第11章 应力状态与强度理论

第11章 应力状态与强度理论
【基本概念】
一点应力状态概念，平面应力状态，主应力，主平面，单向应力状态，二向应力状态，
三向应力状态。
【基本内容】
基本变形形式下危险截面、危险点的判断及一点应力状态的描述，平面应力状态中斜截
面上的应力分析、主应力和主平面分析、面内最大剪应力，三向应力状态的特例分析，微元
体内主应力、最大剪应力，广义胡克定理。
最大拉应力准则，最大剪应力准则与形状改变比能准则，强度条件及其应用。
重点应掌握基本变形形式下危险截面、危险点的判断及一点应力状态的描述，主应力、
主平面、最大剪应力的确定，最大拉应力准则，最大剪应力准则与形状改变比能准则的应用。
【一般了解内容】
广义胡克定理的推导，微体斜截面上应力公式的推导，建立复杂应力状态下强度设计准
则的基本思想。
一 应力状态
1 关于应力状态、主应力等的概念与定义
微元(体)——通过一点，在其附近围绕该点取一个微小的正六面体，当各边长趋于零时，
六面体便趋于一点。此正六面体称为微单元体，简称微元。
一点的应力状态的概念——通过一点，所有方向面上的应力集合。
平面应力状态——受力微元上应力的作用线，都处在相互平行的平面内。如下图所示。
其中图(b)所示为主应力表示的平面应力状态。

主平面——应力状态中剪应力为零的方向面称为主平面。
主应力——主平面上的正应力称为主应力。
主方向角——主平面的外法线与x轴的夹角。或者说主应力方向与x轴的夹角。
2 描述一点应力状态的方法
描述一点应力状态的方法是，在构件上某一点附近，围绕该点取微元。微元及其三对面
上的应力，即可描述一点的应力状态。
微元截取的方位，一般说是可以任意选取的，但是应使微元三对面上应力已知，或可以
算出。
基本变形形式下一点应力状态的描述：
3 平面应力状态的分析方法（解析法）
在平面应力状态下，对微元应利用截面法得到任意方向α截面上的应力公式：

应用σα 和τα表达式时应注意σ、τ和 α的正负号；
对于正应力σ，拉为正，压为负；
对于剪应力τ，使微元或其截开部分产生顺时外转动趋势者为正；反之为负。

α角度的正负规定为： x轴正向逆时针转到α斜截面外法线n者为正；顺时针方向转
到 斜截面外法线n者为负。
4 平面应力状态的主应力和最大剪应力

已知平面应力状态微元一对相互垂直截面上的应力：σx 、σy 和σxy 。用解析法确
定其主应力、主方向和面内最大剪应力。
2
2

min
max22xy
yxyx



xy
xtgminmax
min
max




（异号与minmaxminmax2）

面内最大剪应力：22minmax22maxxyyx
5 三向应力状态的特例分析
微元体的一对面上只有正应力z，其他两对面上应力为σx 、σy 和σxy，构成平面应力

状态，按照上述处理方式得到两个主应力max、min。
三个主应力为：z、 max、min
顺其代数值排列为σ1 ≥σ2 ≥σ3 ，即σ1为三者中代数值最大者；σ3为代数值最小者；
σ2 则介于 σ1和 σ3之间。

体内最大剪应力值：231max
6 广义胡克定律
当应力状态的三个主应力都不为零，并在弹性范围内加载时，应力与应变的关系（用主
应力表示的）为：
公式表明：在复杂应力状态下，某个方向的正应变不仅与该方向的正应力有关，而且
还与垂直于该方向的正应力有关。

当有一个主应力为零，例如 σ3=0时上式变为：

ε1=(σ1-μσ2)/E, ε2=(σ2-μσ1)/E, ε3=-μ(σ1+σ2)/E
当有两个主应力为零，例如 σ２=0，σ3=0 时，则上式变为：
ε1=σ1/E, ε2=-－μσ1/E,ε3=-μσ1/E
第一式便是单向拉伸时的胡克定律。所以广义胡克定律既适用于复杂应力状态，也适用
于单向应力状态。
一般平面应力状态的广义虎克定律：

G
EE
EE
EE

xy
x

y
x

z

x
y
y

y
x

x


















式中的x、y应灵活掌握，只要是微元内相互垂直的方向面即可。
二 强度准则
1 关于强度失效形式和强度准则的概念
材料在不同应力状态下发生强度失效主要有两种形式：一种是屈服（或剪断）。这种失
效伴随有明显的塑性变形；另一种是脆性断裂。材料的失效形式不仅与材料性能有关，而且
与应力状态有关。但在一般应力状态下，塑性材料大都发生屈服（或剪断）；脆性材料大都
发生脆性断裂。
所谓强度准则，就是关于材料在不同应力状态下失效的共同原因的各种假设。根据这些
假设，才有可能利用单向拉伸的试验结果，推知材料在复杂应力状态下，何时发生失效，从
而建立起相应的强度计算依据，即强度条件。
2 强度理论

第一强度理论：][1

第二强度理论：
][)(321
第三强度理论：][31
第四强度理论：][)()()(21213232221
一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二
强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。
例题分析：