各章的小考点，给出各种题型的规范解法和解题思路，方法力求简明扼要。

希望本书的出版能帮助考生在较短的时间内，系统掌握概率统计的基本理论、基本题型及解题方法，提高利用数学理论解决实际问题的能九轻松应对研究生入学考试的概率统计部分。

本书可作为高校概率统计课程配套的参考资料，也可作为成人教育、教师和科技工作者的参考用书，希望本书能成为广大读者的良师益友。

本书若有不到之处，恳请读者批评指正。

汤老师微博汤老师微信公众号汤老师一直播ID：186288809汤家凤2021年3月于南京S^CONTENTS^^第一章随机事件与概率 (1)本章理论体系 (1)经典题型讲解 (7)题型一事件的关系与运算、概率基本公式 (7)题型二事件的独立性 (9)题型三三种常见的概型 (10)题型四全概率公式与贝叶斯公式 (11)第二章一维随机变量及其分布 (15)本章理论体系 (15)经典题型讲解 (20)题型一一维离散型随机变量的分布律与分布函数 (20)题型二一维连续型随机变量的概率密度与分布函数 (23)题型三一维既非离散又非连续型随机变量的分布函数 (28)题型四随机变量函数的分布 (28)第三章二维随机变量及其分布 (35)本章理论体系 (35)经典题型讲解 (40)题型一二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布 (40)题型二二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布 (42)题型三二维随机变量的条件分布、独立性 (45)题型四二维随机变量函数的分布 (51)第四章随机变量的数字特征 (61)本章理论体系 (61)经典题型讲解 (64)题型一离散型随机变量的数字特征 (64)题型二连续型随机变量的数字特征 (69)题型三多维随机变量的数字特征 (70)题型四相关性与独立性 (74)第五章大数定律与中心极限定理 (78)本章理论体系 (78)经典题型讲解 (80)1题型一切比雪夫不等式 (80)题型二大数走律 (81)题型三中心极限定理 (81)第六章数理统计基本概念 (84)本章理论体系 (84)经典题型讲解 (90)题型一统计量的基本概念 (90)题型二三个扌由样分布 (91)题型三分位点 (95)题型四统计学的数字特征与概率 (96)第七章参数估计 (99)本章理论体系 (99)经典题型讲解 (104)题型一离散型总体参数的点估计 (104)题型二连续型随机变量参数的点估计 (106)题型三估计量的无偏性（数学三不要求） (111)题型四参数的区间估计（数学三不要求） (115)第八章假设检验（数学三不要求） (117)本章理论体系 (117)经典题型讲解 (122)题型一-个正态总体的假设检验 (122)题型二两个正态总体的假设检验 (123)2机事件与概率藝存彖一、随机试验与随机事件定义H随机试验设E为随机试验，若满足如下条件：(1)在相同的条件下该试验可重复进行；(2)试验的结果是多样的且所有可能的结果在试验前都是确定的；(3)某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，简称试验，一般用字母E表示.定义何样本空间设E为随机试验，随机试验E的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验E的样本空间，记为0,0中的任意一个元素称为样本点.(1)样本空间中所有元素为随机试验的最基本的结果，即所有元素都具有不可再分性；(2)样本空间必须是所有可能的基本结果，即具有完备性，且同一个基本结果在样本空间中只出现一次.定义❸随机事件设E为随机试验4为其样本空间，则O的子集称为随机事件，其中0称为不可能事件称为必然事件.例如：一个均匀的正六面体的骰子，六个面分别标有1、2、3、4、5、6,随机扔骰子，该试验骰子朝上一面的数字的样本空间为0={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},表示“扔骰子后朝上的面的数为偶数”，事件B={1,2,3},表示“扔骰子后朝上的面的数不超过3”.二、事件的运算与关系(-)事件的运算定义❹事件的积设为两个随机事件，则事件A与事件B同时发生的事件.称为事件的积事件，记为43或A A B,如图1-1所示.图1-11>»考研数学概率论与数理统计辅导教程定义目事件的和设A,£为两个事件，则事件A或事件£发生的事件（或事件A,B至少有一个发生的事件），称为事件的和事件，记为A+B或A U如图1-2所示.AUB图1-2定义❻事件的差设A,B为两个随机事件，则事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件的差事件，记为A—3,如图1-3所示.A-B图1-3定义❼出件的补设。

江苏省考研数学复习资料概率论与数理统计重点概念整理一、概率论概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的可能性。

在考研数学中，概率论是一个重要的考点，以下是其中的几个重点概念：1. 随机事件与样本空间：随机事件是指具有不确定性的事件，样本空间是指随机试验的所有可能结果构成的集合。

2. 概率：概率是指随机事件发生的可能性大小的度量，通常用一个介于0和1之间的实数表示。

3. 事件的运算：事件的运算包括并、交、差等操作，分别对应事件的合取、析取和互斥。

4. 条件概率：条件概率是指已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

5. 独立事件：如果事件A和事件B的发生与否互不影响，那么称事件A和事件B是相互独立的。

6. 排列与组合：排列是指从一组元素中取出一部分元素按照一定的顺序排列；组合是指从一组元素中取出一部分元素不考虑顺序排列。

二、数理统计数理统计是概率论的一个应用领域，主要研究收集的数据的整理、分析与推断。

在考研数学中，数理统计也是一个重要的考点，以下是其中的几个重点概念：1. 参数与统计量：参数是指总体的特征值，统计量是通过样本计算得到的总体参数的估计。

2. 随机变量与分布函数：随机变量是指随机试验结果的变量，分布函数是随机变量的分布规律。

3. 期望与方差：期望是随机变量的平均值，方差是随机变量偏离期望值的度量。

4. 假设检验：假设检验是对总体参数提出假设并通过样本数据来检验的统计方法。

5. 置信区间：置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示对总体参数有一定程度的信心。

6. 卡方检验：卡方检验是用于检验观察频数与理论频数之间差异的统计方法。

以上是概率论与数理统计的一些重点概念，希望能给考生们提供一些复习的方向和重点。

当然，除了上述概念，考生们还需要掌握相应的公式和推导方法，通过大量的题目练习来加深对知识点的理解和掌握。

总结起来，要想在江苏省考研数学中取得好成绩，对概率论与数理统计这一部分的重点概念进行彻底理解是非常重要的。

第一章随机事件与概率§随机事件随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。

为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。

称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。

必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。

假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。

于是这三个结果就构成了样本空间Ω。

但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。

如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。

经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。

比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。

尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。

例 1E ：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。

在抛掷硬币这一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正面,反面}。

2E ：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现的点数。

样本空间为：{1,2,3,4,5,6}Ω=。

3E : 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到Ω={（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面) } 读者可以将其推广到掷n 个硬币，样本空间里有多少样本点呢4E ：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目标所进行的射击次数。

四川省考研数学复习资料概率论与数理统计重点知识点概率论与数理统计是数学学科的重要分支，也是考研数学中的一大难点。

在四川省考研数学复习中，概率论与数理统计是必备的知识点。

本文将介绍概率论与数理统计的重点知识点，以帮助考生更好地复习。

一、概率论1. 随机事件与概率- 随机事件：具有不确定性的事件。

- 概率：随机事件发生的可能性大小。

2. 概率的性质与运算- 事件的互斥与相容：互斥事件指两个事件不可能同时发生，相容事件指两个事件可能同时发生。

- 概率的加法定理：指两个互斥事件发生的概率等于各自事件发生的概率之和。

- 概率的乘法定理：指两个相容事件发生的概率等于各自事件发生的概率之积。

3. 条件概率与独立性- 条件概率：指在已知一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。

- 独立事件：指两个事件之间没有相互影响，一个事件的发生不会影响另一个事件发生的概率。

4. 随机变量与概率分布- 随机变量：随机试验结果的量化描述。

- 离散型随机变量：取有限或可数个数值的随机变量。

- 连续型随机变量：取连续数值范围内任意一个数值的随机变量。

二、数理统计1. 抽样与估计- 抽样：从总体中选取一部分观察对象的过程。

- 点估计：利用样本数据对总体参数进行估计。

- 区间估计：利用样本数据对总体参数进行区间估计。

2. 假设检验- 假设检验的基本步骤：提出原假设和备择假设、确定显著性水平、计算检验统计量、判断拒绝域、作出决策。

3. 方差分析- 方差分析的基本思想：通过对组间方差与组内方差进行比较，判断组间因素对总体均值的影响。

- 单因素方差分析：用于分析单个因素对结果的影响。

4. 回归分析- 线性回归分析：通过建立自变量与因变量之间的线性关系，对因变量进行预测与分析。

5. 相关分析- 相关系数：用于衡量两个变量之间的相关关系的强度与方向。

三、总结与复习建议概率论与数理统计在考研数学中占有重要的比重，考生在复习时应注重以下几点：首先，理解概念。

第一章概率论的基本概念第五章ﻩ大数定律及中心极限定理伯努利大数定理：对任意ε>0有1lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εpnfP An或lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εpnfP An.其中f A是n次独立重复实验中事件Ａ发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率.中心极限定理定理一:设X1,X2,…,Xｎ，…相互独立并服从同一分布,且E(Ｘ k）=μ，D(Xｋ)=σ2 ＞0,则n→∞时有σμnnXknk)(1-∑=N(0，１)或nXσμ-~N(０，1)或X~N（μ，n2σ).定理二：设Ｘ1，X2，…,X n ,…相互独立且E(X k)＝μｋ,D(Ｘk）=σ k2 >0,若存在δ＞0使n→∞时，}|{|1212→-∑+=+δδμkknknXEB,则nknkknkBX)(11μ==∑-∑～Ｎ(0，1)，记212knknBσ=∑=．定理三:设),(~pnbnη,则n→∞时，Npnpnpn~)1()(--η(0,1),knknX1=∑=η.定义:总体:全部值；个体:一个值；容量:个体数；有限总体：容量有限;无限总体:容量无限.定义:样本:X1,X2,…,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量，称从F得到的容量为n的简单随机样本．频率直方图：图形:以横坐标小区间为宽,纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形．横坐标:数据区间（大区间下限比最小数据值稍小,上限比最大数据值稍大；小区间:均分大区间,组距Δ=大区间/小区间个数;小区间界限：精度比数据高一位).图形特点:外轮廓接近于总体的概率密度曲线．纵坐标：频率／组距（总长度:<1/Δ；小区间长度：频率/组距）.定义:样本ｐ分位数:记x p，有1.样本x i中有nｐ个值≤xｐ.2．样本中有ｎ(1－p)个值≥x p.箱线图:x p选择:记⎪⎩⎪⎨⎧∈+∉=++NnpxxNnpxxnpnpnpp当，当，][211)()()1]([.分位数x0.5,记为Ｑ２或M，称为样本中位数．分位数x０.25,记为Ｑ1,称为第一四分位数．分位数x0.７5，记为Q３，称为第三四分位数.图形：图形特点:M为数据中心,区间[ｍin,Q1]，[Q1,M],［M，Q3]，[Ｑ3，mａｘ］数据个数各占1/4，区间越短数据密集．四分位数间距：记IQＲ=Q3-Q1；若数据X<Q1－1.5IＱR或X>Ｑ3+1．５IQR,就认为X是疑似异常值.抽样分布：样本平均值：iniXnX11=∑=样本方差:)(11)(11221212XnXnXXnSiniini-∑-=-∑-===样本标准差：2SS=样本k阶(原点)矩:kinikXnA11=∑=，k≥１样本k阶中心矩:kinikXXnB)(11-∑==,k≥2经验分布函数：)(1)(xSnxFn=，∞<<∞-x.)(xS表示F的一个样本X1,Ｘ2,…,X n 中不大于ｘ的随机变量的个数.自由度为n的χ２分布：记χ２~χ２（n），222212nXXX+++=χ，其中X1,Ｘ2,…,Ｘｎ是来自总体N(0,１）的样本．E（χ2 )=ｎ,D(χ2 ）=2n．χ12＋χ２2~χ2(n1+n2)．⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他，，)2(21)(2122yexnyfynn.~近似的min Q1 M Q3 max第七章ﻩ参数估计正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为）1１22。

第二章随机变量及其分布上一章研究内容：事件（集合A）→ 概率（数）．本章将用函数研究概率，函数是数与数的关系，即需要用数反映事件——随机变量．事件（数）→ 概率（数）．§2.1 随机变量及其分布2.1.1. 随机变量的概念随机试验的样本点有些是定量的：如掷骰子掷出的点数，电子元件使用寿命的小时数．有些是定性的：如掷硬币正面或反面，检查产品合格或不合格．对于定性的结果也可以规定其数量性质：如掷硬币，正面记为1，反面记为0；检查产品，合格记为1，不合格记为0．随机试验中，可将每一个样本点ω 都对应于一个实数X (ω)，称为随机变量（Random Variable），常用大写英文字母X, Y, Z 等表示随机变量，而随机变量的具体取值通常记为小写英文字母x, y, z．对于随机变量首先应掌握它的全部可能取值：⎧1,正面如掷硬币，X=⎨，X的全部可能取值为0, 1； 0,反面⎩掷两枚骰子，X表示掷出的点数之和，X的全部可能取值为2, 3, 4, … , 12 ；观察某商店一小时内的进店人数X，X的全部可能取值为0, 1, 2, … ；电子元件使用寿命，用X表示使用的小时数，X的全部可能取值为[0,+∞)；一场足球比赛（90分钟），用X表示首次进球时间（分钟），若为0:0，记X = 100，X的全部可能取值为 (0, 90 )∪{100}；注意：1. 每个样本点都必须对应于一个实数，2．不同样本点可以对应于同一个实数，3．随机变量的每一取值或取值范围都表示一个事件．应掌握将随机变量的取值或取值范围描述为事件，又能将事件用随机变量表达的方法．例掷一枚骰子，用X表示出现的点数，则 X = 1表示出现1点；X > 4表示点数大于4，即出现5点或6点；X ≤ 0为不可能事件．又出现奇数点，即X = 1, 3, 5；点数不超过3，即X ≤ 3．例 X 表示商店一天中某商品的销售件数（顾客的需求件数），则 X = 0表示没有销售；X ≤ 10表示销售不超过10件．又销售5件以上（不含5件）即X > 5；若该商店准备了a件该商品，事件“能满足顾客需要”，即X ≤ a．例 X 表示一只电子元件的使用寿命（小时），则 X = 1000表示该元件恰好使用了1000小时，X ≥ 800表示该元件使用寿命在800小时以上．例 90分钟足球比赛，X 表示首次进球时间（分钟），且0:0时，记X = 100，则 X = 10表示上半场第10分钟首次进球．又上半场不进球即X > 45；开场1分钟内进球即X ≤ 1．如果随机变量X的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．（注：可列个即可以排成一列，一个一个往下数，如非负整数0, 1, 2,3, … ）离散型随机变量的全部可能取值是实数轴上一些离散的点，而连续型随机变量的全部可能取值是实数轴上一个区间或多个区间的并，如电子元件使用寿命X（小时），全部可能取值是[0,+∞)．下面按离散型和连续型分别进行讨论．2.1.2. 离散随机变量的概率分布列对于随机变量还应该掌握它的每一取值或取值范围表示事件的概率．定义如果随机变量X的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．设离散型随机变量X的全部可能取值为x1, x2, …, x k , …，则X取值x k的概率pk = p (xk) = P{X = xk }, k = 1, 2, …… 称为离散型随机变量的概率分布函数（Probability Distribution Function，PDF），简称概率分布或概率函数．直观上，又写为XPx1p(x1)x2Lp(x2)L⎛x1 或 X~⎜⎜p(x)p(xk)L1⎝xkLx2Lp(x2)LxkL⎞⎟，⎟p(xk)L⎠称为X的概率分布列．如掷一枚骰子，X表示出现的点数，X的分布列为P66666． 6概率函数基本性质：（1）非负性p(xk) ≥ 0 , k = 1, 2, ……；（2）正则性∑p(xk=1∞k)=1．这是因为事件X = x1 , X = x2 , … , X = x k , … 是一个完备事件组，故P{X = x1} + P{X = x2} + … + P{X = x k} + … = P (Ω) = 1，即p (x1) + p (x2) + … + p (xk) + … = 1．例设盒中有2个红球3个白球，从中任取3球，以X表示取得的红球数．求X的分布列．解：X 的全部可能取值0, 1, 2 ，样本点总数为n=⎜⎜⎟⎟=10，⎛5⎞⎝3⎠⎛3⎞1⎟X = 0表示“取到3个白球”，所含样本点个数为k0=⎜=1，有p(0)==0.1，⎜3⎟10⎝⎠⎛3⎞⎛2⎞6⎟⎜⎟X = 1表示“取到1个红球2个白球”，所含样本点个数为k1=⎜=6，有p(1)==0.6，⎜2⎟⎜1⎟10⎝⎠⎝⎠⎛3⎞⎛2⎞3⎟⎜⎟X = 2表示“取到2个红球1个白球”，所含样本点个数为k2=⎜=3，有p(2)==0.3．⎜1⎟⎜2⎟10⎝⎠⎝⎠故X的分布列为XP012． 0.10.60.3求离散型随机变量X的概率分布步骤：（1）找出X的全部可能取值，（2）将X的每一取值表示为事件，（3）求出X的每一取值的概率．例现有10件产品，其中有3件不合格．若不放回抽取，每次取一件，直到取得合格品为止．用X表示抽取次数，求X的概率分布．解：X的全部可能取值1, 2, 3, 4 ，X = 1表示“第1次就取得合格品”，有p(1)=7， 10377，⋅=109303277X = 3表示“第3次取得合格品且前两次是不合格品”，有p(3)=，⋅⋅=109812032171X = 4表示“第4次取得合格品且前三次是不合格品”，有p(4)=，⋅⋅⋅=10987120故X 的分布列为 X = 2表示“第2次取得合格品且第1次是不合格品”，有p(2)= P1030120． 120例上例若改为有放回地抽取，又如何？解：X的全部可能取值1 , 2 , … , n , … ，p(1)=737=0.7，p(2)=⋅=0.21，p(3)=0.32×0.7，…，p(k)=0.3k−1×0.7，…， 101010 k=1,2,L；故X的概率函数为p(k)=0.3k−1×0.7,X的分布列为XPk．0.70.210.32×0.7L0.3k−1×0.7L123C，k = 1, 2, 3, 4，且C为常数． k求：（1）C的值，（2）P{X = 3}，（3）P{X < 3}．CCC解：（1）由正则性知：p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=C+++=1，即C=1，故C=． 1225234例若离散型随机变量的概率函数为p(k)=（2）P{X=3}=p(3)=4， 2512618+=． 252525（3）P{X<3}=p(1)+p(2)=2.1.3. 随机变量的分布函数连续型随机变量在单个点取值概率为零，如电子元件使用寿命恰好为1000小时这个事件的概率就等于零，因此连续型随机变量不能考虑概率函数．为了用单独一个变量表示一个区间，特别地取区间(−∞, x]．定义随机变量X与任意实数x，称F(x) = P{X ≤ x}，−∞< x < +∞为X的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF），简称分布函数．P{a < X ≤ b} = P{X ≤ b} − P{X ≤ a} = F(b) − F(a)，P{X > a} = 1 − P{X ≤ a} = 1 −F(a)，由概率的连续性知P{X<a}=lim−P{X≤x}=lim−F(x)=F(a−0)，且P{X = a} = P{X ≤ a} − P{X < a} = F(a) − F(a – 0)，x→ax→a可见X在任一区间上或任一点取值的概率都可用分布函数表示．例已知随机变量X的分布列为XP0120.20.50.3，求X的分布函数．解：X的全部可能取值为0, 1, 2，当x < 0时，F(x) = P{X ≤ x} = P (∅) = 0，当0 ≤ x < 1时，F(x) = P{X ≤ x} = p(0) = 0.2，当1 ≤ x < 2时，F(x) = P{X ≤ x} = p(0) + p(1) = 0.7，当x ≥ 2时，F(x) = P{X ≤ x} = P (Ω ) = 1，⎧0,⎪0.2,⎪故F(x)=⎨⎪0.7,⎪⎩1,F(x)=P{X≤x}=x<0,0≤x<1,1≤x<2,x≥2.若离散型随机变量的全部可能取值为x1, x2, ……，概率函数p (xk ) = pk，k = 1, 2, ……，则分布函数xk≤x∑p(xk)．且离散型随机变量的分布函数F(x)是单调不减的阶梯形函数，X的每一可能取值xk 是F(x)的跳跃点，跳跃高度是相应概率p (xk )．⎧0,⎪0.3,⎪⎪例已知某离散型随机变量X的分布函数为F(x)=⎨0.4,⎪0.6,⎪⎪⎩1,x<−1−1≤x<0,0≤x<2, 求X的分布列．2≤x<5,x≥5,解：X的全部可能取值是F(x)的跳跃点，即−1, 0, 2, 5，跳跃高度依次为：p(−1) = 0.3 − 0 = 0.3；p(0) = 0.4 − 0.3 = 0.1；p(2) = 0.6 − 0.4 = 0.2；p(5) = 1 − 0.6 = 0.4．故X的分布列为XP−10250.30.10.20.4．分布函数的基本性质：（1）单调性，F(x) 单调不减，即x1 < x2时，F(x1) ≤ F(x2)；（2）正则性，F(−∞) = 0，F(+∞) = 1；（3）连续性，F(x) 右连续，即limF(x)=F(x0)． +x→x0证：（1）当x1 < x2时，{X ≤ x1} ⊂ {X ≤ x2}，有F(x1) ≤ F(x2)；（2）F(−∞) = P{X < −∞} = P (∅) = 0，F(+∞) = P{X < +∞} = P (Ω ) = 1；（3）任取单调下降且趋于x0的数列{xn}，有lim{X≤xn}=I{X≤xn}={X≤x0}，n→∞n=1∞⎛∞⎞根据概率的连续性知limP{X≤xn}=P⎜{X≤x}F(x)=F(x0)． n⎟⎜I⎟=P{X≤x0}，即xlim+n→∞→x0⎝n=1⎠但F(x)不一定左连续，任取单调增加且趋于x0的数列{xn}，⎛∞⎞⎟有lim{X≤xn}=U{X≤xn}={X<x0}，得limP{X≤xn}=P⎜{X≤x}Un⎜⎟=P{X<x0}，n→∞n→∞n=1⎝n=1⎠故lim−F(x)=P{X<x0}=F(x0)−P{X=x0}．x→x0∞2.1.4. 连续随机变量的概率密度函数离散型随机变量的全部可能取值是有限或可列个点，连续型随机变量的全部可能取值是实数区间．但连续型随机变量在单独一个点取值的概率为0，其概率函数无实际意义，对于连续随机变量通常考虑其在某个区间上取值的概率，这就需要讨论分布函数．连续型随机变量的分布函数是连续函数．注意：概率为0的事件不一定是不可能事件．定义随机变量X的分布函数F(x)，若存在函数p(x)，使F(x)=∫x−∞p(u)du，则称X为连续型随机变量，p(x)为X的概率密度函数（可以理解为：p(u)为概率密度，p(u)du为X在该小区间内取值的概率，∫x−∞为从−∞到x无限求和．几何意义：在平面上作出密度函数p(x)的图形，则阴影部分的面积即为F(x)的值．密度函数基本性质：（1）非负性p(x) ≥ 0；+∞（2）正则性∫p(x)dx=1．−∞因∫x−∞p(u)du=F(x)，有∫+∞−∞p(x)dx=F(+∞)=1．连续型随机变量的性质：设连续型随机变量X的概率密度函数为p (x)，分布函数为F(x)，则有（1）P{x1<X≤x2}=F(x2)−F(x1)=∫（2）当p(x) 连续时，p(x) = F ′(x)；因F(x)=∫x−∞x2x1p(x)dx；p(u)du，当p(x) 连续时，有F′(x)=[∫x−∞p(u)du]′=p(x)（3）X在单独一个点取值的概率为0，其分布函数为连续函数；随机变量在某区间内的（4）P{x1 < X ≤ x2} = P{x1 ≤ X ≤ x2} = P{x1 < X < x2} = P{x1 ≤ X < x2}，即连续型．．．概率与区间开闭无关，离散型则不成立；（5）只在有限个点上取值不相同的密度函数对应于同一个分布函数，一般，只在概率为0的数集上取值不相同的密度函数都对应于同一个分布函数．例设F (x) = A + B arctan x为某连续型随机变量X的分布函数．求：（1）A, B；（2）P{−1≤X≤}；（3）密度函数p (x)．解：（1）由正则性F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，得：lim(A+Barctanx)=A−x→−∞ππB=0，lim(A+Barctanx)=A+B=1，x→+∞221故A=1，B=；π（2）F(x)=11⎛11π⎞⎡11⎛π⎞⎤7+arctanx，得P{−1≤X≤}=F(3)−F(−1)=⎜+⋅⎟−⎢+⋅⎜−⎟⎥=．2π⎝2π3⎠⎣2π⎝4⎠⎦121．π(1+x2)（3）密度函数p(x)=F′(x)=例已知⎧C(x2−x3),0<x<1,p(x)=⎨其它,⎩0,是某连续型随机变量X的密度函数，1求：（1）C，（2）P{−1<X<，（3）分布函数F (x)．2解：（1）由正则性：∫1+∞−∞p(x)dx=1，111x3x4C23得∫C(x−x)dx=C(−=C(−−0==1，03403412故C = 12；12xx1115（2）P{−1<X<=∫p(x)dx=∫12(x2−x3)dx=12(−=12(−)=；2340246416（3）X的全部可能取值为 [0, 1]，分段点0, 1，当x < 0时，F(x)=∫x12−112034−∞p(u)du=0，xxxu3u423当0 ≤ x < 1时，F(x)=∫p(u)du=∫12(u−u)du=12(−=4x3−3x4，0−∞340当x ≥ 1时，F(x)=∫x−∞p(u)du=∫12(u2−u3)du=1，1x<0,⎧0,⎪故F(x)=⎨4x3−3x4,0≤x<1,⎪1,x≥1.⎩例已知⎧|x|,−1<x<1,p(x)=⎨0,,其它⎩是某连续型随机变量X的密度函数，求分布函数F (x)．解：分段点−1, 0, 1，当x < −1时，F(x)=∫x−∞p(u)du=0；xxx当−1 ≤ x < 0时，F(x)=∫x−∞u2p(u)du=∫(−u)du=−−12x−1x211−x2；=−+=222u2当0 ≤ x < 1时，F(x)=∫p(u)du=∫(−u)du+∫udu=−0−∞−12当x ≥ 1时，F(x)=∫x−1u2+2x1x21+x2=0++=；222−∞p(u)du=∫(−u)du+∫udu=1．−101x<0,⎧0,2⎪1−x,−1≤x<0,⎪⎪2故F(x)=⎨ 2+1x⎪,0≤x<1,⎪2⎪x≥1.⎩1,§2.2 随机变量的数学期望对于随机变量，还应当掌握反映其平均值、分散程度等的指标，这就需要引入数学期望和方差等概念．2.2.1. 数学期望的概念例甲、乙两个射击选手，在射击训练中甲射了10次，其中3次10环，1次9环，4次8环，2次7环；乙射了15次，其中2次10环，9次9环，2次8环，2次7环．问谁的表现更好？分析：比较他们射中的平均环数85=8.5环； 10131乙共射中2 × 10 + 9 × 9 + 2 × 8 + 2 × 7 = 131环，平均每次射中=&8.73环．故乙的表现更好． 15一般地，若在n次试验中，出现了m1次x1，m2次x2，…，mk次xk ，（其中m1 + m2 + … + mk = n），甲共射中3 × 10 + 1 × 9 + 4 × 8 + 2 × 7 = 85环，平均每次射中km1x1+m2x2++mkxkm则平均值为=∑xii，即平均值等于取值与频率乘积之和． nni=1因n很大时，频率稳定在概率附近，即平均值将稳定在取值与概率乘积之和附近．2.2.2. 数学期望的定义定义设离散型随机变量X的分布列是⎛x1X~⎜⎜p(x)1⎝∞Lx2p(x2)LL⎞xk⎟， p(xk)L⎟⎠，记为E (X )．如果级数∑xkp(xk)绝对收敛，则称之为X的数学期望（Expectation）k=1数学期望的实际意义是反映随机变量的平均取值，是其全部可能取值以相应概率为权数的加权平均．14⎞⎛−20 如X的分布列为⎜⎟，则E(X) = (−2) × 0.3 + 0 × 0.1 + 1 × 0.4 + 4 × 0.2 = 0.6．⎜0.30.10.40.2⎟⎠⎝例某人有4发子弹，现在他向某一目标射击，若命中目标就停止射击，否则直到子弹用完为止．设每发子弹命中率为0.4，以X表示射击次数，求E (X )．解：先求X的分布列，X的全部可能取值为1, 2, 3, 4，X = 1，第一枪就命中， p (1) = 0.4；X = 2，第一枪没有命中，第二枪命中，p (2) = 0.6 × 0.4 = 0.24；X = 3，前两枪没有命中，第三枪命中，p (3) = 0.6 2 × 0.4 = 0.144；X = 4，前三枪没有命中， p (4) = 0.6 3 = 0.216．234⎞⎛1则X的分布列为⎜⎜0.40.240.1440.216⎟⎟，⎝⎠故E (X ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.24 + 3 × 0.144 + 4 × 0.216 = 2.176．⎛(−2)k例若X的概率函数为p⎜⎜k⎝∞⎞1 ⎟⎟=2k,k=1,2,L，求E(X)．⎠∞(−2)k1(−1)k收敛但不是绝对收敛，故E (X ) 不存在．解：因∑⋅k=∑kk2k=1k=1离散型随机变量的数学期望是取值乘概率求和：∑xkp(xk)，类似可定义连续型随机变量的数学期望k=1∞是取值乘密度积分：∫xp(x)dx．−∞+∞定义设连续型随机变量X的密度函数为p(x)．如果广义积分∫xp(x)dx绝对收敛，则称之为X的数学期−∞+∞望，记为E (X )．例已知连续型随机变量X 的密度函数为⎧2x,0<x<1, p(x)=⎨0,其它.⎩求E (X )． x3解：E(X)=∫xp(x)dx=∫x⋅2xdx=2⋅−∞03+∞11=02． 3例已知X 的密度函数为⎧a+bx,0<x<2, p(x)=⎨0,其它.⎩且E(X)=2，求a, b． 3+∞x2解：由正则性得∫p(x)dx=∫(a+bx)dx=(ax+b⋅=2a+2b=1，−∞02022又E(X)=∫xp(x)dx=∫−∞+∞2082x2x3x(a+bx)dx=(a⋅+b⋅)=2a+b=， 2303321． 2例已知X 的密度函数为故a=1,b=−p(x)=求E (X )．1,−∞<x<+∞，π(1+x2)解：因∫xp(x)dx=∫−∞+∞+∞+∞x11122dx=⋅d(x)=ln(1+x)发散，∫−∞π(1+x2)2−∞−∞π(1+x2)2π+∞故E (X )不存在．2.2.3. 数学期望的性质设X为随机变量，g (x) 为函数，则称Y = g (X ) 为随机变量函数，Y也是一个随机变量．下面不加证明地给出随机变量函数的数学期望计算公式．定理设X为随机变量，Y = g (X ) 为随机变量函数，则（1）若X为离散型随机变量，概率函数为p(xk ), k = 1, 2, …，则E(Y)=E[g(X)]=∑g(xk)p(xk)；k=1∞（2）若X为连续型随机变量，密度函数为p (x)，则E(Y)=E[g(X)]=∫g(x)p(x)dx．−∞+∞数学期望具有以下性质：（1）常数的期望等于其自身，即E (c) = c；（2）常数因子可移到期望符号外，即E (aX ) = a E (X )；（3）随机变量和的期望等于期望的和，即E [g1 (X ) + g2 (X )] = E [g1 (X )] + E [g2 (X )]．证明：（1）将常数c看作是单点分布p (c) = 1，故E (c) = c p (c) = c；（2）以连续型为例加以证明，E(aX)=∫axp(x)dx=a∫xp(x)dx=aE(X)；−∞−∞+∞+∞（3）以连续型为例加以证明，E[g1(X)+g2(X)]=∫[g1(x)+g2(x)]p(x)dx=∫g1(x)p(x)dx+∫g2(x)p(x)dx −∞−∞−∞+∞+∞+∞= E [g1 (X )] + E [g2 (X )]．由性质（2）、（3）知随机变量线性组合的期望等于期望的线性组合，可见数学期望具有线性性质．例设X的分布列为12⎞⎛−10⎜⎜0.20.10.40.3⎟⎟，⎝⎠求E (2X +1)，E (X 2)．解：E (2X +1) = −1 × 0.2 + 1 × 0.1 + 3 × 0.4 + 5 × 0.3 = 2.6；E (X 2) = 1 × 0.2 + 0 ×0.1 + 1 × 0.4 + 4 × 0.3 = 1.8．例已知圆的半径X是一个随机变量，密度函数为⎧1⎪,1<x<3, p(x)=⎨2⎪⎩0,其他.求圆面积Y的数学期望．解：圆面积Y = π X 2，1πx故E(Y)=∫πx2p(x)dx=∫πx2⋅=⋅−∞1223+∞333=113π． 3例设国际市场对我国某种出口商品的需求量X（吨）的密度函数为⎧1⎪,2000<x<4000, p(x)=⎨2000⎪其他.⎩0,设每售出一吨，可获利3万美元，但若销售不出，每积压一吨将亏损1万美元，问如何计划年出口量，能使国家获利的期望最大．解：设计划年出口量为a吨，每年获利Y万美元．当X ≥ a时，销售a吨，获利3a万美元；当X < a时，销售X吨，积压a − X吨，获利3X − (a − X) = 4X − a万美元；a≤X≤4000,⎧3a,即Y=g(X)=⎨ 4X−a,2000≤X<a.⎩则E(Y)=∫g(x)p(x)dx=∫−∞+∞a2000(4x−a)⋅a40001113a4000dx+∫3a⋅dx=+x(2x2−ax)a20002000200020002000a11a2+7a−4000=−(a−3500)2+8250， 10001000故计划年出口量为3500吨时，使国家获利的期望最大．=−§2.3 随机变量的方差与标准差数学期望反映平均值，方差反映波动程度．如甲、乙两台包装机，要求包装重量为每袋500克，现各取5袋，重量为甲：498，499，500，501，502；乙：490，495，500，505，510．二者平均值相同都是500克，但显然甲比乙好．此时比较的是它们的偏差（即取值与平均值之差）．偏差：甲：−2，−1，0，1，2；乙：−10，−5，0，5，10．2.3.1. 方差的定义定义随机变量X与其数学期望E (X ) 之差X − E (X ) 称为偏差．偏差有大有小，可正可负，比较时需要去掉符号，但绝对值函数进行微积分处理不方便，因此考虑偏差平方的数学期望．定义随机变量X，若E [X − E (X )]2存在，则称之为X的方差（Variance），记为Var (X ) 或D (X )．即Var (X ) = E [X − E (X )]2．显然方差Var (X ) ≥ 0，称X)为X的标准差（Standard Deviation）．在实际问题中，标准差与随机变量有相同的量纲．方差与标准差反映波动程度．方差越大，取值越分散；方差越小，取值越集中．例设X的分布列为23⎞⎛1⎜⎜0.20.40.4⎟⎟，⎝⎠求E (X ), Var (X )．解：E (X ) = 1 × 0.2 + 2 × 0.4 + 3 × 0.4 = 2.2；Var (X ) = (−1.2)2 × 0.2 + (−0.2)2 × 0.4 + 0.82 × 0.4 = 0.56．例已知X 的密度函数为⎧2x,0<x<1,p(x)=⎨ 0,其他.⎩求E (X ), Var (X )． x3解：E(X)=∫xf(x)dx=∫x⋅2xdx=2⋅−∞03+∞11=02； 31128884⎞1841⎛2Var(X)=∫(x−2p(x)dx=∫(2x3−x2+x)dx=⎜x4−x3+x2⎟=−+=．0−∞33 999⎠029918⎝4+∞例已知X的全部可能取值为0, 1, 2，且E (X ) = 1.3，Var (X ) = 0.81．求X的分布列．⎛012⎞解：设X的分布列为⎜⎜abc⎟⎟，⎝⎠由正则性得：a + b + c = 1，且E (X ) = 0 × a + 1 × b + 2 × c = b + 2c = 1.3，Var (X ) = (−1.3)2 × a + (−0.3)2 × b + 0.72 × c = 1.69a + 0.09b + 0.49c = 0.81，解得a = 0.3，b = 0.1，c = 0.6，12⎞⎛0故X的分布列为⎜⎜0.30.10.6⎟⎟．⎝⎠2.3.2. 方差的性质方差具有以下性质：（1）方差计算公式：Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2；（2）常数的方差等于零，即Var (c) = 0；（3）设a, b为常数，则Var (a X + b) = a 2 Var (X )．证：（1）Var (X ) = E [X − E (X )]2 = E [X 2 − 2X ⋅ E (X ) + E (X )2] = E (X 2 ) − 2E (X ) ⋅ E (X ) + [E (X )]2．= E (X 2) − [E (X )]2；（2）Var (c) = E [c − E (c)]2 = E (c − c)2 = E (0) = 0；（3）Var (a X + b) = E [(a X + b) − E (a X + b)]2 = E [a X + b − a E (X ) − b]2 = a 2 E [X − E (X )]2 = a 2 Var (X )．由性质（1），显然有以下推论：推论对于随机变量X，如果E (X 2) 存在，则E (X 2) ≥ [E (X )]2．以后常利用方差计算公式Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2计算随机变量的方差．通常用公式计算比直接用定义计算方差要方便．例设X的分布列为23⎞⎛1⎜⎜0.20.40.4⎟⎟，⎝⎠求Var (X )．解：前面已求得E (X ) = 2.2，因E (X 2) = 1 2 × 0.2 + 2 2 × 0.4 + 3 2 × 0.4 = 5.4，故Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2 = 5.4 − 2.22 = 0.56．例已知X 的密度函数为⎧2x,0<x<1, p(x)=⎨其他0,.⎩求Var (X )．解：前面已求得E(X)=12， 31x422因E(X)=∫x⋅2xdx=2⋅0422=01， 221⎛2⎞1．故Var(X)=E(X)−[E(X)]=−⎜⎟=2⎝3⎠18对于随机变量X，若方差Var (X ) 存在，且Var (X ) > 0．令X*=有X−E(X)Var(X)，⎛X−E(X)⎞11⎟=E(X*)=E⎜E[X−E(X)]=[E(X)−E(X)]=0；⎜⎟⎝⎠⎛X−E(X)⎞11⎟=Var(X*)=Var⎜Var[X−E(X)]=Var(X)=1．⎜Var(X)⎟Var(X)Var(X)⎝⎠称X *为X的标准化随机变量．2.3.3. 切比雪夫不等式方差反映随机变量的分散程度，切比雪夫不等式给出其定量标准．切比雪夫不等式表明大偏差概率的上限与方差成正比．定理设X为随机变量，且方差Var (X ) 存在，则对于任何正数ε ，都有P{|X−E(X)|≥ε}≤Var(X)ε2．证明：以连续型随机变量为例证明，设X的密度函数为p (x)，有P{|X−E(X)|≥ε}=|x−E(X)|≥∫p(εx)dx，且ε2Var(X)ε2=1ε2E[X−E(X)]=∫+∞2+∞[x−E(X)]2−∞ε2Var(X)p(x)dx，故P{|X−E(X)|≥ε}≤注：切比雪夫不等式的等价形式|x−E(X)|≥ε∫[x−E(X)]2p(x)dx≤∫[x−E(X)]2−∞ε2p(x)dx=ε2，得证．P{|X−E(X)|<ε}≥1−Var(X)ε2．如随机变量X的数学期望为E (X ) = 10，方差Var (X ) = 1，则由切比雪夫不等式可得13=． 224例设随机变量X的全部可能取值为[0,+∞)，且数学期望E (X ) 存在，试证：对任何正数a，都有P{8<X<12}=P{|X−10|<2}≥1−1E(X)． a证明：以连续型随机变量为例证明，设X的密度函数为p (x)，+∞+∞x11+∞有P{X≥a}=∫p(x)dx，且E(X)=∫xp(x)dx=∫p(x)dx，0aaaa−∞+∞x+∞x1故P{X≥a}≤∫p(x)dx≤∫p(x)dx=E(X)，得证．aa0aa定理设随机变量X的方差存在，则Var (X ) = 0的充分必要条件是存在常数b，使得X几乎处处收敛于b，即P{X = b} = 1．证：充分性，设存在常数b，使得P{X = b} = 1，有P{X ≠ b} = 0，即E (X ) = b P{X = b} = b，故Var (X ) = E [X − E (X )]2 =E (X − b)2 = 0 × P{X = b} = 0；必要性，设X的方差Var (X ) = 0，P{X≥a}≤1⎫1⎫⎧⎧因事件{|X−E(X)|>0}=U⎨|X−E(X)|≥⎬=lim⎨|X−E(X)|≥，n⎭n→+∞⎩n⎭n=1⎩⎛+∞⎧则P{|X−E(X)|>0}=P⎜⎜U⎨|X−E(X)|≥⎝n=1⎩1⎫⎞⎧limP=⎨|X−E(X)|≥⎬⎟n→+∞n⎭⎟⎩⎠1⎫Var(X)lim≤=0，⎬n⎭n→+∞⎛1⎞2⎜⎟⎝n⎠+∞可得P{| X − E (X )| > 0} = 0，即P{| X − E (X )| = 0} = 1，取b = E (X )，有b为常数，故P{X = b} = 1．注：如果P{X = b} = 1，记为X = b, a.e.（或a.s.），称为X = b几乎处处成立（或几乎必然成立）．这里，a.e.就是almost everywhere的缩写，a.s.就是almost surely 的缩写．意味着不成立的情况是一个测度（或概率）等于零的集合（或事件）．§2.4 常用离散分布对于一个给定的函数，只要满足概率函数的两条基本性质：非负性、正则性，都可以成为某个离散随机变量的概率函数．但绝大多数在实际工作中并不常见，下面是几种常用的概率函数．2.4.1. 两点分布与二项分布一．两点分布两点分布只可能在两个点取值，通常就是0或1．定义随机变量的可能取值只有两个：0或1，且概率函数为p (0) = 1 − p，p (1) = p，其中0 < p < 1，⎛0称X服从两点分布（Two-point Distribution）或0-1分布，记为X ~ (0-1)．分布列为⎜⎜1−p⎝1⎞⎟． p⎟⎠两点分布实际背景是一次伯努利试验．通常描述为：X表示一次伯努利试验中事件A发生的次数．非负性：p (0) = 1 − p > 0，p (1) = p > 0；正则性：(1 − p) + p = 1．两点分布的数学期望为E (X ) = 0 × (1 − p) + 1 × p = p．又因E (X 2 ) = 02 × (1 − p) + 12 × p = p，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = p − p2 = p(1 − p)．二．二项分布在n重伯努利试验中，以X表示事件A的发生次数，则X的全部可能取值为0, 1, 2, …, n ，且⎛n⎞kn−k⎟P{X=k}=⎜p−p． (1)⎜k⎟⎝⎠定义若离散型随机变量X的概率函数为⎛n⎞kn−kp(k)=⎜⎟p(1−p)，k = 0, 1, 2, …, n ；0 < p < 1，⎜k⎟⎝⎠则称X 服从二项分布（Binomial Distribution），记为X ~ b (n, p)．二项分布的实际背景是n重伯努利试验．当n = 1时，二项分布就是两点分布．⎛n⎞kn−k非负性：p(k)=⎜⎟p(1−p)>0；⎜k⎟⎝⎠⎛n⎞kn−kn⎟正则性：∑p(k)=∑⎜p(1−p)=[p+(1−p)]=1．⎜k⎟k=1k=1⎝⎠nn例掷三枚硬币，X表示正面朝上的次数，求X的概率分布．解：X的全部可能取值为0, 1, 2, 3 ，将掷每一枚硬币看作一次试验．每次试验两种结果：正面A，反面；每次试验相互独立；每次试验概率P(A)=0.5．即n重伯努利试验，n = 3，p=0.5，有X ~ b (3, 0.5)，p (0) = 0.5 3 = 0.125，⎛3⎞12p(1)=⎜⎟×0.5×0.5=0.375，⎜1⎟⎝⎠⎛3⎞21⎟p(2)=⎜×0.5×0.5=0.375，⎜2⎟⎝⎠p (3) = 0.5 3 = 0.125．例现有5台机床，每台机床一小时内平均开动18分钟，且是否开动相互独立，以X表示同一时刻开动的机床数，求X的概率分布．解：X的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5 ，将每台机床是否开动看作一次试验．每次试验两种结果：开动A，不开动；每次试验相互独立；每次试验概率P (A) = 0.3．即n重伯努利试验，n = 5，p = 0.3，有X ~ b (5, 0.3)．p (0) = 0.7 5 = 0.16807，⎛5⎞14p(1)=⎜⎟×0.3×0.7=0.36015，⎜1⎟⎝⎠⎛5⎞23⎟×0.3×0.7=0.3087， p(2)=⎜⎜2⎟⎝⎠⎛5⎞32p(3)=⎜⎟×0.3×0.7=0.1323，⎜3⎟⎝⎠⎛5⎞41p(4)=⎜⎟×0.3×0.7=0.02835，⎜4⎟⎝⎠p (5) = 0.3 5 = 0.00243 ．一般地，如果随机变量X服从二项分布，概率函数值p (k) 将随着k的增加，先逐渐增加，达到最大值后，又逐渐减少．通常，一个随机变量X的概率函数或密度函数的最大值点称为X的最可能值．二项分布b (n, p)的最可能值为当(n+1)p不是正整数时,⎧[(n+1)p], k0=⎨np或np当np是正整数时(+1)(+1)−1,(+1).⎩这里[x]表示不超过x的最大整数．如[2.3] = 2，[3.14] = 3，[−1.2] = −2．⎛n⎞kn!n−k⎟p(1p)−=pk(1−p)n−k,0≤k≤n，证：若X ~ b (n, p)，有p(k)=⎜⎜k⎟k!(n−k)!⎝⎠则p(k)−p(k−1)=n!n!pk−1(1−p)n−k+1 pk(1−p)n−k−(k−1)!(n−k+1)!k!(n−k)!=1−p⎞n!⎛ppk−1(1−p)n−k⋅⎜−⎟ (k−1)!(n−k)!⎝kn−k+1⎠(n+1)p−kn!，pk−1(1−p)n−k⋅(k−1)!(n−k)!k(n−k+1)=当k < (n + 1) p时，有p (k) > p (k − 1)；当k > (n + 1) p时，有p (k) < p (k − 1)．如果(n + 1) p不是正整数，取k0 = [(n + 1) p]，有k0 < (n + 1) p，即p (k0) > p (k0 − 1)；且k0 + 1 > (n + 1) p，即p (k0 + 1) < p (k0)．故p (k0) 为最大值．如果(n + 1) p是正整数，取k0 = (n + 1) p，即p (k0) = p (k0 − 1)，故p (k0) 和p (k0 − 1) 都是最大值．如X ~ B (3, 0.5)，有(n + 1) p = 4 × 0.5 = 2是正整数，最可能值k0 = 2或1；X ~ B (5, 0.3)，有(n + 1) p = 6 × 0.3 = 1.8不是正整数，最可能值k0 = [1.8] = 1．三．二项分布的数学期望和方差⎛n⎞(n−1)!n!nn⎛n−1⎞⎟．组合数公式⎜==⋅=⎟，（n ≥ k > 0）⎜k−1⎟⎜k⎟k!⋅(n−k)!k(k−1)!⋅(n−k)!k⋅⎜⎠⎝⎝⎠二项分布b (n, p)的数学期望为nn⎛n−1⎞k−1⎛n⎞kn⎛n−1⎞kn−kn−k⎟⎟⎜⎟⎜E(X)=∑k⋅⎜(1)ppkp(1p)npp(1−p)n−k −=−=⋅⋅∑∑⎟⎟⎜⎜⎜k⎟k⎝k−1⎠k=0k=1k=1⎝k−1⎠⎝⎠n= np [ p + (1 − p)]n − 1 = np．又因nn⎛n⎞k⎛n−1⎞k⎛n⎞kn−kn−kn−k2⎟⎜⎟⎟⎜E(X)=∑k⋅⎜ppkk(1)()ppk(1)p(1−p)−+⋅−=−⋅∑∑⎜k⎟⎜k−1⎟⎜k⎟k=0k=0k=0⎝⎠⎠⎝⎝⎠2n2=∑(k2−k)⋅k=2nnn(n−1)⎛n−2⎞k⎟⎜p(1−p)n−k+E(X) ⎟⎜k(k−1)⎝k−2⎠=n(n−1)p2⎛n−2⎞k−2n−k⎟⎜p(1−p)+np ∑⎜k−2⎟k=2⎝⎠= n(n − 1) p2 [ p + (1 − p)]n − 2 + np = (n2 − n) p2 + np，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = (n2 − n) p2 + np − (np)2 = − np2 + np = np (1 − p)．2.4.2. 泊松分布一．泊松分布泊松分布是一种理论推导的极限分布（成立的条件和推导过程见附录）．定义若随机变量X 的概率函数为k!则称X服从参数为λ 的泊松分布（Poisson’s Distribution），记为X ~ P (λ)．泊松分布的实际背景是已知平均发生次数为常数λ ，实际发生次数的概率分布．如足球比赛进球数，商店进店人数，电话接听次数等．非负性：λ > 0时，正则性：∑∞p(k)=λke−λ，k = 0, 1, 2, …… ；λ > 0，λkk!e−λ>0；λkk!⋅e−λ=eλ⋅e−λ=1．k=0例已知一场足球比赛的进球数X 服从参数λ = 2.3的泊松分布，求比分为0:0, 1:0以及总进球数超过5个的概率．2.3k−2.3解：因X ~ P(2.5)，则p(k)=e，k = 0, 1, 2, ……． k!2.30−2.3比分0:0，即X = 0，p(0)=e=e−2.3=0.100（查表）； 0!2.31−2.3比分1:0，即X = 1，p(1)=e=2.3e−2.3=0.331−0.100=0.231（查表）； 1!52.3k−2.32.3k−2.3总进球数超过5个，即X > 5，P{X>5}=∑．=1−∑e=1−0.970=0.030（查表）ekk!!k=6k=0∞例已知某公用电话每小时内打电话的人数X服从参数为λ = 8的泊松分布．求某一小时内无人打电话的概率，恰有10人打电话的概率，至少有10人打电话的概率．8k−8e．解：因X ~ P(8)，有P{X=k}=k!80−8无人打电话的概率P{X=0}=e=e−8=0.0003， 0!810−8恰有10人打电话的概率P{X=10}=e=0.816−0.717=0.099（查表）， 10!8k−8至少有10人打电话的概率P{X≥10}=∑．e=1−P{X≤9}=1−0.717=0.283（查表）k!k=10∞例已知某商店一天中某种贵重商品的销售件数X服从泊松分布P (7)，问该商店每天应该准备多少件该商品才能以99.9%以上的概率满足顾客需要？7k−7解：设准备了a件该商品，X ~ P(7)，则p(k)=e． k!事件“满足顾客需要”，即X ≤ a，有P{X ≤ a} ≥ 0.999，故查表可得a = 16．泊松分布P (λ )的最可能值为当λ不是正整数时,⎧[λ], k0=⎨⎩λ或λ−1,当λ是正整数时.证：若X ~ P(λ)，有p(k)=故p(k)−p(k−1)= λkk!−λe−λ,k=0,1,2,L，λkk!e−λk−1(k−1)!e−λλλ−k⎛λ⎞=e⋅⎜−1⎟=e−λ⋅，k(k−1)!⎝k⎠(k−1)!−λλk−1k−1当k < λ 时，有p (k) > p (k − 1)；当k > λ 时，有p (k) < p (k − 1)．如果λ 不是正整数，取k0 = [λ ] ，有k0 < λ ，即p (k0) > p (k0 − 1)；且k0 + 1 > λ ，即p (k0 + 1) < p (k0)．故p (k0) 为最大值．如果λ 是正整数，取k0 = λ ，即p (k0) = p (k0 − 1)，故p (k0) 和p (k0 − 1) 都是最大值．二．泊松分布的数学期望和方差泊松分布P (λ )的数学期望为E(X)=∑k⋅k=0∞λkk!e−λ=∑k=1∞λk(k−1)!e−λ=λe⋅∑−λk=1∞λk−1(k−1)!=λe−λ⋅eλ=λ，即泊松分布的参数λ 反映平均发生次数．又因E(X)=∑k⋅22k=0∞λkk!e−λ=∑(k−k)⋅2k=0∞λkk!e−λ+∑k⋅k=0∞λkk!e−λ=λe⋅∑2−λk=2∞λk−2(k−2)!+E(X)= λ 2 e −λ ⋅ e λ + λ = λ 2 + λ ，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = λ 2 + λ − (λ )2 = λ ．三．二项分布的泊松近似二项分布与泊松分布的实际背景都是反映发生次数问题．下面的定理说明了二者之间的联系，泊松分布是二项分布的一种极限分布．定理（泊松定理）在n重伯努利试验中，记事件A在每次试验中发生的概率为与试验次数n有关的数pn ，如果当n → +∞ 时，有n pn → λ ，则⎛n⎞kλk−λn−klim⎜⎟pn(1−pn)=e．n→+∞⎜k⎟k!⎝⎠证：记λ n = n pn ，有limλn=λ，n→+∞因(1−pn)n−k=⎜1−⎛⎝λn⎞⎟n⎠n−k⎛−λn⎞=⎜1+⎟n⎠⎝n−λn(n−k)−λnn，−λn(n−k)⎛−λn⎞−λn=−λ，且lim⎜1+=e，lim⎟n→+∞n→+∞nn⎠⎝n−λn⎞⎛则lim(1−pn)n−k=lim⎜1+⎟n→+∞n→+∞n⎠⎝−λn(n−k)−λnnn=e−λ，⎛n⎞n(n−1)(n−k+1)nk⎛又因⎜=⎜1−⎜k⎟⎟=!!kk⎝⎝⎠1⎞⎛1⎞⎛k−1⎞k−1⎞⎛⎟，且lim⎜1−⎟L⎜1−⎟=1，⎟L⎜1−n→+∞nnn⎠⎝n⎠⎠⎠⎝⎝⎛n⎞knkkk−1⎞1⎞⎛n−kn−k⎛⎟故lim⎜ppppL(1)lim(1)11−=−−−⎜⎟⎜⎟nnnnn→+∞⎜k⎟n→+∞k!n⎠⎝n⎠⎝⎝⎠(npn)k⎛=lim⋅lim(1−pn)n−k⋅lim⎜1−n→+∞n→+∞n→+∞k!⎝1⎞⎛k−1⎞λk−λe．⎟=⎟L⎜1−n⎠⎝n⎠k!此定理表明对于二项分布b (n, p)，当n很大，p很小时，可用泊松分布P (λ ) 近似，其中λ = n p．例某地区每年人口意外死亡率为0.0001，现有60000人投保人身意外保险，求一年内因投保人意外死亡恰好赔付8人的概率以及赔付不超过5人的概率．解：设X表示“一年内因投保人意外死亡而赔付的人数”，X ~ B (60000, 0.0001)．5⎛60000⎞⎛60000⎞859992k60000−k⎟⎜PX则P{X=8}=⎜×0.0001×0.9999，{≤5}=，∑⎜8⎟⎜k⎟⎟×0.0001×0.9999k=0⎝⎝⎠⎠但显然计算很繁琐，为便于计算，用泊松分布近似．因n = 60000很大，p = 0.0001很小，λ = np = 6，有X~&P(6)，568−66k−6e=0.847−0.744=0.103，P{X≤5}≈∑e=0.446．故P{X=8}≈8!k=0k!2.4.3. 超几何分布一．超几何分布在N件产品中，有M件次品，从中不放回地取n件，以X表示取得的次品数．设X取值为k，一方面，显然有k ≤ n且k ≤ M，即k ≤ min{n, M}，另一方面，有k ≥ 0且n − k ≤ N − M，可得k ≥ M + n − N，即k ≥ max{0, M + n − N }．这样X的全部可能取值为l, l + 1, …, L，其中l = max{0, M + n − N }，L = min{n, M}，且⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟⎝⎠⎝⎠． P{X=k}=⎛N⎞⎜⎜n⎟⎟⎝⎠定义若随机变量X的概率函数为⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟⎝⎠⎝⎠，k = l, l + 1, …, L，l = max(0, n + M − N )，L = min(M, n)，M < N，n < N， p(k)= ⎛N⎞⎜⎜n⎟⎟⎝⎠则称X服从超几何分布（Hypergeometric Distribution），记为X ~ h (n, N, M)．超几何分布的实际背景是古典概型中的不放回抽样检验问题．注：有放回检验抽样问题对应的是二项分布．⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟⎝⎠⎝⎠>0；非负性：⎛N⎞⎜⎜n⎟⎟⎝⎠⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎟⎜⎟L⎜k⎟⎜n−k⎟⎝⎠⎝⎠=正则性：∑⎛N⎞k=0⎜⎜n⎟⎟⎝⎠注：比较(1 + x)(1 + x) M N −M⎛M⎞⎛N−M⎞⎛N⎞⎜∑⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟⎜⎜n⎟⎟k=l⎝⎠⎝⎠=⎝⎠=1．⎛N⎞⎛N ⎞⎜⎟⎜⎜n⎟⎜n⎟⎟⎝⎠⎝⎠L⎛M⎞⎛N−M⎞⎛N⎞与(1 + x)中x的系数可以证明∑⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟=⎜⎜n⎟⎟．k=l⎝⎠⎝⎠⎝⎠NnL例一袋中有3个红球，2个白球，不放回地取出3个球，X表示取得的红球数．求X的概率分布．解：不放回抽样，N = 3，M = 2，n = 3，则X ~ h (3, 5, 3)．故X的全部可能取值为1, 2, 3，(l = max (0, n + M − N ) = 1，L = min(n, M) = 3)，⎛3⎞⎛2⎞⎛3⎞⎛2⎞⎛3⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜2⎟⎜1⎟⎜3⎟⎟⎜⎜0⎟⎟⎜1⎟⎜2⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠=0.1．⎝⎠⎝⎠P{X=1}==0.3，P{X=2}==0.6，P{X=3}=⎛5⎞⎛5⎞⎛5⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎜3⎟⎜3⎟⎜3⎟⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠超几何分布h (n, N, M )的最可能值为M+1M+1⎧[(1)(1)+n+当不是正整数时,n⎪N+2N+2k0=⎨ M+1M+1M+1⎪(n+1)−1,当(n+1)或(n+1)是正整数时.N+2N+2N+2⎩⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟(N−M)!M!⎝⎠⎝⎠=1⋅证：若X ~ h(n, N, M)，有p(k)=，⋅⎛N⎞⎛N⎞k!(M−k)!(n−k)!(N−M−n+k)!⎜⎟⎜⎜n⎟⎜n⎟⎟⎝⎠⎝⎠故p (k ) − p (k − 1)=M!(N−M)!⎛N⎞⎜⎟k!(M−k)!(n−k)!(N−M−n+k)!⎜n⎟⎝⎠M!(N−M)!−M!(N−M)!⎛N⎞⎜⎟(k−1)!(M−k+1)!(n−k+1)!(N−M−n+k−1)!⎜n⎟⎝⎠[(M −k+1)(n−k+1)−k(N−M−n+k)] =⎛N⎞⎜⎟k!(M−k+1)!(n−k+1)!(N−M−n+k)!⎜n⎟⎝⎠M!(N−M)!⎛N⎞⎜⎟k!(M−k+1)!(n−k+1)!(N−M−n+k)!⎜n⎟⎝⎠=[(M+1)(n+1)−k(N+2)]． M+1M +1时，有p (k) > p (k − 1)；当k>(n+1)时，有p (k) < p (k − 1)． N+2N+2M+1M+1如果(n+1)不是正整数，取k0=[(n+1)， N+2N+2M+1M+1有k0<(n+1)，即p (k0) > p (k0 − 1)；且k0+1>(n+1)，即p (k0 + 1) < p (k0)． N+2N+2故p (k0) 为最大值． M+1M+1如果(n+1)是正整数，取k0=(n+1)，即p (k0) = p (k0 − 1)， N+2N+2故p (k0) 和p (k0 − 1) 都是最大值．二．超几何分布的数学期望和方差超几何分布h (n, N, M )的数学期望为当k<(n+1)L⎛M−1⎞⎛N−M⎞⎛M⎞⎛N−M⎞M⎛M−1⎞⎛N−M⎞⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎜∑⎟⎜n−k⎟⎟⎜⎜k−1⎟⎜k−1⎟⎜n−k⎟⎜k⎟⎜n−k⎟LLknMk=l⎝⎠=nM，⎝⎠⎠⎝⎠⎠⎝⎝⎠⎝E(X)=∑k⋅=⋅=∑k⋅NN⎛N−1⎞⎛N⎞N⎛N−1⎞k=lk=l⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜n−1⎟⎟⎜n⎟n⎜⎝⎠⎝n−1⎠⎝⎠又因⎛M⎞⎛N−M⎞⎛M⎞⎛N−M⎞⎛M⎞⎛N−M⎞⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜n−k⎟⎟⎜⎜k⎟⎜k⎟⎜n−k⎟L⎜k⎟⎜n−k⎟LL⎠⎝⎠⎠⎝⎝⎠⎠⎝⎝⎠22⎝2E(X)=∑k⋅+∑k⋅=∑(k−k)⋅⎛N⎞⎛N⎞⎛N⎞k=lk=lk=l⎜⎜⎟⎜⎟⎜n⎟⎟⎜n⎟⎜n⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠M(M−1)⎛M−2⎞⎛N−M⎞⎟⎜⎟⎜n−k⎟⎟⎜k2−k(k−1)⎜⎠⎠⎝⎝N(N−1)⎛N−2⎞⎜⎟⎜n(n−1)⎝n−2⎟⎠19=∑(k2−k)⋅k=lL+E(X)⎛M−2⎞⎛N−M⎞⎟⎜⎟⎜∑⎟⎜⎟⎜k2nk−−n(n−1)M(M−1)k=l⎝⎠+nM=n(n−1)M(M−1) +nM，⎝⎠⋅=N(N−1)NN(N−1)N⎛N−2⎞⎜⎟⎜n−2⎟⎝⎠L故方差为nM(n−1)(M−1)nMn2M2nM(N−M)(N−n)．Var(X)=E(X)−[E(X)]=+−=N(N−1)NN2N2 (N−1)22为了便于记忆，可将超几何分布与二项分布的数学期望和方差进行比较．二项分布b (n, p)：数学期望E (X ) = np，方差Var (X ) = np (1 − p)；超几何分布h (n, N, M )：数学期望E(X)=n可见分布h (n, N, M )中的MM⎛M⎞N−n，方差Var(X)=n；⎟⎜1−NN⎝N⎠N−1MN−n相当于二项分布b (n, p)中的p，方差修正因子为．NN−1三．超几何分布的二项近似直观上，当抽样个数n远小于M及N − M时，不放回抽样问题可近似看作有放回抽样问题，也就是此时超几何分布可用二项分布近似．M定理如果当N → +∞ 时，→p， (0 < p < 1)，则 N⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎟⎛n⎞⎜n−k⎟⎟⎜⎜k⎟⎠=⎜⎟pk(1−p)n−k．⎝⎠⎝lim⎜k⎟N→+∞⎛N⎞⎝⎠⎜⎜n⎟⎟⎝⎠⎛N⎞N(N−1)(N−n+1)Nn⎛1⎞⎛n−1⎞⎟11L证：因⎜−==−⎟，⎜⎟⎜⎜n⎟!!nnNN⎠⎠⎝⎝⎝⎠⎛M⎞Mk⎛1⎞⎛k−1⎞⎛N−M⎞(N−M)n−k且⎜⎜n−k⎟⎟=(n−k)!⎜k⎟⎟=k!⎜1−M⎟L⎜1−M⎟，⎜⎠⎝⎠⎝⎝⎠⎝⎠1⎛⎜1−N−M⎝n−k−1⎞⎞⎛⎟，⎟L⎜1−N−M⎠⎠⎝⎛M⎞⎛N−M⎞1⎞⎛1⎞⎛Mk⎛k−1⎞(N−M)n−k⎛n−k−1⎞⎟⎜⎟⎜−−−⋅−1111LL⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜k⎟⎜n−k⎟−−−!()!kMMnkNMNM⎝⎠⎝⎝⎠⎝⎠⎠⎠=lim⎝⎠⎝故limnN→+∞N→+∞1⎞⎛N⎛n−1⎞⎛N⎞⎜⎜1−⎟L⎜1−⎟⎜n⎟⎟!nNN⎝⎠⎝⎠⎝⎠1⎞⎛1⎞⎛k−1⎞⎛n−k−1⎞⎛⎟⎟L⎜1−⎟⋅⎜1−⎜1−⎟L⎜1−MMNMNM−−⎠⎠⎝⎠⎝⎠⎝⋅⎝1⎞⎛n−1⎞⎛⎜1−⎟L⎜1−⎟N⎠⎝N⎠⎝Mk(N−M)n−kn!=lim⋅N→+∞k!(n−k)!Nn⎛n⎞M⎞⎛M⎞⎛⎟lim1=⎜⋅−⎜⎟⎜⎟⎜k⎟N→+∞NN⎝⎠⎝⎠⎝⎠kn−k1⎞⎛1⎞⎛k−1⎞⎛n−k−1⎞⎛⎟⎟L⎜1−⎟⋅⎜1−⎜1−⎟L⎜1−MMNMNM−−⎠⎠⎝⎠⎝⎠⎝⋅lim⎝N→+∞1⎞⎛n−1⎞⎛⎜1−⎟L⎜1−⎟NN⎝⎠⎝⎠20⎛n⎞kn−k=⎜⎜k⎟⎟p(1−p)．⎝⎠此定理表明对于超几何分布h (n, N, M )，当抽样个数n远小于M及N − M时，可用二项分布b (n, p) 近似，其中p=M． N例某校有20000名学生，其中男生8000人，女生12000人，从中任选6人．求取到2个男生与4个女生的概率．⎛8000⎞⎛12000⎞⎜⎟⎜4⎟⎟⎜⎜2⎟⎠．⎝⎠⎝解：设X表示“选到的男生数”，有X ~ H (6, 20000, 8000)，可得p(2)=⎛20000⎞⎜⎜6⎟⎟⎝⎠但显然计算很繁琐，为便于计算，用二项分布近似．因n = 6较小，远小于M = 8000与N − M = 12000，且p=M=0.4，有X~&B(6,0.4)， N⎛6⎞24⎟×0.4×0.6=0.31104．故p(2)≈⎜⎜2⎟⎝⎠2.4.4. 几何分布与负二项分布一．几何分布在伯努利试验中，以X表示事件A首次发生时的试验次数，则X的全部可能取值为1, 2, …，且P{X = k} = (1 − p)k − 1 p．定义若随机变量X的概率函数为p (k) = (1 − p)k − 1 p，k = 1, 2, …；0 < p < 1，则称X 服从几何分布（Geometric Distribution），记为X ~ Ge ( p)．几何分布的实际背景是首次发生时的试验次数．非负性：(1 − p)k − 1 p > 0；正则性：∑(1−p)k−1p=k=1+∞p=1．1−(1−p)几何分布Ge ( p) 的最可能值显然是k0 = 1．二．几何分布的数学期望和方差令q = 1 − p，有p (k) = q k − 1 p．几何分布Ge ( p) 的数学期望为E(X)=∑kqk=1+∞k−1d(qk)d⎛+∞k⎞d⎛1⎞11⎟⎜⎜⎟，p=p⋅∑qpp=p⋅=⋅==⋅⎜∑⎟2⎜1−q⎟dqdqdqp(1)q−k=0⎝k=0⎠⎠⎝+∞又因E(X)=∑kq22k=1+∞k−1p=∑(k+k)q2k=1+∞k−1p−∑kqk=1+∞k−1d2(qk+1)p=p⋅∑−E(X) 2dqk=0+∞d2=p⋅2dq⎛+∞k+1⎞1212−pd2⎛q⎞1⎟⎜⎜⎟，−=⋅−=pqp−=⋅⎜∑⎟p⎟p2⎜32qp1−(1−)dqqp⎝k=0⎠⎠⎝21故方差为2−p⎛1⎞1−p⎜⎟−．Var(X)=E(X2)−[E(X)]2==2⎜p⎟p2p⎝⎠三．几何分布的无记忆性定理设X服从几何分布Ge ( p)，则对任意正整数m与n有P{X > m + n | X > m} = P{X > n}．证：因对于正整数k，有P{X>k}=2i=k+1∑(1−p)+∞i−1(1−p)kpp==(1−p)k，1−(1−p)P{X>m+n}(1−p)m+nn故P{X>m+n|X>m}===(1−p)=P{X>n}．P{X>m}(1−p)m此定理在已经试验m次事件A没有发生的条件下，继续试验n次仍没有发生的条件概率，等于试验n次A没有发生的概率．这称之为几何分布的无记忆性．四．负二项分布在伯努利试验中，以X表示事件A第r次发生时的试验次数，则X的全部可能取值为r, r + 1, …，且⎛k−1⎞k−rr⎟P{X=k}=⎜−pp． (1)⎜r−1⎟⎝⎠定义若随机变量X的概率函数为⎛k−1⎞k−rr p(k)=⎜⎜r−1⎟⎟(1−p)p，k = r, r + 1, …；0 < p < 1，⎝⎠则称X 服从负二项分布（Negative Binomial Distribution），记为X ~ Nb (r, p)．实际背景是第r次发生时的试验次数．当r = 1时，负二项分布Nb (1, p)就是几何分布Ge ( p)．注：二项分布是已知实验次数时，发生次数的分布；负二项分布是已知发生次数时，试验次数的分布．⎛k−1⎞k−rr非负性：⎜⎜r−1⎟⎟(1−p)p>0；⎝⎠⎛k−1⎞pr+∞dr−1(qk−1)pr+∞k−rrk−r正则性：∑⎜⎜r−1⎟⎟(1−p)p=(r−1)!∑(k−1)L(k−r+1)q=(r−1)!∑dqr−1 k=r⎝k=rk=1⎠+∞prdr−1=⋅r−1(r−1)!dq负二项分布Nb (r, p)的最可能值为∑qk=1+∞k−1prdr−1=⋅r−1(r−1)!dq⎛1⎞pr(r−1)!⎟⎜=⋅⎜1−q⎟(r−1)!(1−q)r=1．⎠⎝⎧⎡r−1⎤r−1,当不是正整数时,⎪1+⎢⎪⎣p⎥p⎦ k0=⎨rrr−1−1−1⎪1+,当或是正整数时.⎪ppp⎩⎛k−1⎞(k−1)!k−rrk−rr⎟(1−p)p=(1−p)p，证：若X ~ Nb (r, p)，有p(k)=⎜⎜r−1⎟(r−1)!⋅(k−r)!⎝⎠故p(k)−p(k−1)=(k−1)!(k−2)!(1−p)k−rpr−(1−p)k−r−1pr (r−1)!⋅(k−r)!(r−1)!⋅(k−r−1)! =(k−2)!(1−p)k−r−1pr[(k−1)(1−p)−(k−r)] (r−1)!⋅(k−r)!(k−2)!(1−p)k−r−1pr[(r−1)−(k−1)p]，(r−1)!⋅(k−r)!=当k<1+r−1r−1时，有p (k) > p (k − 1)；当k>1+时，有p (k) < p (k − 1)． pp如果⎡r−1⎤r−1不是正整数，取k0=1+⎢⎥， pp⎣⎦r−1r−1，即p (k0) > p (k0 − 1)；且k0+1>1+，即p (k0 + 1) < p (k0)． pp有k0<1+ 故p (k0) 为最大值．如果r−1r−1是正整数，取k0=1+，即p (k0) = p (k0 − 1)， pp故p (k0) 和p (k0 − 1) 都是最大值．负二项分布Nb (r, p) 的数学期望为⎛k−1⎞pr+∞pr+∞dr(qk)k−rrk−rE(X)=∑k⋅⎜⎜r−1⎟⎟(1−p)p=(r−1)!∑k(k−1)L(k−r+1) q=(r−1)!∑dqr k=rk=rk=0⎝⎠+∞prdr=⋅r(r−1)!dq又因 prdrq=⋅r∑(r−1)!dqk=0+∞k⎛1⎞prr!r⎟⎜=⋅=⎜1−q⎟(r−1)!(1−q)r+1p．⎠⎝+∞+∞⎛k−1⎞⎛k−1⎞⎛k−1⎞k−rrk−rrk−rr2⎟⎜⎟⎜⎟−=+⋅−−⋅−ppppkppkkE(X)=∑k⋅⎜(1)(1)(1)()∑∑⎜r−1⎟⎜r−1⎟⎜r−1⎟k=rk=rk=r⎝⎠⎝⎠⎝⎠2+∞2 pr+∞pr+∞dr+1(qk+1)rk−r=−(k+1)k(k−1)L(k−r+1)q−E(X)=∑∑r+1p(r−1)!k=r(r−1)!k=0dqprdr+1=⋅(r−1)!dqr+1∑qk=0+∞k+1prrdr+1−=⋅p(r−1)!dqr+1⎛q⎞rpr(r+1)!r⎟⎜−−=⋅⎜1−q⎟p(r−1)!(1−q)r+2p ⎠⎝=故方差为r(r+1)−rp， 2pr2+r−rp⎛r⎞r(1−p)⎜⎟−．Var(X)=E(X)−[E(X)]==⎜22⎟pp⎝p⎠222§2.5 常用连续分布2.5.1.均匀分布一．均匀分布的密度函数和分布函数某些随机变量分布在一个区间内，且其中处处都是等可能的．定义若连续型随机变量X的密度函数为⎧1⎪,a<x<b,(a < b)，p(x)=⎨b−a⎪其它.⎩0,则称X服从区间 (a, b) 上的均匀分布（Uniform Distribution），记为X ~ U (a, b)．其分布函数为。

概率论与数理统计考研辅导讲义白云霄第一章 随机事件及其概率1、随机事件、样本空间、概率的定义例1. 写出下列试验的样本空间与事件A 的样本点1． 同时掷两颗骰子，记录其点数之和；A ：点数之和为偶数 2． 相继掷两次硬币。

A ：第一次出现正面3． 研究甲、乙两件产品的销售状况（畅销、滞销） 4． 经过三个十字路口遇到红灯的个数2、事件的关系及其运算例2设A,B 是任意两个随机事件，则()()()(){}______=++++B A B A B A B A P 例3设,,A B C 为三个事件，试将下列事件用,,A B C 表示出来： （1） A 发生，B 与C 不发生 （2） A ，B ，C 至少有一个发生 （3） A ，B ，C 恰好有一个发生 （4） A ，B ，C 至少有一个不发生 （5） A ，B ，C 最多有一个不发生（6）A 不发生，B ，C 中至少有一个发生3、概率的计算方法有：古典概率、加法公式、乘法公式、 条件概率、全概公式及逆概公式、二项公式 1． 古典概型 I 取次品例1一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取4个，求：（1） 只有一件次品的概率；（2）至多一个次品的概率；（3）至少一个次品的概率。

例2袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有两个人依次随机的从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是? II 排数字例3从1，2，3，4中任意选出三个不同的数字形成三位数，求此三位数大于300的概率。

例4一个三位数由1，2，3，4中的三个数字形成（个、十、百位可以相同），求此三位数大于300的概率。

例5 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率 III 质点入盒例6将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各是多少？例7设将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随意地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为?IV 配鞋子例8从5双不同大小的鞋中取出4只，求： （1） 刚好是两双的概率；（2）不配队的概率 V 几何概型例9设,x y 在[0，1]随机取值，求 （1）(1)P x y +<；（2）1()4P xy <例10某码头上只能容一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内随机到达， 如他们需要停靠的时间为3小时，求一船要在江中等待的概率。

重庆市考研数学复习资料概率论与数理统计重点知识点梳理概率论与数理统计是考研数学中的一个重要模块，对于考生来说，掌握好这部分知识点非常关键。

下面将从概率论和数理统计两个方面，对重庆市考研数学复习资料中的重点知识点进行梳理和总结。

一、概率论1. 随机事件和随机变量在概率论中，随机事件和随机变量是两个基本概念。

随机事件是指随机试验中的某种结果（样本点）的集合，而随机变量是随机试验结果的数值描述。

2. 概率的定义和性质概率是对随机事件发生可能性的度量，可以通过频率或者几何概率进行计算。

概率具有加法公式、乘法公式、互斥事件概率等性质。

3. 条件概率和独立性条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。

独立事件是指两个事件发生与否互不影响。

4. 随机变量的概率分布随机变量可以是离散型的或者连续型的。

离散型随机变量的概率分布可以通过概率质量函数来描述，连续型随机变量的概率分布可以通过概率密度函数来描述。

5. 数学期望和方差数学期望是对随机变量平均值的度量，方差是对随机变量离散程度的度量。

可以通过定义式或者性质进行计算。

二、数理统计1. 参数估计参数估计是指根据样本数据来估计总体参数的值。

常用的估计方法包括矩估计和最大似然估计。

2. 假设检验假设检验是根据样本数据对总体参数提出的某种假设进行推断的方法。

常用的假设检验方法有单样本均值检验、方差检验和两样本均值检验等。

3. 方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个总体均值差异的统计推断方法。

可以通过检验组间离散度与组内离散度的比值来判断均值是否有显著差异。

4. 相关与回归分析相关分析用于研究两个变量之间的相关关系，回归分析则用于建立两个变量之间的数学模型。

5. 非参数统计方法非参数统计方法是在对总体分布进行假设的基础上，利用样本数据进行统计推断的方法。

常用的非参数方法有秩和检验、卡方检验和符号检验等。

综上所述，概率论与数理统计是重庆市考研数学复习中的重点知识点。