幂零矩阵性质及应用

线性代数中的幂等矩阵与幂等算子线性代数是研究向量空间与线性变换的数学分支。

在线性代数中，存在一类特殊的矩阵和算子，称为幂等矩阵和幂等算子。

本文将介绍幂等矩阵和幂等算子的定义、性质以及应用。

一、幂等矩阵的定义和性质在线性代数中，幂等矩阵是指矩阵和自身相乘后仍然保持不变的矩阵。

具体地，对于一个n×n的矩阵A，如果满足A^2=A，那么A就是一个幂等矩阵。

幂等矩阵有以下性质：1. 幂等矩阵的特征值只能是0或1。

设A是一个幂等矩阵，λ是A 的特征值，那么有A^2x=Ax=λx。

将A^2x=Ax代入到Ax=λx中可得A(Ax)=λ(Ax)，即A^2x=λ^2x，由于A是幂等矩阵，即A^2=A，所以有λ^2x=λx，即(λ^2-λ)x=0。

因为x不为0，所以必然有(λ^2-λ)=0，即特征值λ满足λ(λ-1)=0，所以λ=0或λ=1。

2. 幂等矩阵的秩等于其迹。

设A是一个幂等矩阵，根据特征值的性质，A的特征值只能是0或1。

设A的特征值1的个数为r，那么0的个数为n-r，由于特征值的个数等于矩阵的秩，所以A的秩为r。

又因为迹等于特征值之和，所以A的迹为r×1+(n-r)×0=r。

3. 幂等矩阵具有不变子空间。

设A是一个幂等矩阵，对于任意非零向量x，由A^2x=Ax可知Ax在不变子空间中。

不变子空间是线性代数中一个重要的概念，表示矩阵作用下保持不变的向量组成的空间。

幂等矩阵的不变子空间是其所有特征值为1对应的特征向量张成的空间。

二、幂等算子的定义和性质幂等算子是指线性变换与自身复合后仍然保持不变的线性变换。

可以看出，幂等算子的定义与幂等矩阵的定义是相似的。

幂等算子的定义如下：对于一个向量空间V上的线性变换T，如果满足T^2=T，那么T就是一个幂等算子。

幂等算子也有一些类似于幂等矩阵的性质：1. 幂等算子的特征值只能是0或1。

与幂等矩阵类似，设T是一个幂等算子，λ是T的特征值，那么有T^2v=Tv=λv。

矩阵幂级数的收敛性质和应用孙延彬【摘要】根据矩阵幂级数的定义和数学分析中幂级数的收敛性质,运用类比的推理方法,在已知知识的基础上,验证并总结了矩阵幂级数的部分相应的收敛性质.【期刊名称】《和田师范专科学校学报》【年(卷),期】2010(029)003【总页数】4页(P198-201)【关键词】矩阵幂级数;范数;收敛性质【作者】孙延彬【作者单位】平顶山学院团委,河南平顶山,467000【正文语种】中文作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容；作为一种基本的工具，矩阵理论在数学以及其他科学技术领域，如数值分析、最优化理论、概率论、运筹学、控制理论、力学、电学、信息科学与技术、管理科学与工程等学科都有着重要的应用。

其中矩阵级数以及矩阵幂级数在建立矩阵函数和解决微分方程的许多问题时，也有着重要的应用。

目前有很多关于矩阵、幂级数以及矩阵幂级数的研究：曹玉平发表过《矩阵幂级数绝对收敛性的判定》，林金火发表过《矩阵幂级数的收敛性质》等，这篇文章从矩阵序列的收敛性质来讨论矩阵级数以及矩阵幂级数的收敛性质，主要分四个部分：范数的定义和有关性质、矩阵序列的定义和收敛性质、矩阵幂级数的收敛性质和应用。

定义 1.1 设V是数域F（一般为实数域R或复数域C）上的线性空间，用表示按某个法则确定的与向量x对应的实数，且满足：（1）非负性：当当且仅当（2）齐次性：为任意数；（3）三角不等式：对于V中任何向量x, y都有则称实数是向量x的范数。

定义1.2 设向量对任意数称xp−量为向量的范数。

常用的范数有下述三种：（1）1-范数（2）2-范数也称为欧氏范数；（3）∞-范数定义1.3 设V是n维线性空间，和为任意两种向量范数（不限于p−范数），则总存在正数对V中所有向量x∈V，总有则称这两种向量范数是等价的。

定义1.4 对于任何一个矩阵A ∈ Cm×n，用表示按照某个法则确定的与矩阵A对应的实数，且满足：（1）非负性：当时，；当且仅当时，（2）齐次性：k为任意复数；（3）三角不等式：对于任意两个同类型矩阵A, B都有（4）矩阵乘法相容性：若A与B可乘，有则称对于A的这个实数是矩阵A的矩阵范数。

复矩阵的Jordan 标准形的性质及应用学生姓名：李英红 指导教师：周芳（太原师范学院 数学系0802班 2008101217）摘要：任意一个矩阵并非都与对角矩阵相似，当一个矩阵不能与对角矩阵相似时，可以找到一个比较简单的类似于对角矩阵的矩阵与它相似。

本文主要介绍相似于一个简单的类似对角矩阵的性质和应用，对于今后的学习有很大的帮助。

关键词：对角矩阵 若当标准形 幂零矩阵 相似 正文1、 定义 形如11i ii ii i m mJ λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ 的方阵称为i m 阶的Jordan 块,i c λ∈,通常记为()i n i J λ.2、 定义若当形 由若干个Jordan 块组成的准对角阵12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为Jordan 标准形。

定理1 复数域c 上两个n 阶矩阵A 和B 相似E A E B λλ⇔--与等价证明 ""⇒若A 和B 相似,存在可逆矩阵T ,使得1B T AT -=,所以1()E B T E A T λλ--=-,因而E A E B λλ--与等价.""⇐E A E B λλ--与等价,则有相同的不变因子,相同的初等因子,则可推得A 和B 相似.定理2 (Jordan 标准形定理)每个n 阶的复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似,这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列次序外被A 唯一决定，记为A J .证明 设n 阶的矩阵A 的特征矩阵E A λ-的 初等因子为1212(),(),,()sk kks λλλλλλ--- (2.1)令11i ii ii i m mJ λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 并令12s J J J J ⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则E J λ-的全部初等因子也为（2.1）式 则A 和J 相似推论1 复矩阵A 与对角矩阵相似⇔E A λ-的初等因子都是一次的。

㊀[收稿日期]２０１９Ｇ０５Ｇ２１;㊀[修改日期]２０１９Ｇ１０Ｇ１５㊀[基金项目]国家自然科学基金项目(１１７０１３０６);宁夏高等学校科学技术研究项目(N G Y ２０１８Ｇ１０９);宁夏师范学院本科教学项目(N J ２０１９３９)㊀[作者简介]冯福存(１９７７－),女,硕士,副教授,从事矩阵理论及其应用研究．E m a i l :n x f f c ＠１６３．c o m第３６卷第１期大㊀学㊀数㊀学V o l ．３６,ɴ．１２０２０年２月C O L L E G E MA T H E MA T I C S F e b ．２０２０幂等矩阵的性质及其推广冯福存,㊀常莉红(宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原７５６０００)㊀㊀[摘㊀要]首先对幂等矩阵的简单性质进行了归纳总结,接着论证了幂等矩阵的等价条件及其特征值的取值范围,并讨论了幂等矩阵与实对称矩阵的关系㊁幂等矩阵与其伴随矩阵的特征值和特征向量的对应关系及幂等矩阵在群逆中的一个性质．最后讨论了幂等矩阵的两种分解形式．[关键词]幂等矩阵;特征值;实对称矩阵;矩阵分解[中图分类号]O １５１．２１㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０２０)０１Ｇ００９０Ｇ０５１㊀引㊀㊀言幂等矩阵是一类常见的比较特殊的矩阵,在矩阵理论中具有重要的地位和作用,它的很多优良的性质,对解决矩阵问题大有益处．幂等矩阵及其相关性质具有鲜明的背景㊁丰富的理论,在概率统计㊁模糊数学及信息与计算科学等领域都有重要应用．由于幂等矩阵自身的特殊性,其相关性质和内容的讨论至今仍然是一个热点．但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的,因此,在前人已有的研究基础[１－３]上对幂等矩阵的性质做了一些有益的补充和推广．２㊀基本性质定义１[１]㊀设A 是n 阶矩阵,如果A ２＝A ,则称A 为幂等矩阵．由定义１和文献[４]可知λ２－λ＝０为幂等矩阵的一个零化多项式,从而幂等矩阵的最小多项式m λ＝λ或m λ＝λ－１或m λ＝λ(λ－１),由最小多项式和特征值的关系可得:性质１[３]㊀幂等矩阵的特征值只能为０或１．由幂等矩阵的定义简单验证可得:性质２[３]㊀如果A 是幂等矩阵,则A T ,A k ,E －A 均为幂等矩阵．性质３㊀如果A 为可逆的幂等矩阵,则A －１也为可逆的幂等矩阵．证㊀由A 可逆,可得A ʂ０,A －１＝１Aʂ０,即A －１也可逆．由幂等矩阵的定义得(A －１)２＝(A２)－１＝A －１．其实,不妨设A 的逆矩阵为A －１,对A ２＝A 的两边同时左乘A －１,可得A ＝E ．即可逆的幂等矩阵是单位矩阵．性质４㊀A 和B 是幂等矩阵的充要条件是T ＝A O O B æèççöø÷÷是幂等矩阵．证T ２＝A O O B æèççöø÷÷A O O B æèççöø÷÷＝A ２O O B ２æèççöø÷÷．则T ２＝T 当且仅当A ２＝A ,B ２＝B ．性质２和性质３从矩阵的运算出发推出幂等矩阵的一些简单性质．可以类似的推理,易证如果A ,B 是幂等矩阵,但λA (λʂ０,１),A ＋B ,A B 一般不再是幂等矩阵．幂等矩阵还具有那些重要性质和特征呢?幂等矩阵A 的伴随矩阵A ∗是否也是幂等矩阵?下文做一些推导．３㊀幂等矩阵性质的拓广幂等矩阵的特征值只能是０或１,不能由此认为特征值皆是０或１的矩阵是幂等矩阵,可见下例．例１A ＝１１１０１１０００æèççççöø÷÷÷÷,求A 的特征值,并判断A 是否为幂等矩阵．解㊀λE －A ＝(λ－１)２λ,得A 的特征值为λ１＝１,λ２＝０,但是A ２＝１２２０１１０００æèççççöø÷÷÷÷ʂA ．为了让特征值皆为０或１的矩阵是幂等矩阵,需加强条件,可得如下结论:定理１㊀特征值皆为０或１的矩阵A 是幂等矩阵的充分必要条件是A 可对角化．证㊀充分性．A 可对角化,则存在可逆矩阵P ,使得P －１A P ＝B ,其中B 为主对角线元素皆为０或１的对角阵,故B ２＝B ,且A ２＝(P B P －１)２＝P B ２P －１＝P B P －１＝A ．即A 是幂等矩阵．必要性．A 是幂等矩阵,则A 的特征多项式为f (λ)＝λ(λ－１),又m λf (λ),说明A 的初等因子都是一次的,所以A 的J o r d a n 标准形为对角矩阵,从而A 可对角化．由定理１的证明可知幂等矩阵相似于对角矩阵,而相似矩阵有相同的秩和迹,又幂等矩阵特征值只能为０或１,则对角阵中１的个数就等于所有１的和．另外实对称矩阵一定能对角化,从而可进一步得如下结论:推论１㊀若A 是n 阶幂等矩阵,则r (A )＝t r (A )．推论２㊀特征值皆为０或１的实对称矩阵是幂等矩阵．推论３㊀n 阶幂等矩阵按相似关系分类只需按其特征值１的个数r (０ɤr ɤn )分类．共有n ＋１类．注㊀由定理１及其推论,需要注意的是幂等矩阵不一定是对称矩阵．例如,不妨设a ＝a １,a ２, ,a n ()T ,b ＝b １,b ２, ,b n ()T ,则当b T a ＝１时,A ＝a b T 是幂等矩阵,这是因为A ２＝(a b T )(a b T )＝a (b T a )b T ＝a b T ＝A ,但是A T ＝(a b T )T ＝b a T ʂa b T ＝A ．只有当a ＝b 时或a ,b 中有一个是零向量时A T ＝A 才成立．定理２㊀n 阶矩阵A 是幂等矩阵的充要条件是r (A )＋r (E －A )＝n ．证㊀必要性．如果A 是幂等矩阵,则E －A 也是幂等矩阵,由推论１可知r (A )＋r (E －A )＝t r (A )＋t r (E －A )＝t r (A ＋E －A )＝t r (E )＝n ．充分性．设A 有r 个非零特征值,由A 的J o r d a n 矩阵知r (A )ȡr ．因为E －A 有n －r 个特征值为１和r 个其它特征值,故E －A 至少有n －r 个非零特征值,所以r (E －A )ȡn －r ．又因为r (A )＋r (E －A )＝n ,１９第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀冯福存,等:幂等矩阵的性质及其推广故有r (A )＝r ,r (E －A )＝n －r ．设A 的J o r d a n 矩阵为T －１A T ＝J １O O J ０æèççöø÷÷(１)其中J １的主对角线元素恰好是A 的r 个非零特征值,J ０有n －r 个特征值为０．因为r (J １)＝r ,r (J １)＋r (J ０)＝r (A )＝r ,所以r (J ０)＝０,因此J ０＝O ．由(１)式可得E －A 的J o r d a n 矩阵为T －１(E －A )T ＝E r －J １O O E n －r －J ０æèççöø÷÷＝E r －J １O O E n －r æèççöø÷÷．因为r (E －A )＝n －r ,所以r (E r －J １)＝０,因此J １＝E r ．于是A (E －A )＝T E r O O O æèççöø÷÷T －１T O O O E n －r æèççöø÷÷T －１＝O ．即A ２＝A ．定理３㊀设A 为n 阶幂等矩阵,则其伴随矩阵A ∗也是幂等矩阵．证㊀因为A ∗依据A 的秩,分３种情况讨论．(i )A 为n 阶可逆矩阵．由性质２可知A ∗＝E ,显然为幂等矩阵．(i i )r (A )＝n －１．此时A ＝０,㊀A A ∗＝A ∗A ＝A E ＝O ,将A 按列分块,不妨设A ＝(α１,α２, ,αn ),则α１,α２, ,αn 是矩阵方程A ∗X ＝O 的解,不妨设αi １,αi ２, ,αi n －１是α１,α２, ,αn 的极大线性无关组,则A ∗αi k ＝０αi k (k ＝１,２, ．n －１),说明０是A ∗的n －１重特征根．又r (A ∗)＝１,则A ∗存在一个非零特征值,不妨设为λ,设该特征值所对应的特征向量为β,即A ∗(β)＝λβ,(２)又A ∗２(β)＝A ∗(λβ)＝λ２β,(３)(３)式减去(２)式,可得(A ∗２－A ∗)(β)＝λ(λ－１)β,(４)将(４)式两边左乘A 得A (A ∗２－A ∗)(β)＝０＝０β．可知A ∗的特征值只能为０或１,故λ＝１．则αi １,αi ２, ,αi n －１,β线性无关,且是对应于特征值０和１的特征向量,令P ＝(αi １,αi ２, ,αi n －１,β),则P －１A ∗P ＝O n －１００１æèççöø÷÷．得A ∗＝P O n －１００１æèççöø÷÷P －１,易得A ∗２＝A ∗,故A ∗是幂等矩阵．(Ⅲ)r (A )ɤn －２．由文献[５]可知此时A ∗＝O ,显然为幂等矩阵．在定理３第(i i )部分证明的过程中,(２)式两边左乘A 可得λA β＝０,因为λʂ０,所以A β＝０＝０β,说明β是A 的属于特征值０的特征向量．由此可得:推论４㊀若n 阶幂等矩阵A 的秩为n －１,则A 的属于特征值０的特征向量是其伴随矩阵A ∗的属于特征值１的特征向量;A 的属于特征值１的特征向量是其伴随矩阵A ∗的属于特征值０的特征向量．定义２[６]㊀设A ɪℂn ˑn ,若存在矩阵X ɪℂn ˑn ,使得A X A ＝A ,㊀X A X ＝X ,㊀A X ＝X A 成立,则称A 群可逆,X 为A 的群逆,记为A g ．定理４[７]㊀方阵A 是群逆阵的充分必要条件是r (A ２)＝r (A )．２９大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷定理５㊀幂等矩阵的群逆是存在的,并且等于它本身．证㊀设幂等矩阵为A ,则A ２＝A ,由定理４可知A 的群逆存在．利用群逆定义A X ＝X A 和A X A ＝A 可得A X ＝A ,又X A X ＝X ,可得X A ＝X ,故X ＝A ．４㊀幂等矩阵的分解矩阵的分解是矩阵理论中的一个重要课题,文[８]中总结了在向量组的正交化过程中,可得任意可逆的n 阶实矩阵M 都可以分解为一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R 的乘积:M ＝Q R ．文[９]中得出任意n 阶矩阵A 都可以分解成一个可逆阵与一个幂等矩阵的乘积．受此启发,给出了幂等矩阵的两种分解形式,进一步加强了幂等矩阵与实对称矩阵及满秩矩阵的联系,增强了幂等矩阵的应用背景．定理６㊀设A 是实幂等矩阵,则A 可分解为两个实对称矩阵的乘积．证㊀由性质１和定理１可知,存在可逆矩阵T ,使得T －１A T ＝E r O O O æèççöø÷÷,故A ＝T E r O O O æèççöø÷÷T －１＝T E r O O O æèççöø÷÷T T (T T )－１T －１＝S １S ２,(５)其中S １＝T E r O O O æèççöø÷÷T T ,㊀S ２＝(T T )－１T －１＝(T －１)T T －１．显然,S １和S ２都是实对称矩阵．如果将(５)式如下分解A ＝T E r O O O æèççöø÷÷T －１＝T E r O æèççöø÷÷E r O ()T －１＝B C ．其中B ＝T E r O æèççöø÷÷,㊀C ＝E r O ()T －１．则可得幂等矩阵的满秩分解的结论:定理７㊀任一秩为r 的n 阶幂等矩阵A 可分解成A ＝B C ,其中B 为秩为r 的列满秩矩阵,C 为秩为r 的行满秩矩阵,且C B ＝E r ．一般的,对秩为r 的n 阶低秩矩阵A 进行满秩分解A ＝H L ,可得L H 是满秩矩阵,当r 较小时,利用特征多项式的降阶公式[１０]能给计算带来很大的方便．定理７告诉我们对与低秩的幂等矩阵A 进行满秩分解A ＝B C ,则C B ＝E r ,由降阶公式可得幂等矩阵的特征值只能为０或１．另外,结合定理１的推论２可得,对秩为r 的n 阶低秩矩阵A 进行满秩分解A ＝H L ,若L H ＝E r ,且A 为对称矩阵,则A 为幂等矩阵．５结㊀㊀论主要论证了幂等矩阵的等价条件及其特征值的取值范围,并讨论了幂等矩阵与实对称矩阵的关系,得到了秩为n －１的n 阶幂等矩阵与其伴随矩阵的特征值和特征向量的对应关系及幂等矩阵在群逆中的一个性质．最后给出了将幂等矩阵分解为两个对称矩阵的乘积及将幂等矩阵进行满秩分解的方法．[参㊀考㊀文㊀献][１]㊀龚和林,舒情．关于幂等矩阵秩的一个命题的证明和推广[J ]．大学数学,２００９,２５(６):１２６－１２９．３９第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀冯福存,等:幂等矩阵的性质及其推广４９大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷[２]㊀左可正．每个矩阵都能表成两个秩幂等矩阵之和[J]．湖北师范学院学报(自然科学版),２００８,２８(４):１９－２１．[３]㊀张慧．对幂等矩阵的研究[J]．陕西科技大学学报,２０１２,３０(６):１３９－１４２．[４]㊀冯福存．矩阵的最小多项式的求解及其应用[J]．宁夏师范学院学报,２０１７,３８(６):２８－３２．[５]㊀北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组．高等代数[M]．３版．北京:高等教育出版社,２００５:１７３－２０３．[６]㊀武玲玲．幂等矩阵线性组合群逆的研究[D]．南宁:广西民族大学,２０１１:２－３．[７]㊀M e y e rC D．M a t r i xa n a l y s i sa n da p p l i e dl i n e a ra l g e b r a[M]．P h i l a d e l p h i a:S o c i e t y f o rI n d u s t r i a la n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s(S I AM)２０００．[８]㊀董庆华,王成伟．幂等矩阵的相似标准型与分解形式[J]．大庆师范学院学报,２０１０,３０(６):４３－４５．[９]㊀刘小川,何美．幂等矩阵与秩幂等矩阵的充要条件[J]．山西大同大学学报,２０１１,２７(１):９－１１．[１０]㊀张跃辉．矩阵理论与应用[M]．北京:科学出版社,２０１１:８９－９３．P r o p e r t i e s a n dG e n e r a l i z a t i o no f I d e m p o t e n tM a t r i xF E N GF uＧc u n,㊀C HA N GL iＧh o n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r S c i e n c e,N i n g x i aN o r m a lU n i v e r s i t y,G u y u a nN i n g x i a７５６０００,C h i n a)A b s t r a c t:F i r s t l y,t h e s i m p l e p r o p e r t i e so f i d e m p o t e n tm a t r i c e sa r es u m m a r i z e d,t h e nt h ee q u i v a l e n c ec o n d i t i o n so f i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n d t h e r a n g e o f t h e i r e i g e n v a l u e s a r e p r o v e d,a n d t h e r e l a t i o n s b e t w e e n i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n d r e a l s y m m e t r i cm a t r i c e s,t h e c o r r e s p o n d i n g r e l a t i o n sb e t w e e n i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n de i g e n v e c t o r so f t h e i r a d j o i n tm a t r i c e s, a n dt h e p r o p e r t i e s o fi d e m p o t e n t m a t r i c e si n g r o u p i n v e r s e s a r e d i s c u s s e d．F i n a l l y,t w o d e c o m p o s i t i o n f o r m s o f i d e m p o t e n tm a t r i c e s a r e d i s c u s s e d．K e y w o r d s:i d e m p o t e n tm a t r i x;e i g e n v a l u e s;r e a l s y m m e t r i cm a t r i x;m a t r i xd e c o m p o s i t i o n。

幂等矩阵、对角矩阵与正交矩阵性质引言矩阵理论在数学和应用领域中扮演着重要角色。

在矩阵理论中，幂等矩阵、对角矩阵和正交矩阵是三个重要的矩阵类型，它们具有独特的性质和应用。

本文将详细介绍这三个类型矩阵的性质，并举例说明它们在实际问题中的应用。

幂等矩阵幂等矩阵是指一个矩阵与自身相乘等于其自身的矩阵。

具体而言，对于一个 nx n 的矩阵 A，如果 A^2 = A，则称 A 为幂等矩阵。

幂等矩阵有几个重要的性质：1.幂等矩阵的平方等于它本身：A^2 = A2.幂等矩阵的特征值只能是 0 或 1。

假设 A 是幂等矩阵，它对应的特征值λ 满足方程Av = λv，其中 v 是 A 的特征向量。

将该方程代入定义式 A^2 = A，可以得到 (A - λI)A = A(A - λI) = 0，其中 I 是单位矩阵。

由于 A^2 = A，所以A(A - λI) = 0，进一步可以推出 A(A - λI)v = 0，即 (A - λI)v = 0，也就是说特征值λ 对应的特征向量 v 是 A - λI 的零空间中的向量。

因此，A 的特征值只能是0 或 1。

幂等矩阵在实际问题中有许多应用。

例如，在图论中，邻接矩阵的幂等性被用于描述图的可达性。

在线性代数中，幂等矩阵可以用于描述投影变换。

此外，在编程中，幂等性被广泛应用于设计具有幂等性质的算法和系统，以确保操作的一致性和可重复性。

对角矩阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵。

具体而言，对于一个 n x n 的矩阵 A，如果当i ≠ j 时 Aij = 0，则称 A 为对角矩阵。

对角矩阵有几个重要的性质：1.对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素都非零。

如果对角矩阵的主对角线上存在零元素，则对角矩阵是奇异的，无法求逆。

2.对角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素。

对角矩阵在线性代数和应用数学中具有广泛的应用。

在求解线性方程组时，对角矩阵具有良好的性质，可以简化计算过程。

幂零矩阵的几个注记樊正恩【摘要】幂零矩阵是一种特殊的矩阵,利用幂零矩阵的性质,可以把一个n阶矩阵变为两个可逆矩阵和一个对角矩阵的和,从而可以进一步方便研究矩阵的一些性质.【期刊名称】《甘肃高师学报》【年(卷),期】2011(016)002【总页数】2页(P3-4)【关键词】幂零矩阵;可逆矩阵;严格三角矩阵;对角矩阵【作者】樊正恩【作者单位】甘肃民族师范学院数学系,甘肃合作747000【正文语种】中文【中图分类】O151.21定义设A∈M（nF）（这里M（nF）表示数域F上的n阶矩阵的全体），若存在正整数m，使得Am=0，Am-1≠0，则称A是幂零指数为m的幂零矩阵．引理1[1]若A是幂零阵，则A不可逆．引理2[2]若A是幂零阵，则I-A及I+A均可逆，其中I是单位阵．引理3[2]A为幂零矩阵当且仅当A的特征根全为0．命题1 若A是幂零指数为m的幂零阵，则I-A及I+A均可逆，且（1）（I-A）-1=I+A+A2+…+Am-1，（2）证明（1）（I-A）（I+A+A2+…+Am-1）=I+A+A2+…+Am-1-A-A2-…-Am-1-Am=I.（I+A+A2+…+Am-1）（1-A）=I+A+A2+…+Am-1-A-A2-…-Am-1-Am=I.故（I-A）-1=I+A+A2+…+Am-1（2）当m为奇数时：（I+A）（I-A+A2-…+Am-1）=I-A+A2-…+Am-1+A-A2+…-Am-1+Am=I（I-A+A2-…+Am-1）（I+A）=I-A+A2-…+Am-1+A-A2+…-Am-1+Am=I.当m为偶数时：（I＋A）（I－A＋A2－…－Am-1）=I-A+A2-…-Am-1+A-A2+…+Am-1-Am=I.（I-A+A2-…-Am-1）（I+A）=I-A+A2-…-Am-1）+A-A2+…+Am-1-Am=I.综上命题2若A∈T（nF）（这里T（nF）表示数域F上的n阶严格上三角矩阵），则A是幂零矩阵．证明因为A∈Tn（F），故令，则显然有进而有所以，存在m∈Z+使得 Am-1≠0，Am=0．推论1若A∈Tn（F）（这里Tn（F）表示F上n阶严格下三角矩阵的全体），则A是幂零矩阵．命题3设A∈Mn（F），则A=B+C+D，其中B为n阶严格上三角矩阵，D为n 阶严格下三角矩阵，C为n阶对角矩阵．证明根据矩阵的加法上述结论显然成立．例设，求A-1解因为，且B为严格上三角矩阵，所以B为幂零矩阵，且B5=0.由命题1，A可逆且另解，则B为严格上三角阵且B5=0为幂零矩阵．由命题1知I－B可逆，即A可逆且例设，其中 a，b，c 为实数.试求 a，b，c 一切可能的值，使得解设则即矩阵N为2次幂零矩阵，故]所以有其中（fa，c）表示关于a，c的多项式．由a100=1，c100=1知a=±1，c=±1由上式知b=0或（fa，c）=0．另一方面易知有如下事实：所以 a，b，c 一切可能的值为：1，0，1；-1，0，-1；1，b，-1；-1，b，1，此时b为任意实数．对矩阵A有如下几种情况：引理4[4]设对矩阵A施行一次初等变换后，得到矩阵，那么A可逆的充要条件是可逆．命题4 一个可逆矩阵A可以经过初等变换化为一个对角线元素全部不为零的可逆矩阵．证明根据初等变换的定义，命题是显然的．【相关文献】[1]王兆飞．幂零矩阵的标准形[J].河北北方学院学报（然科学版），2008，24（1）:4~7．[2]胡秀玲,张秀福．幂零矩阵和幂零线性变换[J].徐州师范大学学报（自然科学版），2006，24（4）：17~18．[3]韩道兰，罗雁，黄宗文．幂零矩阵的性质及其应用[J].玉林师范学院学报（自然科学），2003，24（4）.[4]张禾瑞，郝鈵新．高等代数（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2008.8.。

零矩阵乘以任意矩阵都是0吗根据矩阵乘法的定义，行与列对应数字相乘，而零矩阵所有元素都是零，所以相乘结果的矩阵所有元素都是零，自然就是零矩阵。

这是一个特例，进一步推广到任意阶数的矩阵，结果都是零矩阵。

在线性代数中，对于n阶方阵N，存在正整数k，使得N^k=0，这样的方阵N就叫做幂零矩阵。

满足条件的最小的正整数k被称为N的度数或指数。

在代数中，就用字母代表自然数，代表有理数、复数等，也用字母代表矩阵。

根据代数的定义，宜用字母表示特殊矩阵。

如果用数字0（尽管是用斜体或黑体）表示零矩阵，则有悖于代数的含义，出现概念上的混乱:1）0已有它自己的特殊含义。

在阿拉伯数字0,1,2…，9中，0的意思是表示无、根本没有。

这10个数字是整个数学的基石，为数学奠定了基础，不宜再将其他的含义赋予到其中了。

2）零矩阵是一个阵列的概念，而不是代表一个数，所以用数字0表示矩阵，意思是讲不通的。

3）在GB3102. 12-1993中，规定数字均用正体、白体表示，而未出现黑体、斜体的表现形式。

零矩阵与单位矩阵相呼应。

单位矩阵已习惯表达为I，即 ;零矩阵也表达为O,即。

两者相互协调一致。

扩展资料：性质：* m×n 的零矩阵 O 和 m×n 的任意矩阵 A 的和为 A + O = O + A = A ，差为 A - O = A，O - A = -A。

* l×m 的零矩阵 O 和 m×n 的任意矩阵 A 的积 OA 为 l×n 的零矩阵。

* l×m 的任意矩阵 B 和 m×n 的零矩阵 O 的积 BO 为 l×n 的零矩阵。

在线性代数中，对于n阶方阵N，存在正整数k，使得N^k=0，这样的方阵N就叫做幂零矩阵。

满足条件的最小的正整数k被称为N的度数或指数。

更一般来说，零权变换是向量空间的线性变换L，使得对于一些正整数k（并且因此，对于所有j≥k，Lj = 0），L^k= 0。

目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)1 引言 (1)2 幂等矩阵的概念 (3)3 幂等矩阵的性质 (4)3. 1 幂等矩阵的主要性质 (4)3. 2 幂等矩阵的等价性命题 (7)3. 3 幂等矩阵的线性组合的相关性质 (11)4 幂等矩阵与其他矩阵的关系 (14)4. 1 幂等矩阵与对合矩阵 (14)4. 1. 1 对合矩阵 (14)4. 1. 2 幂等矩阵与对合矩阵的关系 (15)4. 2 幂等矩阵与投影矩阵 (16)4. 2. 1 投影矩阵 (16)4. 2. 2 幂等矩阵与投影矩阵的关系 (17)结束语 (19)参考文献 (20)致谢 (21)英文原文 (22)英文译文 (29)幂等矩阵的性质数学与应用数学专业2009级王素云摘要:本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系.关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵PROPERTIES OF IDEMPOTENT MATRIXSuyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied MathematicsAbstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed. Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix1 引言幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵。

幂零矩阵迹的特征严文（061114228）（孝感学院数学与统计学院湖北孝感432000）摘要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设V是复数域上向量空间，-=，那么f的所有特征值均为0，并且,f g是V上的线性变换，且满足fg gf fg和f之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）．我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即AB BA=，求证A和B有公共特征向量，并且求出A和B的公共特征向量.关键词：幂零矩阵；迹；特征值；特征向量Features of Nilpotent matrix traceYAN Wen(Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei432000,China)Abstract：2009National College Mathematics Competition Problems(3th item)：Based vector space V is the complex field,,f g are the linear transformation,and satisfies fg gf f-=,Then all the eigenvalues of f are0,Between f and g there are the same feature vector(not necessarily equal the corresponding eigenvalue).AB=, We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that BA Verify:A and B have public feature vectors,and eigenvectors obtained the public.Key words：Nilpotent matrix;Trace;Eigenvalue;Eigenvector.1引言在2009年举行的全国大学生数学竞赛中，有这样一道试题：例1假设V是复数域上n维线性空间（0n>），,f g是V上的线性变换．如果fg gf f-=，证明f的所有特征值都是0，且,f g有公共特征向量．（2009年全国大学生数学竞赛试题）在2002年的苏州大学研究生入学考试中也有类似的试题：例2设V是有理数域Q上的向量空间，,f g是V上的线性变换，其中g可对角化，且满足fg gf f-=，证明存在正整数k，使得k f是零变换．（2002年苏州大学研究生试题）由于f的所有特征值都是0⇔f是幂零矩阵，易知例1与例2本质上是属于同一问题．在全国大学生数学竞赛组委会为例1提供的解答中，通过构造一些复杂的生成子空间，证明它们在线性变换f下不变，最后利用fg gf-的迹为零的结果，间接导出f的任意特征值为0，整个证明复杂繁琐．而例2中条件“g 可对角化”过强，能否在例1的条件下直接证明f是幂零矩阵呢？另外，对例1中关于,f g有公共特征向量的问题，一个熟知的结论是命题1[1]若,f g是复数域上n维线性空间V上的线性变换，且fg gf=，则g和f存在公共的特征向量．尔后由Laffey与Choi在1978-1981年将之推广为命题2[2,3]若,A B都是复数域上的n阶方阵，满足rank()1AB BA-≤，则A和B存在公共的特征向量．对于命题2的证明，通常的方法是把矩阵转化为线性变换问题，考虑其一个特征子空间中存在另一个线性变换的一个特征向量.这种方法虽然在理论上证明了公共特征向量的存在性，但遗憾的是无法求出所有的公共特征向量，以及公共特征向量的具体形式，而这些在理论与应用上都是很有用的[4].从以上诸例及相关结论上看，对线性变换,f g 而言，关于h fg gf =-的性质的讨论有重要的意义.在有限维线性空间中，可以把问题转化为对矩阵AB BA -的讨论.本文将讨论与解决如下问题：1、关于矩阵AB BA -或线性变换fg gf -的性质；2、对满足fg gf =或fg gf f -=的线性变换,f g ，不仅证明,f g 之间存在公共的特征向量，而且求出所有的公共特征向量；3、某些逆命题.2性质设,A B 为n 阶矩阵，令C AB BA =-，则AB BA -具有如下基本性质：性质1tr()0AB BA -=.证明设()ij A a =、()ij B b =，则11tr ()n n ik ki i k AB a b ===∑∑，111111tr ()()tr n n n n n n jt tj tj jt ik ki j t t j i k BA b a a b a b AB ==========∑∑∑∑∑∑.性质2对任何n 阶矩阵,A B ，AB BA E -≠.证明反证法假设AB BA E -=，则由性质1可知()0trE tr AB BA =-=，显然矛盾，所以AB BA E -≠.命题得证.性质3设A ，B 是n 阶矩阵，令C AB BA =-，且C 同A ，B 可交换，求证：存在整数m 使0m C =.证明因为C 同A ，B 可交换即,AC CA BC CB ==，所以有22()()()C A C CA C AC CA C AC ====,即2C 与A 可交换.同理可证k C （1,2...k n =）与A 可交换，k C （1,2...k n =）与B 可交换.下证0k trC =（1,2...k n =）.()()()0trC tr AB BA tr AB tr BA =-=-=2[()]()()()()()()0trC tr C AB BA tr CAB tr CBA tr ACB tr CBA tr CBA tr CBA =-=-=-=-=同理可证：0,1,2...k trC k n ==.下证C 的所有特征值为零.设C 的所有特征值为n λλλ...,21，所以k C 的所有特征值为k n k k λλλ...,21.下面证明n λλλ...,21都为零.由0k trC =，12...k =，可得：设C 的不为零的特征值分别为n λλλ...,21，且分别为12,,...,r s s s 重.则上式可写成：221222221120101......012.........r r k k k rr r r s s s s s s s s s λλλλλλλλλ⎧+=⎪⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩++++++令122221212.....................r r r r r r L λλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以上式可写成120...r L s s s ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.而由范德蒙行列式可知121...()n i j i j n L λλλλλ≤<≤=⋅-∏，又C 的特征值n λλλ...,21互不相等，所以0L ≠，所以上式只有零解，所以C 的特征值全为零.若C 的所有特征值为零，则根据哈密尔顿-凯莱定理知存在m 使0m C =.命题得证.注：对于][x P 中的线性变换B A ,，令)()(),()('x xf x Bf x f x Af ==，则有e BA AB =-（e 为恒等变换）.[13]3可换矩阵的公共特征向量12222121200 0.........n n k k k n λλλλλλλλλ+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩++++++命题1若,n n A B C ⨯∈，且AB BA =，则A 与B 一定存在公共的特征向量.证明因为n n A C ⨯∈，则A 在复数域上一定存在特征值，取A 的任一个特征值λ，考虑λ的特征子空间{}n V C A λξξλξ=∈=设dim V k λ=，则0k >，设12,,,k εεε 为V λ的一组基，则i V λε∈，于是有i i A ελε=，1,2,,i k = .在下面的证明中，我们将证明存在A 的属于λ的一个特征向量η，使η也是B 的一个特征向量，即存在某数μ使B ημη=成立，从而η为A 与B 的公共特征向量.由于12,,,k εεε 为V λ的一组基，设1122k k c c c ηεεε=++ （1）由i i A ελε=，则()()()()i i i i A B B A B B εελελε===，即得i B V λε∈，1,2,,i k = .则有ij l C ∈，,1,2,,i j k = ，使得11112121212122221122k k k k k k k kk kB l l l B l l l B l l l εεεεεεεεεεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩下步将寻找不全为零的12,,,k c c c ，使（1）成立，并且使η为A 与B 的公共特征向量.1122()k k B B c c c ηεεε=+++ 1122k kc B c B c B εεε=+++ 1111212111()()k k k k kk k c l l l c l l εεεεε=+++++++ 1111111()()k k k kk k kl c l c l c l c εε=++++++ 而112211()()()k k k kc c c c c μημεεεμεμε=+++=++ 由B ημη=及12,,,k εεε 线性无关，得11112211211222221122k k k k k k kk k k l c l c l c c l c l c l c c l c l c l c c μμμ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）即111111k k kk k k l l c c l l c c μ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，记()ij k k L l ⨯=，即得11k k c c L c c μ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也即()100k c L c μ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪E -= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）当0L μE -=时，上式有非0解，此式说明μ是L 的特征值.命题1证毕.命题1证明了A 与B 有公共的特征向量，通过定理1的证明，我们还看出，对于A 的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在B 的特征向量.于是有推论：推论1若复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有r 个互不相同的特征值，则A 与B 至少有r 个线性无关的公共特征向量.证明设12,,,r λλλ 是A 的r 个互不相同的特征值，按照定理1的证明，在A 的每个特征子空间i V λ中都存在B 的特征向量i ξ，1,2,,i r = ，而属于不同特征值的特征向量必线性无关，得12,,,r ξξξ 是A 与B 的r 个线性无关的公共特征向量.推论2若n 阶复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有n 个互不相同的特征值，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -与1P BP -都是对角矩阵.证明由推论1知A 与B 有n 个线性无关的公共特征向量12,,,n ξξξ ，作矩阵12(,,,)n P ξξξ= ，则1P AP -与1P BP -都是对角矩阵.下面，我们通过例子说明如何用定理1中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量.例1求可换矩阵,A B 所有的公共特征向量.300131201A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，121011220B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解容易验证AB BA =，A 的特征多项式为2300131(1)(3)201E A λλλλλλ--=--=----.所以11λ=，233λλ==.对11λ=，由1232001210200x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，得10x =，2312x x =-，从而基础解系为1012ε⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，而11121000111122022B εε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，定理1中的()1L =-为11⨯矩阵，于是1μ=-，于是公共特征向量为111102c c c ηε⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1c 为任一不为零的常数对233λλ==，由1230001010202x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，得13x x =，从而基础解系为1101ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2010ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，而1121211201101222012B εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪===+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2121210201111222002B εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪===+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由命题1可知2211L ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22011L μμμ--E -==--，从而有(3)0μμ-=，对0μ=，12220110c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得21c c =-，于是公共特征向量为112()c ηεε=-，即111c c c η⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1c 为任意不为零的常数.对3μ=，12120120c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得122c c =，于是公共特征向量为212(2)c ηεε=+，即22222c c c η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中2c 为任意不为零的常数.于是所有公共特征向量的形式为：02k k η⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，k k k η⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，22k k k η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭k 为任意不为零的常数.4逆命题设C 为n 阶矩阵，且tr 0C =，则必存在n 阶矩阵A 与B ，使AB BA C-=证明若tr 0C =，则C 一定相似于一个主对角元全是零的方阵.证明为参考文献[12]定理1的证明，在此略.下证必存在n 阶矩阵A 与B ，使AB BA C-=分两种情况讨论：（1）若C 是主对角元全是零的方阵，即()ij C c =，0ii c =，1,2,,i n = .取12n A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 12,,,n λλλ 两两互异.取()ij B b =，其中ij ij i j c b λλ=-（i j ≠），而ii b (1,2,,)i n = 任意，可验证AB BA C -=.（2）对任何tr 0C =的n 阶矩阵C ，由引理存在可逆阵P ，使1P CP -为一个主对角元全是零的方阵.由（1）所证，存在n 阶矩阵1A 与1B ，使11111A B B A P CP--=于是，有11111111()()()()PA P PB P PB P PA P C -----=，令11PA P A -=，11PB P B -=，则AB BA C -=.命题得证.5一个反例命题1中对复数域的要求是必需的，而在文献[2]中P261却有如下一道习题：习题[2]设矩阵A 与B 可交换，试证：如果A 有特征向量，则,A B 一定有公共特征向量.在文献[3]中对该习题作出了如下解答：解[3]设,A B 是两个可交换的矩阵，系数在数域P 中，并设其阶数为n .,A B 可看成n 维线性空间n P 的线性变换,A B 在基12(1,0,,0),(0,1,,0),,εε== (0,0,,1)n ε= 下的矩阵，从,A B 可交换可推出,A B 可交换.如果A 有特征向量，则A 有特征值0λ.在A 对于0λ的特征子空间中，,A B 有公共特征向量α，α也是矩阵,A B 的公共特征向量.上述结论不真.事实上，在实数域R 上，取A E =，令B 是在实数域R 没有特征值的任一方阵（这种矩阵是存在的，参见下例），则A E =与B 可交换，A E =有特征向量，但B 没有特征向量.例1在实数域R 上，A E =（单位阵），0110B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则AB BA =，A 有特征值1，从而有特征向量，但B 在实数域R 上没有特征值，自然没有特征向量.6进一步的讨论结论1若AB BA =，且A 有n 个互不相同的特征值，则∃可逆阵P 使得1100n P AP λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1100n P BP μμ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.结论2已知A B AB +=，则（1）1不是A 的特征值，也不是B 的特征值；（2）若B 相似于对角阵，则A 也相似于对角阵，且可同时相似于对角阵.结论3若A B AB +=，,A B 至少有一个可以对角化，则（1）B 一定能表成A 的多项式.（2）A每一个特征向量都是B的特征向量.（3）,A B至少有一个公共特征向量.结论4若A B AB+=，A可对角化，则,A B有n个公共特征向量，且它们线性无关.[参考文献][1]屠伯埙.线性代数方法导引[M].上海：复旦大学出版社，1986.[2]Laffey T J.Simultangularization of matrices-low rank cases and the nonderogetory case[J].Lin and Multilin.Alg,1978,6(4):289-305.[3]Choi M P,Lourie C,Radjavi H.On commutators and invariant subspaces[J].Lin and Multilin.Alg,1981,10(4):329-340.[4]胡付高.矩阵的弱相似性及其应用[J].信阳师范学院报(自然科学版),2003,16(1):4-6.[5]王萼芳.高等代数教程（下册）[M].北京:清华大学出版社，1997.[6]王萼芳.高等代数辅导与习题解答[M].北京:清华大学出版社，1997.[7]屠伯埙，徐诚浩,王芬.高等代数[M].上海:上海科学出版社,1987.[8]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1987.[9]朱靖红，朱永生.矩阵对角化的相关问题[J].辽宁师范大学学报，2005，28（3）：383-384.[10]陈绍刚.矩阵对角化的弱可逆矩阵刻画[J].数学的实践与认识，2005，35（9）164-166.[11]姜晓艳.化方阵为相似对角阵的一个判别条件[J].辽宁师专学报，2004，6（2）2,29.[12]绍逸民.迹为零的矩阵的性质[J].沈阳师范大学学报，2008，26（4）1-2.[13]王萼芳等.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社致谢在写论文的过程中，谢谢百忙之中的胡付高老师抽出宝贵的时间来指导，在此衷心感谢胡老师的悉心指导！。