差分方程的通解和特解

2021年考研数学高数考点解析高等数学作为硕士研究生招生考试的内容之一，主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。

依据数学考试大纲中的考试要求，包新卓老师在下面的表格中简要罗列了高等数学在数学(一)、数学(二)和数学(三)这三个卷种中所涵盖的考试内容。

接下来，包新卓老师就从数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共部分开始。

一、函数、极限、连续高等数学在考研中，也被称为微积分学。

微积分学的研究对象是函数，许多重要的概念都需要用极限理论精确定义，因此极限是微积分学的重要基础，这部分内容对后续内容的学习影响深远，故应重点掌握。

在这一部分，由于数学(一)、数学(二)、数学(三)的考试要求完全一样，故这里不做分类。

考纲内容：1、函数的概念及表示法、函数关系的建立;2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数;4、基本初等函数的性质及其图形，初等函数;5、数列极限与函数极限的定义及其性质;6、函数的左极限和右极限;7、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷大量的比较;8、极限的四则运算：掌握极限的四则运算法则;9、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限;10、函数连续的概念，函数间断点的类型;11、初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质;根据往年改卷反馈回来的数据可知，大部分考生对函数、极限、连续这一部分的内容普遍掌握得比较好，但由于这部分内容与后续内容多有交叉，因此考生要注意前后知识的融会贯通。

二、一元函数微分学一元函数微分学不仅在微积分的学习中占有着极其重要的地位，而且它也是考研数学考查的重点。

在这里，对于数学(一)和数学(二)单独考点，包新卓老师会在相应的内容后面予以标出，未做任何标出的内容则为数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共考点。

第十二章 差分方程
教学要求 1．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。

2．掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。

3．会应用差分方程求解一些简单的应用问题。

教学重点
一阶常系数线性差分方程的解法，差分方程在实际问题中的简单应用。

教学难点
差分与差分方程的概念，一阶常系数线性差分方程的求解。

教学内容
第一节 差分方程的基本概念
一、差分方程的定义
二、差分方程的的基本概念
第二节 一阶常系数线性差分方程
一、齐次方程01=++t t ay y 的解法
二、非齐次方程)(1t f ay y t t =++的解法。

差分方程对连续型变量而言，我们常常导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致另一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x xz z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。

差分方程百科内容来自于:差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。

基本概念一、差分的概念设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。

依此定义类推，有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………一阶差分的性质(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。

函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推，有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1，………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt，D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。

n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…，Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。

含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。

第三章 差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。

例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。

这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。

描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。

对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。

本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。

§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。

下面给出差分的定义。

设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。

显然，t y 的取值是一个序列。

当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ∆，即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。

由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。

当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。

例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，若将上式写作)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。

若记))()1()(t R t R t R -+=∆，并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。

差分方程求通解例题
【原创版】
目录
1.差分方程的基本概念
2.求解差分方程的步骤
3.差分方程求通解的例题
4.例题的解答过程
正文
一、差分方程的基本概念
差分方程是一种特殊的微分方程，它的解包含了微分方程的解和差分运算。

在数学和物理学等领域，差分方程有着广泛的应用。

二、求解差分方程的步骤
1.确定差分方程的类型
2.建立相应的数学模型
3.进行差分运算
4.求解得到通解
三、差分方程求通解的例题
例题：求解如下差分方程的通解：y"(t) - 3y(t) = 2t - 1
四、例题的解答过程
1.首先，我们需要确定这是一个一阶线性常系数差分方程。

2.建立数学模型：设 y(t) = e^(-kt) * (A + B * t)
3.进行差分运算：y"(t) = -ke^(-kt) * (A + B * t) + e^(-kt) * (B - k * A)
4.将 y"(t) 和 y(t) 带入原方程，得到：-ke^(-kt) * (A + B * t) + e^(-kt) * (B - k * A) - 3e^(-kt) * (A + B * t) = 2t - 1
5.解得：A = 1, B = 2, k = 3
6.所以，原方程的通解为：y(t) = e^(-3t) * (1 + 2t)
通过以上步骤，我们可以求解差分方程的通解。

通解的充分条件1. 引言在数学中，通解是指一个方程或系统的所有解的集合。

通解可以帮助我们找到方程或系统的所有可能解，从而更好地理解问题的本质和特点。

本文将介绍通解的概念以及通解的充分条件。

2. 通解的定义首先，我们来定义什么是一个通解。

对于一个微分方程或差分方程，如果它包含一些未知函数（或变量）以及它们的导数（或差分），并且满足这个方程中所有出现的函数都是这些未知函数及其导数的线性组合，那么我们称这个函数（或变量）为这个方程（或系统）的一个通解。

简单来说，通解就是满足给定方程或系统所有可能情况下的函数表达式。

3. 一阶线性常微分方程的通解接下来，让我们以一阶线性常微分方程为例来讨论通解。

一阶线性常微分方程可以写成以下形式：dy+P(x)y=Q(x)dx其中P(x)和Q(x)是已知函数。

3.1 齐次线性常微分方程如果Q(x)=0，即上述方程中没有常数项，我们称这个方程为齐次线性常微分方程。

对于齐次线性常微分方程，通解可以表示为：y=Ce−∫P(x)dx其中C是一个任意常数。

3.2 非齐次线性常微分方程如果Q(x)≠0，即上述方程中有常数项，我们称这个方程为非齐次线性常微分方程。

对于非齐次线性常微分方程，通解可以表示为：y=Ce−∫P(x)dx+y p其中C是一个任意常数，而y p是这个方程的一个特解。

4. 线性差分方程的通解除了微分方程，我们也可以讨论线性差分方程的通解。

线性差分方程可以写成以下形式：a n y(n)+a n−1y(n−1)+⋯+a0y(n−k)=b(n)其中a n,a n−1,…,a0和b(n)是已知系数和已知函数。

4.1 齐次线性差分方程如果b(n)=0，即上述方程中没有常数项，我们称这个方程为齐次线性差分方程。

对于齐次线性差分方程，通解可以表示为：y(n)=C1λ1n+C2λ2n+⋯+C kλk n其中C1,C2,…,C k是任意常数，而λ1,λ2,…,λk是这个方程的k个不同特征根。