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考研概率与数理统计第一章 随机事件和概率第一节 基本概念例题例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。
例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。
若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A ． 315个B ． 316个C ． 317个D ． 318个例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。
例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。
09年考研心理学专业基础综合测试大纲解析09年心理学专业基础综合考试大纲沿袭了08年的知识体系与框架，仅有三处具体的知识点有细微的调整：第一处是普通心理学第十二章人格中的第一节“人格概述”，删去了原有的“人格的结构”这一知识点;第二处是实验心理学第二章心理学实验的变量与设计中的第四节“实验研究的效度”，新增了“构思效度(也叫构想效度)”与“统计结论效度”两个知识点，删去了原有的“内部效度的影响因素”和“外部效度的影响因素”两个知识点;第三处是实验心理学第五章主要的心理学实验中的第五节“记忆实验”，新增了“错误记忆的实验”一个知识点。
发展与教育心理学、心理统计与测量没有知识点的调整。
深入分析大纲的这些安排及调整，我们有如下的发现：首先，08年的大纲相对是比较成熟的，它的框架和结构是非常合理的，因此09年的大纲完全尊重了08年的体系。
这就提醒广大的考生们，心理学专业课的重心内容并没有发生变化，依然非常强调基本概念和基本理论的理解与应用!其次，大纲在不断追求结构上的合理性。
比如，普通心理学中删除了“人格的结构”这一知识点，人格的结构最核心的部分是气质与性格，而本章第三节和第四节分别会对气质和性格展开更为详细的介绍，因此单独列出“人格的结构”这一点就显得不是特别必要，故而09年大纲将其删除。
再比如，实验心理学的实验研究效度部分新增了两个知识点后，就将原有的“内/外部效度的影响因素”删除，更多是为了章节结构的合理性考虑，实际上是删除了名称但没有删除内容，相当于把影响因素融入到了内/外部效度的概念当中去了，因此在学习内/外部效度时，还是要考虑其影响因素的!故而提醒广大考生，当出于大纲结构的合理性而调整知识点时，并不代表某个知识点不重要了，而是很有可能要融合在其他知识点中考察!第三，大纲对研究领域中不断出现的热门话题有较高的关注!实验心理学中新增了三个知识点：构思效度、统计结论效度、错误记忆的实验。
其实这三个知识点并不新，比如错误记忆早在50年前就有学者研究，但最近几年才进入我国学者的视野，并逐渐受到较多的关注。
【海文考研数学】：概率论基础知识归纳 第四章一 数学期望§4.1.1离散型随机变量的数学期望例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下： 该班同学的平均年龄为：若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为如果级数绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)=意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：问谁的平均中环数高？ 解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+90.1+10 0.6=9.3乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。
例3：设 ，求E(X) 解：由于，其分布律为，k=0,1,2…,所以例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？解：令X表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。
X的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为由于,求导数将x=0.8代如上式，便得将此结果代入原式便得：（次）§4.1.2连续型随机变量的数学期望绝对收敛，则称此积分为X的数学期望，记为E(X)，即，例7：设风速V是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：这里a,k均为已知正数。
试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。
W的分布函数为两边求导，使得进而便可求得W的数学期望由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度ƒw(z)，而根据V的概率密度ƒv(v)也可直接求出W 的数学期望值，即§4.1.3随机变量函数的数学期望值1.一维随机变量函数的数学期望定理1：设X为随机变量，Y=g(X),(1)如果X，且级数(2)如果Xƒ(X)，且积分绝对收敛，则有证略解：例9：设 ，求解：（令 m=k-2）例10：设 ，求解：由于X 的概率密度为 于是例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X （单位：吨），且已知，并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？解：设a 为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y 为国家收益，于是Y 是X 的函数，即其概率密度为令解得 a=3500（吨）但 ，故E(Y)在a=3500时，E （Y ）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。
2009年考研数学内部讲义概率论与数理统计编讲 汪宏喜安徽农业大学2008年5月第三部分 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验考试要求1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握计算概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．• 考试内容解析 •一、随机事件与样本空间1．随机试验E ：⎪⎩⎪⎨⎧)()3()()2()(,)1(随机性知每次试验的结果事先未多样性先已知试验所有的可能结果事统计性可重复进行试验在相同的条件下２．样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间．记为Ω={ω}．Ω中的元素ω称为样本点，也即E 的基本事件．３．随机事件：试验E 的结果称为E 的随机事件．记为A 、B 、C 等．(1)基本事件：E 的事件中不能再分解成其它事件的最简单的事件称基本事件;(2)必然事件与不可能事件：每次试验E 中必然发生的事件为必然事件，记为Ω; 每次试验E 中一定不发生的事件称不可能事件，记为∅．4．事件间的关系和运算事件的关系有：包含、相等、不相容、对立；事件间的运算有：并(和)、差、交等． (1)包含：如果事件A 发生必然导致B 发生,则称事件B 包含事件A ,记作A ⊂B 或B ⊃A ． (2)相等：如果A ⊂B 且B ⊂A ,则称事件A 与B 相等．记作A =B ．(3)不相容：如果事件A 与事件B 不可能同时发生, 即∅=B A I ，则称事件A 与事件B是互不相容(或互斥)．(4)对立：如果事件A 与事件B 满足：Ω=∅=B A B A U I ②;①．即事件A 与事件B 必发生其一，但不能同时发生．则称事件A 与事件B 是互逆事件，或者说A 与B 为对立事件，记为B A =(或A B =)．注：两个互相对立的事件A 与一定为不相容事件,但是两个不相容事件未必是对立事件．(5)并(和)：如果事件A 与事件B 至少有一个发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的并(或和), 记作A ∪B 或A +B ．(6)差：如果事件A 发生而事件B 不发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的差, 记作A -B 或A \B ．(7)交：如果事件A 与事件B 同时发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的交,记作A ∩B 或AB ．(8)完全事件组：如果事件A 1，A 2，…，A n ，…两两互不相容，且每次试验中必出现一个且只出现一个,则称A 1，A 2，…，A n ，…构成完备事件组．完全事件组可以是有限的,也可以是无限的．完全事件组也称为样本空间Ω的一个划分．4．事件运算的性质对于任意事件A ，B ，C ， A 1，A 2，…，A n ，…，有 (1)交换律：A +B =B +A ；AB =BA ．(2)结合律：A +B +C = (A +B )+C =A +(B +C )；ABC =(AB )C =A (BC )．(3)分配律：A (B +C )=AB +AC ；A (B -C )=AB -AC ；i ii iAA A A U U =)(．(4)对偶律：i ii ii ii iA A A A ，AB ，B A U I I U ==+==+,．5．事件与集合由于事件是样本空间的子集，因此事件的关系与运算可以用集合的文氏图形象地表示出来，如图1．1二、事件的概率概率是事件出现可能性大小的度量,用P (A )表示事件A 的概率．如用{…}表示事件,其中大括号内用文字或式子描述事件的内容,则以P {…}表示其概率．1．概率的概念在一个随机试验中,对于每一个事件A ,都有唯一的实数P (A )和它对应,且P (A )是满足下列条件的事件A 的函数：(1)非负性：P (A )≥0；(2)规范性：对于必然事件，有P (Ω)=1；(3)可列可加性：对于两两互不相容的事件A 1，A 2，…,A n ，…,有∑=ii i iA P A P )()(U ．∅=B A I 图1.1AB A −ΩB A ⊂BAB A U B A I2．概率的基本性质 (1)P (∅)=0;(2)有限可加性：设事件A 1，A 2，…,A n 两两互不相容,则∑===ni i i ni A P A P 11)()(U ;(3)对于两个事件A 与B ,如果B A ⊂,则P (A -B )=P (A )-P (B )． 特别地,由于P (Ω)=1,故而有()1()P A A =−．3．古典型概率如果一个随机试验的结果只有有限个,且每个结果出现的概率都相同,则称这样的试验为古典型概率．对于此类试验中的事件A ,其概率可以如下计算：nn A A P A=Ω=中所含样本点的个数中所含样本点的个数)(． 4．几何型概率如果随机试验的样本空间Ω是一个区域,并且任一点落在任意两个长度(面积、体积)相同的子区域内是等可能的，则事件A 的概率为)()()(或面积或体积长度的或面积或体积长度的Ω=A A P ．5．条件概率对于任意两个事件A 和B ,其中P (A )>0,则事件B 在事件A 发生的条件下的条件概率定义为：)()()|(A P AB P A B P =注：可以验证,对于给定的事件A ,条件概率)|(A B P 具有概率的一切性质． 6．计算概率的几个公式(1)加法公式：对于任意事件A ，B ，C ，有P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )．P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (AC )-P (BC )+P (ABC )．上式可以推广至多个事件的情形,即为一般的加法公式． (2)减法公式：对于任意两个事件A ，B ，有P (A -B )=P (A )-P (AB )．(3)乘法公式：对于任意两个事件A ，B ，则有()()(|)(()0)P AB P A P B A P A =>或()()(|)(()0)P AB P B P A B P B =>一般地，对任意三事件A 、B 、C ,则()()(|)(|)P ABC P A P B A P C AB =．对于n 个事件A 1，A 2，…,A n ，若P (A 1A 2…A n -1)>0,则P (A 1A 2…A n )= P (A 1)P (A 2|A 1)…P (A n | A 1A 2…A n -1)(4)全概率公式：设A 1，A 2，…,A n ，…,是一个完全事件组，且P (A i )>0,则对任意B ,有∑==ni i i A B P A P B P 1)|()()((5)贝叶斯公式：设A 1，A 2，…,A n ，…,是一个完全事件组，且P (A i )>0,则对任意B (P (B )>0),有),,2,1()|()()|()()()()|(1n i A B P A P A B P A P B P B A P B A P nj jji i i i L ===∑=三、事件的独立性与独立重复试验1．独立事件(1)两个事件独立：对于两个事件A 与B ，如果P (AB )=P (A )P (B ),则称事件A 与B 独立． 如果事件A 与B 独立,则事件B A B A B A 与与与,,也独立．(2)多个事件的的相互独立：对于任意n 个事件A 1，A 2，…,A n ，如果其中任意两个事件均相互独立,即对任意n j i ≤<≤1,有)()()(j i j i A P A P A A P =,则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 两两独立;如果其中任何k n k ≤≤2()个事件：),1(,,,2121n i i i A A A k i i i k ≤<<<≤L L 均有),()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P L L =则称A 1，A 2，…,A n 相互独立． 2．独立试验(1)独立试验：两个或两个以上试验为相互独立的,如果与各试验相联系的事件之间相互独立．(2)独立重复试验：在两个或多个独立试验中,如果同一事件在各个试验中出现的概率相同,则称它们是独立重复试验．(3)伯努利试验：如果试验结果只有A 与A 两个结果,则称之为伯努利试验．将一伯努利试验独立重复进行n 次,则称为n 重伯努利试验．设在每次试验中P (A )=p (0<p <1),则在n 重伯努利试验中,事件A 出现k 次的概率为kn k p p k n p n k b −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=)1(),;( 此公式称为二项概率公式．• 例题讲解 •例1．已知A 、B 、C 为任意三个随机事件,则P [(A +B )(A -C )]等于( ))()()()()()()()()()()()()()()()()(AC P A P D ABC P AC P A P C ABC P AB P AC P A P B ABC P AB P AC P A P A −+−−−+−+−解:例2．设三个非空事件A ,B ,C 是完备事件组,则不能得出结论的是( )∅=∅=D C C B A B C A C B B A A )()()(,)(,,)(U 为对立事件两两互斥解:例3．设随机事件A 与B 互不相容,则下列选项中不正确．．．的是( ) ()()()()()])([()()()()()(1)()()()(B A P A P B A P D A P B A B A P C B P A P B A P B B A P A P B A P A U U U −=−=−−=−−+=−解:例4．)(),|()|(,1)(0,,则若有为两事件设B A P B A P B P B A =<<B A D B P A P AB PC B A B AB A ⊃==∅=)()()()()()()(解:例5．)()|(,1)(,0)(,,,=≠>C AB P C P ABC P C B A 与为三个随机事件已知)|()()()()()()()()|()|()()|()|()()|()|(C B P AC P ABC P D B P A P AB P C AC B P C B P B BC A P C A P A C B P C A P ====不等价的是 解:例6．)(,32)(,41)|()|(则设===A P A B P B A P)|()|(,)(127)(,)()()(,)(125)(,)(B A P B A P B A D B A P B A C B P A P B A B B A P B A A ====且不独立与且不独立与且独立与且独立与U U解:例7．设有两个事件A , B , 0<P (A )<1, 0<P (B )<1, 则( )一定相容则不独立若一定互斥则不独立若一定相容则独立若不相容一定互斥则独立若B A B A D B A B A C B A B A B B A B A A ,,,)(,,,)(,,,)()(,,,)(解:例8．商店销售10台电视机,其中有7台一级品,3台二级品,已买出一台,在其余的9台中 任取2台发现均为一级品,则买出的那一台也是一级品的概率为( )107)(105)(87)(85)(D C B A 解:例9．.____)|(,2.0)(,6.0)(,3.0)(,,====B A P AB P B P A P B A 则是两个随机事件设 解:例10．已知11()()(),()0,()()416P A P B P C P AB P AC P BC ======，则事件,,A B C 全不发生的概率为 .解: 从P (AB )=0，可知P (ABC )=083)(1)()(8501611*********)()()()()()()()(=−===+−−−++=+−−−++=C B A P C B A P C B A P ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P U U U U U U 则图1.2例11．袋中有五张卡片，每张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从中无放回地随机抽取三张卡片，则取到的三卡片中最大的数与最小的数之差等于3的概率是 .解:例12．在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于21的概率为 . 解: 这是一个几何概型,设x ,y 为所取的两个数,则样本空间为1{(,)|0,1},{(,)|(,),||}.2334(),,.14A A x y x y A x y x y x y S P A S S A S ΩΩΩ=<<=∈Ω−<===Ω记故其中分别表示和的面积 例13.(练习)设甲,乙两约好8:00—9:00在某地方会面,约定先到者等候20分钟,过了时间就离开,则两人能够会面的概率 .(95)例14．从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X L 中任取一个数，记为Y ，则P {Y =2}= .解:由于事件{X =1}，{X =2}，{X =3}，{X =4}是一个完备事件组，且1{},1,2,3,44P X i i ===. 1{2|1}0,{2|},2,3,4P Y X P Y X i i i=======,根据全概率公式41{2}{}{2|}i P Y P X i P Y X i ======∑111113(0).423448=+++=例15．(练习)设袋中装有m 枚正品硬币,n 枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),在袋中任取一枚硬币投掷r 次,已知每次都是国徽,则这枚硬币是正品的概率为r n m m2⋅+.例16．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为 .解:这是一个4重伯努利试验概型，设试验的成功率即射手的命中率为p ，则进行四次独立地射击，事件“四次均不中”的概率为4(1)p −，它是“至少命中一次”的对立事件. 依题意48012(1)11.8133p p p −=−⇒−=⇒= 例17．(练习)现进行一系列独立重复试验，成功两次之前失败两次的概率为163，则成功三次之前失败三次的概率 . (325) 注：（07，4 分）某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为p （0<p <1）,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）（A ）3p (1-p )2 （B ）6p (1-p )2. （C ）3p 2 (1-p )2 （D ）3p 2 (1-p )2.解:第4次射击恰好第二命中表示4次射击中第4次命中目标，前三次射击有1次命中目标.由独立重复性知所求的概率为: 2213)1(p p C − 应选（C ）.例18．(摸球问题)袋中有a 只黑球，b 只白球，它们除颜色不同外，其它方面没有区别.现将球随机地一只只摸出来，求第k 次摸出的球是黑球的概率(b a k +≤≤1).解法1 把a 只黑球b 只白球视为不同的(如设想把它们编号)，若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b 个位置上，则基本事件总数就是a+b 个相异元素的全排列 (a+b )!.若记k A 为“第k 次摸出黑球”，这相当于在第k 个位置上放一黑球，在其余的(a+b -1)个位置上放另外的(a+b -1)个球.所以，k A 包含的基本事件个数为)!1(−+⋅b a a .故所求概率为ba ab a b a a A P k +=+−+⋅=)!()!1()(.解法2 还是将球视作各不相同的，只考虑前k 次摸球.此时样本空间包含的基本事件总数为kb a A +.而k A 这个事件相当于在第k 个位置上放一只黑球(有a C a =1种放法)，在其余k -1个位置上摆放从余下的a+b -1只球中任意取出的k -1只球(有11−−+k b a A 种放法)，总共有11−−+⋅k b a A a 种.故所求概率为b a a A A a A P kba kb a k +=⋅=+−−+11)(. 这个结果与k 无关.也就是说，不管先后次序，不管是放回还是不放回抽样，抽取到黑球的概率都是ba a+，这与我们平常生活经验是一致的.例如在体育比赛中的抽签，摸彩票等等，机会均等且与先后次序无关.例19．(分房问题) 有n 个人每个人都以同样的概率N1被分在)(N n N ≤间房中的每一间中(每间容量不限).试求下列各事件的概率：(1)A ：某指定n 间房中各有一人； (2)B ：恰有n 间房，其中各有一人；(3)C ：某指定房间中恰有)(n m m ≤人.解 由于每一个人可被分配到N 间房中任意一间，所以基本事件总数相当于从N 个元素中选取n 个重复排列数，即为nN ，事件C B A ,,包含的基本事件数分别为m n mn C nN B A N C m n C m n m −−=⋅==)1(,!,!.于是(1)n Nn A P !)(=；(2)n nN N n C B P !)(⋅=；(3)m n mm n nm n mn N N C NN C C P −−−=−=)11()1()1()(.注：某班共40个同学，求该班“没有任何两人生日相同”的概率(生日相同指几月几日出生相同)。
2025年考研概率论知识点重点解析对于准备 2025 年考研的同学来说，概率论是数学考试中不可或缺的一部分。
掌握好概率论的知识点，不仅能够在考试中取得优异的成绩，也为后续的学习和研究打下坚实的基础。
下面，我们就来详细解析一下 2025 年考研概率论的重点知识点。
一、随机事件与概率这是概率论的基础部分。
首先要理解随机事件的概念，包括必然事件、不可能事件和随机事件。
对于概率的定义，要熟悉古典概型和几何概型的计算方法。
在计算概率时，要注意区分排列组合的运用。
互斥事件和对立事件是常考的知识点。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生，而对立事件则是互斥事件的特殊情况，即除了这两个事件外，没有其他可能的结果。
条件概率也是重点之一，要掌握条件概率的计算公式以及乘法公式和全概率公式的应用。
二、随机变量及其分布随机变量是将随机试验的结果数值化，分为离散型随机变量和连续型随机变量。
对于离散型随机变量，要熟悉常见的分布，如二项分布、泊松分布等，掌握它们的概率质量函数、期望和方差的计算。
连续型随机变量则要重点掌握正态分布，理解正态分布的概率密度函数的性质，以及标准正态分布与一般正态分布的转换。
此外，均匀分布和指数分布也是常见的考点。
在求随机变量的函数的分布时，要掌握分布函数法和公式法。
三、多维随机变量及其分布这部分内容相对较难，需要理解多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的概念和关系。
对于二维正态分布，要掌握其性质和相关计算。
独立性是多维随机变量的重要概念，要能够判断两个随机变量是否独立，并利用独立性简化计算。
四、随机变量的数字特征期望和方差是最基本的数字特征，要熟练掌握它们的性质和计算方法。
对于常见分布的期望和方差，要能够直接运用公式计算。
协方差和相关系数用于描述两个随机变量之间的线性关系，要理解它们的定义和性质，以及与独立性的关系。
矩和中心矩也是可能考查的知识点，要了解它们的概念。
五、大数定律和中心极限定理大数定律说明了在大量重复试验中，随机变量的平均值趋近于期望值。
王式安1987年概率题王式安1987年概率题是一道经典的数学问题，深受学生和数学爱好者的喜爱。
这道题目引发了人们对概率和统计的深入思考，并且也展示了王式安教授在数学领域的杰出贡献。
题目的具体内容如下：假设有一个箱子，里面装有5个红球和7个白球。
现在将球一个一个地取出，但在取出之前，我们需要做一个随机选择，选择一个球的颜色，然后将选择的球取出，不放回。
那么，在取出3个球之后，其中正好有2个是红球的概率是多少？这道题目涉及到了概率计算以及条件概率的概念。
我们先来分析一下解题过程。
首先，我们需要计算在取出3个球之后，其中正好有2个是红球的情况。
这个问题可以分为两种情况：第一种情况是前两个球是红球，第三个球是白球；第二种情况是前两个球是白球，第三个球是红球。
对于第一种情况，我们需要计算的概率是：取出红球的概率乘以取出红球的概率乘以取出白球的概率。
对于第二种情况，我们需要计算的概率是：取出白球的概率乘以取出白球的概率乘以取出红球的概率。
将这两种情况的概率相加，即可得到取出3个球之后，其中正好有2个是红球的概率。
具体计算如下：第一种情况的概率：(5/12) * (4/11) * (7/10) = 14/110第二种情况的概率：(7/12) * (6/11) * (5/10) = 35/220两种情况的概率相加：14/110 + 35/220 = 49/220所以，取出3个球之后，其中正好有2个是红球的概率是49/220。
这道题目展示了概率计算的基本原理，以及如何利用条件概率解决实际问题。
王式安教授以其出色的解题能力和深厚的数学功底，为数学领域做出了重要贡献。
这道题目也成为了数学竞赛和考试中常见的题型，帮助学生提高他们的数学思维和解题能力。
对话海文名师王式安教授——原命题组组长谈09数学概率论复习完美攻略主持人：今天我们非常荣幸的请到了海文考研名师—王式安教授。
王式安教授在1987至2001年担任全国研究生入学考试数学命题组组长，教育部考试中心资深顾问专家，长期主持研究生入学考试数学。
原北京理工大学研究生院院长、应用数学系系主任，教授，享受国务院特殊津贴的数学专家。
美国哥伦比亚、南佛罗里达、纽约等大学的客座教授。
王老师是2004年中央电视台唯一采访的考研辅导名师！首先，请王教授为我们分析一下近年数学试卷的题型及其特点。
王式安：在硕士研究生入学考试的数学统考试卷中，尽管概率统计和线性代数所占分数比例完全相同（数一均为20分；数三、数四都是25分）。
但是概率论与数理统计部分得分一般均低于线性代数部分，更远远低于它在数学试卷中占的比例。
这一方面是因为大多数考生在复习和答卷时，把概率论与数理统计放在最后，常因时间紧迫，思虑不周而造成准备不充分，进而导致答卷失误。
还有些数一的考生根据几年以前的试题分析，认为数一的概率论与数理统计的考题比数三和数四的容易，但是他们忽略了近两、三年来，这一情况已经发生了改变，比如今年概率论与数理统计的两个大题，数一的得分率远远低于数三和数四的得分率；再一方面就是概率论与数理统计自身的特点，使一部分考生在复习时难得要领，与微积分和线性代数相比，概率论与数理统计所研究的不是确定性现象，而是随机现象。
因此，在学习方法上，它不但要求学生善于运用形式逻辑，而且必须掌握较强的直观分析技巧，这也就使得考生在复习和解题时感到困难。
从近几年的硕士研究生入学数学考试阅卷结果也可以看出，这部分试题得分率普遍较低，出于对这类题目的畏惧，有些考生甚至完全放弃这部分试题。
接下来，我帮助大家简单地分析一下概率论与数理统计的试题特点：从历年的考题来看，概率论与数理统计这部分内容考查单一知识点比较少，即使是填空题和选择题。
大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力，考生要能够灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。
一. 随机事件和概率 1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P Υ常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件A 的概率。
（2）古典概型（等可能概型）1° {}n ωωωΛ21,=Ω，2° nP P P n 1)()()(21===ωωωΛ。
设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωωΥΛΥΥ=)()()(21m P P P ωωω+++Λn m =基本事件总数所包含的基本事件数A = 2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B )=1- P(B)（3）条件概率和乘法公式定义 设A、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )()(A P AB P 。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
（4）全概公式设事件n B B B ,,,21Λ满足 1°nB B B ,,,21Λ两两互不相容，),,2,1(0)(n i B P i Λ=>，2°Υni iB A 1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。
