非线性延迟波动方程的两类差分格式

应用数学MATHEMATICA APPLICATA 2020,33(3):757-769无源对流扩散方程的两类修正差分格式王彩华,杜金月,张静(天津师范大学数学科学学院,天津300387)摘要：本文研究含参数ε的无源对流扩散问题的有限差分格式.首先在三点模板上将两边结点处的函数值关于中心点进行泰勒展开,反复利用原微分方程,通过“降阶”的思想将两个泰勒展式中的高阶导数项化为只含一阶导数的展式,联立展式消去一阶导数项从而得到形式上精确的差分格式.由于形式上精确的差分格式的系数含无穷项,如何保留有限项使得差分格式分别适用于求解参数较大或参数较小的对流扩散问题是本文研究的重点,为此本文分情形设计了两类差分格式:当参数较大时,因h 的幂次对差分格式系数影响更大,本文设计出“横向系列修正差分格式(HDS)”,其精度分别可达到二阶、四阶、六阶、八阶;而对小参数问题,相对于步长,1/ε的幂次对差分格式的系数影响更大,据此本文设计出“纵向系列修正差分格式(VDS)”.数值算例将横向、纵向系列格式与七种参考文献给出的差分格式进行了数值比对,验证了本文设计的横向差分格式(HDS)适用于求解ε较大时的对流扩散问题,而纵向系列修正差分格式(VDS)适用于求解ε较小时的问题,且数值解精度较参考格式更高.关键词：对流扩散方程;小参数;差分格式;泰勒展式中图分类号：O241.82AMS(2000)主题分类：65L12;65N06文献标识码：A 文章编号：201908026(2020)03-0757-131.引言对流扩散方程常出现在流体力学、弹性力学、空气动力学、等离子体动力学、磁流体动力学、海洋学等流体运动领域[1],在科学工程上有着重要的应用.当对流占优时,问题的解往往会呈现小边界层,传统数值方法求解精度较差[2,11].本文研究适宜求解含参数无源对流扩散方程的有限差分方法,数学模型如下:{−εu ′′(x )+A (x )u ′(x )=0,x ∈I =(a,b ),u (a )=α,u (b )=β,(1.1)其中0<ε≤1为扩散系数(常数),A (x )为对流项系数,在区间¯I=[a,b ]上充分光滑,α、β是常数.当ε较小时,对流扩散方程的解常常会出现边界层,且A (x )>0时边界层位于右端x =b 附近,A (x )<0时边界层位于左端x =a 附近.本文为讨论方便,设A (x )≥A min >0(本文的差分格式对A (x )<0同样适用).将区间¯I =[a,b ]进行N 等分:a =x 0,x 1,···,x N =b ,网格步长记为h =(b −a )/N .网格结点集I h ={x i =a +ih |i =0,1,···,N },其中内结点集◦I h ={x i |i =1,2,···,N −1},边∗收稿日期：2019-08-28基金项目：国家自然科学基金(11871372,11501413),天津市高等学校创新团队培养计划(TD13-5078)作者简介：王彩华,女,汉族,天津人,副教授,研究方向：偏微分方程数值解.758应用数学2020界点集Γ=Γh={x0,x N}.记结点集对应的下标集ω={i|i=1,2,···,N−1},γ={0,N},ω=ω∪γ={i|i=0,1,···,N}.本文中u(x0),u(x1),···,u(x N)为方程(1.1)在剖分结点处的精确值,简写为u0,u1,···,u N. U0,U1,···,U N为数值方法在结点处的近似值.A(x i)简记为A i,记P e(x)=A(x)h/ε,P e i= A i h/ε(i=1,2,···,N−1),µ=max1≤x≤N−1|P e i|>0.因本文在数值实验部分选取了多种差分格式进行了综合数值比对,这里先将相关参考文献中的差分格式(简记为FD1,FD2,...,FD7)及实验结果简介如下.基于模型方程(1.1),文[3]首先给出一种差分格式FD1,该格式具有二阶精度和无条件稳定收敛性,能够突破中心差分格式µ≤2的限制,实验表明此格式适合数值求解参数ε较大的对流扩散问题,但当ε减小时FD1数值精度下降.根据对流扩散过程的迎风效应,文[3]继续将FD1修改成具有二阶精度、无条件收敛的差分格式FD2;进一步地,文[3]在FD2基础上通过摄动处理,建立了具有四阶精度的差分格式FD3.实验表明差分格式FD2,FD3适合求解ε较小的问题,但当网格过密部分结点位于边界层附近时数值解精度变差.Dennis等人提出了四阶差分格式FD4[4],但数值实验表明仅当ε较大时数值精度较好.陈国谦在二阶指数型的Il’in[6]格式基础上,通过对系数进行二阶摄动修正,得到新的差分格式FD5[5],此差分格式具有四阶精度,针对无源对流扩散问题数值计算效果较好.但文[7]指出FD5求解含源问题时数值精度下降.文[7]通过对微分方程系数常数化处理与余项修正的思想,给出变系数的对流扩散方程的四阶指数型差分格式FD6[7],FD6与FD5针对无源问题数值计算效果相当,FD6亦适宜于求解含源问题.文[8]给出具有四阶精度的FOC差分格式,但此格式色散误差和耗散误差较大.基于截断误差余项修正思想,文[9]在FOC基础上给出一种有理型的四阶紧致差分格式FD7[9],实验结果表明该差分格式在ε较大时计算效果较好,却不适应小参数问题.综上可见,有些参考文献所给出的差分格式适合求解参数ε较大时的对流扩散问题,而有些格式适合求解参数ε较小时的问题.本文考虑能否在设计差分格式时即可根据ε的大小灵活选择合适的差分格式,且数值计算精度更高,为此设计了两类差分格式:一类是横向系列差分格式,适用于求解ε较大时的对流扩散问题,通过修正方法可使得该系列格式达到二阶、四阶、六阶、八阶数值精度,且第5节实验表明当参数较大时本文的高阶差分格式数值精度优于各种参考差分格式;另一类是纵向系列格式,适用于求解ε较小时的对流扩散问题,实验表明随着参数ε的减小,横向系列格式数值计算精度逐渐变差,而纵向系列格式数值精度逐渐提高,且亦优于参考格式.本文将横向系列修正差分格式简记为HDS1(同中心差分格式CDS),HDS2,HDS3,HD-S4等(HDS:Horizontal Difference Scheme);将纵向修正的系列差分格式简记为VDS1(同Il’in格式),VDS2,VDS3等(VDS:Vertical Difference Scheme).2.横向与纵向系列修正差分格式的设计思路设函数u(x)充分光滑,当i=1,2,···,N−1时,将u i+1、u i−1在点x i处进行Taylor展开u(x i+1)=u(x i)+u′(x i)h+u′′(x i)h22!+u(3)(x i)h33!+···,(2.1)u(x i−1)=u(x i)−u′(x i)h+u′′(x i)h22!−u(3)(x i)h33!+···,(2.2)其中u(k)(x i)=d k u(x)d x k|x=x i(k=0,1,2,···).由方程(1.1)知u′′(x)=A(x)εu′(x),反复利用此式,可对函数u(x)的高阶导数降阶.事实上第3期王彩华等：无源对流扩散方程的两类修正差分格式759如设u(n)(x)=q n(x)u′(x),(2.3)显然q1(x)=1.对上式两边求导,有u(n+1)(x)=q′n (x)u′(x)+q n(x)u′′(x)=(A(x)εq n(x)+q′n(x))u′(x),(2.4)得到递推公式q n+1(x)=A(x)εq n(x)+q′n(x),(2.5)依据上面递推公式,可列出u(x)的高阶导数降阶组式如下u′′(x)=q2(x)u′(x)=A(x)εu′(x),u(3)(x)=q3(x)u′(x)=(A(x)2ε2+A′(x)ε)u′(x),u(4)(x)=q4(x)u′(x)=(A(x)3ε3+3A(x)A′(x)ε2+A′′(x)ε)u′(x),u(5)(x)=q5(x)u′(x)=(A(x)4ε4+6A(x)2A′(x)ε3+3(A′(x))2ε2+4A(x)A′′(x)ε2+A(3)(x)ε)u′(x),u(6)(x)=q6(x)u′(x)=(A(x)5ε5+10A(x)3A′(x)ε4+15A(x)(A′(x))2ε3+10A(x)2A′′(x)ε3+5A(x)A(3)(x)ε2+10A′(x)A′′(x)ε2+A(4)(x)ε)u′(x),······(2.6)横向系列差分格式的设计思路:当ε较大时(例如为1时),将上面降阶组式(2.6)代入泰勒展式(2.1),(2.2),可见,(2.1),(2.2)中h幂次保留几项将对数值精度影响较大.如式(2.1),(2.2)只保留到u′′(x)项,且将组式(2.6)的u′′(x)=A(x)εu′(x)的表达式代入到式(2.1),(2.2),两式联立消去u′(x)即可得到二阶差分格式HDS1(同经典的中心差分格式CDS);在HDS1基础上继续修正, (2.1),(2.2)保留到u(3)(x),u(4)(x),组式(2.6)相应的降阶式子代入式(2.1),(2.2),消去u′(x),则得到四阶差分格式HDS2;继续修正,展式(2.1),(2.2)保留到u(5)(x),u(6)(x)可得到六阶差分格式HDS3;展式(2.1),(2.2)保留到u(7)(x),u(8)(x),可得到八阶差分格式HDS4.这一过程可以继续下去,本文仅详细给出了HDS1-HDS4的差分格式.纵向系列差分格式是在文[13]基础上的改进,设计思路为:当ε较小时(ε<<1),由降阶组式(2.6)可见ε的负指数幂次如何保留对数值格式精度影响远超过h的作用,此时上面的横向差分格式设计不适宜求解小参数问题,本文设计了纵向差分格式.如组式(2.6)仅保留纵向第一列关于1/ε指数幂次最大的项,舍去其他项,将其代入(2.1),(2.2),得到的关于u′(x)的系数是收敛级数,联立(2.1),(2.2)消去u′(x)即得到的纵向差分格式VDS1(同Il’in格式);在VDS1基础上继续修正,保留1/ε指数幂次下一项即次大的项,整理可得差分格式VDS2;同理进一步修正可得VDS3.这一过程可以继续下去,本文仅给出了VDS1-VDS3的差分格式.在纵向系列差分格式设计中,组式(2.6)中因为对u′′(x),u(3)(x)...都取了部分项作为近似代入(2.1),(2.2）,这与常见差分格式构造思路不同，不能也不必进行关于h的截断误差分析.接下来具体给出横向系列差分格式与纵向系列差分格式.3.横向系列修正差分格式为简便记u(k)(x i)为u(k)i,联立式(2.1)和(2.2),且由降阶组式(2.6)可知,当i=1,2,···,N−1时u′i =u i+1−u i−12h−(u(3)ih23!+u(5)ih45!+···)=δx u i−∞∑k=1u(2k+1)ih2k(2k+1)!=δx u i−∞∑k=1q2k+1(x i)h2k(2k+1)!u′i,(3.1)760应用数学2020u′′i =u i+1−2u i+u i−1h2−2(u(4)ih24!+u(6)ih46!+···)=δ2xu i−2∞∑k=1u(2k+2)ih2k(2k+2)!=δ2xu i−2∞∑k=1q2k+2(x i)h2k(2k+2)!u′i,(3.2)其中一阶和二阶差分算子δx u i=u i+1−u i−12h,δ2xu i=u i+1−2u i+u i−1h2.当ε不是很小(如ε=1)时,式(3.1)、(3.2)右侧的无穷级数中如果取有限项近似u′i ,u′′i,并将降阶组式(2.6)相应地代入(3.1)、(3.2),即可得到一系列横向差分格式,其截断误差阶随着级数中保留的项增多而增大.特别地,如果式(3.1)、(3.2)右侧仅取δx u i,δ2x u i近似u′i,u′′i,得到的差分格式HDS1即是经典的中心差分格式(CDS).如果(3.1)、(3.2)中保留级数中k=1,2,···,m 的项,即截断k>m以后的项,整理后得到的一系列修正差分格式记作HDS2,HDS3,HDS4等.Ⅰ横向差分格式HDS1(同中心差分格式CDS)由带Lagrange余项的Taylor展式知式(3.1)与式(3.2)可写成如下式子u′i =u i+1−u i−12h−u(3)(ξi1)h26=δx u i−u(3)(ξi1)h26,(3.3)u′′i =u i+1−2u i+u i−1h2−2u(4)(ξi2)h24!=δ2xu i−u(4)(ξi2)h212,(3.4)其中ξi1,ξi2∈(x i−1,x i+1).将式(3.3)、(3.4)代入到式(1.1)中,并整理得L I h u i=−εδ2xu i+A iδx u i=R Ii(3.5)其中R Ii =−εu(4)(ξi2)h212+A iu(3)(ξi1)h26,忽略(3.5)式右端小量,即去掉截断误差项,并用近似解U i代替u i,可得差分格式{L Ih U i=−εδ2xU i+A iδx U i=0,i=1,2,···,N−1,U0=α,U N=β.(3.6)这就是我们所熟知的二阶中心差分格式.记区间[a,b]上任意连续的函数为v(x),I h上的网格函数为V={V i|i∈ω},定义范数∥v∥[c,d],∞=maxc≤x≤d|v(x)|,∥V∥I h,∞=maxi∈ω|V i|,∥V∥◦I h,∞=maxi∈ω|V i|,∥v∥[a,b],∞简记为∥v∥∞.定理3.1设U i是差分格式(3.6)的解,u i是微分方程(1.1)的解在结点处的精确值,P e i= A i h/ε(i=1,2,···,N−1),当µ=max1≤i≤N−1|P e i|<2时,有∥U i−u i∥I h,∞≤(ε12u(4)(x)∞+16A(x)u(3)(x)∞)h2.(3.7)参考文[12]应用极值原理该定理易证,限于篇幅,证明过程这里省略.注3.1对于定理3.1,把组式(2.6)中关于u(3)(x),u(4)(x)的相应降阶式代入(3.7),有∥U i−u i∥I h,∞≤C1∥u′∥∞h2ε2,(3.8)其中C1=b−a12A min(A3+3εAA′+ε2A′′∞+2A3+εAA′∞).第3期王彩华等：无源对流扩散方程的两类修正差分格式761可见当ε不是非常小时(如ε=1)中心差分格式有二阶精度;当ε→0时,有C1→(b−a)4A min∥A3∥∞.但由于奇异扰动问题的解∥u′∥∞一般随着参数ε减小而增大,且h2ε2很大,从误差估计式(3.8)可见CDS不适合于求解参数ε非常小的对流扩散问题.Ⅱ差分格式HDS2观察式(3.1),(3.2),由带Lagrange余项的Taylor展式知u′i =δx u i−q3(x i)u′i6h2−q5(ξi3)u′i(ξi3)120h4,(3.9)u′′i =δ2xu i−q4(x i)u′i12h2−q6(ξi4)u′i(ξi4)360h4,(3.10)其中ξi3,ξi4∈(x i−1,x i+1).式(3.9)整理可得u′i =6δx u i6+q3(x i)h2−q5(ξi3)u′(ξi3)20(6+q3(x i)h2)h4.(3.11)记一阶导数的四阶差分算子为H IIx u i=6δx u i6+q3(x i)h2.(3.12)将式(3.11)代入式(3.10),并整理得u′′i =δ2xu i−q4(x i)h212H IIxu i+(q5(ξi3)q4(x i)u′(ξi3)h21440+240q3(x i)h2−q6(ξi4)u′(ξi4)360)h4.(3.13)记二阶导数的四阶差分算子H IIxx u i=δ2xu i−q4(x i)h212H IIxu i.(3.14)将式(3.11),(3.13)代入到式(1.1)中,并整理,得L II h u i=−εH IIxxu i+A i H IIxu i=R IIi,(3.15)其中R IIi =ε(q5(ξi3)q4(x i)u′(ξi3)h21440+240q3(x i)h2−q6(ξi4)u′(ξi4)360)h4+A iq5(ξi3)u′(ξi3)120+20q3(x i)h2h4.(3.16)忽略(3.15)右端四阶小量,并用近似解U i代替上式的u i,可得四阶差分格式HDS2{L IIh U i=−εH IIxxU i+A i H IIxU i=0,i=1,2,···,N,U0=α,U N=β.(3.17)把上面的差分格式写成三点式,即(3.17)的第一个式子可写为L II h U i=−P i U i−1+2εh2U i−Q i U i+1=g i,(3.18)其中P i=εh2+ηiA i2h,(3.19)Q i=εh2−ηi A i2h,(3.20)ηi=12A i+h2εq4(x i)12A i+2h2A i q3(x i),(3.21)如取ηi=1时,HDS2格式则成为中心差分格式.当HDS2格式满足极值原理时,达到四阶精度.Ⅲ横向差分格式HDS3式(3.1),(3.2)Taylor展式如果比HDS2格式多保留一项,即取u′i =δx u i−q3(x i)u′i6h2−q5(x i)u′i120h4−q7(ξi5)u′(ξi5)5040h6,(3.22)762应用数学2020u′′i =δ2xu i−q4(x i)u′i12h2−q6(x i)u′i360h4−q8(ξi6)u′(ξi6)20160h6,(3.23)其中ξi5,ξi6∈(x i−1,x i+1).由(3.22)整理可得u′i =H IIIxu i−q7(ξi5)u′(ξi5)42(q5(x i)h4+20q3(x i)h2+120)h6,(3.24)其中一阶导数的六阶差分算子H IIIx u i=120δx u iq5(x i)h4+20q3(x i)h2+120.(3.25)同样由(3.23)推导可得u′′i =H IIIxxu i+((q4(x i)h212+q6(x i)h4360)q7(ξi5)u′(ξi5)42(q5(x i)h4+20q3(x i)h2+120)−q8(ξi6)u′(ξi6)20160)h6,(3.26)其中二阶导数的六阶差分算子H IIIxx u i=δ2xu i−(q4(x i)h212+q6(x i)h4360)H IIIxu i.(3.27)将式(3.24),(3.26)代入到式(1.1),并整理得−εH III xx u i+A i H III x u i=R III i,(3.28)其中R IIIi =ε((q4(x i)h212+q6(x i)h4360)q7(ξi5)u′(ξi5)42(q5(x i)h4+20q3(x i)h2+120)−q8(ξi6)u′(ξi6)20160)h6 +A iq7(ξi5)u′(ξi5)42(q5(x i)h4+20q3(x i)h2+120)h6.(3.29)忽略六阶小量,并用近似解U i代替上式的u i,可得六阶差分格式HDS3{L IIIh U i=−εH IIIxxU i+A i H IIIxU i=0,i=1,2,···,N−1,U0=α,U N=β.(3.30)Ⅳ横向差分格式HDS4保留式(3.1),(3.2)中级数的前三项,由拉格朗日余项知u′i =δx u i−q3(x i)u′i6h2−q5(x i)u′i120h4−q7(x i)h6u′i5040−q9(ξi7)h8u′(ξi7)362880,(3.31)u′′i =δ2xu i−q4(x i)u′i12h2−q6(x i)u′i360h4−q8(x i)u′i40320h6−q10(ξi8)u′(ξi8)1814400h8,(3.32)其中ξi7,ξi8∈(x i−1,x i+1).同前面格式推导过程一样地,整理式(3.31)可得u′i =H IVxu i−q9(ξi7)u′(ξi7)72(q7(x i)h6+42q5(x i)h4+840q3(x i)h2+5040)h8,(3.33)其中一阶导数的八阶差分算子为H IVx u i=5040δx u iq7(x i)h6+42q5(x i)h4+840q3(x i)h2+5040.(3.34)将式(3.33)代入(3.32),并记二阶导数的八阶差分算子为H IVxx u i=δ2xu i−(q4(x i)h212+q6(x i)h4360+q8(x i)h640320)H IVxu i.(3.35)第3期王彩华等：无源对流扩散方程的两类修正差分格式763可得u ′′i =H IVxx u i+((q 4(x i )h 212+q 6(x i )h 4360+q 8(x i )h 640320)q 9(ξi 7)u ′(ξi 7)72(q 7(x i )h 6+42q 5(x i )h 4+840q 3(x i )h 2+5040)−q 10(ξi 8)u ′(ξi 8)1814400)h 8.(3.36)将式(3.33),(3.36)代入到式(1.1)中,整理得−εH IV xx u i +A i H IV x u i =R IVi ,(3.37)其中R IVi =ε((q 4(x i )h 212+q 6(x i )h 4360+q 8(x i )h 640320)q 9(ξi 7)u ′(ξi 7)72(q 7(x i )h 6+42q 5(x i )h 4+840q 3(x i )h 2+5040)−q 10(ξi 8)u ′(ξi 8)1814400)h 8+A i q 9(ξi 7)u ′(ξi 7)72(q 7(x i )h 6+42q 5(x i )h 4+840q 3(x i )h 2+5040)h 8.(3.38)忽略(3.37)式右端小量,并用近似解U i 代替上式的u i ,可得差分格式{L IV h U i =−εH IV xx U i +A i H IVx U i =0,i =1,2,···,N −1,U 0=α,U N =β,(3.39)此即横向八阶HDS4格式.为数值实验编程方便,系列横向差分格式均可整理成三点形式.4.纵向系列修正差分格式由式(2.1),(2.2)及组式(2.6)得u i +1=u i +u i ′[q 1i h +q 2i h 22!+q 3ih 33!+···],(4.1)u i −1=u i −u ′i [q 1i h −q 2i h 22!+q 3ih 33!−···],(4.2)其中q n (x i )简写成q ni ,i =1,2,···,N −1,记S 1=q 1h +q 2h 22!+q 3h 33!+···,(4.3)S 2=q 1h −q 2h 22!+q 3h 33!−···.(4.4)(4.1),(4.2)式可以简写为u i +1=u i +u i ′S 1i ,(4.5)u i −1=u i −u i ′S 2i ,(4.6)其中S 1i =S 1(x i ),S 2i =S 2(x i ).上两式消去u i ′,即得到在点x i 处的精确差分方程S 1i u i −1+S 2i u i +1=(S 1i +S 2i )u i ,i =1,2,···,N −1.(4.7)显然要得到高精度的差分格式,目前我们要做的就是尽量准确地计算S 1i ,S 2i 的值.Ⅰ纵向差分格式VDS1对于式(4.3)和式(4.4)中的q k i 如何近似,与横向差分格式不同,当参数ε很小时,观察降阶组式(2.6)中的q k i (k =2,3,···),显然关于1/ε的幂次最大的项对于近似q k i 更重要,如保留每一个式子的第一项即组式(2.6)的第一列含(1/ε)(k −1)的项近似q k i 并省略其余项，得到S 1i ≈˜S I 1i =h +A i εh 22!+(A i ε)2h 33!+···=εA i ∞∑k =1P e i k k !=εA i(e P e i −1),(4.8)764应用数学2020S 2i ≈˜S I 2i =h −A i εh 22!+(A i ε)2h 33!−···=−εA i ∞∑k =1(−P e i )kk !=εA i(1−e −P e i ).(4.9)将式(4.8),(4.9)代入式(4.7)式有˜S I 1i U i −1+˜S I 2i U i +1=(˜S I 1i +˜S I 2i )U i .(4.10)将此差分格式记为VDS1,该格式与Il’in [6]格式相同.在进行数值计算时,小参数情形P e (x )=A (x )hε数过大,计算机计算e P e (x )值会出现上溢,为解决该问题将式(4.10)两端同乘以A i εe −P e i,接下来的格式VDS2与VDS3可进行同样处理.Ⅱ纵向差分格式VDS2由降阶组式(2.6)观察序列q k (k =3,4,···),纵向看,可见q k 的前两列通项公式为:(A (x )ε)k −1和(k −2)(k −1)2(A (x )ε)k −3A ′(x )ε,省略其余项保留这两列作为q k (k ≥4)的近似,与q 1,q 2,q 3一起代入式(4.3),(4.4),有S 1i ≈˜S II 1i =˜S I 1i +A ′i ε∞∑k =3(k −2)(k −1)2(A i ε)k −3h k k !=˜S I 1i +A ′i 2A i e P e i h 2(−2e −P e iP e i 2+2P e i 2−2P e i+1),(4.11)S 2i ≈˜S II 2i =˜S I 2i+A ′i ε∞∑k =3(−1)k −1(k −2)(k −1)2(A i ε)k −3h k k !=˜S I 2i +A ′i 2A i h 2(−2e −P e iP e i 2+2P e i 2−2e −P e i P e i−e −P e i ).(4.12)将式(4.11),(4.12)代入(4.7)式有˜S II 1i U i −1+˜S II 2i U i +1=(˜S II 1i +˜S II 2i )U i .(4.13)此格式记为VDS2.Ⅲ纵向差分格式VDS3观察组式(2.6)中q k (k =1,2,···),在VDS2基础上,如保留分母中关于ε相同幂次的第三列和第四列,即保留q k 的前四列,其通项分别为(A iε)k −1,k =1,2···,(4.14)(k −2)(k −1)2(A iε)k −3A ′i ε,k =3,4···,(4.15)(k −3)(k −2)(k −1)6(A iε)k −4A ′′i ε,k =4,5···,(4.16)(k −4)(k −3)(k −2)(k −1)8(A i ε)k −5(A ′iε)2,k =5,6···.(4.17)上面四个式子代入(4.3),(4.4)有S 1i ≈˜S III 1i=˜S II 1i +A ′′i ε∞∑k =4(k −3)(k −2)(k −1)6(A i ε)k −4h k k !+(A ′i ε)2∞∑k =5(k −4)(k −3)(k −2)(k −1)8(A i ε)k −5第3期王彩华等：无源对流扩散方程的两类修正差分格式765=˜S II 1i +A ′′i A i h 316e P e i (6e −P e i P e i 3−6P e i 3+6P e i 2−3P e i +1)+18(A ′i ε)2h 4e P e i (−24e −P e i P e i 4+24P e i 4−24P e i 3+12P e i 2−4P e i+1),(4.18)S 2i ≈˜S III 2i =˜S II 2i +A ′′i ε∞∑k =4(−1)k −1(k −3)(k −2)(k −1)6(A i ε)k −4h k k !+(A ′i ε)2∞∑k =5(−1)k −1(k −4)(k −3)(k −2)(k −1)8(A i ε)k −5=˜S II 2i +A ′′i A i h 316(6e −P e i P e i 3−6P e i 3+6e −P e i P e i 2+3e −P e iP e i+e −P e i )+18(A ′i ε)2h 4(−24e −P e i P e i 4+24P e i 4−24e −P e i P e i 3−12e −P e i P e i 2−4e −P e iP e i−e −P e i ).(4.19)将式(4.18),(4.19)代入式(4.7)式得˜S III 1i U i −1+˜S III 2i U i +1=(˜S III 1i +˜S III 2i )U i .(4.20)记此差分格式为VDS3.因此时差分格式的系数均是基于降阶组式(2.6)纵向保留,进行关于h 的误差阶分析无意义,而需进行关于ε的误差分析,这是当前研究的难点,本文亦尚在研究中.5.数值实验例5.1对流扩散问题{−εu ′′+(x +εx )u ′=0,0<x <1,u (0)=1,u (1)=0,(5.1)精确解u (x )=1−e x 2−12ε1−e −12ε.0.20.40.60.81.0x0.20.40.60.81.0u 图5.1参数不同时算例5.1的精确解图图5.1绘制了该问题精确解图像,可见当参数ε很小时,解出现右边界层.记E h 表示步长为h 的最大误差,收敛率rate =log 2(E 2hE h).以下表格中x E m 表示x m .从下表5.1可见,当ε=1时不同数值方法其数值精度从低到高约可排序为:FD1,FD2,FD4,VDS1,VDS2,CDS,FD3,FD6,VDS3,FD5,HDS2,FD7,HDS3,HDS4.横向修正的差分格式的数值结果是最好的.因为计算机双精度数机器精度约为10−16,数值结果的误差越小时受到舍入误差影响越大,造成收敛率与理论分析不完全一致.因本文纵向系列修正差分格式是针对ε较小时设计的格式,数值结果也验证了横向修正差分格式更适宜求解ε较大时的问题.766应用数学2020表5.1算例5.1,当ε=1时最大绝对误差及收敛阶比较Error/h1/641/1281/2561/5121/10241/2048FD19.77E-05 2.81E-057.94E-06 2.22E-06 6.14E-07 1.68E-07rate* 1.8 1.82 1.84 1.85 1.87FD29.29E-05 2.69E-057.63E-06 2.14E-06 5.94E-07 1.63E-07rate* 1.79 1.81 1.83 1.85 1.86FD3 6.23E-06 1.57E-06 3.93E-079.83E-08 2.46E-08 6.15E-09rate* 1.99 2.00 2.00 2.00 2.00FD4 1.45E-04 4.14E-05 1.16E-05 3.23E-068.87E-07 2.42E-07rate* 1.81 1.83 1.85 1.86 1.87FD5 3.35E-068.43E-07 2.11E-07 5.29E-08 1.32E-08 3.31E-09rate* 1.99 2.00 2.00 2.00 2.00FD6 6.12E-06 1.54E-06 3.86E-079.66E-08 2.42E-08 6.05E-09rate* 1.99 2.00 2.00 2.00 2.00FD7 1.62E-09 1.01E-10 6.28E-12 4.54E-13 3.01E-13 3.37E-13rate* 4.00 4.01 3.790.59-0.16CDS 1.33E-05 3.32E-068.31E-07 2.08E-07 5.19E-08 1.30E-08rate* 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00HDS2 1.23E-097.68E-11 4.87E-12 5.95E-13 1.48E-12 3.94E-12rate* 4.00 3.98 3.03-1.32-1.41HDS3 5.22E-14 1.68E-14 6.77E-14 3.61E-14 2.98E-13 5.16E-12rate* 1.64-2.010.91-3.05-4.11HDS4 4.44E-15 1.31E-14 3.73E-14 3.61E-14 2.98E-13 5.16E-12rate*-1.56-1.510.05-3.05-4.11VDS1 6.25E-05 1.81E-05 5.15E-06 1.45E-06 4.01E-07 1.10E-07VDS2 1.27E-04 3.67E-05 1.04E-05 2.93E-068.12E-07 2.23E-07VDS3 4.35E-06 1.10E-06 2.75E-07 6.89E-08 1.72E-08 4.31E-09当参数ε=0.01时,表5.2中数值方法的精度从低到高约为:FD1,CDS,FD2,VDS1,FD3, FD7,HDS2,FD4,VDS2,FD6,FD5,HDS3,HDS4,VDS3.但与表5.1比较,随着参数ε的减小,横向差分格式的计算精度逐渐下降,而纵向差分格式计算精度逐渐提高,且此时本文的HDS3, HDS4,VDS3格式计算精度优于文献的七种参考格式.各种差分格式的计算收敛阶与理论分析基本吻合.表5.2算例5.1,当ε=0.01最大绝对误差及收敛阶比较Error/h1/641/1281/2561/5121/10241/2048FD1 4.17E-029.76E-03 2.39E-03 5.99E-04 1.49E-04 3.73E-05rate* 2.09 2.03 2.00 2.00 2.00FD2 2.07E-027.07E-03 2.05E-03 5.56E-04 1.44E-04 3.66E-05rate* 1.55 1.79 1.88 1.95 1.97FD37.53E-037.43E-04 5.72E-05 4.02E-06 2.65E-07 1.70E-08rate* 3.34 3.70 3.83 3.92 3.96FD4 3.03E-03 1.89E-04 1.16E-057.34E-07 4.63E-08 3.01E-09rate* 4.00 4.02 3.98 3.99 3.94FD5 2.47E-05 1.77E-06 1.13E-077.20E-09 4.51E-10 2.81E-11rate* 3.80 3.96 3.98 4.00 4.00FD6 2.74E-05 1.95E-06 1.25E-077.94E-09 4.97E-10 3.11E-11rate* 3.81 3.97 3.89 4.00 3.99第3期王彩华等：无源对流扩散方程的两类修正差分格式767FD78.66E-02 1.55E-03 5.89E-05 3.23E-06 1.94E-07 1.20E-08rate* 5.80 4.72 4.19 4.06 4.01CDS8.55E-02 1.95E-02 4.64E-03 1.16E-03 2.90E-047.24E-05rate* 2.14 2.07 2.00 2.00 2.00HDS2 1.09E-027.58E-04 4.81E-05 3.06E-06 1.91E-07 1.20E-08rate* 3.85 3.98 3.97 4.00 4.00HDS37.45E-04 1.34E-05 2.12E-07 3.38E-09 5.25E-11 1.01E-12rate* 5.80 5.98 5.97 6.00 5.70HDS4 2.99E-05 1.35E-07 5.35E-10 2.23E-12 2.98E-13 1.30E-12rate*7.797.987.90 2.90-2.13VDS1 6.43E-04 1.80E-04 4.61E-05 1.17E-05 2.92E-067.31E-07VDS2 3.25E-06 2.56E-07 2.38E-08 3.37E-09 6.77E-10 1.59E-10VDS3 1.06E-08 2.09E-10 4.82E-12 1.17E-13 1.13E-13 1.57E-13当参数ε=0.001时,表5.3可见各种方法的数值精度从低到高排列约为:CDS,FD1,FD4, FD7,HDS2,FD2,FD3,HDS3,FD6,FD5,VDS1,HDS4,VDS2,VDS3.与表5.1,表5.2中数据比较,随着参数ε减小,与差分格式设计初衷吻合,此时横向系列格式的计算精度变差,而纵向系列修正差分格式的数值精度明显优于横向系列格式,亦优于参考格式的计算精度,说明纵向格式更适宜求解参数ε较小的对流扩散问题.表5.3算例5.1,当ε=0.001最大绝对误差及收敛阶比较Error/h1/641/1281/2561/5121/10241/2048FD1 5.91E-01 3.73E-01 1.75E-01 6.21E-02 1.59E-02 3.74E-03rate*0.67 1.07 1.50 1.96 2.09FD2 6.80E-04 6.08E-03 2.24E-02 2.44E-02 1.04E-02 3.07E-03rate* 3.16-1.88-0.12 1.23 1.76FD3 1.85E-07 3.52E-04 6.93E-02 1.36E-02 1.69E-03 1.35E-04rate*-10.89-7.62 2.35 3.01 3.65FD4 4.61E-01 2.16E-01 5.50E-02 6.91E-03 4.90E-04 2.94E-05rate* 1.09 1.98 2.99 3.82 4.06FD5 3.46E-08 6.93E-06 1.87E-05 5.11E-06 4.53E-07 2.88E-08rate*-7.65-1.43 1.87 3.50 3.98FD6 3.65E-087.10E-06 1.89E-05 5.17E-06 4.57E-07 2.91E-08rate*-7.60-1.42 1.87 3.50 3.98FD78.93E-018.07E-017.17E-01 3.02E-01 5.38E-03 1.60E-04rate*0.150.17 1.25 5.81 5.07CDS7.71E-01 5.92E-01 3.42E-01 1.30E-01 3.27E-027.50E-03rate*0.380.79 1.40 1.99 2.13HDS2 5.98E-01 3.60E-01 1.32E-01 2.25E-02 1.85E-03 1.16E-04rate*0.73 1.45 2.55 3.61 3.99HDS3 4.59E-01 2.06E-01 3.95E-02 2.21E-03 4.74E-057.47E-07rate* 1.15 2.38 4.16 5.54 5.99HDS4 3.47E-01 1.07E-018.38E-03 1.26E-04 6.78E-07 2.67E-09rate* 1.70 3.68 6.057.547.99VDS1 2.07E-089.57E-068.18E-058.30E-05 2.88E-057.28E-06VDS2 1.01E-09 1.21E-07 2.54E-07 6.38E-08 5.55E-09 3.61E-10VDS3 3.67E-11 1.05E-09 5.31E-10 3.28E-117.03E-13 3.91E-14表5.4可见各种数值方法计算精度从低到高:FD1,FD4,FD7,CDS,HDS2,HDS3,HDS4,768应用数学2020FD2,FD3,FD5,FD6,VDS1,VDS2,VDS3,参数变得更小时,文[3-9]中的FD1,FD2,FD3, FD4,FD7差分格式数值精度亦很低,而FD5,FD6数值精度较高.本文设计的横向差分格式数值精度也逐渐变差,但纵向修正差分格式VSD1,VSD2,VSD3数值精度越来越高,且优于参考格式计算精度,说明纵向修正差分格式更适宜于求解小参数奇异扰动问题.表5.4算例5.1,当ε=0.0001最大绝对误差及收敛阶比较Error/h1/641/1281/2561/5121/10241/2048FD19.35E-018.95E-018.12E-01 6.64E-01 4.51E-01 2.32E-01rate*0.060.140.290.560.96FD2 1.09E-07 1.60E-06 2.27E-05 2.95E-04 3.11E-03 1.67E-02rate*-3.88-3.83-3.70-3.40-2.43FD3 2.22E-168.88E-16 1.67E-15 3.35E-09 5.69E-05 4.22E-01rate*-2.00-0.91-20.94-14.05-12.86FD49.26E-018.57E-017.35E-01 5.41E-01 2.94E-019.20E-02rate*0.110.220.440.88 1.66FD5 4.44E-16 2.66E-15 2.66E-15 1.47E-10 2.28E-07 1.88E-06rate*-2.890.00-15.75-10.60-3.04FD6 6.66E-16 1.44E-15 1.78E-15 1.49E-10 2.29E-07 1.88E-06rate*-1.12-0.30-16.35-10.59-3.04FD7 1.069.77E-019.56E-019.14E-018.39E-017.39e-01rate*0.120.030.060.120.18CDS9.75E-019.50E-019.02E-018.14E-01 6.60E-01 4.26E-01rate*0.040.070.150.300.63HDS29.50E-019.02E-018.15E-01 6.64E-01 4.42E-01 1.97E-01rate*0.070.150.290.59 1.17HDS39.26E-018.57E-017.35E-01 5.39E-01 2.86E-017.64E-02rate*0.110.220.450.91 1.90HDS49.02E-018.14E-01 6.62E-01 4.34E-01 1.75E-01 2.30E-02rate*0.150.300.61 1.31 2.93VDS1 4.44E-16 3.33E-167.77E-16 5.80E-11 2.19E-07 5.48E-06VDS2 2.22E-16 2.22E-16 1.78E-15 4.96E-13 4.51E-10 2.70E-09VDS3 2.22E-16 1.44E-15 1.55E-15 3.44E-15 6.29E-138.83E-13小结:实验结果与差分格式设计目的吻合,横向系列修正差分格式适合于求解ε较大时的对流扩散问题,而当ε较小时纵向系列修正差分格式数值精度更好.且本文设计的差分格式的数值精度优于文[3-9]中的差分格式的计算结果.我们亦针对另外两个算例进行了实验,得到了类似的结论,限于文章篇幅省略.参考文献：[1]PHANEENDRA K,RAKMAIAH S,REDDY M C K.Numerical treatment of singular perturbationproblems exhibiting dual boundary layers[J].Ain Shams Engineering Journal,2015,6:1121-1127.[2]LIU CheinShan.Solving singular convection-diffusion equation by exponentially-fitted trial functionsand adjoint Trefftz test functions[J].Journal of King Saud University-Science,2018,30:100-105.[3]陈国谦,陈矛章.基于中心差分的对流扩散方程四阶紧凑格式[J].计算数学,1994,11(4):413-424.[4]DENNIS S C R,HUDSON J pact h4finite-difference approximations to operators of Navier-Stokes type[J].Journal of Computational 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Methods[M].Berlin:Springer-Verlag,2009.[13]杨雪源,王彩华,齐海涛,王同科.对流扩散方程的一种紧致差分方法[J].水动力学研究与进展,2008,24(4):426-437.Two Kinds of Modified Difference Schemes for Convective Diffusion Equations Without Source TermWANG Caihua,DU Jinyue,ZHANG Jing(School of Mathematical Science,Tianjin Normal University,Tianjin300387,China)Abstract:In this paper,equidistance difference schemes for the convection diffusion equation without source term are studied.The difference schemes are designed on the three-point template.After expanding the function values at both nodes about the center point by Taylor’s expansion,two Taylor expansions are obtained.While the original differential equation is used repeatedly,the higher derivative terms in two Taylor expansions are transformed into expansions containing only thefirst-order derivative term by means of the idea of“reduced order”.Then thefirst-order derivative can be eliminated combining the two Taylor expansions and a formally accurate difference scheme can be obtained.Since the coefficients of the difference scheme are composed of infinite series,how to preservefinite terms to make the difference scheme suitable for problems with large or small parameters is the focus of this paper. We design two kinds of difference schemes in different situations:when the parameter is large,the power of h has a greater impact on the difference scheme coefficient,so we design a kind of“horizontal series modified difference schemes(HDS)”,whose accuracy can reach the second order,the fourth order,the sixth order,the eighth order respectively.However,when the parameterεis very small,the power of1/εhas a greater impact on the difference scheme coefficient than the step size,therefore we design a kind of“vertical series modified difference schemes(VDS)”.One numerical example is selected to carry on the experiment,and the numerical comparisons are made among the HDS,VDS and the seven difference schemes given in the references.Results show that the horizontal difference schemes(HDS)designed in this paper are suitable for the case whereεis larger,and the vertical series modified difference schemes (VDS)are suitable for the case whereεis very small.And it is also showed that the accuracy of our method is better than that of the difference schemes in references.Key words:Convection diffusion equation;Small parameter;Difference scheme;Taylor expansion。

模型方程差分格式（2）高阶格式没有表现出比5点格式或9点格式更好的优点。

5点格式最常用。

B.C.,99×A is very sparseCan be solvedu x p yu v x u u t u 21∇+∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂νρ特征线的交叉间断解本质区别：非线性波动方程的特征线会相交，而线性波动方程的特征线不会相交线性方程a a图非线性方程，波动方程非线性波动方程守恒形式其中，Weak solution（a）（b）故，（b）（微分方程）的任何连续可微解（古典解）都满足（a ）（弱解积分关系式），因而也是弱解；反之，任何连续可微的弱解也是古典解。

因此，在连续可微的区域G上，古典解和弱解是完全一致的，但弱解允许在一些线段（或点）上间断。

间断线上的关系式由（a ）（弱解积分关系式）得：＝（c）故，若分片连续可微函数U（x，t）是微分方程（b）的弱解，则，它一定在连续区满足微分方程（b），而在间断线x=x（t）上满足间断关系式（c）；反之，若分片连续可微函数U（x，t）在连续区满足微分方程（b），而在间断线上满足关系式（c），则它一定满足（a），即它是弱解。

弱解的两种定义：1、满足积分守恒型方程（a）2、在连续区满足微分方程（b），且在间断处满足间断关系（c）弱解的不唯一性中的每一个函数都是初值问题的弱解。

间断点处间断点满足：熵条件：熵条件满足熵条件的弱解是唯一的but即，在具有间断的问题中，1、只有1阶精度的差分格式，解才具有单调性；高于1解精度的差分格式，解不具有单调性。

2、单调性的解，具有很强的耗散性。

x A x F A j Δ ⎝⎛−⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+21？？前差前差See from Fig. 4.37 and 4.36, under the same condition与Rusanov相似（精度相同，三阶）非线性项()12+n u展开代入4.175格式无耗散，震荡较剧烈在差分方程（4.176）右端加不改变差分方程的精度①Let②有粘性项的Burgers方程仅比无粘性项的Burgers方程多出了u对x的二阶导数，在无粘性的Burgers方程的差分方程中添加u对x二阶导数的中心差分格式，即得到了粘性Burgers方程的差分方程。

非线性偏微分方程偏微分方程数值方法非线性偏微分方程偏微分方程数值方法非线性偏微分方程定义:各阶微分项有次数高于一的，该微分方程即为非线性微分方程(一)主要研究内容非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程均被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题。

利用非线性偏微分方程描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞的影响，因而更能准确的反映实际。

本方向主要研究非线性偏微分方程、H-半变分不等式、最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用。

1.非线性偏微分方程的研究:我们主要研究偏微分方程解的存在唯一性(和多解性)及稳定性;偏微分方程的初值问题、初边值问题的整体解(包括周期解和概周期解)的存在性及渐近性;平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以及平衡解的稳定性问题;非线性方程的数值解。

2.H-半变分不等式的研究:建立具有极大单调算子扰动的多值(S)型和伪单调型映象的广义度理论，广义不动点指标理论和具有非凸、不可微泛函的非线性发展型H-半变分不等式理论，由此来研究含间断项的非线性偏微分方程。

3.最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用:主要研究与电力生产有关的控制系统的理论和应用。

首先提出了对Banach空间中抽象非线性发展方程所描述的最优控制系统的研究。

引进非光滑分析，研究最优控制系统的微分方程，利用变分不等式理论研究多值问题、数值计算等，所获理论成果应用于电力系统的许多最优控制问题(如:电力系统励磁调节器传递函数的辨识、牛顿最优潮流的数学模型等)。

(二)研究方向的特色1.变分不等式理论与能量泛函的凸性密切相关，由于现代科学技术的需要，特别是研究自由边界和固体力学问题的需要，传统的方法往往都无法解决这类问题，人们对H-半变分不等式进行研究，研究涉及现代分析及应用、偏微分方程以及科学计算等众多领域中亟待解决和发展的重要课题。

41-波动方程的差分逼近第五章 双曲型方程的有限差分法 4.1 波动方程的差分逼近 1. 特征针对波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （1） 其初值条件为 01(,0)(),(,0)(),t u x x u x x x ϕϕ==-∞<<∞其中0a >是常数。

其相应的特征方程为characteristic equation 2220dx a dt -= 即 221()0dt a dx-= 得到两个特征方向：characteristic direction1dt dx a=± （3） 解（3），得到两族直线： 12,x at c x at c -=+= 2. 显格式取空间步长h 及时间步长τ，用两族平行直线two family of parallel lines,0,1,2,j x x jh j ===±±L,0,1,2,n t t n n τ===L作矩形网格rectangle 。

在(,)j n x t 对方程（1）离散，得到111122222,0,1,2,,,1,2,n n n n n nj j jj j j u u u u u u aj n h τ+-+--+-+==±±L L （5.1）初始条件为00()j j u x ϕ= （5.2）101()j jj u u x ϕτ-= （5.3）（5.1）式逼近的截断误差为22()h τO +。

由于(5.3)式逼近截断误差为()τO ，因此对（5.3）的逼近可作适当改进。

（5）可显示算出各网点的值。

（5.1）简化后可以写成122111()2n n n n n j j j j ju r u u r u u +--+=++-（1-） （6） 针对混合问题：2222201,0,0,(,0)(),(,0)(),(0,)(),(,)().t u ua x l t T t x u x x u x x u t t u l t t ϕϕαβ⎧∂∂=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩此时取空间步长l h J =及时间步长TNτ=，同样建立离散格式（5），针对边值条件，可给出离散的边值条件(),().nn l u n u n ατβτ==3. 稳定性分析为了利用Fourier 方法，令uv t∂=∂，将（1）化成一阶偏微分方程组： 222uv tv u a tx ∂⎧=⎪⎪∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （7） 再令uw ax∂=∂，则（7）变为 v w a t x w v a tx ∂∂⎧=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （8）令(,)T U v w =及0a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭则（8）变为0U UA t x∂∂-=∂∂ 因此，差分方程（5）可写成1112211111122n n n n j j j j n nn n j j j j w w v v a h w w v v ah ττ++-+++---⎧--⎪=⎪⎪⎨-⎪-⎪=⎪⎩（10） 按照Fourier 方法，设12exp(),exp()n n n nj j j j v v i x w v i x αα==，2p lπα=代入（10），消去公因子common factor exp()j i x α和12exp()j i x α-，得到1121111222(sin ),2(sin)n n n n n nphv ir v v lphir v v v lππ+++-=-+=即111122()n nn n v v ph G l v v π++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中 21()(2sin )1ic phph G c r l l ic c ππ⎛⎫== ⎪-⎝⎭为增长矩阵，其特征方程为22(2)10c λλ--+= （14） 其根按模小于1的充要条件是absolute value of root 2|2|2c -≤ （15） 即1r ≤，此为必要条件。

有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种常见的数值方法，用于求解偏微分方程。

然而，并非所有的方程都可以通过有限差分法来求解。

本文将讨论有限差分法不能求解的方程，并探讨其原因。

一、有限差分法求解的方程类型有限差分法主要用于求解偏微分方程，尤其是常见的热传导方程、扩散方程和波动方程等。

这些方程通常可以通过有限差分法离散化空间和时间，从而转化为代数方程组，再通过迭代等方法求解。

二、有限差分法不能求解的方程类型然而，并非所有的偏微分方程都适合用有限差分法求解。

以下是一些有限差分法不能求解的方程类型：1. 非线性偏微分方程：有限差分法主要适用于线性偏微分方程，对于非线性偏微分方程，由于其复杂的性质和解的多样性，有限差分法往往难以适用。

2. 高阶偏微分方程：有限差分法通常只适用于一阶和二阶偏微分方程，对于高阶偏微分方程，需要进行更复杂的离散化处理，难以直接通过有限差分法求解。

3. 变系数偏微分方程：对于系数随空间或时间变化的偏微分方程，有限差分法往往难以准确描述其变化规律，因此难以求解。

4. 非线性边值问题：对于带有非线性边值条件的偏微分方程，有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。

三、原因分析有限差分法不能求解某些偏微分方程的原因主要包括以下几点：1. 离散化处理困难：一些复杂的方程很难通过简单的差分离散化处理转化为代数方程组，从而难以应用有限差分法求解。

2. 解的多样性：对于非线性偏微分方程和非线性边值条件，解的多样性导致有限差分法往往无法准确描述其解的特性。

3. 稳定性和收敛性难以保证：对于一些特殊的偏微分方程，由于有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。

四、解决方法针对有限差分法不能求解的方程，可以考虑以下解决方法：1. 使用其他数值方法：对于非线性偏微分方程和高阶偏微分方程，可以考虑使用有限元法、有限体积法等其他数值方法进行求解。

2. 手工推导精确解：对于一些特殊的偏微分方程，可以尝试手工推导其解析解，从而获得准确的解。

非线性薛定谔方程的五种差分格式非线性薛定谔方程（NLSE）是一类非常重要的和高度发达的信息传输研究的重要模型。

它的出现为很多无线通信的技术发展提供了重要的基础和参照。

目前，非线性薛定谔方程的差分格式已有五种。

它们是恒定折回差分格式（CFD），动态折回差分格式（DRFD），步进步函数差分格式（SDF），连续步函数差分格式（CDF）和多阶进步函数差分格式（MSDF）。

恒定折回差分格式（CFD）是用于解决非线性薛定谔方程的最简单的一种差分格式。

它最初由Lyons发明，是一种非标准的三点迭代形式，但比一般三点迭代形式更有效。

它的优点在于最大限度地减少了计算量，但它的准确性不高，偏离正确的解。

动态折回差分格式（DRFD）是用于解决非线性薛定谔方程的一种改进的差分格式。

它使用了非标准的五点迭代形式，比三点迭代形式更高效，可以很好地跟踪参数变化并准确地加以反映。

它在计算量上比CFD稍大，但其计算结果更加准确，离正确解更近。

步进函数差分格式（SDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种改进的五点迭代格式。

它在数值处理上有更低的计算量，而且能够比动态折回差分格式更准确地产生数值解。

连续步函数差分格式（CDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种七点迭代格式，它可以更准确地模拟无线信号传输状况。

它有较低的运算量，可以获得较高精度的解。

多阶步函数差分格式（MSDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种变阶函数形式，它可以更准确地模拟信号的非线性传输过程，同时具有低的运行复杂性和高的计算精度，减小了计算时间。

总之，非线性薛定谔方程的不同差分格式均有不同的特征，决定了它们之间的特点和性能差异，旨在满足不同信号处理需求。

波动方程有限差分一、引言波动方程是自然界中许多现象的数学模型，如声波、地震波等。

为了解决波动方程的数值解，有限差分方法是一种常用的数值计算方法。

本文将详细介绍波动方程有限差分的原理、方法和应用。

二、波动方程波动方程描述了介质中物理量随时间和空间变化的规律。

具体来说，假设介质中某个物理量为u(x, t)，其中x表示空间坐标，t表示时间，则波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中c表示介质中的传播速度，∇²表示拉普拉斯算子。

该方程描述了一个在介质中传播的二阶偏微分方程。

三、有限差分方法有限差分方法是一种常用的数值计算方法，其基本思想是将连续函数离散化为离散点上的函数值，并通过差商逼近导数或偏导数，从而得到原问题的近似解。

对于波动方程，在空间上进行网格剖分，并在每个网格点处离散化u(x, t)和其导数，可以得到如下形式的差分格式：(u(i, j+1) - 2u(i, j) + u(i, j-1)) / Δt² = c²((u(i+1, j) - 2u(i, j) + u(i-1, j)) / Δx² + (u(i, j+1) - 2u(i, j) + u(i, j-1)) / Δy²)其中i表示空间网格点的横坐标，j表示纵坐标，Δt、Δx和Δy分别为时间和空间上的步长。

这个差分方程可以通过迭代求解得到波动方程的数值解。

具体来说，可以使用显式差分法或隐式差分法进行求解。

四、应用波动方程有限差分方法在地震勘探、声学建模等领域得到广泛应用。

例如，在地震勘探中，可以通过模拟地震波传播过程得到地下岩层的结构信息；在声学建模中，可以计算音场传播过程，并预测噪声污染等问题。

五、总结本文介绍了波动方程有限差分方法的原理、方法和应用。

有限差分方法是一种常用的数值计算方法，在许多领域都有广泛应用。

对于波动方程这类偏微分方程，有限差分方法是一种有效的求解方法。

第32卷 第2期2002年4月 吉林大学学报(地球科学版)J OURNAL OF JILIN UNIVERSITY(EARTH SCIENCE EDITION)Vol.32 N o.2A pr.2002文章编号:16715888(2002)02018706非线性波动的几个基本问题冯,杨宝俊,郑海山(吉林大学地球探测科学与技术学院,吉林长春 130026)摘要:将非线性波动理论的研究划分为观察和分析、方程建立、初边值问题、解析解和数值解、非线性波动特征以及实际应用等六个大的研究方向,详细评述了各个方向的研究情况。

提出了多层介质中的非线性波传播等尚未研究的问题,发现了用通常方法求取的解析解复杂、不易应用等问题,并提出了在定性的基础上省略与已知物理特征不符项的方法来求取解析解等思路。

认为介质的非线性、各向异性、多相性应统一研究。

关键词:非线性波;非线性演化方程;解析解和数值解;冲击波中图分类号:P631.4 文献标识码:A收稿日期:20011019作者简介:冯 (1974),男,安徽省旌德县人,博士生,主要从事地球物理研究自20世纪60年代以来,非线性科学的研究工作,以Lorenz 引子、KAM 理论、Arnold 扩散、Li-Yorke 的混沌命名和Feigenbaum 普适常数为标志,取得了重大突破[1]。

它在大气动力学、离子体物理学、流体力学、晶格力学、非线性光学、工程力学等领域得到了广泛的应用[2]。

非线性波动是非线性科学的重要组成部分之一。

一般把服从非线性发展方程的有限振幅波叫做非线性波。

发展至今,非线性波动理论已经在许多方面取得了丰硕成果[3~5]。

由于非线性波的研究与许多学科有着紧密的联系,因此它的内容也纷纭复杂,包罗万象。

本文将近期非线性波动理论的研究现状和趋势总结和归纳为几个方面,以期能为后来的研究者提供帮助。

1实验室和实际中的观察和分析早在19世纪30年代,Russell 在爱丁堡-格拉斯哥运河中观察到一种他称之为大传输波的现象,当时他骑在马背上追踪观察一个孤立的水波在浅水窄河道中的持续行进,长久地保持着自己的形状和波带,这种奇妙现象还诱使Russell 在实验室里作了产生单一水波的实验[6]。

一类非线性波方程的双线性形式和解的特征线分析翻译非线性波方程是在经典牛顿力学和多体动力学中普遍存在的重要方程，而其双线性形式和解的特征线分析，可以更好地帮助我们了解复杂的非线性物理系统并研究出更有效的解决方法，从而实现物理过程的优化和更有效的应用。

本文将简要介绍一类非线性波方程的双线性形式和解的特征线分析的原理，以及如何利用双线性形式和特征线分析来优化物理系统的性能。

首先，让我们从一类非线性波方程开始。

这一类方程通常用于描述波的传播，它的形式可以被表达为：begin{array}{l}{u_t} + {p_1}(u){u_x} + {p_2}(u){u_{{x^2}}} +{p_3}(u){u_{{x^3}}} = 0{u_t} + {q_1}(u){u_x} + {q_2}(u){u_{{x^2}}} +{q_3}(u){u_{{x^3}}} = 0end{array}其中，p_1，p_2，p_3，q_1，q_2，q_3都是关于u的函数。

此外，这类方程属于非线性变量，其变量u以及各个参数均不是常量。

因此，该方程通常是非线性偏微分方程。

对于这一类非线性波方程，双线性形式和解的特征线分析是一种有效的分析方法。

双线性形式的特征线分析是一种基于双线性形式的分析方法，它通过将双线性方程化成线性系统来解决，从而解决原始非线性波方程。

首先，我们考虑一类非线性波方程，它的双线性形式可以写成： begin{array}{l}{u_t} + {a_1}(u){u_x} + {a_2}(u){u_{{x^2}}} +{a_3}(u){u_{{x^3}}} = 0{u_t} + {b_1}(u){u_x} + {b_2}(u){u_{{x^2}}} +{b_3}(u){u_{{x^3}}} = 0end{array}其中，a_1，a_2，a_3，b_1，b_2，b_3都是关于u的函数。

为了推导双线性的解，我们利用双线性形式向下不变的原理，将双线性方程中的双线性变量u分解成一组固定的基础解形式u_1，u_2，…，u_N，其中N是参与方程计算的基础解数。

承诺书　本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。

对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

　本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。

　（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）　作者签名： 张静 日 期： ２００６．３．２０ 非线性Ｓｃｈｒ？ｄｉｎｇｅｒ方程几个守恒差分格式iv图表清单 表３．　１　005.0=τ时五个差分格式误差比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２　表３．　２　01.0=τ时五个差分格式误差比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２　表４．　１　0.05τ=时格式ＩＩ误差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２０　表４．　２　0.01τ=时格式ＩＩ误差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２０　表４．　３　0.005τ=格式ＩＩ与已有格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２１　表４．　４　0.01τ=时格式ＩＩ与已有格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２１　表５．　１　0.05τ=时格式ＩＩＩ误差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３０　表５．　２　0.01τ=时格式ＩＩＩ误差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３０　表５．　３　0.005τ=格式ＩＩＩ与已有格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３１　表５．　４　0.01τ=时格式ＩＩＩ与已有格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３１　图４．　１　格式ＩＩ的误差曲线，h τ＝０．１，＝０．０５．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２２　图４．　２　格式ＩＩ的误差曲线，h τ＝０．１，＝０．０１．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２２　图４．　３　格式ＩＩ与文［１６］格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２３　图５．　１　格式ＩＩＩ误差曲线0.05,0.1h τ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３２　图５．　２　格式ＩＩＩ与文［１６］格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３２　v 常用符号注释表　符号 定义 (,)ξη ξ与η的内积　ξ∞ ξ元素的∞范数　2ξ ξ元素的２范数　ξ ξ元素的范数　()n j x U 网格函数在网格点空间方向的向前差商　()n j x U 网格函数在网格点空间方向的向后差商　ˆ()n j x U 网格函数在网格点空间方向的中心差商　()n j xx U 网格函数在网格点空间方向的二阶差商　()n j t U 网格函数在网格点时间方向的向前差商　()n j t U 网格函数在网格点时间方向的向后差商　ˆ()n j t U 网格函数在网格点时间方向的二阶差商 1 第一章　绪论　１．１　引言　偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了微分方程的数值解问题。

几类延迟微分方程数值方法的稳定性和收敛性分析的开题报告题目：几类延迟微分方程数值方法的稳定性和收敛性分析一、研究背景延迟微分方程是一种包含历史信息的微分方程，它们在许多领域都有重要的应用，如生物学、物理学、工程学等。

数值方法可以有效地处理这些方程，但是在设计数值方法时需要考虑延迟项对稳定性和收敛性的影响。

二、研究内容本文将针对几类延迟微分方程设计数值方法，并对其稳定性和收敛性进行分析。

首先，将设计显式欧拉方法、隐式欧拉方法和改进的欧拉方法来处理一阶延迟微分方程。

然后，研究针对二阶延迟微分方程的三阶 Runge-Kutta 方法，同时比较其与常规的二阶 Runge-Kutta 方法的性能。

接下来，将设计两种数值方法来求解时滞微分方程。

一种是基于多项式插值的方法，另一种是基于离散 Fourier 变换的方法。

对这两种方法的稳定性和收敛性进行比较。

最后，将研究一种用于求解带有非线性扰动项的时滞微分方程的数值方法。

该方法基于 Picard 迭代法，通过解决线性化子问题来得到非线性问题的数值解。

对其稳定性和收敛性进行分析。

三、研究意义通过研究这几种延迟微分方程数值方法的稳定性和收敛性，可以进一步加深对延迟微分方程的理解，并提高数值计算的精度和效率，为延迟问题的实际应用提供有力的支持。

四、研究方法本文将采用分析和数值实验相结合的方法，通过分析数值方法的截断误差和稳定性函数来研究其收敛性和稳定性，并通过数值实验比较不同数值方法的性能。

五、预期结果预计本文将得到不同数值方法的截断误差和稳定性函数的表达式，推导它们的收敛阶和稳定性区间，比较不同数值方法的稳定性和收敛性。

同时，将对不同数值方法在实际问题中的应用进行验证和比较，为实际问题的求解提供参考。

六、参考文献[1] Süli E, Mayers D. An introduction to numerical analysis[M]. Cambridge university press, 2003.[2] Hale J K. Theory of functional differential equations[M]. Springer Science & Business Media, 2013.[3] Erneux T. Applied delay differential equations[M]. Springer Science & Business Media, 2009.[4] Jolly M S. Numerical solution of delay differential equations[M]. CRC Press, 2014.。