【志鸿优化赢在课堂】2015春人教版高中数学选修2-3检测试题212离散型随机变量及其分布列

数学选修2-3第二章随机变量及其分布章末检测题(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P3*******则X的数学期望E(X)=()A.32B.2C.52D.32.正态分布N1(μ1,12),N2(μ2, 22),N3(μ3, 32)(其中σ1,σ2,σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图,则下列说法正确的是()A.μ1最大,σ1最大B.μ3最大,σ3最大C.μ1最大,σ3最大D.μ3最大,σ1最大3.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同,那么甲以4比2获胜的概率为()A.564B.1564C.532D.5164.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是()A.35B.25C.59D.1105.若随机变量ξ~B(n,p),且E(ξ)=6,D(ξ)=3,则P(ξ=1)的值为()A.3×2-2B.3×2-10C.2-4D.2-86.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体.经过搅匀后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=()A.126125B.65C.168125D.757.某商家进行促销活动,促销方案是顾客每消费1000元,便可以获得奖券1张,每张奖券中奖的概率为15,若中奖,则商家返还中奖的顾客现金1000元.小王购买一套价格为2400元的西服,只能得到2张奖券,于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服,这样小王就得到了3张奖券.设小王这次消费的实际支出为ξ(元),则E(ξ)等于()A.1850元B.1720元C.1560元D.1480元8.一名篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)).已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况),则ab的最大值为()A.148B.124C.112D.169.设随机变量η服从正态分布(1,σ2),若P(η<-1)=0.2,则函数f(x)=13x3+x2+η2x没有极值点的概率是()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.810.一个盒子里装有6张卡片,上面分别写着如下6个定义域为R的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,f6(x)=2.现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片,则停止抽取,否则继续进行,则抽取次数ξ的数学期望为()A.74B.7720C.34D.73二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.两名狙击手在一次射击比赛中,狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4,0.1,0.5;狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1,0.6,0.3.那么两名狙击手中,获胜希望大的是.12.园丁要用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示圆形花坛的四块区域.要求同一区域内须用同一种颜色的鲜花,相邻区域须用不同颜色的鲜花.设花圃中布置红色鲜花的区域数量为ξ,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=.13.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710.三人各答一次,则三人中只有1人及格的概率为.14.某商场举行摸奖活动,规则为:从装有除颜色外完全相同的7个白球、3个红球的盒子中摸出3个不同的球,摸出后把球放回.若3个球全是红球,则中一等奖;若3个球中1个白球2个红球为二等奖.现有3人去摸奖,则恰有2人中奖的概率为.15.在(x+1)9的二项展开式中任取2项,P i表示取出的2项中有i项系数为奇数的概率.若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项数i,则随机变量ξ的均值为.三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5名乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求:(1)随机变量ξ的分布列;(2)随机变量ξ的数学期望.17.(8分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.18.(9分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.19.(10分)某车间在两天内,每天生产10件产品,其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品.质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.(1)求两天全部通过检查的概率;(2)若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度,两天全不通过检查罚300元,通过1天、2天分别奖300元、900元.那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元?20.(10分)某人居住在城镇的A处,准备开车到单位B处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图例如A→C→D算两个路段:设路段AC发生堵车事件的概率为110,路段CD发生堵车事件的概率为115.(1)请你为其选择一条由A到B的路线,使得途中发生堵车事件的概率最小;(2)若记路线A→C→F→B中遇到堵车的次数为随机变量ξ,求ξ的数学期望E(ξ).参考答案一、1.解析:E(X)=1×35+2×310+3×110 1510 32.答案:A2.解析:在正态分布N(μ,σ2)中,x=μ为正态曲线的对称轴,结合图象可知,μ3最大;又参数σ确定了曲线的形状:σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”.故由图象知σ1最大.答案:D3.解析:甲以4比2获胜,则需打六局比赛且甲第六局胜,前五局胜三局,故其概率为C 12 532.答案:C4.解析:“第一次摸出正品”记为事件A,“第二次摸出正品”记为事件B.则P(A)=C61C91C101C91 35.P(AB)=C61C51C101C91 13,则P(B|A)= ( ) ( ) 59.答案:C5.解析:∵ξ~B(n,p),且E(ξ)=6,D(ξ)=3,∴np=6,且np(1-p)=3,解得n=12,p=12,∴P(ξ=1)=C121 =3×2-10.答案:B6.解析:由题意可知涂漆面数X的可能取值为0,1,2,3.由于P(X=0)=27125,P(X=1)=54125,P(X=2)=36125,P(X=3)=8125,故E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125 150125 65.答案:B7.解析:根据题意知,ξ的可能取值为2450,1450,450,-550,且P(ξ=2450)64125,P(ξ=1450)=C 48125,P(ξ=450)=C 12125,P(ξ=-550)=C 1125,则E(ξ)=2450×64125+1450×48125+450×12125+(-550)×1125=1850(元),故选A.答案:A8.解析:由已知,得3a+2b+0×c=2,即3a+2b=2,故ab=16×3a×2b 16.答案:D9.解析:∵函数f (x )=13x 3+x 2+η2x 没有极值点,∴f'(x )=x 2+2x+η2=0无解,∴Δ=4-4η2<0,∴η<-1或η>1.∵随机变量η服从正态分布N (1,σ2),P (η<-1)=0.2,∴P (η<-1或η>1)=0.2+0.5=0.7,故选C .答案:C10.解析:因为f 2(x ),f 5(x ),f 6(x )为偶函数,所以随机变量ξ可取1,2,3,4.P (ξ=1)=C 31C 61 12,P (ξ=2)=C 31C 31C 61C 51310,P (ξ=3)=C 31C 21C 31C 61C 51C 41320,P (ξ=4)=C 31C 21C 11C 31C 61C 51C 41C 31120.所以ξ的分布列为ξ1234P12310320120E (ξ)=1×12+2×310+3×320+4×12074.答案:A二、11.解析:设甲得分为X ,乙得分为Y ,则E (X )=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1,E (Y )=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2.因为E (X )<E (Y ),所以乙获胜的希望大.答案:乙12.解析:随机变量ξ的取值分别为0,1,2.当ξ=0时用黄、蓝、白三种颜色来涂色,只能左右同色,共有3×2×1=6(种),即ξ=0所包含的基本事件有6种,所以P (ξ=0)=648 18;P (ξ=2)=64818;P (ξ=1)=1-181834.则E (ξ)=0×18+1×34+2×18=1.答案:113.解析:利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得，所求概率为45 1 1+1 35 1+1 1 710 47250.答案:4725014.解析:一个人去摸奖,中一等奖的概率为P 1=1C 103,中二等奖的概率为P 2=C 32C 71C 103,所以任何一人中奖的概率为P 1+P 2=1C 103C 32C 71C 1031160.若3人去摸奖,恰有2人中奖的概率为C 1592972000.答案:59297200015.解析:∵(x+1)9的展开式中各项的系数为C 9(k=0,1,2,…,9),共10个,∴系数为奇数的有C 90,C 91,C 98,C 99共4个.P (ξ=0)=C 62C 102 13,P (ξ=1)=C 41C 61C 102 815,P (ξ=2)=C 42C 102 215.∴E (ξ)=0×13+1×815+2×215 1215 45.答案:45三、16.解:(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验,则ξ~B 5即有P (ξ=k )=C 5- ,k=0,1,2,3,4,5.由此可得ξ的分布列为ξ012345P32243802438024340243102431243(2)∵ξ~B 5∴E (ξ)=5×13 53.17.解:(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A ,则P (A )=C 21C 53+C 22C 52C 7467.所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X=1)=C 33C 74135,P (X=2)=C 43C 74435,P (X=3)=C 53C 74 27,P (X=4)=C 63C 74 47.所以随机变量X 的分布列是X 1234P1354352747随机变量X 的数学期望E (X )=1×135+2×435+3×27+4×47175.18.解:(1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有 =“张同学所取的3道题都是甲类题”.因为P ( )=C 63C 103 16,所以P (A )=1-P ( )=56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P (X=0)=C 20·154;P (X=1)=C 21·15+C ·4528125;P (X=2)=C 22·15+C ·4557125;P (X=3)=C 22·4536125.所以X 的分布列为X 0123P4125281255712536125所以E (X )=0×4125+1×28125+2×57125+3×36125=2.19.解:分析:(1)运用独立事件同时发生的概率求两天全部通过的概率.(2)列奖金的分布列,求期望.(1)随机抽取4件产品进行检查是随机事件.“记第一天通过检查”为事件A ,则P (A )=C 94C 104 35.记“第二天通过检查”为事件B ,则P (B )=C 84C 104 13.因第一天、第二天检查是否通过是相互独立的,所以两天全部通过检查的概率为P (AB )=P (A )P (B )=351315.(2)记所得奖金为ξ元,则ξ的取值为-300,300,900.P(ξ=-300)=P( )=P( )P( )=25 23 415.P(ξ=300)=P((A )∪( B))=P(A )+P( B)=P(A)P( )+P( )P(B)=35 23+25 13 815.P(ξ=900)=P(AB)=15.所以,ξ的分布列为ξ-300300900P4******* E(ξ)=-300×415+300×815+900×15=260.故该车间在这两天内得到奖金的数学期望是260元.20.解:(1)记路段AC发生堵车的事件为AC(其他路段也类似),因为各路段发生堵车的事件是相互独立的,且在同一路段发生堵车的事件最多只有一次,所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率为1-P( · · )=1-P( )·P( )·P( )=1-1 1 11-910 1415 56 310.同理,路线A→C→F→B中遇到堵车的概率为1-P( · · )=239800 310,路线A→E→F→B中遇到堵车的概率为1-P( · · )=91300 310.路线A→E→F→C→D→B中遇到堵车的概率为1-P( · · · · )=22394500 310.显然要使由A到B的路线中发生堵车事件的概率最小,只可能在以上四条路线中选择,因此选择路线A→C→F→B,可使途中发生堵车的概率最小.(2)路线A→C→F→B中遇到堵车的次数ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=P( · · )=561800,P(ξ=1)=P(AC· · )+P( ·CF· )+P( · ·FB) =110 1720 1112+910 320 1112+910 1720 112 6372400,P(ξ=2)=P(AC·CF· )+P( ·CF·FB)+P(AC· ·FB) =110 320 1112+910 320 112+110 1720 112 772400, P(ξ=3)=P(AC·CF·FB)=110 320 112 1800,所以E(ξ)=0×561800+1×6372400+2×772400+3×1800 13,即路线A→C→F→B中遇到堵车的次数的数学期望为13.。

课时跟踪检测（十四） 离散型随机变量的均值层级一 学业水平达标1．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无法求 B ．0 C ．E (X )D ．2E (X )解析：选B ∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数，∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0． 2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E (ξ)的值为( )A ．118B ．19C ．209D ．920 解析：选C 根据概率和为1，可得x ＝118，E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5×x ＝40x＝209． 3．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0．8，则射击一次得分X 的期望是( )A ．0．2B ．0．8C ．1D ．0解析：选B 因为P (X ＝1)＝0．8，P (X ＝0)＝0．2，所以E (X )＝1×0．8＋0×0．2＝0．8． 4．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5， 14，则E (－ξ)的值为( ) A ．14B ．－14C ．54D ．－54解析：选D ∵E (ξ)＝5×14＝54，∴E (－ξ)＝－E (ξ)＝－54，故选D ．5．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( ) A ．35B ．815C ．1415D ．1解析：选A X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115．所以E (X )＝1×715＋2×115＝35．6．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0．6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的数学期望为________．解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0．6；P (X ＝2)＝0．4×0．6＝0．24； P (X ＝1)＝0．42×0．6＝0．096； P (X ＝0)＝0．43＝0．064．所以E (X )＝3×0．6＋2×0．24＋1×0．096＋0×0．064 ＝2．376． 答案：2．3767．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________．解析：∵P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ，P (X ＝3)＝3a ＋b ， ∴E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， ∴14a ＋6b ＝3．①又∵(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1， ∴6a ＋3b ＝1．②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23，∴a ＋b ＝－16．答案：－168．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0．8，则其第一大题得分的均值为________．解析：设小王选对的个数为X ，得分为Y ＝5X ， 则X ～B (12,0．8)，E (X )＝np ＝12×0．8＝9．6， E (Y )＝E (5X )＝5E (X )＝5×9．6＝48． 答案：489．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：(1)抽取次数X 的分布列； (2)平均抽取多少次可取到好电池． 解：(1)由题意知，X 取值为1,2,3． P (X ＝1)＝35；P (X ＝2)＝25×34＝310；P (X ＝3)＝25×14＝110．所以X 的分布列为(2)E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1．5，即平均抽取1．5次可取到好电池．10．如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望．解：(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0．1＋x ＋0．37＋0．39＝1，解得x ＝0．12． (2)由题意知，X ～B (3,0．1)．因此P (X ＝0)＝C 03×0．93＝0．729； P (X ＝1)＝C 13×0．1×0．92＝0．243； P (X ＝2)＝C 23×0．12×0．9＝0．027； P (X ＝3)＝C 33×0．13＝0．001．故随机变量X 的分布列为故X 的数学期望为E (X )层级二 应试能力达标1．已知随机变量ξ的分布列为若η＝aξ＋3，E (η)＝73，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由分布列的性质得12＋13＋m ＝1，∴m ＝16．∴E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13．∴E (η)＝E (aξ＋3)＝aE (ξ)＋3＝－13a ＋3＝73，∴a ＝2．2．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a －b |的取值，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A ．89B ．35C ．25D ．13解析：选A ∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，∴－b 2a<0，即ba >0，∴a 与b 同号．∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89．3．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2解析：选A 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P (ξ＝0)＝C 27－xC 27＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝C 1x ·C 17－xC 27＝x (7－x )21， P (ξ＝2)＝C 2xC 27＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，解得x ＝3．4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定( ) A ．甲比乙质量好 B ．乙比甲质量好 C ．甲与乙质量相同D ．无法判定解析：选A E (ξ)＝0×0．7＋1×0．1＋2×0．1＋3×0．1＝0．6，E (η)＝0×0．5＋1×0．3＋2×0．2＋3×0＝0．7． ∵E (η)>E (ξ)，故甲比乙质量好．5．设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：则E (X )的最大值为________．解析：由表可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤12－p ≤1，0≤p ≤1，从而得P ∈⎣⎡⎦⎤0，12，期望值E (X )＝0×⎝⎛⎭⎫12－p ＋1×p ＋2×12＝p ＋1，当且仅当p ＝12时，E (X )最大值＝32．答案：326．节日期间，某种鲜花的进价是每束2．5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1．6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元．解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E (ξ)＝200×0．20＋300×0．35＋400×0．30＋500×0．15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1．6×(500－ξ)－500×2．5＝3．4ξ－450， 所以E (η)＝3．4E (ξ)－450＝3．4×340－450＝706(元)． 答案：7067．(重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14．(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115．综上知，X 的分布列为故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．8．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0．999104．(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．解：各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P(A)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104，又P(A)＝1－0．999104，故p＝0．001．(2)该险种总收入为104a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出：104ξ＋5×104，盈利：η＝104a－(104ξ＋5×104)，由ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝10，E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104＝104a－105－5×104．由E(η)≥0⇔104a－105－5×104≥0⇔a－10－5≥0⇔a≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．。

导入新课复习回顾1 .离散型随机变量 X 的均值 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.2 . 两种特殊分布的均值（1）若随机变量X 服从两点分布，则EX=p.（2）若X~B(n ，p) ，则EX=np.ni ii=1EX =x p数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.2.3.2离散型随机变量的方差教学目标知识与技能（1）了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；（2）会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.过程与方法了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ~Β(n，p)，则Dξ=np(1-p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 .情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.教学重难点重点离散型随机变量的方差、标准差.难点比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 .思考要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X1 5 6 7 8 9 10P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X2 5 6 7 8 9P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算E(X1)=8，E(X2)=8，发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.思考除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？图(1)(2)分别表示X 1和X 2的分布列图. 比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定. O 5 6 7 10 9 8 P 1X 0.10.20.30.40.5O 5 6 7 9 8 P 2X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (1) (2) 怎样定量刻画随机变量的稳定性?1.方差设离散型随机变量X 的分布列为知识要点X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i -E(X))2描述了x i (i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX 为随机变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 为随机变量X 的标准差(standard deviation). 记为 n2i ii=1DX =(x -EX)p DX σX 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.思考随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由前面的计算结果及方差的定义，得∑102DX=(i-8)P(X=i)=1.50,11i=5∑92DX=(i-8)P(X=i)=0.8222i=5因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.知识要点2.几点重要性质（1）若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p); （2）若X~B(n，p)，则D(X)=np(1-p); （3）D(aX+b)=a2D(X).例题1A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：0 1 2 3次品数ξ1概率P 0.7 0.2 0.06 0.040 1 2 3次品数ξ1概率P 0.8 0.06 0.04 0.10问哪一台机床加工质量较好？解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2 ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2 ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴Dξ1< Dξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.例题2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：/元1200 1400 1600 1800 甲单位不同职位月工资X10.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P1乙单位不同职位月工资X/元1000 1400 1800 220020.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得1EX =12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 =1400⨯⨯⨯⨯2221DX = (1200-1400) 0. 4 + (1400-1400 )0.3 + (1600 -1400 )0.2⨯⨯⨯2+(1800-1400) 0. 1= 40 000⨯2EX =1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400⨯⨯⨯⨯2222DX = (1000-1400)0. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)0.2⨯⨯⨯2+ (2200-1400 )0.l = 160000 .⨯分析：因为 ，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.1212EX =EX ,DX <DX例题3有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X.（1）求随机变量的概率分布；（2）求X的数学期望和方差.4411689P(X =4)==,P(X =3)=0,P(X =2)=,P(X =1)=,P(X =0)=A 242424249861E(X)=0+1+2+30+4=124242424⨯⨯⨯⨯⨯222229861V(X)=(0-1)+(1-1)+(2-1)+(3-1)0+(4-1)=124242424⨯⨯⨯⨯⨯解：（1）因此X 的分布列为（2） X 0 1 23 4 P 9/24 8/24 6/24 0 1/24例题3有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理.解 :设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：X -30 -20 -10 10 20 30 P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36 246810665 E(X)=(-30)+(-20)+(-10)+10+20+30=⨯⨯⨯⨯⨯⨯3636363636369因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家.1.熟记方差计算公式课堂小结n 2i i i=1DX =(x -EX)p 2=E(X-EX)22=EX -(EX)2. 三个重要的方差公式（1）若 X 服从两点分布，则 （2）若 ，则 X ~B(n,p)DX =np(1-p)DX =p(1-p)2(3)D(aX +b)=a DX3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX；④根据方差、标准差的定义求出、σXDX高考链接1. （2005年天津）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_____（元）.[答案]4760提示：分布列为ξ0.6 -2.5P 192/200 8/192故1928Eξ=0.6-2.5=4760()200200元⨯⨯2.（2002年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8则其中产量比较稳定的小麦品种是_______．[答案]甲种3.（2004年湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值）[解析]①不采用预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.l=40（万元），所以总费用为45＋40=85（万元）；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30＋60=90（万元）；继续④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30=75（万元），发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75＋6=81（万元）．综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1.填空课堂练习（1）已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____. 50 25 59910010（1）已知随机变量x 的分布列如上表,则E x 与D x 的值为( )A. 0.6和0.7B. 1.7和0.3C. 0.3和0.7D. 1.7和0.21（2）已知x~B(n ，p)，E x =8，D x =1.6，则n ， p 的值分别是（ ）A ．100和0.08；B ．20和0.4；C ．10和0.2；D ．10和0.8 2.选择 √ x1 2 P 0.3 0.7√3.解答题（1）一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3①当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）= ②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P （ξ=1）= 43129=449119123=⨯③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P （ξ=2）= ④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P （ξ=3）= 所以，Eξ= 3299=121110220⨯⨯32191=1211109220⨯⨯⨯399130+1+2+3=44422022010⨯⨯⨯⨯继续（2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算.解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~ B（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以,Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98.习题解答1. E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2. D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.2+(2-2)2×0.4+(3- 2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1.2.D(X) 1.095.2. E(X)=c×1=c，D(X)=(c-c)2×1=0.3. 略.。

章末检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p k B ．(1－p )k ·p n －kC ．(1－p )kD ．C k n (1－p )k ·p n －k[答案] D2．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2[答案] A[解析] 正态曲线关于x ＝μ对称，σ的大小表示变量的集中程度．σ越大，数据分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，数据分布越集中，曲线越“瘦高”．3．一个口袋装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是( ) A.23 B.14 C.25 D.15[答案] C[解析] 由于是有放回摸球，所以第二次摸出1个白球，与第一次摸出白球无关，即相互独立，所以第二次摸出白球的概率为25.4．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p 1等于( )A.0B.215C.115 D ．1[答案] B[解析] 由15＋23＋p 1＝1，得p 1＝215.5．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )A.49B.29C.427D.227 [答案] A[解析] 连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P ＝C 13(13)1(1－13)2＝49. 6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.12 B.35 C.23 D.34 [答案] D[解析] 甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为12，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为12×12＝14，故甲队获得冠军的概率为14＋12＝34.7．若随机变量ξ的分布列为，其中m ∈(0,1)A ．E (ξ)＝m ，D (ξ)＝n 3 B ．E (ξ)＝n ，D (ξ)＝n 2C ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m －m 2 D ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m 2 [答案] C[解析] ∵m ＋n ＝1，∴E (ξ)＝n ＝1－m ，D (ξ)＝m (0－n )2＋n (1－n )2＝m －m 2. 8．设随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝2.4，D (ξ)＝1.44，则参数n ，p 的值为( ) A ．n ＝4，p ＝0.6 B ．n ＝6，p ＝0.4 C ．n ＝8，p ＝0.3 D ．n ＝24，p ＝0.1[答案] B[解析] E (ξ)＝np ＝2.4，D (ξ)＝np (1－p )＝1.44， 解得n ＝6，p ＝0.4.9．盒中有1个黑球，9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没什么差别，现由10人依次摸出1个球后放回，设第1个人摸出黑球的概率是P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则( ) A ．P 10＝110P 1B ．P 10＝19P 1C ．P 10＝0D ．P 10＝P 1 [答案] D[解析] 10人依次有放回地摸球，即每次都从相同盒子摸球，故概率相同． 10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( ) A.19 B.112 C.115 D.118 [答案] B[解析] 总数为63＝216，满足要求的点为(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，(4,5,6)，(1,3,5)，(2,4,6)，同时公差可以为负，故还需乘以2，还有6个常数列，故P ＝6×2＋6216＝112.11．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( ) A.35 B.25 C.110 D.59 [答案] D[解析] 记“第一次摸出正品”为事件A ，“第二次摸到正品”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59.12．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.[答案] 25[解析] 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________. [答案]10243[解析] 考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X ～B (5，13)， 即有P (X ＝k )＝C k 5(13)k ×(23)5－k，k ＝0,1,2,3,4,5. ∴P (X ＝4)＝C 45(13)4×(23)1＝10243. 14．已知随机变量ξ～B (5，13)，随机变量η＝2ξ－1，则E (η)＝________.[答案] 73[解析] E (ξ)＝53，E (η)＝2E (ξ)－1＝73.15．已知A 、B 、C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (A B )＝________.[答案] 13[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，解得P (A )＝13，P (B )＝12.∴P (A B )＝23×12＝13.16．设离散型随机变量X ～N (0,1)，则P (X ≤0)＝______；P (－2<X ≤2)＝______. [答案] 120.9544[解析] 正态曲线的对称轴为x ＝0， ∴P (X ≤0)＝P (X >0)＝12；P (－2<X ≤2)＝P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响． (1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．解 记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率 P 1＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6 ＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.18．某中学学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回． (1)设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列； (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．解 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，设“第一次训练时取到i 个新球(即ξ＝i )”为事件A i (i ＝0,1,2)． 因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以 P (A 0)＝P (ξ＝0)＝C 23C 26＝15；P (A 1)＝P (ξ＝1)＝C 13C 13C 26＝35；P (A 2)＝P (ξ＝2)＝C 23C 26＝15，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515ξ的数学期望为E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(2)设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ， 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A 0B ＋A 1B ＋A 2B ， 而事件A 0B 、A 1B 、A 2B 互斥，所以P (A 0B ＋A 1B ＋A 2B )＝P (A 0B )＋P (A 1B )＋P (A 2B )＝15×C 13C 13C 26＋35×C 12C 14C 26＋15×C 15C 26＝3875.19．(12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中，将4次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是12.(1)求小球落入A 袋中的概率P (A )；(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中小球的个数，试求ξ＝3的概率与ξ的数学期望E (ξ)．解 (1)方法一 记小球落入B 袋中的概率为P (B )， 则P (A )＋P (B )＝1.由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B 袋， ∴P (B )＝(12)3＋(12)3＝14，∴P (A )＝1－14＝34.方法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A 袋， ∴P (A )＝C 13(12)3＋C 23(12)3＝34.(2)由题意：ξ～B (4，34)，所以有P (ξ＝3)＝C 34(34)3(14)1＝2764， ∴E (ξ)＝4×34＝3.20．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N (70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人． (1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？ 解 (1)设参赛学生的成绩为X ，因为X ～N (70,100)，所以μ＝70，σ＝10. 则P (X ≥90)＝P (X ≤50)＝12[1－P (50<X <90)]＝12[1－P (μ－2σ<X <μ＋2σ)] ＝12×(1－0.9544)＝0.0228， 12÷0.0228≈526(人)．因此，此次参赛学生的总数约为526人． (2)由P (X ≥80)＝P (X ≤60)＝12[1－P (60<X <80)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)] ＝12×(1－0.6826)＝0.1587， 得526×0.1587≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．21．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A 、B 、C 、D )拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响． (1)求A 能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．解 (1)设A 通过体能、射击、反应分别记为事件M 、N 、P ，则A 能够入选包含以下几个互斥事件：MN P ，M N P ，M NP ，MNP .∴P (A )＝P (MN P )＋P (M N P )＋P (M NP )＋P (MNP ) ＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＋23×23×12＝1218＝23. 所以，A 能够入选的概率为23.(2)记ξ表示该训练基地得到的训练经费，则ξ的所有可能值为0,3000,6000,9000,12000. P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－234＝181， P (ξ＝3000)＝C 14⎝⎛⎭⎫23⎝⎛⎭⎫133＝881， P (ξ＝6000)＝C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫132＝2481， P (ξ＝9000)＝C 34⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫13＝3281，P (ξ＝12000)＝C 44⎝⎛⎭⎫234＝1681， ξ的分布列为E (ξ)＝3 000×881＋6 000×2481＋9 000×3281＋12 000×1681＝8000(元)．所以，该基地得到训练经费的数学期望为8000元．22．(12分)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求a ∶b ∶c . 解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为(2)由题意知η所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝⎝⎛⎭⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59. 化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故 a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.。

人教版高中数学选修2～3 全册章节同步检测试题目录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3二项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2二项分布及其应用第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应用第3章练习 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题一、选择题1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ）Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ）Ａ．5种 Ｂ．6种 Ｃ．7种 Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（ ）条不同的线路可通电（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式（ ） Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ6．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ二、填空题7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法．答案：33，2708．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项．答案：1011．如图，从A →C ，有 种不同走法．答案：612．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种．答案：34三、解答题13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =⨯=种．14．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =⨯⨯=种；（3）56644574N =⨯+⨯+⨯=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平面上的点，a b M ∈，． （1）()P a b ，可表示平面上多少个不同的点？（2）()，可表示多少个坐标轴上的点？P a b解：（1）完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法也有6种，∴P点个数为N=6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x轴上（不含原点）有5个点；②y轴上（不含原点）有5个点；③既在x轴，又在y轴上的点，即原点也适合，∴共有N=5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题一、选择题1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（ ）A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种答案：Ａ3．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ ）A ．72种B ．48种C ．24种D ．12种答案：Ａ4．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ）A ．10种B ．52种 Ｃ．25种 Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的子集的个数是（ ） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ二、填空题7．平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是 ．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．答案：2(1)n n-9．电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生种不同的信息．答案：25610．椭圆221x ym n+=的焦点在y轴上，且{}{}123451234567m n∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：2011．已知集合{}123A，，，且A中至少有一个奇数，则满足条件的集合A分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题13．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，比3410大的四位数有多少个？解：本题可以从高位到低位进行分类．（1）千位数字比3大．（2）千位数字为3：①百位数字比4大；②百位数字为4：1°十位数字比1大；2°十位数字为1→个位数字比0大．所以比3410大的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜色旗子各(3)n n>面，任取其中三面，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗子中不允许有三面相同颜色的旗子，可以有多少种不同的信号？若所升旗子颜色各不相同，有多少种不同的信号？解：1N=3×3×3=27种；227324N=-=种；33216N=⨯⨯=种．15．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．解：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷一．选择题：1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有（）（A）37种（B）1848种（C）3种（D）6种2．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语文、数学、英语各一本，则不同的取法共有（）（A）37种（B）1848种（C）3种（D）6种3．某商业大厦有东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是（）（A） 5 （B）7 （C）10 （D）124．用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A）265个（B）232个（C）128个（D）24个5．用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A）265个（B）232个（C）128个（D）24个6．3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（）（A）43种（B）34种（C）4×3×2种（D）1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A）120种（B）1024种（C）625种（D）5种8．已知集合M={l，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）（A）18 （B）17 （C）16 （D）109．三边长均为整数，且最大边为11的三角形的个数为（）（A）25 （B）36 （C）26 （D）3710．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N 不同的走法共有（）（A）25 （B）15 （C）13 （D）10二．填空题：11．某书店有不同年级的语文、数学、英语练习册各10本，买其中一种有种方法；买其中两种有种方法．12．大小不等的两个正方形玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有个．15．某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D每一部分只写一种颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有种．三．解答题：D CB A16．现由某校高一年级四个班学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加足球队，蓝球队、乒乓球队，每人限报其中一个运动队，不同的报名方法有几种？［探究与提高］1．甲、乙两个正整数的最大公约数为60，求甲、乙两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、 排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（ ）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（ ）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（ ） （A ）827n A - （B ）2734n n A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（ ）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） （A ）24个 （B ）30个 （C ）40个 （D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（ ） （A ）20个 （B ）19个 （C ）25个 （D ）30个7．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）96种8．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ）（A ）6种 （B ）9种 （C ）18种 （D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ）（A ）88A 种 （B ）48A 种 （C ）44A ·44A 种 （D ）44A 种10．有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（ ） （A ）(4!)2种 （B ）4!·3!种 （C ）34A ·4!种 （D ）35A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种必须排在一起，而c ，d 两种不能排在一起，则不同排法共有（ ）（A ）12种 （B ）20种 （C ）24种 （D ）48种 二．填空题:：12．6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法．13．6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法．14．五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种．15．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的口袋中，但红口袋不能装入红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有种不同的送法．三、解答题：17．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？18．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合 综合卷一、选择题：1．下列等式不正确的是（ ） （A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=-（C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（ ）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．方程2551616x x x CC --=的解共有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（ ）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男生，3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的选法共有（ ）（A ）12种 （B ）34种 （C ）35种 （D ）340种8．平面上有7个点，除某三点在一直线上外，再无其它三点共线，若过其中两点作一直线，则可作成不同的直线（ ）（A ）18条 （B ）19条 （C ）20条 （D ）21条9．在9件产品中，有一级品4件，二级品3件，三级品2件，现抽取4个检查， 至少有两件一级品的抽法共有（ ）（A ）60种 （B ）81种 （C ）100种 （D ）126种10．某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（ ） （A ）5种 （B ）6种 （C ）63种 （D ）64种 二．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有 种。