第八章%20λ-矩阵%20习题课PPT

篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
4 . 同型矩阵 两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵
5. 矩阵 AB 相等 充要条件是:
1）A、B是 同 型 矩 阵
2）ai j bi j(第i，j位 置 上 的 元)素 相 等
证明 （1）、（2）、（3）易证，下证明(4). 设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
负矩阵 : A= ( aij)
减法：Ａ B =Ａ+ ( B)
2.矩阵的数乘
定义2.3 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：
a11 a12 ... a1n
a1
k
dia(ga1,a2,an)
a2
;
kI
k
an
k
5. 上（下）三角形矩阵
a11 a12 a1n
A
a 22
a
2
n
a
nn
b11
B
b21
b22
bn1
bn2
bnn
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统

当 m = 0,1时，结论显然， M(λ) = M0 = (λE −B)0 +M0 ， M1λ + M 0 = (λ E − B) M1 + BM1 + M0 设命题对 < m 次矩阵多项式成立 M ( λ) − ( λ E − B)( M m λ m −1) = ( λ E − B)Q1 (λ ) + R ∴ M (λ ) = (λ E − B)( M mλ m− 1 + Q1 (λ )) + R 令 Q(λ ) = M mλ m−1 + Q1 (λ )
注：① diag {d 1 (λ ), ⋯,d r (λ ),0, ⋯,0} 为 A( λ) 的（相抵）标准形。 ②称 r 为 A( λ) 的秩。 ③ r = n ⇒ A (λ )可逆。 ④ A( λ ) 可逆 ⇔ A ≅ E 。 ⑤任一可逆 λ -矩阵可表示为初等 λ -矩阵的乘积。 ⑥ λ E − A ≅ diag{1, ⋯,1, d1 ( λ ), ⋯, d r ( λ )} 。
B (λ ) ≅ diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} P( λ ) B (λ )Q (λ ) = diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ),0,⋯ ,0}
0 ⎞ ⎛ b11 (λ ) A (λ ) ≅ ⎜ ⎟ ≅ diag {d1 ( λ), d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} 0 B ( λ )⎠ ⎝ d 1 ( λ ) = c −1b11 ( λ )， d i ( λ ) | d i+1 (λ )， i = 2,⋯ , r 例 设 A =⎜ 3 ⎜
⎛0 ⎜ −1 ⎝ 1 −2 1 −1⎞ ，求 0⎟ ⎟ ⎟ −1⎠

等价. 然后对 D1 ( ) 重复上述讨论.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含
1 的方幂是按逆升幂次排列为止.
再依次对 2 , , r 作同样处理. 最后便得到与 D ( ) 等价的对角阵 D ( ).
结论2、两个同级数字矩阵相似
它们有相同的初等因子.
可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.
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三、初等因子的求法
1、(引理1)若多项式 f 1 ( ), f 2 ( ) 都与 g 1 ( ), g 2 ( ) 互素，则
f 1 ( ) g 1 ( ),
2
2, 1, 1
得A的不变因子为：
d 3 ( x ) ( 1) ( 2),
2
d 2 ( x ) d 1 ( x ) 1.
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结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，
则它们就有相同的初等因子； 反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有 相同的不变因子.
d 1 ( x ) ( 1 ) d 2 ( x ) ( 1 )
k 11
( 2 )
k 12
( r )
k1 r
, , .
k 21
( 2 )
k 22
( r )
k2 r

d n ( x ) ( 1 )
kn1
( 2 )
f ( ) | f 2 ( ) g 2 ( ),

i 0 L 0 0
1 i L 0 0
Ji
L 0
0
L 0 0
L L L
L
i
1
L , 0
i
2020/4/11§8.6 若当标准形的数理学与论计算推科学导学院
i 1,2,L , s
J1
令
J
J2 O
Js
则 J 的初等因子也是（*），
即J与A有相同的初等因子.
故J 与A相似.
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0 0 2 2 0 0
0 0 0 0 2
A 的初等因子为 , , 2 .
0 0 0
故 A的若当标准形为
0 0
0 0
0 2
.
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例2、已知12级矩阵A的不变因子为
114,12,L43,1,( 1)2,( 1)2 1, 12 1( 2 1)2 9个 求A的若当标准形. 解：依题意，A的初等因子为 12 , 12 , 12 , 1, 1, i2 , i2
00 00
L L 1n1
1 0
L 1
所以 E J0 的 n 1 级行列式因子为1. 从而， E J0 的 n 2,L ,2,1 级行列式因子皆为1.
J0 的不变因子是:
d1 L dn1 1, dn 0 n . 故 J0 的初等因子是: 0 n .
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1
O
1
s ks
等价. 由定理9，J 的全部初等因子是：
( 1 )k1 , ( 2 )k2 , L , ( s )ks .

114,12,L43,1, ( 1),2 ( 1)2( 1), ( 1)2( 1)( 2 1)2
9个 则A的初等因子有7个,它们分别是
( 1)2, ( 1)2, ( 1)2, ( 1), ( 1), ( i)2, ( i)2
12
初等因子与不变因子的关系:
(2) 由初等因子与不变因子的关系:
a1n ( ) a2n( )
amn ( )
a11
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n a2n amn
类似于数字矩阵,可以定义λ-矩阵的运算,可逆矩阵,初等变换,等价, 秩等概念.
行列式因子,不变因子,初等因子
1
定义1 下面的三种变换称为 矩阵的初等变换:
(1 ) 矩阵的两行( 列 )互换位置; ( 2 ) 矩阵的某一行( 列 )乘以非零的常数c;
1 0 0
Q 2 1 0 1, 0 2 1
D3 1.
D1 D2 1.
2 1 0 0
A
0 0 0
2 1 0
0 0
2 0
1 2
A( ) 的不变因子为
d1 d2 d3 1, d4 24 .
8
利用行列式因子来计算不变因子 :
1 0 0
( 不可以用非常数的多项式乘或除某一行( 列 )! )
( 3 ) 矩阵的某一行( 列 )加另一行( 列 )的( )倍,( )是一个
多项式.
定义2 矩阵A( )称为与B( )等价,如果可以经过一系列的 初等变换将A( )化为B( ).
2
定理3 的矩阵
任意一个非零的s n的 矩阵A( )都等价于下列形式
d1( )
d2( )
dr( )

典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法

所以
证毕
下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，
它不必事先知道不变因子.
定理 9 首先用初等变换化特征矩阵 E - A
为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不
相同的一次因式方幂的乘积，
则所有这些一次因
式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是 A 的全
部初等因子.
证明 设 E - A 已用初等变换化为对角形
如果多项式 f1()， f2() 都与 g1()， g2() 互
素，则
(f1()g1() , f2()g2())=(f1() , f2())(g1() , g2()).
事实上，令
( f1()g1() , f2()g2()) = d() , ( f1() , f2()) = d1() , ( g1() , g2()) = d2() .
因式的方幂
( j )k1 j , ( j )k2 j ,, ( j )knj
( j 1,2,, r)
在 D() 的主对角线上按递升幂次排列后，得到的
新对角矩阵 D () 与 D() 等价.
此时 D () 就是
E - A 的标准形而且所有不为 1 的
因子，因而它们相似.
反之，如果两个矩阵相似，
则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初
等因子.
综上所述，即得：
定理 8 两个同级复数矩阵相似的充分必要条
是它们有相同的初等因子.
三、初等因子的求法
初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量. 但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而 方便一些.
在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说明 关于多项式的最大公因式的一个性质：
(
j )kij

因为 λ -矩阵左下角的 n − 1 级子式为 (−1) 所以行列式因子 Dn −1 (λ ) = 1, 从而
Dn − 2 (λ ) = L = D2 (λ ) = D1 (λ ) = 1,
n −1
故其不变因子是
d1(λ) = d2(λ) =L= dn−1(λ) =1 dn (λ) = f (λ) = λn +a1λn−1 +L+an−1λ +an.
解:
1− λ 2) λ 1 + λ 2 1 λ2 0 λ 0 0 1 λ2 λ2 λ λ r −r → → λ −λ 0 λ −λ c +c 1 λ 2 −λ 2 λ 2 −λ 2
3 1 1 3
λ 0 1 0 c −λ c c +c −λ → 0 λ −λ → c −λ c r ×( −1) 0 0 −λ (λ + 1) −λ (λ + 1)
2 2 1 3 2 3 1 3
0 1 0 0 λ 0 0 0 λ (λ + 1)
3.证明：λ 证明： 证明
678 4n −14 1,1,L ,1, f (λ ),
an −1 λ an −1 0 −1 λ L 0 an − 2 M M M M M 0 0 0 L λ a2 0 0 0 L −1 λ + a 1 0 0 L 0 L 0 0
λ 0 0 5.设 A = 1 λ 0 , 求 A k . 设 0 1 λ
解：经计算得
λ 0 0 1 λ 0 0 1 λ k λ 0 0 kλ

注 P[λ ] 元素可以左加，减，乘三种运算，但
无除法运算.
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定义1 定义1
如果λ－ 矩阵 A(λ ) 中有一个r (r≥1)级子式不 为零，而所以r+1级子式（如果有的话）全为零，则 称 A(λ ) 的秩为 r. 零矩阵的秩规定为零. 秩 零矩阵的秩 一个n×n的λ－ 矩阵 A(λ ) 称为可逆的，如果有 一个n×n的λ－ 矩阵 B (λ ) 使 A(λ ) B (λ ) = B (λ ) A(λ ) = E , （1） 其中E是n级单位矩阵. ) 注 适合(1)的矩阵 B(λ （可以证明它是唯一的） 称为 A(λ ) 的逆矩阵 逆矩阵，记为 A−1 (λ ). 逆矩阵
结束
定义2 定义2
定理1 定理1
一个n×n的λ－ 矩阵 A(λ ) 是可逆的充分必要 条件为行列式 | A(λ ) | 是一个非零常数. 证明： 证明：先证充分性. 设 d =| A(λ ) | 是一个非零的数. A∗ (λ ) 是 A(λ ) 的 的伴随矩阵，它也是一个λ－ 矩阵， 而 1 ∗ 1 ∗ A(λ ) A (λ ) = A (λ ) A(λ ) = E , d d 因此，A(λ ) 可逆.
§1 λ－矩阵 －
设P是一个数域， λ是一个文字，作多项式环 P[λ ], 一个矩阵，如果它的元素是λ的多项式，即
P[λ ] 的元素，就称为λ－矩阵 矩阵. 矩阵 下面我们就以λ－矩阵为工具解决第八章中若
当（Jordan）标准形的问题. 我们把以数域 P中的数为元素的矩阵称为数字 数字 矩阵. 矩阵
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结束
再证必要性. 如果 A(λ ) 可逆，即存在 B(λ ), 使得
A(λ ) B (λ ) = E ,

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次数是非负整数，不可能无止境地降低. 但次数是非负整数，不可能无止境地降低 因此在有限步以后，我们将终止于一个 将终止于一个λ因此在有限步以后，我们将终止于一个 -矩阵 左上角元素b 可以除尽B Bs(λ)，它的左上角元素 s(λ)≠0，而且可以除尽 s(λ) ，它的左上角元素 ，而且可以除尽 全部元素b ， 的全部元素 ij(λ)，即 bij(λ)=bs(λ)qij(λ) ， 对Bs(λ)作初等变换 作
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定义4 -矩阵A(λ)称为与 称为与B(λ)等价，如果可以经 等价， 定义4 λ-矩阵 称为与 等价 化为B(λ). 过一系列初等变换将A(λ)化为 一系列初等变换将 化为 . 等价是 -矩阵之间的一种关系 之间的一种关系， 等价是λ-矩阵之间的一种关系，这个关系显 然具有下列三个性质 三个性质： 然具有下列三个性质： 反身性：每一个λ-矩阵与它自身等价 与它自身等价. (1) 反身性：每一个λ-矩阵与它自身等价. 对称性： 等价， (2) 对称性：若A(λ)与B(λ)等价，则B(λ)与A(λ)等 与 等价 与 等 这是由于初等变换具有可逆性的缘故. 初等变换具有可逆性的缘故 价. 这是由于初等变换具有可逆性的缘故 传递性： 等价， 等价， (3) 传递性：若A(λ)与B(λ)等价，B(λ)与C(λ)等价， 与 等价 与 等价 等价. 则A(λ)与C(λ)等价 与 等价
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定理2 任意一个非零的 非零的s× 的 -矩阵A(λ)都等价 定理2 任意一个非零的 ×n的λ-矩阵 都 于下列形式的矩阵
d 1 (λ ) d 2 (λ ) O d r (λ ) 0 O 0
其中r≥1, 其中 ,di(λ)(i=1,2, …,r)是首项系数为1的多项式， 是首项系数为1的多项式， 且 di(λ)| di+1(λ), (i=1,2, …,r-1). 这个矩阵称为A(λ)的标准形 的标准形. 这个矩阵称为

02
03
步骤
适用范围
首先将λ矩阵化为列阶梯形矩阵 ，然后通过求解线性方程组得到 λ的值。
适用于求解具有多个未知数的线 性方程组。
求解实例解析
实例1
给定一个3x3的λ矩阵，通过 初等行变换法将其化为行阶梯 形矩阵，并求解得到λ的值。
实例2
给定一个4x4的λ矩阵，通过 初等列变换法将其化为列阶梯 形矩阵，并求解得到λ的值。
性质
初等列变换不改变矩阵的秩，且如果两个矩阵等价，则它们可以通过一系列初 等列变换相互转换。
初等变换的应用实例
在线性方程组求解中的应用
通过初等变换将系数矩阵化为行最简形或列最 简形，便于求解方程组。
在矩阵求逆中的应用
通过初等变换将可逆矩阵化为单位矩阵，便于 求逆矩阵。
在矩阵相似变换中的应用
通过初等变换将矩阵化为标准型，便于研究矩阵的相似变换。
λ矩阵的特征多项式是一个关于λ的n 次多项式，其根称为特征值，对应的 线性组合称为特征向量。
λ矩阵的应用场景
λ矩阵在数值分析和计算物理等领域 有广泛应用，如求解线性方程组、计 算矩阵的逆和行列式等。
λ矩阵在控制理论和信号处理等领域也 有应用，如系统稳定性分析和滤波器 设计等。
03
λ矩阵的初等变换
3
λ矩阵的理论价值
λ矩阵的研究对于数学理论的发展，特别是对线 性代数理论的完善和深化，具有重要的理论价值 。
λ矩阵未来的研究方向和趋势
λ矩阵的进一步理论探讨
随着数学理论的发展，对λ矩阵的性质和结构的深入研究将有助于揭示其更深层次的数学 规律。
λ矩阵的应用研究
随着科学技术的进步，λ矩阵在解决实际问题中的应用将更加广泛，需要进一步研究如何 更好地利用λ矩阵解决实际问题。

§8.6 若当标准形的理论推导
∴ J 0 的不变因子是 的不变因子是:
d1 ( λ ) = L = d n−1 ( λ ) = 1, d n ( λ ) = ( λ − λ0 ) .
n
的初等因子是: 故 J 0 的初等因子是
( λ − λ0 )
n
.
§8.6 若当标准形的理论推导
若当形矩阵的初等因子 二、若当形矩阵的初等因子
则 J 的初等因子也是（*）， 的初等因子也是（ ）， 有相同的初等因子. 即J与A有相同的初等因子 与 有相同的初等因子 相似. 故J与A相似 与 相似
§8.6 若当标准形的理论推导
2、定理 换成线性变换的语言即为 、定理10换成线性变换的语言即为
（定理11）设 σ 是复数域上 维线性空间 的线性 定理11 11） 是复数域上n维线性空间 维线性空间V的线性 变换，在 V中必定存在一组基，使 σ 在这组基下 中必定存在一组基， 变换， 中必定存在一组基 的矩阵是若当形矩阵， 的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去 唯一确定的. 若当块的排序外是被 σ 唯一确定的
(λ
− λ1 )
k1
1 O 1
D(λ ) =
(λ
− λ2 )
k2
1 O 1
(λ − λ s )
ks
等价. 等价
§8.6 若当标准形的理论推导
由定理9， 的全部初等因子是： 由定理 ，J 的全部初等因子是：
(λ − λ1 )k1 , (λ − λ2 )k2 , L , (λ − λ s )ks .
§8.6 若当标准形的理论推导
λ E − J1 λ E − J2 于是 λ E − J = O λ E − Js

矩阵线性方程组-习题课复 习课程
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇Hale Waihona Puke 地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿