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教案讲 稿第2章 计算机数控系统（CNC ）§2.4数控系统的插补原理 一、插补的基本概念机床数字控制的核心问题之一，就是如何控制刀具与工件的相对运动。
加工平面直线或曲线需要两个坐标协调运动，对于空间曲线或曲面则需要三个或三个以上坐标协调运动，才能走出其轨迹。
协调的实质上是决定联动过程中各坐标轴的运动顺序、位移、方向和速度。
这种协调即是所谓插补。
插补计算机就是对数控系统输入基本数据，动用一定的算法计算，并根据计算结果向相应的坐标发出进给指令。
对应于每一进给指令，机床在相应的坐标方向上移动一定距离，从而加工出所需的轮廓形状。
实现这一插补运算的装置，称为插补器。
对于插补器有一些最基本的要求： （1） 插补所需的原始数据较少。
（2） 有较高的插补精度。
（3） 进给速度要恒定。
（4） 实现简单可靠，计算机速度快。
根据插补所采用的原理和计算方法，可有许多插补方法，目前应用的插补方法分为脉冲增量插补和数字增量插补两类。
二、逐点比较法插补逐点比较法的原理就是每走一步控制系统都要将加工点与给定的图形轨迹相比较，以决定下一步进给的方向，使之逼近加工轨迹。
逐点比较法以折线来逼近直线或圆弧，运算直观，容易理解，输出脉冲均匀，在两坐标插补的开环步进控制系统中得到普遍应用。
1、逐点比较法直线插补如图所示，设直线OA 为第一象限直线，起点为坐标原点O （0,0），终点坐标为A （X e ,Y e ）,P(X i ,Y i )为加工点。
若P 点正好在直线OA 上，由相似三角形关系则有XeYeXi Yj = 即Xe -XiYe=0 若P 点正好在直线OA 上方，由相似三角形关系则有XeYe Xi Yj > 即Xe -XiYe>0 若P 点正好在直线OA 上，由相似三角形关系则有XeYe Xi Yj 即Xe -XiYe<0 令Fi,j= XeYj-XiYe 则有（1） 如Fi,j=0,则点P 在直线OA 上； （2） 如Fi,j>0,则点P 在直线OA 上方； （3） 如Fi,j<0,则点P 在直线OA 下方。
《数控技术》说课稿课题：脉冲增量插补大家好！今天我说课的课题是《脉冲增量插补》，该课题所选用的教材为机械工业出版社朱晓春主编的《数控技术》一书，该教材为普通高等教育“十一五”国家级规划教材、普通高等教育机电类规划教材、国家级精品教材。
根据机电类教学大纲对教材的要求，对于本课题，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，说学情分析，说教学方法分析，说教学手段，说教学过程分析，说教学评价，说板书设计等七方面进行说明。
一、对教材的分析1.说教材地位和作用本课题是高等学校机电类专业第五章第二节的内容，是专业基础课程的重要内容之一。
一方面，这是在学习了计算机数控装置的内容，掌握了CNC硬件与软件的结构与功能的相关知识基础上，对脉冲增量插补知识的进一步研究；另一方面，是为了让学生更加全面掌握数控装置的轨迹控制原理准备充分的理论基础。
鉴于这种认识，我认为，本课题不仅有着广泛的实用性，而且起着承前启后的实际作用。
2. 说教学目标任何教学活动都应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前面两者充分体现在过程与方法中，借此，我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为：（1）知识目标：脉冲增量插补的实现方法，逐点比较法、数字积分法和比较积分法的实现形式、工作流程及基本原理（2）能力目标：了解逐点比较法、数字积分法和比较积分法的实现形式、工作流程及工作原理（3）情感目标：使学生掌握脉冲增量插补的基本理论、方法和应用工具；具有综合运用所学知识，正确了解数控轨迹控制的能力；提高分析问题和动手动脑的综合能力；为学习其他有关课程和将来从事数控技术方面的工程设计与开发打好必要的基础。
3.说教学重点、难点根据以上对教材的地位和作用，以及教学目标的分析，结合专业规划对本节课的要求，我将本节课的重点为：逐点比较法、数字积分法和比较积分法基本原理难点为：逐点比较法、数字积分法和比较积分法的工作流程的实现二、说学情分析本课程是机电类专业学生必修的一门专业基础课程，从心理特征来说，高等教育阶段的学生逻辑思维已逐步成熟，独立性强，观察能力，记忆能力和想象能力比较灵活。
5-1
，则动点位于圆弧外侧。
则动点在圆弧内侧。
如果将横坐标区间段划分为间隔为
在数学运算时，取t为基本单位“1”，
则上式可简化为：
轴方向的微小位移增量为：
是累加次数，取整数，k 取小数。
如果存放Xe ，Ye 寄存器的位数是N ，对应最大允许数字量为所以：K<1/ 因此，累加次数为：n=1/k=2上式表明，若寄存器位数是n ，则直线整个插补过程总累加次数加一次减1直至为0，每次累加均进行终点判别。
21N -
动点N 的分速度为：
当V 恒定时，则有：V/R=K 单位时间，x 、y 位移增量为：
i i i v x vx t y t ky t R v y vy t x t kx t
R ⎧⎛⎫
∆=∆=-∆=-∆ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨
⎛⎫⎪∆=∆=∆=∆ ⎪⎪⎝⎭⎩
如果已知一条直线的方程为：。
教学进程及内容说明课题引入：前面课程中我们已经掌握了计算机数控装置的内容，掌握了CNC硬件与软件的结构与功能；而我们现在所要学的这一节内容就是要对前计算机数控装置的运用。
CNC软件用什么方法对硬件实现要求？接下来我们这一课题要解决这个问题是闭环伺服系统。
新内容讲解：第二节脉冲增量插补脉冲增量插补的定义：是分配脉冲的计算，在插补过程中不断向各坐标轴发出相互协调的进给脉冲，控制机床坐标用相应的移动。
脉冲增量插补的方法：逐点比较法、数字积分法和比较积分法。
一、逐点比较法插补原理基本原理是：数控装置在控制刀具按要求的轨迹移动过程中，不断比较刀具与给定轨迹的误差，由此决定下一步刀具的移动方向，使刀具向减少误差的方向移动。
逐点比较法进行插补每一步都要经过四个工作节拍：第一节拍：偏差判别第二节拍：进给第三节拍：偏差计算第四节拍：终点判别１直线插补1）偏差计算如右图所示第一象限直线OE，起点O为坐标原点，终点坐标E（Xe，Ye），直线方程为：XeY－XYe＝0直线OE 为给定轨迹，B（Xb，Yb）为动点（刀位点）坐标。
动点与直线的位置关系有三种情况：对于第一象限直线，其偏差符号与进给方向的关系为：F＝0时，表示动点在OE上，如点B，可向＋X向进给，也可向＋Y向进给。
F>0时，表示动点在OE上方，如点A，应向＋X向进给。
F<0时，表示动点在OE下方，如点C，应向＋Y向进给。
这里规定动点在直线上时，可归入F>0的情况一同考虑。
将F的运算采用递推算法予以简化，动点Fi(Xi，Yi)的Fi值为：Fi=XeYi－XiYe2)进给若Fi≥0，沿＋X向走一步F F－Ye若Fi<0,沿＋y向走一步F F－Xe3）终点判别在插补计算、进给的同时还要进行终点判别。
常用终点判别方法，是设置一个长度计数器，从直线的起点走到终点，刀具沿X轴应走的步数为Xe，沿Y轴走的步数为Ye，计数器中存入X和Y两坐标进给步数总和 N＝∣Xe∣＋∣Ye∣，当X或Y 坐标进给时，计数长度减一，当计数长度减到零时，即N＝0时，到达终点，停止插补。
例5-1：加工第一象限直线OE，如下图所示，起点为坐标原点，终点坐标为E（3，5）。
试用逐点比较法加工直线OE。
解：总步数n=3+5=8运算过程见表5-1插补轨迹见图5-42. 圆弧插补1)偏差计算设圆弧圆心在坐标原点，已知圆弧起点（Xs，Ys），终点（Xe，Ye）。
设圆上任意一点为（x，y），则下式成立：取偏差函数F为：若F>0 ，则动点位于圆弧外侧。
若F=0， 则动点在圆弧上。
若F<0, 则动点在圆弧内侧。
2）进给第一象限逆圆偏差判别函 数F 与进给方向的关系如下： 当F ≥0，沿-Y 向走一步, F F －2x+1 x x-1 当F<0，沿-X 向走一步, F F+2y+1 y y+13)圆弧插补终点判别与直线相同例5-2 现欲加工第一象限逆圆弧AB ，如图所示，起点A （5，0），终点B （0，5），试用逐点比较法加工圆弧AB 。
解：n ＝∣5-0∣＋∣0-5∣=10 运算过程见表5-2，插补轨迹如右图3.象限处理与坐标变换 1）直线插补的象限处理 对于第二象限的直线， x 的进给方向与第一象限不 同，在偏差计算中只要将 xe 、ye 取绝对值，代入第 一象限的插补公式即可插 补运算。
第三、第四象限也是一样。
所以不同象限的 四个象限各轴插补运动方向如图所示： 直线插补共用一套公式，所不同的是进给方向不同。
3）圆弧自动过象限圆弧过象限，即圆弧的起点和终点不在同一象限内。
若坐标采用绝对值进行插补运算，应先进行过象限判断，当X ＝0或Y ＝0时过象限。
需将圆弧分成两段圆弧，到X ＝0时，进行处理，对应调用插补程序。
yxL 1 F ≥0 L 2 L 3F ≥0F ≥0 F ≥0L 4F<0 F<0 F<0 F<04）坐标变换用y代替x，z代替y,即可实现yz平面内的直线和圆弧插补；用z代替y，而x则不变,即可实现xz平面内的直线和圆弧插补.二、数字积分法数字积分法又称数字微分分析法(Digital differential Analyzer, DDA)，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。
DDA基本原理：如图所示，设有一函数Y＝f(t)，求出此函数曲线与横坐标t在区间（t0，tn）所围成的面积。
如果将横坐标区间段划分为间隔为t的很多小区间，当t取足够小时，此面积可近似地视为曲线下许多小矩形面积之和。
在数学运算时，取t为基本单位“1”，则上式可简化为：1)DDA直线插补在x、y轴方向的微小位移增量为：四个象限圆弧进给方向SR1SR2SR3SR4YXa)顺圆弧NR1NR2NR3NR4YXb)逆圆弧n是累加次数，取整数，k取小数。
如果存放Xe，Ye寄存器的位数是N，对应最大允许数字量为所以：K<1/ 因此，累加次数为：n=1/k=n2上式表明，若寄存器位数是n，则直线整个插补过程总累加次数n=2n,每累加一次减1直至为0，每次累加均进行终点判别。
21N-21N-例5-3：设有一直线OA，起点在坐标系原点，终点的坐标为（4，6），试用DDA法直线插补此直线。
解：Jx=4、Jy=6 选择寄存器位数N=3，则累加次数n=23=8,算过程见表5-4，插补轨迹见图5-17所示。
2） DDA圆弧插补1插补原理圆弧的方程为：动点N的分速度为：当V恒定时，则有：V/R=K单位时间，x、y位移增量为：2终点判别：两轴达到终点的时间不同，分别判断，每进给一次减1。
X轴所需进给次数：i i ii i ivx vx t y t ky tRvy vy t x t kx tR⎧⎛⎫∆=∆=-∆=-∆⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪∆=∆=∆=∆⎪⎪⎝⎭⎩DDA 圆弧插补软件流程：p140DDA圆弧插补与直线插补的主要区别为：（1）圆弧插补中被积函数寄存器寄存的坐标值与对应坐标轴积分器的关系恰好相反。
（2）圆弧插补中被积函数是变量，直线插补的被积函数是常数。
（3）圆弧插补终点判别需采用两个终点计数器。
对于直线插补，如果寄存器位数为n，无论直线长短都需迭代2n次到达终点。
例5-4：设有第一象限逆圆弧AB，起点为A（5，0），终点为B（0，5），设寄存器位数为3。
试用DDA法插补此圆弧。
解：J VX=0，J Vy=5，寄存器23=8运算过程见表5-5，插补轨迹见图5-21 3. 数字积分法插补的象限处理圆弧插补时被积函数是动点坐标，在插补过程中要进行修正，坐标值的修改要看动点运动是使该坐标绝对值是增加还是减少，来确定是加±1。
4. DDA插补的合成进给速度及稳速控制1）合成进给速度数字积分法的特点是，脉冲源每产生一个脉冲，作一次累加计算。
4）稳速控制1 左移规格化规格化数：直线插补时，当被积函数寄存器的数值，最高位为1时，称为规格化数，反之，若最高位为零，称为非规格化数。
“左移规格化”：将被积函数寄存器JVx、JVy中存放的数值各位循环左移，直至最高位为1，右边各位填补0的过程。
直线插补左移规格化数的处理方法：将X轴与Y轴被积函数寄存器里的数值同时左移（最低位移入零），直到其中之一最高位为1时为止。
圆弧插补左移规格化与直线不同之处：被积函数寄存器存放最大数值的次高位是1为规格化数。
被积函数寄存器中存放的坐标被修正为:2i y 2i(y+1)=2i y+2i 上式指明，规格化处理后，插补中的坐标修正加1或减1，变成了加2n或减2n。
直线和圆弧插补时规格化数处理方式不同，但均能提高溢出速度，并能使溢出脉冲变得比较均匀。
5. 提高DDA插补精度的措施1)减少脉冲当量δ 2)余数寄存器预置数6. 多坐标插补1)空间直线插补与平面内直线插线一样，每来一个脉冲，最多允许产生一个进给单位的位称量，故空间直线单独累加溢出，彼此独立，易于实现。
2)螺旋线插补 X和Y的被积函数与圆弧插补的被积函数相同，其变化规律与圆弧一致。
三比较积分法1.比较积分法的原理如果已知一条直线的方程为：X方向每发一个进给脉冲，相当于积分值增加y；Y方向每发一个进给脉冲，e积分值增加一个量x e；为了得到直线，必须使两个积分相等。
2．直线插补对于比较积分法第一象限直线插补，定义偏差计算函数：1. F<0, X轴进给一步：F i+1=F i+y e2. F≥0, Ｘ、Ｙ轴各进给一步：F i+1=F i+y e-xeSFG直线插补软件流程图见图5-26，轨迹图5-29。
（p149）3．圆弧插补如果已知圆的方程为：x2+y2=(x-x0)2+(y-y0)2 两边微分(x-x0)d x+(y+y0) d y=0 求积并展开：x0+(x0-1)+ (x0-2)+…= y0+(y0+1)+ (y0+2)+…等式左边公差为-1，右边公差为+1，说明在插补过程中，每发出一个脉冲，被积函数就进行加或减修正，证明了圆弧插补是沿切线方向进行的直线插补。
直线插补软件流程图见图5-32，轨迹图5-31。
（p150）作业布置：5-3 5-5 5-10 5-11教学反思：本课的知识内容比较抽象，对高等数学与计算机语言编程都要有比较全面的了解，采用传统的教学模式教学，学生比较难理解，采用多媒体与用ＶＢ设计的数控插补教学软件让知识抽象化变得更直观明白，直观的教学激发了学习积极性。
不足之处：内容衔接不自然，时间上的分配还需合理些;创新教学还不够丰富；。
