一类非线性差分方程的全局渐进稳定性

一类二阶差分方程的全局渐近稳定性贾秀梅;李永军;薛子臣【摘要】讨论二阶非线性有理差分方程xn+1 =x2-1/(a+xn)2+β,n∈N 的素二周期解、不变区间及全局渐近稳定性,其中参数α∈(1,+∞),β∈(0,1),初始条件x-1,x0∈(0,+∞).利用线性化方法和收敛定理得到了该方程的平衡点/x0=0是全局渐近稳定的;结合两个实例,通过Matlab数值模拟直观验证了结论的正确性.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(050)001【总页数】5页(P11-14,19)【关键词】素二周期解;不变区间;局部渐近稳定性;全局渐近稳定性;Matlab数值模拟【作者】贾秀梅;李永军;薛子臣【作者单位】河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000;兰州城市学院数学学院,甘肃兰州 730070;河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000【正文语种】中文【中图分类】O175近年来，Ladas等对二阶和高阶的非线性有理差分方程进行了广泛研究.2002年，Kulenovic等［1］提出了众多公开问题和猜想，使差分方程的研究得到了进一步发展.文献［2］中，Jia对文献［1］中的公开问题10.5.6进行研究，得到了方程正平衡点的全局渐近稳定性.文献［3］得到了方程n∈N的正平衡点是一个全局吸引子.文献［4-6］对几类非线性有理差分方程进行研究，得到了一些好的结果.受上述研究启发，本文讨论二阶非线性有理差分方程平衡点的全局渐近稳定性，其中参数α∈（1，＋∞），β∈（0，1）.利用线性化方法和收敛定理得到了在初始条件x－1，x0∈（0，＋∞）下该方程的所有正解是全局渐近稳定的.针对两个实例，通过Matlab数值模拟，直观验证了结论的正确性.考虑二阶差分方程其中f：I×I→I是连续可微的函数，n∈N，I是某一实数区间，函数f（u，v）关于每一个变量都有连续的偏导数.¯x称为差分方程（2）的一个平衡点，如果¯x＝f（¯x，¯x）.或者说，当n≥－1时，xn＝¯x是差分方程（2）的解.定义1［1］（稳定性）设¯x是方程（2）的一个平衡点.则（i）方程（2）的平衡点x¯是局部稳定的，如果对任意的ε＞0，存在δ＞0，使得对所有满足x－1－x¯＋x0－x¯＜δ的x－1，x0∈I，当n≥－1时，有xn－x¯＜ε.（ii）方程（2）的平衡点x¯是局部渐近稳定的，如果它是局部稳定的，并且存在γ＞0，使得对所有满足xn－x¯＜γ的x－1，x0∈I有（iii）方程（2）的平衡点x¯是全局吸引子，如果对每一个x－1，x0∈I，有（iv）方程（2）的平衡点x¯是全局渐近稳定的，如果它是局部稳定的，并且是一个全局吸引子.令则方程（2）关于¯x的线性化方程为xn＋1＝pxn＋qxn－1，n＝0，1，2…，其特征方程为定义2［1］实数区间I称为方程（1）的不变区间，如果它满足条件：x－1，x0∈I⇒xn∈I，∀n＞0；也就是说，方程（1）的初始条件取自区间I的每一个解仍在I中.定义3［1］称方程（1）的解序列｛xn｝∞n＝－k是周期的，如果存在正整数p，使得xn＋p＝xn恒成立.这样的｛xn｝称为方程（1）的p周期解.满足此条件的最小正整数p称为最小正周期，此时的周期解也称素p周期解.引理1［1］（线性稳定性）（a）如果方程（3）的两个根都位于单位圆λ＜1之内，则方程（2）的平衡点x¯是局部渐近稳定的.（b）如果方程（3）的两个根中至少有一个根的模大于1，则方程（2）的平衡点x¯是不稳定的.（c）方程（3）的两个根都位于单位圆λ＜1之内的充分必要条件是p＜1－q＜2.此时x¯是一个汇点或吸引平衡点.（d）方程（3）的一个根的模大于1而另一个根的模小于1的充分必要条件是p2＋4q＞0且p ＞1－q.此时x¯是一个鞍点.（e）方程（3）的两个根的模都大于1的充分必要条件是q＞1且p ＜1－q.此时x¯是一个源点或排斥平衡点.引理2［1］设［a，b］⊂R，连续函数f：［a，b］×［a，b］→［a，b］满足下列性质：（a）f（x，y）对每一个固定的y，关于x单调不增，对每一个固定的x，关于y单调不减；（b）方程（2）在区间上没有素二周期解.那么方程（2）有唯一的平衡点x¯∈［a，b］，且方程的每一个解收敛到x¯.设¯x为差分方程（1）的平衡点，则有¯x＝解得记设，则方程（1）的线性化方程为解得于是记¯x1，¯x2，¯x0对应的p，q分别为p1，q1、p2，q2、p0，q0，则可求得定理1 方程（1）的平衡点¯x1，¯x2为鞍点.证明（i）先证¯x1为鞍点.由前面结论可知：所以有故由引理1（d）可知，方程（1）的平衡点¯x1不是局部渐近稳定的，且¯x1为鞍点. （ii）下证¯x2为鞍点.同理于是所以由引理1（d）可知，方程（1）的平衡点x¯2不是局部渐近稳定的，x¯2为鞍点. 综上所述，方程（1）的平衡点x¯1，x¯2为鞍点. 】定理2 方程（1）的平衡点x¯0为汇点，是局部渐近稳定的.证明要证方程（1）的平衡点x¯0为汇点，由引理1（c）可知，只需证明不等式p0＜1－q0＜2成立，即只需证明不等式p0＜1－q0和－q0＜1同时成立.先证明第一个不等式.因为故又因为由引理1（a），（c）可知，方程（1）的平衡点¯x0是汇点且局部渐近稳定. 】定理3 方程（1）没有正素二周期解.证明假设…，φ，ψ，φ，ψ，…为方程（1）的正素二周期解，即φ，ψ＞0，且φ≠ψ，则有由α＞1，0＜β＜1及φ≠ψ可知，该方程组等价于即（α＋ψ）2＝（α＋φ）2.等式两边展开并整理可得（φ－ψ）（φ＋ψ＋2α）＝0，从而，φ＝ψ或φ＋ψ＋2α＝0，这与φ≠ψ且φ＋ψ＋2α＞0矛盾.故方程（1）无正素二周期解. 】定理4 方程（1）关于平衡点¯x0存在不变区间I＝［0，1］.证明¯x0＝0∈［0，1］，由不变区间定义，设xN－1，xN∈［0，1］，则有故由不变区间的定义及归纳法知，I＝［0，1］为方程（1）的不变区间. 】定理5 设为定义在不变区间I×I→I上的连续函数，则f（u，v）关于u单调不增，关于v单调不减，这里I＝［0，1］.证明因为故f（u，v）关于u单调不增，关于v单调不减. 】定理6 方程（1）的所有正解最终进入不变区间I＝［0，1］.证明由定理4知，只要说明当初始条件不在不变区间I内时，存在解序列｛xn｝最终进入区间I即可.现假设方程（1）的初值x－1，x0∈（1，＋∞）的正解序列｛xn｝最终不进入区间I，即｛xn｝中从某项以后的项都进入（1，＋∞），即存在N∈N＋，当n＞N时，有xn＞1.现取方程（1）的两个子非平凡解序列｛x2k＋1｝与｛x2k｝，k∈N＋.下证两个子序列分别单调递减.因为故x2k－1＞x2k＋1.即｛x2k＋1｝单调递减且存在N∈N＋，当n＞N时，有x2n ＋1＞1.由单调有界原理得存在r≥1，使得同理，｛x2k｝单调递减且存在N∈N＋，当n＞N时，有x2n＞1.由单调有界原理可知，存在s≥1，使得下证r＝s.对两边取极限，有所以（α＋s）2＋β＝1.同理，对两边取极限，可知（α＋r）2＋β＝1.即有（α＋s）2＋β＝（α＋r）2＋β.由于s，r≥1，故得r＝s.所以这与方程（1）只有唯一非负平衡点¯x0矛盾，故假设不成立.即当初值x－1，x0∈（1，＋∞）时，｛xn｝最终进入区间不变I. 】定理7 方程（1）的平衡点¯x0为全局吸引子，且是全局渐近稳定的.证明由定理3～6及引理2可得，¯x0为方程（1）的一个全局吸引子.再根据定理2得出，¯x0是全局渐近稳定的. 】下面列举两个此类差分方程的例子.通过Matlab数值模拟，从图形可以直观地看出这类方程的所有正解是全局渐近稳定的，即所有正解最终趋于平衡点¯x0＝0.例1 图1是差分方程的Matlab绘图，这里x－1＝0.1，x0＝0.2.例2 图2是差分方程xn＋1＝的Matlab绘图，这里x－1＝ 0.2，x0＝0.1.［2］ JIA Xiu-mei，HU Lin-xia，LI Wan-tong.Dynamics of a rational difference equation［J］.Advances in Difference Equations，2010，Article ID 970720，14 pages.［3］ JIA Xiu-mei，LI Wan-tong.Boundedness and global attractivity of a higher-order nonlinear difference equation［J］.Discrete Dynamics in Nature and Society，2010，Article ID 610467，17pages.［4］ JIA Xiu-mei，HU Lin-xia.Global attractivity of a higher-order nonlinear difference equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2010，216（3）：857-861.［5］ JIA Xiu-mei，TANG Guo-mei.Global attractivity of a higher-order nonlinear difference equation［J］.International Journal of Difference Equations，2010，5（1）：95-101.［6］贾秀梅，晏兴学，董文瑾.关于一类二阶非线性差分方程的无界解［J］.兰州理工大学学报，2010，36（6）：137-139.。

一类非线性差分方程的全局渐进稳定性刘军;刘梅【摘要】研究差分方程xn+1=α+β,xn/a+aoxn+…+akxn-k,n=0.1,…的全局渐进稳定性,其中参数α,β,a,ai ∈(0,∞),i=0,1,…,k,x-k,…x-1 ∈(0,∞)和x0 ∈(0,∞).证明了唯一正平衡点是全局稳定性的当且仅当它是局部渐进的.【期刊名称】《兰州工业学院学报》【年(卷),期】2010(017)002【总页数】3页(P42-44)【关键词】差分方程;全局吸引子;全局渐进【作者】刘军;刘梅【作者单位】兰州工业高等专科学校基础科学部,甘肃兰州,730050;兰州理工大学电信学院,甘肃兰州,730050【正文语种】中文【中图分类】O175本文研究下列差分方程的全局稳定性,其中参数α,β,a,ai∈(0,∞),i=0,1,…,k,初始条件 x-k,…,x-1∈[0,∞)和x0∈(0,∞).若给定 c-k,…,c-1∈[0,∞)和c0∈(0,∞),则(1)有唯一的解满足初始条件 x-i=c-i,i=k,…,1,0.由(1)的一个解,我们截断得一个序列{xn},n≥-k,且当n≥0满足(1).本文仅考虑方程(1)的正解,现将(1)改写为其中(2)式的平衡解是下列方程的解.显然对n≥-k,xn＞0.这里,我们仅考虑方程(2)的正解.方程(2)有唯一的正平衡点如果 k=1,则(2)变为这已在文献[2]研究过,其解的整体性态下面的定理给出:定理A 若α,β,a,a0,a1∈(0,∞),则(6)的唯一正平衡点˜x是一个全局吸引子.若α=0,β=1,(2)式变为这也已在文献[3]研究过,其解的整体性态下面的定理给出:定理B 若(3),(4)式都成立,则(7)式的唯一正平衡点˜x是全局渐进稳定的.本文在更一般情形下考虑(1)式的全局渐进稳定性,主要结果如下:定理1 若α,β,a,ai∈(0,∞),i=0,1,…,k,且(3)式成立,则(1)式的唯一正平衡点是一个全局吸引子.在本部分,我们给出定理证明所需的一些引理.引理1[4] 考虑差分方程其中,k1,k2,…,kr是正整数.k=max{k1,k2,…,kr}.此外,假设函数 F满足下列假设: 定义一个新函数 F(x)如下:其中,假定函数 F没有基本周期为2的周期点,则是(8)式的所有正解的一个全局吸引子. 引理2 设F,H∈C([0,∞),(0,∞))在[0,∞) 上单调不增,∈ (0,∞) 使得 F(=H(= ,[H(x)-F(x)](x- ≤0,x ≥0 成立.假定˜x是 H2在(0,∞) 上的唯一不动点.则˜x也是 F2在(0,∞)上的唯一不动点.引理3[3] 设H∈C[(0,∞),(0,∞)]是单调不增的函数是 F的唯一不动点,则下列论断等价:H2∈(0,∞).(a)是 H2在(0,∞)上的唯一不动点;(b)当x0∈(0,∞)时,是差分方程所有正解的一个全局吸引子.本节将完成主要定理的证明.显然(2)式的唯一正平衡点为证明 (1)式可以改写为显然,F和 g满足引理1的假设条件(H1-H4),进一步,由(10)式定义的函数 G可改写为从以上可得这表明F(x)≤H(x),0＜ x＜ ,其中 F(x)是由引理2定义.类似的,我们有F(x)≥H(x),x＞由引理2知,可以通过证明 H(x)2有唯一不动点来得到.设其中 N=n+k,n是一个充分大的正整数.显然的,R(x) ∈[(0,∞),(0,∞)]在[0,∞)是严格递减的 ,且有0我们有再利用引理2,只需再说明 R(x)2由唯一的不动点即可.注意到n是一个充分大的正整数.则对任意的x∈(0,∞),我们能够找到一个充分大的正整数 N使得N Cx-1-b0＞ 0.因此φ(x)＞0,x∈(0,∞),这暗示函数φ(x)是严格递增的.因此,M=L.从而可得每一个 R(x)2的不动点是 R(x)的不动点.显然,R(x)在[0,∞)是严格递减的,因此是R(x)的唯一不动点,R(x)2有唯一的不动点证毕.【相关文献】[1]R.M.Abu-saris,R.DeVault.Global stability ofyn+1Appl.math.lett.,16(2003)：173-178.[2]Y.H.Su,W.T.Li.Global asymptotic stability of a second-order nonlinear difference equation[J]put.,168(2005)：981-989.[3]W.T.Li,H.R.Sun.Dynamics of a rational differenceequation[J]put.,163(2005)：577-591.[4]L.X.Hu,W.T.Li.Global stability of a rational differenceequation[J]put,(2007)：601-604.[5]Y.H.Su,W.T.Li.Global attractivity of a higher order nonliear difference equation[J].Differ.Equat.Appl.,11(2005)：947-958[6]X.X.Yan,W.T.Li.Global attractivity for a class of higher order nonliear difference equation[J]put.,149(2004)：533-546.[7]X.X.Yan,W.T.Li.Global attractivity in a rational recursivesequence[J]put.,145(2003)：1-12.。

两类差分方程的全局渐近稳定性研究的开题报告一、研究背景差分方程是一种离散时间动态系统，被广泛应用于自然及社会科学中的模型研究，如生态、经济、生物、物理等领域。

其中稳定性问题是差分方程理论中的关键问题，其解决对于保障系统输出的可靠性和正确性具有重要意义。

全局渐近稳定性是指随着时间的推移，系统状态在相空间内趋于某个稳定点或者周期轨道，这种稳定状态对于真实世界的应用至关重要。

二、研究目的本研究旨在通过对两类不同型差分方程的全局渐近稳定性分析，提供相应理论和实践指导，为相关领域的理论研究和实际应用提供一定的参考依据。

三、研究内容（1）求解一类非线性差分方程的渐进稳定性在不考虑噪声干扰的情况下，求解非线性差分方程的全局渐近稳定性成为了当前的研究热点之一。

通过分析其特殊性质和采用多项式矩阵不等式等方法，可以有效地获取系数变量的优化范围，以实现对于全局渐近稳定性的保证。

（2）研究二阶线性差分方程的稳定性二阶线性差分方程是差分方程中极为常见的形式之一，其稳定性问题研究对于研究自然现象具有重要的意义。

本研究中，我们将重点探讨其特征方程的根与其稳定性之间的关系。

同时，基于李亚普诺夫稳定性定理，提出一种新的方法分析二阶线性差分方程的李雅普诺夫稳定性性质。

四、研究方法本研究将采用数学分析、符号计算、数值模拟等多种研究方法进行大量的探索和实验，对两类差分方程的全局渐近稳定性进行深入细致的研究和分析。

五、研究意义通过深入探讨和研究两类差分方程的渐进稳定性，可以为实现系统动力学的质变和优化提供理论基础和实践指导，为相关领域的应用发展提供重要理论支持，促进其研究的深度和广度的拓展。

有关非线性有理差分方程的全局渐近稳定性证明的讨论作者：刘纯英来源：《科技视界》2016年第13期【摘要】本文主要探讨了非线性有理差分方程的全局渐近稳定性的定性性质，并总结了有理差分方程的全局渐近稳定性证明方法。

【关键词】差分方程；全局渐近稳定性；定性性质差分方程是与微分方程相平行的数学理论，差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律，就是针对需要解决的目标，引入系统或者过程中的离散变量。

根据实际背景的规律、性质、平衡关系等建立离散变量所满足的平衡关系式，从而建立差分方程，然后通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质，如平衡性、稳定性、振动性、周期性等。

从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他的分析，得到原问题的解。

近几十年来，在生态学、物理、化学、医学等诸多领域的研究中已经提出并运用了大量的时滞微分方程模型来描述研究对象，对这些数学模型的动力学行为的研究具有重要的实际意义和实际前景。

近来，高阶有理型差分方程的定性性质引起了大家的极大兴趣，研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局渐近稳定性没有固定的方法，对不同的问题所用的研究方法不同，Lyapunov 泛函方法仍是一种有力的工具，寻找有效的手段研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局渐近稳定性还有待于进一步探索。

比如文献[3]，das 建立方程：对四阶及以上阶次的差分方程解的全局渐近稳定性进行研究，这将对差分方程解的定性性质的研究有极大的推动作用。

由于全局渐近稳定性关于平衡解的半环的分布规律的样式繁多，由于在分析半环的过程非常复杂，因此，我们将用子序列分析法来研究一类高阶有理差分方程解的全局渐近稳定性。

一些结果被推广。

我们将通过建立辅助方程的方法，并且应用不动点的相关知识，研究一些高阶有理差分方程解的全局渐近稳定性。

近年来，随着计算机的广泛应用，出现了的大量的差分方程，这是因为一个离散过程的自然模型或者一个连续过程的离散模拟都可以产生差分方程。

一类二阶非线性差分方程的全局行为研究二阶非线性差分方程是指方程中含有二阶差分项的非线性方程。

这类方程在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用。

研究其全局行为可以帮助我们了解方程解的长期动态性质，对于预测、控制等方面具有重要的意义。

要研究一类二阶非线性差分方程的全局行为，首先需要确定方程解的有界性。

这可以通过构造Lyapunov函数或者利用一些已有的有界性定理进行证明。

有界性是研究全局行为的基础，因为只有在有界区域内的解才能保证全局性质。

确定了有界性后，我们可以进一步研究方程解的稳定性。

稳定性分为局部稳定和全局稳定两种情况。

局部稳定性是指方程解在其中一点附近的行为，全局稳定性是指方程解在整个定义域内的行为。

对于局部稳定性的研究，可以利用Liapunov直接法或者利用线性化技术进行分析。

而全局稳定性则较为困难，通常需要构造特殊的函数或者引入一些不变集来研究。

在研究了稳定性后，我们可以进一步研究方程解的周期性行为。

对于周期解的研究，通常可以通过构造Poincare映射或者利用周期解存在的充分条件进行分析。

周期解的周期与解的振荡特性有关，通过对解的周期性行为的研究可以得到关于方程解的更多信息。

此外，还可以研究方程解的同步和共振现象。

同步是指两个或多个解在一些条件下具有相同的行为，而共振是指方程解对一些外界驱动具有较大的响应。

研究同步和共振现象可以帮助我们了解方程系统的自身性质，以及如何通过外界驱动来影响系统的行为。

总之，一类二阶非线性差分方程的全局行为研究是一个复杂而有意义的课题。

通过研究方程解的有界性、稳定性、周期性行为以及同步共振现象，我们可以更好地了解方程的性质并预测其长期行为。

这对于控制、优化和决策等方面都具有重要的指导意义。

两类非线性差分方程的全局渐近稳定性席鸿建;孙太祥;赵金凤【期刊名称】《广西科学》【年(卷),期】2006(013)002【摘要】Two families of difference equations are discussed. They are the form xn+1=∑i∈Zk-{j,s,t}xn-i+xrn-t+xn-jxmn-s+A/∑i∈Zk-{j,s,t}xn-i+xmn-s+xn-jxrn-t+A,n=0,1,...,where k∈{2,3,...},j,s,t∈Zk≡{0,1,...,k} with s≠t andj( ){s,t},A,r,m∈[0,+∞) and the initial values x-k,x-k+1,...,x0∈(0,+∞),and the form xn+1=∑i∈Zk-{j0,j1,...,js}xn-i+xn-j0xn-j1...xn-js+1/∑i∈Zk-{j0,j1,...,js-1}xn-i+xn-j0xn-j1...xn-js-1,n=0,1,...,where k∈{1,2,3,...},1≤s≤k,{j0...,js}( )Zk with ji≠jl for i≠l and the initial values x-k,x-k+1,...,x0∈(0,+∞).For these difference equations,it is proved that the unique equilibrium =1 is globally asymptotically stable,which includes the corresponding results of the references [3～5,7].%利用泛函分析方法证明差分方程xn+1=∑i∈Zk-{j,s,t}xn-i+xrn-t+xn-jxmn-s+A/∑i∈Zk-{j,s,t}xn-i+xmn-s+xn-jxrn-t+A,n=0,1,...,其中k∈{2,3,...},j,s,t∈Zk≡{0,1,...,k}(s≠t,j( ){s,t}),A,r,m∈[0,+∞)且初始条件x-k,x-k+1,...,x0∈(0,+∞),和差分方程xn+1=∑i∈Zk-{j0,j1,...,js}xn-i+xn-j0xn-j1...xn-js+1/∑i∈Zk-{j0,j1,...,js-1}xn-i+xn-j0xn-j1...xn-js-1,n=0,1,...,其中k∈{1,2,3,...},1≤s≤k,{j0,…,js}( )Zk(ji≠jl对i≠l)且初始条件 x-k,x-k+1,...,x0∈(0,+∞)的唯一平衡点=1是全局渐近稳定的.该结果推广了文献[3～5,7]中相应的结果.【总页数】3页(P93-95)【作者】席鸿建;孙太祥;赵金凤【作者单位】广西财经学院数学系,广西南宁,530003;广西大学数学与信息科学学院,广西南宁,530004;广西大学数学与信息科学学院,广西南宁,530004【正文语种】中文【中图分类】O189.11【相关文献】1.一类非线性有理差分方程的全局渐近稳定性 [J], 刘纯英;谭淑芬;孙红果2.一类非线性差分方程组的全局渐近稳定性 [J], 全卫贞;孙太祥3.一类非线性有理差分方程的全局渐近稳定性 [J], 霍海峰;苗黎明;张良;向红4.非线性差分方程xn+1=f(xn,xn-k)的全局渐近稳定性 [J], 孙太祥;樊席誉;韩彩虹;秦斌5.有关非线性有理差分方程的全局渐近稳定性证明的讨论 [J], 刘纯英因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。