差分方程及其稳定性分析

差分方程的稳定性汪宏远;崔成贤;张志旭;曹万昌【摘要】方程组Y( k +1) =F( k,Y( k) )的零解称为稳定的,如果对任意的k0∈Z+,都存在δ=δ(k0,ε >0),使得当‖Y0‖≤δ(ε,δ0)时,对一切k≥k0都有‖Y(k;ko,Y0)‖≤ε.反之,称主程组Y(k +1) =F(k,(Y(k))的零解为不稳定的.%The zero solution of equation Y(k +1) =F(k,Y(k)) is called stable, if for any k0 ∈Z+, there isδ=δ(k0,ε >0) , that makes‖Y(k;ko,Y0)‖≤εfor all k≥k0 .otherwise, called equation Y(k +1) =F( k,( Y( k) ) zero solution unstable.【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(033)005【总页数】3页(P744-746)【关键词】线性方程组;非线性方程组;渐近稳定【作者】汪宏远;崔成贤;张志旭;曹万昌【作者单位】佳木斯大学理学院,黑龙江佳木斯 154007;佳木斯大学理学院,黑龙江佳木斯 154007;佳木斯大学理学院,黑龙江佳木斯 154007;佳木斯大学理学院,黑龙江佳木斯 154007【正文语种】中文【中图分类】O175.30 引言考虑差分方程组其中函数G(k，X(k))对k ∈Z+及相应的X(k)都有定义，保证方程组(1)的解存在唯一. 设)是方程组⑴的一个解，作变量代换则方程组(1)就化为所以方程组(1)的解φ(k)的稳定性等价于零解的稳定性.因此，不失一般性，总假设F(k，0)=0，并只研究方程组(2)的零解稳定性就够了. 差分方程组(2)的解Y(k)，在几何上可以表示为n 维向量空间Rn 的点列，用‖Y(k)‖记Y(k)的范数.若方程组⑵右边函数不显含k，即则(3)式称为自治差分方程组;否则，(2)式称为非自治差分方程组.1 自治线性差分方程组的稳定性考虑常系数线性差分方程组其中A 是n×n 阶常数矩阵.定义1［1］设矩阵A 的特征根为λi(i=1，2，…，n)，则称为矩阵A 的谱半径. 定理1［2］差分方程组(4)的零解全局渐近稳定的充要条件是r(A)＜1.定理2［2］差分方程组(4)的零解稳定的充要条件是r(A)≤1，且|λi|=1 的特征根只对应简单的初等因子.定理3［3］若r(A)＞1，则差分方程组⑷的零解是不稳定的.在上述这些稳定性定理中，验证关于谱半径的不等式一般比较困难，因此人们在不断寻找较容易验证的充要条件或充分条件.下面是其中著名的居利判据.假设A 矩阵的特征多项式为其中a0 =1.按如下来构造数表(共2n-3 行):其中这样继续下去，直到表中的同一行只有3 个元素为止.由上述数表就得到居利判据. 定理4［3］多项式P(λ)的所有零点都在复平面的单位圆内的充要条件是2 自治非线性差分方程组的稳定性考虑自治非线性差分方程组其中F(0)=0，2.1 代数方法定义2 n×n 阶常数矩阵A(aij)称为非负矩阵，若aij ≥0(i，j=1，2，…，n).定理5［5］假设方程组(5)右边的函数F 在Rn 中包含原点的某个开球B:‖Y‖＜H 内满足:对任意的X，Y ∈B，存在n×n 阶非负矩阵A，使得则当10 r(A)＜1 时，方程组(5)的零解渐近稳定;20 r(A)=1 时，且对应矩阵A 的模为1 的特征根只有简单的初等因子时，方程组⑸的零解是稳定的.特别地，若方程组⑸是纯量方程的情形其中y(k)∈R1，f(y)∈R1，f(0)=0，则还有如下定理6:定理6［5］假设函数f 在包含原点的某个开区间内有一阶连续导数.则当1) |f′(y)|＜1 时，方程组(6)的零解渐近稳定;2) |f(y)|＞1 时，方程组(6)的零解不稳定.2.2 按线性近似部分决定稳定性在某些情况下，非线性差分方程的稳定性可以用它的线性近似部分来决定.假设方程(5)右边的向量函数F(u)可以表示成其中A 是n×n 阶常数矩阵，而g(Y)满足条件(7)和(8)意味着函数F(Y)在Y=0 是可微的.同样，如果函数F 在Y=0 有一阶连续偏导数，(7)和(8)式也必然成立.这时，矩阵A 是函数F 是Y=0 的雅可比矩阵其中f1，f2，…，fn 是F 的分量，并且所有的偏导数在原点取值.定理7［5］设函数F 满足(7)和(8)式，则1) r(A)＜1 时，方程组(5)的零解是渐近稳定的;2)r(A)＞1时，方程组(5)的零解是不稳定的.3 应用举例例1解矩阵特征方程为λ2+1=0，特征根为λ1，2=±i，谱半径为r(A)=1，且|λ1，2|=1 是单根，因而只对应简单的初等因子.所以，差分方程组的零解是稳定的.事实上，矩阵是旋转矩阵，将它乘以Y(k)所得到的向量，是由Y(k)顺时针旋转得到的.因此，方程的每一个解都位于圆心在坐标原点、半径为‖Y(0)‖的圆周上.所以，方程组的零解显然是稳定的.例2其中α，β 为任意常数.解方程组右边的函数在原点关于y1 和y2 有一阶连续偏导数，因此条件(7)和(8)式成立.而这个方程组的雅可比矩阵注意到r(A)=0.7 ＜1.所以，方程组的零解是渐近稳定的.参考文献:［1］ Milne－Thomson L M.The calculus of finite differences［M］.New York:The Macmillan company，1951.［2］ Laks mikanthan V，Trigiante D.Theory of differenceequations;numericae methods and applications［M］.New York:Academic press，1988.［3］廖晓昕，李玉鹏.离散动力系统稳定性的代数判据［J］.数学物理学报，1986(4):375－377.［4］盖尔芳德AO.有限差计算:下册［M］.北京:高等教育出版社，1955.［5］王联，王慕秋.常差分方程［M］.乌鲁木齐:新疆大学出版社，1991.。

分类号 学号密题 目（中、英文）作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称 成绩评定 数学与应用数学 理 学咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）摘要微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。

它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。

而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。

而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。

本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。

关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性差分方程模型的稳定性分析AbstractDifference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation.Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）目录摘要 (1)Abstract (II)目录 ................................................................................................................................................ I II 引言 .. (1)1、差分方程的定义及其分类 (1)（1）差分算子： (1)2. 差分方程的求解与稳定性判断方法: (2)（1）差分方程的求解： (2)（2）.差分方程的平衡解稳定性判断方法： (4)3. 差分方程模型的应用： (4)3.1模型：种群模型 (4)3．11模型的引入与假设 (4)3．12线性差分方程模型的建立与求解 (5)3．13生态模型的平衡点及稳定性分析: (7)总结 (10)参考文献 (11)附录 (12)谢辞 (13)差分方程模型的稳定性分析咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）引言随着科学技术的不断发展，将数学思想融入实际生活解决社会问题变得非常普遍。

离散时间系统的稳定性分析离散时间系统是一种在离散时间点上进行状态变化的系统，与连续时间系统相对应。

稳定性分析是对系统行为的一个重要特征进行评估和判断的过程。

对于离散时间系统的稳定性分析，我们可以通过不同方法进行研究和判断，如利用差分方程、状态空间法、Lyapunov稳定性理论等。

本文将从这些角度出发，深入探讨离散时间系统的稳定性分析方法。

一、差分方程法差分方程法是一种基于离散时间点上变量之间的差分关系进行稳定性分析的方法。

对于离散时间系统，我们可以通过建立差分方程来描述系统的动态行为。

一般而言，稳定的离散时间系统在各个时间点上的状态变量都保持在某个有界范围内。

因此，我们可以通过差分方程的解析解或数值解来判断系统的稳定性。

二、状态空间法状态空间法是一种通过描述系统在不同离散时间点上状态变化的方法。

在状态空间中，系统的状态由一组关于时间的差分方程表示。

通过对系统状态进行迭代，我们可以从初始状态推导出系统在未来时间点上的状态。

根据这些状态的变化，我们可以判断系统是否稳定。

三、Lyapunov稳定性理论Lyapunov稳定性理论是一种通过利用Lyapunov函数来判断离散时间系统稳定性的方法。

Lyapunov函数是一个用于衡量系统状态的能量函数，它在系统稳定时具有稳定性的性质。

通过构造和分析Lyapunov函数，我们可以判断离散时间系统是否稳定。

如果能够找到一个Lyapunov函数，使得对于系统的每一个状态，该函数都是非负的，并且沿着系统的状态变化轨迹递减，那么系统就是稳定的。

四、其他稳定性分析方法除了以上介绍的几种常见方法外，还存在其他一些稳定性分析方法，如频率域方法、随机系统稳定性分析等。

这些方法可以根据具体问题的需求进行选择和应用，从而更好地评估离散时间系统的稳定性。

综上所述，离散时间系统的稳定性分析是研究系统动态行为的一个重要问题。

通过差分方程法、状态空间法、Lyapunov稳定性理论以及其他稳定性分析方法，我们可以对离散时间系统的稳定性进行全面评估和判断。

差分格式的稳定性与收敛性1 基本概念所谓稳定性问题是指在数值计算过程中产生的误差的积累和传播是否受到控制.在应用差分格式求近似解的过程中，由于我们是按节点逐次递推进行，所以误差的传播是不可避免的，如果差分格式能有效的控制误差的传播，使它对于计算结果不会产生严重的影响，或者说差分方程的解对于边值和右端具有某种连续相依的性质，就叫做差分格式的稳定性.差分格式的收敛性是指在步长h 足够小的情况下，由它所确定的差分解m u 能够以任意指定的精度逼近微分方程边值问题的精确解()m u x .下面给出收敛性的精确定义：设{}m u 是差分格式定义的差分解，如果当0h → 并且m u x →时，有()0m u u x -→，则称此格式是收敛的.2 差分方程的建立对于二阶边值问题'''()(),,(),(),Lu u q x u f x a x b u a u b αβ⎧≡-+=<<⎨==⎩ (1) 其中()q x 、[](),,()0.f x C a b q x ∈≥将区间[],a b 分成N 等份，记分点为,0,1,,,m x a mh m N =+=⋅⋅⋅ 这里步长b a h N-=.利用泰勒公式，得''1121[(()2()()]()m m m m m u x u x u x u x R h+--+=- (2) 其中 2(4)11(),(,)12m m m m m h R u x x ξξ-+=-∈(3) 把式(2)代入式(1)中的微分方程，有1121()[(()2()()]()()h m m m m m m L u x u x u x u x q x u x h+-≡--++ ()m m f x R =+ (4) 略去余项m R ，便得到(1)式中的微分方程在内部节点m x 的差分方程；再考虑到式(1)中的边界条件，就得到边值问题(1)的差分方程11201(2)()(),,,,h m m m m m m m N L u u u u q x u f x a x b h u u αβ+-⎧≡--++=<<⎪⎨⎪==⎩(5) 解线性代数方程组(5)，得()m u x 的近似值m u .01,,,N u u u ⋅⋅⋅称为边值问题(1)的差分解.从上面的推导过程可以看出，在节点m x 建立差分方程的关键是在该点用函数()u x 的二阶中心差商代替二阶导数，最后用差分算子h L 代替微分算子L 就产生差分方程(5).记 ()()()m m h m R u Lu x L u x =-，称()m R u 是用差分算子h L 代替微分算子L 所产生的截断误差.由式(2)，二阶中心差商代替二阶导数所产生的截断误差m R ，从式(4)和式(5)可以得出(())m h m m R L u x u =-，m R 称为差分方程（5）的截断误差.3 讨论差分方程组(5)的解的稳定性与收敛性引理3.1(极值原理) 设01,,,N u u u ⋅⋅⋅是一组不全相等的数，记01{,,,}N S u u u =⋅⋅⋅，11(),1,2,,1,h m m m m m m m L u a u b u c u m N -+=++=⋅⋅⋅- (6) 其中0,0,0,.m m m m m m b a c b a c ><<≥+(1) 若0(1,2,,1)h m L u m N ≤=⋅⋅⋅-，则不能在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中正的最大值；(2) 若0(1,2,,1)h m L u m N ≥=⋅⋅⋅-，则不能在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中负的最小值.证 首先用反证法证明(1).假设在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中正的最大值，记为M ,那么{}0max 0m m NM u ≤≤=>，由于S 中的数不全相等，一定存在某个(11)i i N ≤≤-,使得i u M =,并且1i u -与1i u +中至少有一个小于M .于是11()h i i i i i i i L u a u bu c u -+=++11i i i i i b M a u c u -+=++()0i i i b M a c M >++≥这与0h i L u ≤矛盾，从而（1）得证.同理可证明(2).现在运用极值原理论证差分方法的稳定性及收敛性.定理3.2 差分方程组(5)的解m u 满足{}111max ,()()max ,1,2,,1,2m m m m m N u x a b x f m N αβ≤≤-≤+--=⋅⋅⋅- (7) 证 把方程组 00,1,2,,1,,h m N L u m N u u αβ==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩和 0,1,2,,1,0h m m N L u f m N u u ==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩的解分别记为(1)m u 和(2)m u ，其中差分算子h L 由式(5)定义，则方程组(5)的解m u 为(1)(2)m m m u u u =+ (8)由极值原理可知 {}(1)max ,,1,2,,1m u m N αβ≤=⋅⋅⋅-. (9)接下来再估计(2)m u ，考虑差分方程11201(2),1,2,,1,0m m m N v v v M m N h u u +-⎧--+==⋅⋅⋅-⎪⎨⎪==⎩(10)其中 {}0max m m NM f ≤≤= 容易验证该微分方程是从边值问题'',()()0v M v a v b ⎧-=⎨==⎩ (11) 得到的，而在此边值问题的解是 ()()()2M v x x a b x =--. 因为()v x 是x 的二次函数，它的四阶导数为零，从式(2)、(3)看到()v x 在点m x 的二阶中心差商与''()m v x 相等，因此差分方程(10)的解等于边值问题(11)的解，即()()()02m m m m M v v x x a b x ==--≥. 另一方面，(2)(2)(2)(2)00()0,0,h m m h m h m m m m N N L v u L v L u q v M f v u v u ±=±=+±≥±=±=由极值原理可知 (2)0,m mv u ±≥ 即 (2)()(),1,2,, 1.2m m m m M u v x a b x m N ≤=--=⋅⋅⋅-(12) 综合式(8)、(9)、(12)就得到式(7).定理3.2表明差分方程(5)的解关于边值问题(1)的右端项和边值问题是稳定的，亦即当f 、α、β有一个小的改变时，所引起的差分解的改变也是小的.定理3.3 设()u x 是边值问题(1)的解，m u 是差分方程(5)的解，则22(4)()()max (),1,2,, 1.96m m a x b b a u x u h u x m N ≤≤--≤=⋅⋅⋅-(13) 证 记 ()m m m u x u ε=-，由式(3)、(4)、(5)可知0,1,2,,1,0,h m m N L R m N εεε==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩ 其中m R 由式(3)定义.从定理3.2得111()()max 2m m m m m N x a b x R ε≤≤-≤-- 22(4)()max ().96a xb b a h u x ≤≤-≤ 式(13)给出了差分方程(5)的解的误差估计，而且表明当0h →差分解收敛到原边值问题的解，收敛速度为2h .4 小结收敛性和稳定性是从不同角度讨论差分法的精确情况，稳定性主要是讨论初值的误差和计算中的舍入误差对计算结果的影响，收敛性则主要讨论推算公式引入的截断误差对计算结果的影响.使用既收敛有稳定的差分格式才有比较可靠的计算结果，这也是讨论收敛性和稳定性的重要意义.参考文献[1] 李瑞遐、何志东.微分方程数值方法,上海：华东理工大学出版社[2] 黄明游、冯果忱.数值分析（下册）北京：高等教育出版社，2008[3] 杨大地、王开荣.数值分析.北京：科学出版社，2006[4] 袁东锦.计算方法——数值分析.南京：南京师范大学出版社.2007[5] 李清扬等.数值分析(第4版).武汉：华中科技大学出版社.2006。

差分方程模型的稳定性分析及其应用The Stability Analysis and Application of the Differential Equation Model毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。

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