2013年北京市朝阳区初三数学一模试题

西城区22．先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A 、B 、C 、D 均 为⊙O 上的点，则有∠C =∠D ．小明还发现，若点E 在⊙O 外，且与点D 在直线AB 同侧， 则有∠D >∠E ．请你参考小明得出的结论，解答下列问题：(1) 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,7)，点B 的坐标为(0,3)， 点C 的坐标为(3,0)．①在图1中作出△ABC 的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；②若在x 轴的正半轴上有一点D ，且∠ACB =∠ADB ，则点D 的坐标为 ；(2) 如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,m )，点B 的坐标为(0,n )，其中m >n >0．点P 为x 轴正半轴上的一个动点，当∠APB 达到最大时，直接写出此时点P 的坐标．22．解：（1）①如图5；………………………… 1分②点D 的坐标为()70，； ………………… 3分（2）点P的坐标为)0． ……………… 5分昌平区22. （1）人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的：如图1，□ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，HG ∥AB ，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为 和 ；（2）如图2，点P 为□ABCD 内一点，过点P 分别作AD 、AB 的平行线分别交□ABCD的四边于点E 、F 、G 、H . 已知S □BHPE = 3，S □PFDG = 5，则PAC S ∆= ； （3）如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重复、无缝隙）.已知①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD 的面积为11，则菱形EFGH 的周长为 ．图2图3图1⑤④③②①H PA BGEH DF C ABGEP DF C HGFE DCBA22．解：（1）□AEPH 和□PGCF 或□ABGH 和□EBCF 或□AEFD 和□HGCD . …………… 1分 （2）1. ……………………………………………………………………………………… 2分（3）24． ……………………………………………………………………………………… 4分房山区22.已知，矩形纸片ABCD 中，AB =8cm ，AD =6cm ，按下列步骤进行操作：如图①，在线段AD 上任意取一点E ，沿EB ，EC 剪下一个三角形纸片EBC (余下部分不再使用)；如图②，沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC 上任意取一点N ，沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；如图③，将MN 左侧纸片绕G 点按顺时针方向旋转180°，使线段GB 与GE 重合，将MN 右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180°，使线段HC 与HE 重合，拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)（1）通过操作，最后拼成的四边形为 （2）拼成的这个四边形的周长的最小值为_______________________________cm,最大值为___________________________cm ．22. （1）平行四边形；-----------------------------1分（2）拼成的平行四边形上下两条边的长度等于原来矩形的边AD=6，左右两边的长等于线段MN 的长，当MN 垂直于BC 时，其长度最短，等于原来矩形的边AB 的一半，等于4，于是这个平行四边形的周长的最小值为2（6+4）=20；----------------------------3分当点E 与点A 重合，点M 与点G 重合，点N 与点C 重合时，线段MN 最，此时，这个四边形的周长最大，其值为2（6+=12+ ----------------------------------------5分怀柔区22. 理解与应用：我们把对称中心重合、四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．．．．. 一条直线l 与方形环的边线有四个交点M 、'M 、'N 、N ．小明在探究线段'MM 与N N ' 的数量关系时，从点'M 、'N 向对边作垂线段E M '、F N '，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：(1)直线l 与方形环的对边相交时（22题图1），直线l 分别交AD 、D A ''、C B ''、BC 于M 、'M 、'N 、N ，小明发现'MM 与N N '相等，请你帮他说明理由；(2)直线l 与方形环的邻边相交时（22题图2），l 分别交AD 、D A ''、C D ''、DC 于M 、'M 、'N 、N ，l 与DC 的夹角为α，请直接写出NN MM ''的值（用含α的三角函数表示）.122题图图①图②图③EC BE G HM NA D22. 理解与应用：⑴解: 在方形环中，∵AD BC F N AD E M ,',⊥⊥'∥BC∴M ’E=N ’F …………………………………………1分 ∠M ’EM=∠N ’FN=90°，∠EMM ’=∠N ’NF∴△E MM '≌△F NN ' ……………………………2分 ∴N N M M '=' ……………………………3分 ⑵ 则 αtan =''N N M M （或ααcos sin ） ……………………………5分密云县22．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝8cm ,AD ＝6cm ,按下列步骤进行裁剪和拼图:第一步:如图①,在线段AD 上任意取一点E ,沿EB ,EC 剪下一个三角形纸片EBC (余下部分不再使用)；第二步:如图②,沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分,并在线段GH 上任意取一点M ,线段BC 上任意取一点N ,沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；第三步:如图③,将MN 左侧纸片绕G 点按顺时针方向旋转180︒,使线段GB 与GE 重合,222题图222题图122题图将MN 右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180 ,使线段HC 与HE 重合,拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片.(注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠). （1）所拼成的四边形是什么特殊四边形？（2）拼成的这个四边形纸片的周长的最小值是多少? 22．(1)平行四边形……………………………………2分 (2)最小值为12+2×4=20，………………………5分朝阳区22．阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l 1∥l 2∥l 3 ，l 1与l 2之间的距离是1，l 2与l 3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l 1任取一点A ，作AD ⊥l 2于点D ，作∠DAH =90°，在AH 上截取AE =AD ，过点E 作EB ⊥AE 交l 3于点B ，连接AB ，作∠BAC =90°，交直线l 2于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于 ． 参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线l 1∥l 2∥l 3, l 1与l 2之间的距离是2，l 2与l 3之间的距离是1,试画出一个等l 1l 1l 2l 3图1l 1l 2l 3图2边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹）．22. 解： 5；……………………………………………2分 如图； ………………………………………3分. ………………………………………5分大兴区22.分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD 1E 1和正方形BCD 2E 2，连结D 1D 2.(1)如图1，过点C 作直线HG 垂直于直线AB 于点H ，交D 1D 2于点G ．试探究线段GD 1与线段GD 2的数量关系，并加以证明．（2）如图2，CF 为AB 边中线，试探究线段CF 与线段D 1D 2的数量关系，并加以证明．22．（1）答：FD 1 = FD 2 。

西城区24．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =α，点P 在△ABC 的内部．(1) 如图1，AB =2AC ，PB =3，点M 、N 分别在AB 、BC 边上，则cos α=_______， △PMN 周长的最小值为_______；(2) 如图2，若条件AB =2AC 不变，而P A =2，PB =10，PC =1，求△ABC 的面积； (3) 若P A =m ，PB =n ，PC =k ，且cos sin k m n αα==，直接写出∠APB 的度数．24．解：（1）cos αPMN 周长的最小值为 3 ； ………………………2分 （2）分别将△P AB 、△PBC 、△P AC 沿直线AB 、BC 、AC 翻折，点P 的对称点分别是点D 、E 、F ，连接DE 、DF ，（如图6）则△P AB ≌△DAB ，△PCB ≌△ECB ，△P AC ≌△FAC .∴AD =AP =AF ， BD =BP =BE ，CE =CP =CF .∵由（1）知∠ABC =30°，∠BAC =60°，∠ACB =90°， ∴∠DBE =2∠ABC =60°，∠DAF =2∠BAC =120°， ∠FCE =2∠ACB =180°. ∴△DBE 是等边三角形，点F 、C 、E 共线. ∴DE =BD =BP EF =CE +CF =2CP =2. ∵△ADF 中，AD =AF ∠DAF =120°， ∴∠ADF =∠AFD =30°.∴DF .∴22210EF DF DE +==. ∴∠DFE =90°. ………………………………………………………4分 ∵2ABC DBE DFE DAF BDAFE S S S S S ∆∆∆∆==++多边形，∴21122222ABC S ∆=++=PBACD E F图6∴ABC S ∆=. ……………………………………………5分 （3）∠APB =150°. ………………………………………………………… 7分 说明：作BM ⊥DE 于M ，AN ⊥DF 于N .（如图7） 由（2）知∠DBE =2α，∠DAF =1802α-o . ∵BD =BE=n ，AD =AF=m ， ∴∠DBM =α，∠DAN =90α-o . ∴∠1=90α-o，∠3=α. ∴DM =sin n α，DN =cos m α. ∴DE =DF =EF . ∴∠2=60°.∴∠APB =∠BDA =∠1+∠2+∠3=150°.昌平区24．在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A24．解：（1）如图1，依题意得：△A 1C 1B ≌△ACB .……… 1分∴BC 1=BC ，∠A 1C 1B =∠C =30°. ∴∠BC 1C = ∠C =30°.321NMP ACD EB图7A 1C 1ABC图1∴∠CC 1A 1 = 60°.…………………………… 2分 （2）如图2，由（1）知：△A 1C 1B ≌△ACB .∴A 1B = AB ，BC 1 = BC ，∠A 1BC 1 =∠ABC . ∴∠1 = ∠2，114263A B AB C B BC === ∴ △A 1BA ∽△C 1BC ………………… 3分 ∴112ΔΔ2439A BA C BCS S ⎛⎫== ⎪⎝⎭. ……………………4分∵1Δ3C BC S =， ∴1Δ43A BA S =. ……………………………5分 （3）线段EP 1长度的最大值为8，EP 1长度的最小值1. ………… 7分房山区24（1）如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE 相交于点P ，求证： BE = AD .（2）如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是 （只填序号即可）①AD=BE=CF ；②∠BEC=∠ADC ；③∠DPE=∠EPC=∠CP A =60°； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE .24.(1)证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形∴BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60° ∴∠BCE=∠ACD∴△BCE ≌△ACD （SAS ）21C 1CBA 1A图2AB 第24题图1第24题图2ADACB∴BE=AD --------------1分 （2）①②③都正确 --------------4分 （3）证明：在PE 上截取PM=PC ，联结CM由（1）可知，△BCE ≌△ACD （SAS ） ∴∠1=∠2设CD 与BE 交于点G ,,在△CGE 和△PGD 中 ∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD∴∠DPG=∠ECG=60°同理∠CPE=60° ∴△CPM 是等边三角形--------------5分 ∴CP=CM ，∠PMC=60° ∴∠CPD=∠CME=120°∵∠1=∠2,∴△CPD ≌△CME （AAS ）---6分 ∴PD=ME∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD. -------7分 即PB+PC+PD=BE .怀柔区24. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD=AC,AB=AN,连结CD 、BN,CD 的延长线交BN 于点F ．（1）当∠ADN 等于多少度时，∠ACE=∠EBF,并说明理由； （2）在（1）的条件下，设∠ABC=α，∠CAD =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE ≌△FBE ，并说明理由．24. （1）解：当∠ADN 等于90度时，∠ACE=∠EBF. ……………………………1分 理由如下：∵∠ACB=∠ADN =90°，∴△ABC 和△AND 均为直角三角形又∵AC=AD ，AB=AN∴△ABC ≌△AND ……………………………2分∴∠CAB=∠DAN∴∠CAD=∠BAN又∠ACD=∠ADC, ∠ABN=∠ANB∴∠ACD= ∠ABN 即∠ACE=∠EBF……………………………3分（2）解：当2βα=时，△ACE ≌△FBE ． ……………………………4分在△ACD 中，∵AC=AD ，∴αβ-=-=∠-=∠οοο9021802180CAD ACD ……………………………5分 21GM PDECAB在Rt △ABC 中， ∠ACD+∠BCE=90°，即9090BCE α︒-+∠=︒，∴∠BCE=α．∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE ……………………6分 ∴CE=BE由（1）知：∠ACE=∠EBF,又∠AEC=∠BEF∴△ACE ≌△FBE ．………………………7分密云县24．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，， 60B =︒∠.（1）点E 到BC 的距离为 ；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.A D EBF C（备用）A D E BF C（备用）A D E BF C图1图2A DE BF CP N M图3A DE BF CP N24．（1）如图1，过点E 作EG ⊥BC 于点G ．∵E 为AB 的中点， ∴BE=21AB=2 在Rt △EBG 中，∠B=60°，∴∠BEG=30度． ∴BG=21BE=1，EG=31222=- 即点E 到BC 的距离为3……………………………………1分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，周长不变．∵PM ⊥EF ，EG ⊥EF ， ∴PM ∥EG ． ∵EF ∥BC ，∴EP=GM ，PM=EG= 3同理MN=AB=4．如图2，过点P 作PH ⊥MN 于H ， ∵MN ∥AB ，∴∠NMC=∠B=60°，∠PMH=30度．∴PH=21PM=23∴MH=3/2.则NH=MN-MH=4- 3/2=5/2.在Rt △PNH 中，PN=.723252222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+PH NH ∴△PMN 的周长=PM+PN+MN=37 4.................................3++分②当点N 在线段DC 上运动时，存在．当PM=PN 时，如图3，作PR ⊥MN 于R ，则MR=NR ． 类似①，MR= 3/2. ∴MN=2MR=3．∵△MNC 是等边三角形， ∴MC=MN=3．此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．…………………………………5分朝阳区24．在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．（1）如图1，CE =AB ，BD =AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，请你直接写出EBDC的值； （2）如图2，CE =kAB ，BD =kAE ，12EB DC =，求k 的值．24. 解：(1)EB DC =………………………………………………………………………2分(2)过点C 作CF ∥EB 且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G , 连接BF .∴四边形EBFC 是平行四边形. …………………………………………………3分 ∴CE ∥BF 且CE =BF . ∴∠ABF =∠A =90°.∵BF =CE =kAB .∴BFk AB=. 图2B 图1FB∵BD=kAE，∴BDkAE=.………………………………………………………………………4分∴BF BDAB AE=.∴DBF∆∽EAB∆.……………………………………………………………5分∴DFkBE=,∠GDB=∠AEB.∴∠DGB=∠A=90°.∴∠GFC=∠BGF=90°.∵12CF EBDC DC==.∴3DF DFEB CF==.∴k=3.…………………………………………………………………………7分大兴区24. 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，请直接写．．．出．S与x的函数关系式，并求出．．S的最小值．24．（1）证明：∵PE=BE ，∴∠EBP=∠EPB .又∵∠EPH=∠EBC=90°,∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP .即∠PBC=∠BPH .又∵AD∥BC ,GFDECBA∴∠APB=∠PBC .∴∠APB=∠BPH . ………………………………………2分 （2）△PHD 的周长不变，为定值 8 ………………………3分证明：过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q由（1）知∠APB=∠BPH 又∵ ∠A=∠BQP=90°，BP=BP∴ △ABP ≌△QBP ∴ AP=QP , AB=BQ 又∵ AB=BC ∴ BC = BQ 又∵ ∠C=∠BQH=90°，BH=BH ∴ △BCH ≌△BQH ∴ CH=QH∴ △PHD 的周长为：PD+DH+PH =AP+PD+DH+HC =AD+CD =8………………5分（3）21282S x x =-+ 配方得，21(2)62S x =-+，∴当x =2时，S 有最小值6 …………………………………7分东城区24. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.A B CDEF G H PQ24. （本小题满分7分）解：（1）猜想的结论：MN=AM+CN．……………1分（2）猜想的结论：MN=CN-AM．……………3分证明:在NC截取CF= AM，连接BF．∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠DAB+∠C=180°．又∵∠DAB+∠MAB=180°，∴∠MAB=∠C．∵AB=BC AM=CF，∴△AMB≌△CFB ．∴∠ABM=∠CBF，BM=BF．∴∠ABM +∠ABF =∠CBF+∠ABF．即∠MBF =∠ABC．∵∠MBN=12∠ABC，∴∠MBN=12∠MBF．即∠MBN=∠NBF．又∵BN=BN BM=BF，∴△MBN≌△FBN．∴MN=NF．∵NF=CN-CF，∴MN=CN-AM．…………………7分丰台区 24．在ABC △中，∠ACB =90°，AC ＞BC ，D 是AC 边上的动点，E 是BC 边上的动点，AD =BC ，CD =BE ．（1） 如图1，若点E 与点C 重合，连结BD ，请写出∠BDE 的度数；（2）若点E 与点B 、C 不重合，连结AE 、BD 交于点F ，请在图2中补全图形，并求出∠BFE 的度数．24.海淀区24．在△ABC 中，∠ACB ＝90︒．经过点B 的直线l （l 不与直线AB 重合）与直线BC 的夹角等于ABC ∠，分别过点C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、点E ．（1）若45ABC ∠=︒，CD =1（如图），则AE 的长为 ；（2）写出线段AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明； （3）若直线CE 、AB 交于点F ， 56CF EF =，CD =4，求BD 的长．24．（1）2AE =.………………………1分（2）线段AE 、CD 之间的数量关系为2AE CD =.………………………2分 证明：如图1，延长AC 与直线l 交于点G ． 依题意，可得∠1＝∠2． ∵∠ACB ＝90︒，D BC （E ）A图1图2CABFEDCAB∴∠3=∠4. ∴BA BG =.∴CA ＝CG ．………………………3分 ∵AE ⊥l ，CD ⊥l ， ∴CD ∥AE ． ∴△GCD ∽△GAE ． ∴12CD GC AE GA =＝． ∴2AE CD =．………………………4分 （3）解：当点F 在线段AB 上时，如图2， 过点C 作CG ∥l 交AB 于点H ，交AE 于点G ． ∴∠2＝∠HCB ． ∵∠1=∠2， ∴∠1＝∠HCB ． ∴CH BH =． ∵∠ACB ＝90︒，∴∠3+∠1＝∠HCB +∠4 =90︒． ∴∠3＝∠4． ∴CH AH BH ==． ∵CG ∥l ，∴△FCH ∽△FEB ． ∴56CF CH EF EB =＝． 设5,6CH x BE x ==，则10AB x =．∴在△AEB 中，∠AEB ＝90︒，8AE x =． 由（2）得，2AE CD =． ∵4CD =, ∴8AE =. ∴1x =.∴10,6,5AB BE CH ===． ∵CG ∥l ，∴△AGH ∽△AEB ． ∴12HG AH BE AB ==． ∴3HG =．………………………5分 ∴8CG CH HG =+=．图3图2∵CG ∥l ，CD ∥AE , ∴四边形CDEG 为平行四边形. ∴8DE CG ==.∴2BD DE BE =-=．……………………6分 当点F 在线段BA 的延长线上时，如图3， 同理可得5CH =,3GH =,6BE =. ∴DE =2CG CH HG =-=． ∴ 8BD DE BE =+=．∴2BD =或8．……………………7分门头沟区24．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，点M 在线段DF 上，且∠BAE ＝∠BDF ，∠ABE ＝∠DBM ． （1） 如图1，当∠ABC ＝45°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ； （2） 如图2，当∠ABC ＝60°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；（3）① 如图3，当ABC α∠=（0<<90α︒︒）时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；② 在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连结CP ，若AB ＝7，AE＝求sin ∠ACP 的值．24．解：（1）DM AE ．………………………………………………………………2分 （2）12DM AE =． ……………………………………………………………3分（3）① cos DM AE =α． ………………………………………………………4分② 如图，连结AD 、EP ． ∵AB =AC ，∠ABC =60°， ∴△ABC 为等边三角形．又∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠DAC =30°，BD =DC =12BC =72． ∵∠BAE =∠BDM ，∠ABE =∠DBM ，∴△ABE ∽△DBM ．A B CD EFMMFED CA ACD EF M 图1图2图3∴12BM DB BE AB ==．∴EB =2BM ． 又∵PB =2BM ，∴EB =PB ．∵60EBP ABE ABP PBC ABP ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒, ∴△BEP 为等边三角形． ∴EM ⊥BP ．∴∠BMD =90°． ∵D 为BC 的中点，M 为BP 的中点，∴DM ∥PC ．∴∠BPC =∠BMD = 90°． ∵AB CB =，BE BP =，∠ABE ＝∠DBM ， ∴△ABE ≌△CBP ．∴BCP BAE ∠=∠，∠BPC =∠BEA = 90°．在Rt △AEB 中，∵∠BEA =90°，AE =AB =7， ∴cos EAB ∠．∴cos cos PCB BAE ∠=∠5分 在Rt △ABD 中，sin AD AB ABD =⋅∠ 在Rt △NDC 中，cos DC CN NCD =∠∴ND =． ∴NA AD ND =-=． 过点N 作NH ⊥AC 于H ． ∴12NH AN ==．…………………………………………………6分 ∴sin NH ACP CN ∠=．……………………………………………7分平谷区 24．（1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是 AB 、BC 上的点，且BD CE =，连接AE 、CD 相交于点P . 请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；= （2）如图（2）,Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是 AB 、BC 上的点，且,AM BC =BM CN =，连接AN 、CM 相 交于点P . 请你猜想∠APM = °，并写出你的推理过程. 24．解：（1）60°HP ACEF M N 图2（2）45° ………………………………..2分 证明：作AE ⊥AB 且AE CN BM ==.可证EAM MBC ∆≅∆. ……………………………..3分 ∴ ,.ME MC AME BCM =∠=∠∵ 90,CMB MCB ∠+∠=︒∴ 90.CMB AME ∠+∠=︒ ∴ 90.EMC ∠=︒∴ EMC ∆是等腰直角三角形,45.MCE ∠=︒ ……………….5分又△AEC ≌△CAN （s ， a ， s ）…………………………………………………………..6分 ∴ .ECA NAC ∠=∠ ∴ EC ∥AN.∴ 45.APM ECM ∠=∠=︒…………………………………………………………………..7分顺义区24．如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合．三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点.G （1）求证：EF EG =； （2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =，BC b =，求EFEG的值．24．（1）证明：∵9090GEB BEF DEF BEF ∠+∠=∠+∠=°，°，∴.DEF GEB ∠=∠又∵ED BE =，∴Rt Rt FED GEB △≌△.∴.EF EG = ………………………………………………………2分（2）成立.证明：如图，过点E 分别作BC CD 、的垂线，垂足分别为H I 、，则90EH EI HEI =∠=，°. ∵9090GEH HEF IEF HEF ∠+∠=∠+∠=°，°，∴.IEF GEH ∠=∠∴Rt Rt FEI GEH △≌△.图2∴.EF EG = …………………………………4分（3）解：如图，过点E 分别作BC CD 、的垂线，垂足分别为M N 、，则90MEN ∠=°，.EM AB EN AD ∥，∥∴.EM CE ENAB CA AD == ∴.EM AD a EN AB b ==…………………………………5分 ∴9090GME MEF FEN MEF ∠+∠=∠+∠=°，°， ∴.MEN GEM ∠=∠∴Rt Rt FEN GEM △∽△. ∴.EF EN b EG EM a ==…………………………………7分通州区24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长； （2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.24． 解：（1）过点A 作AG BC ⊥于点G . ∵∠ADB=60°，2AD =， ∴1DG =，3AG =， ∴ 3GB =，∴ tan 33AG ABG BG ∠==， ∴30ABG ∠=o，23AB =， ……………… 1分；∵ △ABC 是等边三角形，∴ 90DBC ∠=o，23BC =， ……………… 2分；由勾股定理得：()222242327CD DB BC =+=+=. …… 3分；（2）作60EAD ∠=o，且使AE AD =，连接ED 、EB . ………… 4分；第24题图ADBCG第24题图D CBA∴△AED 是等边三角形， ∴AE AD =，60EAD ∠=o，∵ △ABC 是等边三角形， ∴AB AC =，60BAC ∠=o ，∴EAD DAB BAC DAB ∠+∠=∠+∠， 即EAB DAC ∠=∠，∴△EAB ≌△DAC . ……………… 5分； ∴EB =DC .当点E 、D 、B 在同一直线上时，EB 最大，∴246EB =+=， ……………… 6分； ∴ CD 的最大值为6，此时120ADB ∠=o. …………… 7分.另解：作60DBF ∠=o，且使BF BD =，连接DF 、AF . 参照上面解法给分第24题图ECBA FA BC D第24题图。

西城区19．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点OAC ⊥AB ，AB =2，且AC ︰BD =2︰3． (1) 求AC 的长； (2) 求△AOD 的面积．19．解：（1）如图2.∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点 ∴OA = 12AC ，OB = 12BD . …………… 1分∵AC ︰BD =2︰3， ∴OA ︰OB =2︰3 .设OA =2x (x >0)，则OB =3x .∵AC ⊥AB ，∴∠BAC =90°.在Rt △OAB 中，OA 2+AB 2=OB 2. …………………………………… 2分 ∵AB =2， ∴(2x )2+22=(3x )2 . 解得x =±255(舍负).∴AC =2OA =855. …………………………………………………… 3分 （2）∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∴OB =OD .∴S △AOD = S △AOB = 12 AO ²AB = 12×455×2= 455. ……………………… 5分昌平区19. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，延长AB 到E ，使BE =AB ，连接CE . （1）求证：直线CE 是⊙O 的切线；（2）连接OE 交BC 于点F ，若OF =2 , 求EF 的长.E19．（1）证明：连接OC∵四边形ABCD 是O 的内接正方形，∴AB=BC ，CO 平分∠DCB ，∠DCB =∠ABC =90°. ∴∠1=45°，∠EBC =90°. ∵AB=BE ， ∴BC=BE . ∴∠2=45°.∴∠OCE =∠1+∠2 = 90°. ∵点C 在O 上，∴直线CE 是O 的切线. …………………………………… 2分（2）解：过点O 作OM ⊥AB 于M ,∴11=22AM BM AB BE ==.∴23BE ME =. ………………………………………………………3分 ∵FB ⊥AE , ∴FB ∥OM .∴△EFB ∽△EOM . …………………………………………………………4分∴EF EB EO EM =. ∴223EF EF =+. ∴EF=4. …………………………………………………………5分房山区19.一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F =∠ACB =90°,∠E =45°,∠A =60°,A C=10,试求CD 的长．19.解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ． ----------------------------------------1分第19题图DA CB在△ACB 中，∠ACB =90°, ∠A =60°,AC =10,∴∠ABC =30°,BC =AC -----------------------------2分 ∵AB ∥CF ，∴∠BCM =30°．∴1sin 302BM BC =⋅︒==-----------------------------3分cos3015CM BC =⋅︒==-------4分 在△EFD 中，∠F =90°, ∠E =45°,∴∠EDF =45°, ∴MD BM ==∴15CD CM MD =-=-． --------------------------------------------5分怀柔区19. 将一副三角板如图拼接：含30°角的三角板（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角板（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB ＝23，P 是AC 上的一个动点，连接DP ．（1）当点P 运动到∠ABC 的平分线上时，求DP 的长；（2）当点P 在运动过程中出现PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数；19. 解：（1）在Rt △ABC 中，AB ＝23，∠BAC ＝30°∴BC ＝3，AC ＝3． 如图（1），作DF ⊥AC∵Rt △ACD 中，AD ＝CD ∴DF ＝AF ＝CF ＝23………………………………………… 1分 ∵BP 平分∠ABC ∴∠PBC ＝30° ∴CP ＝BC·tan30°＝1 ∴PF ＝21∴DP ＝22DF PF +＝210． ………………………………………… 2分（2）当P 点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF ＝23，∠ADF ＝45° 又PD ＝BC ＝3∴cos ∠PDF ＝PDDF ＝23∴∠PDF ＝30°………………………………………… 3分∴∠PDA ＝∠ADF －∠PDF ＝15°………………………………………… 4分 当P 点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF ＝30°． ∴∠PDA ＝∠ADF ＋∠PDF ＝75°………………………………………… 5分密云县19．如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF（1）证明：四边形AECF是矩形； （2）若AB=8，求菱形的面积。

北京市朝阳区2013年初中毕业考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1. -7 的相反数是A ． 7B ．－7C ．71 D ．71-2.中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨。

将数67500用科学记数法表示为A ．0.675×105B ． 6. 75×104C ． 67.5×103D ． 675×1023.把4张形状、质地完全相同的卡片分别写上数字1，2，3，4，再将这些卡片放在一个不透明的盒子里，随机从中抽取1张卡片，则抽取的卡片上的数字为奇数的概率是A ．41 B ．31 C ．21 D ． 14.北京2013年3月的一周中每天最高气温如下：7， 13，15，16，15，17，19，则在这一周中，最高气温的众数和中位数分别是A ．15和15B ．15和16C ． 16和15D ．19和16 5. 如图，已知直线l 1//l 2，∠1=40°，则∠2的度数为A ．30°B ． 40°C ． 50°D ． 60° 6．如图，⊙O 的半径为5，AB 是弦，OC ⊥AB 于点C ，若OC=3，则AB 的长为A ． 3B ． 4C ． 6D ．87．二次函数21(1)32y x =-+的顶点在A．第一象限． B ．第二象限．C ．第象限D ．第象限．8．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC=120°，AB=3，一动点P以1cm/s的速度延折线OB—BA运动，那么点P的运动时间x（s）与点C、O、P围成的三角形的面积y之间的函数图象为A B C D第Ⅱ卷（共68分）二．填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）9. 若-2是方程062=+-mxx的一个根，则m= .10. 分解因式：2218m-=．11．侧面展开图是扇形的几何体是 .12．如图，菱形ABCD的一条对角线BD上一点O，到菱形一边AB的距离为2，那么点O到另外一边BC的距离为_________.13．若关于x的一元二次方程kx2-2x+1 = 0有两个实数根，则k的取值范围是.三．解答题（共9道小题，14题—20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48 分）14．（本小题5分）计算：()1-)32(-45in2-82-1︒+s．解：15．（本小题5分）求不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧≥-+>-12131325xxx的整数解.解：6如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，且BF=AC. 求证：DF=DC. 证明：17．列方程或方程组解应用题（本小题5分）动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元. 某日动物园售出门票700张，共得29000元. 请问当日儿童票售出多少张？解：18．（本小题5分）某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学身高，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm ，测量时精确到1cm ）：（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；（2）写出该样本中，七年级学生身高的中位数所在组的范围; ;（3）如果该校七年级共有500名学生，那么估计该校七年级身高在160cm 及160cm 以上的学生共有 人；（4）若该校所在区的七年级学生平均身高为155 cm ，请结合以上信息，对该校七年级学生的身高情况提出一个你的见解./cm165~170cm已知：一次函数2+=x y 与反比例函数xk y =相交于A 、B 两点且A 点的纵坐标为4.（1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积. 解：20．（本小题5分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 是弦，OE ⊥BC ，垂足为F ，且与⊙O 相交于点E ，连接CE 、AE ，延长OE 到点D ，使∠ODB=∠AEC. (1)求证：BD 是⊙O 的切线； (2)若cosD=54，BC=8,求AB 的长.(1)证明：(2)解：如图，抛物线c xy +-=243与x 轴分别交于点A 、B ，直线2343+-=x y 过点B ，与y 轴交于点E ，并与抛物线c x y +-=243相交于点C ．（1）求抛物线c xy +-=243的解析式；（2）直接写出点C 的坐标；（3）若点M 在线段A B 上以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 运动（不与点A 、B 重合），同时，点N 在射线B C 上以每秒2个单位长度的速度从点B 向点C 运动．设点M 的运动时间为t 秒，请写出M N B △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，M N B △的面积最大，最大面积是多少？解：在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.（1）如图1，求证：ME=MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，求AB 的长.北京市朝阳区2013年初中毕业考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）9. －5 10. ）（3)3(2-+a a 11. 圆锥 12. 2 13. k ≤1且k ≠0三、解答题（共9道小题，14题—20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48 分） 14．解：原式23222221-⨯-+=.…………………………………………………………………4分.212-=………………………………………………………………………………5分15．解： 523(1)132x x x ->+⎧⎪⎨-≥⎪⎩　①1 ②解① 得 x ＞25. …………………………………………………………………………2分解② 得 x ≤4. ……………………………………………………………………………4分 原不等式组的整数解为3和4. ……………………………………………………………5分16. 证明：∵AD ⊥BC ，∴∠BDF ＝∠ADC ＝90°. ……………………………………………………………………1分 ∴∠A ＋∠C ＝90°.又∵BE ⊥AC ， ∴∠B ＋∠C ＝90°.∴∠B =∠A . …………………………………………………………………………………2分 又∵BF=AC ，…………………………………………………………………………………3分∴△BDF ≌△ADC . …………………………………………………………………………4分 ∴DF =DC . …………………………………………………………………………………5分17．解：设当日儿童票售出x 张，成人票售出y 张. ………………………………………………1分根据题意，得⎨⎧=+=+.290005030,700y x y x ……………………………………………………………………3分 解得⎩⎨⎧==.400,300y x …………………………………………………………………………………4分答：当日儿童票售出300张，成人票售出400张. ……………………………………………5分18. 解：（1）补图（图略）； …………………………………………………………………………2分（2）155—160；…………………………………………………………………………………3分 （3）160 ；………………………………………………………………………………………4分 （4）如：该校七年级多数学生的身高达到或者超过区平均身高. ………………………5分（说明：其他合理解答均可）19．（1）根据题意，得4= x+2，解得x =2.∴A （2，4）. 把A （2，4）代入xk y =，解得8=k . ∴xy 8=. …………………………………………2分（2）当0=y 时，02=+x ，2-=x .∴B （－2，0）. ………………………………………3分 ∴OB ＝2.如图，作AC ⊥x 轴于点C ，∵A （2，4），∴AC ＝4. ∴S △AOB ＝.421=⋅⋅AC OB …………………………5分20．（1）证明：∵∠D ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ，∴∠D ＝∠ABC . ………………………………………………………………………1分 ∵OF ⊥BC ， ∴∠D +∠DBC ＝90°. ∴∠ ABC +∠DBC ＝90°.∴BD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………………2分（2）解：如图，连接AC .∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．………………………………………3分 ∵∠ABC =∠D ． ∴cos ∠ABC= cos D =54．即B C A B=54，……………………………………………4分∵BC ＝8，∴AB =10． …………………………………………5分21．解：（1）由2343+-=x y ，当0=y 时，解得2=x . ∴B （2，0）.∵抛物线c x y +-=243经过点B （2，0），∴3=c .∴此抛物线的解析式为3432+-=x y .………………………………………………2分（2）C （1-，49）. ………………………………………………………………………3分（3） 如图，作ND ⊥x 轴于点D ，由2343+-=x y 得E （0，23）. ∴BE=25.由3432+-=x y 得A （－2，0）. ∴AB=4.由题意，得AM =t ，BM =4－t ，BN =2t . 由△BND ∽△BEO ，得BE BN OEDN =.∴56t DN =. ………………………………………4分∴△MNB 的面积S 56)4(2121t t ND BM ⋅-⋅=⋅⋅=.∴t t S 512532+-=.…………………………………5分 即512)2(532+--=t S ，自变量t 的取值范围是0＜t ＜4. t= 2时，512=最大S .…………………………………6分22. （1）证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠FDM ＝90°.又∵AM ＝DM ，∠AME ＝∠DMF ， ∴△AME ≌△DMF .∴ME =MF . ………………………………………2分 （2）解：如图，过点G 作GH ⊥AD 于点H .∴四边形ABGH 是矩形.∵△EGF 是等腰直角三角形， 由（1）得，ME =MF ， ∴ME =MG ， ∠EMG ＝90°.∴∠AME +∠DMG ＝∠HGM +∠DMG= 90°. ∴∠AME ＝∠HGM . 又∵∠A ＝∠MHG ，∴△AME ≌△HGM . ……………………………3分 ∴AM=HG . ∴AB=HG=AM=21AD=2. ………………………4分（3）解：如图，过点G 作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H .∴四边形ABGH 是矩形.∵△EGF 是等边三角形，∠MEG ＝60°， 由（1）得，ME =MF ， ∴∠EMG ＝90°.∴∠AME +∠HMG ＝∠AME +∠AEM = 90°. ∴∠AEM ＝∠HMG . 又∵∠A ＝∠AHG ，∴△AEM ∽△HGM . ……………………………5分 ∴EMMG AMGH =.∴tan ∠MEG=EMMG AMGH == tan 60°=3.又∵AM=21AD=2，∴AB=GH=23.…………………………………7分。

新世纪教育网精选资料 版权全部 @新世纪教育网九年级综合水平质量调研数学试卷2013.3学校 ___________________ 班级 _______________姓名 ________________ 学号 _____________考1． 本试卷共 8 页，共五道大题， 25 道小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟 .生 2． 在试卷和答题卡上正确填写学校．班级．姓名．学号.须3． 试题答案一律填涂或书写在 答题卡 上，在试卷上作答无效 .知4． 考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回.注 意 1 ． 考生要按规定的要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范.事项 2 ． 考试结束后，试卷和机读答题卡由监考人一并回收.第一卷（机读卷 32 分）一 1.4 的算术平方根是选 A ． 2B ．± 2C ． 16D ．± 16择2. 如图，已知 △ ABC 为直角三角形， ∠ C=90°，若 C题 沿图中虚线剪去∠ C ， 则∠ 1+∠ 2 等于D本 A.90°B. 135 °E12题C. 150 °D. 270 °BA32第 2分题图，3.布袋中装有 1 个红球， 2 个白球， 3 个黑球，它们除颜色外完好同样，从袋中任每 小 意摸出一个球，摸出的球是白球．．的概率是题 A ．1B ．1C ． 1D ．543626分4.某班的 9 名同学的体重分别是（单位：千克）： 61，59， 70，59， 65，67，59，63，57，这组数据的众数和中位数分别是A ． 59，61B ．59，63C ． 59， 65D ． 57，61 5.全世界可被人类利用的淡水总量仅占地球上总水量的 0.00003 ，所以珍惜水、保护 水，是我们每一位公民当仁不让的责任．此中数字 0.00003 用科学记数法表示为A ．3 10 4B ．3 10 5C ．0.310 4D ．0.3 10 56.如图，模块①－⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块⑥由 15 个棱长为 1的小正方体构成 .现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体 . 则以下选择方案中，能够达成任务的为新世纪教育网精选资料版权全部@新世纪教育网一选择题本题32分，每小题4分A．模块②，④，⑤B．模块①，③，⑤C．模块①，②，⑤D．模块③，④，⑤7.如图，两个齐心圆，大圆的弦 AB与小圆相切于点 P，大圆的弦CD经过点 P，且 CD=13， PC=4，则两圆构成的圆环的面积是A．16πB．36πC．52πD．81π第 7题图8. 矩形 ABCD 中，AD8cm， AB 6cm ．动点E从点C开始沿边 CB 向点B以 2cm/s 的速度运动至点 B 停止，动点 F从点 C 同时出发沿边CD 向点 D 以 1cm/s 的速度运动至点D停止．如图可获得矩形CFHE ，设运动时间为 x（单位： s），此时矩形 ABCD 去掉矩形 CFHE 后节余部分的面积为y(单位： cm2) ，则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大概是以下图第 8题图中的注 1．第Ⅱ卷包含 4 道填空和 13 道解答，共 8 . 答前要真，看清目意要求，按要求真作答.事2．答笔迹要工整，画要清楚，卷面要整.3．考生除画能够用笔外，答必用色或黑色笔、珠笔.二填空本共16分，每小4分三解答本第二卷（非机读卷88 分）9.若分式 x 24的 0， x 的．x210.如，点 A、 B 、C是半径6的⊙O上的点，BB 30,AC 的_____________.AOC第 10如，在△ ABC 中， D、 E 分 AB、 AC 上的点， DE∥A 11.BC．若 AD ＝3， DB＝ 5，DE ＝ 1.2， BC＝．D EB C第 1112. 如，在ABC 中，A，ABC 的平分与ACD 的均分交于点A，得 A，11A1=． A1 BC 的均分与A1CD 的均分交于点A2，得A2，⋯⋯，A2009 BC 的均分与A2009CD的均分第 12交于点 A2010，得 A2010，A2010=．13.（本小 5 分）( 3 1)04sin6027题14. （本小题 5 分）共3x1430解不等式组x，并把它的解集表示在数轴上．2x2分，每小题5分15. （本小题 5 分）A D如图， E、F 是平行四边形ABCD 对角线 AC E上两点， BE ∥ DF ，求证：AF CE 。

北京市朝阳区2013年中考数学一模试卷一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．2．（4分）（2013•朝阳区一模）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数675003．（4分）（2013•朝阳区一模）把4张形状、质地完全相同的卡片分别写上数字1，2，3，4，再将这些卡片放在一个不透明的盒子里，随机从中抽取1张卡片，则抽取的卡片上的数字为B∴抽取的卡片上的数字为奇数的概率是=4．（4分）（2013•朝阳区一模）北京2013年3月的一周中每天最高气温如下：7，13，15，5．（4分）（2013•朝阳区一模）如图所示，直线l1∥l2，∠1=40°，则∠2为（）6．（4分）（2013•朝阳区一模）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）==47．（4分）（2013•朝阳区一模）二次函数y=（x ﹣1）2+3的顶点在（ ）y=8．（4分）（2013•朝阳区一模）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠BOC=120°，AB=3，一动点P 以1cm/s 的速度延折线OB ﹣BA 运动，那么点P 的运动时间x （s ）与点C 、O 、P 围成的三角形的面积y 之间的函数图象为（ ）BAB=•=•二．填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）9．（4分）（2013•朝阳区一模）如果2是方程x2﹣mx+6=0的一个根，那么m=5．10．（4分）（2013•朝阳区一模）因式分解：2x2﹣18=2（x+3）（x﹣3）．11．（4分）（2013•朝阳区一模）侧面展开图是矩形的简单几何体是圆柱，棱柱．12．（4分）（2013•朝阳区一模）如图所示，菱形ABCD的一条对角线BD上一点O到菱形一边AB的距离为3，那么O点到另外一边BC的距离为3．13．（4分）（2013•朝阳区一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠0．三．解答题（共9道小题，14题-20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48分）14．（5分）（2013•朝阳区一模）计算：（1﹣）0+﹣2sin45°﹣（）﹣1．﹣×﹣=﹣15．（5分）（2013•朝阳区一模）求不等式组的整数解．则不等式组16．（5分）（2013•朝阳区一模）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，且BF=AC．求证：DF=DC．17．（5分）（2013•朝阳区一模）动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元．某日动物园售出门票700张，共得29000元．求成人票和儿童票各售出多少张．，解得18．（5分）（2013•朝阳区一模）某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学身高，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到1cm）：（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；（2）写出该样本中，七年级学生身高的中位数所在组的范围；155～160cm；（3）如果该校七年级共有500名学生，那么估计该校七年级身高在160cm及160cm以上的学生共有160人；（4）若该校所在区的七年级学生平均身高为155cm，请结合以上信息，对该校七年级学生的身高情况提出一个你的见解．19．（5分）（2013•朝阳区一模）已知：一次函数y=x+2与反比例函数y=相交于A、B两点且A点的纵坐标为4．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．y=得，y=组成方程组得，，，×4+20．（5分）（2013•朝阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，OE⊥BC，垂足为F，且与⊙O相交于点E，连接CE、AE，延长OE到点D，使∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若cosD=，BC=8，求AB的长．都对BF=CF=ABC=，=521．（6分）（2013•朝阳区一模）如图，抛物线y=﹣x2+c与x轴分别交于点A、B，直线y=﹣x+过点B，与y轴交于点E，并与抛物线y=﹣x2+c相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+c的解析式；（2）直接写出点C的坐标；（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动（不与点A、B 重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动．设点M 的运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？=x+过点﹣）联立抛物线及直线解析式可得：或，，）BE==EBO=，EBO==（×t=t t=（（．﹣t最大面积是22．（7分）（2013•朝阳区一模）在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：ME=MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB=2．=cot60，== HG=AM=2=cot60===AM=2 AB=HG=2．。

BA北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期期末统一考试九年级数学试卷（时间：120分钟 满分：120分）学校 姓名 成绩 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案的字母填在下面的表格中．1. 下列事件中，必然事件是A. 把4个球放入3个抽屉中，其中至少有1个抽屉中有2个球B. 明天是晴天C. 若将一枚硬币抛掷10次，其中能有5次国徽向上D. 随意购买一张体育彩票能够中奖2.下列水平放置的几何体中，主视图与俯视图都是矩形的是3．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率为 A ．61B ．31C ．41 D ．214.如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于E ，若AB =10，OE =3，则弦CD 的长为A ．4B ．8CD ．5.将抛物线22y x =向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是 A ．22(1)3y x =++ B ．22(1)3y x =-+ C ．22(1)3y x =+-D ．22(1)3y x =--6. 如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠C 的度数为A ．58°B ．42°C ．32°D ．29°7.在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果cosA=54，那么tanA 的值是A ．53B ．35C ．43D ．348.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4cm ，AD =2cm ， ∠A =60°，动点E 自A 点出发沿折线AD —DC 以1cm/s 的速度运动，设点E 的运动时间为x （s ），0<x <6, 点B 与射线BE 与射线AD 交点的距离为y （cm ），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9. 如图所示，CB ∥DE ，BD 、CE 相交于点A ，若AE=2AC ，则△ABC 与△ADE 的面积比是10.已知二次函数c bx ax y ++=2中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则此二次函数的对称轴为 .11. 若圆锥的底面周长为2πcm ，将其展开后所得扇形的半径为6cm ，则圆锥的侧面积 为 cm 2.12. 如图，抛物线y=4-9x 2通过平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点B （6，0）和O （0，0），它的顶点为A ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=4-9x 2交于点C ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为 ．三、解答题（共13道题，13-21每题5分，22-23每题6分，24题7分，25题8分，共72分）13．计算︒+︒-︒-︒45tan 30tan 345cos 260sin 2.yABCD14.已知二次函数y=x 2-6x+5.（1）解析式化为y=a (x-h )2+k 的形式；（2）求出该函数图像与x 轴、y 轴的交点坐标..15. 如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一点（DE >CE ），连接AE ，并过点E 作AE 的垂线交BC 于点F ,若AB =9,BF =7,求DE 长.16. 在平面直角坐标系中，等腰Rt △OAB 斜边OB 在y 轴上，且OB =4．（1）画出△OAB 绕原点O 顺时针旋转90°后得到的三角形△OA’B’；（2）求点A 在旋转过程中经过的路径长．17. 某班新年联欢会设计了即兴表演节目的游戏，在两个不透明的袋子中分别装入一些牌，甲袋内的4张牌分别标记数字1、2、3、4；乙袋内的3张牌分别标记数字2、3、4,这些牌除了标数外其余都相同. 游戏规则是：参加游戏的同学从甲、乙两个袋子里分别随机摸出一张牌，若两张牌上的标数相同，就要给大家即兴表演一个节目．用列表法或树形图法求出联欢会上参加该游戏的某位同学即兴表演节目的概率.18. 如图，在直角坐标系xoy 中，梯形OABC 的顶点A 、C 分别在坐标轴上，且AB ∥OC ，将梯形OABC 沿OB 对折，点A 恰好落在BC 边的点1A 处，已知1,3==AB OA .求：（1）∠AOB 的度数；（2）点1A 的坐标.CA BDEF19．已知抛物线2(1)22y k x kx k =-++-与x 轴有两个不同的交点．（1）若点（1，5）在此抛物线上，求此抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，直接写出当y <0时，x 的取值范围； （3）若此抛物线与x 轴有两个不同的交点，.求k 的取值范围.20. 如图，抛物线c bx ax y ++=2经过A （-4，0）、B （1，0）、C （0，3）三点， 直线 y=mx+n 经过A （-4，0）、C （0，3）两点.（1）写出方程02=++c bx ax 的解；. （2）若c bx ax ++2＞mx+n ，写出x 的取值范围.21.如图，DE 是⊙O 的直径，CE 与⊙O 相切，E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B ，在EC 上取一个点F ，使EF=BF. （1）求证:BF 是⊙O 的切线; （2）若54C cos =, DE =9，求BF 的长．22．如图，矩形ABCD 中，AB =16cm ，AD =4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 在边AB 上沿AB 方向以2cm/s 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上沿BC 方向以1cm/s 的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2）.（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）求△PBQ 的面积的最大值.23．如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13m 的距离(B 、F 、C 在一条直线上)．求教学楼AB 的高度. (参考数据：sin22º≈ 3 8，cos22º≈ 15 16，tan22º≈ 25)24．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt △OBC 的两条直角边分别落在x 轴、y 轴上， 且OB=1,OC=3,将△OBC 绕原点O 顺时针旋转90°得到△OAE ，将△OBC 沿y 轴翻折得到△ODC ，AE 与CD 交于点F.（1）若抛物线过点A 、B 、C, 求此抛物线的解析式;（2）求△OAE 与△ODC 重叠的部分四边形ODFE 的面积; （3）点M 是第三象限内抛物线上的一动点，点M 在何处时△AMC 的面积最大？最大面积是多少？求出此时点M 的坐标.25.已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC ，点M 为⊙O 上一点，且在弦BC 下方. （1）如图①，若∠ABC =60°，BM =1，CM =3，则AM 的长为 ； （2）如图②，若∠ABC =45°，BM =1，CM =3，则AM 的长为 ； （3）如图③，若∠ABC =30°，BM =1，CM =3，则AM 的长为 ；（4）如图④，若∠ABC =n°，BM a =，C M b =（其中b a >），求出AM 的长(答案用含有a ，b 及n°的三角函数的代数式表示).图① 图②图③ 图④北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期期末统一考试九年级数学试卷答案及评分标准一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9. 1410. x=-1 11. 6π错误！未找到引用源。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数 学 试 卷 2009.5第Ⅰ卷（选择题32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 1．3-的绝对值是A ．3B ．3-C ．13D ．13-2．为积极转化奥运会、残奥会志愿者工作成果，完善和健全志愿者服务体系及长效机制，北京市将力争实现每年提供志愿服务时间11000万小时. 11000万小时用科学记数法表示为 A ．61011.0⨯万小时B ．5101.1⨯万小时C ．4101.1⨯万小时D ．31011⨯万小时 3. 方程x x 62=的解是A ．6=xB ．6=xC ．6=x 或0x =D ．0x =4. 某市2008年4月的一周中每天最低气温如下：13，11，7，12，13，13，12，则在这一周中，最低气温的众数和中位数分别是A. 13和11B. 12和13C. 11和12 C. 13和125. 如图，圆锥的高AO 为12，母线AB 长为13，则该圆锥的侧面积等于 A ．π36 B ．π27 C ．π18D ．π9（第5题） 6. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C =45°，AB =2，则⊙O 的半径为A ．1B ．2C ．2 7．把4张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字1，2，3，4，洗匀后正面朝下放在桌子上，随机从中抽取一张卡片，记下数字 后放回，再随机从中抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上的数字ＡＯＢ之和等于5的概率是A ．21 B ．31C ．41D ． 158. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=， 6cm CD =，AD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P沿BA 、AD 、DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度都是1cm/s ，而当点P 到达点A 时，点Q正好到达点C ．设P 点运动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为y 2(cm )．下图中能正确表示整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （填空题和解答题，共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．计算：xy x322⋅＝ . 10. 因式分解：=+-x x x 4423 ．11．如图，ABC △中，90C ∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，若CD=6，则点D 到AB 的距离为 ． 12. 已知抛物线22)1(2m x m x y ++-=与x 轴的两个交点的 横坐标均为整数，且m <5，则整数m 的值为 . 三、解答题（共13个小题，共72 分） 13．（本小题5分）计算：32-— tan30° ÷31＋8.14．（本小题5分）解方程：xx 321=-.15.（本小题5分）先化简，再求值：4)122(22--÷+-a a a a ，其中1-=a ．解：16. （本小题5分）已知：如图，AD ∥BC ，AD ＝BC ，E 为BC 上 一点，且AE ＝AB . 求证：DE ＝AC .17. （本小题5分）如图，点A 在反比例函数xky =的图象与直线2-=x y 交于 点A ，且A 点纵坐标为1，求该反比例函数的解析式．19. （本小题5分）通常情况居民一周时间可以分为常规工作日 （周一至周五）和常规休息日（周六和周日）. 居民一天的时间可以划分为工作时间、个人生活 必须时间、家务劳动时间和可以自由支配时间等 四部分. 2008年5月，北京市统计局在全市居民 家庭中开展了时间利用调查，并绘制了统计图：活动方式，其中平均每天上网占可自由支配时间的12%，比读书看报的时间多8分钟. 请根据以上信息补全图②；图①北京市居民人均常规工作日时间利用情况（3）由图②，调查表明，我市居民在可自由支配时间中看电视的时间最长. 根据这一信息，请你在可自由支配时间的利用方面提出一条建议：___ ____________.19. （本小题5分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，CD ＝4， ∠ACB ＝∠D ，32tan =∠B ，求梯形ABCD 的面积.20. （本小题5分）改革开放30年来，我国的文化事业得到了长足发展，以公共图书馆和博物馆为例， 1978年全国两馆共约有1550个，至2008年已发展到约4650个. 2008年公共图书馆的数量比1978年公共图书馆数量的2倍还多350个，博物馆的数量是1978年博物馆数量的5倍. 2008年全国公共图书馆和博物馆各有多少个？21. （本小题5分）响应“绿色环保，畅通出行”的号召，越来越多的市民选择 乘地铁出行，为保证市民方便出行，我市新建了多条地铁线路， 与旧地铁线路相比，新建地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍 增加，已知原楼梯BD 长20米，在楼梯水平长度（BC ）不发生 改变的前提下，楼梯的倾斜角由30°增大到45°，那么新修建 的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：414.12≈，732.13≈）22. （本小题7分）已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交 AB 的延长线于点D.（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O半径的长；（3）在（2）的条件下，当OE ＝3时，求图中阴影部分的面积.23. （本小题5分）将图①，将一张直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点C 重合，这时DE 为折痕， △CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE 的对称轴EF 折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.（1）如图②，正方形网格中的△ABC 能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕； （2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC 为一边，画出一个斜三角形ABC ，使其顶点A 在格点上，且△ABC 折成的“叠加矩形”为正方形；（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是 ； （4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是 .24. （本小题7分）抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线顶点为M ，连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴于点Q ，且点Q 到x 轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，求出点D 的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得S △PAM =3S △ACM ，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.25. （本小题8分）B图①图②（1）已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45°. 求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE的值．北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷评分标准及参考答案 2009.5二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共13个小题，共72 分） 13. （本小题5分）解：原式＝2233323+⨯-- ……………………………………………4分 2=. ……………………………………………………………………5分14. （本小题5分）解： )2(3-=x x . ……………………………………………………………………2分 63-=x x . ……………………………………………………………………3分解得 3=x . ………………………………………………………………………4分经检验，3=x 是原分式方程的解. …………………………………………………5分15. （本小题5分）解：原式＝)1()2)(2(222--+⋅--+a a a a a a ………………………………………………3分12-+=a a . ……………………………………………………………………4分 当1-=a 时，原式211121-=--+-=.…………………………………………5分 16. （本小题5分）证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠1. …………………… 1分 ∵AE ＝AB ，∴∠1＝∠B. ……………………… 2分 ∴∠B ＝∠D A E. …………………………………………………………… 3分又AD ＝BC ，∴△A B C ≌△A E D. …………………………………………………… 4分 ∴D E ＝A C. ………………………………………………………………… 5分17. （本小题5分）解：把1=y 代入2-=x y ，得3=x .∴点A 的坐标为（3，1）. ……………………………………………………2分 把点A （3，1）代入xky =，得3=k . ……………………………………4分 ∴该反比例函数的解析式为xy 3=. …………………………………………5分18. （本小题5分）解：（1）31.6%；………………………………………………………………………1分（2）补全统计图；……………………………………………………………………4分 （说明：本问共3分，①补全“上网”给1分；②补全“健身游戏”给2分.）（35分19. （本小题5分）解：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠1＝∠2.∵∠ACB ＝∠D ＝90°. ∴∠3＝∠B.∴32tan 3tan =∠=∠B . ………………………………………………………… 1分 在Rt △ACD 中，CD ＝4， ∴63tan =∠=CDAD . ……………………………………………………………… 2分∴13222=+=CD AD AC .…………………………………………………… 3分在Rt △ACB 中，32tan =B ，∴132sin =B .∴13sin ==BACAB . ……………………………………………………………… 4分 ∴51)(21=⋅+=AD CD AB S ABCD 梯形.…………………………………………… 5分20. （本小题5分）解：设1978年全国有公共图书馆x 个，博物馆y 个，………………………………1分由题意，得⎩⎨⎧=++=+.465053502,1550y x y x …………………………………………………3分解得⎩⎨⎧==.400,1150y x …………………………………………………………………4分则26503502=+x ，20005=y .答：2008年全国有公共图书馆2650个，博物馆2000个. …………………………5分21. （本小题5分）解：由题意，可得△ABC 和△BDC 都是直角三角形， 在Rt △BDC 中，BD ＝20，∠DBC ＝30°， ∴1021==BD CD ，31022=-=CD BD BC .………………………………2分 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝45°， ∴310==BC AC . ………………………………………………………………3分∴10310-=-=CD AC AD .……………………………………………………4分 ∴7≈AD （米）. ……………………………………………………………………5分答：新修建的楼梯高度会增加7米.22. （本小题7分）证明：（1）连接OC （如图①）， ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A.∵OE ⊥AC ，∴∠A ＋∠AOE ＝90°. ∴∠1＋∠AOE ＝90°.又∠FCA ＝∠AOE ，∴∠1＋∠FCA ＝90°. 即∠OCF ＝90°.∴FD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………2分（2）连接BC （如图②），∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC. 又AO ＝OB ，∴OE ∥BC 且BC OE 21=.……………3分∴△OEG ∽△CBG. 图② ∴21==CB OE CG OG . ∵OG ＝2，∴CG ＝4.∴OC ＝6. ………………………………………………………………5分 即⊙O 半径是6.（3）∵OE ＝3，由（2）知BC ＝2OE ＝6.∵OB ＝OC ＝6，∴△OBC 是等边三角形.∴∠COB ＝60°. ………6分 在Rt △OCD 中，3660tan =︒⋅=OC CD .∴O BC O CD S S S 扇形阴影-=∆360660366212⨯-⨯⨯=π π6318-=. ………………………………………………7分23. （本小题5分）（1）…………………………………………………………………1分.）（2） …………………………………………………………………2分（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可.）（3）三角形的一边长与该边上的高相等. …………………………………………3分 （4）对角线互相垂直.（注：回答菱形、正方形不给分）………………………5分24. （本小题7分）解：（1）设直线AC 的解析式为3-=kx y ，把A （－1，0）代入得3-=k .∴直线A C 的解析式为33--=x y . ………………………………………………1分 依题意知，点Q 的纵坐标是－6.把6-=y 代入33--=x y 中，解得1=x ，∴点Q （1，6-）. ………………2分∵点Q 在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线1=x .设抛物线的解析式为n x a y +-=2)1(，由题意，得⎩⎨⎧-=+=+304n a n a ，解得⎩⎨⎧-==.4,1n a ∴抛物线的解析式为4)1(2--=x y .………………………………………………3分（2）如图①，过点C 作AC 的垂线交抛物线于点D ， 交x 轴于点N ，则ANC ACO ∠=∠∴ACO ANC ∠=∠tan tan ，∴OCOAON OC =. ∵1=OA ，3=OC ，∴9=ON .∴点N 的坐标为（9，0） 可求得直线CN 的解析式为331-=x y . 图① 由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=4)1(3312x y x y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==92037y x ，即点D 的坐标为（37，920-）.………5分 （3）设抛物线的对称轴交x 轴于点E ， 依题意，得2=AE ，4=EM ，=AMB∵1=-+=∆∆∆AME O CME AO C ACM S S S S 梯形， 且PM AE PM S PAM =⨯=∆21， 又ACM PAM S S ∆∆=3，∴3=PM .设P （1，m ）， 图②①当点P 在点M 上方时，PM ＝m ＋4＝3，∴1-=m ，∴P （1，－1）. …………………………………………………………6分 ②当点P 在点M 下方时，PM ＝－4－m ＝3，∴7-=m ，∴P （1，－7）. …………………………………………………………7分综上所述，点P 的坐标为1P （1，－1），2P （1，－7）.25. （本小题8分）（1）证明：如图①，∵∠ACB ＝90°，AC=BC ，∴∠A ＝∠B ＝45°.以CE 为一边作∠ECF ＝∠ECB ，在CF 上截取CF=CB ，则CF=CB=AC .连接DF 、EF ，则△CFE ≌△CBE. ………………………………………………1分∴FE=BE ，∠1＝∠B ＝45°.∵∠DCE ＝∠ECF ＋∠DCF ＝45°，∴∠DCA ＋∠ECB ＝45°.∴∠DCF ＝∠DCA.∴△DCF ≌△DCA. ……………………………………………………………2分∴∠2＝∠A ＝45°，DF ＝AD.∴∠DFE ＝∠2＋∠1＝90°.∴△DFE 是直角三角形.又AD=DF ，EB=EF ，∴线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形. ……………………………4分（2）当AD=BE 时，线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形.如图②，与（1）类似，以CE 为一边，作∠ECF=∠ECB ，在CF 上截取CF=CB ，可得△CFE ≌△CBE ，△DCF ≌△DCA.∴AD=DF ，EF=BE. ∴∠DFE ＝∠1＋∠2＝∠A ＋∠B ＝120°.若使△DFE 为等腰三角形，只需DF=EF ，即AD=BE.∴当AD=BE 时，线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形. ……………6分且顶角∠DFE 为120°.（3）证明：如图①，∵∠ACE ＝∠ACD ＋∠DCE ，∠CDB ＝∠ACD ＋∠A.又∠DCE ＝∠A ＝45°，∴∠ACE ＝∠CDB.又∠A ＝∠B ，∴△ACE ∽△BDC. ∴BDAC BC AE =. ∴BC AC AE BD ⋅=⋅. ∵Rt △ACB 中，由222210==+AB BC AC ，得5022==BC AC .∴502==⋅=⋅AC BC AC AE BD .…………………………………………8分说明：各解答题不同的正确解法参照以上标准给分.。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学 试 卷 2013.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.-3的倒数是A ．13 B ．13- C ． 3 D ．-3 2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行．最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合为粮食大约是200000000人一年的口粮．将200000000用科学记数法表示为 A ．8210⨯ B ．9210⨯ C ．90.210⨯ D ．72010⨯ 3． 若一个正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是 A ．10 B ．9 C ．8 D ．54．如图，AB ∥CD ，E 是AB 上一点，EF 平分∠BEC 交CD 于点F ，若∠BEF =则∠C 的度数是A ．70°B ．55°C ．45°D ．40° 5．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上 的点数大于4的概率为 A ．61 B ．31 C ．41 D ．21 6．把方程2630x x ++=化成()2x n m +=的形式，正确的结果为A ．()236x += B ．()236x -= C ．()2312x += D ．()2633x +=7．某校春季运动会上，小刚和其他16名同学参加了百米预赛，成绩各不相同，小刚已经知道了自己的成绩，如果只取前8名参加决赛，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道所有参加预赛同学成绩的 A . 平均数 B . 众数 C . 中位数 D . 方差8．如图，将一张三角形纸片ABC 折叠，使点A 落在BC 边上，折痕EF ∥BC ，得到△EFG ；再继续将纸片沿△BEG 的对称轴EM 折叠，依照上述做法，再将△CFG 折叠，最终得到矩形EMNF ，折叠后的△EMG 和△FNG 的面积分别为1和2，则△ABC 的面积为A . 6B . 9C . 12D . 18二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在函数12y x =+中，自变量x 的取值范围是 ． 10．分解因式：3m m -= .11．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，AB =32，∠B =30°，则△AOC 的周长为 .12. 在平面直角坐标系xOy 中，动点P 从原点O 出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到达的点是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后可能到达的点是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此类推……．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 1，l 1=3；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 2，l 2=9；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 3，l 3=18；按照这 样的规律，l 4= ； l n = (用含n 的式子表示，n 是正整数)三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：()0223tan 602013--︒+．14．求不等式13(1)x x +>-的非负整数解.15．已知2270x x --=，求2(2)(3)(3)x x x -++-的值．16．已知：如图，OP 平分∠MON ，点A 、B 分别在OP 、ON 上，且OA =OB ，点C 、D 分别在OM 、OP 上，且∠CAP =∠DBN ． 求证：AC =BD ．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y = -x 的图象 与反比例函数()0ky x x=<的图象相交于点()4A m -，． O（1）求反比例函数ky x的解析式； （2）若点P 在x 轴上，AP =5，直接写出点P 的坐标．18. 北京地铁6号线正式运营后，家住地铁6号线附近的小李将上班方式由自驾车改为了乘坐地铁，这样他从家到达上班地点的时间缩短了0.3小时．已知他从家到达上班地点，自驾车时要走的路程为17.5千米，而改乘地铁后只需走15千米，并且他自驾车平均每小时走的路程是乘坐地铁平均每小时所走路程的23．小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是多少小时？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 如图，在四边形ABCD 中，∠D =90°，∠B =60°，AD =6，AB=3，AB ⊥AC ,在CD 上选取一点E ，连接AE ，将△ADE 沿AE 翻折，使点D 落在AC 上的点F 处．求（1）CD 的长； （2）DE 的长．20. 如图，⊙O 是△ABC 是的外接圆，BC 为⊙O 直径，作∠CAD =∠B ，且点D 在BC 的延长线上．(1)求证：直线AD 是⊙O 的切线；(2)若sin ∠CAD=4，⊙O 的半径为8，求CD 长．21. “2012年度中国十大科普事件”今年4月份揭晓，“PM2.5被写入‘国标’，大气环境质量广受瞩目”名列榜首．由此可见，公众对于大气环境质量越来越关注，某市对该市市民进行一项调查，以了解PM2.5浓度升高时对人们户外活动是否有影响，并制作了统计图表的一部分如下：BPM 2.5浓度升高时对于户外活动 公众的态度的扇形统计图PM 2.5浓度升高时对于户外活动公众的态度的统计表（1）结合上述统计图表可得：p = ，m = ； （2）根据以上信息，请直接补全条形统计图；（3）若该市约400万人，根据上述信息，请你估计一下持有“影响很大，尽可能不去户外活动”这种态度的约有多少万人．（说明：“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）22．阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l 1∥l 2∥l 3 ，l 1与l 2之间的距离是1，l 2与l 3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l 1任取一点A ，作AD ⊥l 2于点D ，作∠DAH =90°，在AH 上截取AE =AD ，过点E 作EB ⊥AE 交l 3于点B ，连接AB ，作∠BAC =90°，交直线l 2于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于 ． 参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线l 1∥l 2∥l 3, l 1与l 2之间的距离是2，l 2与l 3l 1l 2l 3l 1l 2l 3图1PM 2.5浓度升高时对于户外活动公众的态度的条形统计图123图2之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶 点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并直接写出所画等边三角形 ABC 的面积（保留画图痕迹）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．二次函数2134y x x n =++-的图象与x 轴只有一个交点；另一个二次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且m 是小于5的整数．求（1）n 的值；（2）二次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交点的坐标．24．在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．（1）如图1，CE =AB ，BD =AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，请你直接写出EBDC的值； （2）如图2，CE =kAB ，BD =kAE ，12EB DC =，求k 的值．25．如图，二次函数y =ax 2+2ax +4的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，∠CBO 的正切值是2．(1)求此二次函数的解析式．(2)动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针旋转，与直线AB 重合时终止运动，直线l 与BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点． ①直接写出点P 所经过的路线长．②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DE ⊥AC 于点E 、作DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由． ③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值．图2B 图1FB北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷参考答案及评分标准 2013.5一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1.B 2.A 3.D 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．x ≠-2 10.(1)(1)m m m +- 11.612.30；()312n n +（说明：结果正确，不化简整理不扣分）.（每空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 解：原式1333314……………………………………………………4分34.…………………………………………………………………………5分 14.解：133x x +>- ……………………………………………… ………………………1分24x ->-2x <.… …………………………………………………………………………3分 ∴原等式的非负整数解为1，0. ……………………………………………………5分 15. 解：原式22449x x x =-++- ………………………………………………………2分2245x x =--.∵2270x x --=，∴227x x -=.∴原式22(2)5x x =--9=.………………………………………………………………………………5分16.证明：∵OP 平分∠MON ，∴∠COA =∠DOB .…………………………………………………………………1分 ∵∠CAP =∠DBN ，∴CAO DBO ∠=∠.………………………………………………………………2分 ∵OA =OB ，…………………………………………………………………………3分 ∴COA ∆≌DOB ∆. ………………………………………………………………4分 ∴AC =BD . …………………………………………………………………………5分17.（1）解:把()4A m -，代入y = -x ，得m =4.……………………………………………1分 ∴()44A -，. 把()44A -，代入ky x=，得k = -16. ∴反比例函数解析式为16y x=-. （2）（-7，0）或（-1，0）.18. 解：设小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是x 小时. …………………………1分由题意，得17.51520.33x x =⨯-. ……………………………………………………2分 解方程，得 x =0.7. ………………………………………………………………………3分 经检验，x =0.7是原方程的解，且符合题意.……………………………………………4分 答：小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是0.7小时. ……………………………5分 四、解答题（本题共20分，题每小题5分）19．解：（1）∵AB ⊥AC ，∴∠BAC =90°.∵∠B =60°，AB， ∴AC =10. ∵∠D =90°,AD =6，∴CD =8. … （2）由题意，得∠AFE =∠D=90°，AF=AD =6， EF=DE .∴∠EFC =90°, ∴FC =4. … … 设DE =x ,则EF=x ,CE=8-x .在Rt △EFC 中，由勾股定理,得 2224(8)x x +=-.…解得x =3.所以DE =3. ……………………………………………………………………5分20.（1）证明：连接OA .∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC =90°. …∴∠B +∠ACB =90°.∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA .∵∠CAD =∠B ，∴∠CAD +∠OAC =90°.即∠OAD =90°.∴OA ⊥AD .B∴AD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………………………2分 (2) 解：过点C 作CE ⊥AD 于点E . ∵∠CAD =∠B ,∴sinB =sin ∠CAD.… ∵⊙O 的半径为8，∴BC=16. ∴AC =sin BC B ⋅=∴在Rt △ACE 中，CE=sin AC CAD ⋅∠=2.……∵CE ⊥AD , ∴∠CED =∠OAD =90°. ∴CE ∥OA .∴△CED ∽△OAD .∴CD CE OD OA =.设CD =x ，则OD =x +8. 即288x x =+.解得x =83.所以CD =83.………………………………………………………………………………5分21.解：（1）30%，20%； ………………………2分（2）如图；………………………………4分（3）400×20%=80（万人）. …………5分22. 解： 5； (2)如图； (3)………………………………………5五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：(1)∵2134y x x n =++-的图象与x 轴只有一个交点， ∴令10y =，即2304x x n ++-=.……………………………………………1分∴131404n ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭.解得n =1. (2)由(1)知，()2222146y x m x m m =--+-+.∵()2222146y x m x m m =--+-+的图象与x 轴有两个交点，∴[]2222(1)4(46)m m m ∆=----+820m =-.∵20∆>，∴52m >.又∵5m <且m 是整数， ∴m =4或3.当m =4时，2266y x x =-+的图象与x 轴的交点的横坐标不是整数；当m =3时，2243y x x =-+，令20y =，即2430x x -+=，解得11x =，23x =.综上所述，交点坐标为（1，0），（3，0）. ………………………………………7分24. 解：(1)2EB DC =………………………………………………………………………2分 (2)过点C 作CF ∥EB 且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G , 连接BF .∴四边形EBFC 是平行四边形. …………………………………………………3分 ∴CE ∥BF 且CE =BF .∴∠ABF =∠A =90°.∵BF =CE =kAB .∴BFk AB=.∵BD =kAE ， ∴BD k AE =.…∴BF BDAB AE=. ∴DBF ∆∽EAB ∆. ……………∴DFk BE =,∠GDB=∠AEB . ∴∠DGB =∠A =90°.∴∠GFC =∠BGF =90°.∵12CF EB DC DC ==.∴DF DF EB CF =. ∴k……………25. 解：(1)根据题意，C (0，4)．∴OC =4．∵tan ∠CBO =2，∴OB =2．∴B (2，0)．∴ 0444a a =++．∴12a =-．∴二次函数的解析式为2142y x x =--+．……………………………………2分(2) ①点P……………………………………………3分 ②∠EPF 的大小不发生改变．………………………………………………………4分 由2142y x x =--+可得，A (-4，0)． ∴OA = OC ．∴△AOC 是等腰直角三角形． ∴∠CAO =45°．∵DE ⊥AC ， DF ⊥AB ， ∴∠AED = ∠AFD =90°． ∵点P 是线段AD 的中点， ∴PE = PF =12AD = AP ． ∴∠EPD =2∠EAD ，∠FPD =2∠F AD ．∴∠EPF =∠EPD +∠FPD =2∠EAD +2∠F AD = 2∠CAO =90°．…………………5分 ③由②知，△EPF 是等腰直角三角形． ∴EFPE=2AD ．……………………………………………………………6分 ∴当AD ⊥BC 时，AD 最小，此时EF 最小．……………………………………7分 在Rt △ABD 中，B∵tan∠CBO=2，AB=6，．∴AD=5∴EF即此时EF8分。