初三数学一模试卷及答案

2024北京平谷初三一模数 学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 从水利部长江水利委员会获悉，截止2024年3月24日，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计调水700亿立方米．其中70 000 000 000用科学记数法表示为( ) A ．8710⨯B ．9710⨯C ．10710⨯D ．11710⨯2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3. 如图，点C 为直线AB 上一点，CD ⊥CE ，若∠1=65°，则∠2的度数是 A.15° B.25° C.35° D.4. 已知1x −＜＜0，下列四个结论中，错误的是 A. x ＜1 B. 0x −＞ C. 1x −＞ D.x+1＞05. 如果正多边形的每个内角都是120°，则它的边数为（ ） A. 5B. 6C. 7D.86. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率是（ ）A. 14B. 13C. 12D. 237.已知两组数据（1）3005,3005,3003,3000,2994；（2）5,5,3,0，-6，设第一组数据的平均值为_1x ，方差为21s ，设第二组数据的平均值为_2x ，方差为22s ，下列结论正确的是：A.__221212,s x x s == B.__221212,s x x s >> C.__221212,s x x s => D.__221212,s x x s >=8. 如图，正方形ABCD 中，点E 、H 、G 、F 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的点，点K 、M 、N 为对角线BD 上的点，四边形EKNF 和四边形MHCG 均为正方形，它们的面积分别表示为S 1，和S 2，给出下面三个结论：①12S S =；②2DF AF =；③12ABCD 9=S +2S 4S 正方形； A. ② B ①.③C. ②③D. ①②③上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） 二、填空题（共16分，每题2分）659.x 的取值范围是______． 10. 分解因式：22x a a ax ++=__________________. 11.化简：3113x x x+−−的结果为 ． 12.写出一个大于1小于4的无理数： ． 13. 如图，反比例函数(0)ky k x=≠经过点A 、点B ，则m=______． 14.若关于x 的一元二次方程220x x k +=+有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____.15. 如图，△ABC 内接于⊙O ，BC 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，连接AD 、DC 若∠D=20°，则ACB ∠的度数为______．16．某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F 六道工序，其中A ，B 是前期准备阶段，C ，D ，E 是中期制作阶段，F 为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要_____________分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到30分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是_____________元.三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题，6分，第21题，5分，第22—23题，每题6分，第24—25题，每题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：112cos3012−⎛⎫︒+− ⎪⎝⎭18．解不等式组：32162x x x x −⎧⎪⎨−+⎪⎩＞＜．19. 已知250,x x +−=求代数式(1)(x 1)x(2)x x +−++的值.20. 我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步.今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题.21．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝k x ＋b (k≠0)的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(0，3)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x ＞0时，对于x 的每一个值，一次函数12y x n =+的值小于函数y ＝k x ＋b (k≠0)的值且大于0，直接写出n 的取值范围．22.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 分别是BC 、AB 边的中点，连接DE 并延长，使EF=2DE ，连接AF 、CE.（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形； （2）若∠B=30°，求证：四边形ACEF 是菱形.23．如图，△ABC 内接于O ，∠ACB=45°，连接OA ，过B 作O 的切线交AC 的延长线于点D ，． （1）求证：D OAD ∠=∠；（2）若BC =tanD 34=，求O 半径的长．24.光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好.下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据：（1）通过观察表格数据可以看出，若设温度为x ，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数.建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象:（2）结合函数图象，解决问题:（结果取整）①最适合草莓生长的温度约为______℃；②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢.25．4月24日是中国的航天日.为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情,某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛，现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）；26.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2y x bx =−． （1）当抛物线过点（2,0）时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线上存在两点11(x ,y )A 和22(x ,y )B ,若对于11x 2,≤≤2x 2b =+都有120y y <，求b 的取值范围．27.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB =A C ,点D 为BC 边中点，DE ⊥AB 于E ，作∠EDC 的平分线交AC 于点F ，过点E 作DF 的垂线交DF 于点G ，交BC 于点H.(1)依题意补全图形； (2)求证：DH=BE ；(3)判断线段FD 、HC 与BE 之间的数量关系，并证明.28. 平面直角坐标系xOy 中,已知⊙M 和平面上一点P ，若PA 切⊙M 于点A ，PB 切⊙M 于点B ，且90°≤∠APB ＜180°则称点P 为⊙M 的伴随双切点. （1）如果⊙O 的半径为2① 下列各点1(1)P −，02,(2)P −，23,(3,3)P 4,(1,2)P −− 是⊙O 的伴随双切点的是 ；② 直线y x b =+上存在点P 为⊙O 的伴随双切点，则b 的取值范 围 ；（2）已知：点E （1，2）、F （0，-2），过点F 作y 轴的垂线l ，点C （m ，0）是x 轴上一点，若直线l 上存在以CE 为直径的圆伴随双切点，直接写出m 的取值范围.参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题，6分，第21题，5分，第22—23题，每题6分，第24—25题，每题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解：112cos3012−⎛⎫︒++− ⎪⎝⎭=2212⨯++−−........................................................4 =1.. (5)18.解不等式组：32162x x x x −⎧⎪⎨−+⎪⎩＞＜解①得1x >−........................................................2 解②得4x <.. (4)14x ∴−<< (5)19.先化简，再求值：(1)(x 1)x(2)x x +−++2212x x x =−++........................................................2 2221x x =+−.. (3)22x 50,+x=5x x +−=∴........................................................4 10-19∴==原式.. (5)20. 解：设走路快的人走了x 步追上走路慢的人 (2)31005x x =+························································4 解得:x=250························································5 答：走路快的人250步追上走路慢的人 (6)（方法不唯一，其他方法依步骤给分）21.（1）∵一次函数y ＝k x ＋b (k≠0)的图象由函数y x =的图象平移得到∴k=1························································1 ∵经过点(0，3)∴b=3 (2)3y x ∴=+（2） 03n ∴≤≤时结论成立.························································5 22．解：（1）∵点D 、E 分别是BC 、AB 边的中点∴DE ∥AC ，且12DE AC =························································1 ∵EF=2DE∴EF=AC (2)∴四边形ACEF 是平行四边形 (3)（2）Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，E 为AB 中点， ∴12CE AB AE ==························································4 ∵∠B=30° ∴∠BAC=60°∴△AEC 是等边三角形························································5 ∴AC=EC∴四边形ACEF 是菱形 (6)23.（1）证明：连接OB ∵BD 是O 的切线∴∠OBD=90° (1)∵∠ACB=45°∴∠AOB=90°························································2 ∴OA ∥BD∴ADB OAD ∠=∠· (3)（2）过点B 作BH ⊥AD 于点H ∴∠AHB=∠DHB=90°∵∠ACB=45°，BC =∴BH=HC=4 (4)∵∠HBM+∠BMH=90° ∠OAM+∠AMO=90° ∠BMH=∠AMO ∴∠MBH=∠OAM=∠D4tanD 3=∴tan ∠MBH 34=∴MH=3，BM=5························································5 设O 的半径为x ∴OM=x-5∵△AOM ∽△BHM 354x x −∴=解得x=20 (6)24.解（1)补全函数图象 (2)(2)①最适合草莓生长的温度约为___36___℃；(33-37均可)························································3 ②064250x x ≤≤≤≤℃℃或℃℃(答案不唯一）························································5 25.(1)补全a 中频数分布直方图； (1)(2)88.5; 94.························································3 (3)435. (5)26.（1）抛物线的对称轴为x=b (1)∵抛物线过点（0,0）和（2,0）∴b=1 (2)∴抛物线的解析式为22y x x =− （2）∵抛物线的对称轴为x=b ，∴（b+2,0）点一定位于对称轴的右侧························································3 情况1：当原点位于对称轴的左侧时此时，有2222b b b +>⎧⎨<⎩解得12b <<························································4 情况2：当原点位于对称轴的右侧时此时，有220b b <+<解得22b b <⎧⎨<−⎩ 解得2b <− (5)综上， 1∴<b<2或b<-2 (6)27.(1)补全图形 (1)(2) 证明： ∵DF 平分∠EDC∴∠1=∠2∵DF ⊥EH∴∠EGD=∠HGD=90°∵∠1=∠2，DG=DG∴△EDG ≌△HDG (2)∴DE=DH∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=45°∵ DE ⊥AB∴∠BED=90°∴ ∠B=∠EDB=45°∴DE=BE∴DH=BE (3)（3）222BE HC DF += (4)方法1：作DM ⊥AC 于M (5)∵CD=BD ，∠DMC=∠BED=90°，∠B=∠C=45°∴△BED ≌△CMD ∴DE=DM ，∵∠BAC=90°， DE ⊥AB∴DE ∥AC∴∠1＝∠3∵DF 平分∠EDC∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴CD=CF (6)∵CM=DM=BE=DH∴CF-CM=CD-DH∴FM=HC在Rt △FDM 中∵222FM DM DF +=∴.222BE HC DF += (7)方法2：在CF 上截取CK=CH ，连接DK 并延长使DM=DK ，连接BM ，EM..........................................5 ∵CD=BD ，DK=DM ，∠KDC=∠BDM∴△KDC ≌△BMD ∴KC=BM ，∠C=∠4∴KC ∥BM∴∠ABM=∠BAC=90°∵∠BAC=90°， DE ⊥AB∴DE ∥AC∴∠1＝∠3∵DF 平分∠EDC∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴CD=CF (6)∵ CK=CH∴FK=DH∴DE=FK∵ED ∥AC∴∠EDM=∠5∴△EMD ≌△FDK.∴DF=ME∴222BE HC DF +=.........................................7 方法3：连接AD ，在AB 上截取BM=AF ，连接DM. Rt △ABC 中，∠BAC=90°，D 为BC 中点 ∴AD=BD ，∠4=∠B=45°∵AF=BM∴△ADF ≌△BMD.........................................5 ∴DF=DM∵AB=AC ，BM=AF∴AB-BM=AC-AF∴AM=CF∵∠BAC=90°， DE ⊥AB∴DE ∥AC∴∠1＝∠3∵DF 平分∠EDC∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴CD=CF (6)∴AM=CD∵DE ⊥AB ，∠BAD=45°∴AE=DE∴AE=DH∴ME=HC在Rt △EDM 中∵222EM DE DM +=∴222BE HC DF += (7)28．解：（1）①P 2，P 4； (2)②44b −≤≤ (4)（2）11m ≥+≤或m (7)。

上海市崇明区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.如果两个相似三角形的周长之比为1:4，那么它们对应边之比为（）.A 1:2；.B 1:4；.C 1:8；.D 1:16．2.在直角坐标平面内有一点 5,12A ，点A 与原点O 的连线与x 轴正半轴的夹角为 ，那么tan 的值为（）.A 5；12；5；12．3..A 23x ．4..A .2a c ，//b c ．5.在）.A .C 6.）.A 7.8.计算：53222a b a b．9.如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP ），那么APAB的值是．10.在Rt ABC 中，90C ，8AC ，4sin 5B，那么AB 的长为．11.如果抛物线 21y m x m 经过原点，那么该抛物线的开口方向为．（填“向上”或“向下”）12.已知一条抛物线的对称轴是直线1x ，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是.（只要写出一个符合条件的即可）第13题图第14题图13.如图，已知////AD BE CF ，它们与直线1l 、2l 依次交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，如果35EF DF ，10AB ，那么线段BC 的长是．14.19AEF BFC S S，AD 15.16.，如果3AP ，BP 17.AD 上的点G 18.定义：与 90ACB ，CD 是的余切值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：2sin 60cos 45cot 303tan 30．第15题图第20题图如图，已知在ABC 中，18BC ，点D 在边BC 上，//DE AB ，94DE AB ．（1）求BD 的长；（2）联结AD ，设AB a ，AC b ，试用a 、b 表示AD．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知二次函数2246y x x ．（1）用配方法把二次函数2246y x x 化为 2y a x m k 的形式，并指出这个函数图像的对称轴和顶点坐标；（2）如果该函数图像与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，O 为坐标原点，求四边形ADCO 的面积．第21题图第23题图如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡BM的坡度i D 处有一棵树AD （假设树AD 垂直水平线BN ），在坡底B 处测得树梢A 的仰角为45 ，沿坡面BM 方向前行30米到达C 处，测得树梢A 的仰角ACQ 为60 （点B 、C 、D 在一直线上）．（1）求A 、C 两点的距离；（2）求树AD 的高度（结果精确到0.11.732 ）23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，E 是边BC 上一点，AE 与对角线BD 相交于点F ，且2BEEF AE ．（1）求证：DAB AFB ∽；（2）联结AC ，与BD 相交于点O ，若AB OB BC AF ，求证：2AF OD BF ．第22题图第24题图备用图24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）已知在直角坐标平面xOy 中，抛物线2y ax bx c （0a ）经过点 1,0A 、 3,0B 、 0,3C 三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点D 是点C 关于抛物线对称轴对称的点，联结AD 、BD ，将抛物线向下平移m （0m ）个单位后，点D 落在点E 处，过B 、E 两点的直线与线段AD 交于点F （F 不与点A 、D 重合）．①如果2m ，求tan DBF 的值；②如果BDF 与ABD 相似，求m 的值．第25题图2备用图第25题图125.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知Rt ABC 中，90ACB ，3AC ，5AB ，点D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），点F 是边BC 上的一点，且满足CDF A ，过点C 作CE CD 交DF 的延长线于E ．（1）如图1，当//CE AB 时，求AD 的长；（2）如图2，联结BE ，设AD x ，BE y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）过点C 作射线BE 的垂线，垂足为H ，射线CH 与射线DE 交于点Q ，当CQE 是等腰三角形时，求AD 的长．九年级数学共6页第1页崇明区2023学年第一学期期末质量调研九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ;2.D 3．C 4．A 5．C6．B二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．47；8．3a b ；9．12；10．10；11．向下；12.21y x （）（答案不唯一）；13.15；14.5；15.16.163；17.；18.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式=2()2………………………………………………………（8分）.……………………………………………………………………………（2分）20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵DE AB ∥，94DE AB ∴49DE CD AB BC ……………………………………………………………………（2分）∵18BC ，∴4189CD ，解得：10CD ，……………………………………………………（1分）∴18810BD BC CD .……………………………………………………（2分）（2）∵AB a ,b AC，∴-BC AC AB b a.………………………………………………………………（2分）又∵49CD BC ，DC 与BC 同向，九年级数学共6页第2页∴444999DC BC b a，…………………………………………………………（1分）∴.4445()9999AD AC CD AC DC b b a a b…………………（2分）21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）2246y x x 2226x x （）……………………………………………………………（1分）22218x x （）…………………………………………………………（1分）2218x （）……………………………………………………………（1分）∴对称轴为直线1x ，顶点坐标为1,8 （-）.………………………………（2分）（2）由（1）得18D （，）.令0y ，则22460x x ，解得：13x ，21x ，∴0A （-3，），则AO=3.……（1分）令0x ，则6y ，∴06C （，），则OC=6.……（1分）联结OD .，则：1122AOD DOC ABDC D D S S S AO y OC x△△四边形………………………………（1分）1138611522…………………………………（2分）22．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）解:（1）根据题意可知：∠ABN=45°，∠ACQ=60°，BC =30米.∵小山的斜坡BM的坡度tan i MBN ，∴∠MBN=30°=∠MCQ ，………（1分）∴∠ABC=15ABN MBN ∠∠，∠ACM=30ACQ MCQ ∠∠…………………（2分）∵∠ABC +∠BAC=∠ACM ，∴∠BAC=30°-15°=15°=∠ABC …………………………（1分）∴AC=BC=30米，即A 、C 两点的距离为30米.………………………………………（1分）（2）延长AD 交CQ 于点H ，则∠AHC=90°.在t R ACH △中，30AC ，∠ACQ=60°，∴sin 6030AH AC ，1cos6030152CH AC.……………（2分）在Rt DCH △中，9CH ，∠DCH=30°，BN九年级数学共6页第3页∴tan 3015DH CH …………………………………………………（1分）∴17.3AD AH DH （米）………………………………………………（2分）答：A 、C 两点的距离为18米，树AD 的高度约为17.3米.23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）证明：（1）∵2BE EF AE ，∴BE AE EF BE ，又∵BEF AEB ，∴BEF AEB △∽△，…………………………………………………………（2分）∴EBF BAE .……………………………………………………………（1分）∵AD ∥BC ，∴ADB EBF ，……………………………………………………………（1分）∴BAE ADB ，……………………………………………………………（1分）又∵ABF ABD ，∴DAB AFB △∽△.……………………………………………………………（1分）（2）∵AB OB BC AF ，∴AB AFBC OB，又∵BAF OBC ，∴ABF BCO △∽△，……………………………………………………………（2分）∴AFB BOC =，∴AFO AOF =，∴AF AO .………………………………………………………………………（1分）∵BOC AOD =，∴AFB AOD =，又∵BAF ADO =，∴BAF ADO △∽△，………………………………………………………………（1分）∴AO ODBF AF，即AO AF OD BF ，………………………………………（1分）∵AF AO ，∴2AF OD BF .…………………………………………………（1分）24.（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题的①满分4分，第(2)小题的②满分4分）解：（1）∵抛物线2y ax bx c （0a ）经过点A （-1,0），3,0B （），0,3C （），九年级数学共6页第4页∴-09303a b c a b c c ，解方程组得：123a b c.………………………………………（3分）∴抛物线的表达式为：223y x x ………………………………………………（1分）（2）由222314y x x x （），得抛物线对称轴为直线1x .∵点D 是点0,3C （）关于抛物线对称轴对称的点，∴2,3D （）…………………………（1分）过点D 作DH x 轴，垂足为点H ，则H （2,0）∴DH=AH=3，BH=1，∴45ADH DAH .当DE=m=2时，EH=1=BH ，∴Rt EBH BE 在中，，45EBH BEH ，∴90DFB FAB FBA ∠…………………………（1分）在t R DEF △中，DE=2，45ADH ∴EF=sin 45DE =DF ，∴BF=EF+BE=在t R DBF △中，1tan 2DF DBF BF .……………………………（2分）（3）如果BDF △与ABD △相似∵ADB 是公共角，1方法一：若DBF DAB ，则DFB DBA△∽△∴DF BD BD AD，则，解得：DF （1分）过点F 作FG DH ，垂足为点G ，则FG AB ∥.∴FG EGBH EH……………………………………（1分）在t R DFG △中，45ADH ，∴53DG FG，∴53EG m ，又3EH m ，∴553313m m，解得：52m .……（1分）；方法二：若DBF DAB ，则DFB DBA △∽△，可得∠DBF =∠DAB=45°九年级数学共6页第5页利用上一题结论，可证明1tan 2EBH ………………………（1分），在t R EHB △中，1tan 2EH EBH BH ，得12EH ………………………（1分）解得52m………………………（1分）;②若DFB DAB ，此时F 与A 重合，即△BDF 和△ABD 全等，即3m ……（1分）.25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）解：在t R ABC △中，3AC ，5AB ，∴4BC ，3cos 5AC A AB .……………（1分）（1）∵CE CD ，∴90DCE .………（1分）∵CE ∥AB ，∴90ADC DCE …（1分）在t R ADC △中，39cos 355AD AC A……（1分）（2）∵90ACB DCE ，∴ACD BCE∵A ACD CDB ,即A ACD CDF FDB ∵CDF A ，∴ACD FDB ，∴FDB BCE ，又∵DFB CFE ，∴△DFB ∽△CFE ，………………………（1分）∴DF BFCF EF，∴DF CFBF EF，又∵CFD EFB ，∴△DFC ∽△BFE ，………………………………………………………………（1分）∴CDF EBF ，∵CDF A ∴A EBF ，∵ACD BCE ，∴△ACD ∽△CBE ，………………………………………………………………（1分）∴AC ADBC BE∵AD=x ，BE=y ，∴34x y，得：43y x.……………………………………………………………………（1分）EABE AB九年级数学共6页第6页定义域：05x .……………………………………………………………（1分）（3）∵A EBF ，∴90A ABC EBF ABC ∠∠，即90DBE ∠.∵CH ⊥BE ，∴∠CHB=90°.在t R CHB △中，4BC ，312cos cos 455BH BC CBE BC A ，165CH.若△CQE 是等腰三角形，①点Q 在线段DE 的延长线上时∵在t R CDE △中，∠CED <90°，∴∠CEQ>90°，∴只有EC=EQ 一种情况.∵CH ⊥BE ，∴165QH CH .∵90DBE CHB ∠∠，∴CQ ∥AB ，∴QH EHBD BE，∴1612555y x y ，即16124553453xx x，解得：x=1或x=9（舍去），∴AD=1………………………………………………（2分）②点Q 在线段DE 上时∵∠CQE>90°，∴只有QC=QE 一种情况.∴∠QCE=∠QEC ，∵在t R CDE △中，90CDE DEC ∠，90ECQ DCQ ∠∴∠QCD=∠QDC ，∴QC=QD ，∴QE=QD ，∵CH ∥AB ，∴EH=BH=125，∴BE =245，即42435x ，解得：185x ，…………………………………………（2分）∴185AD.以上分类讨论的情况正确，有判断过程…………………（1分）综上所述：当△CQE 是等腰三角形时，AD 的长为1或185.。

东城区2023—2024学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学试卷考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID 号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．2．2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（）A ．71.3310⨯B ．513.310⨯C ．61.3310⨯D ．70.1310⨯3．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,2A ，()1,0B -，()2,0C 为ABCD 的顶点，则顶点D 的坐标为（ ）A ．()3,2-B ．()2,2C ．()3,2D ．()2,34．若实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）A ．a b <B ．11a b +<+C ．22a b <D ．a b>-5．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,2P 在反比例函数k y x =（k 是常数，0k ≠）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（）A ．()2,0-B ．()1,2-C ．()1,2--D ．()1,2-6．如图，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（ ）A ．AE BE =B ．90CBD ∠=︒C ．2COB D∠=∠D ．COB C ∠=∠7．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（）A ．12B ．13C ．16D ．198．2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为248m ，则该正五边形的边长大约是（ ）（结果保留一位小数，参考数据：tan 360.7︒≈，tan 54 1.4︒≈ 6.5≈ 4.6≈）A ．5.2mB ．4.8mC ．3.7mD ．2.6m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是______．10．因式分解：2218xy x -=______．11．方程323x x =-的解为______．12．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．13．为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如下表所示：锻炼时间x56x ≤<67x ≤<78x ≤<8x ≥学生人数1016195以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有______人．14．在Rt ABC △中，90A ∠=︒，点D 在AC 上，DE BC ⊥于点E ，且DE DA =，连接DB ．若20C ∠=︒，则DBE ∠的度数为______°．15．阅读材料：如图，已知直线l 及直线l 外一点P ．按如下步骤作图：①在直线l 上任取两点A ，B ，作射线AP ，以点P 为圆心，PA 长为半径画弧，交射线AP 于点C ；②连接BC ，分别以点B ，C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点Q ；③作直线PQ ．回答问题：（1）由步骤②得到的直线MN 是线段BC 的______；（2）若CPQ △与CAB △的面积分别为1S ，2S ，则12:S S ______．16．简单多面体的顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式．（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表：名称图形顶点数（V ）面数（F ）棱数（E ）三棱锥446长方体8612五棱柱10715正八面体6812在简单多面体中，V ，F ，E 之间的数量关系是______；（2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边．小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共______个．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17()02cos30π12-︒+---．18．解不等式组：26516132x x x +<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩．19．已知290x y --=，求代数式226344x y x xy y--+的值．20．如图，四边形ABCD 是菱形．延长BA 到点E ，使得AE AB =，延长DA 到点F ，使得AF AD =，连接BD ，DE ，EF ，FB ．（1）求证：四边形BDEF 是矩形；（2）若120ADC ∠=︒，2EF =，求BF 的长．21．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB 的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B 的位置，被遮挡部分的水平距离为BC 的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A 的影子D 到点C 的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB 的长为x 米，BC 的长为y米．测量数据（精确到0.1米）如表所示：直杆高度直杆影长CD 的长第一次1.00.615.8第二次 1.00.720.1（1）由第一次测量数据列出关于x ，y 的方程是______，由第二次测量数据列出关于x ，y 的方程是______；（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得10y =，则钟楼的高度约为______米．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（k 为常数，0k ≠）的图象由函数13y x =的图象平移得到，且经过点()3,2A ，与x 轴交于点B ．（1）求这个一次函数的解析式及点B 的坐标；（2）当3x >-时，对于x 的每一个值，函数y x m =+的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．23．某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm ），数据整理如下：a ．1班 168 171 172 174 174 176 177 1792班 168 170 171 174 176 176 178 183b ．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5m n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ，n 的值；（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是______班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是______cm ．24．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，EAC CAB ∠=∠，直线CD AE ⊥于点D ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：直线CD 为O 的切线；（2）当1tan 2F =，4CD =时，求BF 的长．25．小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，击球点P 到球网AB 的水平距离 1.5m OB =．小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.2 2.5 2.35y x =--+．第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）的几组数据如下：水平距离x /m01234飞行高度y /m 1.1 1.6 1.92 1.9根据上述信息，回答下列问题：（1）直接写出击球点的高度；（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y 与水平距离x 满足的函数关系式；（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为1d ，2d ，则1d ______2d （填“＞”，“＜”或“＝”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线()210y ax bx a =++>上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x t =．（1）若点()2,1在该抛物线上，求t 的值；（2）当0t ≤时，对于22x >，都有12y y <，求1x 的取值范围．27．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 是BC 边上的点，12DE BC =，连接AD ．过点D 作AD 的垂线，过点E 作BC 的垂线，两垂线交于点F ．连接AF 交BC 于点G ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，直接写出DAF ∠与BAC ∠之间的数量关系；（2）如图2，当点D 与点B 不重合（点D 在点E 的左侧）时，①补全图形；②DAF ∠与BAC ∠在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD ，DG ，CG 之间的数量关系．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知线段PQ 和直线1l ，2l ，线段PQ 关于直线1l ，2l 的“垂点距离”定义如下：过点P 作1PM l ⊥于点M ，过点Q 作2QN l ⊥于点N ，连接MN ，称MN 的长为线段PQ 关于直线1l 和2l 的“垂点距离”，记作d ．（1）已知点()2,1P ，()1,2Q ，则线段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 为______；（2）如图1，线段PQ 在直线3y x =-+上运动（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标），若PQ =段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 的最小值为______；（3）如图2，已知点(0,A ，A 的半径为1，直线y x b =+与A 交于P ，Q 两点（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标），直接写出线段PQ 关于x 轴和直线y =的“垂点距离”d 的取值范围．。

石景山区2024年初三统一练习数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。

2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．2x≥10．22x y y+−()()11．212．1x= 13．>14．1−15．2516．2643；三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）17．解：原式2252=−+−…………………………4分7=．…………………………5分18．解：原不等式组为4178523x xxx−<+−>⎧⎪⎨⎪⎩，①.②解不等式①，得3x>−．…………………………2分解不等式②，得1x>．…………………………4分∴原不等式组的解集为1x>．…………………………5分19．解：原式22923x x xx −=⋅+()()23323x x x xx +−=⋅+()()()232x x −=． ………………………… 3分∵2360x x −−=，∴236x x −=． ………………………… 4分 ∴原式3=． ………………………… 5分20．（1）证明：∵AE 平分BAD ∠，∴12∠=∠． ∵AD BC ∥， ∴32∠=∠． ∴31∠=∠． ∴BE AB =． 又∵AD AB =， ∴BE AD =．∴四边形ABED 是平行四边形． 又∵AD AB =，∴□ABED 是菱形． ………………………… 3分（2）解：在Rt BCD △中，90C ∠=°，cos 43BC BD∠==，∴433BC BD ===．∵四边形ABED 是菱形，∴12AE BD BF BD ⊥==，．在Rt BFE △中，cos 43BF BE∠==， ∴3BE =．∴1EC BC BE =−=． ………………………… 6分CDEBAF431221．解：设这户居民2023年的用水量为x立方米．…………………………1分∵5180900⨯=，518072601801460⨯+⨯−=()，90010401460<<，∴180260x<<．根据题意列方程，得518071801040x⨯+−=()．…………………………4分解这个方程，得200x=． (5)分答：这户居民2023年的用水量为200立方米． (6)分22．解：（1）∵函数0y k x b k=+≠()的图象过点03A(，)和21B−(，)，∴321bk b=−+=⎧⎨⎩，.解得13kb==⎧⎨⎩，.∴该函数的解析式为3y x=+． (2)分∵函数3y x=+的图象与过点05(，)且平行于x轴的直线交于点C，∴点C的纵坐标为5．令5y=，得2x=．∴点C的坐标为25(，)． (3)分（2）512m≤≤．…………………………5分23．解：（1）m的值为178，n的值为179；…………………………2分（2）甲组；…………………………3分（3）177cm176cm，．…………………………5分24．（1）证明：∵AB是O⊙的直径，CD AB⊥，∴AD AC=．又∵CF AC=，∴CF AC AD==．∴AF CD=．∴AF CD=．…………………………3分（2）解：连接OC，连接OF，如图．设O⊙的半径为x．∵AB是O⊙的直径，∴90AFB∠=°．∵CF CA=，∴112AOF∠=∠．又∵122AOF∠=∠，∴12∠=∠．又∵90CEO AFB∠=∠=°，∴CEO△∽AFB△．∴CO OE AB BF=．即262x xx=−．解得5x=．∴3OE OA AE=−=，8BE AB AE=−=．∴4CE=．∵AB是O⊙的直径，CD AB⊥，∴4DE CE==．在Rt DEB△中，BD==．…………………………6分25．解：（1）如图； ……… 2分（2）答案不唯一，如3.3，5.98；……… 4分（3）答案不唯一，如2.3．……… 5分26．解：（1）由题意，得22m t −+=−()，即22m t +=． ………………………… 2分（2）231y y y <<．理由如下：令0y =，得2220x m x m −++=()． ∴122x x m ==，．∴抛物线与x 轴的两个交点为20(，)，0m (，)． ∵抛物线与x 轴的一个交点为00x (，)，其中002x <<， ∴02m <<． ∵22m t +=，∴12t <<．∴21t −<−<−，213t <+<．设点1A t y −(，)关于抛物线的对称轴x t =的对称点为1A n y '(，)． ∵点1A t y −(，)在抛物线上， ∴点1A n y '(，)也在抛物线上． 由n t t t −=−−()，得3n t =． ∴336t <<．∴13t t t <+<．∵抛物线的解析式为222y x m x m =−++()， ∴此抛物线开口向上．当x t ≥时，y 随x 的增大而增大．∵点2B t y (，)，31C t y +(，)，13A t y '(，)在抛物线上，且13t t t <+<， ∴231y y y <<． ………………………… 6分27．（1）证明：延长AD 交BC 于点G ，连接CD ，如图1．∵60BD BC DBC =∠=，°， ∴DBC △是等边三角形． ∴60DC DB BC DCB ==∠=，°． ∴点D 在线段BC 的垂直平分线上． ∵AB AC =，∴点A 在线段BC 的垂直平分线上． ∴AG BC ⊥．∴90AGC GAE ∠=∠=°．∴EA BC ∥． ………………………… 2分（2）依题意补全图2，如图．数量关系：2MF MD DE =+．证明：延长FD 交AE 的延长线于点N ，连接CD ，如图2．∵DC BC =，CF BC =， ∴CF CD =． ∴11302F FDC ∠=∠=∠=°．∵EA BC ∥， ∴30N F ∠=∠=°． 又∵AMN CMF ∠=∠，AM CM =，∴AMN △≌CMF △． ∴MF MN =．在Rt EAD △中，AE AD =，可得2DE AD =．1N EADCBMF图2G E DCB A 图1在Rt NAD △中，30N ∠=°，可得2DN AD =．∴DN =．∵MN MD DN MD =+=，∴MF MD =． ………………………… 7分28．解：（1）13C C ，； ………………………… 2分（2）①3(； ………………………… 4分②030α<<°°或3090α<°≤°或150180α<°≤°；3AQ ≥． … 7分。

上海市浦东新区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列函数中，是二次函数的是（）.A 21y x ；.B 21y x ；.C 221y x x ；.D 21y x．2.已知在Rt ABC 中，90C ，3AC ，4BC ，那么下列等式正确的是（）.A 3sin 3333.已知a .A a4..A 1:45..A .C 6..A .B .C .D 7.如果34x y ，那么x y y．8.计算：43a a b．9.已知线段2MN cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP ，那么线段MP 的长度等于cm ．10.如果点G 是ABC 的重心，且6AG ，那么边BC 上的中线长为．11.已知在Rt ABC 中，90C ，6BC ，3sin 4A，那么AB 的长为．12.如图，ABC 是边长为3的等边三角形，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，60ADE ，如果1BD ，那么CE．13.小明沿着坡度1:2.4i 的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米．14.在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为x （03x ）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是．15.已知点 2,A m ， 3,B n 都在二次函数 21y x 的图像上，那么m 、n的大小关系是：mn ．（填“ ”“ ”或“ ”）16.如图，正方形CDEF 的边CD 在Rt ABC 的直角边BC 上，顶点E 、F 分别在边AB 、AC 上．已知两条直角边BC 、AC 的长分别为5和12，那么正方形CDEF 的边长为．17.平行于梯形两底的直线与梯形的两腰相交，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD 18.在菱形落在点19.计算：20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2AD ，4DB ，3AE ，6EC ．（1）求DEBC的值；（2）联结DC ，如果DE a ，DA b ，试用a 、b 表示向量CD．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，2AD ，3AB ，4BC ．（1）求BOC 的面积；（2）求ACD 的正弦值．第20题图第21题图221第22题图322.（本题满分10分）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B 组第2题及参考答案．的代数式表示，以下同），2BD t ；某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：如图1然后延长（1）（2）（3）如图2然后延长【拓展应用】如图3，在Rt ABC 中，90C ，18AC ，25BC ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且5DC ，12EC ，联结AE 、BD 交于点P ．求证：tan 1BPE ．第23题图第24题图23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 相交于点E ，且DEC DCB ．（1）求证：AD ACCE CB；（2）点F 在DB 的延长线上，联结AF ，2AF AE AC ．求证：EC AF BC AE ．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:M y x bx c 过点 2,2A 、点 0,2B ，顶点为点C ，抛物线M 的对称轴交x 轴于点D ．（1）求抛物线M 的表达式和点C 的坐标；（2）点P 在x 轴上，当AOP 与ACD 相似时，求点P 坐标；（3）将抛物线M 向下平移t （0t ）个单位，得到抛物线N ，抛物线N 的顶点为点E ，再把点C 绕点E 顺时针旋转135 得到点F ．当点F 在抛物线N 上时，求t 的值．第25题图备用图备用图25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（2）小题4分）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上一点（点E 不与点B 、C 重合），过点A 作AF AE ，交边CD 的延长线于点F ，直线EF 分别交射线AC 、射线AD 于点M 、N ．（1）当点E 在边BC 上时，如果15ND AN ，求BAE 的余切值；（2）当点E 在边BC 延长线上时，设线段BE x ，y EN MF ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当3CE 时，求EMC 的面积．浦东新区2023学年度第一学期期末练习卷初三数学参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；2．D ；3．D ；4．A ；5．C ；6．B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．74；8．3a b ；91 ；10．9；11．8；12．23；13．50；14．29y x ；15．<；16．6017；17．23；18．34．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）1922+121222……………………（5分）（每个三角比的值各1分）112…………………………………（3分）（后3个数据，各1分）=12．………………………………………（2分）（每个数据，各1分）20．解：（1）∵AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，∴12 AD DB ，12 AE EC ．∴ AD AEDB EC．……………………………………（1分）∴DE//BC ．……………………………………………………………………（1分）∴ DE ADBC AB ．………………………………………………………………（1分）∵12 AD DB ，∴13 AD AB ．……………………………………………………（1分）∴13DE BC ．…………………………………………………………………（1分）（2）∵13 DE BC ，∴BC =3DE ．∵ BC 和 DE 方向相同，∴3 BC DE ．（1分）∵ DE a ，∴3BC a ．…………………………………………………（1分）∵12 AD DB ，∴DB =2AD ．∵ BD 和 DA 方向相同，∴2 BD DA ．……（1分）∵ DA b ，∴2BD b ．…………………………………………………（1分）∵ CD BD BC ，∴23CD b a ．………………………………………（1分）21．解：（1）∵AD//BC ，∴AD AOBC OC．…………………………………………（1分）∵AD =2，BC =4，∴1=2AO OC ．∴23OC AC ．………………………………（1分）∵△BOC 和△ABC 同高，∴2=3BOC ABC S OC S AC ．……………………………（1分）在Rt △ABC 中,∠ABC=90°，AB=3，BC =4，∴1=34=62ABC S ．…（1分）∴=4 OBC S ．……………………………………………………………………（1分）（2）过点D 作DM ⊥BC ，垂足为点M ，过点D 作DH ⊥AC ，垂足为点H ．在Rt △ABC 中,∠ABC=90°，AB=3，BC =4，∴AC =5．∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，DM ⊥BC ，∴AB =DM ．∴△ADC 和△ABC 等高．∴1==2ADC ABC S AD S BC ．∴=3 ACD S ．……………（1分）∴1=32 AC DH ．∴6=5DH ．………………………………………………（1分）∵DM ⊥BC ，∴∠DMC=90°．∵∠ABC =90°，∴∠ABC=∠DMC ．∴AB ∥DM ．∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是平行四边形．∴BM=AD=2，DM=AB=3．∵BC =4，∴MC=2．…………………………（1分）在Rt △DMC 中,∠DMC=90°，DM=3，MC =2，∴ DC ．………（1分）在Rt △DHC 中,∵∠DHC=90°，6=5DH， DC，∴sin 65DH ACD CD ．…（1分）22．解：【问题探究】∠D=22.5°，BD，tan 22.51 ．……………（各1分）【知识迁移】∵BD=AB ，∴∠D =∠BAD ．∵∠ABC =∠D+∠BAD ，∴1=2D ABC ．………………………………（1分）在Rt △ABC 中,2tan 3ABC ，设AC=2k ，BC=3k，则 AB BD ．（1分）∴13tan tan 22AC ABC D DC ．……………………（1分）【拓展应用】联结DE ．………………………………………………………（1分）在Rt △EDC 中,∠ECD=90°，CD=5，CE =12，∴DE =13．∵CE =12，BC=25，∴BE =13．∴BE =DE ．∴∠EBD =∠EDB ．∵∠DEC =∠EBD+∠EDB ，∴1=2 DBE DEC ．∵CD =5，AC=18，∴AD =13．∴AD =DE ．∴∠DAE =∠DEA ．∵∠EDC =∠DAE+∠DEA ，∴1=2DAE EDC ．…………………………（1分）在Rt △EDC 中,∠ECD=90°，∴∠DEC +∠EDC=90°．∴∠DBE +∠DAE=45°．……………………………………………………（1分）在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，∴∠ABC +∠BAC=90°．∴∠ABP +∠BAP=45°．∴∠BPE =∠ABP +∠BAP=45°．………………（1分）∴tan 1BPE ．23．证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠DCB=180°．……………………………（1分）又∵∠CEB +∠DEC=180°，∠DEC =∠DCB ，∴∠ADC =∠CEB ．……（1分）∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ECB ．……………………………………………（1分）∴△ADC ∽△CEB ．…………………………………………………………（2分）∴ AD AC CE CB．……………………………………………………………（1分）（2）∵∠AED =∠CEB ，∠ADC =∠CEB ，∴∠AED =∠ADC ．…………（1分）∵∠EAD =∠DAC ，∴△AED ∽△ADC ．……………………………………（1分）∴ AE AD AD AC．即2 AD AE AC ．…………………………………………（1分）∵2 AF AE AC ，∴22 AD AF ．∴AD =AF ．…………………………（1分）∵AD ∥BC ，∴AE ADEC BC．……………………………………………（1分）∴ AE AF EC BC．即 EC AF BC AE ．………………………………………………………（1分）24．解：（1）抛物线M ：2y x bx c 过点A （2，2）、点B （0，2），∴4222.，b c c ………………………………………………………（2分）∴2 b ，2 c ．∴抛物线M 的表达式是222 y x x ．………………………………（1分）∴点C 的坐标为（1，3）．…………………………………………………（1分）（2）由（1）得抛物线的对称轴是直线1 x ．……………………………（1分）过点A 作AH 垂直直线1 x ，垂足为点H ．∴点H 的坐标为（1，2）．过点A 作AG 垂直x 轴，垂足为点G ．∴点G 的坐标为（2，0）．在Rt △ACH 与Rt △AOG 中，根据题意可得tan 1 AH ACH CH ，tan 1 AGAOG OG．∴tan tan ACH AOP ，∴∠ACH =∠AOP ．……………………………（1分）∴当△AOP 与△ACD 相似时，有 CA CD OA OP 或CA CDOP OA．○1 CA CDOA OP 3 OP，OP =6．点P 的坐标是（6，0）．……………（1分）○2CA CDOP OA ， OP 43 OP ．点P 的坐标是（43，0）．………（1分）∴综上所述，点P 的坐标是（6，0）或（43，0）．（3）过点F 作FQ 垂直直线1 x ，垂足为点Q ．根据题意可得∠FEQ =45°，FE =CE =t ．……………………………………（1分）在Rt △EFQ 中,∵∠EQF=90°，∠FEQ =45°，FE =t ，∴EQ=FQ =2t ．∴点F 的坐标是（1+2t ，32t ）．………………………………（1分）∵当点F 在平移后的抛物线N ：21)3（y x t 上时，可得231)322（1+t t t ．……………………………（1分）解得10 t （舍），2 t 1分）25．解：（1）根据题意可得∠ABC =∠BAD=∠ADC=90°，AB =BC =CD =AD =6，AD ∥BC ．∴∠BAE +∠EAD=90°，∠ADF=∠ABC =90°．∵AF ⊥AE ，∴∠DAF +∠EAD=90°．∴∠BAE=∠DAF ．∴△BAE ≌△DAF ．∴DF =BE ．……………………………………………（1分）设BE=x ，则DF =BE =x ，EC =6－x ，FC =6＋x ．∵正方形ABCD 的边长为6，15ND AN ，∴ND=1，AN =5．………………（1分）∵AD ∥BC ，∴ ND FD EC FC ．即166xx x．……………………………（1分）整理得2560 x x ．解得12 x ，23 x ．……………………………（1分）当2 x 时，6cot 32 BE BAE AB ；当3 x 时，6cot 23BE BAE AB ．∴∠BAE 的余切值为2或3．………………………………………………（1分）（2）当点E 在边BC 延长线上时，根据条件可证△BAE ≌△DAF ．∴AE =AF ．∴∠AEF ＝∠AFE ．∵AF ⊥AE ，∴∠EAF=90°．∵∠EAF ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，∴∠AEF ＝∠AFE=45°．∴∠ANE ＝∠AFE ＋∠FAD =45°＋∠FAD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAC=45°．∴∠MAF ＝∠DAC ＋∠FAD =45°＋∠FAD ．∴∠ANE ＝∠MAF ．∴△ANE ∽△MAF ．…………………………………………………………（2分）∴ EN AE FA MF．∴2== y EN MF AE FA AE ．…………………………（1分）在Rt △ABE 中,∠ABE=90°，AB =6，BE=x ，∴22=36 AE x ．即2=36 y x ．（x ＞6）…………………………………………………（2分）（3）有两种情况：点E 在边BC 上，点E 在边BC 延长线上．（i ）当点E 在边BC 上时．易证△EMC ∽△AMF ，△AMF ∽△AFC ．∴△EMC ∽△AFC ．∴2= （EMC AFC S EC S AC．…………………………………………………………（１分）∵EC =3，AC=1=96=272 AFC S ，∴27=8EMC S ．……………（1分）（ii ）当点E 在边BC 延长线上时．易证△EMC ∽△AMF ，△AMF ∽△AFC ．∴△EMC ∽△AFC ．∴2= （EMC AFC S EC S AC．…………………………………………………………（１分）∵EC =3，AC=1=156=452AFC S ，∴45=8EMC S ．……………（1分）综上所述，△EMC 的面积为278或458．。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1.下图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）长方体（B ）三棱柱（C ）圆锥（D ）圆柱第1题 第3题 第4题 第7题2.我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖1 040 000 000人左右，将1 040 000 000用科学记数法表示应为（A ）1.04×1010 （B ）1.04×109 （C ）10.4×109 （D ） 0.104×10113．如上图，若数轴上的点A 表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数是（A ） （B（C （D ）π4. 如上图，直线AB ，CD 相交于点O ，若∠AOC =60°，∠BOE =40°，则∠DOE 的度数为（A ）60° （B ）40°（C ）20° （D ）10°5. 经过某路口的汽车，只能直行或右转. 若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为（A ）（B ）（C ）（D ）141312346．正六边形的外角和为（A ）180°（B ）360°（C ）540°（D ）720°7．某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了200名进行问卷调查，根据数据绘制了如上面图所示的统计图. 若该校有2000名学生，估计喜欢木工的人数为（A ）64（B ）380（C ）640 （D ）7208. 下面的三个问题中都有两个变量：①矩形的面积一定，一边长y 与它的邻边x ;②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S 与全村总人口n ;③汽车的行驶速度一定，行驶路程s 与行驶时间t .其中，两个变量之间的函数关系可以用形如的式子表示的是（A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③二、填空题（共16分，每题2分）9在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．10．分解因式：．11． 若关于x 的一元二次方程260x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ．12．方程的解为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数的图象经过点和点，则．14．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC =6. 若△ABD 的周长为13，则△ABC 的周长为．15．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 边上，连接BE 并延长，交CD 的延长0ky k k x=≠（为常数，）2363a a -+=322x x=+6y x=()2A m ，()2B n -，m n +=第14题图第15题图线于点F . 若AB =2，BC =4，，则BF 的长为 ．16. 一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元.（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住. 三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元.）（1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了间一人间;（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为元.三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．计算：．18．解不等式组：19．已知，求代数式的值．20. 下面是证明“等腰三角形的两个底角相等”的两种添加辅助线的方法，选择其2AEDE=(02sin 45π-+-o 17242.3x x xx +⎧⎪+⎨⎪⎩＞-，≤230x x --=(2)(2)(2)x x x x +---中一种，完成证明.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC .求证：∠B =∠C .方法一证明：如图，作△ABC 的中线AD .方法二证明：如图，作△ABC 的角平分线AD .21. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，AE ∥CF ，连接AF ，CE ．（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）若∠EAO +∠CFD =180°，求证：四边形AECF 是矩形．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点（0，1），（-2，2），与x轴交于点A .（1）求该一次函数的表达式及点A 的坐标；（2）当2x ≥时，对于x 的每一个值，函数的值大于一次函数0y kx b k =+≠（）2y x m =+的值，直接写出m 的取值范围.23. 如图，AB 是⊙O 的弦，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，过点A 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点D ，连接OB .（1）求证：∠B =∠D ；（2）延长BO 交⊙O 于点E ，连接AE ，CE ，若AD=，sinBCE 的长．24．某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间，在该校七、八、九年级学生中各随机抽取了15名学生，获得了他们平均每天阅读时间（单位：min ），并对数据进行了整理、描述，给出部分信息.a . 七、八年级学生平均每天阅读时间统计图：0y kx b k =+≠（）七年级学生平均每天阅读时间八年级学生平均每天阅读时间b . 九年级学生平均每天阅读时间：21 22 25 33 36 36 37 37 39 39 41 42 46 48 50c . 七、八、九年级学生平均每天阅读时间的平均数：年级七八九平均数26.435.236.8根据以上信息，回答下列问题：（1）抽取的15名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是 ；（2）求三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数；（3）若七、八、九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为，，，则，，之间的大小关系为.25．一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种. 测得一些数据如下：滑行时间t /s 01234滑行距离s /m261220（1）s 是t 的函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）；21s 22s 23s 21s 22s 23s（2）求s 关于t 的函数表达式；（3）已知第二位滑雪者也从坡顶滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足函数关系2522s t t =+. 记第一位滑雪者滑完全程所用时间为t 1，第二位滑雪者滑完全程所用时间为t 2，则t 1t 2（填“<”，“=”或“＞”）.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，.（1）求a 的值；（2）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（3）点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，在抛物线上，若231y y y ＜≤，求m 的取值范围.27. 如图，∠MON =α，点A 在ON 上，过点A 作OM 的平行线，与∠MON 的平分线交于点B ，点C 在OB 上（不与点O ，B 重合），连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转180°-α，得到线段AD ，连接BD .（1）直接写出线段AO 与AB 之间的数量关系，并证明∠MOB =∠DBA ；（2）连接DC 并延长，分别交AB ，OM 于点E ，F . 若α=60°，用等式表示线段EF 与AC 之间的数量关系，并证明.28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，C ，Q （点P 与点C 不重合），给出如下定义：若∠PCQ =90°，且1CQ CP k，则称点Q 为点P 关于点C 的“k -关联点”.已知点A （3，0），点B （0，），⊙O 的半径为r .（1）①在点D （0，3），E （0，-1.5），F （3，3）中，是点A 关于点O 的“1-关联点”的为；②点B 关于点O 的关联点”的坐标为；（2）点P 为线段AB 上的任意一点，点C 为线段OB 上任意一点（不与点B重合）.①若⊙O 上存在点P 关于点O 的关联点”，直接写出r 的最大值及最小值；②当r =⊙O 上不存在点P 关于点C 的“k -关联点”，直接写出k 的取值范围：.北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考2023.4一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案A B D C A B C A 二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）17. 解：原式12=-++1=+.18. 解：原不等式组为17242.3x xxx+⎧⎪+⎨⎪⎩＞-，≤解不等式①，得 2.x>解不等式②，得 4.x≤∴原不等式组的解集为2 4.x<≤19. 解：(2)(2)(2)x x x x+---2242x x x=--+222 4.x x=--∵230x x--=，∴2 3.x x-=题号9101112答案5x≥23(1)a-9x=4题号13141516答案01951；1600①②∴原式22()4 2.x x =--=20. 方法一证明：∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD =CD .在△ABD 和△ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C .方法二证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD =∠CAD . 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C.21. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC . ∵AE ∥CF ，∴∠EAO =∠FCO .∵∠AOE =∠COF ，∴△AEO ≌△CFO . ∴OE =OF .∴四边形AECF 为平行四边形.（2）∵∠EAO +∠CFD =180°，∠CFO +∠CFD =180°，∴∠EAO=∠CFO . ∵∠EAO =∠FCO ，∴∠FCO=∠CFO . ∴OC=OF . ∴AC=EF .∴四边形AECF 是矩形．22. 解：（1）∵一次函数的图象经过点（0，1），（-2，2），∴12 2.b k b =⎧⎨-+=⎩，解得 121.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴该一次函数的表达式为11.2y x =-+令0y =，得 2.x =∴()20.A ，（2） 4.m ＞-23. （1）证明：如图，连接OA .∵AD 为⊙O 的切线，∴∠OAD =90°.∴∠CAD +∠OAB =90°.∵OC ⊥AB ，∴∠ACD =90°.∴∠CAD +∠D =90°.∴∠OAB =∠D .∵OA =OB ，∴∠OAB =∠B .∴∠B =∠D .（2）解：在Rt △ACD 中，AD=，sin D =sin B，可得sin 2AC AD D =⋅=.∴AB =2AC =4.根据勾股定理，得CD =4.∴tan B =tan D =12.∵BE 为⊙O 的直径，0y kx b k =+≠（）∴∠EAB =90°.在Rt △ABE 中,tan 2AE AB B =⋅=.在Rt △ACE 中，根据勾股定理，得CE=24．解：（1）37．（2）根据题意可知，三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数为 1526.41535.21536.832.8.45⨯+⨯+⨯=（3）＜＜．25．解：（1）二次.（2）设s 关于t 的函数表达式为s =at 2+bt ，根据题意，得242 6.a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11.a b =⎧⎨=⎩，∴s 关于t 的函数表达式为s =t 2+t.（3）＞.26．解：（1）∵抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，，∴2m -4=a +（2m -6）+1.∴a =1（2）由（1）得抛物线的表达式为y =x 2+（2m -6）x +1.∴抛物线的对称轴为3.x m =-（3）①当m ＞0时，可知点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，从左至右分布.根据23y y ＜可得232m m m ++-＜.∴ 1.m ＞根据31y y ≤可得232m m m -++-≥.∴ 2.m ≤22s 21s 23s∴1 2.m ＜≤②当m ≤0时，∵3m m m +≤-＜-，∴21y y ≥，不符合题意.综上，m 的取值范围为1 2.m ＜≤27．解：（1）AO =AB .证明：∵OB 平分∠MON ， ∴∠MOB =∠NOB. ∵OM //AB ，∴∠MOB =∠ABO. ∴∠NOB =∠ABO. ∴AO =AB .根据题意，得AC =AD ，∠OAB =∠CAD .∴∠CAO =∠DAB.∴△OAC ≌△BAD. ∴∠COA =∠DBA. ∴∠MOB =∠DBA.（2）EF =.证明：如图，在OM 上截取OH =BE ，连接CH .∵△OAC ≌△BAD ，∴OC=BD.又OH =BE ，∴△OHC ≌△BED.∴CH=DE ，∠OHC=∠BED ，∵OM//AB ，∴∠MFC=∠BED.∴∠MFC=∠OHC.∴CF=CH.∴CF=DE.∴CD=EF.∵α=60°，∴∠CAD=180°－α=120°，作AK ⊥CD 于点K. ∵AC=AD ，∴∠ACK =30°，1.2CK CD =∴.CK AC =∴CD =.∴EF =.28． 解：（1）①D .②（-3，0）或（3，0）.（2）① 3，32.②k .。

2023北京石景山初三一模数 学学校 姓名 准考证号考生须知1．本试卷共8页，共两部分，28道题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．右图是某几何体的展开图，该几何体是（A ）正方体（B ）圆柱（C ）正四棱锥（D ）直三棱柱2．2022年10月31日，起飞重量约23000千克的梦天实验舱搭乘长征五号B 遥四运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射. 将23000用科学记数法表示应为（A ）32310⨯（B ）42310⨯.（C ）52.310⨯（D ）50.2310⨯3．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=°，过点C 作EF AB ∥．若55ECA ∠=°，则B ∠的度数为（A ）55°（B ）45°（C ）35°（D ）25°4．下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）5．不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（A ）29（B ）13（C ）49（D ）236．如图，在O ⊙中，C 是 AB 的中点，点D 是O ⊙上一点. 若20ADC ∠=°，则BOC ∠的度数为（A ）10°（B ）20°（C ）40°（D ）80°7．党的二十大报告提出“深化全民阅读活动”.某校开展了“书香浸润心灵 阅读点亮人生”读书系列活动.为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小EA CFBOAB CD时）进行统计，数据如下：甲组67888910乙组47888912两组数据的众数分别为M 甲，M 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（A ）M M =乙甲，22s s <乙甲（B ）M M =乙甲，22s s =乙甲（C ）M M =乙甲，22s s >乙甲（D ）M M >乙甲，22s s <乙甲8．下面的三个问题中都有两个变量：①圆的面积y 与它的半径x ；②将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量y 与放水时间x ；③某工程队匀速铺设一条地下管道，铺设剩余任务y 与施工时间x .其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（A ）①②③（B ）①②（C ）①③（D ）②③第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式25x -有意义，则实数x 的取值范围是 .10．分解因式：24x y y -= .11．如果命题“若a b <，则ma mb >”为真命题，那么m 可以是 （写出一个即可）.12．方程组725x y x y -=⎧⎨+=⎩,的解为 .13．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(23)A ,和点(6)B m -,，则m 的值为 .14．如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE DF =.只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）.15．若关于x 的一元二次方程240x x m ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 .16．为落实生态文明建设，推动绿色发展，促进人与自然和谐共生，某公司装修采用同质地的A型、B 型环保板材，具体要求如下：板材要求板材型号板材规格需用量A 型板材60cm 30cm ⨯290块AB DCEF第14题图B 型板材40cm 30cm ⨯180块现只能购得规格为150cm 30cm ⨯的符合质地要求的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，裁法如下（损耗忽略不计）：裁法板材型号裁法一裁法二裁法三A 型板材210B 型板材a3上表中a 的值为 ；公司需购入标准板材至少 张.三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：06cos 455(2)---π-°.18．解不等式组：435412x x x x -<-⎧⎪⎨+-<⎪⎩,.19．已知250x x --=，求代数式2211(2)x x x x+--÷的值．20．下面是证明等腰三角形性质定理1的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等.已知：如图，在△ABC 中，AB AC =.求证：B C ∠=∠.方法一证明：如图，作BAC ∠的平分线交BC于点D .方法二证明：如图，取BC 的中点D ，连接AD .裁出数量（块）ABCD ABCDABC21．如图，在ABC △中，2BC AB =，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，过点A 作AF BC∥交DE 的延长线于点F .（1）求证：四边形ABDF 是菱形；（2）若2AB =，60B ∠=°，求AE 的长.22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(13)A ,.（1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x <时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值小于函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出m 的取值范围.23．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知 叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛.为了解八年级学生的科普知识掌握情况，调查小组进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据 调查小组计划从两个校区的八年级共选取40名学生的竞赛成绩（百分制）作为样本，下面的抽样方法中，合理的是 （填字母）.A ．从每个校区八年级的科技小组中分别选取20名学生的竞赛成绩组成样本；B ．从每个校区八年级分别选取20名男生的竞赛成绩组成样本；C ．从每个校区八年级分别随机选取10名男生、10名女生的竞赛成绩组成样本.抽样方法确定后，调查小组抽取得到两个校区的样本数据，其中乙校区的样本数据如下：66 88 84 79 92 83 95 89 100 9191 97 74 77 99 98 89 94 100 100整理、描述数据 按如下分数段整理、描述两个校区的样本数据，其中乙校区的情况如下：人数 成绩x 校区6580x <≤8085x <≤8590x <≤9095x <≤95100x ≤≤乙校区237分析数据 两个校区样本数据的平均数、中位数、方差如下表所示：校区平均数中位数方差甲校区89.388.542.6乙校区89.387.2BACDEF得出结论a . 对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是 校区，成绩更稳定的是校区（填“甲”或“乙”）；b . 抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分.该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有 人.24．如图，AB 是O ⊙的直径，点D 是弦AC 延长线上一点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，过点C 作O ⊙的切线，交DE 于点F .（1）求证：FC FD =；（2）若E 是OB 的中点，3sin 5D =，2OA =，求FD 的长.25．篮球是学生非常喜爱的运动项目之一.篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m ，小石站在距篮圈中心水平距离6.5m 处的点A 练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分.当篮球运行的水平距离是x (单位：m ) 时，球心距离地面的竖直高度是y (单位：m ).在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练：（1）第一次训练时，篮球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/m x 0123456竖直高度/my 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2①在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y 与x 满足的函数解析式；③小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由；（2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进.篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是 m .26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为x t =，两个不同的点(3)m ,，(1)t n +,在抛物线上.（1）若m n =，求t的值；A（2）若n m c <<，求t 的取值范围.27．在△ABC 中，90ACB ∠=°，CA CB =，点D 为射线CA 上一点，过点D 作DE CB∥且DE CB =（点E 在点D 的右侧），射线ED 交射线BA 于点F ，点H 是AF 的中点，连接HC ，HE .（1）如图1，当点D 在线段CA 上时，判断线段HE 与HC 的数量关系及位置关系；（2）当点D 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2.用等式表示线段CB ，CD ，CH 之间的数量关系，并证明.28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形W ，给出如下定义：若图形W 上存在点Q ，使得点P 绕着点Q 旋转90°得到的对应点P '在图形W 上，则称点P 为图形W 的“关联点”.（1）图形W 是线段AB ，其中点A 的坐标为(02),，点B 的坐标为(32),，①如图1，在点1(12)P -,，2(24)P ,，3(31)P -,，4(40)P ,中，线段AB 的“关联点”是 ；②如图2，若直线13y x b =+上存在点P ，使点P 为线段AB 的“关联点”，求b 的取值范围；（2）图形W 是以(0)T t ,为圆心，1为半径的⊙T .已知点(60)M ,，(0N ,.若线段MN 上存在点P ，使点P 为⊙T 的“关联点”，直接写出t 的取值范围.图1 图2C BFH ACBE D 图1 图2参考答案阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。

2024届上海市金山区初三一模数学试卷（满分 150 分，考试时间 100 分钟）（2024．1）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．把抛物线22y x =向左平移1个单位后得到的新抛物线的表达式是（▲）（A ）221y x =-；（B ）221y x =+；（C ）()221y x =-；（D ）()221y x =+．2．已知点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，联结CE 和BD 相交于点F ，如果AE ∶ED =1∶2，那么DF ∶FB 为（▲）（A ）1∶2；（B ）1∶3；（C ）2∶3；（D ）2∶5．3．在直角坐标平面的第一象限内有一点A （a ，b ），如果射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列各式正确的是（▲）（A ）b=a ·tan α；（B ）b=a ·cot α；（C ）b=a ·sin α；（D ）b=a ·cos α．4．抛物线2y ax bx c =++的图像如图所示，下列判断中不正确的是（▲）（A ）a <0；（B ）b <0；（C ）c >0；（D ）a +b +c <0．5．将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是（▲）（A ）2∶1；（B1；（C ）3∶1；（D∶1．6．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC 就是一个格点三角形，现从△ABC 的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与△ABC 相似的有（▲）（A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果053a b b =≠（），那么a b b-=▲．8．化简：2(3)6a b b -+-=▲．9．已知两个相似三角形的相似比为2︰3，那么这两个三角形的周长比为▲．10．点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），AB =2，那么线段AP 的长是▲．yxO 1（第4题图）ABC（第6题图）11．抛物线2233y x =-的顶点坐标是▲．12．如果点A （2，a ）、B （3，b ）在二次函数23y x x =-的图像上，那么a ▲b （填“>”“<”或“=”）．13．如果α是直角三角形的一个锐角，sin α=45，那么tan α=▲．14．如图，已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，△ADE 、△EFC 的面积分别为1、4，四边形BFED 的面积为▲．15．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是4米，斜坡的坡度i =1∶2，那么相邻两树间的坡面距离为▲米．16．如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A 处向北偏东60°的方向行驶8海里到B 处，再从B 处向南偏东45°方向行驶到发点A 正东方向上的C 处，此时这艘船距离出发点A 处▲海里．17.把矩形ABCD 绕点C 按顺时针旋转90°得到矩形A ´B ´CD ´，其中点A 的对应点A ´在BD 的延长线上，如果AB=1，那么BC=▲．18．在△ABC 中，AC=6，P 是AB 边上的一点，Q 为AC 边上一点，直线PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分，且△APQ 和△ABC 相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：2sin 451cot 60cos30tan 45︒-+︒⋅︒︒．20．（本题满分10分）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点A ）所在的铅垂线为y 轴，相应的地面水平线为x 轴，1米为单位长度建立直角坐标系xOy，喷出的抛物线形水柱在最高处（点P ）距离y 轴1米，水柱落地处（点B ）距离y 轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度．1y xO2B4P1A A BC DEF（第14题图）（第15题图）（第16题图）21．（本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分10分）已知：如图，AM 是△ABC 的中线，点G 是重心，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，四边形BEGD 是平行四边形．（1）求证DE ∥AC ；（2）设BA a = ，BC b = ，用向量a 、b表示DE =22．（本题满分10分）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB 长为4米，与墙面AD 的夹角∠BAD=75.5°，靠墙端A 离地高AD 为3米，当太阳光线BC 与地面DE 的夹角为45°时，求阴影CD 的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin75.5°≈0.97，cos75.5°≈0.25，tan75.5°≈3.87）23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，∠BAC =∠BDC ．（1）求证：△AOD ∽△BOC ；（2）过点A 作AE ∥CD ，AE 交BD 与点E ，求证：AB AD AE BC ⋅=⋅．ABCDOABC DE24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++经过点A (-1，0)、B (3，0)、C （0，-3）.(1)求抛物线的表达式和顶点P 的坐标；(2)点D 在抛物线对称轴上，∠PAD=90°，求点D 的坐标；（3）抛物线的对称轴和x 轴相交于点M ，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点Q ，QB=QM ，QO 的延长线交原抛物线为E ，QO=OE ，求新抛物线的表达式.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠CAD=∠ABC ，DC ⊥AC ，AD 与边BC 相交于点P .（1）求证：212AB AD BC =⋅；（2）如果sin ∠ABC=45，求BP ∶PC 的值；（3）如果△BCD 是直角三角形，求∠ABC 的正切值.O11yxABCDP参考答案一、选择题（本大题6 小题，每小题4 分，满分24 分）1.D ；2.C ；3.A ；4.D ；5.B ；6.C.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．23；8．2a - ；9．2∶3；101-；11．（0，-3）；12．<；13．43；14．4；15．16.4；17．152；18．62623≠≤≤AB AB 且．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=22121⎛⎫- ⎪⎝⎭，-----------------------------------------------------------（8分）=0.----------------------------------------------------------------------------------------（2分）20．解：设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠-------------------------------------（1分）由题意得，抛物线经过A （0，2）、B （4，0），顶点P 的横坐标为1，∴2164012c a b c ba ⎛=++= -=⎝-----------------------------------------------------------------------------（3分）解得：11,,242a b c =-==，.-------------------------------------------------------------（2分）∴抛物线的解析式是211242y x x =-++，顶点P 坐标为（1，2.25）.---------（2分）∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度是2.25米.-----------------------------------（2分）21.（1）证明：∵AM 是△ABC 的中线，点G 是重心，∴AG=2GM ，---------------------（1分）∵四边形BEGD 是平行四边形，∴DG ∥BE ，EG ∥BD ，∴13BD MG BA MA ==，23BE AG BM MA ==-------------------------------------------------------（2分）∵BM=MC ，∴13BE BC =--------------------------------------------------------------------------（1分）∴BE BDBC BA=--------------------------------------------------------------------------------------（1分）∴DE ∥AC ------------------------------------------------------------------------------------------（1分）（2）1133DE b a =------------------------------------------------------------------------------------（4分）22.解：作BM ⊥ED ，BN ⊥AD ，垂足分别为M 、N ，-----------------------------------------（1分）在△ABN 中，∠ANB =90°，∴AN=AB ·cos ∠BAD =4×0.25=1，-----------------------------------------------------------（2分）BN=AB ·sin ∠BAD =4×0.97=3.88，--------------------------------------------------------（2分）∴ND=2，-------------------------------------------------------------------------------------------（1分）在四边形BMDN 中，∠BMD=∠MDA=∠DNB=90°，∴在四边形BMDN 是矩形，∴BM=ND =2，BN=MD=3.88，---------------------------（1分）在△ABN 中，∠ANB =90°，∠BCM =45°，∴BM=MC=2，------------------------------------------------------------------------------------（1分）∴CD=MD -MC=1.88≈1.9（米）.-------------------------------------------------------------（1分）答：阴影CD 的长是1.9米.-------------------------------------------------------------------（1分）23.证明：（1）∵∠BAC =∠BDC ，∠AOB =∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ，-----------（2分）∴AO DO BO CO=，-----------------------------------------------------------------------------------（1分）∵∠AOD =∠BOC ，------------------------------------------------------------------------------（1分）∴△AOD ∽△BOC .------------------------------------------------------------------------------（2分）（2）∵△AOB ∽△DOC ，∠BAO =∠CDO ，∵AE ∥CD ，∴∠AED =∠CDO ，-------------------------------------------------------------（1分）∴∠AED =∠BAC ，--------------------------------------------------------------------------------（1分）∵△AOD ∽△BOC ，∴∠ADE =∠BCA ，-----------------------------------------------------（1分）∴△AED ∽△BAC ，------------------------------------------------------------------------------（1分）∴AE AD BA BC=，∴AB AD AE BC ⋅=⋅．--------------------------------------------------------（2分）24.解：（1）由题意得：09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩,解得：a =1，b =1，c =4，∴抛物线的表达式为223y x x =--.-------------------------（2分）∵()222314y x x x =--=--，∴顶点P 的坐标是（1，-4）.----------------------（2分）（2）抛物线的对称轴为直线1=x ，--------------------------------------------------------------（1分）设点D 的坐标为（1，m ），∵∠PAD=90°，∴222PA AD PD +=，∴222+=，-----------（1分）解得，1m =，点D 的坐标为（1，1）-----------------------------------------------------（2分）（3）由题意，点M 坐标是（1，0），作MH ⊥x 轴，垂足为点H ，∵QB=QM ，∴MH=HB ，∴点H 的坐标为（2，0），点Q 的横坐标为2，---------（1分）设点Q 的坐标是（2，t ），∵QO=OE ，∴点Q 和点E 关于原点O 对称，∴点E 的坐标为（-2，-t ），--------（1分）∴()()22223t --⨯--=-，解得5t =-，点Q 的坐标是（2，-5），-------------------（1分）∴新抛物线的表达式是()225y x =--，即241y x x =--.-------------------------------（1分）25.（1）证明：∵∠CAD=∠ACB ，∠ACP=∠BCA ，∴△ACP ∽△BCA ，∴AC CP BC AC =，∴2AC CP BC =⋅.----------------------------------------------------------------（1分）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵∠CAD=∠ABC ，∴∠CAD=∠ACB ，∴P A=PC ，--------------------------------------（1分）∵DC ⊥AC ，∴∠ACD=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，∠ACB+∠PCD=90°，∴∠ADC=∠PCD ，∴PD=PC ，∴12AP PD PC AD ===，-------------------------------（1分）∴212AB AD BC =⋅-------------------------------------------------------------------------------（1分）（2）作AH ⊥BC ，垂足为点H ，在Rt △ABH 中，∠AHB=90°，sin ∠ABC 45AH AB ==，设AH=4k ，AB=5k ，则BH=3k .---------------------------------------------------------------（1分）∵AB=AC ，∴BH=HC=3k ，∴BC=6k ，∵2AB CP BC =⋅，∴256CP k =，-------------------------------------------------------------（1分）∴116BP k =，∴BP ∶PC=1125.-----------------------------------------------------------------（2分）（3）显然∠BCD ≠90°，如果∠CBD =90°，∵∠AHB =90°，∴AH ∥BD ，∴PH AP BP PD=，∵AP=PD ，∴PH=BP ，设PH=BP=m ，∴BH=CH=2m ，CP=3m ，BC=4m ，----------------------------------------------------------（1分）∵2AB CP BC =⋅，∴AB =，-----------------------------------------------------------（1分）在Rt △ABH 中，∠AHB=90°，∴AH =，∴tan ∠ABC AHBH==，即∠ABC .-------------------------------------（1分）如果∠CDB =90°，∵∠ACD =90°，∴AC ∥BD ，∴BP PD CP AP=，∵AP=PD ，∴BP=PC ，-------------------------------------------------------（1分）∵AB=AC ，∴四边形ABDC 是正方形，----------------------------------------------------（1分）∴∠ABC=45°，∠ABC 的正切值为1.---------------------------------------------------------（1分）综上所述，如果△BCD 是直角三角形，∠ABC 或1.。

海淀区九年级第二学期期中练习数 学2024.04学校________姓名__________准考证号________考生须知 1.本试卷共7页，共两部分，28道题，满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色自己签字笔作答。

5.考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分 选择题一、迭择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为2.据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成.将17 500 000用科学记数法表示应为 (A)175×105(B)1.75×106(C)1.75×107 (D)0.175×1083.如图，AB ⊥BC ，AD ∥BE ，若∠BAD=28°，则∠CBE 的大小为 (A)66° (B)64° (C)62°(D)60°4.实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(A)a ≥-2(B)a<-3(C)-a>2(D)-a ≥35.每一个外角都是40°的正多边形是 （A ）正四边形（B）正六边形（C ）正七边形（D ）正九边形6.若关于x 的一元二次方程x 2+2x +m =0有两个相等的实数根，则实数m 的值为 (A)1(B)-1(C)4(D)-47.现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正而花色分别为◆，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中碗机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为 (A)16(B)13(C)12(D)238.如图.AB 经过圆心O ，CD 是⊙O 的一条弦，CD ⊥AB ，BC 是⊙O 的切线.再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，便得AD=BC. 条件①：CD 平分AB 条你②3OA 条件③：AD 2=AO ·AB 则所有可以添加的条件序号是 (A) ①(B) ①③(C) ②③(D) ①②③第二部分 非选择题二、填空题(共16分，每题2分)9.1x −x 的取值范围是_______. 10.分解因式：a 3-4a=_______. 11.方程1231x x =− 的解为_______. 12.在平面直角坐标系xOy 中,若函数(0)ky kx=≠的图象经过点A (a ，2)和B (b ，-2).则a +b 的值为_______.13.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,AB=5,AC=3.点D 在射线BC 上运动(不与点B 重合).当BD 的长为______时, AB=AD.14.某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测.近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x (单位：cm).数据经过整理后绘制的频数分布直方图如右图所示.若高度不低于300cm 的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有_________棵.15.如图，在正方形ABCD 中.点E ，F ，G 分别在边CD ，AD ，BC 上，FD<CG.若FG=AE ，∠1=a ，则∠2的度数为_____（用含a 的式子表示）.16.2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“π节”.某校今年“π节”策划了五个活动，规则见下图：小云参与了所有活动.（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为__________;（2取值为______.三、解答题（共68分，第17-19题,每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题,每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.计算：112sin 601()122−︒+−+−18.解不等式组：435,212.3x x x −<⎧⎪+⎨>−⎪⎩19.已知240b a −=,求代数式241(1)2a b b+−+的值. 20.如图，在ABCD 中，O 为AC 的中点，点E ，F 分別在BC ，AD 上，EF 经过点O ，AE=AF.(1)求证：四边形AECF 为菱形；(2)若E 为BC 的中点，AE=3，AC=4.求AB 的长.21.下图是某房屋的平面示意图.房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖.将房间地面全部铺设完预计需要花费10 000元，其中包含安装费1270元.若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是5:3，求每平方米木地板和瓷砖的价格.22.在平面直角坐标系xOy 中，函数y =kx +b (k ≠0)的图象经过点A(1，2)和B(0，1). (1)求该函数的解析式；(2)当x <l 时.对于x 的每一个值，函数y =mx -1(m ≠0)的值小于函数y =kx +b (k ≠0)的值，直接写出m 的取值范围.23.商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅.下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： a.计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：100%100%−−=⨯⨯当周售价前周售价当周成本前周成本售价涨跌幅，成本涨跌幅=；前周售价前周成本b.规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；c.甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 第一周 第二周第三周第四周 第五周 成本25 50 25 40 20 售价40m45np根据以上信息，回答下列问题：（1）甲商品这五周成本的平均数为___________,中位数为___________;（2）表中m 的值为____________,从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高；（3）记乙商品这40周售价的方差为 21S ，若将规定“当周售价涨跌福为当周成本涨跌福的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌辐的四分之一”，重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为22S ,则21S ____22S ；（填“>”“=”或“<”）.24.如图.AB 、CD 均为⊙O 的直径.点E 在BD ̂上，连接AE ，交CD 于点F,连DE ，∠EDB+∠EAD=45°,点G 在BD 的延长线上，AB=AG. (I)求证：AG 与⊙O 相切； (2)若BG=51tan 3EDB ∠=，求EF 的长.25.某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取60min 听书时长；方式二：第一天打卡可领取5min 听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍. （1）根据上述两种打卡奖励方式补全表二：表一 每天领取听书时长天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二55×25×45×8···5×2n -1天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二5×2-55×4-55×8-55×16-5···（2达了变化趋势.其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a 或b ）,从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一；（3）现有一本时长不超过60min 的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物.若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t （单位：min ）的取值范围是______.26.在平面坐标系xOy 中，点(m ，n )在抛物线2(0)y ax bx a =+>上，其中m ≠0. (1)当m =4，n =0时.求抛物线的对称轴； (2)已知当0<m <4时，总有n <0. ①求证：4a +b ≤0;②点12(,),(3,)P k y Q k y 在该抛物线上，是否存在a ，b ，使得当1<k <2时，都有12y y <?若存在，求出a 与b 之间的数量关系；若不存任，说明理由.27.在△ABC 中.∠ACB=90°,∠ABC=30°，将线段AC 绕点A 顺时针旋转α((0°<α≤60°)得到线段AD.点D 关于直线BC 的对称点为E.连接AE ，DE.(1)如图1，当α=60°时，用等式表示线段AE 与BD 的数量关系，并证明；(2)连接BD，依题意补全图2.若AE=BD，求α的大小.28.在平面直角坐标系xOy中，对于图形M与图形N给出如下定义：P为图形N上任意一点，将图形M绕点P顺时针旋转90°得到M’，将所有M’组成的图形记作M’,称M’是图形M关于图形N的“关联图形”.(1)已知A(-2，0)，B(2，0)，C(2，t)，其中t≠0.①若t=1,请在图中画出点A关于线段BC的“关联图形”；②若点A关于线段BC的“关联图形”与坐标轴有公共点.立接写出t的取值范围；(2)对于平面上一条长度为a的线段和一个半径为r的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐标的最大值和最小值的差为d，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d的取值范围(用含a和r的式子表示).海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷参考答案第一部分 选择题一、选择题 （共16分，每题2分）第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．1x ≥ 10．(2)(2)a a a −+11．1x = 12．0 13．8 14．94015．180α︒−16．（1）鲁班锁；（2）1，2，3三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解：原式212=++− 12=+−3=18. 解：原不等式组为435212.3x x x −<⎧⎪⎨+>−⎪⎩，①②解不等式①，得2x <.解不等式②，得1x >. ∴原不等式组的解集为12x <<. 19. 解： 原式241212a b b b +=−++2411a b +=+.∵240b a−=，∴24b a=.∴原式41 41aa+ =+1 =.20．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD // BC.∴AFO CEO∠=∠，FAO ECO∠=∠.∵O为AC的中点，∴AO CO=.∴△AOF≌△COE.∴AF EC=.∵AF//EC，∴四边形AECF为平行四边形.∵AE AF=，∴四边形AECF为菱形.（2）解：∵O为AC的中点，4AC=，∴122OA AC==.∵四边形AECF为菱形，∴AC EF⊥.∴90AOE∠=︒.∴在Rt△AOE中，由勾股定理得OE=.∵E为BC的中点，∴2AB OE==.21. 解：设每平方米木地板的价格为5x元，则每平方米瓷砖的价格为3x元.由题意可得，123(3615)5100001270x x⨯++⨯=−.解得30x=.∴5150x=，390x=.答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元.22．解：（1）∵函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(1,2)A 和(0,1)B ，∴21.k b b +=⎧⎨=⎩，解得11.k b =⎧⎨=⎩，∴该函数的解析式为1y x =+. （2）13m ≤≤.23．解：（1）32，25；（2） 60，四； （3） ＞.24.（1）证明：∵BE BE =，∴BAE BDE ∠=∠. ∵45EDB EAD ∠+∠=︒，∴45BAE EAD ∠+∠=︒，即45BAD ∠=︒. ∵AB 为O 的直径， ∴90ADB ∠=︒. ∴AD BG ⊥. ∵AB AG =，∴45BAD GAD ∠=∠=︒. ∴90BAG ∠=︒. ∴AB AG ⊥.∵AB 为O 的直径， ∴AG 与O 相切.（2）解：连接BE ，如图.∵AB AG =，AD BG ⊥，BG =∴12BD BG == 在Rt △ADB 中，90ADB ∠=︒，45BAD ∠=︒，可得AB =∴12OA AB ==. ∵BAE BDE ∠=∠， ∴1tan tan 3BAE BDE ∠=∠=.∵AB 为O 的直径，∴90AEB ∠=︒.在Rt △AEB 中，1tan 3BAE ∠=，可得13BE AE =.由勾股定理得 222BE AE AB +=.∴2221()3AE AE +=.∴6AE =. ∵290BOD BAD ∠=∠=︒. ∴90AOF ∠=︒.在Rt △AOF 中，1tan 3BAE ∠=，OA =OF =.由勾股定理得 103AF =. ∴108633EF AE AF =−=−=. 25.解：（1）60n ，525n ⨯−；（2） a ，7； （3）1535t <≤.26.解：（1）由题意可知，点(40)，在抛物线2(0)y ax bx a =+>上，∴1640a b +=. ∴4b a =−. ∴4222b aa a−==−−. ∴抛物线的对称轴为直线2x =.（2）① 法一：令0y =，则20(0)ax bx a +=>. 解得0x =或b x a=−. ∴抛物线2(0)y ax bx a =+>与x 轴交于点(00)，，(0)b a−，. ∵0a >，∴抛物线开口向上. (ⅰ)当0b <时，0ba−>.∴当0bx a <<−时，0y <；当0x <或b x a>−时，0y >. ∵当04m <<时，总有0n <. ∴4ba−≥.∵0a >， ∴40a b +≤. (ⅱ)当0b >时，0ba−<. ∴当0bx a −<<时，0y <；当b x a<−或0x >时，0y >. ∴当04m <<时，0n >，不符合题意. 综上，40a b +≤. 法二：∴由题意可知，2am bm n +=.若0n <，则2()0am bm m am b +=+<. ∵0m >， ∴0am b +<. ∵0a >， ∴b m a<−. ∴当0bm a<<−时，0n <. ∵当04m <<时，总有0n <. ∴4ba−≥.∵0a >， ∴40a b +≤. ② 存在.设抛物线的对称轴为x t =，则2b t a=−. ∵，∴当x t ≥时，y 随x 的增大而增大；当x t ≤时，y 随x 的增大而减小. ∵12k <<，∴336k <<，3k k <. (ⅰ)当1t ≤时，∵3t k k ≤<. ∴12y y <，符合题意. (ⅱ)当12t <≤时，当2t k ≤<时， ∵3t k k <<. ∴12y y <. 当1k t <<时，设点1()P k y ，关于抛物线对称轴x t =的对称点为点01'(,)P x y ， 则0x t >，0t k x t −=−. ∴02x t k =−. ∵1k t <<，12t <≤， ∴23t k −<. ∴03t x <<. ∵336k <<. ∴03t x k <<. ∴12y y <.∴当12t <≤时，符合题意. (ⅲ)当23t <≤时，令12k t =，332k t =，则12y y =，不符合题意.(ⅳ)当36t <<时，令3k t =，则3k k t <≤. ∴12y y >，不符合题意. (ⅴ)当6t ≥时，∵3k k t <<，∴12y y >，不符合题意. ∴ 当2t ≤，即22ba−≤时，符合题意. ∵0a >， ∴40a b +≥. 由①可得40a b +≤. ∴40a b +=.27.（1）线段AE 与BD的数量关系：AE .证明：连接BE ，如图1.∵点D ，E 关于直线BC 对称， ∴直线BC 是线段DE 的垂直平分线. ∴BD BE =.∴30DBC EBC ∠=∠=. ∴60DBE ∠=.∴△DBE 是等边三角形.∴BD BE DE ==，60BDE BED ∠=∠=. ∵△ABC 中，90ACB ∠=，30ABC ∠=， ∴2AB AC =.依题意，得AD AC =，点D 在AB 上. ∴2AB AD =. ∴.BD AD = ∴.DE AD =∴30.DAE DEA ∠=∠= ∴90.BEA ∠= ∴在Rt △ABE 中，tan tan 60 3.AEABE BE=∠== ∴AE. ∴.AE =（2）依题意补全图2，如图.B图1方法一：解：延长AC 至F ，使CF AC =，连接BF ，BE ，EF ，CD ，CE ，如图2. ∵90ACB ∠=， ∴.AB BF = ∵60BAC ∠=，∴△ABF 是等边三角形. ∴AB AF BF ==,60BFC ∠=. ∵点D ，E 关于直线BC 对称， ∴直线BC 是线段DE 的垂直平分线. ∴BD BE =，CD CE =. ∴DCB ECB ∠=∠. ∵90ACB DCF ∠=∠=， ∴DCA ECF ∠=∠. ∵AC FC =， ∴△DAC ≌△EFC . ∴CAD CFE ∠=∠. ∵AE BD =, ∴BE AE =.∵EF EF =,BF AF =， ∴△BEF ≌△AEF .∴30BFE AFE ∠=∠=. ∴30CAD AFE ∠=∠=. ∴30.α= 方法二：解：如图3，取AB 中点F ，连接DF ，BE ，CD ，CE ，设DBC β∠=.F∵点D ，E 关于直线BC 对称， ∴直线BC 是线段DE 的垂直平分线. ∴BD BE =，CD CE =. ∴DBC EBC β∠=∠=.∴30EBA β∠=︒+，30DBA β∠=︒−. ∵AE BD =, ∴AE BE =.∴30EAB EBA β∠=∠=︒+. ∵90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∴60BAC ∠=︒. ∴30EAC β∠=︒−. ∴EAC DBA ∠=∠. 由（1）可得2.AB AC = ∵F 为AB 中点， ∴22.AB AF BF == ∴.AC AF BF ==∵AC BF =，EAC DBA ∠=∠,AE BD =, ∴△ACE ≌△BFD . ∴CE FD =. ∴CD FD =.∵AD AD =，AF AC =, ∴△ADF ≌△ADC . ∴30FAD CAD ∠=∠=︒. ∴30α=︒.28.（1）①如图，线段B'C'即为所求.②4t ≤−或2t ≥.图3FD≤≤+. （2）d a。

2024届上海市松江区初三一模数学试卷（满分 150 分，完卷时间 100 分钟）2024.01考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题.2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1.下列函数中，属于二次函数的是（▲）（A ）2y x =−；（B ）2y x =； （C ）221)y x x =−+（； （D ）22y x =． 2.在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，∠A =α， BC =a ，那么AB 的长为（▲）（A ）a sin α; （B ）cos aα; （C ）a sin α; （D ）a cos α.3.关于二次函数22(1)y x 的图像，下列说法正确的是（▲）（A ）开口向上；（B ）经过原点；（C ）对称轴右侧的部分是下降的； （D ）顶点坐标是（1，0）．4.下列条件中，不能判定a ∥b 的是（▲）（A ）a ∥c ，b ∥c ，其中0c ≠；（B ）a c =−，2b c =；（C ）2a b =− ；（D ）||3||a b =. 5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，斜边BC 上的高AH =3，矩形DEFG 的边DE 在边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，如果GF 正好经过△ABC 的重心，那么BD ·EC 的积等于（ ▲ ） （A ）4;（B ）1;（C ）1625; （D ）925. 6.某同学对“两个相似的四边形”进行探究.四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1是相似的图形，点A 与点A 1、点B 与点B 1、点C 与点C 1、点D 与点D 1分别是对应顶点，已知k B A AB=11.(第5题图)H G F AE CB D该同学得到以下两个结论：①四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1的面积比等于2k ；②四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1的两条对角线的和之比等于k . 对于结论①和②，下列说法正确的是（ ▲ ） （A ）①正确，②错误； （B ）①错误，②正确； （C ）①和②都错误；（D ）①和②都正确.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.若12y x = ，则y x y =+ ▲ .8.A 、B 两地的实际距离AB =250米,画在地图上的距离A ′B ′=5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比是 ▲ .9.某印刷厂一月份印书50万册,如果第一季度从2月份起,每月印书量的增长率都为x ，三月份的印书量为y 万册,写出y 关于x 的函数解析式是 ▲.10.已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞BP ，如果AB =5，那么AP = ▲ . 11.在直角坐标平面中，将抛物线2(1)2y x =−++，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ▲ .12.如果一个二次函数图像的顶点在x 轴上，且在y 轴的右侧部分是上升的.请写出一个符合条件的函数解析式： ▲ .13.如图，一辆小车沿着坡度为1: 2.4的斜坡从A 点向上行驶了50米，到达B 点，那么此时该小车上升的高度为 ▲米.14.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且43AB CD =，若AB m =， AD n =．请用m ，n 来表示AC = ▲ .15.如图，已知直线l 1、l 2、l 3分别交直线m 于点A 、B 、C ，交直线n 于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3，AB =2BC ，DF =6,那么EF = ▲ .16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,点E 是AD 的中点，BE 、CD 的延长线交于点F ，如果AD :BC =2:3,那么:EDF AEB S S △△=▲ .n mA DE B CF（第15题图）l 3l 2 l 1DBA(第18题图)(第14题图)CBAD （第16题图）(第13题图)水平面ABACB15° (第22题图)30°M17.在△ABC 中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BE 与CD 相交于点O ，如果△OBC 是等边三角形，那么tan ∠ABC = ▲ .18.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，将边AB 绕点A 逆时针旋转，点B 落在B '处，联结BB '、CB '，若90BB C ∠'=︒，则BB '= ▲ . 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表．x … 0 1 2 3 4 … y…3-1?3…（1）由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D 的坐标；（2）如果该二次函数图像与y 轴交于点A ，点P （5，t ）是图像上一点，求△P AD 的面积.20.（本题满分10分）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，联结DE 、EF ．已知ED BC ∥，EF AB ∥，AD =3，9DB =．（1）求BFFC的值； （2）若△ABC 的面积为16，求四边形BFED 的面积． 21.（本题满分10分）已知：如图，△ABC 中，AB =15，BC =14， 4sin 5B =，AD ⊥BC 于D . （1）求AC 的长；（2）如果点E 是边AC 的中点，求cot ∠EBC 大小．22.（本题满分10分）如图，A 处有一垂直于地面的标杆AM ，热气球沿着 与AM 的夹角为15°的方向升空，到达B 处，这时 在A 处的正东方向200米的C 处测得B 的仰角为30° （AM 、B 、C 在同一平面内）.求A 、B 之间的距离．（结果精确到1米，2 1.414)≈(第20题图)(第19题图)y xO (第21题图)CA23.（本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，∠BDC =∠DEC ． 求证：（1）△ADE ∽△ACD ；（2）AC AEBCCD =22． 24.（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx+c a =+>的图像经过原点O （0, 0）、点A （1，3a ），此抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，顶点为B ． （1）求抛物线的对称轴；（2）如果该抛物线与x 轴负半轴的交点为D ，且∠ADC 的正切值为2，求a 的值； （3）将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A 、B 分别对应新抛物线上的点E 、P ．联结P A ，如果点P 在y 轴上，P A ∥x 轴，且∠EP A =∠CBO ，求新抛物线的表达式．25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题第5分、第(3)题5分）在△ABC 中，AC =BC ．点D 是射线AC 上一点（不与A 、C 重合），点F 在线段BC 上，直线DF 交直线AB 于点E ，2CD CF CB =⋅. （1）如图，如果点D 在AC 的延长线上. ①求证：DE BD =；②联结CE ,如果CE ∥BD ，CE =2，求EF 的长． （2）如果DF :DE =1:2，求：AE :EB 的值．（第23题图）AD BCE (第24题图)yxO DAB C EF（第25题图）（第25题备用图）BCA参考答案一、选择题（本大题共 6 题，每题4 分，满分24 分） 1．B 2. A 3. C 4. D 5. B 6. D二、填空题（本大题共 12 题，每题4 分，满分48 分）7.13； 8.1:5000； 9. 250(1)y x =+； 10.5552−； 11. 2(2)y x =−+； 12. 2=y x （答案不唯一）； 13. 2501314. 34+m n ； 15. 2； 16. 12；17.33 ； 18.125.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：（1）∵图像过（0,3）、（4,3）∴该二次函数图像的对称轴为直线x =2, ∴顶点坐标为D （2，-1），设该二次函数的解析式为2(2)1y a x =−−， ∵当x =1时，y =0，∴0=a -1，得a =1.∴二次函数的解析式为2(2)1y x =−−，顶点D 的坐标为（2，-1）. (2)当x =5时，y =8, ∴点P （5,8）, 当当x =0时，y =3，∴A （0,3）分别过点P ,D 作y 轴的垂线，垂足分别为点B 、点C ，则16325922PBCD S =+⨯=梯形（）12442ACD S =⨯⨯=△;1255522ABP S =⨯⨯=△∴6325415.22APD S =−−=△ 20．解：（1）∵DE ∥BC ,∴=AD AEBD EC∵AD =3,BD =9,∴31.93==AE EC ∵EF ∥AB , ∴1.3AE BF EC FC ==（2）∵DE ∥BC ，∴ADE ABC△∽△∴2()ADE ABC S AD S AB=△△， ∵△ABC S =16，∴21().164ADE S =△ 1.ADE S =△ (第19题图)yxO DPAB C(第20题图)同理可得23().164EFC S =△∴9.EFC S =△∴1619 6.BFED S =−−=21．解：(1)∵AD ⊥BC, AB =15，4sin 5B =，∴AD =15sin B=12. ∴BD =9， ∵BC =14，∴CD =5 ∴AC =13(2)联结BE ,过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ∵ E 为AC 的中点 EH ∥AD ，∴.EH EC CH ADACCD==∴ EH =6, CH =DH =2.5，∴BH =11.5∴ cot ∠EBC =11.523.612==BH EH 22（本题满分10分）解：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H .∵ ∠C =30°，AC =200，∴ AH =12AC =100∵AM ⊥AC ，∠BAM =15°∴ ∠BAC =105°, ∠ABC =45° ∴AB =°1002141sin 45AH =≈米答：A 、B 之间的距离约为141米.23.证明：（1）∵∠BDC =∠DEC ∴∠ADC =∠AED ∵∠A =∠A ∴△ADE ∽△ACD (2)∵DE ∥BC ∴∠EDC =∠DCB ∵∠BDC =∠DEC ∴△BDC ∽△CED∴22=△△CDE BDC S CD S BC ∵DE ∥BC ∴=△△CDE BDC S DE S BC , =DE AE BC AC ∴ 22=CD AEBC AC24.解（1）∵抛物线2(0)y ax bx+c a =+>的图像经过原点O （0, 0）、点A （1，3a ），CB AD EH ACB15° (第22题图)30°MH（第23题图）AD BCE∴3⎧⎨++=⎩c =0a b c a∴2=⎧⎨⎩b a c =0∴抛物线的表达式22=+y ax ax ∵2122−=−=−b a a a∴抛物线的对称轴是：直线x =-1 （2）∵O （0, 0）对称轴是直线x =-1 ∴D （-2,0）过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，则AH =3a ，DH =3∴t a n ∠ADC =323==AH a DH∴ a =2（3）过点E 作EF ⊥P A ，垂足为F 当x =-1时，y =-a ，∴B （-1，-a ） ∵P A ∥x 轴 ∴P （0,3a ）点B 到P 向右平移1个单位向上平移4a 个单位， ∴ PF =2,EF =4a ∵tan ∠CBO =1=OC BC a tan ∠EP A =422==EF aaPF ∵∠EPA =∠CBO ∴12,=a a2=a∴新抛物线的表达式是222=+y x 25．（1）①∵2CD CF CB =⋅ ∴=CF CDCD CB又∵∠DCB =∠FCD ∴△DCB ∽△FCD题图))DABCEF（第25题图）∴∠DBC =∠FDC ∵AC =BC ，∴∠A =∠CBA∠DEB =∠A +∠EDA ∠DBA =∠CBA +∠DBC ∴∠DEB = ∠DBA ∴DE =BD（1）②∵CE ∥DB ∴∠BDF =∠DEC 又∵DB =DE ,∠DBF =∠EDC ∴△DBF ≌△EDC∴CE =DF =2 DE =DB =2+EF∵=CE EF BD DF ∴222=+EFEF EF1 （EF=1舍去） （2）1º当点D 在AC 延长线上时过点D 作DH ∥AB 交BC 的延长线于点H∵DH ∥AB DF :DE =1:2 ∴DH =EB ∠H =∠HBA =∠A 又∵∠DBH =∠EDA BD =DE ∴△BHD ≌△DAE ∴DH =AE =EB AE :EB =1 2º当点D 在边AC 上时过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G同理△DCB ∽△FCD ∴∠DBC =∠FDC =∠EDA ∵∠CBA =∠CAB =∠E +∠EDA ∴∠E =∠DBA =∠GDB ∴DE =DB △BGD ≌△DAE ∴DG =AE又∵DF :DE =1:2，13==DG DF BE EF ∴AE :EB=13DABCE F（第25（2）题图）H（第25题备用图）BCADFEG。

图2上海市虹口区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列函数中，y 是关于x 的二次函数的是（）.A 21y x ；.B 21y x；.C 221y x ；.D 321y x ．2.将抛物线23y x 向左平移4个单位长度，所得到抛物线的表达式是（）.A 2y 22.D 234y x ．3.如图1）.A 4.如图250厘米，小球在为（.A 50.C 505.如图3//GE AC 交BC 于点E ．如果）.A 3；.B 4；.C 6；.D 8．6.如图4，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（）.A .B .C .D 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知:3:2x y ，那么 :x y x．图4图68.如果向量a、b 和x 满足2a x a b ，那么x．9.已知抛物线 213y a x 开口向下，那么a 的取值范围是．10.如果点 2,1A 在抛物线 21y x m 上，那么m 的值是．11.如果将抛物线22y x 平移，使顶点移到点 3,1P 的位置，那么所得抛物线的表达式是．12.已知点 13,A y 和 21,B y 都在抛物线 2212y x 上，那么1y 和2y 的大小关系为1y 2y ．（填“ ”或“ ”或“ ”）13.2在第象限．14.15.2AD ，2BE AE ，AD a 16.在边AD 上，2AF FD ，直线BF 的17.83 ，BC 的18.如图9，在ABC 中，5AB AC ，3tan 4B．点M 在边BC 上，3BM ，点N 是射线BA 上一动点，联结MN ，将BMN 沿直线MN 翻折，点B 落在点'B 处，联结'B C ，如果'//B C AB ，那么BN的长是．图8①图8②图9三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：2tan 454sin 30cos30cos 60．20.（本题满分10分）画二次函数2y ax bx 的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格（不完整）．请补全表格，21.10②的示意图．DE 的长．图10①图10②图10③图1222.（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图11①，已知线段a 、b 和MON ．如图11②，小明在射线OM 上顺次截取2OA a ，3AB a ，在射线ON 上顺次截取2OC b ，3CD b ．联结AC 、BC 和BD ，4AC ，6BC ．（1）求BD 的长；（2）小明继续作图，如图11③，分别以点B 、D 为圆心，以大于12BD 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ，联结PQ ，分别交BD 、OD 于点E 、F ．如果BC OD ，求EF 的长．23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图12，在ABC 中，已知点D 、E 分别在边BC 、AB 上，EC 和AD 相交于点F ，EDB ADC ，2DE DF DA ．（1）求证：ABD ECD ∽；（2）如果90ACB ，求证：12FC EC．图11①图11②图11③图1324.（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）①题满分4分，第（2）②题满分4分）如图13，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x x m 经过点 3,0A ，与y 轴交于点C ，联结AC 交该抛物线的对称轴于点E ．（1）求m 的值和点E 的坐标；（2）点M 是抛物线的对称轴上一点且在直线AC 的上方．①联结AM 、CM ，如果AME MCA ，求点M 的坐标；②点N 是抛物线上一点，联结MN ，当直线AC 垂直平分MN 时，求点N 的坐标．图14①图14②备用图25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）①小题满分5分，第（2）②小题满分5分）如图14①，在Rt ABC 中，90ACB ，4tan 3ABC，点D 在边BC 的延长线上，联结AD ，点E 在线段AD 上，EBD DAC ．（1）求证：DBA DEC ∽；（2）点F 在边CA 的延长线上，DF 与BE 的延长线交于点M （如图14②）．①如果2AC AF ，且DEC 是以DC 为腰的等腰三角形，求tan FDC的值；②如果2DE CD，3EM ，:5:3FM DM ，求AF 的长．2023学年度学生学习能力诊断练习初三数学评分参考建议2024.1说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C 2．A 3．A 4．D 5．B 6．D二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．138．+2a b9．a >110．011．22(3)1y x 12．>13．二14．2415．43a16．317．15718．6三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=214(2211) 20．解：把A （-1，-5）和B （2，4）代入2y ax bx5;442.a b a b 解得1;4.a b∴抛物线的表达式为24y x x21．解：过点B 作BG ⊥CD 于点G ，根据题意，可得∠BEC=∠ABC-∠BCD=53°在Rt △BCG 中，CG =BC cos ∠BCD =8×cos63°=3.6cmBG =BC sin ∠BCD =8×sin63°=7.2cm在Rt △BEG 中，GE =BG cot ∠BEC =7.2×cot53°=5.4cm ∴DE =CD -CG -GE =20-3.6-5.4=11cm 答：DE 的长为11厘米.x…-10245…y…-54-5…22．解：（1）∵OA =2a ，AB =3a ，OC =2b ，CD =3b∴OA OC AB CD ∴AC //BD ∴25OA AC OB BD ∵AC =4∴BD =10（2）根据题意，PQ 垂直平分BD∴152BE DE BD ∵BC =6∴在Rt △BDC 中，3sin 5BC BDC BD ∴3tan 4BDC 在Rt △DEF 中，5315tan 244EF DE BDC23．证明：（1）∵2DE DF DA∴DF DE DE DA∵∠ADE =∠EDF∴△EDF ∽△ADE∴∠FED=∠DEA ∵∠EDB =∠ADC ∴∠ADB =∠EDC ∴△ABD ∽△ECD（2）∵△ABD ∽△ECD ∴∠B =∠ECB ∴BE =CE∵∠ACB =90°∴∠ACE +∠ECB =90°在Rt △ABC 中，∠B +∠BAC =90°∴∠ACE =∠BAC ∴EC =EA ∴12EC BE AB∵△ABD ∽△ECD∴AB BD EC CD∵∠B =∠ECB ，∠EDB =∠FDC∴△EDB ∽△FDC ∴BE BDFC CD又∵EC BE ∴12FC EC24．解：（1）把A （-3，0）代入22y x x m ∴096m 解得m =-3可得对称轴为直线x=-1可求l AC ：y=-x -3∴E （-1，-2）（2）∵∠AME =∠MCA ，又∵∠MAC =∠EAM∴△MAC ∽△EAM∴AM ACAE可求AE =，AC =∴AM 设点M 坐标（-1，m ）可得222+12m 解得m∴点M 坐标（-1，（3）可得点A （-3，0），点C （0，-3）∴AO=OC∵∠AOC =90°∴∠OAC =45°∵AC 垂直平分MN ∴EM=EN 可得∠EMN =∠MNE =45°∴NE ⊥ME 即N 的纵坐标为-2把y =-2代入223y x x ，得2223x x解得1x∵点M 在直线AC 上方，∴点N (12) .25．解：（1）∵∠DAC=∠EBD∠ADC=∠BDE∴△DAC ∽△DBE∴DC DA DE DB∴DB DA DE DC∵∠ADB=∠CDE ∴△DBA ∽△DEC （2）∵△DBA ∽△DEC ，△DEC 是以DC 为腰的等腰三角形∴△DBA 是以AD 为腰的等腰三角形①AD=AB∵∠ACB=90°∴DC=BC根据题意，设DC=BC=3k ，AC=4k∵AC=2AF ∴AF =2kCF =6k ∴在Rt △DCF 中，tan 2FCFDC DC②AD=BD根据题意，设BC=3k ，AC=4k ，则AB =5k过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ∴BH 15=22AB k在Rt △BDH 中，BD =25cos 6BH k ABC ∴DC =257366k k k∵AC=2AF ∴AF =2k CF =6k∴在Rt △DCF 中，36tan 7FC FDC DC综上所述，tan ∠FDC =2或36（3）∵△DAC ∽△DBE ，2DE ∴2DE DB DC过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H 设BD ，2AD m在Rt △BDH 中，cos BH BD ABC ，sin DH BD ABC在Rt △ADH 中，AH∴AB AH BH在Rt △ABC 中，cos BC AB ABC∴DC ∴sin ∠过点F 作FG//ME 交DA 的延长线于点G ∴38ME DM FG DF ∵ME=3∴FG =8∵∠FAG=∠DAC ∴sin ∠FAG =sin ∠DAC在Rt △AFG 中，sin FG AF DAC。

2023年北京市通州区中考数学一模试卷一、选择题(本题共8个小题，每小题2分，共16分)每题均有四个选项，符合题意的选项只有1．下列图形：(1)线段；(2)角；(3)等边三角形；(4)平行四边形．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．(1)B．(2)C．(3)D．(4)2．2023年1月国家统计局网站数据显示，2022年全国居民人均消费支出24538元，将24538用科学记数法表示()A．0.24538×106B．2.4538×105C．2.4538×104D．2.4538×1033．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为()A．75°B．60°C．105°D．120°第3题第5题4．正七边形的外角和是()A．900°B．700°C．360°D．180°5．如图，是某一个几何体的表面展开图，这个几何体是()A．五棱锥B．四棱锥C．四棱柱D．三棱柱6．点M，N在数轴上的位置如图所示，点M，N表示的有理数为a，b．如果ab＜0，a+b＞0，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是()A．原点O在点M左侧B．原点O在点N的右侧C．原点O在点M、N之间，且|OM|＞|ON|D．原点O在点M、N之间，且|OM|＜|ON|7．如图1，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字，图2，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是()A ．转动转盘后，出现偶数B ．转动转盘后，出现能被3整除的数C ．转动转盘后，出现比6大的数D ．转动转盘后，出现能被5整除的数8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OCDE 是一个矩形，小球P 从点A (2，6)出发沿直线向点B 运动，到达点B 时被第一次反弹，每当小球P 沿直线运动碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P 第100次碰到矩形的边时，小球P 所在位置的坐标为()A ．(4，0)B ．(8，6)C ．(5，12)D ．(12，4)二、填空题(本题共8个小题，每小题2分，共16分)9．若代数式11-+x x 有意义，那么x 的取值范围是．10．分解因式：2x 2－8x +8＝．11．已知n 为整数，且107<<n ，则n 等于．12．方程3321-=x x 的解是．13．由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值R (始终保持R ＞0)，发现通过滑动变阻器的电流I 与滑动变阻器的电阻R 成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过4A ，则滑动变阻器阻值的范围是．第13题第15题14．为探究浸种处理对花生种子萌发率的影响，九年级的生物小组同学取1000粒花生种子完成实验．同学们将1000粒花生种子平均分成五组，获得如下花生种子萌发量数据，如表格．组别处理花生种子萌发量(单位：粒)第1组第2组第3组第4组第5组浸种24小时、25℃186180180176178在温度25℃的条件下，将5000粒种子浸种24小时，萌发量大致为粒．15．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，将一个直角尺MON 的直角顶点O 与BC 边上的中点D 重合，并绕点D 旋转，分别交AB 、AC 于点E 、F ，如果四边形AEDF 恰巧是正方形，则BE 的长度为．16．某学校带领150名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用A ，B ，C 三种型号客车去农场，其中A ，B ，C 三种型号客车载客量分别为40人、30人、10人，租金分别为700元、500元、200元．为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是元．三、解答题(17-23题每题5分，24、25题每题6分，26-28每题7分，共68分)17．计算：()︒+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-30tan 612320232101．18．解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧+>++≤1312413x x x x 19．先化简，再求值：已知3x 2+x +1＝0，求(x +1)(x －2)－(3+2x )(2x －3)的值．20．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝BD ＝2CD ，E 为AB 的中点，请你用无刻度的直尺在图中画△ABD 的边AD 上的高线．小蕊的画法如下．请你按照小器的画法完成画图，并填写证明的依据．21．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 中点，连接CD ，DE ，延长DE 到点F ，使得EF ＝DE ，连接AF ，CF ．(1)求证：四边形AFCD 是菱形；(2)如果sin ∠CAF=53，且AC ＝8，求AB 的长．22．如图，平面直角坐标系xOy 中，一次函数321+-=x y 的图象l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数y ＝kx 的图象l 2与l 1交于点C (m ，4)．(1)求m 的值及l 2的表达式；(2)一次函数y ＝nx +1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3三条直线不能围成三角形，直接写出所有满足条件的n 的值．23．北极海冰是地球系统的重要组成部分，其变化可作为全球气候变化的重要指示器．为了应对全球气候问题，科学家运用卫星遥感技术对北极海冰覆盖面积的变化情况进行监测，根据对多年的数据进行整理、描述和分析，形成了如下信息：a 、1961－2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化的频数分布直方图如下所示：(数据分成8组：3≤x ＜4，4≤x ＜5，5≤x ＜6，6≤x ＜7，7≤x ＜8，8≤x ＜9，9≤x ＜10，10≤x ＜11)b、1961－2020年间北极海冰年最低覆盖面积的数据在8≤x＜9这一组的是：8.0，8.2，8.2，8.3，8.3，8.5，8.6，8.6，8.6，8.7，8.8(1)写出1961－2020年间北极海冰年最低覆盖面积的中位数是(106平方千米)；(2)北极海冰最低覆盖面积出现了大面积的缩减是年．(3)请参考反映1961－2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化的折线图，解决以下问题：S，1991－2020年北极海①记北极地区1961－1990年北极海冰年最低覆盖面积的方差为21S，请直接判断21S22S的大小关系(填写“＞”“＜”或冰年最低覆盖面积的方差为22“＝”)；②根据2000年以后北极海冰年最低覆盖面积的相关数据，推断全球气候发生了怎样的变化？在你的生活中应采取哪些措施应对这一变化？24．如图，△ABC是圆内接三角形，过圆心O作OF⊥AC，连接OA，OC，过点C作CD∥AO，交BA的延长线于点D，∠COF＝45°．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)如果BC•CE＝8，求⊙O半径的长度．25．如图，OC是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C离地面垂直高度为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．(1)灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B，此时，喷水口C喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表．结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程OB的长度．(2)为了全面灌溉，喷水口C 可以喷出不同射程的水流，喷水口C 喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式h x a y +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=232，此水流最大射程OE ＝2米，求此水流距离地面的最大高度．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(－1，n )，(2，p )在二次函数y ＝－x 2+bx +2的图象上．(1)当n ＝p 时，求b 的值；(2)当(2－n )(n －p )＞0，求b 的取值范围．27．直线MO是线段AB的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线OM上一点，连接AC．以AC为斜边作等腰直角△ACD，连接OD．(1)如图1，若CO＝AB，求∠AOD的度数；(2)如图2所示，点E是直线MO上一点，且CE＝AB，连接DE，延长DO至点F，使得OF＝OD，连接AF，根据题意补全图2，写出线段DE，AF之间的关系，并证明．28．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，给出如下定义：作直线l分别交AB，AC边于点M，N，点A关于直线l的对称点为A′，则称A′为等腰直角△ABC关于直线l的“直角对称点”．(点M可与点B重合，点N可与点C重合)(1)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，2)，B(2，0)，直线l：y＝kx+1，O′为等腰直角△AOB关于直线l的“直角对称点”．①当k＝－1时，写出点O′的坐标．；②连接BO′，求BO′长度的取值范围；(2)⊙O的半径为10，点M是⊙O上一点，以点M为直角顶点作等腰直角△MPQ，其中MP＝2，直线l与MP、MQ分别交于E、F两点，同时M′为等腰直角△MPQ关于直线l 的“直角对称点”，连接OM′，当点M在⊙O上运动时，直接写出OM′长度的最大值与最小值．数学参考答案及评分标准#$#%年"月一!选择题"#本题共&个小题$每小题#分$共!’分%题号!#%"(’)&答案*+*+,,-*二!填空题#本题共&个小题$每小题#分$共!’分%./!"!!!!$/##!0#%#!!!!/%!!!#/!1%!!!%/"##!"/"($$!!!(/#!!!’/答案不唯一$五种方案写一种即可&#’$$三!解答题#!)0#%题每题(分$#"!#(题每题’分$#’0#&每题)分$共’&分%解答应写出文字说明!演算步骤或证明过程#!)#解"原式$#2!0###"分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’$%#(分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’!&#解"!%$!%!"!#!%#!%#%!%%!%!!##&’(%由#!%得"!$%##分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’由##%得"!)!#"分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’&不等式组的解集为!)!#(分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’!.#解"!%#%!!’#%#’#%2#!%##!’%%$!#’!’#0#"!#’.%#!分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’$!#’!’#0"!#%.$’%!#’!%)$’#%!#%!%%)#%分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’(%!#%!%!1$&%!#%!$’!#"分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’&原式$&#(分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’#$#解"##分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’一组对边平行且相等的四边形是平行四边形#%分%’’’’’’’’’’’’’’’’平行四边形对角线互相平分#"分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’等腰三角形顶角的平分线$底边上中线$底边上的高线相互重合或者答三线合一##(分%’’(),$-)$&四边形*-+,是平行四边形#!分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’(**+.$.$3$点-是斜边*.中点$&*-$-+##分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’&四边形*-+,是菱形#%分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’解"##%(四边形*-+,是菱形&*+*,$*+*.(456*+*,$%($&456*+*.$%($#"分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’(*+$&$&*.$!$#(分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’###解"#!%把+#/$"%代入0$’!#!%%&/$’##!分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’把+#’#$"%代入0$1!&1$’###分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’&正比例函数表达式为"0$’#!##%1的值分别是’%#$’#$’!##(分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’#%#解"#!%&#’##分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’##%#$$!#%分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’#%%!())&#"分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’"答案不唯一##(分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’#"#证明"#!%(*+是+2的弦$且2,,*+$&**2,$*+2,#!分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’(*+2,$"(3#&*+2*$.$3###分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’(+--*2$&*2+-$.$3&+-,2+#%分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’&-+是+2的切线223223(*+2*$.$3#&*.$"(3(**+.$*)+*&.*+./.)+*#"分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’&)+*+$*+.+(.+*+)$&$&*+$##(分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’&由勾股定理得"2*$#&+2半径是##’分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’#(#解"#!%依据题意得+#$$%#%$*##$#%$设0$3#!’#%#%###分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’把+#$$%#%$代入0$3#!’#%#%#3$’!&抛物线表达式为"0$’!&#!’#%#%##%分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’当0$$时!!$’#$!#$’&水流最大射程2.$’米#"分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’##%设0$3#!’#%%#%4把+#$$%#%$)##$$%代入0$3#!’#%%#%4#(分%’’’’’’’’’’’’’’’’解之得4$##’分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’&此水流距离地面最大高度是#米##’#解"#!%把’!$#%5$#$#%6代入0$’!#%7!%#5$!07$6$#7’#+##!分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’(5$6&!07$#7’#&7$!##分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’##%根据##05%#5’6%%$$&#5’#%#5’6%)$可分为如下两种情况"5’#%$$5’6)$+#或者5’#)$$5’6%$+##"分%’’’’’’’’’’’’’’5565657#)#解"#!%连接.-##!分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’(**-+$**2+$.$8$&*$2$-$+四点共圆#&*-*2$*-+2#在.*.-和.+2-中$*-$+-*-+2$*-*.+2$&’(*.&.+2-0.*.-##分%’’’’’’’’’’’’’’’’’&*+-2$**-.#&*+-*$*.-2$.$3$2-$2.#&*-2.$*-.2$"(3#**2-$!&$3’"(3$!%(3##%分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’##%*,$-)#*,,-)##"分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’连接.-$.,证明"同理可证.+)-0.*.-$可得-)$-.#**-.$*+-)(*+-*$.$3&-.,-)#(分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’(2-$2,$*2$2.$&四边形*-.,是平行四边形##’分%’’’’’’’’’’&*,$-.$&*,--.&*,$-)#*,,-)##)分%’’’’’’’’’’’’’’#&##!%!29#!$!%##分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’"!$.29$##(分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’##%最大值"!$2#最小值"!$0##)分%’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’,注-"学生正确答案与本答案不同$请老师按此评分标准酌情给分#。

2024北京丰台初三一模数 学2024.04考生须知1．本试卷共8页，共28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功．一架C919飞机最大储油量超过19000千克．将数据19000用科学记数法表示为（ ）A ．50.1910⨯B ．41.910⨯C ．31.910⨯D ．31910⨯2．窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，直线a b ∥，直线l 与直线a ，b 分别交于点A ，B ，点C 在直线b 上，且CA CB =．若132∠=︒，则2∠的大小为（ ）A ．32︒B ．58︒C ．74︒D ．106︒4．已知实数a ，b 满足1a b >-，则下列结论正确的是（ ）A ．a b>B ．a b<C ．21a b +>+D ．21a b +<+5．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角1∠的大小为（ ）A ．22.5︒B ．45︒C ．60︒D ．135︒6．若关于x 的方程230ax x c -+=有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a ，c 的值可以是（ ）A ．0a =，1c =B ．1a =，3c =C ．2a =-，4c =-D ．1a =-，3c =7．不透明的袋子中装有四个小球，上面分别写有数字“1”，“2”，“3”，“4”，除数字外这些小球无其他差别．从袋中随机同时摸出两个小球，那么这两个小球上的数字之和是5的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．168．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，AB 边上的点，AE AF =，且0AE ED <<，过点E 作EH BC ⊥于点H ，过点F 作FG CD ⊥于点G ，EH ，FG 交于点O ，连接OB ，OD ，BD ．设AE a =，ED b =，BD c =，给出下面三个结论：①a b +>；②c >；③a b +>．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式3xx -有意义，则实数x 的取值范围是______．10．分解因式：224ax ay -=______．11．方程3102x x-=+的解为______．12．在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0ky k x=≠的图象经过点(),6A m 和()3,4B -，则m 的值为______．13．如图，DE 是ABC △的中位线，点F 在DB 上，2DF BF =，连接EF 并延长，与CB 的延长线交于点M ．若8BC =，则线段CM 的长为______．14．2011年国际数学协会正式宣布：将每年的3月14日设为“国际数学节”．某学校在3月14日举办了校园数学节活动，学生可通过参加多项数学活动获得积分（百分制），次日兑换奖品．为了更好地准备奖品，学生会干部从全校300名学生中随机抽取60名学生的积分，得到数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050x ≤<，5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）：根据以上数据，估计该校300名学生中积分不低于70分的学生人数约为______．第14题图15．如图，A ，B ，C 是O 上的点，OA BC ⊥，点D 在优弧 BC上，连接BD ，AD ．若30ADB ∠=︒，BC =，则O 的半径为______．第15题图16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号A B C D E 修复时间（分钟）15829710若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D B E A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21题6分，第22—23题，每题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）17．计算：1132cos303-⎛⎫-+︒- ⎪⎝⎭．18．解不等式组：2335,2623x x x x ->-⎧⎪+⎨<-⎪⎩．19．已知320x y --=，求代数式22264693x y x xy y x y-+-+-的值．20．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，延长CB 至D ，使得BD CB =，过点A ，D 分别作AE BD ∥，DE BA ∥，AE 与DE 交于点E ，连接BE ．（1）求证：四边形ACBE 是矩形；（2）连接AD，若AD =，2tan 3BAC ∠=，求AC 的长．21．小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为14 km/h ，从宜昌到荆州的速度约为10 km/h ．从奉节到荆州的水上距离约为350 km ．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1 h ．根据小刚的假设，回答下列问题：（1）奉节到宜昌的水上距离是多少km ？（2）李白能在一日（24h ）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()2,1A 和()0,1B -．（1）求该函数解析式；（2）当2x >-时，对于x 的每一个值，函数12y x n =+的值小于函数()0y kx b k =+≠的值且大于4-，直接写出n 的取值范围．23．为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子立定跳远项目初赛成绩前10名的学生直接进入决赛．现将进入决赛的10名学生的立定跳远成绩（单位：厘米），数据整理如下：a ．10名学生立定跳远成绩：244，243，241，240，240，238，238，238，237，236b ．10名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数239.5mn（1）写出表中m ，n 的值；（2）现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进人决赛．在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛：i ．平均成绩高于已进入决赛的10名学生中一半学生的成绩；ii ．成绩最稳定．①若甲学生前4次复活赛测试成绩为236，238，240，237，要满足条件i ，则第5次测试成绩至少为______（结果取整数）；②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如下表：第一次第二次第三次第四次第五次甲236238240237237乙237239240244235丙237242237239240则可以进入决赛的学生为______（填“甲”“乙”或“丙”）．24．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 是直径，C 是 BD的中点，过点C 作O 的切线CE 交AD 的延长线于点E ．（1）求证：CE AE ⊥；（2）连接BD ，若6BC =，8AC =，求BD 的长．25．一般来说，市面上某种水果出售量较多时，水果的价格就会降低．这时，将水果进行保鲜存储，等到价格上升之后再出售，可获得更高的出售收入．但是保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大，因此出售水果获得的收益要从出售价格中扣除保鲜存储成本．某水果公司的调研小组收集到去年一段时间内某种水果当日每千克的出售价格和保鲜存储成本的部分数据如下：设水果保鲜存储的时间为t 天（120t ≤≤），当日每千克水果出售价格为1y 元，每千克水果保鲜存储成本为2y 元．t12581012141618201y 4.0 6.310.812.512.712.412.211.812.013.02y 2.42.84.05.26.06.87.68.49.210.0（1）根据表格中的数据，第8天每千克水果的收益为______元；（2）通过分析表格中的数据，发现1y ，2y 都可近似看作t 的函数，在平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点()1,t y ，并用平滑曲线连接这些点；（3）结合函数图象，将水果保鲜存储第______天至第______天（结果取整数）时，出售每千克水果所获得的收益超过4元．26．在平面直角坐标系xOy 中，()12,M y ，()25,N y 是抛物线22y x ax =-上的两点．（1）直接写出一个a 的值，使得12y y <成立；（2）()33,P x y 是抛物线22y x ax =-上不同于M ，N 的点，若对于301x <≤，都有132y y y <<，求a的取值范围．27．在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=，点D 是BC 中点，点E 是线段BC 上一点，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转α得到线段AF ，连接EF ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，线段EF ，AC 交于点G ，求证：点G 是EF 的中点；（2）如图2，当点E 在线段BD 上时（不与点B ，D 重合），若点H 是EF 的中点，作射线DH 交AC 于点M ，补全图形，直接写出AMD ∠的大小，并证明．图1图228．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于O 的弦AB 和O 外一点C ，给出如下定义：若直线CA ，CB 都是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）已知点()1,0A -．①如图1，若O 的弦AB =(1C -，()21,1C -，(31,C -中，弦AB 的“关联点”是______；②如图2，若点1,2B ⎛-⎝，点C 是O 的弦AB 的“关联点”，直接写出OC 长；图1图2（2）已知点()3,0D ，线段EF 是以点D 为圆心，以1为半径的D 的直径，对于线段EF 上任意一点S ，存在O 的弦AB ，使得点S 是弦AB 的“关联点”．当点S 在线段EF 上运动时，将其对应的弦AB 长度的最大值与最小值的差记为t ，直接写出t 的取值范围．备用图参考答案一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案BDCCBDBA二、填空题（共16分，每题2分）9．3x ≠10．()()22a x y x y +-11．1x =12．2-13．1014．20015．216．①，1010三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21题6分，第22—23题，每题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）17．解：原式32333=+--=+--=．18．解：解不等式①，得2x <，解不等式②，得0x <，∴不等式组的解集为0x <．19．解：原式()()223424633333x y x y x y x y x yx y -=+=+=-----．∵320x y --=．∴32x y -=，∴原式632==．20．证明：（1）∵AE BD ∥，DE BA ∥，∴四边形ABDE 是平行四边形．∴AE BD =．∵BD CB =，∴AE CB =．∵AE BD ∥，∴四边形ACBE 是平行四边形．∵90C ∠=︒，∴四边形ACBE 是矩形．（2）∵在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2tan 3BC BAC AC ∠==，∴设2BC x =，3AC x =．∴2BD BC x ==．∴4DC x =．在Rt ADC △中，90C ∠=︒，AD =，∵222AC DC AD +=，∴()()(22234x x +=．解得，x =．∴3AC x ==．21．解：（1）设奉节到宜昌的水上距离是x km ．根据题意得：35011410x x--=，解得210x =．答：奉节到宜昌的水上距离为210km ．（2）∵210350210151429241410-+=+=>，∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵．22．解：（1）∵函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()2,1A 和()0,1B -，∴211k b b +=⎧⎨=-⎩．解得：11k b =⎧⎨=-⎩．∴该函数解析式为1y x =-．（2）32n -≤≤-．23．解：（1）239m =，238n =．（2）①240．②丙．24．（1）证明：连接OC ，∵CE 为O 的切线，∴OC CE ⊥．∴90OCE ∠=︒．∵C 是 BD的中点，∴ CB CD =．∴EAC CAO ∠=∠．∵OA OC =，∴CAO ACO =∠．∴EAC ACO ∠=∠．∴OC AE ∥，∴180E OCE ∠+∠=︒，∴90E ∠=︒，∴CE AE ⊥．（2）解：∵AB 为直径，∴90ACB ADB ∠=∠=︒．∵6BC =，8AC =，∴10AB =．∵EAC CAO ∠=∠，E ACB ∠=∠，∴ACE ABC ∽△△．∴CE ACBC AB=．∴ 4.8CE =．∵90E BDE ECO ∠=∠=∠=︒，∴四边形EDFC 是矩形．∴ 4.8DF EC ==，OC BD ⊥．∴29.6BD DF ==．25．解：（1）7.3；（2）（3）3，14．26．解：（1）答案不唯一，例如：3a =．（2）∵二次函数解析式为22y x ax =-，∴函数图像开口向上，对称轴为x a =．①当3a x ≤时，∴点P ，M ，N 均在对称轴右侧．∴由二次函数性质，必有312y y y <<，不符题意舍去．②当32x a ≤<时，∵点P 在对称轴左侧，设P 点关于x a =的对称点为P '，则点P '的坐标为()312,a x y -．∵点P '，M ，N 在对称轴右侧，且132y y y <<，∴322a x <-．∴322a <<．③当25a ≤≤时，∵点P 和M 在对称轴左侧，由函数性质，有13y y <，∵点P '，N 在对称轴右侧，且32y y <，∴325a x -<．∴522a ≤≤．④当5a >时，∴点P ，M ，N 均在对称轴左侧．∴由二次函数性质，必有312y y y >>，不符题意舍去．由①②③④可知，3522a <≤．27．（1）证明：∵AB AC =，点D 是BC 中点，∴1122DAC BAC α∠=∠=．∵DAF α∠=，∴12CAF DAC α∠=∠=．试题11∵AE AF =，∴点G 是EF 的中点．（2）依题意补全图形．解：90AMD ∠=︒．证明：连接FC ，截取KC BE =，连接FK 交AC 于N ．∵BAC EAF α∠=∠=，∴BAE CAF ∠=∠．∵AE AF =，AB AC =，∴BAE CAF ≌△△．∴BE CF =，B ACF ∠=∠．∵B ACB ∠=∠，∴ACB ACF ∠=∠．∵KC BE =，∴KC CF =．∴KF AC ⊥于N ．∵点D 是BC 中点，∴BD CD =．∴DE DK =．∵点H 是EF 的中点，∴DH KF ∥．∴90AMD ANK ∠=∠=︒．28．解：（1）①1C ，3C ；②OC．（2t ≤≤．。

大兴区2022－2023学年一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图所示的圆柱，其俯视图是A ．B ．C ．D ．2．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在距离地球约400 000米的中国空间站开讲，数据400 000用科学记数法表示为A ．40×104B ．4×105C ．4×106D ．0.4×1063．已知M ，N ，P ，Q 四点的位置如图所示，下列结论正确的是A ．∠NOQ ＝40°B ．∠NOP ＝140°C ．∠NOP 比∠MOQ 大D ．∠MOQ 与∠MOP 互补第3题 第4题 第7题4．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是A ．a ＜-2B ．b ＞2C ．b -a ＜0D ．a ＞-b5．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求两次摸出小球的标号相同的概率是A ．13B ．23C ．19D ．296．若关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有实数根，则实数m 的取值范围为A ．m ＜1B ．m ≤1C ．m ＞1D ．m ≥17．如图，在正方形网格中，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 是网格线交点，△ABC 与△DEF 关于某点成中心对称，则其对称中心是 A ．点GB ．点HC ．点ID ．点J8．下面的三个问题中都有两个变量：①面积一定的等腰三角形，底边上的高y 与底边长x ；②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y 与放水时间x ；③计划从A 地到B 地铺设一段铁轨，每日铺设长度y 与铺设天数x ．其中，变量y 与变量x 满足反比例函数关系的是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是___________．10．分解因式：2363m m ++=__________．11．方程123x x=-的解为___________．12．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点23（，）A 和点()2，B m -，则m 的值为________．13．九年级（1）班同学分6个小组参加植树活动，此活动6个小组的植树棵数的数据如下：5，7，3，x ，6，4（单位：株）．若这组数据的众数是5，则该组数据的平均数是．14．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点， AB = BC，若∠AOB =68°，则∠BDC =____°．第14题 第15题15．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且AE =2DE ,连接CE 交对角线BD 于点F .若BD =10,则DF 的长为______．16．某校需要更换部分体育器材，打算用1800元购买足球和篮球，并且把1800元全部花完．已知每个足球60元，每个篮球120元，根据需要，购买的足球数要超过篮球数，并且足球数不超过篮球数的2倍，写出一种满足条件的购买方案____________________．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题， 每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：()2sin 601︒--π18．解不等式组：()32411.3≥，x x x x ⎧+-⎪⎨-<+⎪⎩19．已知210x x +-=，求代数式(21)(21)(3)x x x x +---的值．20．下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，请选择其中一种，完成证明．21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的交于点O，延长CB到E，使得BE=BC．连接AE．过点B作BF//AC，交AE于点F，连接OF．（1）求证：四边形AFBO是矩形；（2）若∠ABC=60°，BF=1，求OF的长．22．在平面直角坐标系xOy中，函数(0)=+≠的图象经过点（1，1），（2，y kx b k3）.（1）求该函数的解析式；（2）当1x>-时，对于x的每一个值，函数(0)y mx m=≠的值大于一次函数=+≠的值，直接写出m的取值范围．(0)y kx b k23．某校为了解九年级学生周末家务劳动时长的情况，随机抽取了50名学生，调查了这些学生某一周末家务劳动时长（单位：分钟）的数据，并对数据（保留整数）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息：a．学生家务劳动时长的数据在70≤x＜80这一组的具体数据如下：72，72，73，74，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，79 b．学生家务劳动时长的数据的频数分布直方图如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）学生家务劳动时长的数据的中位数为；（3）若该校九年级有学生500人，估计该校九年级学生家务劳动时长至少90分钟的有人．24．如图，AB是☉O的直径，C为圆上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D．过点A作☉O的的切线交OD的延长线于点P，连接CP．（1）求证：CP 是☉O 的切线；（2）过点B 作BE ⊥PC 于点E ，若CE =4，cos ∠CAB =45，求OD 的长．25．羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系式：2()(0)y a x h k a =-+≠．某次发球时，羽毛球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m 02468…竖直高度y/m13253321…请根据上述数据，解决问题（1）直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0)y a x h k a =-+≠；（2）已知羽毛球场的球网高度为1.55m ，当发球点O 距离球网5m 时羽毛球____________（填“能”或“不能”）越过球网．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()12，y -，()22，y ，()33，y 在抛物线2221y x tx t =-++上．（1）抛物线的对称轴是直线 （用含t 的式子表示）；（2）当12y y =，求t 的值；（3）点()()33，m y m ≠在抛物线上，若231＜＜y y y ，求t 取值范围及m 的取值范围．27．在△ABC 中，AC =BC ，∠C =90°，点D 为射线CB 上一动点（不与B ，C 重合），连接AD ，点E 为AB 延长线上一点，且DE =AD ，作点E 关于射线CB 的对称点F ，连接BF ，DF ．（1）如图1，当点D 在线段CB 上时，①依题意补全图形，求证：∠DAB =∠DFB ；②用等式表示线段BD ，BF ，BC 之间的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，请直接用等式表示线段BD ，BF ，BC 之间的数量关系．图128．在平面直角坐标系xOy 中，对于△ABC 与⊙O ，给出如下定义：若△ABC 的一个顶点在⊙O 上，除这个顶点外△ABC 与⊙O 存在且仅存在一个公共点，则称△ABC 为⊙O 的“相关三角形”．（1）如图1，⊙O 的半径为1，点C （2，0），△AOC 为⊙O 的“相关三角形”．在点P 1（0，1），P 2，（12 P 3（1，1）这三个点中，点A 可以与点重合；图1 图2（2）如图2，⊙O的半径为1，点A（0，2），点B是x轴上的一动点，且点B的横坐标x B的取值范围是-1<x B<1，点C在第一象限，若△ABC为直角三角形，且△ABC为⊙O的“相关三角形”．求点C的横坐标x C的取值范围；（3）⊙O的半径为r，直线y=与⊙O在第一象限的交点为A，点C（2，0）,若平面直角坐标系xOy中存在点B（点B在x轴下方），使得△ABC为等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“相关三角形”．直接写出r的取值范围.备用图大兴区九年级第二学期期中练习初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案ABDDABCB二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．≥1x 10．23(1)m +11．6x =12．3-13．5 14．3415．5216．答案不唯一， 9个篮球，12个足球；8个篮球，14个足球三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17．解：原式1- …………………………………………………………4分=1．…………………………………………………………………………….…5分18．解：3(2)4,11.3x x x x +-⎧⎪⎨-<+⎪⎩≥①②解不等式①，得52x ≥．………………………………………………………………………2分解不等式②，得2＞-x ．………………………………………………………………………4分∴不等式组的解集为52x ≥．…………………………………………………………………5分19．解：(21)(21)(3)x x x x +--- 22=413x x x --+………………………………………………………………………2分2=331x x +-．…………………………………………………………………………3分∵210x x +-=，∴21x x +=，……………………………………………………………………………………4分∴2333x x +=，∴原式312=-=．…………………………………………………………………………………………………………………5分20．选择方法一．证明：∵22142（）a+b ab c =⨯+， ……………………………………………………………3分∴222+2+=2+a ab b ab c ，……………………………………………………………………4分∴222+=a b c ．…………………………………………………………………………………5分选择方法二．证明：∵22142（）b a ab c -+⨯=， ……………………………………………………………3分∴2222++2=-b ab a ab c ， ……………………………………………………………………4分∴222+=a b c ．…………………………………………………………………………………5分21．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO =OC ，AC ⊥BD ，∴∠AOB =90°．∵BE =BC ，∴OB ∥AE ．又∵BF ∥AC ，∴四边形AFBO 是平行四边形．又∵∠AOB =90°，∴四边形AFBO 是矩形．………………………………………………………………………3分（2）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABO =12∠ABC ．∵∠ABC =60°，∴∠ABO =30°．∵四边形AFBO 是矩形，∴OB ∥AF ，OF =AB ，∠BFA =90°，∴∠FAB =∠ABO ，∴∠FAB =30°．又∵在△ABF 中，∠BFA =90°，BF =1，∴AB =2BF =2，∴OF =2．………………………………………………………………………………………5分22．（1）解：依据题意，得12 3.k b k b +=⎧⎨+=⎩，…………………………………………………1分解得2,1.k b =⎧⎨=-⎩…………………………………………………………3分∴该函数的解析式为21y x =-．（2）23≤≤m ．…………………………………………………………………………………5分23．解：（1）如图………………………2分（2）74.5； ……………………………………………………………………………………4分（3）40． ………………………………………………………………………………………6分24．（1）证明：连接OC ．∵AP 是⊙O 的切线，∴AP ⊥OA ，∴∠PAO =90°．∵OD ⊥AC ， ∴AD =CD ，∴AP =CP ，又∵OA=OC ，OP=OP ，∴△AOP ≌△COP ，∴∠PAO =∠PCO =90°，∴OC ⊥PC .又∵点C 在⊙O 上，∴CP 是⊙O 的切线．…………………………………………………………………………3分（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°． ∴∠ACO+∠OCB=90°．∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OCE =90°，∴∠OCB+∠ECB=90°，∴∠ECB=∠OCA ．∵OA =OC ，∴∠CAB=∠OCA ，∴∠CAB=∠ECB ．∵cos ∠CAB =45,∴cos ∠BCE =45．∵BE ⊥PC ，∴∠CEB=90°．在△BCE 中，∵CE =4，cos ∠BCE =CE CB =45，∴CB =5．∵OA =OB ，AD =CD ，∴OD =12BC =52．………………………………………………………………………………6分25．解：（1）最大值是53m ．……………………………………………………………………1分根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为543（，），∴54,3h k ==，∴()()25403y a x a =-+≠．∵当0x =时，1y =，∴()250413a -+=解得124a =-，∴函数关系为()2154243y x =--+．………………………………………………4分（2）能．………………………………………………………………………………………6分26．解：（1）x t =．…………………………………………………………………………1分（2）∵点()12y -，，()22y ，在抛物线上，且12y y =，∴2(2)t t -=--．解得0t =．………………………………………………………………………………3分（3）∵点()12，y -，()22，y ，()33，y 在抛物线2221y x tx t =-++上，∴21441y t t =+++，22441y t t =-++，23961y t t =-++．由23y y ＜，得52t ＜．由31y y ＜，得12t ＞．∴1522t ＜＜．………………………………………………………………………………5分∵点()()33m y m ≠，在抛物线上，∴点3（，）m y ，33（，）y 关于抛物线的对称轴x t =对称，且m t <．∴3t t m -=-，解得23m t =-．∴22m -<<．……………………………………………………………………………6分27.（1）①补全图形，如下图．………………………………………………………………1分证明：∵DE=AD，∴∠DAB=∠DEA．∵点E关于射线CB的对称点为F，∴△DBF≌△DBE，∴∠DFB=∠DEB，∴∠DAB=∠DFB．……………………………………………………………………………3分BC BD．……….……………………………………………………………4分②= Array证明：设EF与射线CB交于点G．∵点E关于射线CB的对称点为F，∴△DBF≌△DBE，EF⊥CB，∴∠BDF=∠BDE，DF=DE，∠DFB=∠DEB．∵AC=BC，∠C=90°，∴∠BAC=∠CBA=45°，∴∠ABC=∠BDE+∠DEB=45°，∴∠DFB+∠BDF=45°．∵∠CAD+∠DAB=45°，又∵∠DAB=∠DFB，∴∠CAD=∠BDF．∵DE=AD，DF=DE，∴AD=DF．∵∠C=90°，EF⊥CB，∴∠C=∠FGD=90°，∴△ACD≌△DGF，∴CD=FG．∵∠FBG=∠DFB+∠BDF=45°，∴△FBG为等腰直角三角形，∴=FB，∴=FG，∵BC =BD +CD ，∴=BC BD ．.…….…………………………………………………………………6分（2）=-BC BD ．…….………………………………………………………………7分28．（1）2P ；………………………………………………………………………………1分（2）图2-1 图2-2解：由条件可知，点C 在⊙O 上，如图2-1所示，当 B （-1，0），D （1，0）时，连接AD ，与⊙O 交于点C ，∴BD 为⊙O 直径，∴∠BCD =∠ACB=90°．∵在Rt △AOD 中，∠AOD =90°，由勾股定理得AD．∵在Rt △BCD 中，cos ∠CDB=DCBD，在Rt △AOD 中，cos ∠CDB =ODAD，∴DC BD =OD AD，∴2DC过点C 作CE ⊥BD ．∴在Rt △CED 中，cos ∠CDB =DE CD =∴2=5DE ．∵OD=1，∴3=5OE ，∴3=5C x ．………………………………………………………………………………………3分如图2-2所示，当B 位于原点，AC 与圆O 相切时，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ．∵AC 与⊙O 相切，∴∠ACO =90°，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理得AC ∵在Rt △DCA 中，sin ∠DAC =DCAC ，在Rt △OCA 中，sin ∠DAC =OCAO，∴DC OCAC AO=，12=，∴DC =．∴C x =．综上所述，35C x ＜………………………………………………………………………5分（3）r 1r ≤．………………………………………………………………7分。

2024北京西城初三一模数 学考生须知：1. 本试卷共7页，共两部分， 28道题．满分 100分．考试时间120分钟．2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效．4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5. 考试结束， 将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分 选择题一、选择题 (共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 圆锥B. 三棱柱C. 三棱锥D. 四棱锥2. 2024年5.5G 技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G 初期的1Gbps 提升到10Gbps ，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps 表示每秒传输10000000000 位(bit )的数据. 将10000000000用科学记数法表示应为（ ）A.110.110⨯ B. 10110⨯ C. 11110⨯ D. 91010⨯3. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.4. 直尺和三角板如图摆放，若155∠=︒，则2∠的大小为（ ）A. 35︒B. 55︒C. 135︒D. 145︒5. 不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（ ）A.14B.13C. 12D.236. 已知21a -<<-， 则下列结论正确的是（ ）A. 12a a <<-< B. 12a a <<-< C. 12a a <-<<D.12a a -<<<7. 若关于x 的一元二次方程 220kx x +-=有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 18k ≤- B. 18k >-且0k ≠ C. 18k ≥-且0k ≠ D. 14k ≥-且0k ≠8. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BC a =，AC b = (其中a b <)．CD AB ⊥于点D ，点E 在边AB 上，.BE BC = 设CD h =，AD m =，BD n =， 给出下面三个结论∶①()²²²n h m n +<+；②2222h m n >+；③AE 的长是关于 x 的方程 2220x ax b +-=的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③第二部分 非选择题二、填空题 (共16分，每题2分)9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．10. 分解因式：21236x y xy y -+=______．11. 方程43312x x =--的解为______.12. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0ky k x=≠的图象经过点()1,8-和()2,n ， 则n 的值为______．13. 如图， 在ABCD Y 中，点E 在边AD 上，BA ，CE 的延长线交于点F ．若1AF =，2AB =， 则AEED= ．14. 如图， 在O 的内接四边形ABCD 中， 点A 是 BD的中点，连接AC ， 若130DAB ∠=︒，则ACB =∠_______︒．15. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD ，点A ，B ，C 在同一直线上， 点1O ，2O 分别为两个正六边形的中心． 则2tan O AC ∠的值为______．16. 将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为______，第37个空格所填入的数为______．3717. 计算： 112sin605-⎛⎫-+︒- ⎪⎝⎭．18. 解不等式组: ()21521.32x x x x ⎧+<+⎪⎨+-≥⎪⎩，19. 已知 240x x --=，求代数式2(2)(1)(3)x x x -+-+的值.20.如图，点E 在ABCD Y 的对角线DB 的延长线上，AE AD =，AF BD ⊥于点F ，EG BC ∥交AF 的延长线于点G ，连接DG ．（1）求证: 四边形AEGD 是菱形；（2）若 1tan 42AF BF AEF AB =∠==，，求菱形AEGD 的面积．21. 某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍?若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B -， 且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =-+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦(每串冰糖葫芦由5颗山楂制成)．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg 的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量(单位：g )，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ． 甲同学的山楂重量的折线图：b ． 乙同学的山楂重量：8， 8.8， 8.9， 9.4， 9.4， 9.4， 9.6， 9.6， 9.6， 9.8， 10， 10， 10， 10， 10c ． 甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m 9.2乙9.59.6n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ， n 的值；（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是 (填写“甲”或“乙”)；甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的 10颗山楂中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为 和 ；（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．24. 如图， AB 为O 的直径， 弦CD AB ⊥于点H ，O 的切线CE 与BA 的延长线交于点E ， AF CE ∥， AF 与O 的交点为F .（1）求证: AF CD =；（2）若O 的半径为6， 2AH OH =，求AE 的长．25. 如图，点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心． 线段PQ 经过点O ，交边AB 于点P ， 交边AC 于点Q ． 若 12:APQ ABC AP x AQ y S S y ===，，，下表给出了x ，1y ，2y 的一些数据 (近似值精确到0.0001)．x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.9511y 10.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.52y 0.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（1）补全表格；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中描出了部分点()()12,,x y x y ，．请补全表格中数据的对应点，并分别画出1y 与2y 关于x 的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题：①当APQ △是等腰三角形时，1y 关于x 的函数图象上的对应点记为(),a b ，请在x 轴上标出横坐标为a 的点；②当2y 取最大值时，x 的值为 ．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点 ()()()2,2,,A y B y C m y -₁，₂，₃在抛物线 ²3y ax bx =++(0)a >上．设抛物线的对称轴为直线x =t ．（1）若 3y =₁，求t 的值；（2）若当 12t m t +<<+时，都有 y y y >>₁₃₂，求t 的取值范围．27. 在 ABC 中， 45ABC ACB ∠=∠=︒，AM BC ⊥于点M .D 是射线AB 上的动点 (不与点 A ， B 重合)， 点 E 在射线AC 上且满足 AE AD =，过点D 作直线BE 的垂线交直线BC 于点F ， 垂足为点 G ， 直线BE 交射线AM 于点P ．（1）如图1， 若点D 在线段AB 上， 当 AP AE =时，求 BDF ∠的大小；（2）如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF ，MP ，AB 的数量关系， 并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为1．对于O 上的点 P 和平面内的直线:l y ax =给出如下定义：点P 关于直线l 的对称点记为P '，若射线OP 上的点Q 满足OQ PP ='，则称点Q 为点P 关于直线l 的“衍生点”．（1）当0a =时，已知O 上两点 121.2P P ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，在点()112Q ，，232Q ⎫⎪⎪⎭， ()(341,1Q Q --，中，点1P 关于直线l 的“衍生点”是 ，点2P 关于直线l 的“衍生点”是 ；（2）P 为O 上任意一点， 直线y x m =+ ()0m ≠与x 轴， y 轴的交点分别为点 A ，B ． 若线段AB 上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，直接写出m 的取值范围；（3）当11a -≤≤时，若过原点的直线s 上存在线段 MN ，对于线段 MN 上任意一点R ，都存在O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”． 将线段MN 长度的最大值记为()D s ，对于所有的直线s ，直接写出()D s 的最小值．参考答案第一部分 选择题一、选择题 (共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 【答案】C【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据侧面展开图为4个三角形，所以该几何体是三棱锥．【详解】解：∵侧面展开图为4个三角形，∴该几何体是三棱锥，故选C ．2. 【答案】B【分析】此题考查科学记数法的表示方法：10n a ⨯，110a ≤<，n 是整数，大于10的数的整数位数减去1即是n 的值，据此解答．【详解】1010000000000110=⨯，故选：B ．3. 【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．【详解】解：A ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B ．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；D ．既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项合题意．故选：D ．4. 【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到3435∠∠==︒，再由邻补角互补即可得出结果．【详解】解：如图所示：1+3=90∠∠︒，∵155∠=︒，∴335∠=︒，由题意得，直尺的两边平行，∴3435∠∠==︒，∴21804145=︒-=︒∠∠，故选D ．5. 【答案】A【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到蓝球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：列表如下：红蓝红（红，红）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，蓝）共有4种等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有1种，∴两次都摸到蓝球的概率为14．故选：A ．6. 【答案】A【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由21a -<<-，可得12a <-<，然后判断作答即可．【详解】解：∵21a -<<-，∴12a <-<， ∴12a a <<-<，故选：A ．7. 【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得()2Δ1420k =-⨯-≥ 且0k ≠，求出k 的取值范围即可．【详解】解：∵一元二次方程220kx x +-=有两个实数根，∴()2Δ14200k k ⎧=-⨯-≥⎨≠⎩，∴18k ≥-且0k ≠，故选C ．8. 【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理，公式法解一元二次方程，关键在于找出各边的几何关系．【详解】解：∵在Rt BDC 中，222BD CD BC +=，即222n h a +=，在Rt ABC 中，222BC AC AB +=，即()222a b m n +=+，∴()222222n h a a b m n +=<+=+ ，即()²²²n h m n +<+，故①正确．∵在Rt BDC 中，222n a h =-，在Rt ADC 中，222m b h =-，∴222222n m a b h +=+-，又∵在Rt ABC 中，()222a b m n +=+，∴()22222n m m n h +=+-，即2222222n m n m mn h +=++-，即222mn h =，∴()()()222222220m nh m n mn m n m n +-=+-=->≠，∴2222m n h +>，故②错误．∵DE BE BD BC BD a n =-=-=-，∴()AE AD DE m a n m n a =-=--=+-，∵2220x ax b +-=的实数根为：()()222a m n x a m n -±+===-±+，∴AE 的长是关于 x 的方程 2220x axb +-=的一个实数根，故③正确．综上①③正确，故选：B ．第二部分 非选择题二、填空题 (共16分，每题2分)9. 【答案】3x ≥【分析】此题主要考查了分式有意义及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．由分式有意义及二次根式有意义的条件，进而得出x 的取值范围．【详解】由二次根式的概念，可知30x -≥，解得3x ≥.故答案为：3x ≥10. 【答案】()26y x -【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解即可．【详解】解：()()222123612366x y xy y y x x y x -+=-+=-．故答案为：()26y x -．11. 【答案】=1x -【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解法是解决本题的关键．先去分母，转化为一元整式方程，再求解即可．【详解】解：()()42331x x -=-，4893x x -=-，解得：=1x -，经检验：=1x -是原方程的根，所以，原方程的根为：=1x -，故答案为：=1x -．12. 【答案】4-【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意，()1,8-和点()2,n ，都满足解析式()0k y k x=≠，即可求解．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵反比例函数()0k y k x =≠的图象经过点()1,8-和()2,n ，∴182n -⨯=，解得：n =-4故答案为：4-．13. 【答案】12【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由FAE CDE ∽，推出AE AF DE CD=．由平行四边形的性质得到AB CD ∥，2CD AB ==，推出FAE CDE ∽，得到AE AF DE CD=，而1AF =，于是得到12AE DE =．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥，2CD AB ==，FAE CDE ∴∽，∴AE AF DE CD=，1AF =Q ，∴12AE DE =．故答案为：12．14. 【答案】25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出BCD ∠的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵O 的内接四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，∴18500DA BCD B ∠︒∠==︒-，∵点A 是 BD的中点，∴ AD AB =，∴1252ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒，故答案为：25．15. 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】解：如图，连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，设正六边形的边长为a ，则112O A O B O C a ===，在2Rt O CE 中，22,3606230O C a CO E =∠=︒÷÷=︒，∴21122EC O C a BE ===，22O E C ==，∴15222AE a a a =+=，∴22tan O E O AC AE ∠==．16. 【答案】 ①. 1 ②. 19【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的和，由此即可得．【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数，∴第2个空格所填入的数为1，∵前36个数的和是第37个数的倍数，∴这37个数的和也是第37个数的倍数，又∵12337++++ ()()()137236182019=+++++++ 381819=⨯+703=3719=⨯，∴第37个空格所填入的数为19，故答案为：1，19．17. 【答案】5-【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算绝对值，负整数指数幂，代入三角函数值，化简二次根式，再合并即可．【详解】解∶112sin605-⎛⎫-+︒⎪⎝⎭52=+-=5-．18. 【答案】3x<【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出两个不等式的解，再求公共解，即得答案．【详解】原不等式组为()2152132x xx x⎧+<+⎪⎨+-≥⎪⎩①②解不等式①，得3x<，解不等式②，得7x≤，∴原不等式组的解集为3x<．19. 【答案】9【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整体代入法解答是解题的关键．先化简原式，再将²40x x--=变形为24x x-=，最后将24x x-=以整体的形式代入原式，即得答案．【详解】2(2)(1)(3)x x x-+-+22(44)(23)x x x x=-+++-2221x x=-+，²40x x--=，24x x∴-=，∴原式22()19x x=-+=．20. 【答案】（1）见详解（2）32【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出EF DF=，再证GEF△和ADF△全等，得出EF DF=，于是根据对角线相互平分的四边形AEGD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形AEGD是菱形；（2）分别求出AF 、EF 的长，即可得出对角线AG 、ED 的长，根据菱形的面积公式计算即可．【小问1详解】证明：AE AD = ，AF BD ⊥，EF DF ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，EG BC ∥，AD EG ∴∥，GEF ADF ∴∠=∠，在GEF △和ADF △中，GEF ADFEF DF EFG DFA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)GEF ADF ∴△≌△，∴=GF AF ，EF DF = ，∴四边形AEGD 是平行四边形，AE AD = ，∴四边形AEGD 是菱形；【小问2详解】解：AF BD ⊥ ，AF BF =，AFB ∴ 是等腰直角三角形，4AB = ，∴由勾股定理得，4AF BF AB ====1tan 2AEF ∠= ，∴12AFEF =，12=，EF ∴=，四边形AEGD 是菱形，2AG AF ∴==2ED EF ==∴菱形AEGD 32=．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．21. 【答案】购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍，理由见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．设购买x 套围棋，y 套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，403010002x y x y +=⎧⎨=⎩，计算求解，然后判断作答即可．【详解】解：设购买x 套围棋，y 套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，403010002x y x y +=⎧⎨=⎩， 解得，10011y =，∵y 不为正整数，∴不合题意．答：所购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍．22. 【答案】（1）函数的解析式为2y x =+，点C 的坐标为()0,2（2）10n ≥【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出2y =即可求解．（2）根据题意结合解出不等式32x n x -+>+结合2x <，即可求解．【小问1详解】解：将()()3,5,2,0A B -，代入函数解析式得，3520k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩，∴函数的解析式为：2y x =+，当0x =时，2y =，∴点C 的坐标为()0,2．【小问2详解】解：由题意得，32x n x -+>+，即24n x -<，又2x <，∴224n -≥，解得：10n ≥，∴n 的取值范围为10n ≥．23.【答案】（1）9.4，10（2）①甲，②9.3，9.6（3）160串【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解；（2）①根据方差的定义，即可求解；②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．（3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．【小问1详解】解：根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以9.4m =；根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以10n =．【小问2详解】解：①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.19.2-之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于8.89.4-，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．② 要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，方差为：222221[(9.39.48)(9.49.48)(9.59.48)(9.69.48)(9.69.48)]0.01365-+-+-+-+-⨯=，当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，方差为：222221[(9.49.6)(9.59.6)(9.69.6)(9.69.6)(9.99.6)]0.0285-+-+-+-+-⨯=，当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，方差为：222221[(9.39.54)(9.49.54)(9.59.54)(9.69.54)(9.99.54)]0.04245-+-+-+-+-⨯=，据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．【小问3详解】解：7.6千克7600=克，76009.5800÷=（个)，8005160÷=（串)，答：能制作160串冰糖葫芦．【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，众数，中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）12【分析】本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握切线的性质是解题的关键．（1） 连接OC ，OC 与AF 交于点G ，根据切线的性质得到90OCE ∠=︒，根据垂径定理得到 2AF AG =，然后证明OAG OCH ≌即可得到结论；（2）在Rt OCH 和Rt OCE 运用解直角三角形得到OE 长，然后利用AE OE OA =-解题即可．【小问1详解】证明: 如图， 连接OC ，OC 与AF 交于点 G .∵ CE 与O 相切， 切点为C ，∴CE OC ⊥.∴90OCE ∠=︒ .∵ AF CE ∥，∴ 90OGA OCE ∠∠==︒ .∴ OC AF ⊥于点 G .∴ 2AF AG =.∵CD AB ⊥ 于点 H ，∴90OHC ∠=︒， 2CD CH =.∴OGA OHC ∠∠=.又∵ AOG COH ∠∠=，OA OC =，∴ OAG OCH ≌.∴AG CH =.∴A F CD =；【小问2详解】解: ∵ O 的半径为6， 2AH OH =，∴2OH =， 4AH =.在Rt OCH 中， 190cos .3OHOHC COH OC ∠=︒∠==，在Rt OCE 中， 190cos 63OCE COE OC ∠=︒∠==，，，18cos OCOE COE ∴==∠，∴18612AE OE OA =-=-=.25. 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）①见解析；②0.5或1【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出此时点Q 在点C 处，从而得出12APQ ABC S S =△△，即可得出答案；（2）根据解析（1）得出的数据，先描点，再连线即可；（3）①连接AO 并延长交BC 于点D ，连接OB ，根据等边三角形的性质求出23OA AD ==，当APQ △是等腰三角形时，AP AQ =，根据60PAQ ∠=︒，证明PAQ △为等边三角形，解直角三角形求出23a =，23b =，在函数图象上描出该点即可；②根据函数图象，得出2y 取最大值时x 的值即可．【小问1详解】解：当0.5x =时，点P 为AB 的中点，∵点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心，∴此时点Q 在点C 处，如图所示：∵ABC 为等边三角形，点P 为AB 的中点，点Q 在点C 处，∴12APQ ABC S S =△△，∴20.5APQABCS y S == ；填报如下：x 0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.9511y 10.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.52y 0.50.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5【小问2详解】解：如图所示：【小问3详解】解：①连接AO 并延长交BC 于点D ，连接OB ，如图所示：∵ABC 为等边三角形，点O 为ABC 外心，∴30OBD BAD ∠=∠=︒，AD BC ⊥，1122BD BC ==，OA OB =，∴12OD OB =，AD ===，∴23OA AD ==，当APQ △是等腰三角形时，AP AQ =，∵60PAQ ∠=︒，∴PAQ △为等边三角形，∴60APQ ∠=︒，∴APQ ABC ∠=∠，∴PQ BC ∥，∴90AOP ADB ∠=∠=︒，∴2cos303AOAP ===︒，∴23AQ AP ==，∴23a =，23b =，∴此时在1y 关于x 的函数图象上标出点22,33⎛⎫⎪⎝⎭，如图所示：②根据函数图象可知，函数2y 的最大值为0.5，此时0.5x =或1x =．26. 【答案】（1）1-（2）13t ≤≤【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）把A 点的坐标代入解析式求得2b a =，然后利用对称轴公式即可求得；（2）由题意可知点1(2,)A y -在对称轴的左侧，3(,)C m y 在对称轴的右侧，点1(2,)A y -关于直线x t =的对称点为(22)t +，2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t -，分两种情况讨论，得到关于t 的不等式组，解不等式组从而求得t 的取值范围．【小问1详解】解： 点(2,3)A -在抛物线23(0)y ax bx a =++>上，3423a b ∴=-+，2b a ∴=，12b t a∴=-=-；【小问2详解】解：0a > ，∴抛物线23(0)y ax bx a =++>开口向上，当x t >时，y 随x 的增大而增大，当12t m t +<<+时，都有132y y y >>，∴点1(2,)A y -在对称轴的左侧，3(,)C m y 在对称轴的右侧，点1(2,)A y -，2(2,)B y ，3(,)C m y 在抛物线23(0)y ax bx a =++>上，∴点1(2,)A y -关于直线x t =的对称点为(22)t +，2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t -，当2t ≥时，则222221t t t t +>+⎧⎨-≤+⎩，解得03t <≤，23t ∴≤≤；当2t <时，则22212t t t +>+⎧⎨+≥⎩，解得12t ≤<，综上所述，t 的取值范围为13t ≤≤．27. 【答案】（1）67.5︒（2）2CF MP =，证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得345∠=︒，再根据等腰三角形性质与三我内角和定理求得267.5∠=︒，然后由余角性质得出2BDF ∠=∠，即可求解．（2）作CQ AP ∥交BE 于点 Q ，利用相似三角形的性质求得2CQ MP =，证明BDF CEQ ≌，得到BF CQ =，由勾股定理得BC ，即可由CF BF BC CQ =+=，得出结论．【小问1详解】解∶如图4．∵在ABC 中，45ABC ACB ∠=∠=︒，∴AB AC =，90BAC ∠=︒，1290∠+∠=︒．∵AM BC ⊥于点 M ， 3452BAC BM CM ∠∴∠==︒=，．∵AP AE =， 180318045267.522︒-∠︒-︒∴∠===︒．∵DF BE ⊥于点 G ，∴190BDF ∠+∠=︒，∴267.5BDF ∠=∠=︒．【小问2详解】解：补全图形，如图5．2CF MP =+．证明∶ 如图5， 作CQ AP ∥交BE 于点 Q ．∵CQ AP ∥，∴BMP BCQ∽∴MP BM CQ BC=，∵BM =CM ， AM ⊥BC ， 1902MP BM BCQ AMC CQ BC ∴==∠=∠=︒ 2518045CQ MP ACB BCQ ∴=∠=︒-∠-∠=︒，．445ABC ∠=∠=︒ ，∴45∠=∠，DBG ABE DG BE ∠=∠⊥ ，于点 G ， 90BAC ∠=︒，∴D E∠=∠ AD AE AB AC == ，，AD AB AE AC ∴-=-， 即BD CE =．∴BDF CEQ≌BF CQ =∶．．CF BF BC BC =+= ，，2CF CQ MP ∴=+=+．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，角平分线有关的角的计算，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．28. 【答案】（1）23Q Q ，（2）2m ≤≤2m -≤≤-（3）2-【分析】（1）先得出直线l 为0y =，根据轴对称得出121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，进而可得11PP '=，22P P '=，勾股定理求得点1234,,,Q Q Q Q 与原点的距离，进而根据新定义即可求解；（2）依题意，02PP '≤≤当线段AB 上存在一个点到原点的距离为2时，则符合题意，进而分0,0m m ><画出图形，即可求解；（3）根据题意，画出图形，就点P 的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．【小问1详解】解：∵当0a =时，直线l 为0y =，即x 轴，∵121.2P P ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，∴121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，∴11PP '=22P P '=，∵()112Q ，， 232Q ⎫⎪⎪⎝⎭， ()(341,1Q Q --，∴1OQ ==，2OQ ==3OQ ==，42OQ ==，∴点1P 关于直线l 的“衍生点”是2Q ，点2P 关于直线l 的“衍生点”是3Q ，故答案为：23Q Q ，．【小问2详解】解：依题意，02PP '≤≤，由（2）可得当点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”则2OS ≤，∵P 为O 上任意一点， 直线y x m =+ ()0m ≠与x 轴， y 轴的交点分别为点 A ，B ．∴OA OB m ==，∴当线段AB 上存在一个点到原点的距离为2时，当0m >时，如图所示，当2OS =时，即S 与B 点重合时，存在点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，则2m =则AB （除端点外）上所有的点到O 的距离都2<，∵对称轴为直线y ax =，不能为y 轴，则()0,2和()2,0-不是点P 关于直线l 的“衍生点”，则2m =符合题意，∵线段AB 上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，∴m 2≥，当OS y x m '⊥=+，此时OS '最短，则当2OS '=时，m =，此时只有1个点到O 的距离为2，其他的点都不是点P 关于直线l 的“衍生点”，∴2m ≤≤根据对称性，当0m <时，可得2m -≤≤-；综上所述，2m ≤≤2m -≤≤-【小问3详解】∵11a -≤≤时∴随着a 的变化，点P 关于直线l 的对称点P '始终在圆上，如图所示，依题意，直线l 是经过圆心，且经过 AB 的直线，s 经过圆心，①当点P 在 AB （包括边界）上时，当,P P '重合时，当PP '为直径时，则2OQ PP '==，根据新定义可得02PP '≤≤，∴()2D s =，②当P 点在 AD 的内部的圆弧上时（不包括边界），当PP '为直径时，则2OQ PP '==，则对于线段 MN 上任意一点R ，都存在O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”．当P 在y 轴上时，两条边界线的正中间，则PP '，2PP OQ '≤=≤即()2D s =-综上所述，()2D s =．【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．。

2024北京通州初三一模数 学考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 三棱柱B. 三棱锥C. 长方体D. 圆柱2. 2024年政府工作报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．北京正在建设国际科技创新中心，人工智能产业是北京的主导产业之一．目前，人工智能相关企业数量约2200家，全国40％人工智能企业聚集于此．2023年，北京在人工智能领域融资总额约223亿元，约占全国四分之一．数据22300000000用科学记数法表示应为（ ）A. 110.22310⨯ B. 102.2310⨯ C. 922.310⨯ D. 822310⨯3. 如图，已知AB CD ∥，点E 在线段AD 上（不与点A ，点D 重合），连接CE ．若∠C ＝20°，∠AEC ＝50°，则∠A ＝（ ）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°4. 已知关于x 的方程240x x n -+=有两个不相等的实数根，则n 的取值范围是（ ）A. 4n < B. 4n ≤ C. 4n > D. 4n =5. 如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（ ）A. 1lB. 2lC. 3lD. 4l 6. 一个不透明的口袋中有2个红球和1个白球，这三个球除颜色外完全相同．摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是（ ）A.34B.13C.14D. 127. 已知数轴上有A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，若点A 、B 分别表示数a 、b ，且满足2a b +=，则下列各式的值一定为负数的是（ ）A. aB. a- C. 1a - D. 1b -8. 如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，点P 和点Q 分别在边CD 和AD 上运动（不与A 、C 、D 重合），满足DP AQ =，连接AP 、CQ 交于点E ，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（ ）①AP CQ =；②AEC ∠的度数不变；③180APD CQD ∠+∠=︒；④2=⋅CP AP EP ．A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①②③④二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．10. 分解因式：x 2y -4y =____．11. 分式方程2132x x=+的解是x =______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与双曲线ky x=交于点(,3)P m ，则k 的值是________．13. 如图，点E 是ABCD Y 的边AD 上一点，且:1:2AE DE =，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．若6AF =，则CD 的长为________．14. 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天九年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在九年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：已知该校九年级共有400名学生，请估计九年级学生上学途中用时不超过15min 的有________人．15. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率π的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计O 的面积，1612S =⨯⨯=正六边形，所以O得π，若用圆内接正十二边形估计O 的面积，可得π的估计值为________．16. 某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作．工作代码工作名称持续时间（天）前期工作A 张贴海报、收集作品7无B 购买展览用品3无C 打扫展厅1无D 展厅装饰3CE 展位设计与布置3ABDF 展品布置2EG 宣传语与环境布置2ABD H展前检查1FG（1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要________天；（2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要________天．三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分；第21题6分；第22题5分；第23-24题每题6分；第25题5分；第26题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：2014sin 45(3)2π-⎛⎫︒-+- ⎪⎝⎭．18. 解不等式组：2(1)21.2x x x x -<+⎧⎪⎨+<⎪⎩，19. 已知2210x x --=，求代数式4(1)(21)(21)-++-x xx x 的值．20. 2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约7.5万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为23：，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量．21. 如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 边中点，过D 点作AB 的垂线交BC 于点E ，在直线DE 上截取DF ，使DF ED =，连结AE 、AF 、BF ．（1）求证：四边形AEBF 是菱形；（2）若4sin 5EAF ∠=，5BE =，求AD 的长．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()0,1A -和()4,3B ，与过点()0,3-且平行于x 轴的直线交于点C ．（1）求该函数的表达式及点C 的坐标；（2）当2x >-时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出m 的取值范围．23. 为了选出适应市场需求的小番茄秧苗，在条件基本相同的情况下，工作人员把两个品种的小番茄秧苗分别种植在甲、乙两个大棚．对两个品种的小番茄的产量进行了抽样调查，数据整理如下：a ．从甲、乙两个大棚各收集了20株秧苗，将每株秧苗上的小番茄的个数做如下记录：甲：26 32 40 74 44 63 81 54 62 41 54 43 34 51 63 64 73 64 54 33乙：27 34 46 52 48 67 82 48 56 63 73 35 56 56 58 60 36 46 40 71b ．对以上样本数据按如下分组整理：个数大棚2535x ≤<3545x ≤<4555x ≤<5565x ≤<6575x ≤<7585x ≤<甲44m n 21乙235631c ．两组样本数据的平均数、众数、中位数和方差如下表所示：统计量大棚平均数众数中位数方差甲52.554p 228.75乙52.75654196.41（1）m =________，n =________．（2）p =________．（3）可以推断出________大棚的小番茄秧苗品种更适应市场需求，理由为_____________．（从两个不同的角度说明推断的合理性）24. 如图，AB 为O 的直径，过点A 作O 的切线AM ，C 是半圆AB 上一点（不与点A 、B 重合），连结AC ，过点C 作CD AB ⊥于点E ，连接BD 并延长交AM 于点F ．（1）求证：∠=∠CAB AFB ；（2）若O 的半径为5，8AC =，求DF 的长．25. 某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y （万元）与生产总量x （吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x （吨）时，所获得的利润记为p （万元），公司生产x 吨产品所获得的利润与生产(1)x -吨产品获得的利润之差记为y （万元）．例如：当0x =时， 1.00=-p ，当1x =时， 2.50=p ．所以，当1x =时， 2.50( 1.00) 3.50=--=y ；当 1.5x =时， 6.31=p ，当 2.5x =时，16.19=p ．所以，当 2.5x =时，16.19 6.319.88=-=y ．记录的部分数据如下：x 00.50.751 1.5 1.752 2.533.544.555.56p 1.00-0.06- 1.04 2.50 6.318.5711.0016.1921.5026.5631.0034.4436.5036.8135.00y 3.50 6.377.53m 9.8810.5010.379.50n 5.50 2.37 1.50-根据以上数据，解决下列问题：（1）m =________，n =_______．（2）结合表中的数据，当16x ≤≤时可以用函数刻画利润的变化量y （万元）和生产总量x （吨）之间的关系，在平面直角坐标系xOy 中画出此函数的图象．（3）结合数据，利用所画的函数图象可以推断：①当生产总量约为________吨（精确到0.1），利润变化值y 最大．②当生产总量约为________吨（精确到0.1），利润开始降低．26. 在平面直角坐标系xOy 中，1(,)M m y ，2(2,)N m y +是抛物线2(0)y ax bx c a =++>上两点，且满足0m >．设抛物线的对称轴为直线x t =．（1）当12y y =时，写出m ，t 的之间的等量关系．（2）当34t <<时，均满足21>>c y y ，求m 的取值范围．27. 如图，将线段AB 绕点A 逆时针旋转α度（0180α︒<<︒）得到线段AC ，连结BC ，点N 是BC 的中点，点D ，E 分别在线段AC ，BC 的延长线上，且CE DE =．（1）EDC ∠=________（用含α的代数式表示）；（2）连结BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF ，NF ．①依题意补全图形；②若AF EF ⊥，用等式表示线段NF 与CE 的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,)M m n ，A 为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P 运动：将点A 向右平移m 个单位长度，再向上平移n 个单位长度，得到点A '，再将点A '绕点O 逆时针旋转90︒，得到点1A ；Q 运动：将点A 绕点O 逆时针旋转90︒，得到点A ''，再将点A ''向右平移m 个单位长度，再向上平移n 个单位长度，得到点2A ．（1）如图，已知点(1,1)A ，(,0)M m ，点A 分别经过P 运动与Q 运动后，得到点1A ，2A ．①若1m =，请你在下图中画出点1A ，2A 的位置；②若122A A =，求m 的值．（2）已知AB t =，点A ，B 分别经过P 运动与Q 运动后，得到点1A ，2A 与点1B ，2B ，连接11A B ，22A B ．若线段11A B 与22A B 存在公共点，请直接写出此时线段MO 长度的取值范围（用含有t 的式子表示）．参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】A【分析】本题考查了三视图的相关知识，其中主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面观察物体所得到的图形，三视图的掌握程度和空间想象能力是解题关键．结合选项，根据主视图和俯视图确定是柱体，锥体还是球体，再根据左视图确定具体形状．【详解】解：由主视图和左视图为长方形可知，这个几何体是柱体，由俯视图为三角形可知，这个柱体是三棱柱，故选：A ．2. 【答案】B【分析】本题考查了把绝对较大的数用科学记数法表示，关键是确定 n 与a 的值． 科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，它等于原数的整数数位与1的差．【详解】解：1022300000000 2.2310=⨯；故选：B ．3. 【答案】C【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；【详解】解：∵∠C +∠D ＝∠AEC ，∴∠D =∠AEC -∠C ＝50°-20°=30°，∵AB CD ∥，∴∠A ＝∠D=30°，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．4. 【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据方程有两个不相等的实数根，则判别式为正，解不等式即可求得n 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的方程240x x n -+=有两个不相等的实数根，∴2(4)410n ∆=--⨯⨯>，解得：4n <；故选：A ．5. 【答案】C【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键．根据轴对称的性质解答即可．【详解】解：由图可知，该图形关于直线3l 对称．故选：C 6. 【答案】B【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出小球的颜色相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知，一共有6种，其中两次摸出小球的颜色相同的结果数有2种，∴两次摸出小球的颜色相同的概率为2163=，故选：B ．7. 【答案】C【分析】本题考查了数轴，由点B 在点A 的右侧确定a b <是本题的关键．因为点B 在点A 的右侧，所以a b <，由2a b +=，可得2b a =-，所以2a a <-，化简得1a <，所以1a -一定为负数．【详解】解：由题意得，a b <，2a b += ，即2b a =-，2a a ∴<-，1a ∴<，10a ∴-<，故选：C ．8. 【答案】D【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键．证明ACP CDQ ≌可得APC CQD ∠=∠，PAC DCQ ∠=∠，AP CQ =，进而判断①；进而可得180APD CQD ∠+∠=︒，进而判断②，根据120QEP ∠=︒，进而判断③；证明APC CPE ∽△△，进而判断④；【详解】解：∵ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，DP AQ =，∴60,ACP D ACD ∠=∠=︒V 是等边三角形，∴AC CD =，∴ACP CDQ ≌，∴APC CQD ∠=∠，PAC DCQ ∠=∠，AP CQ =，故①正确；∵180APD APC ∠+∠=︒，∴180APD CQD ∠+∠=︒，故②正确；∵60,180D APD CQD ∠=︒∠+∠=︒，∴120QEP ∠=︒，∴120AEC QEP ∠=∠=︒，故③正确；∵PAC DCQ ∠=∠，APC EPC ∠=∠，∴APC CPE ∽△△，∴AP CP CP EP=，∴2=⋅CP AP EP ，故④正确；故选：D ．二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 【答案】3x ≥【分析】此题主要考查了分式有意义及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．由分式有意义及二次根式有意义的条件，进而得出x 的取值范围．【详解】由二次根式的概念，可知30x -≥，解得3x ≥.故答案为：3x ≥10. 【答案】y (x +2)(x -2)【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】x 2y -4y =y (x 2-4)=y (x +2)(x -2)，故答案为：y (x +2)(x -2)．【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．11. 【答案】1【分析】根据解分式方程的步骤“先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后进行检验”进行解答即可得．【详解】解：2132x x=+方程两边同乘2(3)x x +，得43x x =+，移项，得33x =，系数化为1，得1x =，检验：当1x =时，2(3)0x x +≠，∴原分式方程的解为1x =，故答案为：1．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法并检验．12. 【答案】9【分析】本题考查了正比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可．【详解】解： 点(,3)P m 在直线y x =上，3m ∴=，()3,3P ∴，()3,3P 在反比例函数图象上，339k ∴=⨯=．故答案为：9．13. 【答案】12【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由FAE CDE ∽，推出::1:2AF CD AE DE ==．由平行四边形的性质得到AB DC ，推出FAE CDE ∽，得到::1:2AF CD AE DE ==，即可求出12CD =．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，AB DC ∴ ，FAE CDE ∴∽，::1:2AF CD AE DE ∴==，6AF =Q ，12CD ∴=．故答案为：12．14. 【答案】280【分析】本题考查了从图象获取信息，用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的思想是解题的关键．根据图中信息，可得上学途中用时不超过15min 的学生有14人，用总人数⨯抽取的学生中上学用时不超过15min 的学生所占比例，即可求解．【详解】解：根据图中信息可知，上学途中用时不超过15min 的学生有14人，故该校九年级学生上学途中用时不超过15min 的人数为1440028020⨯=（人）．故答案为：280．15. 【答案】3【分析】过A 作AM OB ⊥于M ，求得AOB ∠的度数，根据直角三角形的性质得到AM ，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】如图，AB 是正十二边形的一条边，点O 是正十二边形的中心，设O 的半径为1，过A 作AM OB ⊥于M ，在正十二边形中，3601230AOB ∠=︒÷=︒，1122AM OA ∴==111112224AOB S OB AM ∴=⋅=⨯⨯= ∴正十二边形的面积为11234⨯=,231π∴=⨯，3π∴=,π∴的近似值为3，故答案为：3．16. 【答案】 ①. 4 ②. 13【分析】本题考查了优化问题，即如何在最短的时间内完成工作，实现最优效果．（1）根据表格知，完成“展厅装饰 ”要完成C 、D 两项工作，故可得到至少需要的天数；（2）由表格知，完成A 的时间里，可同时完成B 、C 、D 的工作，可进行E 的工作，则可进行G 、H 的工作，从而完成整个工作，从而可得最短总工作时间．【详解】解：（1）由表格知，在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要134+=（天）；故答案为：4；（2）完成本次展览会所有筹备工作的路径为：A E G H →→→，最短总工期需要的天数为：732113+++=（天）；故答案为为：13．三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分；第21题6分；第22题5分；第23-24题每题6分；第25题5分；第26题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】5【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值等知识．先运用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值对原式进行化简，然后再计算即可．【详解】解：214sin45(3)2π-⎛⎫︒++-⎪⎝⎭441=-+41=-++5=．18. 【答案】14x<<【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【详解】解：原不等式组为2(1)212x xxx-<+⎧⎪⎨+<⎪⎩①②解不等式①得，4x<，解不等式②得，1x>，∴原不等式组的解集为14x<<．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19. 【答案】3【分析】本题考查了整式的乘法混合运算，涉及单项式乘多项式及平方差公式；先利用单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项；再由2210x x--=，得221x x-=，最后整体代入即可求值．【详解】解：原式224441=-+-x x x2841=--x x；2210x x--=，221x x∴-=，∴原式24(2)1=--x x3=．20. 【答案】非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找出等量关系列方程是解题关键，设非遗文献馆的坐席数为2x个，则少年儿童馆坐席数为3x个，山体阅览区的坐席数为()12200x+个，根据坐席总数为1900个列方程解决即可．【详解】解：设非遗文献馆的坐席数为2x 个，则少年儿童馆坐席数为3x 个，山体阅览区的坐席数为()12200x +个，根据题意得：23122001900+++=x x x ，解得，100x =，答：非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个．21. 【答案】（1）证明见解析（2）AD =【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（1）先证明四边形AEBF 是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论；（2）过点E 作EG AF ^于点G ，由菱形的性质得5,BE AE AF BC ==∥，再证明四边形ACEG 是矩形，得,AC EG CE AG ==，进而解直角三角形求出4,3EG AG ==，然后由勾股定理求出AB 的长，即可解决问题．【小问1详解】证明：∵点D 为AB 边中点，∴AD BD =，∵DF ED =，∴四边形AEBF 是平行四边形，∵EF AB ⊥，∴四边形AEBF 是菱形；【小问2详解】解：如图，过点E 作EG AF ^于点G ，∵四边形AEBF 是菱形，∴5,BE AE AF BC ==∥，∴EG BC ⊥，∴90GEC ∠=︒，∴90CEG GEC ACB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACEG 是矩形，∴,AC EG CE AG ==，∵4sin 5EG EAF AE ∠==，∴445455EG AE ==⨯=，在Rt AGE 中，由勾股定理得：AG =3==，4,3AC EG CE AG ∴====，538BC BE CE ∴=+=+=，在Rt ABC 中，由勾股定理得：AB ===∵点D 为AB 边中点，1122AD AB ∴==⨯=．22. 【答案】（1）1y x =-，()2,3C --（2）312m ≤≤【分析】（1）将A 、B 坐标分别代入函数表达式y kx b =+，即可得到一次函数解析式，然后计算函数值为3-对应的自变量的值即可得到C 点坐标；（2）分情况讨论：当直线y mx =过点C 时和当直线y mx =与直线1y x =-平行时，即可得到符合条件的m 的取值范围．【小问1详解】解：将()0,1A -、()4,3B 代入函数表达式y kx b =+可得：143b k b =-⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，则函数的表达式为1y x =-，依题得，过点()0,3-且平行于x 轴的直线为3y =-，C 是该函数与过点()0,3-且平行于x 轴的直线的交点，13x ∴-=-，解得2x =-，1213y x =-=--=-，即()2,3C --．【小问2详解】解：当直线y mx =过点C 时，即把()2,3--代入y mx =，得23m -=-，32m =， 当2x >-时，对于x 的每一个值，()0y mx m =≠的值大于1y x =-的值，221m ∴-≥-- ，解得32m ≤，当y mx =与直线1y x =-平行时，1m =，此时，满足条件，且当1m <时，不满足条件，即312m ≤≤．【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握数形结合的方法解题．23. 【答案】（1）4，5 （2）54（3）乙；乙大棚每株秧苗上的小番茄个数的平均数高于甲大棚，且方差小，产量的稳定性更好【分析】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．（1）根据收集数据进行求解；（2）根据中位线的定义进行求解即可；（3）根据平均数和方差进行求解即可．【小问1详解】解：甲大棚中4555x ≤<的有4株，5565x ≤<的有5株，∴4m =，5n =；故答案为：4，5；【小问2详解】解：将甲大棚中20株秧苗上小番茄的个数从小到大进行排序，排在第10、11位的都是54个，所以中位数为5454542+=，故答案为：54．【小问3详解】解：乙大棚的小番茄秧苗品种更适应市场需求，因为乙大棚每株秧苗上的小番茄个数的平均数高于甲大棚，且方差小，产量的稳定性更好；故答案为：乙，乙大棚每株秧苗上的小番茄个数的平均数高于甲大棚，且方差小，产量的稳定性更好．24. 【答案】（1）证明见解析（2）323DF =【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键．（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可．【小问1详解】证明：AM 是O 的切线，90BAM ∴∠=o ，CD AB ⊥ 于点E ，90CEA ∴∠= ，CD AF ∴∥，∴∠=∠CDB AFB ，CDB CAB ∠=∠ ，∴∠=∠CAB AFB ．【小问2详解】解：连结AD ，CD AB ⊥ 于点E ，AB 是O 的直径，CE DE ∴=，AB ∴是CD 的垂直平分线，8AC AD ∴==，O 的半径为5，10AB ∴=，6BD =∴，AB 是O 的直径，90BDA =∴∠ ，BAD AFB ∴∠=∠，tan tan ∴∠=∠BAD AFB ，∴=ADBDDF AD ，2AD DF BD ∴=⋅，323∴=DF ．25. 【答案】（1）8.50,7.88（2）见详解 （3）①3.2（答案不唯一，介于3.1 3.3:）；②5.8（答案不唯一，介于5.6 5.9:）【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意并掌握描点作图的方法是解题的关键．（1）根据题意和举例的计算方法求出m 和n 的值即可；（2）将表格中数据对()，x y 描点并连线即可；（3）①根据图象作答即可；②0y =时对应x 的值即为答案．【小问1详解】解：当2x =时，11.00p =，当1x =时， 2.50=p ，∴当2x =时，11.00 2.508.50m =-=；当 4.5x =时，34.44p =，当 3.5x =时，26.56p =，∴当 4.5x =时，34.4426.567.88n =-=．故答案为：8.50,7.88．【小问2详解】描点并作图如图所示：【小问3详解】①由图象可知，当生产总量约为3.2吨时，利润变化值y 最大；②由图象可知，当生产总量约为5.8吨时，利润变化值0y =，之后利润开始降低．故答案为：3.2，5.8．26. 【答案】（1）1t m =+（2）34m ≤≤【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像的对称性等知识．（1）根据抛物线关于对称轴对待的性质，点M 、N 到对称轴的距离相等，即可求得m ，t 的之间的等量关系；（2）将点M 到对称轴的距离记为M d ，点N 到对称轴的距离记为N d ，抛物线与y 轴交点记为点()0,C c ，到对称轴的距离记为C d ．根据21>>c y y ，分别考虑21y y >及2>c y 时m 的范围，最后取两个范围的公共部分即可．【小问1详解】解： 点()1,M m y ，()22,N m y +是抛物线2(0)y ax bx c a =++>上两点，当12y y =时，点M 和点N 关于抛物线的对称轴直线x t =对称，2m t t m ∴+-=-，212++∴==+m m t m ．【小问2详解】解：将点()1,M m y 到对称轴的距离记为M d ，点()22,N m y +到对称轴的距离记为N d ，抛物线与y 轴交点记为点()0,C c ，到对称轴的距离记为C d ．0a > ，21y y >，∴点N 到对称轴的距离大于点M 到对称轴的距离，即>N M d d ，2m t m t ∴+->-，22(2)()0∴+--->m t m t ，()()220m t m t m t m t ∴+-+-+--+>，1∴>-m t ，当34t <<时，均满足21y y >，3m ∴≥，0a > ，2>c y ，∴点C 到对称轴的距离大于点N 到对称轴的距离，即>N C d d ，2t m t ∴>+-，22(2)0∴-+->t m t ，22∴<-m t ；当34t <<时，均满足2>c y ，4m ∴≤，综上，34m ≤≤．27. 【答案】（1）1902α︒-（2）①见解析；②CE =，证明见解析【分析】本题考查了根据条件画图，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．（1）根据旋转和题意即可得出1902CDE DCE ACB α∠=∠=∠=︒-；（2）①根据题意画出图形即可；②延长AF 至点M ，使FM AF =，连接,,,BM DM EM AE ．证明四边形ABMD 为平行四边形，证明ACE MDE V V ≌，算出90α=︒，45ECD EDC ∠=∠=︒，结合三角形中位线定理即可求解；【小问1详解】∵A α∠=，由旋转得AB AC =，∴18019022ABC ACB αα︒-∠=∠==︒-，∵CE DE =，∴1902CDE DCE ACB α∠=∠=∠=︒-．【小问2详解】①补全图形如图：②延长AF 至点M ，使FM AF =，连接,,,BM DM EM AE ．∵点F 为线段BD 中点，∴四边形ABMD 为平行四边形，,AB DM AB DM ∴=∥，180BAC ADM ∴∠+∠=︒，180ADM α∴∠=︒-，AF EF ⊥ ，AE ME ∴=，又,AB AC EC ED ==Q ，AC DM ∴=，∴()ACE MDE SSS ≌，∴1180902MDE ACE ACB α∠=∠=︒-∠=︒+，11909022ADM MDE CDE ααα⎛⎫∴∠=∠-∠=︒+-︒-= ⎪⎝⎭，180αα∴︒-=，90α∴=︒，∴45ECD EDC ∠=∠=︒，∴CD =，∵N 为BC 中点，F 为BD 中点，∴NF 是BDC 中位线，2CD NF ∴=，∴CE =．28. 【答案】（1）①见详解；②m =（2）0MO ≤≤【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）①根据P 运动和Q 运动的运动方式求解即可;②首先表示出点1A 的坐标为()1,1m -+，2A 的坐标为()1,1m -+，然后根据122A A =得到2=，进而求解即可；（2）由题意得：1122A B A B ∥，1122A B A B t ==设(),A x y ，经过P 运动，则(),A x m y n '++，则()1,A y n x m --+；Q 运动后，(),A y x ''-，()2,A y m x n -++，则12A A t =≤即可求解．【小问1详解】①作图如图所示：由P 运动知()2,1A '，由旋转得1OA OA '=，190AOA '∠=︒，而90M N ∠=∠=︒，∴11809090A OM AON '∠+∠=︒-︒=︒，90A OM OA M ''∠+∠=︒，∴1AON OA M '∠=∠，∴1A NO A OM '△≌△，∴12,1A N OM ON A N '====，∴()11,2A -；由Q 运动同理可求()1,1A ''-，再向右平移1个单位，向上平移0个单位得到()20,1A ．②∵(1,1)A ，∴点A 经过P 运动后得到的点1A 的坐标为()1,1m -+点A 经过Q 运动后得到的点2A 的坐标为()1,1m -+∵122A A =2=，∴m =．【小问2详解】由题意可得：由旋转的不变性和平移的性质得：1122A B A B ∥，1122A B A B t ==，设(),A x y ，经过P 运动，则(),A x m y n '++，则()1,A y n x m --+；Q 运动后，(),A y x ''-，()2,A y m x n -++，则12A A ===，∴当12A A t ≤时，线段11A B 与22A B 存在公共点，t ≤，∴0MO ≤≤．。

第6题图上海市静安区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列计算正确的是（）.A 010 ；.B 111 ；.C 111 ；.D 111 ．2.下列选项中的两个图形一定相似的是（）.A 两个平行四边形；.B 两个圆；.C 两个菱形；.D 两个等腰三角形．3..A 2．4.在//AC ，//DF AB ，且.A 5.）.A 3个单位；.C 个单位，再向下平移3个单位．6..A .C 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.0.5的倒数是．8.如果35a b （0b ），那么a b．9.已知线段2AB cm ，点P 是AB 的黄金分割点，且AP PB ，那么PB 的长度是cm ．（结果保留根号）10.如果二次函数2y ax bx c 图像对称轴的右侧部分是上升的，那么它的开口方向是．（填“向上”或“向下）11.已知抛物线29y x mx 的顶点在x 轴负半轴上，那么m 的值为．12.在三角形ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知4DE ，6BC ，:2:3AE AC ，那么能否得到//DE BC ？（填“能”或“否”）13.如果两个相似三角形对应边上的高之比是4:9，那么它们的周长之比等于．14.如图，小红沿坡度1:2.4i 的坡面由A 到B 行走了26米，那么小红行走的水平距离AC 米．15.16.在 处，那么DB 17.③31y x ；④y 18.点D 那么19.第20题图如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点 1,0A ，与双曲线my x（0x ）交于点 2,0B ．点 ,2P a 在直线AB 上，过点P 作x 轴的平行线分别交双曲线m y x （0x ）和my x（0x ）于点E 、F ．（1）求m 的值和直线l 的表达式；（2）联结EB 、FA ．求证：//EB FA ．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知AC 是矩形ABCD 的对角线，//DE AC ，DE 交BC 延长线于E ，AE 交DC 于F ，BF 交AC 于G ．（1）求证：点G 是ABE 的重心；（2）如果2BG BC ，求AEB 的正弦值．第21题图第23题图如图，某建筑物AB 高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的C 处（即CE 长为400米）．此时测得建筑物顶部A 的俯角为 ，当乘坐的热气球垂直上升到达D 处后，再次测得建筑物顶部A 的俯角为 ．（参考数据：tan 1.25 ，tan 1.75 ）（1）请在图中标出俯角 、 ，并用计算器求 、 的大小；， ；（精确到1''）（2）求热气球上升的垂直高度（即CD 的长）．23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在ABC 中，AB AC ，D 是BC 中点，点E 在BA 延长线上，点F 在AC 边上，EDF B ．（1）求证：BDE CFD ∽；（2）求证：2DF EF CF ．第22题图第24题图24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知点 2,0A 、 6,0B 、 0,8C 、322,3D在同一个二次函数的图像上．（1）请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；（2）如果射线BE 平分ABC ，交y 轴于点E ，①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段BE 的点F 处，求此时抛物线顶点F 的坐标；②如果点P 在射线BE 上，当PBC 与BOE 相似时，请求点P 的坐标．第25题图1第25题图2备用图25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB ，4AD ，3DC ，7BC ．点P 在射线BA 上，点Q 在射线BC 上（点P 、点Q 均不与点B 重合），且PQ BQ ，联结DQ ，设BP x ，DQC 的面积为y ．（1）如图1所示，求sin B 的值；（2）如图2所示，点Q 在线段BC 上，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当DQC 是等腰三角形时，求BP 的长．第1页共4页2023学年第一学期九年级期终考试数学答案要点及评分标准一、选择题：1．D ；2．B ；3．C ；4．C ；5．A ；6．B ．二、填空题：7．2；8．35；9．53 ；10．向上；11．6；12．否；13．4：9；14．24；15．b a 4121；16．5512；17．①②④；18．a 21．三、解答题：19．解：原式=23322122…………………………（4+1分）=2322221 …………………………（2分）=231=25……………………………………（1+2分）20．(1)∵点B (2，1)在双曲线x m y(x ＞0)上，代入得：21m，∴2 m ；…（2分）又直线l 经过点A (1，0)、B (2，1)，设直线l ：)0( k b kx y ，∴代入得：120b k b k ，解得 11b k ，直线l 的表达式是1 x y ；………………（2分）（2）点P (a ，2)在直线AB 上，∴12 a ，∴3 a ，点P (3，2)，…………（1分）过点P 作x 轴的平行线分别交双曲线x y 2(x ＞0)和xy 2 (x ＜0)于点E 、F ，可知点E 、F 纵坐标为2，分别代入解析式得F （-1，2），E （1，2）∴EP =2，EF =2，∵BP =2)12()23(22 ,BA =2)01()12(22 ,…………（4分）∴BAPBEF PE,∴EB ∥FA ．………………………………（1分）21．证明:（1）∵矩形ABCD ，∴AD ∥BE ，AD =BC ，……………………（1分）又∵DE ∥AC ，∴四边形ADEC 是平行四边形，……………………（1分）∴AD =CE ，∴BC =CE ，……………………（1分）∵四边形ADEC 是平行四边形，∴AF =FE ，……………………（1分）∴AC 、BF 是△ABE 的中线，∴点G 是△ABE 的重心.……………………（1分）（2）解：∵G 是△ABE 的重心，BG =BC =2，∴GF =1，BF =3，……………………（1分）第2页共4页∵矩形ABCD ，∴∠ABC=∠FCB =90°，……………………（1分）∴EF =BF =3，Rt △ECF 中，CE =BC =2，∴5232222CE EF CF ，∴35sin EF CF FEC ，即35sin AEB .………………………………（3分）22．（1）标图（略）…（1分），α≈///0252051，β≈///0181560（2）作AH ⊥DE ，垂足为点H ，由题意得AB 、DE 均垂直于地面，∴ABEH 为矩形则HE =AB =200米，∴CH =400-200=200(米)，…………（1分）Rt △AHC 中，∠CAH=α，,cot CHAH1605420025.11200cotCH AH (米)，………（3分）Rt △AHD 中，∠DAH=β，,tan AH DH 28047160tan AH DH （米），……………………（2分）∴CD =280-200=80(米).答：热气球垂直上升的高度CD 为80米．……………………（1分）23．（1）∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，……………………（2分）∵∠EDC =∠B +∠BED =∠EDF +∠FDC ，……………………（2分）又∵∠EDF =∠B ，∴∠BED =∠FDC ，……………………（1分）∴△BDE ∽△CFD ……………………（1分）（2）∵△BDE ∽△CFD ，∴DC BE DF DE ，……………………（1分）又∵BD =DC ，∴BD BE DF DE ，即BDDF BE DE ，……………………（2分）又∠EDF =∠B ，∴△DFE ∽△BDE ，……………………（1分）∴△DFE ∽△CFD ,∴CFDFDF EF，∴CF EF DF 2.……………………（2分）24.(1)由二次函数的图像过A （－2，0）、B （6，0），可知其对称轴为直线2 x ，又∵D （2，332）在同一个二次函数的图像上，可知抛物线顶点为点D ，设解析式为332)2(2x a y ，将C （0，8）代入得：32a ，…………………（3分）∴解析式为3322-322）（x y ．…………………（1分）（第22题图）AB BADCFE（第23题图）第3页共4页或者)6)(2(32 x x y ，或者838322 x x y ．（2）由（1）得抛物线对称轴为直线2 x ，Rt △BOC 中，OB =6，OC =8，CB =1022 OB OC ，①作EH ⊥BC 于H ，∵BE 平分∠ABC ，EO ⊥OB ，得OE =EH ，设OE =m ，则CE =8-m ，由△BEC 面积一定可知，EH CB OB CE 2121，代入得：m m 106)8( ，∴m =3，即OE =3,∴E （0,3），…………………（2分）设二次函数对称轴交x 轴于点M ，则2163 OB OE MB FM ，2,4 FM MB ，即点F 的纵坐标y =2，又横坐标x =OM =2，∴F （2，2）.…………………（2分）②由△PBC 与Rt △BOE 相似，可知△PBC 为直角三角形，∠EBO =∠CBP ，536322 EB ，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N ，∴PN ∥EO ，∴51533 EB EO PB PN ，PB PN 55 ，（i ）当∠BP 1C =90°时，525361 BE OB BC BP ，∴541BP ,411 N P ，Rt △P 1N 1B 中，21tan 11BN P ，∴82111 N P BN ，21 ON ，∴P 1(-2，4).…………………（2分）（ii ）当∠BCP 2=90°，256532 BO BE BC BP ,∴552 BP ，522 N P ，Rt △P 2N 2B 中，21tan 22BN P ，∴102222 N P BN ，42 ON ，∴P 2(-4，5).…………………（2分）综上所述，点P 的坐标为(-2，4)或(-4，5).25.（1）AD //BC ，AB =2，AD =4，DC =3，BC =7．作AE //DC 交BC 于点E ，∴四边形AECD 是平行四边形.则AE =DC =3，BE =BC －AD =3，∴AE =BE ，…………（2分）作EF ⊥AB 于F ，则BF =AF =1，EF =2222BFBE ，∴Rt △BFE 中，322sin BEEF B ;…………………（3分）B第25题图（1）第4页共4页（2）由（1）得，Rt △EFB 中，31cos BEBF B ，∵PQ =BQ ，BP =x ，作QK ⊥AB 于K ，∴BK =x 21，Rt △QKB 中，31cos BQ BK B ，∴x BK BQ 233 ，x QC 237 ，………（2分）作DH ⊥BC 于H ，AG ⊥BC 于G ，Rt △ABG 中，2342322sin B AB AG ，∵AD //BC ，∴234 AG DH ，又∵△DQC 的面积为y ．x x S DQC 22314234)237(21，∴x y 22314，3140( x .…………………（3分）（3）Rt △DHC 中，373247 CH ，97cos DC HC C ，点Q 在线段BC 上，当△DQC 是等腰三角形时，①DC =QC ，3237 x ，38 x ；②DC =DQ ，CH QC 2 ，237237 x ，914x ③DQ =QC ,过Q 点作QI ⊥DC 于I ，DC =2IC ，IC =1.5，Rt △QIC 中，1427cos CIC QC ，1427237 x ，2171x 点Q 在线段BC 延长线上，当△DQC 是等腰三角形时，④∠DCQ 为钝角，仅存在CD =CQ ，320,3723x x ∴综上，当△DQ C 是等腰三角形时，BP 长为38或914或2171或320.……………（4分）B第25题图（2）。