下载文档原格式
数学模型第五版课程设计一、前言数学模型课程是数学学科体系中的一门应用性课程，主要涉及数学知识在现实生活中的应用，帮助学生了解数学如何应用于实际问题中，提高学生的数学建模能力。
本次课程设计旨在通过实例，详细介绍数学模型的建立过程，并帮助学生熟悉数学模型的应用。
二、课程内容1. 前期准备在开始课程设计前，需要学生具备大学线性代数和微积分等基础数学知识，并具有一定的编程能力。
2. 数学模型的定义和建立过程2.1 数学模型的定义数学模型是指利用数学方法对实际问题进行抽象化和形式化处理，以得到问题的数学表示式和解法的方法。
2.2 数学模型的建立过程•确定问题：首先要确定需要解决的实际问题。
•收集数据：通过实验或调查等方式收集与问题相关的数据。
•建立方程或模型：根据数据和问题的特征，建立数学模型或方程。
•解决问题：利用已经建立的数学模型或方程，解决实际问题。
3. 数学模型在实际问题中的应用3.1 核电站事故模拟分析假设某核电站有2个反应堆，采用钴60俘获模型，模拟事故情况下反应堆的输出功率，进而分析事故对反应堆的影响。
假设第一个反应堆关闭，第二个反应堆失去控制，建立以下方程：$$\\frac{dP}{dt}=k_1(P_0-P)-k_2(cN_2-P)$$其中，P表示反应堆的输出功率，P0表示反应堆的初始功率，c表示钴60的俘获截面积，k1和k2代表两个反应的系数，N2代表第二个反应堆的中子数。
通过求解上述方程，可以得到反应堆的输出功率随时间变化的情况。
3.2 股票价格预测根据股票的历史价格数据，建立股票价格变化的数学模型，预测未来的股票价格走势。
假设已知若干个时刻的股票价格，建立以下方程：$$y_t = \\beta_0+\\beta_1x_1+\\beta_2x_2+…+\\beta_nx_n+e_t$$其中，y t表示第t个时刻的股票价格，x1、x2、…x n为若干个自变量（如前几个时刻的股票价格），$\\beta_i$为关于自变量的系数，e t为误差项。
数学模型第五版教学设计一、引言随着信息时代的到来，人们的思维方式也发生了改变。
人们面对的问题越来越复杂，过去简单的解决方法已经无法满足实际需要。
因此，数学模型的构建与求解成为了解决实际问题的一种重要方式。
数学模型是把实际问题抽象化、描述化、符号化、数学化以及综合化的过程，可以将人们遇到的实际问题转化为数学问题，进而得到数学解，并为实际问题提供更有效、更经济、更合理的解决方案。
《数学模型》是我国高校数学专业的一门重要的基础课程，它教授的是建立和分析实际问题的数学模型的方法和技术。
本教学设计参照《数学模型》第五版，从教学目标、教学内容、教学方法、教学评价、教学资源等方面探讨如何有效开展数学模型的教学。
二、教学目标本课程旨在培养学生掌握建立数学模型的方法、技巧和分析实际问题的能力，使学生能够1.掌握建立数学模型的基本方法和技巧；2.熟练掌握数学模型求解的基本方法和技巧；3.能够分析和评价数学模型的适用性和可靠性；4.能够应用所学知识发现和解决现实中的问题；5.培养学生的数学建模思维和创新意识。
三、教学内容1.数学模型的基本概念和基本方法。
2.常用数学模型的建立与求解。
3.数学模型的适用性和可靠性分析。
4.数学模型在实际中的应用。
四、教学方法1.讲授法：教师对理论知识进行讲解。
2.研究法：学生通过阅读教材和相关专业书籍，自主研究所学内容。
3.课堂案例分析：教师选取实际问题，引导学生进行建模思考和分析。
4.讨论法：教师通过提供案例，引导学生探讨数学模型的适用性和可靠性。
5.项目式教学：学生通过小组合作完成数学模型相关课程设计、研究报告等项目任务。
五、教学评价1.课堂表现：学生出勤情况、发言表现、思考和解答问题能力等。
2.作业评估：布置适当数量和难度的作业，考察学生对知识的理解和应用能力。
3.个人报告：要求每个学生或小组对所学内容进行归纳和整理，并展示给全班同学。
4.项目评估：对学生完成的项目进行评估，考察学生对数学模型的建立和分析能力。
第五章 种群增长种群数量大小和增长速度是种群生态学中的重要问题，也是社会极为关切的问题。
种群增长模型即是以数学模型定量描述种群数量的动态变化，重点是探讨哪些因素决定种群大小，哪些参数决定种群对自然和人为干扰的反应速度。
§1. 非密度制约的种群增长种群在“无限”的环境中，即假定环境中空间、食物等资源是无限的，因而种群数量的增长不受种群密度的限制，即非密度制约性增长（density-independent growth ），这类种群的增长呈指数增长（exponential growth ）。
在数学表达上，指数增长又与世代重叠与否有关，世代不重叠的种群增长为离散型增长，以差分方程描述，而世代重叠的种群增长为连续型增长，以微分方程描述。
一、世代不重叠种群的离散型指数增长模型假设：①种群增长是无限的；②世代不重叠；③没有迁出与迁入；④不具年龄结构，即各年龄组的出生率与死亡率均视为相等。
以N 表示种群数目（大小、密度），t 表示世代时间，λ表示周限增长率（即指种群在一个世代时间内的增长率）。
则 N t+1=λN 或 N t = N 0λt当λ>1时, N t+1 > N t , 种群增长；λ=1时，N t+1 = N t , 种群稳定；0<λ<1时，N t+1 < N t , 种群下降；λ= 0时，N t+1= 0，下一代灭绝。
二、世代重叠种群的连续型指数增长模型假设：①种群增长是无限的；②世代重叠；③没有迁入和迁出；④不具年龄结构（各年龄组出生率、死亡率均相等）。
r 为瞬时增长率（每员增长率或内禀自然增长率）：既不随时间而变化，又不受种群密度的影响，其最大值r m 是物种固有的受遗传特性控制的生殖潜能。
则：,1r d t dN N =即⎰⎰+=c r d t dN N 1当 t = 0 时，N o = e c ·c r · o = e c所以 N t = N o e r t当 r > 0时，N t > N o ，种群增长； ,ln c rt N rN dtdN t +==rtc c rt t e e eN ⋅==+r = 0时，N t = N o ，种群稳定；r < 0时，N t < N o ，种群下降。
数学模型实验5
一、实验项目：数据拟合原理与实现
二、实验目的和要求
a.学习数据拟合的原理
b.掌握有关拟合的命令和方法
三、实验内容
1、学习掌握用Matlab进行数据拟合polyfit:
polyval:
polyder: isqcurvefit:
isqnonlin:
2、对教材（第五版）中（P33）“评选举重总冠军”模型中三个模型的参数进
行计算。
要求：（1）对两个幂函数模型分别用两种方法，第一种是直接用所给数据，第二种是变化数据后用线性拟合。
（2）尝试用其他函数形式对数据进行拟合，如2次函数。
线性模型:
幂函数模型(一)
（1）
（2）
幂函数模型(二) （1）
（2）
二次函数模型。
如何建立数学模型及实例数学建模培训科研处数学建模小组第五章：如何建立数学模型怎样撰写数学建模的论文？1．什么是数学模型？数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
2．什么是数学建模?数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。
即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。
观点：“所谓高科技就是一种数学技术”注数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。
数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。
注数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。
3．数学建模的一般方法和步骤建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法：◆机理分析◆测试分析方法机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。
测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。
第五章1.（3）给定样条在左右端点的一阶导数的三次样条Matlab代码如下：M文件fun1_1.mx=[0,1,3,6,8,9];y=[-1,3,1,2,0,2,4,1];pp=csape(x,y,'complete'),pp.coefss=@(t,tj,c)c(1).*(t-tj).^3+c(2).*(t-tj).^2+c(3).*(t-tj)+c(4);d1s=@(t,tj,c)3.*c(1).*(t-tj).^2+2.*c(2).*(t-tj)+c(3);d2s=@(t,tj,c)6.*c(1).*(t-tj)+2.*c(2);d3s=@(t,tj,c)6.*c(1).*ones(size(t));for k=1:pp.piecesc=pp.coefs(k,:);u=x(k):.01:x(k+1);v=s(u,x(k),c);v1=d1s(u,x(k),c);v2=d2s(u,x(k),c);v3=d3s(u,x(k),c);plot(u,v,'k',u,v1,'k-.',u,v2,'k--',u,v3,'k:'),hold onendlegend('三次样条（给定样条在左右端点的一阶导数）','样条的一阶导函数',...'样条的二阶导函数','样条的三阶导函数');y1=[3,1,2,0,2,4];plot(x,y1,'ko'),hold off输出图像输出结果pp =form: 'pp'breaks: [0 1 3 6 8 9]coefs: [5x4 double]pieces: 5order: 4dim: 1ans =1.4903 -2.4903 -1.00003.0000-0.4879 1.9807 -1.5097 1.00000.1795 -0.9469 0.5580 2.0000-0.0157 0.6691 -0.2754 0-0.7874 0.5749 2.2126 2.0000计算结果说明该三次样条的分段多项式形式为32323232321.49032.490330.4879(1) 1.9807(1) 1.5097(1)10.1795(3)0.9469(3)0.5580(3)20.0157(6)0.6691(6)0.2754(6)0.7874(8)0.5749(8) 2.212,01,13()66,36,8x x x x x x x x x x x x x s x x x x x x --+--+---+---+-+--+-----+≤≤≤≤-+=≤≤≤≤,89(8)2x x ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪≤≤⎩-+ （4）给定样条在左右端点的二阶导数的三次样条 Matlab 代码如下： M 文件fun1_2.mx=[0,1,3,6,8,9];y=[0,3,1,2,0,2,4,0]; pp=csape(x,y,'second'),pp.coefss=@(t,tj,c)c(1).*(t-tj).^3+c(2).*(t-tj).^2+c(3).*(t-tj)+c(4); d1s=@(t,tj,c)3.*c(1).*(t-tj).^2+2.*c(2).*(t-tj)+c(3); d2s=@(t,tj,c)6.*c(1).*(t-tj)+2.*c(2); d3s=@(t,tj,c)6.*c(1).*ones(size(t)); for k=1:pp.piecesc=pp.coefs(k,:);u=x(k):.01:x(k+1);v=s(u,x(k),c); v1=d1s(u,x(k),c);v2=d2s(u,x(k),c);v3=d3s(u,x(k),c); plot(u,v,'k',u,v1,'k-.',u,v2,'k--',u,v3,'k:'),hold on endlegend('三次样条（给定样条在左右端点的二阶导数）','样条的一阶导函数',... '样条的二阶导函数','样条的三阶导函数'); y1=[3,1,2,0,2,4]; plot(x,y1,'ko'),hold off输出图像输出结果pp =form: 'pp'breaks: [0 1 3 6 8 9]coefs: [5x4 double]pieces: 5order: 4dim: 1ans =0.5134 0 -2.5134 3.0000-0.4018 1.5402 -0.9732 1.00000.1754 -0.8706 0.3661 2.0000-0.0741 0.7084 -0.1204 0 -0.0880 0.2639 1.8241 2.0000计算结果说明该三次样条的分段多项式形式为3323232320.5134 2.513430.4018(1) 1.5402(1)0.9732(1)10.1754(3)0,01,13().8706(3)0.3661(3)20.0741(6)0.7084(6)0.1204(6)0.0880(8)0.2639(8) 1.8241,36,6(8x x s x x x x x x x x x x x x x x x x x -+--+---+---+-+--+-----+-+≤≤≤≤=≤≤≤≤-,898)2x ⎧⎪⎪⎪⎨≤≤+⎪⎪⎪⎩ （5）按照非结点方法得到的三次样条 Matlab 代码如下： M 文件fun1_3.mx=[0,1,3,6,8,9];y=[3,1,2,0,2,4]; pp=csape(x,y,'not-a-knot'),pp.coefss=@(t,tj,c)c(1).*(t-tj).^3+c(2).*(t-tj).^2+c(3).*(t-tj)+c(4); d1s=@(t,tj,c)3.*c(1).*(t-tj).^2+2.*c(2).*(t-tj)+c(3); d2s=@(t,tj,c)6.*c(1).*(t-tj)+2.*c(2); d3s=@(t,tj,c)6.*c(1).*ones(size(t)); for k=1:pp.piecesc=pp.coefs(k,:);u=x(k):.01:x(k+1);v=s(u,x(k),c); v1=d1s(u,x(k),c);v2=d2s(u,x(k),c);v3=d3s(u,x(k),c); plot(u,v,'k',u,v1,'k-.',u,v2,'k--',u,v3,'k:'),hold on endlegend('三次样条（非结点方法）','样条的一阶导函数',... '样条的二阶导函数','样条的三阶导函数'); plot(x,y,'ko'),hold off输出图像输出结果pp =form: 'pp'breaks: [0 1 3 6 8 9]coefs: [5x4 double]pieces: 5order: 4dim: 1ans =-0.3240 2.1291 -3.8052 3.0000-0.3240 1.1573 -0.5188 1.00000.1633 -0.7864 0.2229 2.0000-0.0700 0.6833 -0.0866 0-0.0700 0.2633 1.8066 2.0000计算结果说明该三次样条的分段多项式形式为32323232320.3240 2.1291 3.805230.3240(1) 1.1573(1)0.5188(1)10.1633(3)0.7864(3)0.2229(3)20.0700(6)0.6833(6)0.0866(6)0.07,01,13(),36,600(8)0.2633(8)8x x s x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+--+---+---+-+-≤≤≤≤=-+----+≤≤-≤≤-,81.8066(8)29x x ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪≤≤⎩+-+ （6）周期的三次样条 Matlab 代码如下： M 文件fun1_4.mx=[0,1,3,6,8,9];y=[3,1,2,0,2,4]; pp=csape(x,y,'periodic'),pp.coefss=@(t,tj,c)c(1).*(t-tj).^3+c(2).*(t-tj).^2+c(3).*(t-tj)+c(4); d1s=@(t,tj,c)3.*c(1).*(t-tj).^2+2.*c(2).*(t-tj)+c(3); d2s=@(t,tj,c)6.*c(1).*(t-tj)+2.*c(2); d3s=@(t,tj,c)6.*c(1).*ones(size(t)); for k=1:pp.piecesc=pp.coefs(k,:);u=x(k):.01:x(k+1);v=s(u,x(k),c); v1=d1s(u,x(k),c);v2=d2s(u,x(k),c);v3=d3s(u,x(k),c); plot(u,v,'k',u,v1,'k-.',u,v2,'k--',u,v3,'k:'),hold on endlegend('三次样条（周期的）','样条的一阶导函数',... '样条的二阶导函数','样条的三阶导函数'); plot(x,y,'ko'),hold off输出图像输出结果pp =form: 'pp'breaks: [0 1 3 6 8 9]coefs: [5x4 double]pieces: 5order: 4dim: 1ans =1.9961 -3.7833 -0.2127 3.0000-0.5296 2.2048 -1.7912 1.00000.1754 -0.9728 0.6728 2.00000.0537 0.6061 -0.4272 0-1.5706 0.9285 2.6421 2.0000计算结果说明该三次样条的分段多项式形式为32323232321.9961 3.78330.212730.5296(1) 2.2048(1) 1.7912(1)10.1754(3)0.9728(3)0.6728(3)20.0537(6)0.6061(6)0.4272(6)1.570,01,13(),36,686(8)0.9285(8)2x x x x x x x x x x x x x s x x x x x x --+--+---+---+-+-+-----+-≤≤≤≤=≤≤≤≤+,8.6421(8)92x x ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪≤≤⎩-+ 2.（1）多项式插值 Matlab 代码如下： M 文件polyinterp.mfunction yi=polyinterp(x,y,xi) n=length(x);m=length(xi); for k=1:m z=xi(k);s=0; for i=1:n p=1; for j=1:n if j~=ip=p*(z-x(j))/(x(i)-x(j)); end end s=p*y(i)+s; end yi(k)=s; endM 文件fun2_1.mx=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];y=[0,1.8,2.2,2.7,3.0,3.1,2.9,2.5,2.0,1.6]; z=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];xi=-1:.01:16;yi=zeros(size(xi));zi=zeros(size(xi)); figure(1) for k=1:10w=zeros(1,10);w(k)=w(k)+1; wi=polyinterp(x,w,xi); yi=yi+y(k).*wi;subplot(5,2,k),plot(x,w,'ko',xi,wi,'k'),axis([-1,16,-1,3]) end figure(2) for k=1:10w=zeros(1,10);w(k)=w(k)+1; wi=polyinterp(x,w,xi);zi=zi+z(k).*wi;subplot(5,2,k),plot(x,w,'ko',xi,wi,'k'),axis([-1,16,-1,3])endfigure(3)plot(x,y,'ko',xi,yi,'k'),hold onplot(x,z,'ko',xi,zi,'k'),hold offaxis([-1,16,-1,5])title('Lagrange插值多项式')gtext('L_16(x)=1.8*I_1+2.2*I_2+2.7*I_3+3*I_4+3.1*I_5+2.9*I_6+2.5*I_7+2*I_8+1.6*I_9'); gtext('R_16(x)=1.2*I_1+1.7*I_2+2.0*I_3+2.1*I_4+2*I_5+1.8*I_6+1.2*I_7+1*I_8+1.6*I_9');输出图像Figure 1Figure 2Figure 3由Figure 1和Figure 2可以看出多项式插值波动幅度过大，不能用来求截面面积。
数学建模第五版教学设计一、课程简介本课程是针对大学本科生开设的数学建模课程，旨在培养学生的数学思维、计算机编程能力和实际问题解决能力。
学习本课程需要具备一定的高等数学和计算机基础。
二、教学目标1.培养学生的数学建模思维，包括问题建模、模型构建、模型分析和模型验证等方面。
2.提高学生的计算机编程能力，熟悉常用的数学建模工具和软件。
3.培养学生的实际问题解决能力，掌握解决实际问题的方法和技巧。
三、教学内容第一章数学模型与建模方法1.数学模型的定义及其应用背景。
2.数学建模的基本流程，包括问题建模、模型构建、模型分析和模型验证等环节。
3.建模方法的分类和基本特征，包括解析建模、仿真建模、图像建模等。
4.建模误差和误差控制方法。
第二章最优化模型1.最优化模型的定义及其应用背景。
2.最优化问题的描述和求解方法，包括数学规划、线性规划、非线性规划等。
3.最优化模型的实际应用，包括供应链管理、工程优化、金融投资等。
第三章统计模型1.统计模型的定义及其应用背景。
2.基本统计学方法和统计推断。
3.建立统计模型，包括回归分析、时间序列分析等。
4.统计模型在实际问题中的应用，包括市场调研、财务分析、医学研究等。
第四章蒙特卡罗方法1.蒙特卡罗方法的定义及其应用背景。
2.随机模拟和蒙特卡罗模拟方法。
3.蒙特卡罗模拟在最优化、统计学等领域中的应用。
第五章数学软件及其应用1.常用的数学软件，包括Matlab、Mathematica、Maple、Python等。
2.数学软件的基本功能和应用场景。
3.数学软件在数学建模中的应用。
四、教学方法本课程采用理论知识和实践操作相结合的教学方法。
课程中将通过讲授基础理论知识、案例分析、模拟操作等方式，引导学生深入理解数学模型和建模方法，并掌握数学软件和编程语言的操作技能。
五、教学评估1.课堂问答：掌握课程知识点，理解学习内容。
2.课后作业：巩固课程学习，检查学生的理解能力和解题能力。
3.课程项目：引导学生应用所学知识，独立完成一项小型建模项目。
