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中心极限定理公式
摘要：
1.中心极限定理的概念
2.中心极限定理的公式
3.中心极限定理的应用
4.总结
正文：
1.中心极限定理的概念
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，独立随机变量之和的分布趋近于正态分布。
中心极限定理为数理统计学提供了一个理论依据，使我们能够在实际问题中应用正态分布来近似描述大量相互独立的随机变量的和的分布。
2.中心极限定理的公式
中心极限定理的公式如下：
设随机变量X1，X2，...，Xn 是相互独立的，且均值为μ，方差为σ^2。
则随机变量S_n = X1 + X2 +...+ Xn 的分布随着n 的增大趋近于一个均值为μ，方差为σ^2 的正态分布。
数学表达式如下：
lim(n→∞) [P(S_n - μσ≤x ≤S_n + μσ)] = N(x; μ, σ^2)
其中，N(x; μ, σ^2) 表示均值为μ，方差为σ^2 的正态分布。
3.中心极限定理的应用
中心极限定理在实际应用中有广泛的应用，例如在统计学中的假设检验、
回归分析等领域。
在假设检验中，我们通常使用正态分布来近似描述样本均值的分布，从而进行参数估计和假设检验。
在回归分析中，中心极限定理为回归系数的估计提供了理论依据。
4.总结
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，独立随机变量之和的分布趋近于正态分布。
中心极限定理公式
中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，描述了当独立同分布的随机变量的个数足够大时，它们的均值的分布趋近于一个正态分布。
具体来说，设X₁、X₂、...、Xₙ是n个独立同分布的随机变量，均值为μ，方差为σ²。
定义随机变量Sₙ = (X₁ + X₂ + ... + Xₙ)/n 为样本均值。
则当n趋近于无穷大时，样本均值Sₙ的分布趋近于正态分布，均值为μ，方差为σ²/n，即Sₙ ~ N(μ, σ²/n)。
中心极限定理的应用非常广泛，其中一个常见的应用是在统计推断中的抽样分布。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布就近似于正态分布，这使得我们可以使用正态分布的性质进行统计推断，例如计算置信区间和假设检验。
除了上述基本形式的中心极限定理，还存在其他形式的中心极限定理。
例如，林德伯格-列维定理（Lindeberg-Lévy Central Limit Theorem）描述了当随机变量的方差存在且有限时，即使它们不完全独立，只要它们之间的相关性很弱，中心极限定理仍然成立。
总而言之，中心极限定理是概率论中一个重要的定理，它描述了当独立同分布的随机变量的个数足够大时，它们的均值的分布趋近于一个正态分布。
这个定理在统计推断中有广泛的应用，并且存在多个形式的中心极限定理。
第五章大数定律和中心极限定理第二节中心极限定理【学习目标】1、了解中心极限定理产生的背景、条件和意义；2、理解和掌握两个中心极限定理的条件和结论、计算方法、应用及近似计算.【学习重点】要求了解几个主要大数定律的条件和结论，并会用于判断（包括数理统计中参数估计量的一致性）和计算。
掌握几个主要的中心极限定理，并会利用中心极限定理求简单的独立同分布变量和的近似分布，以及应用题中概率的近似计算。
在上述极限定理基础上，了解频率稳定性的含义和根据，以及正态分布的特别重要性。
【学习难点】1、理解两个中心极限定理的条件和结论；2、掌握两个中心极限定理的应用和计算.【学习任务清单】一、课前导学1、让学生在了解大数定律的基础上，了解中心极限定理产生的背景.2、如何理解中心极限定理产生的条件和怎样掌握中心极限定理的应用？二、学习视频第二十八讲中心极限定理视频1：二中心极限定理产生的背景和定义1.1 中心极限定理产生的背景（0分23秒）在自然界很多随机变量的分布都服从或者近似服从正态分布.1.2 举例：步枪射击问题来介绍中心极限定理的背景（2分19秒）例题1：步枪射击问题（一个变量由很多微小的误差和的影响引起）.1.3 给出中心极限定理的定义（8分55秒）视频2：服从中心极限定理的条件2.1提出问题：服从中心极限定理的条件是什么呢？（0分20秒）给出一个例子说明，随机变量只具有独立性、存在均值和方差是不够的。
视频3：独立同分布中心极限定理3.1独立同分布中心极限定理（0分10秒）在视频2的疑惑中，提出满足中心极限定理的一个条件：独立同分布中心极限定理。
视频4：棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理4.1 给出棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理的结论（0分24秒）它是独立同分布中心极限定理的一个特例4.2 对棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理的证明（2分33秒）在二项分布的背景下利用独立同分布中心极限定理证明结论。
视频5：中心极限定理的意义视频6：中心极限定理的应用6.1：二项分布和正态分布的关系（0分40秒）离散分布（二项分布）和连续分布（正态分布）之间的关系6.2：从例题上理解二项分布和正态分布的关系（1分32秒）6.3：高尔顿板试验（4分57秒）高尔顿板试验最后落下的小球会呈现中间高两头低的形状对高尔顿板试验的解释（6分40秒）利用中心极限定理对实验结果进行解释视频7：利用中心极限定理进行近似计算7.1 中心极限定理对概率的近似计算非常有用（0分2秒）7.2 例题1：电话交换机问题（0分27秒）三、随堂测试（见慕课每一讲最后一节）四、讨论区和慕课堂上在线提问交流五、线下辅助教学1、课后作业2、QQ群在线答疑。
第二节中心极限定理独立同分布序列的中心极限定理定理1设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。
记随机变量的分布函数为F n（x），则对于任意实数x，有（不证）其中φ（x）为标准正态分布函数。
由这一定理知道下列结论：（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N（nμ，nσ2）。
我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。
中心极限定理进一步告诉我们。
不论X1,X2,…X n,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Z n近似服从正态分布。
（2）考虑X1,X2,…X n,…的平均值，有它的标准化随机变量为，即为上述Y n。
因此的分布函数即是上述的F n（x），因而有由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。
解设X i为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则为100次射击中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X100同分布且相互独立。
由定理1可知，随机变量近似服从标准正态分布，故有[例]某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。
现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率。
解设第i只电器元件的寿命为X i=（i=1,2,…16）,E（X i）=100，D（X i）=1002=10 000，则是这16只元件的寿命的总和。
E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，则所求概率为：棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理1的特殊情况。
中心极限定理公式中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，它可以描述一类随机变量的分布特性。
该定理的公式形式如下：设X₁, X₂, ..., Xₙ是独立同分布的随机变量，它们具有相同的概率分布，且具有有限的均值μ和方差σ²。
令Sₙ = (X₁ + X₂ + ...+ Xₙ) / √n，则当n趋近于无穷大时，随机变量Sₙ的分布趋近于正态分布，其均值为μ，方差为σ²/n。
中心极限定理被认为是概率论和统计学的一个基本定理，它在理论和实际应用中都起到了至关重要的作用。
它的核心思想是，当一个随机变量是由大量相互独立的随机事件叠加而成时，其分布趋向于正态分布。
这意味着即使原始随机变量的分布不是正态分布，但当样本数足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。
中心极限定理的生动性在于它提供了一个如何从大量随机事件中得到可靠结论的方法。
假设我们想要研究某地区居民的身高。
如果我们直接从全体居民中随机抽取一些人，可能面临样本不足、样本不具有代表性等问题。
而中心极限定理告诉我们，只要我们能够抽取足够数量的样本，样本均值的分布将逐渐接近正态分布，从而能够提供关于全体居民身高的合理估计。
中心极限定理的全面性在于它适用于各种类型的随机变量。
无论原始分布是均匀分布、指数分布、二项分布还是任何其他形式，只要满足独立同分布的条件，中心极限定理都成立。
这使得中心极限定理成为处理实际问题的有力工具。
不论我们需要研究某种产品的质量、市场的需求量，还是其他任何具有随机性的现象，中心极限定理都可以帮助我们得到更准确的结果。
中心极限定理的指导意义在于它可以为我们提供关于样本大小的参考。
根据中心极限定理的要求，当我们想要得到一个具有一定可靠性的估计值时，我们需要确保样本数足够大。
通常，当样本数超过30时，中心极限定理的近似效果足够好；当样本数超过100时，其近似效果更加显著。
因此，在实际应用中，我们可以根据中心极限定理的指导，选择适当的样本大小，以获得可靠的结果。
