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正交矩阵与正交变换正交矩阵和正交变换在数学和物理学领域具有重要的地位和应用。
它们被广泛用于描述旋转、镜像、对称性等问题。
本文将介绍正交矩阵和正交变换的概念、性质和应用。
一、正交矩阵的概念和性质正交矩阵是一个实矩阵，其列向量两两正交且长度为1。
简言之，正交矩阵的转置与逆矩阵相等。
正交矩阵的定义可以表示为：若矩阵A的转置与逆矩阵相等，则A为正交矩阵。
由正交矩阵的性质可知，正交矩阵的行向量也是两两正交且长度为1。
正交矩阵的性质还包括以下几点：1. 正交矩阵的行列式等于1或-1；2. 正交矩阵的任意两列（行）满足内积等于0，任意一列（行）的长度为1；3. 正交矩阵的转置等于逆矩阵。
正交矩阵的一个重要应用是在旋转变换中。
将一个向量乘以一个正交矩阵，相当于对该向量进行了旋转变换。
这是因为正交矩阵的列向量构成了一个正交基，可以用于表示旋转方向和角度。
二、正交变换的概念和性质正交变换是指在二维或多维空间中，保持长度和角度不变的线性变换。
正交变换可以由正交矩阵表示，应用于几何学、物理学、图形学等领域。
正交变换的一个典型例子是旋转变换。
通过定义旋转角度和旋转轴，可以得到对应的正交矩阵，然后将该矩阵应用于向量，实现向量的旋转。
正交变换的性质包括：1. 正交变换保持向量长度不变。
即对于向量x，有 ||Tx|| = ||x||，其中T表示正交变换。
2. 正交变换保持向量之间的夹角不变。
即对于向量x和y，有cos(θ) = cos(Tx, Ty)，其中θ表示向量x和y之间的夹角，Tx和Ty表示应用正交变换T后的向量。
三、正交矩阵与正交变换的应用正交矩阵和正交变换在众多学科和领域中具有广泛应用，以下列举几个常见的应用领域：1. 几何学中的坐标变换：正交变换可以实现向量在不同坐标系之间的转换，例如平移、旋转和缩放等操作。
2. 物理学中的对称性：正交矩阵和正交变换被用于描述物理系统的对称性，如空间反演、时间反演等。
3. 图形学中的变换：正交变换被广泛应用于图形学中的三维模型变换和视图变换，实现图形的旋转、缩放和投影等操作。
欧几里得空间中的正交基与正交变换欧几里得空间是一个重要的数学概念，它涉及到向量、点、线和平面等几何图形的性质与关系。
在欧几里得空间中，正交基和正交变换是其中两个重要的概念。
本文将对欧几里得空间中的正交基和正交变换进行探讨，旨在帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、正交基在欧几里得空间中，正交基是指一组向量中的每两个向量都相互垂直。
更具体地说，如果向量v₁、v₂、...、vₙ满足vᵀᵢ·vₙ=0（其中1≤i≠j≤n，vᵀ表示向量的转置），则称这组向量为正交基。
正交基的一个重要性质是它们是线性无关的，这意味着没有任何一个向量可以表示成其他向量的线性组合。
因此，正交基可以作为欧几里得空间的一个基础，用来描述和计算向量的性质和关系。
在实际应用中，正交基有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，使用正交基可以轻松地描述和转换三维空间中的物体位置和方向；在信号处理中，正交基可以用来表示和处理复杂的信号和波形；在机器学习中，正交基可以用来降低数据的维度和提取有效特征等。
二、正交变换正交变换是指在欧几里得空间中保持向量长度和夹角不变的线性变换。
简单来说，正交变换是一种保持形状不变的变换。
正交变换的一个重要特性是它可以保持向量的正交性。
也就是说，如果两个向量在变换前相互垂直，那么它们在变换后仍然相互垂直。
这一性质使得正交变换在几何学和物理学中得到广泛应用。
常见的正交变换包括旋转、反射和投影等。
通过这些变换，我们可以改变向量的方向、位置和维度等属性，从而得到新的向量和图形。
正交变换还有一些特殊的性质。
例如，正交变换的逆变换是它本身的转置矩阵。
这个性质使得正交变换比较容易求解和应用。
结语正交基和正交变换是欧几里得空间中的两个重要概念，它们在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
正交基可以作为描述和计算向量性质的基础，而正交变换可以保持向量的长度和夹角不变，用于改变和操作向量的属性。
通过理解和应用正交基和正交变换，我们可以更好地理解欧几里得空间中的几何性质，并且能够应用于各个领域的实际问题。
线性代数中的正交变换与正交矩阵线性代数是一门研究向量空间及其运算规律的数学学科，正交变换和正交矩阵是其中重要的概念之一。
本文将介绍正交变换和正交矩阵的定义、性质以及其在线性代数中的应用。
一、正交变换的定义与性质正交变换是指一种保持向量内积不变的线性变换。
设V是一个n维向量空间，线性变换A:V→V是一个正交变换，当且仅当满足以下条件：1. 对于V中任意两个向量u、v，有(Au)·(Av) = u·v，其中·表示两个向量的内积；2. A是一个满秩的矩阵，即A的行与列都线性无关。
正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换保持向量的长度不变，即对于任意向量v，有||Av|| = ||v||，其中||v||表示向量的长度；2. 正交变换保持向量之间的夹角不变，即对于任意向量u、v，有夹角(Au, Av) = 夹角(u, v)，其中夹角(u, v)表示向量u和v之间的夹角；3. 正交变换的逆变换也是正交变换，即如果A是一个正交变换，则存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵；4. 正交变换的矩阵表示是一个正交矩阵。
二、正交矩阵的定义与性质正交矩阵是指行列式的值为1或-1的实矩阵。
设A是一个n×n的矩阵，如果A满足以下条件，则称A是一个正交矩阵：1. A的转置矩阵A^T与A的乘积等于单位矩阵，即A^T × A = I；2. A的行（或列）向量构成一组标准正交基。
正交矩阵具有以下重要性质：1. 正交矩阵乘积依然是一个正交矩阵，即如果A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；2. 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即如果A是一个正交矩阵，则A^T是其逆矩阵；3. 正交矩阵的行（或列）向量是一组标准正交基，即正交矩阵的行（或列）向量互相正交且长度为1；4. 正交矩阵的行列式的值为1或-1，即|A| = 1或|A| = -1。
三、正交变换与正交矩阵的应用正交变换和正交矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
正交变换特征值正交变换是线性代数中的一个重要概念，其作用是改变向量的方向和长度，但不改变向量间的夹角和向量的长度比。
而特征值则是指某个线性变换在某个向量空间中具有的一些特殊性质。
在这篇文章中，我们将会探讨正交变换和特征值之间的关系，以及它们在实际应用中的意义。
1. 正交变换的定义和性质正交变换是指一个矩阵满足其列向量组成的向量组是一个正交基。
换句话说，正交变换保持向量的正交性质。
以下是正交变换的一些性质：- 正交变换不会改变向量间的夹角和向量的长度比。
- 正交变换的逆矩阵等于它的转置矩阵。
2. 特征值的定义和性质特征值是指某个线性变换在某个向量空间中具有的一些特殊性质。
特征值通常被表示为λ，对应着特征向量 v。
对于一个 n 阶线性方程组Ax= λx，如果解向量 x 不为零向量，则λ 被称为 A 的特征值，x 被称为 A 的特征向量。
以下是特征值的一些性质：- 特征值与特征向量成比例，即λx = Ax。
- 矩阵的特征值等于其特征多项式的根。
3. 正交变换和特征值的关系在矩阵的特征值和特征向量求解中，正交变换起到了重要作用。
对于正交矩阵 Q，如果它作用在一个向量上使其变为 v，那么它对应的变换矩阵就是 Q。
而对于一个矩阵 A，如果它作用在向量 v 上使其变为 w，那么矩阵 A 对应的变换矩阵就是 [w] = A [v]。
如果将一个矩阵 A 乘以一个正交矩阵 Q，即 AQ，那么该变换保持向量长度比和角度不变，因此变换后的矩阵 A 的特征跟之前是相同的。
这就意味着，如果我们想要改变一个矩阵的特征值，就需要用到非正交变换。
4. 正交变换和特征值在实际应用中的意义在一些实际应用中，正交变换和特征值有着重要的应用。
例如，正交变换可以用于图像处理中的图像旋转和镜像，可以用于实现数字信号的压缩和编码，以及刻画分形和混沌现象等。
特征值则可以用于求解线性微分方程，以及在机器学习和数据分析中进行降维和主成分分析等。
通过求解特征值和特征向量，我们可以将高维数据压缩成低维数据，并保留原有数据的主要信息。
实数域上正交变换的分类一、正交变换定义1.1 设A是欧氏空间V的一个线性变换,若A保持向量的内积不变,即对于任意的α，βεV都有(Aɑ，Aβ) = (ɑv，β)，则称A为V的正交变换.二、等价条件定理2.1 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换,则下列命题等价:1)A是正交变换；2)A保持向量的长度不变,即对于V，|Aα|=|ɑ|；3)A把V的规范正交基变为V的规范正交基；4)A在规范正交基下的矩阵是正交矩阵.⇒2）对于αεV, 由证：1）(Aɑ，Aɑ)=(ɑ，ɑ),即得：|Aɑ|=|ɑ|2）⇒3）设ε1，ε2，…，εn是V的任一规范正交基,记εi+εj=ɑεV.由|Aɑ|=|ɑ|或(Aɑ，Aɑ)=(ɑ,ɑ)得(A(εi+εj)，A(εi+εj))=(εi+εj，εi+εj）而(A(εi+εj)，A(εi+εj))=(Aεi，Aεi)+2(Aεi，Aεj)+(Aεj，Aεj)=(εi ，εi)+2(εi ，εj)+(εj ，εj)(εi+εj,εi+εj ）=(εi ，εi)+2(εi ，εj)+(εj ，εj)故 A ε1，A ε2，…，A εn 是V 的一组规范正交基. 3)⇒4）设ε1，ε2，…，εn 是V的规范正交基,A(ε1，ε2，…，εn)=(A ε1， A ε2，…，A εn)= (ε1，ε2，…，εn)A由3), A ε1，A ε2，…，A εn 是0,(,)(,)1,i j i j i j A A i j εεεε≠⎧∴==⎨=⎩V的规范正交基,故A可看作是由规范正交基ε1，ε2，…，εn到规范正交基Aε1，Aε2，…，Aεn的过渡矩阵,A是正交矩阵.4) 1）设ε1，ε2，…，εn是V 的规范正交基,且A在此基下的矩阵A为正交矩阵.由(Aε1，Aε2，…，Aεn)= (ε1，ε2，…，εn)A,知Aε1，Aε2，…，Aεn也是V的规范正交基,设α=x1ε1+x2ε2+……x nεn,Β=y1ε1+y2ε2+……y nεn,Aɑ=x1Aε1+x2Aε2+…+xnAεnAβ=y1Aε1+y2Aε2+…+ynAεn (Aα,Aβ)= x1y1+x2y2+…+xnyn(α,β)= x1y1+x2y2+…+xnyn 所以 (A α，A β)=(α，β),故A 为正交变换.三、规范正交基到规范正交基的过渡矩阵。
2021年4月Apr. ,2021第37卷第2期Vol. 37,No. 2滨州学院学报JournalofBinzhou University 【教育教学研究】正交变换的分类李志秀(晋中学院数学系，山西晋中030600)摘要：正交变换是欧氏空间中一类非常重要的变换，在高等代数体系中起着重要的作用， 根据本征值的不同，给出了正交变换在二维空间下的分类，得到四种不同的情形。
关键词：正交变换；本征值；正交矩阵中图分类号：O 151 文献标识码：A DOI ：10.13486/ki. 1673 - 2618.2021.02. 0160引言正交变换是欧氏空间中一类非常重要的变换，是能够保持度量不变的变换，在整个高等代数体系中起 着重要的作用，对研究数学的内部结构和实际应用都很重要。
许多学者从几何的不同角度对正交变换做 过研究笔者拟从代数、本征值的角度出发，根据正交变换的本征值，对二维欧氏空间的正交变换进行 分类&在几何中，对图形进行旋转、对称以及两者的复合变化后使得图形的大小和形状都不发生变化，称为 正交变换&而在代数中，若欧氏空间V 的一个线性变换。
，对任意的向量"，$都属于线性空间时，都有 (%(") ,%($)) = ",$)，则称%是正交变换&1主要定义和引理定义1欧氏空间V 的一个线性变换％,若对于V 中任意向量"都有％(") I = l "l ，则称％是正交变 换&定义2若”阶实矩阵U 满足UU T =U T U = I ，则称U 为正交矩阵&引理1&5'欧氏空间V 的一个线性变换％是正交变换的充要条件是：对于V 中任意向量",$，都有 (%("),%($))—(",$)&引理2欧氏空间V 的正交变换％的本征值是1或者一1。
证明 因为正交变换％，则2"'V 有％(") | = |"|，设%(")="，则,=士1。
正交矩阵与正交变换正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与正交变换密不可分。
正交矩阵是一个方阵，其列向量是单位正交的，即彼此正交且模长为1。
正交变换是指将空间中的向量通过某种线性变换映射到另一个向量空间，并保持向量间的角度和长度关系不变。
正交矩阵正交矩阵是一个方阵，满足以下条件： 1. 矩阵的每一列都是单位正交的，即列向量之间两两正交，且每个列向量的模长为1。
2. 矩阵的每一行也是单位正交的，即行向量之间两两正交，且每个行向量的模长为1。
3. 矩阵的转置等于其逆，即A T=A−1。
正交矩阵的性质：1. 正交矩阵的行列式的值为1或-1。
2. 正交矩阵是可逆的，其逆矩阵也是正交的。
3. 正交矩阵的转置也是正交矩阵。
4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
正交矩阵在许多领域中有重要的应用，如图像处理、信号处理、几何变换等。
通过正交矩阵，我们可以实现旋转、镜像、投影等线性变换，从而处理和分析各种数据。
正交变换正交变换是指保持向量间的长度和夹角关系不变的线性变换。
在几何学中，正交变换是保持欧几里德空间中距离和内积不变的变换。
常见的正交变换包括旋转、镜像和投影等。
正交变换的特点： 1. 正交变换是保长度性的，即向量的长度在变换前后保持不变。
2. 正交变换是保角度性的，即向量之间的夹角在变换前后保持不变。
正交变换在图形学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。
通过正交变换，我们可以实现坐标系之间的转换、数据的降维和压缩等操作，为数据处理和分析提供了便利。
总结正交矩阵与正交变换是线性代数和几何学中重要的概念，它们在数据处理、图像处理、物理学等领域有着广泛的应用。
正交矩阵具有列向量和行向量单位正交的特性，而正交变换是保持向量长度和夹角不变的线性变换。
通过深入了解正交矩阵与正交变换，我们可以更好地理解和应用线性代数的知识，为问题求解和数据处理提供更多可能性。
特殊的正交基与正交变换任丽君（200411033）数学科学学院04级1班 指导老师：阿勇嘎摘 要：利用欧氏空间的内积给出了准正交基、准正交变换、拟正交基和拟正交变换的概念, 研究它们与正交矩阵之间的关系,推广了正交基、正交变换等结果. 关键词：正交基；准正交变换；拟正交变换；正交矩阵一、 引 言本文主要讨论了特殊的正交基与正交变换的一些性质.在讨论过程中所用到的定义，以下面8个定义形式给出：定义]5[1设=∈∈j i n R c V ααααα,,,,,21若 ⎩⎨⎧≠=ji ji c0,(n j i ,,3,2,1, =) 则称n ααα ,,21为n 维欧氏空间V 的c - 准正交基定义]6[2 设τ是欧氏空间V 的一个对称变换,如∀α∈V , α≠0 恒有αατ),(> 0 ,则称τ为V 的一个正定变换.定义]6[3 设τ是V 的正定变换,称αατ),(为向量α∈V 的τ-拟长度,记为τα. 设α,β是V 的两个非零向量,则称τττβαβατθ),(arccos =为α与β的τ-拟夹角.定义]6[4 设τ是欧氏空间V 的一个正定变换,α,β∈V ,如果βατ),(= 0 ,则称α与β是τ-拟正交的.定义]6[5 n 维欧氏空间V 的一个基{n ααα ,,21}称为V 的-τ拟正交基，=j i αατ),(若⎩⎨⎧≠=j i ji 当当01,(n j i ,,3,2,1, =)即基向量的拟长度都是1 ,且是两两拟正交的.定义]6[6 设τ是V 的正定变换,称αατ),(为向量α∈V 的τ-拟长度,记为τα. 设α,β是V 的两个非零向量,则称τττβαβατθ),(arccos=为α与β的τ-拟夹角.定义]5[7 设σ∈L ( V ) , c ∈R , c >0 ,若∀α,β∈V 有=)(),(βσασβα,c ,则称σ为V 的c - 准正交变换.定义]6[8 设σ ∈L(V) ,如果存在V 的正定变换τ使τασ)(=τα , ∀α ∈V . 则称σ为V 的一个τ-拟正交变换. 即σ是τ- 拟正交变换本文所用的记号和术语均取自文献[1]，在本文中使用但没有被给出的记号取自文献[2]，[3].以下的引理都是本文得出的主要定理的推论： 引理1是本文得出的定理1的一个推论引理]5[1 向量的长度具有以下性质: ∀α,β∈V ,(1) α ≥0 ; α = 0 ⇔α= 0. (2) αα∙=k k , ∀k ∈R .引理2是本文得出的定理2的推论.引理]5[2 从c - 正交基{n ααα ,,21}到c - 正交基{n βββ ,,21}的过渡阵U 必是正交阵.引理3是本文得出的定理3的推论.引理]5[3 设σ ∈L(V)，{n ααα ,,21}为V 的一个标准正交基，则σ为V 的c - 准正交变换的充要条件是：{)(),(),(21n ασασασ }为V 的c - 准正交基.引理4是本文得出的定理4的重要推论.引理]5[4 (1) V 的两c - 准正交变换σ与τ的乘积στ是V 的2c - 准正交变换; (2) V 的c - 准正交变换σ的特征根必为± c .二、主要结果及其证明以下为本文所得出的主要定理及其证明.定理1为引理1的推广，当把定理1的τ变换取成单位变换ι时，就会得出引理1的结论.定理1 向量的拟长度具有以下性质: ∀α,β∈V ,(1) τα ≥0 ; τα = 0 ⇔α= 0. (2) τταα∙=k k , ∀k ∈R .(3) 推广的三角不等式: τβα+ ≤τα+τβ.证明 (1) 由定义1 直接得到.(2) =ταk αατk k ),(=αατ),(2k = kαατ),(=k τα.(3) 2τβα+=βαβατ++),(=αατ),(+ 2βατ),(+ββτ),( ≤αατ),(+ββταατ),(),(2><<+ββτ),(=.)(2ττβα+所以2τβα+ ≤τα+τβ.定理2是引理2的推广，把定理2的τ变换取成单位变换ι时，就会得出引理2的结论.定理2 设U 是欧氏空间V 的-τ拟正交基{n ααα ,,21}到V 的基{n βββ ,,21}的过渡矩阵,那么{n βββ ,,21}是V 的τ-拟正交基的充要条件为U 是正交矩阵.证明 令)(ij u U =由条件有=i β∑=nk k ki u 1α (n i ,,3,2,1 =)于是当U 是正交矩阵时,=j i ββτ),(∑∑==nl l lj n k k ki u u 11),(αατ=∑∑==n l l lj nk k kiu u11),(αατ=∑∑==n k nl lj ki u u 11l k αατ),(=∑=nk kj ki u u1kk αατ),(=∑=nk kj ki u u 1=⎩⎨⎧≠=j i ji 当当01,(n j i ,,3,2,1, =)即{n βββ ,,21}是V 的τ-拟正交基.反过来，当{n βββ ,,21}是V 的τ-拟正交基时，有=ji ββτ),(⎩⎨⎧≠=j i j i 当当01从而∑=nk kj ki u u 1=⎩⎨⎧≠=j i j i 当当01,(n j i ,,3,2,1, =)即U 是正交矩阵.定理3是引理3的推广，当把定理3的τ变换取成单位变换ι时，就会得出引理3的结论.定理3 设{n ααα ,,21}为欧氏空间V 的-τ拟正交基，σ ∈L(V). 那么σ 是V 的τ-拟正交变换的充要条件为{)(),(),(21n ασασασ }为V 的τ-拟正交基.证明 必要性:若有实数n ααα ,,21使∑==nk k k 10)(ασα,那么∑==nk k k 10)(αασ.于是 0==0),(i ατσ )(),(1k nk k i αασατσ∑=k nk k i ααατ∑==1),(∑==nk k 1αk i αατ),(i α=i i i ααατ=),(. (n i ,,3,2,1 =)所以{)(),(),(21n ασασασ }线性无关,从而作成V 的基.由σ是V 的τ-拟正交变换得=)(),(j i ασατσ=j i αατ),(⎩⎨⎧≠=j i ji 当当01(n j i ,,3,2,1, =)由定义8可知，{)(),(),(21n ασασασ }是V 的τ-拟正交基. 充分性: ∀α ∈V ：α=∑=nk k k 1αα，有=)(),(ασατσ=∑∑==nl lln k ki11)(),(ασαατσα∑∑==n k n l l k 11αα=)(),(l k ασατσ∑==nk k 12α=)(),(l k ασατσ∑∑==nk nl l k 11αα==∑∑==nl lln k kk11),(ααατααατ),(.所以σ是V 的τ-拟正交变换.定理4是引理4的推广，当把定理4的τ变换取成单位变换ι时，就会得出引理4的结论.定理4 (1)设1σ, 2σ都是V 的τ-拟正交变换,则21σσ也是V 的τ-拟正交变换.(2) 拟正交变换的特征值为1 或- 1.证明 (1)∀α ∈V ,有=)(),(2121ασσαστσ=))(()),((2121ασσαστσ=)(),(22ασατσαατ),(.注意到21σσ ∈L(V),可知21σσ也是V 的τ-拟正交变换.(2)证明 设,σ是V 的τ-拟正交变换,λ为σ的特征根, ξ是σ属于λ的特征根定义7, =ξξτ),(=)(),(ξσξτσ2),(λλξλξτ=ξξτ),(.因0≠ξ,有定义2得0),(≠ξξτ.所以12=λ,1±=λ.推论 正交变换的特征值为1 或- 1.参考文献[ 1 ] 张禾瑞、郝新《高等代数》北京: 高等教育出版社[ 2 ] 袁晖坪《关于正交变换的判定》曲阜师范大学学报(自然科学版) [ 3 ] 袁晖坪《再谈欧氏空间的变换与线性变换》 [ 4 ] 袁晖坪《对称双线性函数与线性变换》 [ 5 ] 邹本强《欧氏空间三种变换之间的关系》 [ 6 ] 袁晖坪《准正交基与准正交变换》 [ 7 ] 张君敏《准正交变换的若干性质》Special orthogonal basis and orthogonal transformationRenlijun 200411033Mathematics institute Mathematics and applied mathematics 04 levels of 1 class Abstract: Euclidean space within the plot are given quasi-orthogonal-based, quasi-orthogonal transformation, to be orthogonal basis and to transform orthogonal concept, study them and orthogonal matrix of the relationship between the promotion of the orthogonal Base, such as orthogonal transformation resultsKey words: orthogonal basis; quasi-orthogonal transform, to be orthogonal transformation; orthogonal matrix。
