5.2(中心极限定理)

k 1
定理的应用：对于独立的随机变量序列 X n，不管
Xi (i 1, 2, , n) 服从什么分布，只要它们是同分布，
且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布 N n, n 2 i 1
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
f
g
h
例:20个0-1分布的和的分布
k 1
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分
布，且有有限的数学期望 和方差 2 ，则随机变量
n
Xi n
Yn i1 n 的分布函数 Fn (x) 满足如下极限式
lim n
lim
n
P
i 1
n
x
(
x);
这一讲我们介绍了中心极限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
在后面的课程中，我们还将经常用到中心 极限定理.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立
的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1
x 2 3 4 5 6 7 8
记 则
Xk
1, 小球碰第 1, 小球碰第
k 1
( k 1, 2, ,15) n 15 k 层钉后向左落下 0, 2 1 近似 15 2 15 n 2 X N 0 1n 5 N( n , , ) ) 大数定律和中心极限定理 k
即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9．
大数定律和中心极限定理
例2．一批种子, 其中良种占1/6, 在其中任选6000粒, 试问在这
些种子中, 良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率. 解：设X表示取6000粒种子中的良种粒数, 则X~B(6000, 1/6), E(X)=6000×(1/6)=1000, D(X)=6000×(1/6)×(5/6).
Y20~N(10, 20/12)
P{Y20≤9.1} = P{Y20-10≤9.1-10}
Y20 10 Y20 10 9.1 10 P 0.7 P 20 /12 20 /12 20 /12
(0.7) 0.2420.
n X k n t2 x 1 2 k 1 lim Fn ( x ) lim P x e dt . n n n 2
大数定律和中心极限定理
n
中心极限定理的意义
对于均值为 ,方差 2 0 的独立同分布的 r.v. 列 有
2
证: 由于服从二项分布的随机变量和n 可看作n个相互独立服从 参数为p的(0-1)分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和，即
n X i , 其中E( X k ) p, D( X k ) pq, k 1, 2,, n, q 1 p.

5 5 P29500 X 30500 . 0.9995 2 2
16
1 , 将 n 90000 p 代入有 3
例3 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路 人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售 了100份报时过路人的数目，求 P (280 X 320). 解 令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出 第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,…,100
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,
有
1000, 5000 X ~ N 6
1 1.33 1.33e dt 2 1.33 1.33 0.8164 .
13
t2 2
例2 设一货轮在某海区航行，已知每遭
受一次波浪的冲击，纵摇角度大于 6 的概率
1 为 p 。若货轮在航行中遭受了90000 次波 3
浪冲击，问其中有 29500 至 30500 次纵摇角
ni 1
n
n
i 1
五条件，那么它们的和 X i 当 n 很大时，就近 i 1 似地服从正态分布。
7
X i i 1,2, 具有怎样的分布，只要满足定理
n
作为定理 一 的特殊情况，我们给出下面的定理。 定理三 （德莫佛—拉普拉斯定理）设随机 变量 Yn n 1,2, 服从参数为 n, p 0 p 1的 二项分布，则对于任意x，恒有
度大于 6 的概率是多少？
解 可将货轮每遭受一次波浪冲击看作是 一次试验，并认为实验是独立的。在 90000次 波浪冲击中，纵摇角度大于6˚的次数记为X ，
14
则 X 为一随机变量，它服从 n 90000 , 1 p 的二项分布，其分布列为 3 k 90000 k 1 2 k P X k C90000 , k 0,1,2, ,90000. 3 3 所求概率为 k 90000 k 30500 1 2 k P 29500 X 30500 C90000 . 3 3 k 29501 显然，要直接计算是困难的。可以利用德莫

案例分析—积分的蒙特卡罗计算
蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值 计算方法有很大区别。它以概率统计理论为基础。 由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点 及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问 题，因而该方法的应用领域日趋广泛。 其基本思想是：当所求问题的解是某个事件的概 率，或者是某个随机变量的期望，或与概率、数学 期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事 件发生的频率，或该随机变量若干个观察值的算术 平均值，根据大数定律得到问题的解；
x n p{ X i x} ( ) n i 1
n
例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 300的概率是多少？ 2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace)(p105) 设随机变量n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0<p<1) 的二项分布，则
概率与统计
中心极限定理
5.2. 中心极限定理 一.依分布收敛*
设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的 连续点，有 lim F ( x ) F( x ),
则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为
n n
Xn X.
w 现 令Yn X k , 若Yn的 标 准 化 r .v .Yn* ~ N (0, 1), k 1 n
检验员逐个检查某种产品，每查一件花10秒 时间，有的产品可能要复查一次而再花10秒时间. 假定每一件产品需复查的概率为1/2，求在8小时 内检验员能够至少检查1900件的概率. 解法一: 设Xi 为检查第i件产品所花时间,则
10 此件不需复查 Xi E ( X i ) 15, D( X i ) 25 20 此件需复查