【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学必修五课时作业：第3章不等式关系与不等式

第三章 不等式§3.1 不等关系与不等式 3.1.1 不等关系与不等式课时目标 1.掌握实数运算的性质与大小顺序之间的关系.2.初步学会作差法比较实数的大小．1．不等式的定义含有不等号的式子叫做不等式．其中“a≥b”的含义是________，“a≤b”的含义是________． 2．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a____b ； 如果a －b 等于____，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a____b ，反之也成立． (2)符号表示a －b>0⇔a____b ； a －b ＝0⇔a____b ； a －b<0⇔a____b.一、选择题1．f(x)＝3x 2－x ＋1，g(x)＝2x 2＋x －1，则有( ) A ．f(x)>g(x) B ．f(x)＝g(x) C ．f(x)<g(x)D ．不能确定f(x)与g(x)的大小关系 2．下列四个数中最大的是( )A ．lg 2B ．lg 2C ．(lg 2)2D ．lg (lg 2)3．若等比数列{a n }的公比q>0，且q≠1，又a 1<0，那么( ) A ．a 2＋a 6>a 3＋a 5 B ．a 2＋a 6<a 3＋a 5 C ．a 2＋a 6＝a 3＋a 5D ．a 2＋a 6与a 3＋a 5的大小不确定4．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c5．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<a<c D ．b<c<a6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A ．甲先到教室 B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定二、填空题7．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 8．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．9．设x ，y ，z ∈R ，则5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小关系是__________________．10．设A ＝1＋2x 4，B ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则A 、B 的大小关系是________．三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．12．已知a 、b ∈R ，求证：a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1214．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．§3.1 不等关系与不等式 3．1.1 不等关系与不等式答案知识梳理1．a >b 或a ＝b a <b 或a ＝b 2.(1)> 0 < (2)> ＝ < 作业设计1．A [∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f (x )>g (x )．]2．A [因为lg 2∈(0,1)，所以lg(lg 2)<0，又因lg 2－(lg 2)2＝lg 2(12－lg 2)>0，lg 2－lg 2＝12lg 2>0，所以lg 2>lg 2>(lg 2)2>lg(lg 2)．]3．B [(a 2＋a 6)－(a 3＋a 5)＝a 1(q ＋q 5)－a 1(q 2＋q 4)＝a 1q (q 4－q 3－q ＋1)＝a 1q (q －1)2(q 2＋q ＋1)∵a 1<0，q >0且q ≠1，q 2＋q ＋1>0，∴a 1q (q －1)2(q 2＋q ＋1)<0，∴a 2＋a 6<a 3＋a 5.] 4．C [∵a ＝ln 2，b ＝ln 33，c ＝ln55.且2＝68，33＝69，∴a <b .又55＝1025，2＝1032，∴c <a .故c <a <b .]5．C [∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b .]6．B [设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a ＋s 2b ＝s 2a ＋s2b ＝s ×a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s 2t ＝2s a ＋b ，∴T －2t ＝sa ＋b 2ab －2sa ＋b ＝s ×a ＋b 2－4ab 2aba ＋b＝sa －b 22aba ＋b>0，故乙先到教室．]7.x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 2＋x 2＝－x －2＋x 2≤0，∴x 1＋x 2≤12. 8．A >B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n.∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .9．5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2解析 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号． 10．A ≥B解析 ∵A －B ＝1＋2x 4－2x 3－x 2＝2x 3(x －1)－(x 2－1) ＝(x －1)(2x 3－x －1)＝(x －1)[(x 3－x )＋(x 3－1)] ＝(x －1)2(x 2＋x ＋x 2＋x ＋1) ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2[2(x ＋12)2＋12]≥0，∴A ≥B .11．解 方法一 作差法 a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝a ＋ba 2－b 2－a －ba 2＋b 2a 2＋b 2a ＋b＝a －b a ＋b 2－a 2＋b 2a 2＋b 2a ＋b＝2aba －ba ＋ba 2＋b 2∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0. ∴2aba －b a ＋ba 2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b . 方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b>0.∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．证明 (a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a )＝(a －b )(a 3－b 3)＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2[(a ＋b 2)2＋34b 2]∵(a －b )2≥0，(a ＋b 2)2＋34b 2≥0，∴(a －b )2[(a ＋b 2)2＋34b 2]≥0.∴a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.13．A [方法一 特殊值法． 令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. 方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2， ∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1， ∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21， a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0， ∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝⎛⎭⎫a 1－12⎝⎛⎭⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝⎛⎭⎫b 1－12 ＝2⎝⎛⎭⎫a 1－12⎝⎛⎭⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.]14．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4，①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f (x )＜g (x )；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f (x )＝g (x )；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．。