湖北省武汉市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)

2020年湖北省武汉一中高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合{1A =，0，1}-，{|21B y y x ==-，}x A ∈，则(A B =I ) A ．{1，0，1}-B ．{1，1}-C ．{0}D ．∅2．（5分）已知i 为虚数单位，则复数221z i i =-+的虚部是( ) A ．3iB ．iC ．3D ．13．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =，则9(S = ) A ．25B ．90C ．50D ．454．（5分）已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（5分）若||a =r ||2b =r 且()a b a -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角是( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 6．（5分）计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为( ) A ．12 B ．12-CD． 7．（5分）已知抛物线24y x =的焦点到双曲线2221(0)x y a a -=>的一条渐近线的距离为12，则该双曲线的方程为( ) A ．221x y -=B ．2212x y -=C ．2213x y -=D ．2214x y -=8．（5分）若x ，y 满足约束条件1133x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪+⎩……„，则43z x y =+的最小值为( )A ．9B ．6.5C ．4D ．39．（5分）定义在R 上的奇函数()224sin x x f x a x -=--g 的一个零点所在区间为( )A ．(,0)a -B ．(0,)aC ．(,3)aD ．(3,3)a +10．（5分）若直线:410l x ay -+=与圆22:(2)(2)4C x y ++-=相切，则实数a 的值为() A ．1528B ．2815C ．1528或1 D ．2815或1 11．（5分）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为32的正方形，则该球的表面积为( ) A ．75518πB ．62516πC ．36πD ．34π12．（5分）关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是( ) A ．tan αα>B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.） 13．（5分）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为 ．14．（5分）已知正实数a ，b 满足123a b+=，则(1)(2)a b ++的最小值是 ． 15．（5分）设0m >，点(4,)A m 为抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为焦点，以A 为圆心||AF 为半径的圆C 被y 轴截得的弦长为6，则圆C 的标准方程为 ．16．（5分）定义在R 上的函数()f x 满足()()2(x f x f x e e '-<为自然对数的底数），其中()f x '为()f x 的导函数，若f （2）24e =，则()2x f x xe >的解集为 ． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n T a a a =⋯，求n T 的最大值．18．在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA ===，2BC =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点．（1）当2CF =，求证：1B F ⊥平面ADF ； （2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -体积．19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机 合计 学习成绩优秀人数 28 12 40 学习成绩不优秀人数14 26 40 合计423880参考数据：2()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．20()P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A 组，使用手机且成绩优秀的同学记为B 组，计划从A 组推选的4人和B 组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A 组、另一人来自B 组的概率．20．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 作斜率为1-的直线1l 交。

高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x|-3＜x＜2}，B={x|2x≥}，则A∩B=（）A. （-2，2）B. [-2，2）C. （-3，-2）D. （-3，-2]2.已知复数z=-1+2i，则下列关系式中正确的是（）A. |z|＜2B. |z|＞3C. |z|≠|1+2i|D. |z|=|1-2i|3.已知α∈（0，），tanα=，则sinα=（）A. B. C. D.4.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）A. 2x±y=0B. x±2y=0C. ±y=0D. ±y=05.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则直线EF，MN所成角的大小为（）A.B.C.D.6.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）=ln（1+x2）+x，则不等式f（2x+1）＞1+ln2的解集为（）A. {x|x＞0}B. {x|x＜0}C. {x|x＞1}D. {x|x＜1}7.已知A（1，0），B（3，2），向量=（-3，-4），则=（）A. -22B. 22C. 6D. -68.已知函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间[-]上是增函数，其在区间[0，π]上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是（）A. [，]B. [，）C. [）D. [）9.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为（）A. B. C. D.10.在△ABC中，给出下列说法：①若A＞B，则一定有sin A＞sin B；②恒有cos A+cos B＞0；③若sin A＜cos B，则△ABC为锐角三角形．其中正确说法的个数有（）A. 0B. 1C. 2D. 311.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，现从中任选两门，其中“礼”和“书”至少有一门被选出来的概率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=的图象上存在两个点关于y轴对称，则实数m的取值范围为（）A. （1，+∞）B. （2，+∞）C. （1，2）D. （0，1）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.函数f（x）=的定义域为______．14.某工厂甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．现用分层抽样抽取一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n=______．15.已知实数x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为______．16.如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若△ACF与△BDF面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}满足a2-a1=1，其前n项和为S n，当n≥2时，S n-1-1，S n，S n+1成等差数列（1）求证{a n}为等差数列；（2）若a1=1，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=3，BC=4，AC=5．（1）当PA变化时，点C到平面PAB的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（2）若PA=3，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．19.已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线x=1与x轴交于点M，过点M的直线AB与Γ交于A、B两点，点P 为直线x=1上任意一点，设直线AB与直线x=4交于点N，记PA，PB，PN的斜率分别为k1，k2，k0，求证：k1+k2=2k0．20.近年来，随着网络的普及，数码产品早已走进千家万户的生活，为了节约资源，促进资源循环利用，折旧产品回收行业得到迅猛发展，电脑使用时间越长，回收价值越低，某二手电脑交易市场对2018年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，在如图对时间使用的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率．（1）若在该市场随机选取1个2018年成交的二手电脑，求其使用时间在（4，8]上的概率；（2）根据电脑交易市场往年的数据，得到如图所示的散点图及一些统计量的值，其中x（单位：年）表示折旧电脑的使用时间，y（单位：百元）表示相应的折旧电脑的平均交易价格．由散点图判断，可采用y=e a+bx作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用年限x 的回归方程，若t=ln y i，，选用如下参考数据，求y关于x的回归方程，并预测在区间（2，4]（用时间组的区间中点值代表该组的值）上折旧电脑的价格．=+βui i的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．参考数据：e3.25≈26，e2.65≈14，e2.05≈7.8，e1.45≈4.3，e0.85≈2.3．21.已知函数f（x）=e x--kx-1（k∈R）．（1）若k=1，判断函数f（x）的单调性；（2）讨论函数f（x）的极值，并说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线θ=β（0＜β）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|+|OB|取最大值时tanβ的值．23.已知函数f（x）=|x-3|-t，t∈R．（1）当t=3时，解不等式|f（x）|≥3；（2）若不等式f（x+2）≤0的解集为[-1，3]，正数a，b满足ab-2a-8b=2t-2，求a+2b 的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：B={x|x≥-2}；∴A∩B={x|-2≤x＜2}=[-2，2）．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：∵z=-1+2i，∴|z|=，而|1-2i|=．∴|z|=|1-2i|．故选：D．利用复数模的计算公式求得|z|，可得|z|=|1-2i|．本题考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵α∈（0，），tanα==，sin2α+cos2α=1，sinα＞0，cosα＞0，则sinα=，故选：B．利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得：，即，可得，则双曲线C的渐近线方程为：x±2y=0．故选：B．通过双曲线的离心率求出b与a的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.【答案】C【解析】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，则E（1，2，0），F（0，2，1），M（1，0，2），N（0，1，2），=（-1，0，1），=（-1，1，0），设直线EF，MN所成角的大小为θ，则cosθ===，∴直线EF，MN所成角的大小为．故选：C．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF，MN所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，当x≥0时，f（x）=ln（1+x2）+x，易得f（x）在[0，+∞）上为增函数，又由f（x）为定义在R上的奇函数，则f（x）在R上为增函数，且f（1）=ln（1+1）+1=1+ln2，则f（2x+1）＞1+ln2⇒f（2x+1）＞f（1）⇒2x+1＞1，解可得x＞0，即不等式f（2x+1）＞1+ln2的解集为{x|x＞0}；故选：A．根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的单调性可得f（x）在R上为增函数，又由f（1）=1+ln2，据此可得f（2x+1）＞1+ln2⇒f（2x+1）＞f（1）⇒2x+1＞1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的单调性，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：A（1，0），B（3，2），向量=（-3，-4），可得=（2，2），==（-2，-2）+（-3，-4）=（-5，-6）则=-10-12=-22．故选：A．利用已知条件求出，向量，然后求解数量积．本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，是基本知识的考查．8.【答案】A【解析】解：∵f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间[-]上是增函数∴≥，即T≥，则≥，得0＜ω≤，∵在区间[0，π]上恰好取得一次最大值2，∴≤π且+T＞π，即＜T≤4π，即＜≤4π，得≤ω＜，综上≤ω≤，即ω的取值范围是[，]，故选：A．结合三角函数单调性，最值与周期T的关系，建立不等式进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用单调性，最值与周期的关系是解决本题的关键．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，考查正三棱柱、球等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．由题意画出图形，求出正三棱锥外接球的半径，进一步求得高，代入棱柱体积公式求解．【解答】解：如图，取△ABC的重心E，△A1B1C1的重心E1，取AC中点D，则EE1的中点O是该正三棱柱外接球的球心，OA为球半径，∵外接球表面积为16π，∴，则OA=2．又正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，∴AE=．∴OE=，则正三棱柱ABC-A1B1C1的高为2．∴=．故选：D．10.【答案】C【解析】【分析】由三角形的正弦定理和边角公式可判断①；由余弦函数的单调性可判断②；可取A=120°，B=15°，可判断③．本题考查三角形的正弦定理和边角关系、三角形的形状判断，考查余弦函数的性质，判断能力和推理能力，属于基础题．【解答】解：在△ABC中，①，若A＞B，可得a＞b，即2R sin A＞2R sin B，（R为△ABC的外接圆的半径），则一定有sin A＞sin B，故正确；②，由0＜A＜π-B＜π，可得cos A＞cos（π-B）=-cos B，恒有cos A+cos B＞0，故正确；③，若sin A＜cos B，由sin A＞0，可得cos B＞0，即B为锐角，可取A=120°，B=15°，满足sin120°=，cos15°=，满足sin A＜cos B，则△ABC为钝角三角形．故错误．故选：C．11.【答案】C【解析】解：“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，现从中任选两门，基本事件总数n=C=15，其中“礼”和“书”至少有一门被选出来包含的基本事件个数m==9，∴其中“礼”和“书”至少有一门被选出来的概率p==．故选：C．基本事件总数n=C=15，其中“礼”和“书”至少有一门被选出来包含的基本事件个数m==9，由此能求出其中“礼”和“书”至少有一门被选出来的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】B【解析】解：函数f（x）=的图象上存在两个点关于y轴对称，即函数y=-x2+m的图象关于y轴对称变换后，与y=e x+，x＞0的图象有交点，即方程e x+=-x2+m有正根，也即方程m=e x++x2有正根；令g（x）=e x++x2，x＞0，则g′（x）=e x-e-x+2x，令h（x）=e x-e-x+2x，x＞0，则h′（x）=e x+e-x+2＞0恒成立，∴h（x）是单调增函数，则g′（x）＞g′（0）=1-1+0=0，∴g（x）是单调增函数，∴g（x）＞g（0）=1+1+0=2，∴m的取值范围是（2，+∞）．故选：B．问题等价于函数y=-x2+m的图象关于y轴对称变换后，与y=e x+，x＞0的图象有交点，即方程e x+=-x2+m有正根，分离常数m，构造函数g（x），利用导数判断函数的单调性，并求出它的最值即可．本题主要考查了分段函数的应用问题，也考查了方程的根与函数图象交点的关系应用问题，以及利用导数判断函数的单调性与求最值问题，是综合题．13.【答案】[3，+∞）【解析】解：函数f（x）=，∴log3x-1≥0，即log3x≥1，解得x≥3，∴f（x）的定义域为[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．根据函数f（x）的解析式列出不等式log3x≥1，求出解集即可．本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题．14.【答案】13【解析】解：依题意，产品的抽样比为=，所以=，即n=13．故填：13．根据乙车间的抽样数计算抽样比为=，所以=，解方程即可．本题考查了分层抽样，根据分层抽样为随机抽样，抽样比相同，列方程求解即可．15.【答案】2【解析】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：z=2x-y经过可行域的A时，取得最大值，由可得A（2，2）z=2x-y的最大值为：4-2=2，故答案为：2．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16.【答案】【解析】解：设直线AB的倾斜角为锐角θ，则直线CD的倾斜角为，由焦半径公式得，，，，∴△ACF的面积为====，同理可得△BDF的面积为，令，则△ACF与△BDF面积之和为，再令x=t2+1∈[1，2），则△ACF与△BDF面积之和为，由双勾函数的单调性可知，当x=1时，△ACF与△BDF面积之和取到最小值，即2p2=16，由于p＞0，得，因此，抛物线的方程为．故答案为：．设直线AB的倾斜角为锐角θ，则直线CD的倾斜角为，利用焦半径公式分别求出|AF|、|BF|、|CF|、|DF|，并求出△ACF与△BDF面积之和的表达式，通过不断换元，并利用双勾函数的单调性求出两个三角形面积之和的最小值，求出p的值，于是得出抛物线的方程．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，考查计算能力与推理能力，属于中等题．17.【答案】证明：（1）当n≥2时，由S n-1-1，S n，S n+1成等差数列得：2S n=S n-1-1+S n+1，即（S n+1-S n）-（S n-S n-1）=1，即a n+1-a n=1，n≥2，又a2-a1=1，故{a n}是公差为1的等差数列．（2）由（1）知等差数列{a n}公差d=1，当a1=1，则a n=n，因此b n===-．则T n=1-+-+…+-=1-=．【解析】（1）根据等差数列的概念得到2S n=S n-1-1+S n+1，变形化简得到a n+1-a n=1，n≥2，得证；（2）根据第一问得到的结论得到a n=n，因此b n==-，裂项求和即可．这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知S n和a n的关系，求a n表达式，一般是写出S n-1做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．18.【答案】解：（1）由AB=3，BC=4，AC=5得AB2+BC2=AC2，故AB⊥BC，∵PA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴PA⊥BC，又PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，∴BC⊥面PAB，∴点C到平面PAB的距离为一个定值BC=4．（2）∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∵PA⊥面ABCD，AB⊂面ABCD，∴PA⊥AB，又PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥面PAD，∴点B到平面PAD的距离为AB=3，∵BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴点C与点B到平面PAD的距离相等，故点C到平面PAD的距离d=AB=3，∵PA=3，AC=5，∴PC==，设直线PC与平面PAD所成的角为α，则sinα===．【解析】（1）证明BC⊥面PAB，进而得到点C到面PAB的距离为定值BC；（2）由BC∥平面PAD可得点C与点B到平面PAD的距离相等，证明AB⊥平面PAD，故为所求线面角的正弦值．这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的求法，求线面角，属于中档题．19.【答案】解：（1）椭圆上的左顶点到左焦点的距离最小为2-=a-c，结合题干条件得到，解得，则b2=a2-c2=1，知故椭圆的方程为：+y2=1，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（1，t），若直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为x=my+1，点N（4，），k0=，代入椭圆方程整理得：（m2+4）y2+2my-3=0则判别式△=4m2+12（m2+4）＞0，则y1+y2=-，y1+y2=-，k1+k2=======2×=2k0．若直线AB与x轴重合时，则B（-2，0），A（2，0），N（4，0），此时k1+k2==，而k0=，故k1+k2=2k0．综上恒有k1+k2=2k0【解析】（1）根据题干列出式子2-=a-c，结合方程进行求解即可；（2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（1，t），结合斜率公式，根据韦达定理化简得到结果．当直线AB与x轴重合时验证即可．本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20.【答案】解：（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在（4，8]上的概率为：P=（0.14+0.06）×2=0.4；（2）由y=e a+bx得ln y=a+bx，即t=a+bx，=，，即t=-0.3x+3.55，∴．根据（1）中的回归方程，在区间（2，4]上折旧电脑价格的预测值为e3.55-0.3×3=e2.65≈14．【解析】（1）频率分布直方图的面积表示相应的概率值，进而得到结果；（2）由y=e a+bx得ln y=a+bx，即t=a+bx，根据公式计算得到相应的参数值，进而得到在区间（2，4]上折旧电脑价格的预测值．本题考查回归分析回归方程的计算，频率分布直方图的应用，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的，线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值．21.【答案】解：（1）当k=1时，f（x）=，f'（x）=e x-x-1，设g（x）=e x-x-1，则g'（x）=e x-1，∴当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0，g（x）递减；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，则g（x）≥g（0）=0，即f'（x）≥0，∴f（x）在R上递增．（2）∵，∴f'（x）=e x-x-k，设h（x）=e x-x-k，则h'（x）=e x-1，∴当x∈（-∞，0）时，h'（x）＜0，h（x）递减；当x∈（0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增；∴h（x）≥h（0）=1-k；若1-k≥0，即k≤1时，h（x）≥0恒成立，即f'（x）≥0，则f（x）在R递增；若1-k＜0，即k＞1时，h（0）=1-k＜0，一方面：-k＜0，而h（-k）=e-k＞0，即f'（-k）＞0，由零点存在定理知f'（x）在（-k，0）上有一个零点，设为x1；另一方面：f'（x）=e k-2k，设m（k）=e k-2k，（k＞1），则m'（k）=e k-2＞e-2＞0，∴m（k）在（1，+∞）递增，∴m（k）≥m（1）=e-2＞0，即f'（k）＞0，由零点存在定理知f'（x）在（0，k）有一个零点，设为x2，∴当x∈（-∞，x1）时，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，∴函数f（x）有两个极值点．【解析】（1）将k=1代入表达式，对函数求导，通过判断导函数的正负得到原函数的单调性；（2）对导函数f（x）继续求导，研究f'（x）的单调性以及零点情况进而得到原函数的极值点的情况．本题考查了导数在研究函数的极值和零点问题中的应用，关键函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化，属难题．22.【答案】解：（1）由（α是参数），得，∴，即，∴曲线C1的极坐标方程为．由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，将ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入得：x2+y2=4y，故曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4y=0．（2）设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ2，θ），将θ=β（0＜β）分别代入曲线C1、C2极坐标方程得：，ρ2=4sinβ，则|OA|+|OB|=+4sinβ=（β+φ），其中φ为锐角，且满足sinφ=，cosφ=，当β+φ=时，|OA|+|OB|取最大值，此时φ，tanβ=tan（φ）===．【解析】（1）先得到C1的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入得x2+y2=4y，得到曲线C2的直角坐标方程；（2）设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ2，θ），将θ=β（0＜β）分别代入曲线C1、C2极坐标方程得：，ρ2=4sinβ，可得|OA|+|OB|=+4sinβ，化简可得到最值，此时φ，可求解．本题考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些，是中档题．23.【答案】解（1）当t=3时，由|f（x）|≥3得||x-3|-3|≥3，即|x-3|-3≥3或|x-3|-3≤-3，⇔|x-3|≥6或|x-3|≤0⇔x-3≥6或x-3≤-6或x=3解之得：x≥9或x≤-3或x=3．（2）由f（x+2）≤0得|x-1|-t≤0，即-t+1≤x≤t+1，故，所以t=2，由ab-2a-8b=2t-2得ab-2a-8b=2，则（a-8）（b-2）=18，a+2b=（a-8）+2（b-2）+12≥2+12=2×6+12=24，当且仅当a-8=2（b-2）即a=14，b=5时取等号．【解析】（1）原式子等价于||x-3|-3|≥3，即|x-3|-3≥3或|x-3|-3≤-3，由绝对值不等式的几何意义求解即可；（2）由原式得|x-1|-t≤0，即-t+1≤x≤t+1，故，再由均值不等式得解即可这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，以及均值不等式的应用，属于中档题．。

武汉市2019届高三4月调研测试数 学（文科）2019.4.19一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝Z ，集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，3}，则(∁U M )∩N ＝（A ）{－1} （B ）{3} （C ）{0，1} （D ）{－1，3} 2．下列命题中的假命题是（A ）∀x ＞0且x ≠1，都有x ＋1x＞2（B ）∀a ∈R ，直线ax ＋y －a ＝0恒过定点（1，0）（C ）∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)x m 2－4m ＋3是幂函数 （D ）∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数3．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝（A ）－4 （B ）－6 （C ）－8 （D ）－104．函数y ＝12－x＋lg x 的定义域是（A ）（0，2] （B ）（0，2） （C ）（1，2） （D ）[1，2）5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3，x ＞1。

则函数y ＝f (x )－log 2x 的零点的个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）127．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (0)＝（A ）－12（B ）－1 （C ）－32（D ）－ 38．设O 为△ABC 所在平面内一点．若实数x 、y 、z 满足x →OA ＋y →OB ＋z →OC ＝0（x 2＋y 2＋z 2≠0），则“xyz ＝0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不全为0），两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），若(Ax 1＋By 1＋C )( Ax 2＋By 2＋C )＞0，且|Ax 1＋By 1＋C |＜|Ax 2＋By 2＋C |，则直线l （A ）与直线P 1P 2不相交 （B ）与线段P 2P 1的延长线相交 （C ）与线段P 1P 2的延长线相交 （D ）与线段P 1P 2相交10．已知圆M ：x 2＋y 2－8x －6y ＝0，过圆M 内定点P （1，2）作两条相互垂直的弦AC 和BD ，则四边形ABCD 面积的最大值为（A ）2015 （B ）16 6 （C ）515 （D ）40二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．若复数z 满足(2－i)z ＝1＋i （i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点的坐标为 ． 12．设F1、F 2是双曲线x 216－y 220＝1的两焦点，点P 在双曲线上．若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离等于 ．13．已知某程序框图如图所示，若分别输入的x 的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y 的值分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝ ．14．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s 1、s 2、s 3，则它们的大小关系为 ．（用“＞”连接）15．若不等式x 2－kx ＋k －1＞0对x ∈（1，2）恒成立，则实数k 的取值范围是 ．16．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为 ．17．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )，这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c －a ）是（b －c ）和（b －a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－1114．（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若a ＝5，求△ABC 的面积． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点．已知PD ＝2，CD ＝4，AD ＝3．（Ⅰ）若∠ADE ＝π6，求证：CE ⊥平面PDE ；（Ⅱ）当点A 到平面PDE 的距离为2217时，求三棱锥A -PDE的侧面积． 20．（本小题满分13分）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率． 21．（本小题满分14分）设a ∈R ，函数f (x )＝ln x －ax ．（Ⅰ）讨论函数f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x 1＝e （e 为自然对数的底数）和x 2是函数f (x )的两个不同的零点，求a 的值并证明：x 2＞e 23． 22．（本小题满分14分）已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为23，半焦距为c （c ＞0），且a －c ＝1．经过椭圆的左焦点F ，斜率为k 1（k 1≠0）的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）当k 1＝1时，求S △AOB 的值； （Ⅲ）设R （1，0），延长AR ，BR 分别与椭圆交于C ，D 两点，直线CD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值．武汉市2019届高三4月调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分50分．1．B 2．D 3．B 4．D 5．B 6．A 7．B 8．C 9．B 10．D 二、填空题：每小题5分，满分35分．11．（15，35） 12．17 13．6 14．s 1＞s 2＞s 3 15．（－∞，2]16．433 17．5－12令球心为O ，因为SC 是直径，所以SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，则AO=BO=SC/2=2=AB ，AO ⊥SC ，BO ⊥SC所以AOB 为正三角形，则点A 到BO 的距离=√3， 因为AO ⊥SC ，BO ⊥SC 所以SC ⊥面AOB ，所以点A 到平面SBC 的距离h=点A 到BO 的距离=√3，所以棱锥S-ABC 的体积=S△SBC*h/3=SC*BO*h/6=4√3／3三、解答题：本大题共5小题，共65分． 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114，得sin(B ＋C )＝1－cos 2(B ＋C )＝1－(－1114)2＝5314，∴cos C ＝cos[(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C ) cos B ＋sin(B ＋C ) sin B＝－1114×12＋5314×32＝17．…………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得sin C ＝1－cos 2C ＝1－(17)2＝437，sin A ＝sin(B ＋C )＝5314．在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得5 5314＝c 437，∴ c ＝8， 故△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝103．…………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt △DAE 中，AD ＝3，∠ADE ＝π6，∴AE ＝AD ·tan ∠ADE ＝3·33＝1． 又AB ＝CD ＝4，∴BE ＝3．在Rt △EBC 中，BC ＝AD ＝3，∴tan ∠CEB ＝BC BE ＝33，∴∠CEB ＝π6．又∠AED ＝π3，∴∠DEC ＝π2，即CE ⊥DE ．∵PD ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥CE ．∴CE ⊥平面PDE ．……………………………………………………………（6分） （Ⅱ）∵PD ⊥底面ABCD ，PD ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面ABCD ．如图，过A 作AF ⊥DE 于F ，∴AF ⊥平面PDE ，∴AF 就是点A 到平面PDE 的距离，即AF ＝2217．在Rt △DAE 中，由AD ·AE ＝AF ·DE ，得 3AE ＝2217·3＋AE 2，解得AE ＝2．∴S △APD ＝12PD ·AD ＝12×2×3＝62，S △ADE ＝12AD ·AE ＝12×3×2＝3，∵BA ⊥AD ，BA ⊥PD ，∴BA ⊥平面P AD ，∵P A 平面P AD ，∴BA ⊥P A ．在Rt △P AE 中，AE ＝2，P A ＝PD 2＋AD 2＝2＋3＝5，∴S △APE ＝12P A ·AE ＝12×5×2＝5．∴三棱锥A -PDE 的侧面积S 侧＝62＋3＋5．…………………………（12分） 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由频率分布表可知，样本容量为n ，由2n＝0.04，得n ＝50．∴x ＝2550＝0.5，y ＝50－3－6－25－2＝14，z ＝y n ＝1450＝0.28．……………（6分）（Ⅱ）记样本中视力在（3.9，4.2]的3人为a ，b ，c ，在（5.1，5.4]的2人为d ，e ． 由题意，从5人中随机抽取两人，所有可能的结果有：{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，e }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，e }，{c ，d }，{c ，e }，{d ，e }，共10种． 设事件A 表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A 包含的可能的结果有：{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{d ，e }，共4种．∴P (A )＝410＝25．故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为25．…………………………（13分）21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）函数f (x )的定义域为（0，＋∞）．求导数，得f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x．①若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )是（0，＋∞）上的增函数，无极值； ②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a．当x ∈（0，1a ）时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈（1a，＋∞）时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．∴当x ＝1a 时，f (x )有极大值，极大值为f (1a )＝ln 1a－1＝－ln a －1．综上所述，当a ≤0时，f (x )的递增区间为（0，＋∞），无极值；当a ＞0时，f (x )的递增区间为（0，1a ），递减区间为（1a，＋∞），极大值为－ln a －1．…（8分）（Ⅱ）∵x 1＝e 是函数f (x )的零点，∴f (e )＝0，即12－a e ＝0，解得a ＝12e ＝e2e ．∴f (x )＝ln x －12ex ．∵f (e 23)＝32－e 2＞0，f (e 25)＝52－e22＜0，∴f (e 23)f (e 25)＜0．由（Ⅰ）知，函数f (x )在（2e ，＋∞）上单调递减，∴函数f (x )在区间（e 23，e 25）上有唯一零点，因此x 2＞e 23．………………………………………………………………（14分）22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a －c ＝1。

2020年湖北省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x>l}，B={x|x2−2x−3<0}，则A∩B=()A. ⌀B. (1,+∞)C. (−1,3)D. (1,3)2.已知x，y∈R，i为虚数单位，若x1−i=1+yi，则复数x+yi在复平面上对应点的坐标是A. (0,1)B. (2,1)C. (1,0)D. (1,2)3.已知0<a<1，log a x<log a y<0，则()A. 1<y<xB. 1<x<yC. x<y<1D. y<x<14.已知单位向量e1⃗⃗⃗ 与单位向量e2⃗⃗⃗ 的夹角为π3，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =3e1⃗⃗⃗ +4e2⃗⃗⃗ ，则|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |等于()A. 5B. 6C. √37D. √395.设正实数x，y满足x>23，y>2，不等式9x2y−2+y23x−2≥m恒成立，则m的最大值为()A. 2√2B. 4√2C. 8D. 166.关于频率分布直方图，下列说法不正确的是()A. 纵轴表示频率与组距的比值B. 各长方形的面积等于相应各组的频率C. 长方形的个数与所分组数相等D. 各长方形的面积之和等于样本容量7.函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]的图象大致是()A. B.C. D.8.函数f(x)=sin(πx+2π3)+cos(πx+π6)的一个单调递减区间是()A. [−23,13]B. [56,116]C. [13,43]D. [−16,56]9. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF|=4，则直线AF 的倾斜角等于( )A. 2π3B. 5π6C. 3π4D. 5π610. 已知函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，f(x)在定义域上单调递减，则实数a 的范围为( )A. (1,72)B. (1,+∞)C. [1,72]D. (−∞,72]11. 在平面四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，∠BAD =60°，∠DBC =30°，则点D 到边BC 的距离为( )A. 2B. 4C. √72D. √712. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(b >0,a >0)的左焦点为F ，点B 的坐标为(0,b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A. 23B. 32C. √3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设曲线y =e x 在点(0,1)处的切线与曲线y =1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．14. 已知θ∈(π2,π)，则1sinθ+1cosθ=2√2，则sin(θ+π4)________，sin(2θ−π3)=________． 15. 已知A ，B ，C 是球面上三点，且AB =6，BC =8，AC =10，球心O 到平面ABC 的距离等于该球半径的12，则此球的表面积为______ ．16. 设x,y 满足约束条件{x ⩾0x +2y ⩾42x +y ⩽5，则z =2x −y 的最大值是_________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n =a n 2+2a n (n ∈N ∗)(1)求a 1的值及数列{an}的通项公式；(2)记数列{1a n3}的前n 项和为T n ，求证：T n <732(n ∈N ∗)18. 某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据．x 4 5 7 8 y2356(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ； (2)试根据(1)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数． 相关公式：，b =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2,a =y −−bx −19. 如图，设四棱锥S −ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60°，AB =SC =2，SA =SB =√2．(Ⅰ)求证：平面SAB ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)设P 为SD 的中点，求三棱锥P −SAC 的体积．20.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P(1,32)与椭圆右焦点的连线垂直于x轴．(1)求椭圆C的方程；(2)与抛物线y2=4x相切于第一象限的直线l，与椭圆C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与y轴交于点N，求直线MN斜率的最小值．21.已知函数f(x)=ax+cosx，x=π6是f(x)的一个极值点．(1)求a的值；(2)求f(x)在x∈[0,2π]上的最小值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.若a>b>0，求证：a+1(a−b)b≥3．【答案与解析】1.答案：D解析：解：B ={x|−1<x <3}； ∴A ∩B =(1,3)． 故选：D ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得x ，y 的值得答案． 解：由x1−i =1+yi ，得x =(1−i )(1+yi )=(1+y )+(y −1)i ，{x =1+yy −1=0, {x =2y =1,则x +yi =2+i =(2,1)， 故选B ．3.答案：A解析：本题考查了对数函数的性质，是基础题． 由0<a <1结合对数函数的性质即可判断． 解：0<a <1，y =log a x 为减函数， log a x <log a y <0=log a 1，∴x >y >1， 故选：A4.答案：C解析：解：单位向量e 1⃗⃗⃗ 与单位向量e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3， ∴e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =1×1×cos π3=12， 又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ ，∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9e 1⃗⃗⃗ 2+24e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +16e 2⃗⃗⃗ 2=9×1+24×12+16×1=37，∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√37． 故选：C ．根据平面向量的数量积与单位向量的概念，求出模长即可． 本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目．5.答案：D解析：令y −2=a ，3x −2=b ，则y =a +2，x =b+23，将原式转化为关于a ，b 的不等式，两次使用基本不等式即可得到结论．本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题． 解：设y −2=a ，3x −2=b ，(a >0,b >0)，9x 2y−2+y 23x−2=(b+2)2a+(a+2)2b≥(2√2b)2a+(2√2a)2b=8(b a+ab)≥16，当且仅当a =b =2，即x =43，y =4时取等号， 故选：D ．6.答案：D解析：本题考查频率分布直方图，属于基础题．根据频数直方图的定义可以判断各个选项中的结论是否正确，由此可解．解：频率分布直方图中纵轴表示频率与组距的比值，A正确；频率分布直方图中各个长方形的面积表示该组的频率，故面积之和等于1，B正确，D错误．长方形的个数与所分组数相等，C正确．故选D．7.答案：C解析：解：函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]满足f(−x)=−f(x)，故函数图象关于原点对称，排除A、B，当x∈(0,π2)时，f(x)=cosxx−sinx>0，故排除D，故选：C．分析函数的奇偶性，及x∈(0,π2)时，函数值的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的图象，难度中档．8.答案：D解析：本题主要考查两角和与差的三角函数公式，考查正弦函数的单调性，考查转化的数学思想，属于中档题．利用两角和的三角函数公式化简f(x)的解析式为f(x)=−2sin(πx−π3)，故f(x)的减区间即为y=2sin(πx−π3)的增区间．令2kπ−π2≤πx−π3≤2kπ+π2，k∈Z，求得x的范围，可得f(x)的减区间．解：f(x)=sin(πx+2π3)+cos(πx+π6)=sinπxcos 2π3+cosπxsin2π3+cosπxcosπ6−sinπxsinπ6=−sinπx+√3cosπx =−2sin(πx−π3)，故f(x)的减区间即为y =2sin(πx −π3)的增区间．令2kπ−π2≤πx −π3≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得2k −16≤x ≤2k +56(k ∈Z)． 结合所给的选项， 故选D ．9.答案：A解析：本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F 在l 上的射影为F′，依题意，可求得点P 的坐标，从而可求得|AF′|，可求得点A 的坐标，代入斜率公式，从而可求得直线AF 的倾斜角． 解：∵抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点， ∴|PF|=|PA|，F(1,0)，准线l 的方程为：x =−1； 设F 在l 上的射影为F′，又PA ⊥l ，设P(m,n)，依|PF|=|PA|得，m +1=4，m =3，∴n =2√3， ∵PA//x 轴，∴点A 的纵坐标为2√3，点A 的坐标为(−1,2√3) 则直线AF 的斜率2√3−0−1−1=−√3，直线AF 的倾斜角等于2π3． 故选A ．10.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题．由分段函数的解析式知，当x >1时，f(x)单调递减，f(x)<2，当x ⩽1时，f(x)在(−∞,a )上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，求解即可．解：∵函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，当x >1时，f(x)=2x ，函数f(x)单调递减，则f(x)<2， 当x ⩽1时，f(x)=x 2−2ax +8=(x −a )2+8−a 2，函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x =a ，f(x)在(−∞,a )上单调递减， ∵f(x)在定义域上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，解得1⩽a ⩽72． ∴实数a 的范围为．故选C ．11.答案：C解析：解：如图，在△ADB 中，由余弦定理可得DB 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcos60°=7． ∴DB =√7．过D 作DM ⊥CB 于M ，DM =DB ⋅sin∠DBC =√7×12=√72．故选：C ．由余弦定理可得BD ，过D 作DM ⊥CB 于M ，DM =DB ⋅sin∠DBC ，即可． 本题考查了余弦定理及解直角三角形，属于基础题．12.答案：B解析：解：∵左焦点为F(−c,0)，点B 的坐标为(0,b)， ∴直线PQ 为：y =bc (x +c)，与y =ba x.联立得：P(acc−a ,bcc−a ). 与y =−ba x.联立得：Q(−acc+a ,bcc+a ).∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则0−acc−a=5(−acc+a )⇒2c =3a ⇒e =32．故选：B ．求出P ，Q 的坐标，利用PB⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出双曲线C 的离心率． 本题考查双曲线C 的离心率，考查学生的计算能力，确定P ，Q 的坐标是关键．13.答案：(1,1)解析：本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及两直线垂直时斜率之间的关系，属于基础题． 利用导数的几何意义求解即可． 解：设P (x 0,1x 0)(x 0>0)因为y =e x ,y′=e x ,k =1，所以y =e x 在点(0,1)处的切线为y −1=1×(x −0),即y =x +1 又y =1x ,y′=−1x 2 由题意得−1x 02=−1,x 0=1所以P (1,1) 故答案为(1,1)．14.答案：−12;−1解析：本题考查两角和与差的三角函数运算、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，属中档题． 由sinθ+cosθ=−√22可求得sin (θ+π4)=√22(sinθ+cosθ)的值；由已知条件易得sin2θ，结合角的范围和同角三角函数基本关系可得cos2θ，由两角差的正弦公式可得．解：∵1sinθ+1cosθ=2√2，∴sinθ+cosθsinθcosθ=2√2，∴sinθ+cosθ=2√2sinθcosθ，平方可得8(sinθcosθ)2−2sinθcosθ−1=0 解得sinθcosθ=−14，或12， ∵θ∈(π2,π)，∴sinθcosθ<0， ∴sin2θ=2sinθcosθ=−12，∴sinθ+cosθ=−√22， ∴(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=32∴sinθ−cosθ=√62， ∴(sinθ−cosθ)(sinθ+cosθ)=−√32=sin 2θ−cos 2θ=−cos2θ ∴cos2θ=√32， 所以sin (θ+π4)=√22(sinθ+cosθ)=−12∴sin(2θ−π3)=12sin2θ−√32cos2θ=−14−34=−1；故答案为−12;−115.答案：4003π解析：求出三角形ABC 的外心，利用球心到△ABC 所在平面的距离为球半径的一半，求出球的半径，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，是中档题，找出球的半径满足的条件是解题的关键．解：由题意AB =6，BC =8，AC =10，∵62+82=102，可知三角形是直角三角形， 三角形的外心是AC 的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离， 设球的半径为R ，球心到△ABC 所在平面的距离为球半径的一半， 所以R 2=(12R)2+52， 解得R 2=1003，∴球的表面积为4πR2=4003π.故答案为4003π.16.答案：3解析：本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．解：x，y满足约束条件{x⩾0x+2y⩾42x+y⩽5,z=2x−y得到y=2x−z，所以当直线经过图中A(2,1)时，直线在y轴上的截距最小，所以z的最大值为2×2−1=3；故答案为3．17.答案：(1)解：当n=1时，4a1=4S1=a12+2a1，解得a1=2，(0舍去)，∵4S n=a n2+2a n，当n>1时，4S n−1=a n−12+2a n−1，∴两式相减可得4a n=a n2−a n−12+2a n−2a n−1，(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，∵数列{a n}各项均正，∴a n−a n−1=2，∴{a n}是以2为公差，2为首项的等差数列，∴a n=2+2(n−1)=2n；(2)证明：由于1a n3=1(2n)3=18⋅1n 3<18⋅1n 2<18⋅1n 2−1=116(1n−1−1n+1)(n >1)．则T n =18+18⋅23+18⋅133+⋯+18⋅1n 3 <18+116(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1)=18+116(1+12−1n−1n+1)<18+116×(1+12)=732， 即有T n <732．解析：(1)令n =1，a 1=S 1=，即可得到首项，再由当n >1时，a n =S n −S n−1，化简整理，即可得到a n −a n−1=2，再由等差数列通项公式，即可得到通项；(2)运用放缩法，即有1a n3=1(2n)3=18⋅1n 3<18⋅1n 2<18⋅1n 2−1=116(1n−1−1n+1)(n >1).再由裂项相消求和，即可得证．本题考查数列的通项和前n 项和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消法，考查运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)∵x −=4+5+7+84=6，y −=2+3+5+64=4，∑x i 4i=1y i =106，∑x i 24i=1=154，∴b =∑x i 4i=1y i −4x −y−∑x i 24i=1−4(x −)2=1，a =y −−bx −=−2，故线性回归方程为：y =x −2； (2)在y =x −2中，取x =9，得y =7．故由线性回归方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7．解析：(1)由已知表格中的数据求得b 与a 的值，则线性回归方程可求； (2)在(1)中的回归方程中，取x =9求得y 值得答案． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．19.答案：(Ⅰ)证明：连接AC ，取AB 的中点E ，连接SE 、EC ，∵SA =SB =√2，∴SE ⊥AB ，AB =2，∴SE =1， 又四棱锥S −ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB =2， ∴CE =√3，又SC =2，∴SC 2=CE 2+SE 2， ∴SE ⊥EC ，又∵SE ⊥AB ，且AB ∩EC =E ，AB ，EC ⊂面ABCD ， ∴SE ⊥面ABCD ， ∵SE ⊂平面SAB ， ∴平面SAB ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)解：V P−SAC =V S−PAC =V S−DAC −V P−DAC =12V S−DAC =12×13×√34×22×1=√36．解析：(Ⅰ)连接AC ，取AB 的中点E ，连接SE 、EC ，证明SE ⊥面ABCD ，即可证明平面SAB ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)利用转换底面的方法，即可求三棱锥P −SAC 的体积．本题在四棱锥中证明面面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了平面与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．20.答案：解：(1)∵点P(1,32)与椭圆右焦点的连线垂直于x 轴，∴c =1，将P 点坐标代入椭圆方程可得1a 2+94b 2=1， 又a 2−b 2=1，联立可解得a 2=4，b 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)设切点坐标为(y 024,y 0)(y 0>0)，则l ：y −y 0=2y 0(x −y 024)．整理，得l ：y =2y 0x +y 02．∴M(−y 024,0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =2y 0x +y2x 24+y 23=1，可得(3+16y 02)x 2+8x +y 02−12=0， △=64−4(3+16y 02)(y 02−12)=−12y 04+144y 02+768y 02>0．x 1+x 2=−8y 023y 02+16,x 1x 2=y 04−12y 023y 02+16． ∴AB 的中点坐标为(−4y 023y 02+16,32y 033y 02+16)，∴AB 的垂直平分线方程为y −32y 033y 02+16=−y 02(x +4y 023y 02+16)，令x =0，得y =−12y 033y 02+16，即N(0,−12y 033y 02+16)，∴k MN =−2y3y 02+16．∵y 0>0，∴k MN =−2y 03y 02+16=−23y0+16y≥−√312，当且仅当y 0=4√33时取得等号． ∴直线MN 的斜率的最小值为−√312．解析：(1)由题意求得c ，把P 的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a 2，b 2的值，则椭圆方程可求；(2)设切点坐标为(y 024,y 0)(y 0>0)，写出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出AB 的中点坐标，得到AB 的垂直平分线方程，求出N 的坐标，进一步得到MN 的斜率，然后利用基本不等式求直线MN 斜率的最小值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，体现了整体运算思想方法，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=a −sinx ，令f′(π6)=a −sin π6=0得a =12． 经检验，符合题意． 所以a =12(2)由f(x)=12x +cosx 知f′(x)=12−sinx ，令f′(x)=0得x =π6或x =5π6，f(0)=0+cos0=1，f(5π6)=12×5π6+cos5π6=5π12−√32<1，所以f(x)的最小值为5π12−√32．解析：本题考查利用导数研究函数的极值和闭区间上的最值问题，属于中档题．(1)本小题考查利用导数研究函数的极值，f′(x)=a −sinx ，令f′(π6)=a −sin π6=0，即可求出a 的值，注意检验．(2)本小题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，求导之后判断函数的单调性，求出闭区间上的极值，再和区间端点的函数值比较即可．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：见解析解析：a+1(a−b)b =(a−b)+b+1(a−b)b，∵a>b>0，∴a−b>0，b>0，1(a−b)b>0，∴(a−b)+b+1(a−b)b ≥3√(a−b)⋅b⋅1(a−b)b3=3，∴a+1(a−b)b≥3，当且仅当a−b=b=1(a−b)b，即a=2，b=1时等号成立．。

湖北省数学高考文数模拟考试（4月)试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·郑州期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）设是虚数单位，在复平面上，满足的复数对应的点的集合是（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 线段3. （2分）已知向量且，则的值等于（）A .B .C .D .4. （2分）(2019·巢湖模拟) 已知，，则的值为A .B .C .D .5. （2分）以下命题(其中a ， b表示直线，α表示平面)：①若a∥b ， b⊂α ，则a∥α；②若a∥α ，b∥α ，则a∥b；③若a∥b ，b∥α ，则a∥α；④若a∥α ， b⊂α ，则a∥b.其中正确命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分） (2016高二上·晋江期中) 等差数列{an}的前n项和记为Sn ，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{Sn}中也为常数的项是（）A . S7B . S8C . S13D . S157. （2分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A . （﹣1，0）B . （1，0）C . （0，﹣1）D . （0，1）8. （2分）(2017·长沙模拟) 已知非空集合，则命题“ ”是假命题的充要条件是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·榕城月考) 函数的大致图象是A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·吉林期中) 阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A . 14B . 20C . 30D . 5511. （2分）(2018·银川模拟) 已知分别双曲线的左右焦点，是抛物线与双曲线的一个交点，若，则抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一上·孝感期中) 已知函数若函数g（x）=f（x）﹣k有3个零点，则实数k的取值范围为（）A . （0，+∞）B . （0，1）C . [1，+∞）D . [1，2）二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分）汽车行驶的路程和时间之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，三者的大小关系为________．14. （1分） (2020高一下·宝坻月考) 已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第25百分位数是________．15. （1分） (2016高一下·大丰期中) 若一个长方体的长、宽、高分别为，，1，则它的外接球的表面积是________．三、双空题 (共1题；共1分)16. （1分） (2019高三上·建平期中) 已知、、是平面内三个单位向量，若，则的最小值是________四、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2019高二上·南充期中) 南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：分组男生人数216191853女生人数32010211若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.①求男生和女生各抽取了多少人；②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.18. （10分） (2019高三上·眉山月考) 在中，角的对边分别为，若成等差数列，且 .（1）求的值；（2）若，求的面积.19. （10分）(2019·长春模拟) 如图，平面分别是上的动点，且 .（1）若平面与平面的交线为，求证：；（2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值.20. （10分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0），M，N是椭圆上关于x轴对称的两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知Q（2，0），若MF与QN相交于点P，证明：点P在椭圆C上．21. （10分）(2017·淄博模拟) 设f（x）=x ln x﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x ），求 g（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≤0时，直线 y=t（﹣1＜t＜0）与f（x）的图象有两个交点A（x1 ， t），B（x2 ， t），且x1＜x2 ，求证：x1+x2＞2．22. （10分）(2019·南通模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线被曲线C截得的线段长．23. （10分）已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞）（1）求 + ≥|2x﹣1|﹣|x+1|的最小值为M．（2）M≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、双空题 (共1题；共1分)答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、。

2020届湖北省武汉一中高三下学期4月高考模拟数学(文)试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知 i为虚数单位，则复数的虚部是( )A．3i B．i C．3D．1(★) 3 . 已知数列为等差数列，前项和为，且则（）A．B．C．D．(★★) 4 . 已知直线，，平面、、，给出下列命题：① ，，，则；② ，，，则；③ ，，则；④ ，，，则.其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个(★) 5 . 若= ，=2，且（），则与的夹角是A．B．C．D．(★) 6 . 计算的结果为（）A．B．C．D．(★) 7 . 已知抛物线 y 2＝4 x的焦点到双曲线（ a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．y2＝1C．y2＝1D．y2＝1(★) 8 . 若，满足约束条件，则的最小值为( )A．9B．6.5C．4D．3(★★) 9 . 定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（）A．B．C．D．(★) 10 . 若直线与圆相切，则实数的值为A．B．C．或1D．或1(★★) 11 . 已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．D．(★★) 12 . 关于的方程在内有且仅有个根，设最大的根是，则与的大小关系是（）A．B．C．D．以上都不对二、填空题(★) 13 . 在中，，是边上一点，，，，则的长为______.(★★) 14 . 已知正实数，满足，则的最小值是．(★★) 15 . 设，点为抛物线上一点，为焦点，以为圆心为半径的圆被轴截得的弦长为6，则圆的标准方程为__________．(★★) 16 . 定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为__________.三、解答题(★) 17 . 记为等比数列的前项和，，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）已知，且的最大值.(★★) 18 . 在直三棱柱中，是的中点，是上一点.（1）当时，证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.(★★) 19 . 在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：参考数据：，其中.（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为组，使用手机且成绩优秀的同学记为组，计划从组推选的4人和组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验.求挑选的两人中一人来自组、另一人来自组的概率.(★★) 20 . 已知;为椭圆的左、右焦点,过作斜率为的直线交椭圆于两点，且（1）求椭圆的方程;（2）过线段上任意一点(不含端点)，作直线与垂直，交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围.(★★★★) 21 . 已知函数 f（ x）＝（ x﹣ a） cosx﹣ sinx， g（ x） x 3 ax 2，a∈ R （1）当 a＝1时，求函数 y＝ f（ x）在区间（0，）上零点的个数；（2）令 F（ x）＝ f（ x）+ g（ x），试讨论函数 y＝ F（ x）极值点的个数．(★★) 22 . 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积（其中为坐标原点）.(★★) 23 . 已知函数.（Ⅰ）若不等式有解，求实数的最大值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数，满足，证明：.。

湖北省武汉市2024年数学（高考）统编版模拟(提分卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（）A．9B．6C．4D．3第(2)题已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数，则（）A．2016B．2017C．4032D．4034第(3)题在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（）A．B．C．D．第(4)题已知，，，则下列不等关系正确的是（）A．B．C．D．第(5)题设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（）A．B．C．D．且第(6)题设a、b、c分别是的三个内角A、B、C所对的边，则是的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件第(7)题样本中共有个个体，其值分别为、、、、，若该样本的中位数为，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A．该几何体的表面积为B．该几何体的体积为C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D．直线平面第(2)题中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”.给出下列命题，其中正确的命题为（）A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个B．函数可以是某个圆的“太极函数”C．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”D．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形第(3)题下列命题中正确的是（）A．若样本数据，，…，的平均数是11，方差为8，则数据，，…，的平均数是6，方差为2B．已知随机变量服从正态分布，且，则C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，且数据样本中心点为，则当时，样本的估计值为7D．随机变量，若，，则三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

2020年高考数学（4月份）模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{1，0，﹣1}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{0}D．∅2．已知i为虚数单位，则复数z＝2i﹣的虚部是（）A．3i B．i C．3D．13．已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，则S9＝（）A．25B．90C．50D．454．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．若||＝，||＝2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．6．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣7．已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．﹣y2＝1 8．若x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最小值为（）A．9B．6.5C．4D．39．定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a）C．（a，3）D．（3，a+3）10．若直线l：4x﹣ay+1＝0与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4相切，则实数a的值为（）A．B．C．或1D．或111．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．36πD．34π12．关于x的方程kx＝sin x（k∈（0，1））在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tanα的大小关系是（）A．α＞tanαB．α＜tanαC．α＝tanαD．以上都不对二、填空题（共4小题）13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．14．已知正实数a，b满足＝3，则（a+1）（b+2）的最小值是．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为．16．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则＞xe x的解集为．三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝8，S3＝2（a2+3）．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知T n＝a1a2…a n，求T n的最大值．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C 上一点．（1）当CF＝2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880参考数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A组，使用手机且成绩优秀的同学记为B组，计划从A组推选的4人和B组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A组、另一人来自B组的概率．20．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作斜率为﹣1的直线l1交椭圆E于A，B两，且AB⊥AF1，（1）求椭圆E的方程（2）过线段AB上任意一点M（不含端点），作直线l2与l1垂直，交椭圆E于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围21．已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．曲线C2的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A＝{1，0，﹣1}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{0}D．∅【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B＝{1，﹣1，﹣3}；∴A∩B＝{1，﹣1}．故选：B．2．已知i为虚数单位，则复数z＝2i﹣的虚部是（）A．3i B．i C．3D．1【分析】利用已知条件转化方程通过复数的乘除运算求解即可．解：i为虚数单位，则复数z＝2i﹣＝2i﹣＝2i﹣1+i＝﹣1+3i，则其虚部是3，故选：C．3．已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，则S9＝（）A．25B．90C．50D．45【分析】根据题意，由等差数列的性质可得S9＝＝＝9a5，即可得答案．解：根据题意，数列{a n}为等差数列，则S9＝＝＝9a5＝45，故选：D．4．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．解：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，α∥γ，因为m⊥α，所以m⊥γ，即②正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，即③错误；④由面面垂直的判定定理可知④正确．所以正确的命题有①②④，故选：C．5．若||＝，||＝2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简等式，利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦值，求出向量的夹角．解：设向量的夹角为θ，∵，∴，∴，即2﹣2cosθ＝0，∴，∵0≤θ≤π，∴，故选：B．6．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣【分析】利用应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，可得结果．解：sin133°cos197°+cos47°cos73°＝sin47°（﹣cos17°）+cos47°sin17°＝sin（17°﹣47°）＝sin（﹣30°）＝﹣，故选：B．7．已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．﹣y2＝1【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得a＝，即可得到双曲线方程．解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），双曲线（a＞0）的一条渐近线y＝x的距离为，由题意可得d＝＝，即有a＝，双曲线方程为：．故选：C．8．若x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最小值为（）A．9B．6.5C．4D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：x，y满足约束条件所表示的可行域为下图中的△ABC，当目标函数对应的直线z＝4x+3y经过点B（0，1）时，z取得最小值3．故选：D．9．定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a）C．（a，3）D．（3，a+3）【分析】根据奇函数的性质求出a的值，再很据f（1）•f（3）＜0，即可求出答案．解：∵定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x，∴f（0）＝a﹣1＝0，解得a＝1，∴f（x）＝2x﹣2﹣x﹣4sin x，∴f（1）＝1﹣2﹣4sin1＜0，f（3）＝8﹣﹣4sin3＞0，∴f（1）•f（3）＜0，∴函数一个零点所在的区间为（a，3），、故选：C．10．若直线l：4x﹣ay+1＝0与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4相切，则实数a的值为（）A．B．C．或1D．或1【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系可得d＝＝2，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4，其圆心为（﹣2，2），半径r＝2；若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离d＝＝2，解可得a＝；故选：A．11．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．36πD．34π【分析】设球半径为R，底面中心为O'且球心为O．利用底面ABCD是边长为3的正方形，且侧棱长都相等，若四棱稚的体积为，求出PO'＝4、OO'＝4﹣R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立关于R的等式，解出R，即可求出球的表面积．解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，∵底面ABCD是边长为3的正方形，且侧棱长都相等，高为4，则底面外接圆半径r＝3，由题意可得，PO'═4，OO'＝PO'﹣PO＝4﹣R．∵在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2+OO'2，∴R2＝32+（4﹣R）2，解之得R＝．∴该球的表面积为4πR2＝．故选：B．12．关于x的方程kx＝sin x（k∈（0，1））在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tanα的大小关系是（）A．α＞tanαB．α＜tanαC．α＝tanαD．以上都不对【分析】将方程根的问题转化为图象的交点问题，先画图（如下），再观察交点个数即得．【解答】解：由原方程得sin x＝kx（x≠0），设函数f（x）＝sin x，g（x）＝kx，它们的图象如图所示：方程得sin x＝kx在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，α必是函数g（x）＝kx与f（x）＝sin x在（2π，3π）内相切时切点的横坐标，即切点为（α，sinα），故g（x）＝kx是f（x）＝sin x的切线，k＝cosα，再由sinα＝kα＝αcosα，故α＝tanα，故选：C．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，由余弦定理得cos∠ADC＝＝﹣，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得，∴AB＝故答案为：．14．已知正实数a，b满足＝3，则（a+1）（b+2）的最小值是．【分析】正实数a，b满足＝3，可得，b+2a＝3ab．展开（a+1）（b+2）＝ab+b+2a+2＝4ab+2，即可得出．解：∵正实数a，b满足＝3，∴，化为，当且仅当b＝2a＝时取等号．b+2a＝3ab．∴（a+1）（b+2）＝ab+b+2a+2＝4ab+2．故答案为：．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．【分析】由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，可求出|AF|的值，进一步得到p的值，把点A（4，m）代入抛物线的方程，求得m 的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．解：由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，得|AF|＝，则，∴p＝2．∵点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，∴．∴圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．16．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则＞xe x的解集为（﹣∞，2）．【分析】由f'（x）﹣f（x）＜2e x知，可构造函数g（x）＝﹣2x，g′（x）＜0⇒g （x）在R上为减函数；于是＞xe x⇔g（x）＞0，由g（2）＝与f（2）＝4e2可得：g（2）＝0，于是可得答案．解：解：∵f'（x）﹣f（x）＜2e x，∴构造函数g（x）＝﹣2x，则g′（x）＝﹣2＝﹣2＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在R上为减函数．∵＞xe x⇔＞2x⇔g（x）＞0，又f（2）＝4e2，∴g（2）＝﹣4＝﹣4＝0，∴g（x）＞g（2），∴x＜2，∴＞xe x的解集的解集为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝8，S3＝2（a2+3）．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知T n＝a1a2…a n，求T n的最大值．【分析】（1）设{a n}的公比为q，由题意得：a1+a3＝a2+6，可得8+8q2＝8q+6，即4q2﹣4q+1＝0解出利用通项公式即可得出．（2），利用二次函数的单调性即可得出．解：（1）设{a n}的公比为q，由题意得：a1+a3＝a2+6所以8+8q2＝8q+6，即4q2﹣4q+1＝0则．所以．（2），当n＝3或4时，T n取得最大值，且（T n）max＝64．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C（1）当CF＝2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．【分析】（1）证明B1F与两线AD，DF垂直，利用线面垂直的判定定理得出B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，则Rt△CDF∽Rt△BB1D，可求DF，即可求三棱锥B1﹣ADF体积．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．∵BC∩B1B＝B，∴AD⊥平面B1BCC1．∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在矩形B1BCC1中，∵C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．∴∠CFD＝∠C1B1F．∴∠B1FD＝90°，∴B1F⊥FD．∵AD∩FD＝D，∴B1F⊥平面ADF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：∵AD⊥面B1DF，，又，CD＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵FD⊥B1D，∴Rt△CDF∽Rt△BB1D，∴．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880参考数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A组，使用手机且成绩优秀的同学记为B组，计划从A组推选的4人和B组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A组、另一人来自B组的概率．【分析】（1）根据题意计算观测值，对照临界值得出结论；（2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）根据题意计算观测值为K2＝＝9.825＞7.879，所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响；（2）记A组推选的4人为a、b、c、d，B组推选的2人为E、F，则从这6人中任取2人，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种；其中1人来于A组，1人来于B组的基本事件为：aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF共8种；故所求的概率为P＝．20．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作斜率为﹣1的直线l1交椭圆E于A，B两，且AB⊥AF1，（1）求椭圆E的方程（2）过线段AB上任意一点M（不含端点），作直线l2与l1垂直，交椭圆E于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围【分析】（1）由题意可得AF1＝AF2＝a，即a2＝2c2，根据三角形的面积可得a2＝8，c2＝4，即可求出椭圆的方程，（2）直线l1的方程为y＝﹣x+2，求出点A，B的坐标，即可求出|AB|，再由直线l2的方程为y＝﹣x+m，根据韦达定理和弦长公式即可求出|CD|根据﹣＜m＜2，可得|CD|的范围，由S ACBD＝|AB|•|CD|，即可求出四边形ACBD面积的取值范围解：（1）由已知可得∠AF2F1＝45°，∴由AB⊥AF1和椭圆的定义可得AF1＝AF2＝a，并且2a2＝4c2，即a2＝2c2，又，可得a2＝8，c2＝4，故b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆E的方程为+＝1．（2）直线l1的方程为y＝﹣x+2，代入到+＝1，可得3x2﹣8x＝0，从而得A（0，2），B（，﹣），∴|AB|＝，又设直线l2的方程为y＝﹣x+m，由条件可得﹣＜m＜2，将y＝﹣x+m代入到+＝1，可得3x2+4mx+2m2﹣8＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2＝﹣m，x1x2＝，∴|CD|＝•＝•＝•＝•，∵﹣＜m＜2，∴0≤m2＜，∴＜12﹣m2≤12，∴＜|CD|≤．，当且仅当m＝0时取等号，∵S ACBD＝|AB|•|CD|，∴S ACBD＞××＝，S ACBD≤××＝，综上所述，四边形ACBD面积的取值范围是（，]21．已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可判断单调性，结合零点判定定理可求．（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值解：（1）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）cos x﹣sin x，∴f′（x）＝（﹣x+1）sin x，x∈（0，），sin x＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝﹣sin1＜0，而f（0）＝﹣cos1＜0．f（）＝﹣1＜0，故函数f（x）在区间（0，）上零点的个数为0，（2）函数F（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x x3﹣ax2，∴F′（x）＝（x﹣a）（x﹣sin x），令F′（x）＝0，解得x＝a，或x＝0，①若a＞0时，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（a，+∞）上单调递增，当0＜x＜a时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（0，a）上单调递减，故有2个极值点，②若a＜0时，当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＜a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，a）上单调递增，当a＜x＜0时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（a，0）上单调递减，故有2个极值点，③当a＝0时，F′（x）＝x（x﹣sin x），当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴F（x）在R上单调递增，无极值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．曲线C2的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用极坐标方程的应用和三角形面积的公式求出结果．解：（1）由曲线C1：（t为参数），消去参数t得：化简极坐标方程为：曲线C2：（θ为参数）消去参数θ得：化简极坐标方程为：ρ2（1+3sin2θ）＝7（2）联立，即联立，即故23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可；（Ⅱ）3a2+b2＝4，由柯西不等式可得（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2．解：（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可．∵|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，∴|m﹣1|≤3，解得﹣2≤m≤4，∴实数m的最大值M＝4．（Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数a，b满足3a2+b2＝4，由柯西不等式可知（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2，∴（3a+b）2≤16，∵a，b均为正实数，∴3a+b≤4（当且仅当a＝b＝1时取“＝”）．。

湖北武汉2020年高考数学（4月份）模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{1，0，﹣1}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{0}D．∅2．已知i为虚数单位，则复数z＝2i﹣的虚部是（）A．3i B．i C．3D．13．已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，则S9＝（）A．25B．90C．50D．454．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．若||＝，||＝2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．6．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣7．已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．﹣y2＝1 8．若x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最小值为（）A．9B．6.5C．4D．39．定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a）C．（a，3）D．（3，a+3）10．若直线l：4x﹣ay+1＝0与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4相切，则实数a的值为（）A．B．C．或1D．或111．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．36πD．34π12．关于x的方程kx＝sin x（k∈（0，1））在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tanα的大小关系是（）A．α＞tanαB．α＜tanαC．α＝tanαD．以上都不对二、填空题（共4小题）13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．14．已知正实数a，b满足＝3，则（a+1）（b+2）的最小值是．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为．16．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则＞xe x的解集为．三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝8，S3＝2（a2+3）．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知T n＝a1a2…a n，求T n的最大值．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C 上一点．（1）当CF＝2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880参考数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A组，使用手机且成绩优秀的同学记为B组，计划从A组推选的4人和B组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A组、另一人来自B组的概率．20．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作斜率为﹣1的直线l1交椭圆E于A，B两，且AB⊥AF1，（1）求椭圆E的方程（2）过线段AB上任意一点M（不含端点），作直线l2与l1垂直，交椭圆E于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围21．已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．曲线C2的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A＝{1，0，﹣1}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{0}D．∅【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B＝{1，﹣1，﹣3}；∴A∩B＝{1，﹣1}．故选：B．2．已知i为虚数单位，则复数z＝2i﹣的虚部是（）A．3i B．i C．3D．1【分析】利用已知条件转化方程通过复数的乘除运算求解即可．解：i为虚数单位，则复数z＝2i﹣＝2i﹣＝2i﹣1+i＝﹣1+3i，则其虚部是3，故选：C．3．已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，则S9＝（）A．25B．90C．50D．45【分析】根据题意，由等差数列的性质可得S9＝＝＝9a5，即可得答案．解：根据题意，数列{a n}为等差数列，则S9＝＝＝9a5＝45，故选：D．4．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．解：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，α∥γ，因为m⊥α，所以m⊥γ，即②正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，即③错误；④由面面垂直的判定定理可知④正确．所以正确的命题有①②④，故选：C．5．若||＝，||＝2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简等式，利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦值，求出向量的夹角．解：设向量的夹角为θ，∵，∴，∴，即2﹣2cosθ＝0，∴，∵0≤θ≤π，∴，故选：B．6．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣【分析】利用应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，可得结果．解：sin133°cos197°+cos47°cos73°＝sin47°（﹣cos17°）+cos47°sin17°＝sin（17°﹣47°）＝sin（﹣30°）＝﹣，故选：B．7．已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．﹣y2＝1【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得a＝，即可得到双曲线方程．解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），双曲线（a＞0）的一条渐近线y＝x的距离为，由题意可得d＝＝，即有a＝，双曲线方程为：．故选：C．8．若x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最小值为（）A．9B．6.5C．4D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：x，y满足约束条件所表示的可行域为下图中的△ABC，当目标函数对应的直线z＝4x+3y经过点B（0，1）时，z取得最小值3．故选：D．9．定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a）C．（a，3）D．（3，a+3）【分析】根据奇函数的性质求出a的值，再很据f（1）•f（3）＜0，即可求出答案．解：∵定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x，∴f（0）＝a﹣1＝0，解得a＝1，∴f（x）＝2x﹣2﹣x﹣4sin x，∴f（1）＝1﹣2﹣4sin1＜0，f（3）＝8﹣﹣4sin3＞0，∴f（1）•f（3）＜0，∴函数一个零点所在的区间为（a，3），、故选：C．10．若直线l：4x﹣ay+1＝0与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4相切，则实数a的值为（）A．B．C．或1D．或1【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系可得d＝＝2，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4，其圆心为（﹣2，2），半径r＝2；若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离d＝＝2，解可得a＝；故选：A．11．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．36πD．34π【分析】设球半径为R，底面中心为O'且球心为O．利用底面ABCD是边长为3的正方形，且侧棱长都相等，若四棱稚的体积为，求出PO'＝4、OO'＝4﹣R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立关于R的等式，解出R，即可求出球的表面积．解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，∵底面ABCD是边长为3的正方形，且侧棱长都相等，高为4，则底面外接圆半径r＝3，由题意可得，PO'═4，OO'＝PO'﹣PO＝4﹣R．∵在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2+OO'2，∴R2＝32+（4﹣R）2，解之得R＝．∴该球的表面积为4πR2＝．故选：B．12．关于x的方程kx＝sin x（k∈（0，1））在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tanα的大小关系是（）A．α＞tanαB．α＜tanαC．α＝tanαD．以上都不对【分析】将方程根的问题转化为图象的交点问题，先画图（如下），再观察交点个数即得．【解答】解：由原方程得sin x＝kx（x≠0），设函数f（x）＝sin x，g（x）＝kx，它们的图象如图所示：方程得sin x＝kx在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，α必是函数g（x）＝kx与f（x）＝sin x在（2π，3π）内相切时切点的横坐标，即切点为（α，sinα），故g（x）＝kx是f（x）＝sin x的切线，k＝cosα，再由sinα＝kα＝αcosα，故α＝tanα，故选：C．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，由余弦定理得cos∠ADC＝＝﹣，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得，∴AB＝故答案为：．14．已知正实数a，b满足＝3，则（a+1）（b+2）的最小值是．【分析】正实数a，b满足＝3，可得，b+2a＝3ab．展开（a+1）（b+2）＝ab+b+2a+2＝4ab+2，即可得出．解：∵正实数a，b满足＝3，∴，化为，当且仅当b＝2a＝时取等号．b+2a＝3ab．∴（a+1）（b+2）＝ab+b+2a+2＝4ab+2．故答案为：．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．【分析】由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，可求出|AF|的值，进一步得到p的值，把点A（4，m）代入抛物线的方程，求得m 的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．解：由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，得|AF|＝，则，∴p＝2．∵点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，∴．∴圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．16．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则＞xe x的解集为（﹣∞，2）．【分析】由f'（x）﹣f（x）＜2e x知，可构造函数g（x）＝﹣2x，g′（x）＜0⇒g （x）在R上为减函数；于是＞xe x⇔g（x）＞0，由g（2）＝与f（2）＝4e2可得：g（2）＝0，于是可得答案．解：解：∵f'（x）﹣f（x）＜2e x，∴构造函数g（x）＝﹣2x，则g′（x）＝﹣2＝﹣2＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在R上为减函数．∵＞xe x⇔＞2x⇔g（x）＞0，又f（2）＝4e2，∴g（2）＝﹣4＝﹣4＝0，∴g（x）＞g（2），∴x＜2，∴＞xe x的解集的解集为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝8，S3＝2（a2+3）．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知T n＝a1a2…a n，求T n的最大值．【分析】（1）设{a n}的公比为q，由题意得：a1+a3＝a2+6，可得8+8q2＝8q+6，即4q2﹣4q+1＝0解出利用通项公式即可得出．（2），利用二次函数的单调性即可得出．解：（1）设{a n}的公比为q，由题意得：a1+a3＝a2+6所以8+8q2＝8q+6，即4q2﹣4q+1＝0则．所以．（2），当n＝3或4时，T n取得最大值，且（T n）max＝64．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C（1）当CF＝2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．【分析】（1）证明B1F与两线AD，DF垂直，利用线面垂直的判定定理得出B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，则Rt△CDF∽Rt△BB1D，可求DF，即可求三棱锥B1﹣ADF体积．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．∵BC∩B1B＝B，∴AD⊥平面B1BCC1．∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在矩形B1BCC1中，∵C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．∴∠CFD＝∠C1B1F．∴∠B1FD＝90°，∴B1F⊥FD．∵AD∩FD＝D，∴B1F⊥平面ADF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：∵AD⊥面B1DF，，又，CD＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵FD⊥B1D，∴Rt△CDF∽Rt△BB1D，∴．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880参考数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A组，使用手机且成绩优秀的同学记为B组，计划从A组推选的4人和B组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A组、另一人来自B组的概率．【分析】（1）根据题意计算观测值，对照临界值得出结论；（2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）根据题意计算观测值为K2＝＝9.825＞7.879，所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响；（2）记A组推选的4人为a、b、c、d，B组推选的2人为E、F，则从这6人中任取2人，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种；其中1人来于A组，1人来于B组的基本事件为：aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF共8种；故所求的概率为P＝．20．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作斜率为﹣1的直线l1交椭圆E于A，B两，且AB⊥AF1，（1）求椭圆E的方程（2）过线段AB上任意一点M（不含端点），作直线l2与l1垂直，交椭圆E于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围【分析】（1）由题意可得AF1＝AF2＝a，即a2＝2c2，根据三角形的面积可得a2＝8，c2＝4，即可求出椭圆的方程，（2）直线l1的方程为y＝﹣x+2，求出点A，B的坐标，即可求出|AB|，再由直线l2的方程为y＝﹣x+m，根据韦达定理和弦长公式即可求出|CD|根据﹣＜m＜2，可得|CD|的范围，由S ACBD＝|AB|•|CD|，即可求出四边形ACBD面积的取值范围解：（1）由已知可得∠AF2F1＝45°，∴由AB⊥AF1和椭圆的定义可得AF1＝AF2＝a，并且2a2＝4c2，即a2＝2c2，又，可得a2＝8，c2＝4，故b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆E的方程为+＝1．（2）直线l1的方程为y＝﹣x+2，代入到+＝1，可得3x2﹣8x＝0，从而得A（0，2），B（，﹣），∴|AB|＝，又设直线l2的方程为y＝﹣x+m，由条件可得﹣＜m＜2，将y＝﹣x+m代入到+＝1，可得3x2+4mx+2m2﹣8＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2＝﹣m，x1x2＝，∴|CD|＝•＝•＝•＝•，∵﹣＜m＜2，∴0≤m2＜，∴＜12﹣m2≤12，∴＜|CD|≤．，当且仅当m＝0时取等号，∵S ACBD＝|AB|•|CD|，∴S ACBD＞××＝，S ACBD≤××＝，综上所述，四边形ACBD面积的取值范围是（，]21．已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可判断单调性，结合零点判定定理可求．（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值解：（1）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）cos x﹣sin x，∴f′（x）＝（﹣x+1）sin x，x∈（0，），sin x＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝﹣sin1＜0，而f（0）＝﹣cos1＜0．f（）＝﹣1＜0，故函数f（x）在区间（0，）上零点的个数为0，（2）函数F（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x x3﹣ax2，∴F′（x）＝（x﹣a）（x﹣sin x），令F′（x）＝0，解得x＝a，或x＝0，①若a＞0时，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（a，+∞）上单调递增，当0＜x＜a时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（0，a）上单调递减，故有2个极值点，②若a＜0时，当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＜a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，a）上单调递增，当a＜x＜0时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（a，0）上单调递减，故有2个极值点，③当a＝0时，F′（x）＝x（x﹣sin x），当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴F（x）在R上单调递增，无极值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．曲线C2的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用极坐标方程的应用和三角形面积的公式求出结果．解：（1）由曲线C1：（t为参数），消去参数t得：化简极坐标方程为：曲线C2：（θ为参数）消去参数θ得：化简极坐标方程为：ρ2（1+3sin2θ）＝7（2）联立，即联立，即故23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可；（Ⅱ）3a2+b2＝4，由柯西不等式可得（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2．解：（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可．∵|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，∴|m﹣1|≤3，解得﹣2≤m≤4，∴实数m的最大值M＝4．（Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数a，b满足3a2+b2＝4，由柯西不等式可知（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2，∴（3a+b）2≤16，∵a，b均为正实数，∴3a+b≤4（当且仅当a＝b＝1时取“＝”）．。