正交变换在解析几何中的应用

1、《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》简介：数学分析、高等代数与解析几何是大学数学系的三大基础课程，南开大学数学系孟道骥出版社:科学出版社; 第2版 (2011年1月5日)丛书名:普通高等教育"十一五"国家级规划教材平装: 480页/jpkc/gdds/第二版在以下几个方面作了修改。

为了降低学习难度，根据第一版使用的经验和反馈，我们把第一章里有关线性流形和子空间的内容删去，让这些概念到第三章才出现。

第二章的行列式定义还是使用通常的乘积交叉和的形式，把第一版使用的有向体积（即多重线性函数）定义作为几何意义放在评注里。

还把几何空间的直线与平面的内容集中放到新设的第四章。

考虑到以后计算多重积分的需要，在第六章第8节补充了有关求空间区域到坐标平面投影的求法，给出一个例题和一些习题。

此外对习题的顺序和配备做了整理，增加了一些入门级的基本题，较难的题排在后面，还打上星号，这样虽然每一节后面有不少习题，但教师可以根据不同的要求选取习题，从最易到很难，有很大选择余地。

根据华东师范大学几年来的经验，第一学年每周6学时（其中2学时习题课）可以把不打星号的内容教完。

第3学期开设每周2学时的选修课，讲授第十四章以及其他一些打星号的内容，这样可以使兴趣不同的学生各得其所。

在帮助学生熟悉数学软件方面，第二版增加了与Mapie平行的：Mathematica的内容，使用者可以从中选择一种。

由肖刚教授开发的网上互动式多功能服务站（WIMS）有了汉化的光盘版KNOWIMS，这是一个开放软件，可以免费使用。

即使在上网不易的偏远地区，只要有一台电脑，就能拥有一个w：IMS系统，而且教师还可以在这个系统里自行开发各种练习。

我们在附录中介绍了WIMS的用法，许多章节后面会介绍相应的练习。

希望广大师生能喜欢它，发展它。

当然这些有关计算机的内容都是选学的，有兴趣的读者可向高等教育出版社数学分社索取相关软件光盘。

第一章向量代数本章的主要内容是向量及其代数运算。

线性代数与解析几何
线性代数与解析几何是一门重要的数学课程，它给出了对抽象数学对象的抽象描述，以及它们的关系的数学分析。

它的主要内容包括线性空间，矩阵分析，线性变换，内积，线性方程组，范数，秩，特征值，基变换等。

解析几何是一种几何学的分支，它研究几何图形在空间中的形状和运动。

它也给出了对几何对象的抽象描述，以及它们之间的关系。

其主要内容包括几何体，几何图形，向量和矢量，空间变换，曲面，曲线，参数方程，正交变换，正切变换，积分变换等。

线性代数与解析几何的内容之间存在一定的关联，它们都是对抽象数学对象的抽象描述，以及它们之间的关系进行数学分析。

从线性代数的角度来看，解析几何可以用矩阵分析和线性变换来表示；从解析几何的角度来看，线性代数可以用参数方程，正交变换，正切变换，积分变换等来表示。

线性代数与解析几何对于现代科学技术的发展有着重要的作用，它们可以用来解决各种复杂的数学问题，如机器研究，数据挖掘，机器人技术，计算机图形学等。

线性代数与解析几何的研究也可以用于解决物理学和工程学中的实际问题，比如热传导，结构力学，电磁学，电子学等。

编号2009011146毕业论文（2013 届本科）论文题目：化二次型为标准形的方法学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级： 2009级本科（1）班作者姓名：王瑜指导教师：完巧玲职称：副教授完成日期： 2013 年 05 月 07 日目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (1)０引言 (1)1矩阵及二次型的相关概念 (1)1．1矩阵的相关概念 (1)1．2二次型的相关概念 (2)2化二次型为标准形的方法 (3)2．1配方法 (3)2．2初等变换法（合同变换法） (5)2．3正交变换法 (6)2．4雅可比法 (8)2．5MATLAB法 (12)3 小结 (14)参考文献 (15)英文摘要 (15)致谢 (16)陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：二O一年月日化二次型为标准形的方法王瑜 完巧玲（陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000 ）摘 要：化二次型为标准形的方法通常有配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法，这五种方法各有长处.本文通过对这些方法的归纳整理，使人们在解题时根据其特点和要求选取最佳方法，以达到简明快速的目的． 关键词：二次型；标准形；初等变换；正交变换；雅可比.０ 引言二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是化二次型为标准形．二次型化为标准形的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论应用也非常广泛．将二次型化为标准形往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在各个领域都有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准形的方法有重要的理论与应用价值．实数域P 上的二次型可通过配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法将其化为标准形．对于配方法或初等变换法即用非奇异变换py x =将其化为21i ni i y d ∑=（d i 为实数）的形式，然而这种方法不易求出矩阵P ，下面将介绍几种特殊方法，能够快速将原二次型化为标准形，并求出P ，使问题简化．下面首先介绍有关概念，再分别讨论二次型化为标准形的方法．1 矩阵及二次型的相关概念1．1 矩阵的相关概念定义]1[1.1.1 设V 是数域F 上的一个向量空间，V 中满足下列两个条件的向量组{n ααα,,,21 }叫做V 的一个基．i ) n ααα,,,21 线性无关；ii ) V 的每个向量都可以由n ααα,,,21 线性表示．定义]1[2.1.1 设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维向量空间V 的两个基．那么向量βj，n j ,,2,1 =，可以由n ααα,,,21 线性表示．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ 22112222112212211111，作一个n 阶矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a T212222111211则矩阵T 叫做由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵．定义]3[3.1.1 如果n 阶实方阵A 满足E A A T =即(1-=A A T 或E AA T =)， 则称A 为正交矩阵．定义]5[4.1.1二次型的矩阵n n ij a A ⨯=)(，若记111a =∆，222112112a a a a =∆， ，nnn nn a a a a1111=∆ ，则称1∆，2∆， ，n ∆为其顺序主子式．1．2 二次型的相关概念定义]2[1.2.1 设P 是一个数域，以P 中的数作系数的1x ，2x ， ，n x 的二次齐次多项式221211112121313112222323(,,...,)22...22...n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x =++++++++222...n n a x x +2nn n a x +称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.注：(1)这里非平方项的系数采用ij a 2主要为了后面矩阵表示方便． (2)实数域上的n 元二次型为实二次型;复数域上的n 元二次型为复二次型. (3)如果二次型中只含有变量的平方项，即12(,,...,)n f x x x =221122d x d x +2...n n d x ++称为标准形的二次型．简称标准形.定义]5[2.2.1 设V 是数域P 上一个线性空间，),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量α、β，根据f 都唯一地对应于P 中一个数),(βαf ．如果),(βαf 有下列性质： 1) ),(),(),(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+2) ),(),(),(22112211βαβαβααk f k k k f +=+其中1212,,,,,αααβββ是V 中任意向量，21,k k 是P 中任意数，则称),(βαf 为V 上的一个双线性函数．例如：欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数．定义]5[3.2.1 设),(βα=f 线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量βα,都有 ),(),(αββαf f =，则称),(βαf 为对称双线性函数．定义]5[4.2.1 设),(βαf 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数．12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(1111n n n n f f f f A εεεεεεεε叫做),(βαf 在12n ,,...,εεε下的度量矩阵．结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．2 化二次型为标准形的方法2．1 配方法用配方法化二次型为标准形关键是消去交叉项，分如下三种情形处理： 情形]4[1 如果二次型),...,,(21n x x x f 含某文字例如1x 的平方项，即011≠a ，则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性变换)(12212121111P c x y x y x c x c x c y j nn nn ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=得),...,(2211n y y g y d f +=，其中),...,(2n y y g 是2y ，…n y 的二次型．对),...,(2n y y g 重复上述方法直到化二次型f 为标准形为止．情形]4[2 如果二次型),...,,(21n x x x f 不含平方项，即0=ii a (n i ,...,2,1=)，但含某一个)(0j i a ij ≠≠，则可先作非退化线性替换 ),;,...,2,1(j i k n k y x y y x y y x kk j i j j i i ≠=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=把f 化为一个含平方项2i y 的二次型，再用情形1的方法化为标准形．情形]3[3 若011211====n a a a ,由对称性013121====n a a a ．此时j i ni nj ij x x a f ∑∑===22是1-n 元二次型，由归纳假设,它能用可逆线性变换化为标准形．例]2[1.1.2用配方法化下列二次型为标准形(ⅰ)3231212322212162252),...,,(x x x x x x x x x x x x f n +++++=； (ⅱ)32312121622),...,,(x x x x x x x x x f n -+=． 解（ⅰ）先集中所含1x 的项并配方，得32232232121652)(2x x x x x x x x f +++++=322322322321652)()(x x x x x x x x x ++++-++=233222232144)(x x x x x x x +++++=令 ⎪⎩⎪⎨⎧==++=.,,33223211x y x y x x x y 即 ⎪⎩⎪⎨⎧==--=.,,33223211y x y x y y y x 得上式右端除第一项外已不再含1y ，继续配方．可得23221)2(y y y f ++=令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+==.,2,3332211y z y y z y z )1( 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==.,2,3332211z y z z y z y )2(得标准形 2221z z f +=所用的可逆线性变换为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=.,2,333223211z x z z x z z z x )3(注：此题中它的标准形为2221z z f +=，它还是三元二次型，只是23z 的系数为零；所做的线性变换)2(必须有33z y =项，否则不是非退化线性变换．（ⅱ）因为f 中不含平方项而含21x x 乘积项，故令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=.,,33212211y x y y x y y x )1(代入二次型，得 3213212121)(6)(2))((2y y y y y y y y y y f --++-+=323122218422y y y y y y +--=再按情形1的方法配方 232322316)2(2)(2y y y y y f +---=令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=,,2,33322311y z y y z y y z )2( 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=,,2,33322311z y z z y z z y )3(则二次型化为 232221622z z z f +-=将式)1(代入式)3(，得可逆线性变换 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=.,,33332123211z x z z z x z z z x2．2 初等变换法（合同变换法）我们知道可逆矩阵可以表示为有限个初等矩阵1P ，2P ，…，m P 的乘积，即m m P P EP P P P C ......2121== )1.2.2(把上式代入式D AC C T =，得 D P P AP P P P m TTTm =......2112 )2.2.2(式)2.2.2(表明，对对称矩阵A 施行m 次初等行变换及相同的m 次初等列变换，A 就变为对角矩阵D ．而式)1.2.2(表明对单位矩阵E 施行上述的初等列变换，E 就变为可逆矩阵C ．这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵C 及对角矩阵D ，使得A 与D 合同的方法称为初等变换法．因此可得利用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下：第一步：写出二次型f 的矩阵A ，并构造n n ⨯2矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E A ；第二步：对A 进行初等行变换和同样的初等列变换化为矩阵D ，此时D AC C T =； 第三步：写出可逆线性变换CY X =化二次型为标准形DY Y f T =．这个方法可示意如下：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E A E A 换只进行其中的初等列变对和初等列变换进行同样的初等行变换对 例]6[1.2.2用初等变换把二次型3231213213),,(x x x x x x x x x f -+=经过非退化（可逆）线性变换化成标准形，并写出所作的非退化线性变换．解 ),,(321x x x f 的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=023212302121210A ， 用矩阵的初等行、列变换法，有−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯++211212)21(10001100102312302112111001000102321230211212110010001023212302121210rr c c r r E A−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+++-⨯313121100021102111101410101100021102110111410101100011001023114101211)21(c c r r c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----100121112111101410001−−−→−+-⨯32)4(r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100121112113001410001−−−→−+-⨯32)4(c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100121132113000410001因此，1001004003D ⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10012113211C 令CY X =．其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321y y y Y 得232221321341),,(y y y x x x f +-=所做的非退化（可逆）线性变换CY X =，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+-=.,21,32133********y x y y y x y y y x2．3 正交变换法对于任一n 阶实对称矩阵A ，一定存在正交矩阵T ，使得 Λ=-AT T 1其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21这里1λ，2λ，…n λ 是A 的n 个特征值． 注意到T 是正交矩阵，所以Λ==-AT T AT T T 1定理]3[1.3.2（主轴定理）对于任意一个n 元实二次型AX X x x x f T n =),...,,(21 一定能找到一个正交线性替换TY X =，把它变成标准形2222211...n n y y y λλλ+++ 其中1λ，2λ，…n λ是实对称矩阵A 的全部特征值，正交矩阵T 的n 个列向量恰为A 的对应特征值1λ，2λ，…n λ的标准正交特征向量． 用正交变换法化二次型为标准形的步骤归纳如下： 第一步：写出二次型f 的矩阵A ；第二步:求出A 的特征值，得1λ，2λ，…n λ； 第三步：求出对应的特征向量；第四步：将特征向量作施密特正交变换，得到正交的特征向量； 第五步：将正交的特征向量单位化；第六步：将这些单位化向量排成矩阵，得到正交矩阵Q ，这时Λ=='-AQ Q AQ Q 1其中Λ是对角矩阵，它由A 的特征值构成，即),...,(21n diag λλλ=Λ，写得时候要注意与特征向量的顺序一致；第七步：写出可逆线性变换QY X =，则有 2222211...n n y y y f λλλ+++= 因此只要求出特征根，二次型的标准形也就求出来了．正交变换更具实用性． 例]3[1.3.2 用正交变换化二次型-+++=21232221214552),...,,(x x x x x x x x f n323184x x x x -为标准形，并写出所用的正交变换．解 二次型的矩阵为222254245A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭．因为 )10()1()det(2--=-λλλA E ，所以A 的特征值为121==λλ，103=λ可求得对应的特征向量分别为1210ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2201ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3122ξ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭将1ξ，2ξ正交化 11210ηξ-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，212211125,4,51ξηηξηηη⎛⎫⎪⎪〈〉 ⎪=-⋅= ⎪〈〉 ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再将1η，2η，3ξ单位化10ψ⎛ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2ψ=，3132323ψ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 于是正交变换1122331323203x y x y x y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭化二次型为 23222110y y y f ++=2．4 雅可比法设V 是数域P 上一个n 维线性空间，取定V 的一组基12n ,,...,εεε，令α=∑=ni ii x 1ε，β=∑=ni i i y 1ε，T n x x X ),,(1 =，T n y y Y ),,(1 =，那么给定一个F 上的n 元二次型AX X T （其中A 是n 阶对称矩阵），则由A 可以定义一个V 上对称双线性函数),(βαf =AY X T ，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(1121n n n n f f f f A εεεεεεεε．反之亦然．在固定的基12n ,,...,εεε下，二次型AX X T 和对称双线性函数),(βαf =AY X T 是互相唯一确定的（都是由A 确定的）． 这种方法的中心问题是：对在V 的基12n ,,...,εεε下有二次型AX X T 确定的对称双线性函数),(βαf =AY X T ，满足条件0),(=j i f ηη，对),...,2,1,(n j i j i =≠设{1n ,...,ηη}是V 的另一组基，而n n ij b B ⨯=)(=)),((j i f ηη是),(βαf 关于这个基的矩阵，又设n n ij c C ⨯=)(是由基12n ,,...,εεε到基1n ,...,ηη的过渡矩阵，即∑==nj j ij i c 1εη，n i ,...,2,1= 那么 AC C B T =即一个双线性函数关于V 的两个基的两个矩阵是合同的．在n R 中，从一个基12n ,,...,εεε出发，利用施密特正交化方法，可以构造一个与之等价的正交基1n ,...,ηη．该方法的实质就是设 111121212221122,,.n n n nn n c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+++⎩然后用待定系数法求使得0),(=j i f ηη（其中j i ≠，n j i ,...,2,1,=）的系数ij c ．是否能构造如下形式的基1n ,...,ηη：111121212221122,,.n n n nn n c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+++⎩使得0),(=j i f ηη，对),...,2,1,(n j i j i =≠解 将j jj j j j c c c εεεη+++= 2211代入),(j i f ηη得),(),(2211j jj j j i j i c c c f f εεεηηη+++==),(),(),(221j i jj i j i i j f c f c f c εηεηεη+++ ，所以，若对任意的i 及j i <有0),(=j i f ηη，则对i j <，也有0),(=j i f ηη，又因双线性函数),(βαf 是对称的，则对i j >，有0),(),(==i j j i f f ηηηη，即1n ,...,ηη是所求的基。

南京师范大学《高等几何》课程教学大纲课程名称：高等几何（Higher Geometry）课程编号：06100020学分：3学时：90先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I)替代课程：无一、课程教学目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。

本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。

通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。

概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。

即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。

如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。

（7）学会构造射影图形。

因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。

二、教学任务通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务：1、完成上述教学目的。

圆的某些几何性质在椭圆中的推广学生姓名：郝国英指导教师：何斌（太原师范学院数学系14023班山西·太原030012）【内容提要】本文首先利用解析几何知识证明出任何圆柱面的斜截面是椭圆；然后利用此结论，并结合仿射变换的定义证明：对于任何一个椭圆，都可找到某一确定的圆，使它们在仿射变换下等价。

利用上述结论将圆的某些几何性质（仿射不变量）推广到椭圆中。

【关键词】坐标轴旋转仿射等价柱面准线一、引言：圆是具有优美对称性的几何图形，也是平面几何中研究较彻底的几何图形之一，它具有许多几何性质。

然而仅仅利用平面几何的研究方法，较难解决与圆非常类似的几何图形的几何性质。

在高中解析几何学习中可以知道，在直角坐标系下，圆与椭圆的方程非常类似。

但是平面几何中研究椭圆的几何性质相当困难。

如果跳出平面几何的证明束缚，利用其它几何学的方法可以得出椭圆的某些几何性质。

生活中可以看到如下事实：将装一定量水的圆柱形水瓶倾斜后，水面图与椭圆相当接近。

这一事实可以给出本文的思路：即利用圆柱面做桥梁，通过研究它的截面图，建立圆与椭圆的联系，然后将圆的某些几何性质推广到椭圆中。

二、圆的仿射性质在椭圆中的推广：为使文章内容逻辑清晰，可以分三步研究分析这一问题；首先，来研究圆柱面的截面图。

由立体几何中截面图的定义可知圆柱面的截面图一定与它的直母线相交（注数学上研究的圆柱面没有上下边界）。

由于圆柱面与其截面的任意性和变化性所以利用解析几何可以得出如下结论：引理1. 圆柱面的斜截面是椭圆。

问题分析：解析几何是将几何问题代数化，因此对于一些几何图形在适当的坐标系下，可由它方程的特点得出其几何形状。

基于这一事实，可以在选取尽可能简单的坐标系，在此坐标系下得出圆柱面与它斜截面交线方程然后由方程来证明它的几何形状是解决这一问题的整体思路。

圆柱面与其斜截面交线涉及到空间曲线问题，因此必须建立三维坐标系，为了利用高中解析几何的结论，在本文中选取笛卡尔右手直角坐标系。