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本科毕业论文论文题目：幂零矩阵的性质与应用学生姓名：白雪学号：1004970231专业：数学与应用数学班级：数学1002班指导教师：徐颖玲完成日期：年月日幂零矩阵的性质与应用内容摘要在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。
幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。
同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。
关键词：幂零矩阵线性变换逆矩阵若尔当标准型特征值迹.Properties and Applications of Nilpotent MatricesAbstractMatrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples.Key words:Nilpotent matrix Linear transformation Inverse matrix Jordan canonical form Characteristic T race.目录一、预备知识 (1)（一）概念 (1)（二）引理 (2)二、幂零矩阵的性质 (3)（一）幂零矩阵的特性 (3)（二）矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件 (4)（三）幂零矩阵和若尔当块 (5)（四）幂零矩阵的其他性质 (7)三、幂零矩阵的应用 (10)（一）幂零矩阵在矩阵求逆中的应用 (10)1．可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆 (10)2．求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆 (11)（二）幂零矩阵在其他方面的应用 (13)结论 (14)参考文献 (15)随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。
n阶n-1次幂零矩阵是一种特殊的矩阵，它具有一些独特的性质。
通过对零矩阵的特性进行分析和比较，我们可以得出一些有趣的结论。
在本文中，我们将深入探讨n阶n-1次幂零矩阵的相似性质，以及它们在数学和实际应用中的重要性。
一、什么是n阶n-1次幂零矩阵1.1 n阶n-1次幂零矩阵的定义在线性代数中，n阶n-1次幂零矩阵是指所有主对角线上元素为1，其余元素为0的n阶方阵。
具体来说，对于一个n阶n-1次幂零矩阵A，其元素满足如下形式：A[i][i] = 1 (1 <= i <= n)A[i][j] = 0 (i ≠ j, 1 <= i, j <= n)1.2 n阶n-1次幂零矩阵的矩阵表示对于一个3阶2次幂零矩阵A，其矩阵表示如下：| 1 0 0 || 0 1 0 || 0 0 1 |从上述定义和表示可以看出，n阶n-1次幂零矩阵具有一些特殊的规律和性质，这使得它在数学和实际领域中具有重要的应用价值。
二、n阶n-1次幂零矩阵的相似性质2.1 n阶n-1次幂零矩阵的相似概念在线性代数中，矩阵的相似是一个重要的概念。
两个矩阵A和B被称为相似矩阵，如果它们可以通过一个非奇异矩阵P相似变换而得到，即存在非奇异矩阵P使得P^-1AP=B。
对于n阶n-1次幂零矩阵，我们可以通过相似性的概念来研究其特殊性质。
2.2 n阶n-1次幂零矩阵的相似特性对于任意一个n阶n-1次幂零矩阵A，它与任意一个n阶单位矩阵I 是相似的。
具体来说，存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=I。
这种相似性特性使得n阶n-1次幂零矩阵在矩阵理论和线性代数中具有重要的地位。
三、n阶n-1次幂零矩阵的数学和应用价值3.1 n阶n-1次幂零矩阵在数学理论中的应用在数学理论中，n阶n-1次幂零矩阵常常出现在线性代数、矩阵论等领域的理论证明中。
其特殊的相似性质和规律使得它在矩阵变换、矩阵相似性等方面具有重要作用，为相关理论的研究和推导提供了便利。
本科毕业论文论文题目：幂零矩阵的性质及应用学生姓名：学号：76专业：数学与应用数学指导教师：学院：数学科学学院2014 年4月22 日毕业论文（设计）内容介绍目录Liu Yan ......................................................................................................................................... - 1 -Abstract: A special matrix, nilpotent matrix is a kind of not only has a very important role in the field of matrix, and in the field of mathematics and other fields are widely used, thus to explore the nilpotent matrix has very important significance. This article is mainly to some properties of nilpotent matrix and conclusions are summarized , from different angles of matrix related to the properties of nilpotent matrix is discussed. In the general matrix, matrix inverse more troublesome, in this paper, using the nilpotent matrix particularity discussed three kinds of special matrix inverse method. Nilpotent matrix has good properties and has good effect in solving problems related matrix, so the study of nilpotent matrix is very meaningful. ............................................ - 1 -一、相关的大体概念.................................................................................................................. - 2 -二、相关的一些引理.................................................................................................................. - 2 -三、性质...................................................................................................................................... - 4 -四、关于幂零矩阵的简单应用................................................................................................ - 12 -（一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆.......................................................................... - 12 -（二）、有关幂零矩阵的其他应用举例.......................................................................... - 15 -参考文献：................................................................................................................................ - 20 -幂零矩阵是一类比较特殊的矩阵，不仅在矩阵领域有超级重要的作用，而且在数学领域和其他领域应用都超级普遍，因此对幂零矩阵进行探讨具有超级重要的意义.本文主如果对幂零矩阵的一些性质和结论进行归纳总结，从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质.在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法.幂零矩阵具有良好的性质，在解相关矩阵问题有专门好作用，因此对幂零矩阵的研究很成心义. .............................................................................................................................................. - 31 -幂零矩阵的性质及应用刘妍摘要：幂零矩阵是一类比较特殊的矩阵，不仅在矩阵领域有超级重要的作用，而且在数学领域和其他领域应用都超级普遍，因此对幂零矩阵进行探讨具有超级重要的意义.本文主如果对幂零矩阵的一些性质和结论进行归纳总结，从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质.在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法.幂零矩阵具有良好的性质，在解相关矩阵问题有专门好作用，因此对幂零矩阵的研究很成心义.关键词：幂零矩阵, 若尔当块, 特征值, 幂零指数, 幂零矩阵的秩The properties of nilpotent matrix and its applicationLiu YanAbstract: A special matrix, nilpotent matrix is a kind of not only has a very important role in the field of matrix, and in the field of mathematics and other fields are widely used, thus to explore the nilpotent matrix has very important significance. This article is mainly to some properties of nilpotent matrix and conclusions are summarized , from different angles of matrix related to the properties of nilpotent matrix is discussed. In the general matrix, matrix inverse more troublesome, in this paper, using the nilpotent matrix particularity discussed three kinds of special matrix inverse method. Nilpotent matrix has good properties and has good effect in solving problems related matrix, so the study of nilpotent matrix is very meaningful.Key words:Nilpotent matrix, Jordan, characteristic number, Nilpotent index,Nilpotent matrix rank引言在高等数学的学习研究进程中，幂零矩阵是超级特殊且实用的工具，许多问题都会借助幂零矩阵的相关性质来进行研究，比如说求矩阵的逆和许多证明题目中都会用到，求矩阵的逆一般比较麻烦，对于一些特殊矩阵能够用幂零矩阵的性质来简单化解计算.一、相关的大体概念一、 设A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，则A 称为幂零矩阵. 二、 若A 为幂零矩阵，则知足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数.3、 设1111n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪=⎪⎪⎝⎭，则称111'1n n nn a a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的转置， 称111*1n nnn A A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵. 其中(),1,2,,ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式.4、设A 是复数域上全部m n ⨯矩阵，在A 中任意取定k 行k 列,}{min m n k ≤，.位于这些行和列的交点上的2k 个元素依照原来的顺序组成一个k 级行列式M 称为A 的一个k 级子式.五、设A 是复数域上m ⨯n 矩阵，A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩， 记为()r A .六、 主对角线上元素为0的上三角矩阵称为严格的上三角矩阵.7、形为()0010,00J t λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若尔当块，其中λ为复数，由若干个 若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵. 八、 设A 为一个n 阶方阵，()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式.知足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值.九、 次数最低的首项系数为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式.二、相关的一些引理引理1：设,A B 为n 阶方阵，则()()***,tt t AB B A AB B A ==. [1]引理2：()(),A f E A m λλλ=-，别离为矩阵A 的特征多项式和最小多项式，则有()0,0A f A m ==.引理3：每一个n 阶的复矩阵A 都与一若尔当形矩阵相似，那个若尔当形矩阵除去若尔当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形.引理4：若尔当形矩阵的主对角线上的元素为它的特征值.引理5：n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 和最小多项式无重根. 引理6：相似矩阵具有相同的特征值. 引理7：设12,,,n λλλ为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++，12n A λλλ=，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为()()()12,,,n f f f λλλ. 引理8：k 阶若当块11k a J a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有 ()0kk J aE -=.引理9：矩阵的最小多项式就是矩阵A 的最后一个不变因子.引理10：,A B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得121*N T AT λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 121*N T BT μμμ-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 引理11：任意n 阶,A B 方阵，有()()tr AB tr BA =.引理12：设A 是n 阶方阵，若20A =，则()n2r A ≤.引理13：设A 是n 阶方阵，若30A =，则（1）()23nr A ≤；（2）()()()222r r n r A ≤A ≤-A .引理14：设A 是n 阶方阵，则()()()r kr k-1n k A A ≥- ()k 1≥. 引理15：设A 是n 阶方阵，则()()()()()2k 21r r r 0k k A k ++A ≤A +≥，. 引理16: 设A 是n 阶方阵，则()()()()B -+≥AB r BC r AB r C r .三、性质性质1：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0. 证明：⇒因为 A 为幂零矩阵,所以k =0k Z A +∃∈使,使0k A =. 令0λ为A 任意一个特征值，则00A ααλα∃≠=使.由引理7知，0λ为k A 的特征值. 因为0β∃≠使0k βλβA = ,即有00λ=. 又有0k A =，知00kk A A A ==⇒=. 因为()()0*1100kkE A A A -=-=-=-⋅=, 所以 00λ=为A 的特征值. 由0λ的任意性知,A 的特征值为0. ⇐（方式一）因为A 的特征值全为0,所以A 的特征多项式为()n f E A λλλ=-=. 由引理2知，()0n f A A ==. 所以A 为幂零矩阵,得证.（方式二）因为存在可逆矩阵T,使得10*0T T B -⎛⎫ ⎪⎪A == ⎪ ⎪⎝⎭ (B 为上三角矩阵） [2] 由上三角矩阵的性质知， 0n B =，从而0n A =（n 为A 的阶数）. （方式三）因为A 的所有特征根全为0,所以A 的Jordan 标准型J 的若尔当块只能是110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 取正整数m ≥i J 的所有阶数，则m i J =0 所以有m J =0， 故11()0m m m A PJP PJ P --===所以A 为幂零矩阵. 性质2：A 为幂零矩阵的充分必要条件为0=∈∀+k trA Z k . 证明：⇒ 因为A 为幂零矩阵，由性质1，知:A 的特征值全为0 即12n λλλ===.又由引理7，知k A 的特征值为120n λλλ====,从而有120k k k k n trA λλλ=+++=.⇐由已知，12k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++=令12,,,t λλλ为A 的不为0的特征值,且t λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =由（）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩（）由于方程组（）的系数行列式为122221212121212121111()t t t tttttttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又因为()t i i ,,2,1 =λ互不相同且不为0，0≠B , 从而知，方程（）只有0解，即()t i n i ,,2,10 ==即A 没有非零的特征值所以A 的特征值全为0,由性质1,得A 为幂零矩阵得证.性质3：若A 为幂零矩阵，则A的若尔当标准形J 的若当块为幂零若尔当块，且J 的主对角线上的元素为0.证明：因为A 为幂零矩阵，再由性质1，知A 的特征值全为0. 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中11ii i J λλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为()s i n i,,2,1 =.由引理4，知()s i i ,,2,1 =λ为J 的特征值.又因为A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值. 所以()s i i ,,2,10 ==λ 即J 的主对角线上的元素全为0.由引理8，知()()()s i J E J i i n i n i ,,2,100 ===⋅-, 故S J J J ,,,21 为幂零矩阵,得证.性质4：若A 为幂零矩阵，则A 必然不可逆但有A E +及A E -可逆， 且1,1A E E A +=-=其中E 为单位矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，所以k Z +∃∈使0k A =.故00kk A A A ==⇒=,A 必然不可逆.由性质1，得A 的特征值为120n λλλ====由引理7， 得A E +,A E -的特征值别离为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=所以,A E +及A E -可逆， 且有1211n n A E λλλ'''+===,1211n n E A λλλ''''''-===.即1,1A E E A +=-=,得证. 性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化. 证明：令12,,,n λλλ为A 的特征值,若A 退化，则有0A =.由引理7，得120n A λλλ==.所以至少存在00i λ=为A 的特征值，又由引理7，得0110i λ+=≠为A E +的一特征值，这与A E +为幂零矩阵矛盾,故A 为非退化，得证.性质6：若A 为幂零矩阵,B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵,所以k Z +∃∈,使0k A =.又因为AB BA =,()00k k k k AB A B B ==⋅=.所以1211231111()(1)(0)k k k mE A E A A A m m m m m---+=-+++-≠故AB 也为幂零矩阵，得证.性质7：若A 为幂零矩阵且0k A =，则有121()k E A E A A A ---=++++.证明：因为0k A =，所以k k k E E A E A =-=- 21()()k E A E A A A -=-++++.即121()k E A E A A A ---=++++.对任意0m ≠，有[()]k k k k k AmE mE A mE A m E m=+=+=+211121111()((1))k k k A m E E A A A m m m m---=+-+++-211121111()((1))k k k mE A E A A A m m m---=+-+++- 即有2111211111()((1))k k k mE A E A A A E m m m m---+⋅-+++-= 所以12111211111()((1))k k k mE A E A A A m m m m ----+=-+++-21123111(1)k k k E A A A m m m m--=-+++-性质8：若A 为幂零矩阵且0A ≠，则A 不可对角化.但对任意的n 阶方阵B ，存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化. 证明：因为A 为幂零矩阵，所以k Z +∃∈使0k A =且A 的特征值全为零. ()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==, 令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ. 从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤.由于0,A ≠所以01k >，又现在00()2k A m k λλ=≥，即A 的最小多项式有重根，由引理5，知A 不可对角化因为B 为n 阶方阵，由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T BT J -⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭,其中11i ii J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)i n i s =. 令iii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =,则有0110i i i J J D ⎛⎫ ⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =.由引理8，知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅==,即i J '(1,2,,)i s =为幂零矩阵.现令12s J J J J ⎛⎫' ⎪⎪''= ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭,12s D D D D ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1112122s s s J D J J J D T BT J D J J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭， 即111()(1)B T J D T TJ T TDT ---''=+=+ 又D 为对角阵，由（1）式知11B TJ T TDT --'-=可对角化.令1N TJ T -'=- 且取12max(,,,)s k n n n =,则有120kkkk s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''==⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭,111112()()()()()00kkk k k k k k k s J J N TJ T T J T T T T T J ----⎛⎫' ⎪⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵,得证.性质9：n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n 且幂零指数等于其若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.证明:令A 为n 阶幂零矩阵,由性质3知，存在可逆矩阵T , 使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ .其中0110iJ ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,阶数为(1,2,,)in i s =，且()0i n i J =,1(1,2,,)i n n i s ≤≤=.取12max(,,,)s k n n n =，则k n ≤且有 1121112()00(1.5)k kk k k s s J J J J A T T T T T T J J ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪==== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即0k A =若令0k 为A 的幂零指数，则0k k n ≤≤,00k A =.若0k k <，则0i ∃使00i n k >且000k i J ≠. 由（）式，得0000112112()0k k k k k s s J J J J A T T T T J J --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这与00k A =矛盾. 故0k k n =≤,得证.性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 .证明：令A 为幂零矩阵，则A 的特征值全为0.若B 与A 相似,由引理6，得A 与B 有相同的特征值. 所以B 的特征值也全为0，由性质1，知B 也为幂零矩阵. A 为幂零矩阵由性质3知,存在可逆矩阵T,使得121s J J T AT J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,阶数为(1,2,,)in i s =,且()0i n i J =, 1(1,2,,)i n n i s ≤≤=.由性质9，知{}12max ,,,A s k n n n =为A 的幂零指数又A 与B 相似，A 与J 相似 ,从而有B 也与J 相似所以∃可逆矩阵P ,使得121s J J P BP J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 又由性质9，知12max{,,,}B s k n n n =为B 的幂零指数,从而有A B k k =.又0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1,2,,)i s =为严格上三角,所以12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭也为严格上三角形, 即A ,B 都相似于严格上三角形J . 得证 .性质11：若A 为幂零矩阵，则,,,A A A mA *'-()m Z +∈都为幂零矩阵，特别有2()0A *=.证明：因为A 为幂零矩阵,所以k Z +∃∈,使0k A =.由引理1，知()()00k k A A '''===,()()00k k A A ***===, ()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=. 所以,,A A A *'-都为幂零矩阵.因为()()()00k k k k mA m A m ==⋅=， 所以()mA m Z +∈也为幂零矩阵. 又因为A 为幂零矩阵，所以0A =，即()1r A n ≤-. 若()1r A n <-，则有A 的所有1n -阶代数余子式都为0. 则有0A *=,从而有2()0A A **==.若()1r A n =-，则由性质3知,存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =且()1i i r J n =-.又显然A 与J ，所以有111()()()(1)1sssi i i i i i r A r J r J n n s n s n ======-=-=-=-∑∑∑所以1s =,即有10110T AT J B -⎛⎫ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭. 又10(1)0n B +*⎛⎫-⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 所以2()0B *=. 由（）式及引理1，知11()()A TBT T B T *-*-***==, 21212()[()]()()0A T B T T B T *-***-***===, 得证. 性质12：设A 是为n 阶矩阵，且0k A =，则 （1）()1r k nA k -≤；（2）()()()11(1)k k k r A r A n r A ---≤≤-. 证明：因为0k =A ，由引理16知()()()()()21120k k k k k r A r AA A r A r A r A ----==≥+- （1） ()()()()()322130k k k k k r A r AA A r A r A r A ----==≥+- （2）()()()()()k k-2210k r A r AAA r A r A r A -==≥+- （3） 把上式相加取得：()()()110k k r A r A ---≤. （4） 由定理知：()()()()110k k k r A r AA r A r A n --==≥+-, 则()()1k r A r A n -+≤. 故()1k kr A n -≤,即()1k n r A k-≤. 所以()()1k r A n r A -≤-，所以()()()11k k r A r A --≤ 所以()()()()111k k k r A r A n r A ---≤≤-,得证. 性质13：设A 是为n 阶矩阵，且0k A =，则（1）k 为偶数且4≥k ，则()()12212k k r A r A -≤；（2)k 为奇数且3≥k ，则()()11212k k r A r A --≤.证明：由引理16知：()()()()21202k k k k r A r AA A r A r A ---==≥-, 即()()212k k r A r A --≥. 再由引理16知：()()()()2422402k k k k r A r A A A r A r A ---==≥- 即()()422k k r A r A --≥，由此类推， （1）k 为偶数且4≥k ，则()()()()12422111242k k k kr A r A r A r A ---≤≤≤≤.（2)k 为奇数且3≥k ， 则()()()()12412111242k k k k r A r A r A r A ----≤≤≤≤,得证.四、关于幂零矩阵的简单应用（一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆1、求可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆.若矩阵A 可表示为幂零矩阵和单位矩阵的和，则可借用二项式展开定理将求矩阵A 的逆转化为单位矩阵和幂零矩阵的乘幂.例 1 4615135124A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求1A -. 解：46153615100135125010124125001A B E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中3615125125B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭3615125125B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭且有2361536151251250125125B BB --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.1110036152615()010125115001125126A B E E B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∴=+=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 4121031200210001求1-A .解：E +B =A ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 3121021200110000 且03=B . ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=B +B -E =B +E =A ∴--62530841200121200024241211. 2、求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆.对于主对角线元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵和幂零矩阵的和.例1 ()0000000000110≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A λλλλλ 求.1A -解：B +E =A m ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 0000000000001100且02=B . ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B -E =B +E =A ∴--λλλλλλλλλ10000100001011011122211. 例2 已知0000000000000n nx y x y A x y x ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求1A -. 解：0000000000000x y x y A x y x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10000010000001000001x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭01000001000000100000y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+ ⎪⎪⎪⎝⎭n xE yJ =+， 其中01000001000000100000n J ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭且有0nn J =.211123()(1)n n n nn n n J J J E A xE yJ x x x x---=+=-+++- 1122211(1)10(1)00100n n n n n n y y x x x y x x x -----⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3、求可表为若尔当块的幂的矩阵和的矩阵的逆。
幂零矩阵的定义在线性代数中，幂零矩阵是一种特殊类型的方阵。
它具有一些独特的性质和特征，对于理解线性代数中的各种概念和定理具有重要意义。
幂零矩阵的定义幂零矩阵是一个方阵，其所有元素的幂次均为零。
换句话说，对于一个n×n的幂零矩阵A，对于任意i和j（1 ≤ i, j ≤ n），A的第i行第j列元素aij满足aijk=0，其中k是一个大于等于1的整数。
可以用符号表示一个幂零矩阵：A = [aij] = ⎡⎡⎡⎡⎡⎡ a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … aNN ⎡⎡⎡⎡⎡⎡其中每个元素满足aijk=0。
幂零矩阵的性质幂零矩阵具有以下重要性质：1. 幂零性质幂零矩阵的定义表明，对于幂零矩阵A中的任意元素aij，存在一个正整数k，使得aijk=0。
这意味着幂零矩阵的每个元素都有一个幂次，使得它等于零。
2. 幂零指数最小对于一个给定的幂零矩阵A，存在一个最小的正整数k，使得所有元素aijk=0。
这个最小的正整数k被称为该幂零矩阵的指数。
指数越小，说明矩阵中元素变为0所需的次数越少。
3. 幂零矩阵的乘积如果A和B是两个幂零矩阵，并且它们可以相乘（即A的列数等于B的行数），那么它们的乘积AB也是一个幂零矩阵。
具体而言，对于AB中的任意元素cij，存在一个正整数k，使得cijk=0。
4. 幂零矩阵的幂对于一个幂零矩阵A和一个正整数m，A的m次幂Am也是一个幂零矩阵。
具体而言，对于Am中的任意元素dij，存在一个正整数l，使得dijl=0。
幂零矩阵的应用幂零矩阵在线性代数中有广泛应用，特别是在理解和证明一些重要定理时起到关键作用。
以下是一些幂零矩阵的应用示例：1. 特征值和特征向量对于一个幂零矩阵A，0是它唯一的特征值。
此外，所有非零列向量都是A的特征向量，并且它们对应于特征值0。
2. 线性变换幂零矩阵可以表示一些特殊类型的线性变换。
例如，在空间中进行投影或旋转等操作时，可以使用幂零矩阵来表示这些变换。
幂零矩阵性质及应用幂零矩阵性质及应用性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。
证明：?A Q 为幂零矩阵k Z +∴?∈ .0k s tA =令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα?≠= 由引理7知，0kλ为k A 的特征值 00.k k s t A ββλβ∴?≠= 从而有0k λ=0即有00λ=又有0kA =，知00kkA A A ==?=0*(1)(1)00k kE A A A ∴-=-=-=-?=00λ∴=为A 的特征值。
由0λ的任意性知，A 的特征值为0。
?A Q 的特征值全为0A ∴的特征多项式为()nf E A λλλ=-=由引理2知，()0nf A A == 所以A 为幂零矩阵。
得证性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +?∈=。
证明：?A Q 为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即120n λλλ====L由引理7，知 kA 的特征值为120k k k n λλλ====L从而有 120k k k kn trA λλλ=+++=L由已知，120k k k k n k Z trA λλλ+∈=+++=L (1.1)令12,,,t λλλL L 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =L L由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=??+++=??+++=+++=?L L L L L L (1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t tttt tt t tt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-L L LLL MM L MM M L MLL又(1,2,)ii t λ=L L 互不相同且不为0，0B ∴≠从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)i n i t ==L L即A 没有非零的特征值A ∴的特征值全为0，由性质1，得 A 为幂零矩阵得证性质3：若A 为幂零矩阵则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵，由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -??= ? ??O其中11i i i J λλ??= ? ??O O O 阶数为(1,2,,)in i s =L由引理4，知(1,2,,)i i s λ=L 为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值所以0(1,2,,)i i s λ==L 即J 的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i ni i J E J i s -===g L12,,,s J J J L L 为幂零矩阵得证性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A Q 为幂零矩阵，k Z +∴?∈ .0k s t A =00kk A A A ∴==?= A 一定不可逆由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====L 由引理7，得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=L L且有1211n n A E λλλ'''+===g L g1211n n E A λλλ''''''-===g L g即1,1A E E A +=-= 得证性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化证明：令12,,,n λλλL L 为A 的特征值若A 退化，则有 0A =由引理7，得120n A λλλ==gL L g ∴至少存在0i λ=0为A 的特征值又由引理7，得110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾得证A 为非退化性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵。
目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (2)2 预备知识 (2)2.1 概念 (2)2.1 引理 (3)3 幂零矩阵的性质 (4)3.1幂零矩阵的特性 (4)3.2 矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件 (6)3.3幂零矩阵和若尔当块 (7)3.4幂零矩阵的其他性质 (8)4幂零矩阵的应用 (11)4.1幂零矩阵在矩阵求逆中的应用 (11)4.1.1 可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆 (11)4.1.2 求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆 (13)4.2幂零矩阵在其他方面的应用 (14)结论 (16)参考文献 (16)致谢 (18)幂零矩阵的性质与应用摘要：在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。
幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。
同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。
关键词：幂零矩阵；线性变换；逆矩阵；若尔当标准型；特征值；迹.Properties and Applications of Nilpotent MatricesAbstract: Matrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples.Key words: Nilpotent matrix; Linear transformation; Inverse matrix; Jordan canonical form; Characteristic; Trace.1 引言随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。
幂零矩阵性质及应用数本041 严益水 学号：摘要：幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。
它具有一些很好的性质。
本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。
幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。
在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。
关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）（一） 一些概念1、令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。
2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。
3、设1111n n nn a a A a a ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，称1111n nnn a a A a a ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的转置， 称111*1n nnn A A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵。
其中(,1,2,,)ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。
5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。
6、形为010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。
7、()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式。
满足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值。
幂零矩阵和幂零变换的性质及应用1引言定义1.1[1]令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵. 定义1.2[1]若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数. 定义 1.3[3]设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为1nii i trA a ==∑.定义1.4[5]形如0010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成的准对角称为若当形矩阵.定理1.1[5]设,A B 为n 阶方阵，则()()***,AB B A AB B A '''==.定理1.2[5](),()A f E A m λλλ=-分别为矩阵A 的特征多项式和最小多项式， 则有()0,()0A f A m A ==.定理1.3设12,,,n λλλ 为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++ ，12n A λλλ=⋅⋅ ，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为12(),(),,()n f f f λλλ .定理 1.4k 阶若当块11k a J a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有()0kk J a E -=.定理1.5,A B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得112211n n T AT T BT λμλμλμ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪** ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.定理1.6任意n 阶,A B 方阵，有()()tr AB tr BA =.定理1.7[5]n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似A ⇔的最小多项式无重根.定理 1.8[5]每一个n 阶的复矩阵A 都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若当标准形.本文内容分为三部分，第一部分给出幂零矩阵的性质，第二部分是幂零矩阵的应用，主要给出幂零矩阵的性质应用和幂零矩阵在求逆中的应用，第三部分给出幂零变换的性质以及幂零变换与幂零矩阵的关系. 2 幂零矩阵的性质性质2.1 幂零矩阵的行列式值为零.性质2.2幂零矩阵的数乘矩阵、相似矩阵和k 次幂(k 为自然数)都是是幂零矩阵. 性质2.3若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义 1.1知存在k Z +∈使得0k A =，又因为AB BA =()00k k k k AB A B B ==⋅=，所以AB 也为幂零矩阵，所以原命题成立.性质2.4若A 为n 阶幂零矩阵，则()*,,,T A A A mA m Z -∈均为幂零矩阵，其中'A 是A 的转置矩阵，*A 是A 的伴随矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，由定理1.1知()()00k k A A '''===，()()00k k A A ***===，()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=，所以,,A A A *'-都为幂零矩阵，又因为()()()00k k k k mA m A m ==⋅=，所以()mA m Z +∈也为幂零矩阵.性质2.5 若A 是幂零矩阵，且0k A =则 1) ()121k E A E A A A ---=++++ 2) ()()11211k k E A E A A A ---+=-+++-3) ()()111211110k k k mE A E A A m m m m---+=-++-≠ . 证明：1）因为()()21k k k k E A E A A A E A E E --+++=-== ， 所以()121k E A E A A A ---=+++ . 2) 由1）类似可得 ()()11211k k E A E A A A ---+=-+++- .3) ()111111mE A m E A E A m m m ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭()()1111211111111k k k k kE A A E A A m m m mm m ----⎛⎫=-++-=-+- ⎪⎝⎭ ， 所以原命题1)、2)、3)成立.性质2.6 A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0.证明：（1）⇒因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，令0λ为A 任意一个特征值，则存在00A λ∂≠∂=∂使得，由定理1.3知，0k λ为k A 的特征值，所以存在00k k A ββλβ≠=使得，从而有0k λ=0即有00λ=，又有0k A =，知00kk A A A ==⇒=则()()01100k kE A A A *-=-=-=-⋅=，所以00λ=为A 的特征值，由0λ的任意性知，A 的特征值为0.（2）⇐因为A 的特征值全为0，A 的特征多项式为()n f E A λλλ=-=，由定理1.2知 ()0n f A A ==，所以A 为幂零矩阵，所以由（1）、（2）可以得出原命题成立.性质2.7 若为A 幂零矩阵且0A ≠，则A 不可对角化但对任意的n 阶方阵B ,存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =且由性质2.6知A 的特征值全为零，()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==，令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ，从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤，由于00k 1A ≠>所以，又此时00(),2k A m k λλ=≥，即A 的最小多项式有重根，由定理1.7知A 不可对角化.又因为B 为n 阶方阵,由定理1.8知在复数域上存在可逆矩阵T 使得121s J J T BT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 阶数为(1,2,,)i n i s = ， 令i ii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s = ，则有0110i i i J J D ⎛⎫⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)i n i s = ,由定理 1.4知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅==即i J '为幂零矩阵(1,2,,)i s =现令12s J J J J ⎛⎫'⎪⎪''=⎪⎪⎪ ⎪'⎝⎭，12s D D D D ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1112122s s s J D J J J D T BT J DJ J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭，即()111() 2.1B T J D T TJ T TDT ---''=+=+，又因为D 为对角阵，由（2.1）式知11B TJ T TDT --'-=可对角化，令1N TJ T -'=-且取12max(,,,)s k n n n = ，则有120k kk k s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭，111112()()()()()00k kk k k k kk k s J J N TJ T T J T T T T T J ----⎛⎫' ⎪ ⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭，即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵，所以原命题成立.性质2.8 A 为幂零矩阵的充分必要条件是对任意的自然数0k k trA =，都有. 证明：（1）⇒因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征根()1,2,,i i n λ= 全为0，由定理1.3知对任意的自然数k 有k A 的特征值0,1,2,k i i n λ== ,所以()120k k k k n tr A λλλ=+++= .（2）⇐设A 的特征根为,1,2,,i i n λ= ,所以对任k Z +∈有120k k k k n trA λλλ=+++= (2.2),令12,,,t λλλ 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同，重数为i n ()1,2,,i t = 由（2.2）式及定理1.3得方程组()1122222112233311221122000 2.30t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩,由于方程组（2.3）的系数行列式为122221212121212121111(),t t t tt ttt ttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又(1,2,)i i t λ= 互不相同且不为0，所以0B ≠，从而知方程组（2.3）只有零解，即0(1,2,,)i n i t == ，即A 没有非零的特征值，所以A 的特征值全为0，则由性质2.6得A 为幂零矩阵 ，所以由（1）、（2）知原命题成立. 性质2.9 若A E +为幂零矩阵，则A 非退化.证明：令12,,,n λλλ 为的特征值，若A 退化则有0A =，由定理 1.3得120n A λλλ==所以至少存在00i λ=为A 的特征值，又由定理1.3得0110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾，所以A 为非退化.性质2.10若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-=. 证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，所以00kk A A A ==⇒=，所以A 一定不可逆，由性质2.6得A 的特征值为120n λλλ==== ，由定理1.3得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=且有1211n n A E λλλ'''+=== ，1211n n E A λλλ''''''-=== ，即1,1A E E A +=-= ，所以原命题成立.3 幂零矩阵的应用 3.1 幂零矩阵的性质应用例3.1.1,A B 为n 阶方阵，B 为幂零矩阵且AB BA =，则有A B A +=.证明：由定理1.5知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪* ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 121n T BT μμμ-⎛⎫⎪*⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，又因为B 为幂零矩阵由性质2.4知B 的特征值全为0， 即1000T BT -⎛⎫⎪*⎪= ⎪⎪⎝⎭，12111()n T A B T T AT T BT λλλ---⎛⎫ ⎪* ⎪+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1211()nT A B T TA B T λλλ--*+=+=，又因为T 可逆0T ≠所以11T T-=所以 1212n nA B λλλλλλ*+==⋅⋅,由121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪* ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 知12,,,nλλλ 为A 的特征值由定理1.3得： 12n A λλλ=⋅⋅ ,从而得证 12n A B A λλλ+=⋅⋅= ，则有A B A +=.例3.1.2A 为n 阶方阵，求证A B C =+，B 可对角化,C 为幂零矩阵且BC CB =. 证明：由性质2.7知存在幂零矩阵N ,使得A N +可对角化,即存在可逆T ，使得121()n T A N T D λλλ-⎛⎫ ⎪⎪+=== ⎪ ⎪⎝⎭ ,即有1()A TDT N -=+- ，由性质2.4知由于N 为幂零矩阵则N -也幂零矩阵，又因为1TDT -与D 相似 ，所以1TDT -可对角化，令1B TDT -=C N =-，则有A B C =+，1B TDT -=可对角化，C N =-为幂零矩阵，又因为D为对角阵所以1111BC TDT C TT DC DC CD CDTT CTDT CB ----=======.例 3.1.3,,A B C 为n 阶方阵，且,,AC CA BC CB C AB BA ===-，证明：存在自然数0k k n C ≤=使得.证明：由于,,AC CA BC CB C AB BA ===-，所以对任意的m Z +∈有 1111111()()()()(),m m m m m m m m C C AB BA C AB C BA A C B BC AA CB CB A -------=-=-=-=-由定理1.6推广可得：11(())(())m m tr A C B tr BC A --=,1111()(()()))(())(())0m m m m m tr C tr A C B BC A tr A C B tr BC A ----=-=-=,由性质2.6得C 为幂零矩阵，所以由定义知存在0k k n C ≤=使得.所以原结论得证.例3.1.4 在复数域上n 阶方阵A 相似于对角阵等价于对于A 的任一特征值λ，有A E λ- 与2()A E λ-的秩相同.证明：⇒因为A 对角化，则存在可逆矩阵T ，使得121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 从而有1212121222(),()()(),()n n T A E T T A E T λλλλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎪-⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪-⎪-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭所以1()T A E T λ--与12()T A E T λ--相同，即A E λ- 与2()A E λ-的秩相同.⇐由于在复数域上，存在可逆矩阵T 使得121s J J T AT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 阶数为(1,2,,)i n i s = ，若(1,2,,)i J i s = 不全为对角阵，则不妨令1J 不可对角化，且有1i n >，有110110n J E ⎛⎫ ⎪ ⎪-=⎪ ⎪⎝⎭ ，12100()1100n J E ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 从而知11n J E -的秩大于121()n J E -的秩，即有1()T A E T λ--的秩大于12()T A E T λ--的秩也即A E λ- 的秩大于2()A E λ-的秩，这与已知矛盾，所以所有(1,2,,)i J i s = 为对角阵，从而得证A 相似于对角阵.3.2幂零矩阵在求逆中的应用3.2.1可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆例3.2.1已知4615135124A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求1A -.解：46153615100135125010124125001A B E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中3615125125B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭且有2361536151251250125125B BB --⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.所以 1110036152615()010125115001125126A B E E B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.2.2主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆例3.2.2已知0000000000000n nx yxy A x y x ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,求1A -.解：因为0010000010000000100000100000000100000100000000100000nx y x y A x y x y x xE yJ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+其中01000001000000100000n J ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭且有0nn J =，所以可得211123112221()(1),1(1)10(1).00100n n n n nn nn n n n n n J J J E A xE yJ x x x x y y x x x y x x x --------=+=-+++-⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3.2.3可表为若当块幂的和的矩阵的逆例3.2.3已知21110010001n n n na a a a a A a -⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,求1A -.解：21221110010001n n n n n n n a a a a a A E aJ a J a J a --⎛⎫⎪⎪⎪==++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中01000001000000100000n n n J ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,10000010000001000001n nE ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以1010001000010001000000100010000000001n a a A E aJ E a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4 幂零变换的性质定义4.1[6]设V 是数域F 上的向量空间，σ是V 的线性变换，如果存在整数m ，使0mσ=即对任意V ξ∈，有()0mσξ=，则称σ为幂零线性变换.定义4.2[6]若σ是幂零线性变换，0t 是非空正整数集合{}|0m m Z σ+∈=中的最小正整数，则称0t 是幂零线性变换σ的幂零指数.性质4.1 设()L V σ∈,()()1,,,k ξσξσξ- 都不等于零，但()0k σξ=.则()()1,,,k ξσξσξ- 线性无关.证明：设011,,,k a a a F -∈ ，使()()()101104.1k k a a a ξσξσξ--+++=将()4.1分别12,,,k k σσσ-- 去作用()()()12101210k k k a a a a σξσξσξσξ---⎡⎤+++=⎣⎦得()100k a σξ-=,又因为()10k σξ-≠，所以00a =.同理可得0110k a a a -==== . 故()()1,,,k ξσξσξ- 线性无关.性质4.2 设n 维向量空间V 有线性变换σ及向量ξ，满足()()10,0n n σξσξ-≠=. 求证σ关于V 的某个基的矩阵是00010000010A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明：根据性质4.1 ()(),,,n ξσξσξ 线性无关，所以它们组成V 的一个基()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21212211210000000000000.n n n n n n σξξσξσξσξσσξξσξσξσξσσξξσξσξσξσσξξσξσξσξ------=++++=++++=++++=++++，，，故σ关于V 的某个基的矩阵是A .性质4.3σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换当且仅当它的特征多项式的根都是零.证明：必要性 设λ是幂零变换σ的特征值，ξ是属于特征值λ的一个特征向量，则()()()()()()()()()()22322310m m m m σξλξσξσλξλσξλξσξσλξλσξλξσξσλξλσξλξ-===========由于0ξ≠，所以0m λ=，即0λ=.充分性 若σ关于V 的某个基德矩阵时A ，那么A 的特征值全部为0，所以F 上存在可逆矩阵T ，使得()1000000T AT -**⎛⎫⎪* ⎪= ⎪⎪⎝⎭上三角矩阵故10000000nnT A T -**⎛⎫ ⎪*⎪== ⎪⎪⎝⎭ ,所以10000000nn A T T -**⎛⎫⎪*⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 因此0n σ=，即σ是幂零线性变换.性质4.4 如果一个幂零变换σ可以对角化，那么σ一定是零变换.证明：设σ在向量空间V 的某个基下的矩阵是A ，由题设A 可以对角化，即存在F 上的可逆矩阵T ，使得121n T AT B λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，矩阵B 时σ在一组新基下对应的矩阵，并由性质4.3知，120n λλλ==== .即矩阵B 是零矩阵故σ是零变换.性质4.5 若σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换，则σ的特征多项式为m x . 证明：因为σ是幂零线性变换，故存在正整数m ，使0m σ=，于是m x 为σ的一个化零多项式，从而σ得特征值全为零，又m x 是首一多项式，故m x 为σ的特征多项式.性质4.6 若σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换，且σ的幂零指数为0t ，则0t n ≤，且σ的最小多项式为0t x .证明：设()m x 是σ的最小多项式，则()()()00|,t n m x x m x x t n =≤所以.由定义4.2可知0t x 为σ的最小多项式.性质 4.7 设V 是数域F 上的n 维向量空间，σ是V 的线性变换，若σ是幂零变换，则σ在某一基下的矩阵时幂零矩阵.证明：由于σ是幂零变换，即存在正整数m ，使对任意V ξ∈，有()0m σξ=. 设12,,,n ααα 是V 的一个基，σ关于12,,,n ααα 的矩阵是A .即()()1212,,,,,,n n A σαααααα=所以有()()()1212,,,,,,0,0,,0m m n n A σαααααα== .由于12,,,n ααα 是基，所以0m A =，因此A 是幂零矩阵.参考文献[1] 邹本强．幂零矩阵的性质[J]．威海职业技术学院学报,2007,12(1)：154-155 [2] 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设A ，B 是n 阶矩阵，令C A B B A =-，且C 同A ，B 可交换，求证：存在整数m 使 0mC =.证明 因为C同A ，B 可交换即,AC C A B C C B ==，所以有22()()()C A C C A C AC C A C AC ====,即2C 与A 可交换.同理可证kC （1,2...k n =）与A 可交换，k C （1,2...k n =）与B 可交换. 下证0ktrC=（1,2...k n =）.()()()0trC tr AB BA tr AB tr BA =-=-=2[()]()()()()()()0trC tr C AB BA tr CAB tr CBA tr ACB tr CBA tr CBA tr CBA =-=-=-=-=同理可证：0,1,2...ktrCk n ==.下证C 的所有特征值为零.设C 的所有特征值为n λλλ...,21，所以kC 的所有特征值为kn kkλλλ...,21.下面证明n λλλ...,21都为零.由0k trC =，12...k =，可得： 设C 的不为零的特征值分别为n λλλ...,21，且分别为12,,...,rss s 重.则上式可写成：221222221120101......012.........r r k k krr r r s s s s s s s s s λλλλλλλλλ⎧+=⎪⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩++++++ 令122221212.....................rr r r r r L λλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以上式可写成120...r L s s s ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.而由范德蒙行列式可知121...()ni j i j nL λλλλλ≤<≤=⋅-∏，又C 的特征值n λλλ...,21互不相等，所以0L ≠，所以上式只有零解，所以C 的特征值全为零.若C 的所有特征值为零，则根据哈密尔顿-凯莱定理知存在m 使0mC=.命题得证.12222121200...............n nk k k nλλλλλλλλλ+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩++++++注：对于][x P 中的线性变换B A ,，令)()(),()('x xf x Bf x f x Af ==，则有e BA AB =-（e 为恒等变换）.[13]命题1 若,n nA B C ⨯∈，且AB BA =，则A 与B 一定存在公共的特征向量.证明 因为n nA C ⨯∈，则A 在复数域上一定存在特征值，取A 的任一个特征值λ，考虑λ的特征子空间{}nV CA λξξλξ=∈=设dim V k λ=，则0k >，设12,,,k εεε 为V λ的一组基，则i V λε∈，于是有i i A ελε=，1,2,,i k = .在下面的证明中，我们将证明存在A 的属于λ的一个特征向量η，使η也是B 的一个特征向量，即存在某数μ使B ημη=成立，从而η为A 与B 的公共特征向量.由于12,,,k εεε 为V λ的一组基，设1122k k c c c ηεεε=++ （1）由i i A ελε=，则()()()()i i i i A B B A B B εελελε===，即得i B V λε∈，1,2,,i k = .则有ij l C ∈，,1,2,,i j k = ，使得11112121212122221122k kk kkk k kk k B l l l B l l l B l l l εεεεεεεεεεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 下步将寻找不全为零的12,,,k c c c ，使（1）成立，并且使η为A 与B 的公共特征向量.1122()k k B B c c c ηεεε=+++ 1122k k c B c B c B εεε=+++1111212111()()k k k k kk k c l l l c l l εεεεε=+++++++1111111()()k k k kk k k l c l c l c l c εε=++++++而112211()()()k k k k c c c c c μημεεεμεμε=+++=++ 由B ημη=及12,,,k εεε 线性无关，得11112211211222221122k k k k k k kk k k l c l c l c c l c l c l c c l c l c l c cμμμ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）即111111k k kk k k l l c c l l c c μ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 记()ijk kL l ⨯=，即得11kk c c L c c μ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 也即()100kc L c μ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪E -= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3） 当0L μE -=时，上式有非0解，此式说明μ是L 的特征值.命题1证毕.命题1证明了A 与B 有公共的特征向量，通过定理1的证明，我们还看出， 对于A 的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在B 的特征向量.于是有推论：推论 1 若复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有r 个互不相同的特征值，则A 与B 至少有r 个线性无关的公共特征向量.证明 设12,,,r λλλ 是A 的r 个互不相同的特征值，按照定理1的证明，在A 的每个特征子空间i V λ中都存在B 的特征向量i ξ，1,2,,i r = ，而属于不同特征值的特征向量必线性无关，得12,,,r ξξξ 是A 与B 的r 个线性无关的公共特征向量.推论 2 若n 阶复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有n 个互不相同的特征值，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -与1P BP -都是对角矩阵.证明 由推论1知A 与B 有n 个线性无关的公共特征向量12,,,n ξξξ ，作矩阵12(,,,)n P ξξξ= ，则1P AP -与1P BP -都是对角矩阵.下面，我们通过例子说明如何用定理1中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量. 例1 求可换矩阵,A B 所有的公共特征向量.300131201A ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭，121011220B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解 容易验证AB BA =，A 的特征多项式为2300131(1)(3)21E A λλλλλλ--=--=----.所以11λ=，233λλ== .对11λ=，由1232001210200x x x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得 10x =，2312x x =-，从而基础解系为1012ε⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，而11121000111122022B εε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，定理1中的()1L =-为11⨯矩阵，于是1μ=-， 于是公共特征向量为111102c c c ηε⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1c 为任一不为零的常数对233λλ==，由1230001010202x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得 13x x =，从而基础解系为1101ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2010ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，而1121211201101222012B εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2121210201111222002B εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由命题1可知2211L ⎛⎫=⎪⎝⎭，22011L μμμ--E -==--，从而有(3)0μμ-=，对0μ=，12220110c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得 21c c =-，于是公共特征向量为112()c ηεε=-，即111c c c η⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1c 为任意不为零的常数.对3μ=，12120120c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得 122c c =，于是公共特征向量为212(2)c ηεε=+，即22222c c c η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中2c 为任意不为零的常数.于是所有公共特征向量的形式为：02kk η⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，k k k η⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭，22k k k η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭k 为任意不为零的常数.4 逆命题 设C 为n 阶矩阵，且tr 0C =，则必存在n 阶矩阵A 与B ，使A B B A C -=证明 若tr 0C =，则C 一定相似于一个主对角元全是零的方阵.证明为参考文献[12]定理1的证明，在此略.下证必存在n 阶矩阵A 与B ，使A B B A C -=分两种情况讨论：（1）若C 是主对角元全是零的方阵，即()ij C c =，0ii c =，1,2,,i n = .取12n A λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12,,,n λλλ 两两互异.取()ij B b =，其中ijij i jc b λλ=-（i j ≠），而ii b (1,2,,)i n = 任意，可验证A B B A C -=.（2）对任何tr 0C =的n 阶矩阵C ，由引理存在可逆阵P ，使1P CP -为一个主对角元全是零的方阵.由（1）所证，存在n 阶矩阵1A 与1B ，使11111A B B A P C P --=于是，有11111111()()()()P A P P B P P B P P A P C -----=，令11P A P A -=，11P B PB -=，则A B B A C -=.命题得证.5 一个反例命题1中对复数域的要求是必需的，而在文献[2]中P261却有如下一道习题：习题[2] 设矩阵A 与B 可交换，试证：如果A 有特征向量，则,A B 一定有公共特征向量. 在文献[3]中对该习题作出了如下解答：解[3] 设,A B 是两个可交换的矩阵，系数在数域P 中，并设其阶数为n .,A B 可看成n 维线性空间n P 的线性变换,A B 在基12(1,0,,0),(0,1,,0),,εε==(0,0,,1)n ε= 下的矩阵，从,A B 可交换可推出,A B 可交换.如果A 有特征向量，则A 有特征值0λ.在A 对于0λ的特征子空间中，,A B 有公共特征向量α，α也是矩阵,A B 的公共特征向量.上述结论不真.事实上，在实数域R 上，取A E =，令B 是在实数域R 没有特征值的任一方阵（这种矩阵是存在的，参见下例），则A E =与B 可交换，A E =有特征向量，但B 没有特征向量.例1 在实数域R 上，A E =（单位阵），0110B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则AB BA =，A 有特征值1，从而有特征向量，但B 在实数域R 上没有特征值，自然没有特征向量.6 进一步的讨论结论 1 若AB BA =，且A 有n 个互不相同的特征值，则∃可逆阵P 使得1100n P AP λλ-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ ， 1100n P BP μμ-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ .结论 2 已知 A B AB +=，则（1）1不是A 的特征值，也不是B 的特征值；（2）若B 相似于对角阵，则A 也相似于对角阵，且可同时相似于对角阵.结论3 若A B AB +=，,A B 至少有一个可以对角化，则 （1）B 一定能表成A 的多项式.（2）A 每一个特征向量都是B 的特征向量.（3）,A B 至少有一个公共特征向量.结论4 若A B AB +=，A 可对角化，则,A B 有n 个公共特征向量，且它们线性无关.。
幂零矩阵性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。
证明：⇒ A 为幂零矩阵 k Z +∴∃∈ .0k s tA =令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα∃≠= 由引理7知，0k λ为kA 的特征值 00.k k s t A ββλβ∴∃≠= 从而有0k λ=0即有00λ=又有0kA =，知00kkA A A ==⇒=0*(1)(1)00k k E A A A ∴-=-=-=-⋅= 00λ∴=为A 的特征值。
由0λ的任意性知，A 的特征值为0。
⇐A 的特征值全为0 A ∴的特征多项式为()n f E A λλλ=-=由引理2知，()0n f A A == 所以A 为幂零矩阵。
得证 性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +∀∈=。
证明：⇒A 为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即120n λλλ==== 由引理7，知 kA 的特征值为120k k k n λλλ====从而有 120k k k k n trA λλλ=+++=⇐由已知，120k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++= (1.1)令12,,,t λλλ 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩(1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t ttt ttt ttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又(1,2,)ii t λ= 互不相同且不为0，0B ∴≠从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)i n i t ==即A 没有非零的特征值A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证性质3：若A 为幂零矩阵则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 阶数为(1,2,,)i n i s = 由引理4，知(1,2,,)i i s λ= 为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2,,)i i s λ== 即J 的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i nni i J E J i s -=== 12,,,s J J J 为幂零矩阵 得证性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A 为幂零矩阵，k Z +∴∃∈ .0k s t A =00kk A A A ∴==⇒= A 一定不可逆由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ==== 由引理7，得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-= 且有1211n n A E λλλ'''+===1211n n E A λλλ''''''-===即1,1A E E A +=-= 得证性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令12,,,n λλλ 为A 的特征值 若A 退化，则有 0A =由引理7，得 120n A λλλ== ∴至少存在0i λ=0为A 的特征值又由引理7，得110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾 得证A 为非退化性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵。
幂零矩阵的性质及应用编号：***********xxxx学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：幂零矩阵的性质及应用完成人：xxx班级：2008- 01学制： 4 年专业：数学与应用数学指导教师：xxxx完成日期：2012-03-31目录摘要 (1)0引言 (1)1预备知识 (1)1.1幂零矩阵的相关概念 (1)1.2幂零矩阵的基本性质 (1)2 主要结论 (4)3 应用 (6)3.1幂零矩阵在矩阵运算中的应用 (6)3.2幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用 (8) 3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用 (9)3.2.2幂零矩阵的若尔当标准形的应用 (10)3.2.3幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用 (11)参考文献 (13)Abstract (14)第 1 页（共 14 页）幂零矩阵的性质及应用作者：xxxxx指导老师：xxx摘要：本文从幂零矩阵的定义出发,总结了幂零矩阵的基本性质及一些主要结论,而且对其应用作进一步的讨论:用幂零矩阵性质求一些特殊矩阵的逆及在历年考研真题中对幂零矩阵的考查.关键词：幂零矩阵;幂零指数;若尔当形;特征根0 引言在高等代数中,矩阵是研究问题的很重要的工具,在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义,但对其性质研究很少.幂零矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵的理论方面,还是在实际应用方面都有很重要的意义,而且在一些交叉学科如密码学中,都有广泛的应用.目前,国内很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究,本文在他们研究的基础上,进一步探讨幂零矩阵的性质.1 预备知识为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的有关概念.1.1幂零矩阵的有关概念定义1 设A 是n 阶矩阵,若存在一个自然数k ,使0k A =,则A 为幂零矩阵.定义2 设A 是幂零矩阵,满足0k A =的最小自然数k 称为A 的幂零指数.1.2幂零矩阵的基本性质在给出了幂零矩阵的相关概念之后,我们容易得到幂零矩阵的一些基本性质.性质1 若A 是幂零矩阵,则*,,,T mA A A A -都是幂零矩阵.第 2 页（共 14 页）性质2 A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0.在此基础上,我们还可以得到幂零矩阵的另一个充要条件. 推论1 A 为幂零矩阵的充要条件是k Z +?∈,0k trA =.证明必要性因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征值全为0, 即120n λλλ==== ,所以k A 的特征值为120nk k k λλλ==== . 从而有120n k k k k trA λλλ=+=++ .充分性由已知,对k Z +?∈,120nk k k k trA λλλ=+=++ . ① 令12,,,t λλλ 为A 的不为零的特征值,且i λ互不相同,重数为i n （1,2,,i t = ）.由①式,得方程组11212121122222233312120000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=??+++=??+++=+++=?② 由于方程组②的系数行列式为121212122221212111tt t tt t t t t tt t B λλλλλλλλλλλλλλλλλλ==()121t i j j i t λλλλλ≤<≤=∏-又()1,2,,i i t λ= 互不相同且不为0,所以0B ≠,从而知方程②只有0解,即0i n =(1,2,,i t = ）.因此A 的特征值全为0,即A 为幂零矩阵.推论2 若A 为幂零矩阵,则A 一定不可逆且有1,1A E E A +=-=. 证明由于A 为幂零矩阵,所以存在k Z +∈,使得0k A =,因此有 00k k A A A ==?=,所以A 一定不可逆.第 3 页（共 14 页）由性质2,得A 的特征值120n λλλ==== ,所以A E +,E A -的特征值分别是12'''011n λλλ=+==== , 12"""101n λλλ=-==== ,且有12'''11n n A E λλλ+=== ,12"""11n n E A λλλ-=== .即1,1A E E A +=-=.推论3 若A E +为幂零矩阵,则A 非退化.证明令12,,,n λλλ 为A 的特征值.若A 退化,则有120n A λλλ== ,所以至少存在00i λ=为A 的特征值,从而有0110i λ+=≠为A E +的一特征值,这与A E +为幂零矩阵相矛盾,得证A 为非退化.对于幂零指数相同的幂零矩阵,有一些比较重要的性质. 性质3 所有的n 阶1n -次幂零矩阵都相似.证明令A 为n 阶1n -次幂零矩阵,即10n A -=,()001k k n A ≠≤<-,因此A 的最小多项式1()()n A n m d λλλ-==；又A 是幂零矩阵,所以A 的特征值全为0,因此A 的特征多项式为()()n n f E A D λλλλ=-==,又11()()()n n n n D d D λλλλ--==, 所以1()n D λλ-=；又第 4 页（共 14 页）12()()()()()n n n f E A d d d D λλλλλλλ=-=== ,从而有1()n d λλ-=,221()()()1n d d d λλλ-==== ,所以所有n 阶1n -次幂零矩阵具有相同的不变因子为1,,,,,111n λλ- .所以所有n 阶1n -次幂零矩阵都相似.利用此法也可以得到：推论4 所有n 阶n 次幂零矩阵都相似.注但是当幂零矩阵的幂零指数2k n ≤-,相同幂零指数的幂零矩阵却不相似.性质4 设A 为非零幂零矩阵,且k 是A 的幂零指数,则E ,A ,2A , , 1k A -线性无关.证明利用反证法.假设12,,,,k A E A A - 线性相关,则一定存在一组不全为0的0c ,1c ,, 1k c -,使2101210k k E A c c c c A A --++++= , ①两端右乘1k A -,得100k c A -=,而10k A -≠,因此00c =.再对①式两端右乘2k A -,可得10c =.同理可得2310k c c c -==== .所以0110k c c c -==== ,得出矛盾,所以假设错误.即证得21,,,,k E A A A - 线性无关.2 主要结论我们在幂零矩阵的定义以及基本性质的基础上,进一步探讨幂零矩阵,得到一些重要结论,而且这些结论应用的也比较广泛.结论1 设A 为幂零矩阵,且k 是A 的幂零指数,则（1）E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++ .（2）()()11212311111k k k mE A E A A A m m m m---+-+=-++ .(0)m ≠第 5 页（共 14 页）证明（1）由于A 为幂零矩阵,所以0k A =,从而k k k E E A E A =-=-()21()k E A E A A A -=-++++ ,即()121k E A E A A A ---=++++ . （2）对任意0m ≠,121231111()()(1)k k k mE A E A A A m m m m--+-+++- 121211111(1)k k k E A A A A m m m m---=-++++- 212121111(1)(1)k k k k k k A A A m m m -----+++--E = 所以()1121231111()k k k E A mE A A A m m m m---=-+++-+ .结论2 若A 为幂零矩阵,则A 的若尔当标准形J 的若尔当块为幂零若尔当块,且J 的主对角线上的元素为0.证明 A 为幂零矩阵,由性质2知,A 的特征值全为0；又在复数域上,存在可逆矩阵T ,使得121S J J J T A T J -== 其中11i ii i i J n n λλ?= 1,2,,i t = ,第 6 页（共 14 页）则(1,2,,)i i t λ= 为J 的特征值；又A 与J 相似,所以A 与J 有相同的特征值,所以0i λ= (1,2,,)i t = ,即J 的主对角线上的元素全为0;所以有01010i J =?? ,则i J 为幂零矩阵,其幂零指数为i n (1,2,,)i t = ,所以12,,,S J J J 为幂零矩阵.所以A 的若尔当标准形J 的若尔当块12,,,S J J J 为幂零若尔当块,且J 的主对角线上的元素为0.由此结论可以得到：推论5 n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n ，且幂零指数等于其若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.3 应用3.1 幂零矩阵在矩阵运算中的应用——求一些特殊矩阵的逆在矩阵的运算中,求矩阵的逆一般是比较麻烦的,对于一些特殊的矩阵可以利用幂零矩阵的性质来化简.引理1 任一n 阶方阵A 都可写成的A D N =+形式,其中D 是一个与对角阵相似的n 阶方阵,N 是一个幂零矩阵,而且DN ND =.证明因为在复数域上,存在可逆矩阵T ,使得121S J J A T T J -=?????① 其中11i i ii iJ n n λλ=1,2,,i t =第 7 页（共 14 页）于是00101i i i i i i J N D λλλ=+=+?????(1,2,,)i t = . ② 其中i i i D λλ=?? 为对角阵,00 101i N ??=为幂零矩阵.因为n i O N =,将②式带入①式得111s s N D A T TN D -+??=+??1111s s ND T T T T N D --=+D N =+③其中11s D D T T D -??=??相似于对角阵,且1111n n n s s N N T T O N N T T N N --??=?==,即N 为幂零矩阵,于是111s s N D DN T T N D -??=??,④ 类似的,有第 8 页（共 14 页）111s s N D ND T TN D -=??. ⑤ 但()i i i i i i E N N N D λλ==,()i i i i i i E N N N D λλ==.所以i i i i N N D D = ,(1,2,,)i s = ⑥由④⑤⑥,即证 DN ND =.由引理1,对于一些可表示为幂零矩阵与单位矩阵的和的矩阵,则可利用结论1来求它的逆;而主对角元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵与幂零矩阵的和,也可以借助结论1可求出它的逆;对于一些可表示为单位矩阵与若尔当矩阵幂的和的矩阵,借助结论1也可求出它的逆.下面通过例子来说明.例1 设11111011110011100001A =,求1A -. 解记n J 为n 阶若尔当矩阵,则0n n J =,而21n n n n A E J J J -=++++ ,由结论1有1121()n n n n n E E J A J J J ---==-++++ 11000011000001100001--=??-?? . 3.2 幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用在历年研究生入学考试中,对幂零矩阵的考查综合性较强,能力要求较高,是个难点.下面列举几道典型的对幂零矩阵的考查方法,以说明幂零矩阵和其他数学知识之间的灵活运用.第 9 页（共 14 页）3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用下面看一下幂零矩阵与线性方程组相结合的考查方法.例2 (中山大学) A ,B ,C 为n 阶方阵,且AC CA =,BC CB =, C AB BA =-,证:存在自然数k n ≤,使得0k C =.分析本题即证C 为幂零矩阵,只需证C 的特征值全为0.而 C AB BA =-,容易联想需要用C 的迹来解题,而采用反证法则恰到好处.证明只需证C 的特征值12,,,n λλλ 全为0即可.事实上,()()0tr C tr AB BA =-=,即有10ni i λ==∑；又2()()()AB BA CAB CBA AC B B AC C C =-=-=-,所以()2210ni tr C i λ===∑; 同理可得()3310ni i tr C λ===∑,()10ns s i i tr C λ===∑；假设C 存在非0的特征值,不妨设合并各相同的非0特征值后,得 112222211221122000s s s s s s s s s k k k k k k k k k λλλλλλλλλ=?+++?+=+++=++?,（12,,,s λλλ 各不相同）. 方程组有非0解,故系数行列式：第 10 页（共 14 页）1222212120s ss s s s λλλλλλλλλ=（i λ各不相同）,但是()1222212121120sss i j j i ss s s s λλλλλλλλλλλλλλ≤<≤=≠∏-, 得出矛盾,所以假设错误,即有C 不存在非零的特征值,C 的特征值全为0,所以存在自然数k n ≤,使得0k C =.此题利用幂零矩阵的性质构造齐次线性方程组,灵活运用数学知识进行解题,与推论1的证明有相似之处,体现了幂零矩阵在高等代数中的重要地位.3.2.2 幂零矩阵的若尔当标准形的应用幂零矩阵的若尔当标准形在历年真题中也较常用到.例3（上海交通大学） A ,B 为n 阶方阵,B 为幂零矩阵,AB BA =, 则有A B A +=.分析在复数域上,每个n 级矩阵都与一个若尔当形矩阵相似, 幂零矩阵的若尔当标准形的对角线上的元素为0,由此结论此题即得证.证明由题有,在复数域上,存在可逆矩阵,T 使得121*n AT T λλλ-=?????,121*n BT T μμμ-= . 又B 为幂零矩阵,所以B 的特征值全为0,即100*0BT T -=,第 11 页（共 14 页）()121111*n A B T AT BT T T T T T λλλ----+=+=?????, 所以()12111*nA B T A B T T T T T λλλ---+=+= .又因为T 可逆,所以0T ≠,1212*n nA B λλλλλλ+== ,因为121*n AT T λλλ-=因此12,,,n λλλ 为A 的特征值,所以12n A λλλ= , 从而得证21n A A B λλλ=+= .3.2.3 幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用幂零线性变换在任一组基下的矩阵为幂零矩阵,研究幂零矩阵的特性对研究幂零线性变换是很有帮助的.例4（西南大学）设V 为数域F 上的n 阶方阵构成的线性空间, A 为F 上一个固定的n 阶方阵,定义()T B AB BA =-,其中B 为V 中任一向量,证明(1)T 为线性变换；(2)若A 为幂零矩阵,则T 为幂零线性变换.第 12 页（共 14 页）分析（1）利用线性变换的定义即可得证.(2) 由()T B AB BA =-,有下述结论:A 的特征值之差都是T 的特征值.以下要证此结论.证明（1）任取,B C V ∈,k F ?∈,则有：()()()()()T B C A B C B C A AB BA AC CA T B T C +=+-+=-+-=+,()()()()T kB A kB kB A kAB kBA kT B =-=-=,所以T 为线性变换.（2）先做如下断言：()T B AB BA =-?A 的特征值之差都是T 的特征值.事实上,()n y F M ?∈,取()n F M 的一组基ij E （,1,2,,i j n = ）,设A 的若尔当标准形为1*s J λλ=??, 则存在可逆矩阵()n P F M ∈,使得11*s AP J P λλ-==??, 所以1A PJ P -=.又P 可逆,所以1ij P E P -也是()n F M 的一组基. 又111()()()ij ij ij T A A PE P PE P PE P ---=-1111()()()()ij ij PJ PJ P PE P PE P P ----=-1()ij ij J J P E E P -=-10*0i j P P λλ-=-1()()ij i j PE P λλ-=-第 13 页（共 14 页）所以T 在基11111111211,,,,,,,n n nn PE P PE P PE P PE P PE P ----- 下的矩阵为121212110*00n n n n n λλλλλλλλλλλλ- ------ 所以A 的特征值之差都是T 的特征值.断言成立.因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征值0i λ= ,所以T 的特征值全为0,从而T 为幂零线性变换.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 杨子胥.高等代数习题解（下册）[M].济南:山东科技出版社,1982:836-866.[3] 邹本强.幂零矩阵的性质[J].science information,2007,(12):150-155.[4] 韩道兰,罗雁,黄宗文.幂零矩阵的性质及应用[J].玉林师范学院学报(自然科学)2003,24(4):1-3.[5] 江明星.幂零矩阵的若干性质[J].安徽机电学院学报,1999,14(2):77-79.[6] 姜海勤.幂零矩阵性质的一个应用[J].泰州职业技术学院学报,2004, 4(1):54-57.[7] 樊正恩.幂零矩阵的若干注记[J].甘肃高师学报,2011,16(2):3-4.[8] 赵廷芳.幂零矩阵的性质[J].周口师专学报,1994,11(1):27-30.[9] 谷国梁.关于幂零矩阵性质的探讨[J].铜陵财经专科学校学报,2001,(4):49-63.[10]吴险峰.n 阶幂零矩阵的判别与构建[J].齐齐哈尔大学学报,2007,23(4):72-75.The Properties and Applications of Nilpootent MatricesxxxxAbstract:This paper based on the definition of nilpotent matrix ,then summarizes the basic properties of nilpotent matrix and some main conclusion , and further debate its application: using the properties of nilpotent matrix for solving the inverse matrix of some special matrix ,and investigating the nilpotent matrix in the postgraduate entrance exam.Keywords: nilpootent matrices; nilpotent index; Jordan standard form;characteristic root第14 页（共14页）。
编号：***********xxxx学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：幂零矩阵的性质及应用完成人：xxx班级：2008- 01学制： 4 年专业：数学与应用数学指导教师：xxxx完成日期：2012-03-31目录摘要 (1)0引言 (1)1预备知识 (1)1.1幂零矩阵的相关概念 (1)1.2幂零矩阵的基本性质 (1)2 主要结论 (4)3 应用 (6)3.1幂零矩阵在矩阵运算中的应用 (6)3.2幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用 (8)3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用 (9)3.2.2幂零矩阵的若尔当标准形的应用 (10)3.2.3幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用 (11)参考文献 (13)Abstract (14)幂零矩阵的性质及应用作者：xxxxx指导老师：xxx摘要：本文从幂零矩阵的定义出发,总结了幂零矩阵的基本性质及一些主要结论,而且对其应用作进一步的讨论:用幂零矩阵性质求一些特殊矩阵的逆及在历年考研真题中对幂零矩阵的考查.关键词：幂零矩阵;幂零指数;若尔当形;特征根0引言在高等代数中,矩阵是研究问题的很重要的工具,在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义,但对其性质研究很少.幂零矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵的理论方面,还是在实际应用方面都有很重要的意义,而且在一些交叉学科如密码学中,都有广泛的应用.目前,国内很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究,本文在他们研究的基础上,进一步探讨幂零矩阵的性质.1 预备知识为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的有关概念.1.1幂零矩阵的有关概念定义1设A是n阶矩阵,若存在一个自然数k,使0kA=,则A为幂零矩阵.定义2设A是幂零矩阵,满足0kA=的最小自然数k称为A的幂零指数.1.2幂零矩阵的基本性质在给出了幂零矩阵的相关概念之后,我们容易得到幂零矩阵的一些基本性质.第 1 页（共14页）第 2 页（共 14 页）性质1 若A 是幂零矩阵,则*,,,T mA A A A -都是幂零矩阵. 性质2 A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0. 在此基础上,我们还可以得到幂零矩阵的另一个充要条件. 推论1 A 为幂零矩阵的充要条件是k Z +∀∈,0k trA =. 证明 必要性 因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征值全为0, 即120n λλλ====,所以kA 的特征值为120n k k k λλλ====.从而有120n k k k ktrA λλλ=+=++.充分性 由已知,对k Z +∀∈,120nk k k k trA λλλ=+=++. ①令12,,,t λλλ为A 的不为零的特征值,且i λ互不相同,重数为i n （1,2,,i t =）. 由①式,得方程组112121211222222333121200t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩ ② 由于方程组②的系数行列式为121212122221212111ttttt tt tt tttB λλλλλλλλλλλλλλλλλλ==()121t i j j i tλλλλλ≤<≤=∏- 又()1,2,,i i t λ=互不相同且不为0,所以0B ≠,从而知方程②只有0解,即0i n =(1,2,,i t =）.因此A 的特征值全为0,即A 为幂零矩阵.推论2 若A 为幂零矩阵,则A 一定不可逆且有1,1A E E A +=-=. 证明 由于A 为幂零矩阵,所以存在k Z +∈,使得0k A =,因此有00kk A A A ==⇒=,所以A 一定不可逆.第 3 页（共 14 页）由性质2,得A 的特征值120n λλλ====,所以A E +,E A -的特征值分别是12'''011n λλλ=+====, 12"""101n λλλ=-====,且有12'''11n n A E λλλ+===,12"""11n n E A λλλ-===.即1,1A E E A +=-=.推论3 若A E +为幂零矩阵,则A 非退化. 证明 令12,,,n λλλ为A 的特征值.若A 退化,则有120n A λλλ==,所以至少存在00i λ=为A 的特征值,从而有0110i λ+=≠为A E +的一特征值,这与A E +为幂零矩阵相矛盾,得证A 为非退化.对于幂零指数相同的幂零矩阵,有一些比较重要的性质. 性质3 所有的n 阶1n -次幂零矩阵都相似.证明 令A 为n 阶1n -次幂零矩阵,即10n A-=,()001k k n A ≠≤<-,因此A 的最小多项式1()()n A n m d λλλ-==；又A 是幂零矩阵,所以A 的特征值全为0,因此A 的特征多项式为()()n n f E A D λλλλ=-==,又11()()()n n n n D d D λλλλ--==, 所以1()n D λλ-=；又第 4 页（共 14 页）12()()()()()n n n f E A d d d D λλλλλλλ=-===,从而有1()n d λλ-=,221()()()1n d d d λλλ-====,所以所有n 阶1n -次幂零矩阵具有相同的不变因子为1,,,,,111n λλ-.所以所有n 阶1n -次幂零矩阵都相似. 利用此法也可以得到：推论4 所有n 阶n 次幂零矩阵都相似.注 但是当幂零矩阵的幂零指数2k n ≤-,相同幂零指数的幂零矩阵却不相似.性质4 设A 为非零幂零矩阵,且k 是A 的幂零指数,则E ,A ,2A ,,1k A-线性无关.证明 利用反证法.假设12,,,,k A E A A -线性相关,则一定存在一组不全为0的0c ,1c ,,1k c -,使2101210k k E A c c c c A A --++++=, ①两端右乘1k A -,得100k c A -=,而10k A -≠,因此00c =.再对①式两端右乘2k A-,可得10c =.同理可得2310k c c c -====.所以0110k c c c -====,得出矛盾,所以假设错误.即证得21,,,,k E A A A -线性无关.2 主要结论我们在幂零矩阵的定义以及基本性质的基础上,进一步探讨幂零 矩阵,得到一些重要结论,而且这些结论应用的也比较广泛.结论1 设A 为幂零矩阵,且k 是A 的幂零指数,则 （1）E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++ . （2）()()11212311111k k kmE A E A A Am mm m---+-+=-++.(0)m ≠第 5 页（共 14 页）证明 （1） 由于A 为幂零矩阵,所以0k A =,从而k k k E E A E A =-=-()21()k E A E A A A -=-++++,即()121k E A E A A A ---=++++.（2）对任意0m ≠,121231111()()(1)k k kmE A E A A A m m mm--+-+++-121211111(1)k k k E A A A Am m m m---=-++++- 212121111(1)(1)k k k k k k AAA mmm-----+++--E =所以()1121231111()k k kE A mE A A Am m mm---=-+++-+ .结论2 若A 为幂零矩阵,则A 的若尔当标准形J 的若尔当块为 幂零若尔当块,且J 的主对角线上的元素为0.证明 A 为幂零矩阵,由性质2知,A 的特征值全为0； 又在复数域上,存在可逆矩阵T ,使得121S J J J T A TJ -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中11iiiiiJ nn λλ⨯=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1,2,,i t =,第 6 页（共 14 页）则(1,2,,)i i t λ=为J 的特征值；又A 与J 相似,所以A 与J 有相同的特 征值,所以0i λ= (1,2,,)i t =,即J 的主对角线上的元素全为0;所以有01010i J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则i J 为幂零矩阵,其幂零指数为i n (1,2,,)i t =,所以12,,,S J J J 为幂零矩阵.所以A 的若尔当标准形J 的若尔当块12,,,S J J J 为幂零若尔当块,且J 的主对角线上的元素为0. 由此结论可以得到：推论5 n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n ，且幂零指数等于其 若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.3 应用3.1 幂零矩阵在矩阵运算中的应用——求一些特殊矩阵的逆在矩阵的运算中,求矩阵的逆一般是比较麻烦的,对于一些特殊的矩阵可以利用幂零矩阵的性质来化简.引理1 任一n 阶方阵A 都可写成的A D N =+形式,其中D 是一个与对角阵相似的n 阶方阵,N 是一个幂零矩阵,而且DN ND =.证明 因为在复数域上,存在可逆矩阵T ,使得121S J J A T T J -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦① 其中11iiiiiJ n nλλ=⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1,2,,i t =第 7 页（共 14 页）于是00101i ii i i i J N D λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1,2,,)i t =. ②其中ii i D λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为对角阵,0101i N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为幂零矩阵. 因为n i O N =,将②式带入①式得111s s N D A T TN D -+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦1111s s N D T T T T N D --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D N =+ ③其中11s D D T T D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于对角阵,且 1111nn n s s N N T T O N N T T N N --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 即N 为幂零矩阵,于是111s s N D DN T T N D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, ④ 类似的,有第 8 页（共 14 页）111s s N D ND T T N D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ⑤ 但()i i i i i i E N N N D λλ==, ()i i i i i i E N N N D λλ==.所以i i i i N N D D = ,(1,2,,)i s = ⑥由④⑤⑥,即证 DN ND =.由引理1,对于一些可表示为幂零矩阵与单位矩阵的和的矩阵,则可利用结论1来求它的逆;而主对角元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵与幂零矩阵的和,也可以借助结论1可求出它的逆;对于一些可表示为单位矩阵与若尔当矩阵幂的和的矩阵,借助结论1也可求出它的逆.下面通过例子来说明.例1 设11111011110011101A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求1A -. 解 记n J 为n 阶若尔当矩阵,则0nn J =,而21n n n n A E J J J -=++++,由结论1有1121()n n n nn E E J A J J J ---==-++++1100001100000110001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 3.2 幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用在历年研究生入学考试中,对幂零矩阵的考查综合性较强,能力要求较高,是个难点.下面列举几道典型的对幂零矩阵的考查方法,以说明幂零矩阵和其他数学知识之间的灵活运用.第 9 页（共 14 页）3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用下面看一下幂零矩阵与线性方程组相结合的考查方法. 例2 (中山大学) A ,B ,C 为n 阶方阵,且AC CA =,BC CB =,C AB BA =-,证:存在自然数k n ≤,使得0k C =.分析 本题即证C 为幂零矩阵,只需证C 的特征值全为0.而C AB BA =-,容易联想需要用C 的迹来解题,而采用反证法则恰到好处.证明 只需证C 的特征值12,,,n λλλ全为0即可. 事实上,()()0tr C tr AB BA =-=,即有10ni i λ==∑；又2()()()AB BA CAB CBA AC B B AC C C =-=-=-,所以()2210ni tr C i λ===∑;同理可得()3310nii trC λ===∑,()10nss ii trC λ===∑；假设C 存在非0的特征值,不妨设合并各相同的非0特征值后,得11222221122112200s s s s s s s s s k k k k k k k k k λλλλλλλλλ=⎧+++⎪+=++⎪⎨⎪⎪+=++⎩,（12,,,s λλλ各不相同）.方程组有非0解,故系数行列式：第 10 页（共 14 页）1222212120ss s s s sλλλλλλλλλ=（i λ各不相同）,但是()1222212121120sss i j j i ss s s sλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤=≠∏-, 得出矛盾,所以假设错误,即有C 不存在非零的特征值,C 的特征值全为0,所以存在自然数k n ≤,使得0k C =.此题利用幂零矩阵的性质构造齐次线性方程组,灵活运用数学知识进行解题,与推论1的证明有相似之处,体现了幂零矩阵在高等代数中的重要地位.3.2.2 幂零矩阵的若尔当标准形的应用幂零矩阵的若尔当标准形在历年真题中也较常用到.例3（上海交通大学） A ,B 为n 阶方阵,B 为幂零矩阵,AB BA =,则有A B A +=.分析 在复数域上,每个n 级矩阵都与一个若尔当形矩阵相似, 幂零矩阵的若尔当标准形的对角线上的元素为0,由此结论此题即得证.证明 由题有,在复数域上,存在可逆矩阵,T 使得121*n AT T λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,121*n BT T μμμ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又B 为幂零矩阵,所以B 的特征值全为0,即100*0BT T -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,第 11 页（共 14 页）()121111*n A B T AT BT T T T T T λλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以()12111*nA B TA B T T TT T λλλ---+=+=.又因为T 可逆,所以0T ≠,1212*n nA B λλλλλλ+==,因为121*n AT Tλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此12,,,n λλλ为A 的特征值,所以12n A λλλ=,从而得证21n A A B λλλ=+=.3.2.3 幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用幂零线性变换在任一组基下的矩阵为幂零矩阵,研究幂零矩阵的 特性对研究幂零线性变换是很有帮助的.例4（西南大学） 设V 为数域F 上的n 阶方阵构成的线性空间,A 为F 上一个固定的n 阶方阵,定义()TB AB BA =-,其中B 为V 中任一向量,证明(1)T 为线性变换；(2)若A 为幂零矩阵,则T 为幂零线性变换.第 12 页（共 14 页）分析 （1）利用线性变换的定义即可得证.(2) 由()T B AB BA =-,有下述结论:A 的特征值之差都是T 的特征值.以下要证此结论.证明 （1）任取,B C V ∈,k F ∀∈,则有：()()()()()T B C A B C B C A AB BA AC CA T B T C +=+-+=-+-=+,()()()()T kB A kB kB A kAB kBA kT B =-=-=,所以T 为线性变换.（2）先做如下断言：()T B AB BA =-⇒A 的特征值之差都是T 的特 征值.事实上,()n y F M ∀∈,取()n F M 的一组基ij E （,1,2,,i j n =）,设A 的若尔当标准形为1*s J λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 则存在可逆矩阵()n P F M ∈,使得11*s AP J P λλ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以1A PJ P -=.又P 可逆,所以1ij P E P -也是()n F M 的一组基. 又111()()()ij ij ij T A A PE P PE P PE P ---=- 1111()()()()ij ij PJ PJ P PE P PE P P ----=- 1()ij ij J J P E E P -=-10*0i jP P λλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1()()ij i j PE P λλ-=-第 13 页（共 14 页）所以T 在基11111111211,,,,,,,n n nn PE P PE P PE P PE P PE P -----下的矩阵为121212110*0nnn n n λλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦------所以A 的特征值之差都是T 的特征值.断言成立.因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征值0i λ= ,所以T 的特征值全为0,从而T 为幂零线性变换.参 考 文 献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 杨子胥.高等代数习题解（下册）[M].济南:山东科技出版社,1982:836-866. [3] 邹本强.幂零矩阵的性质[J].science information,2007,(12):150-155. [4] 韩道兰,罗雁,黄宗文.幂零矩阵的性质及应用[J].玉林师范学院学报(自然科学)2003,24(4):1-3.[5] 江明星.幂零矩阵的若干性质[J].安徽机电学院学报,1999,14(2):77-79. [6] 姜海勤.幂零矩阵性质的一个应用[J].泰州职业技术学院学报,2004, 4(1):54-57.[7] 樊正恩.幂零矩阵的若干注记[J].甘肃高师学报,2011,16(2):3-4. [8] 赵廷芳.幂零矩阵的性质[J].周口师专学报,1994,11(1):27-30.[9] 谷国梁.关于幂零矩阵性质的探讨[J].铜陵财经专科学校学报,2001,(4):49-63.[10]吴险峰.n 阶幂零矩阵的判别与构建[J].齐齐哈尔大学学报,2007,23(4):72-75.The Properties and Applications of Nilpootent MatricesxxxxAbstract:This paper based on the definition of nilpotent matrix ,then summarizes the basic properties of nilpotent matrix and some main conclusion , and further debate its application: using the properties of nilpotent matrix for solving the inverse matrix of some special matrix ,and investigating the nilpotent matrix in the postgraduate entrance exam.Keywords: nilpootent matrices; nilpotent index; Jordan standard form;characteristic root第14 页（共14页）。
幂零矩阵公式在矩阵理论中，幂零矩阵是一种特殊的矩阵，它的幂次方可以趋近于零。
幂零矩阵公式是描述幂零矩阵的一种数学表达式。
本文将介绍幂零矩阵的定义、性质和应用，并给出幂零矩阵公式的详细解释。
一、幂零矩阵的定义幂零矩阵是指一个矩阵的所有幂次方都趋近于零矩阵。
具体地说，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个正整数k，使得A^k=0，则称A 为幂零矩阵。
二、幂零矩阵的性质1. 幂零矩阵的特征值都为零。
由于A^k=0，那么矩阵A的任意特征值λ满足λ^k=0，即λ=0。
因此，幂零矩阵的所有特征值都是零。
2. 幂零矩阵的行列式为零。
根据矩阵特征值与行列式的关系，幂零矩阵的行列式为特征值的乘积，即det(A)=λ1*λ2*...*λn=0。
3. 幂零矩阵的秩小于等于n-k，其中n为矩阵的阶数，k为A^k=0的最小正整数。
由于A^k=0，矩阵A的列空间被A的k次幂的零空间所包含，因此矩阵A的秩小于等于n-k。
三、幂零矩阵的应用幂零矩阵在线性代数和微分方程等领域有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 幂零矩阵可以用来描述线性系统的稳定性。
在控制理论中，稳定性是一个重要的概念。
如果一个线性系统的状态矩阵是幂零矩阵，那么该系统是稳定的。
2. 幂零矩阵可以用来表示微分方程的解。
对于一些特殊的微分方程，可以通过幂零矩阵的幂次方来表示其解析解。
3. 幂零矩阵可以用来描述图的连通性。
在图论中，连通性是一个重要的性质。
通过幂零矩阵的幂次方，可以得到图的连通性矩阵，进而分析图的连通性。
四、幂零矩阵公式的解释幂零矩阵公式是一种数学表达式，用来计算幂零矩阵的幂次方。
具体地说，幂零矩阵A的k次幂可以通过以下公式计算：A^k = (B1 + B2 + ... + Bk) / k!其中，Bi表示幂零矩阵A的i次幂，k!表示k的阶乘。
幂零矩阵公式的解释如下：将幂零矩阵A进行分解，利用幂零矩阵的性质，可以将A的k次幂表示为B1、B2、...、Bk的和，其中Bi 表示A的i次幂。
幂零矩阵性质及应用数本041 严益水 学号：摘要：幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。
它具有一些很好的性质。
本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。
幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。
在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。
关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）（一） 一些概念1、令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。
2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。
3、设1111n n nn a a A a a ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，称1111n nnn a a A a a ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的转置， 称111*1n nnn A A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵。
其中(,1,2,,)ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。
5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。
6、形为010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。
7、()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式。
满足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值。
