高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用同步练习(含解析)新人教A版选修22

高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用（第2课时）课堂探究 新人教A 版选修2-2探究一 求变速直线运动的路程、位移求做变速直线运动物体位移与路程的方法(1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际路径的长度，路程只有大小，没有方向，是个标量(或数量)．(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )＞0，则运动物体的路程为s ＝b a ⎰v (t )d t ；若v (t )＜0，则运动物体的路程为s ＝ba ⎰|v (t )|d t ＝ba -⎰v (t )d t .(3)物体做变速直线运动时，经过的位移s ，等于其速度v ＝v (t )在时间区间[a ，b ]上的积分，即ba ⎰v (t )d t .【典型例题1】有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求：(1)点P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移；(2)点P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．思路分析：(1)→确定积分区间→求t ＝6时的路程以及位移(2)→ 解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s 1＝40⎰(8t －2t 2)d t －64⎰(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 340|－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 364|＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为60⎰(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 360|＝0. (2)依题意0t⎰(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6， t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，所以t ＝6是所求的值．探究二 求变力做功求变力做功的方法步骤(1)首先要明确变力的函数式F (x )＝kx ，确定物体在力的方向上的位移．(2)利用变力做功的公式W ＝ba ⎰F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．【典型例题2】一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力——位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，力F (x )做的功．思路分析：先根据图象确定力关于位移的函数关系式，再利用定积分求解．解：由力——位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10，0≤x ≤2，3x ＋4，2<x ≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x＝4处力F (x )做的功为20⎰10d x ＋42⎰(3x ＋4)d x ＝10x 20|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42|＝46(J)． 探究三 易错辨析易错点：忽视单位换算导致计算错误【典型例题3】设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．错解：由题意知F (x )＝kx ，由已知x ＝5时，F (5)＝100，∴5k ＝100，∴k ＝20，∴F (x )＝20x .∴弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功W ＝150⎰20x d x ＝10x 2150|＝10×152＝2 250(J)．错因分析：没有将位移单位换算成米，导致功的单位不是焦耳．正解：设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意，得F(x)＝kx，且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N，即0.05k＝100，∴k＝2 000.∴F(x)＝2 000x.∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为2 000x d x＝1 000x20.150|＝22.5(J)．W＝0.15。

第一章 1.71．由直线x＝12，x＝2，曲线y＝1x及x轴所围图形的面积为(D)A．154B．174C．12ln2D．2ln2[解析]结合图形，易知x＝2，x＝12分别为定积分的上、下限，则图形的面积S＝⎠⎛1221x d x＝ln x⎪⎪⎪212＝ln2－ln12＝2ln2.故选D．2．由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形(如图所示)的面积可表示为(B)A．⎠⎛2(x2－1)d xB．⎠⎛2|x2－1|d xC．⎠⎛2(x2－1)d xD．⎠⎛1(x2－1)d x＋⎠⎛12(x2－1)d x[解析]曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积，应该根据图形的对称性表示为⎠⎛2|x2－1|d x.故选B．3．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋e x，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是(B)A ．1＋eB ．eC ．1－eD ．e －1[解析] W ＝⎠⎛01F (x )d x ＝⎠⎛01(1＋e x )d x ＝(x ＋e x )|10＝(1＋e)－1＝e.4．一物体在变力F (x )＝36x 2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m 处运动到x＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功．[解析] 由题知F (x )在这过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分从而 W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1|188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝－2－(－92)＝52J. 即F (x )在这过程中所做的功为52J.。

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7 定积分的简单应用自主预习·探新知情景引入大家都可以想象到天女散花的情景-—左手提着一篮娇艳美丽的鲜花，右手把一朵鲜花散落，一片片花瓣飘荡在空中,随后落在人间，让人产生无尽的遐想．一片花瓣的图形可以看成两条美丽的曲线相交而成．由前面学习的定积分的知识，我们可以计算出该图形的面积，即一片花瓣平铺的面积．新知导学1．求平面图形的面积(1）求由一条曲线y＝f（x）和直线x＝a、x＝b（a〈b)及y＝0所围成平面图形的面积S。

图①中，f(x）>0，错误!f(x)d x>0，因此面积S＝__错误!f（x)d x__；图②中，f(x）〈0,错误!f（x)d x〈0，因此面积S＝｜错误!f(x)d x｜＝__－错误!f（x)d x__；图③中，当a≤x<c时，f（x）〈0，当c〈x≤b时，f(x）〉0，因此面积S＝错误!|f（x）｜d x＝__－错误!f(x）d x＋错误!f（x）d x__.（2)求由两条曲线f(x）和g（x），直线x＝a、x＝b（a<b)所围成平面图形的面积S。

图④中,f（x）>g(x)〉0，面积S＝__错误!［f(x）－g(x)］d x__;图⑤中，f(x)〉0，g（x)<0，面积S＝__错误!［f(x)－g(x）］d x__. 2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v＝v （t)(v（t）≥0)在时间区间[a，b]上的定积分,即s＝__错误!v(t)d t__。

3．变力做功一物体在恒力F(单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s m,则力F所做的功为W＝Fs。

如果物体在变力F(x）的作用下沿着与F（x)相同的方向从x ＝a移动到x＝b.则变力F（x)做的功W＝__错误!F(x)d x__.预习自测1．由直线x ＝0、x ＝错误!、y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形的面积等于( A )A ．3B ．错误!C ．1D ．错误! ［解析］ 所求面积S ＝错误!2sin x d x ＝－2cos x 错误!＝－2（－错误!－1)＝3。

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7.1 定积分在几何中的应用［学习目标]1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解．[知识链接］1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积?答求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．2．当f（x)〈0时，f（x）与x轴所围图形的面积怎样表示?答如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为f(x),所以S＝错误!（0－f（x））d x＝－错误!f（x)d x。

［预习导引]曲边梯形面积的表达式(1)当x∈[a，b］时，若f(x)>0,由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x）所围成的曲边梯形的面积S＝错误!f(x）d x.（2）当x∈［a,b］时，若f(x)〈0,由直线x＝a,x＝b(a≠b）,y＝0和曲线y＝f（x)围成的曲边梯形的面积S＝－错误!f(x)d x.(3)(如图)当x∈［a，b]时,若f(x）〉g（x)>0时，由直线x＝a，x＝b（a≠b)和曲线y＝f(x),y ＝g（x)围成的平面图形的面积S＝错误!［f(x）－g（x）]d x.要点一不分割型图形面积的求解例1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．解由错误!得错误!或错误!所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝错误!－3[(－x＋2）－（x2－4)］d x＝错误!－3（－x2－x＋6）d x＝错误!错误!＝错误!－错误!＝错误!。

1.7.2 定积分在物理中的应用[目标] 1.能够利用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程.2.学会利用定积分求变力做功问题.3.感受定积分在物理中的应用，加深对定积分的认识．[重点] 用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程． [难点] 用定积分求变力做功问题．知识点一 变速直线运动的路程[填一填]作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .[答一答]1．一辆汽车在1 min 内的速度—时间曲线如图所示，那么汽车的速度v 与时间t 的函数关系式是什么？提示：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，30，10<t <40，－32t ＋90，40≤t ≤60.2．上述问题中汽车在[0,10]，[10,40]，[40,60](单位：s)三个时段内行驶的路程，用定积分分别如何表示？提示：⎠⎛ 0103t d t ；⎠⎛ 104030d t ；⎠⎛ 4060(－32t ＋90)d t .3．如果v (t )的方向有正有负，怎样表示t ∈[a ，b ]时物体经过的路程和位移？ 提示：路程可表示为s ＝⎠⎛a b |v (t )|d t ，位移可表示为s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .知识点二 变力做功[填一填]1．恒力F 的做功公式一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所做的功为W ＝Fs .2．变力F (x )的做功公式如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[答一答]4．根据变力做功公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x ，回答下列问题．(1)物理上进行功的计算时，力、位移的单位是什么？相应功的单位是什么？ (2)计算变力做功时，力与位移的方向有什么关系？提示：(1)在一般情形下，力、位移的单位依次为N ，m ，功的相应单位为J.在解题时单位一定要统一．(2)力与位移的方向必须一致．1．路程计算公式路程是位移的绝对值和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程： (1)若v (t )≥0，s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；(2)若v (t )≤0，s ＝－⎠⎛ab v (t )d t ；(3)若在区间[a ，c ]上v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0，则s ＝⎠⎛a c v (t )d t －⎠⎛cb v (t )d t .2．求变力做功的方法(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F 的表达式，这是求功的关键． (2)由功的物理意义知，物体在变力F (x )的作用下，沿力F (x )的方向做直线运动，使物体从x ＝a 移到x ＝b (a <b )．因此，求功之前还应求出位移起始位置与终止位置．(3)根据变力做功公式W ＝⎠⎛ab f (x )d x 即可求出变力F (x )所做的功．类型一 变速直线运动的路程【例1】 A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，速度为(24－1.2t ) m/s ，经t s 后，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离．【解】 (1)设A 到C 的时间为t 1，则1.2t 1＝24，t 1＝20(s)， 则AC ＝⎠⎛ 0201.2t d t ＝0.6t|2200＝240(m)．(2)设D 到B 的时间为t 2，则24－1.2t 2＝0，t 2＝20(s)， 则DB ＝⎠⎛ 020(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)．求变速直线运动的路程、位移应关注三点 1分清运动过程中的变化情况；2如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；3明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消.汽车以每小时36 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度－2 m/s 2匀减速刹车，问开始刹车到停车，汽车行驶了多少千米？解：由题意，知v 0＝36 km/h ＝10 m/s.所以v (t )＝v 0＋at ＝10－2t ，令v (t )＝0，则t ＝5，则t ＝5 s 时，汽车将停止，所以汽车由刹车到停车行驶的路程s ＝⎠⎛ 05v (t )d t ＝⎠⎛ 05 (10－2t )d t ＝(10t －t 2)|50＝25(m)＝0.025(km)． 类型二 变力做功【例2】 设有一根长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．【思路分析】 先求出拉力F (x )，然后再求功．【解】 设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，即0.05 k ＝100， ∴k ＝2 000，∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝⎠⎛ 00.152 000x d x ＝1 000x 20.150＝22.5(J)．(1)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步． (2)根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题．一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)外力F (x )做的功．解：由力—位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x ≤23x ＋4，2<x ≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为W ＝⎠⎛ 0210d x ＋⎠⎛ 24 (3x ＋4)d x ＝10x|20＋(32x 2＋4x )|42＝46(J)．正确区分变速直线运动的位移与路程【例3】 有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当t ＝3时，求离开原点的路程； (2)当t ＝5时，P 点的位置；(3)从t ＝0到t ＝5时，点P 经过的路程；(4)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．【思路分析】 首先要确定的是所要求的是路程还是位移，然后用相应的方法求解． 【解】 (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝3时，点P 离开原点的路程s 1＝∫30(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|30＝18.(2)s 2＝∫50(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|50＝503.∴点P 在x 轴正方向上距原点503处．(3)s 3＝∫40(8t －2t 2)d t －∫54(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|40－(4t 2－23t 3)|54＝26.(4)依题意∫t 0(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， t ＝6是所求的值．【解后反思】 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求： (1)在t ＝4 s 时的位置； (2)在t ＝4 s 时运动的路程．解：(1)在时刻t ＝4 s 时该点的位置为：⎠⎛ 04 (t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t |40＝43(m)， 即在t ＝4 s 时该点距离出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]和[3,4]上v (t )≥0，在区间[1,3]上v (t )≤0， 所以在t ＝4 s 时运动的路程为：1．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( B )A ．1＋eB ．e C.1eD ．e －1解析：所做的功W ＝⎠⎛ 01F (x )d x ＝⎠⎛ 01 (1＋e x)d x ＝(x ＋e x)|10＝e.2．物体以速度v (t )＝2－t 做直线运动，则它在t ＝1到t ＝3这段时间的路程为( B ) A ．0 B ．1 C.12 D.32解析：当t ∈[1,2]时，v (t )≥0，t ∈[2,3]时，v (t )≤0，故路程为.3．如果1 N 力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为0.18_J. 解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，∴k ＝10.01＝100，即F (x )＝100x ，于是拉长6 cm 所耗费的功为W ＝⎠⎛ 00.06F (x )d x ＝⎠⎛ 00.06100x d x ＝50x 20.060＝0.18(J)．4．质点做直线运动，其速度v (t )＝t 2－2t ＋1(单位：m/s)，则它在第2秒内所走的路程为13m.解析：由于v (t )＝t 2－2t ＋1≥0，因此它在第2秒内所走的路程为s ＝＝13(m)．5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，求此物体达到最高时的高度．解：由v ＝40－10t 2＝0，得物体达到最高时t ＝2(s)．所以物体达到最高时的高度为h ＝⎠⎛ 02 (40－10t 2)d t ＝(40t －103t 3)|20＝1603(m)．。

2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1 定积分在几何中的应用 1。

7.2 定积分在物理中的应用学业分层测评（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1．(2016·广州高二检测)用S表示图1。

7。

4中阴影部分的面积，则S的值是（)图1。

7­4A.错误!f(x）d xB。

错误!C.错误!f（x)d x＋错误!f(x）d xD。

错误!f（x）d x－错误!f（x）d x【解析】在区间[a，b］上图形在x轴下方，积分为负值,∴S＝错误!f(x)d x－错误!f（x）d x。

故选D。

【答案】D2．如图1.7.5，阴影部分的面积是（）图1。

7­5A．2 3 B．2－错误!C.错误!D.错误!【解析】S＝错误!（3－x2－2x）d x＝错误!错误!＝错误!。

【答案】C3．一物体以速度v＝3t2＋2t(单位：m/s）做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是( )A．31 m B．36 mC．38 m D．40 m【解析】S＝错误!(3t2＋2t）d t＝（t3＋t2)｜错误!＝33＋32＝36(m）．【答案】B4．如果某飞行物以初速度v0＝10 m/s,加速度a(t）＝10t m/s2做直线运动，则飞行物在t＝3 s时的瞬时速度为( )A．40 m/s B．45 m/sC．50 m/s D．55 m/s【解析】飞行物在t＝3 s时的瞬时速度为v＝v＋错误!a（t)d t＝10＋错误!10t d t＝10＋5t2错误!＝55 m/s.【答案】D5．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于（)A. 错误!(x－x3)d xB. 错误!（x3－x)d xC．2错误!（x－x3）d x D．2错误!(x－x3）d x【解析】由题意知,由y＝x3及y＝x所围成的图形如图所示．显然S＝2错误!（x－x3)d x。

高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用（第2课时）自我小测 新人教A 版选修2-21．一质点沿直线以v ＝3t ＋2(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该质点在第3 s 到第6 s 间的运动路程s 为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m2．物体以速度v (t )＝2－t 做直线运动，则它在t ＝1到t ＝3这段时间的路程为( ) A ．0 B ．1 C ．12 D ．323．以40 m/s 的初速度竖直向上抛一物体，t s 时的速度v ＝40－10t 2(m/s)，则此物体达到最高时的高度为( )A ．1603 mB ．803 mC ．403 mD ．203m4．一物体在力F (x )＝15－3x 2(力的单位：N ，位移的单位：m)作用下沿与力F (x )成30°角的方向由x ＝1 m 直线运动到x ＝2 m 处，作用力F (x )所做的功W 为( )A ． 3 JB ．2 3 JC ．4 3 JD ．32J 5．如图，弹簧一端固定，另一端与一质点相连．弹簧劲度系数为k ，则质点由x 0运动至x 1时弹簧弹性力所做的功为( )A ．12kx 02－12kx 12B ．12kx 12－12kx 02C ．12kx 02＋12kx 12D ．12kx 12 6．做变速直线运动的物体的速度v (t )＝4－t 2，初始位置s (0)＝1，则3秒时所处的位置s (3)为__________．7．已知作用于某一质点的力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤2(单位：N)，力F 从x ＝0处运动到x ＝2处(单位：m)所做的功是__________．8．物体A以速度v A＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B以速度v B＝10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米？此时，物体A，B运动的路程各是多少？9．物体按规律x＝4t2(m)做直线运动，设介质的阻力与速度的大小成正比，且速度的大小为10 m/s时，阻力为2 N，求物体从x＝0到x＝4，阻力所做的功的大小．参考答案1．解析：s ＝63⎰v d t ＝63⎰(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t 63|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32×62＋2×6－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32＋2×3＝46.5(m)．答案：B2．解析：当t ∈[1,2]时v (t )≥0，t ∈[2,3]时v (t )≤0，故路程为31⎰|2－t |d t ＝21⎰(2－t )d t ＋32⎰(t －2)d t ＝1.答案：B3．解析：由v ＝40－10t 2＝0得t 2＝4，∴t ＝2. ∴h ＝20⎰(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 320|＝80－803＝1603(m)．故选A ．答案：A 4．解析：W ＝21⎰F (x )cos 30°d x ＝3221⎰(15－3x 2)d x ＝32(15x －x 3)21|＝32[(30－8)－(15－1)]＝43(J)．答案：C5．解析：∵弹簧弹性力F (x )＝－kx ， ∴W ＝1x x ⎰F (x )d x ＝10x x ⎰(－kx )d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 12－12kx 02＝12kx 02－12kx 12.答案：A6．解析：由题意可知s (3)＝3⎰v (t )d t ＋1＝30⎰(4－t 2)d t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫4t －t 3330|＋1＝4. 答案：47．解析：力F 所做的功W ＝10⎰x d x ＋21|(x ＋1)d x＝12x 210|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x 21|＝3(J)． 答案：3 J8．解：依题意知，物体A ，B 分别做变速直线运动和匀速直线运动．A 从开始到t 秒后所走的路程为s A ＝t ⎰v A d t ＝t ⎰(3t 2＋1)d t ＝t 3＋t ；B 从开始到t 秒后所走的路程为 s B ＝t ⎰v B d t ＝t ⎰10t d t ＝5t 2.由题意得s A ＝s B ＋5，即t 3＋t ＝5t 2＋5，得t ＝5(秒)． 此时，s A ＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米)．答：5秒后物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的路程分别是130米和125米．9．解：∵v ＝x t ′＝8t ＝4x (m/s)，F (x )＝kv ＝4k x (N)， 当v ＝10时，F (x )＝2，∴k ＝15.∴F (x )＝45x .故阻力所做的功为W ＝40⎰45x d x ＝81532x 40|＝6415(J)．。

1.7定积分的简单应用1.由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案：C解析：解答: y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 分析： 函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰2.曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9答案：B解析：解答: 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数， ∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2(2x 2－14x 4)20＝8，故选B.分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分 3. 一物体以速度v ＝(3t 2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( ) A ． 31m B ．36m C ．38m D ．40m答案：B解析：解答: S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t)dt ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B. 分析：位移是对速度的积分，速度是位移的导数4. 一物体在力F(x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F(x )所做的功为( ) A ．8J B ．10J C ．12J D ．14J答案：C解析：解答: 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )31＝14(J)，故应选D分析：机械功是力对路程的积分，考查定积分在物理学上的应用5. 若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t ，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12 B ．3－32 2 C ．6＋3 2 D ．6－3 2答案：D 解析：解答: ⎠⎛3636t dt ＝6t63＝6－32，故应选D.分析： 产量的变化率是产量的导数，故产量是对产量变化率的积分 6.如图所示，阴影部分的面积为( )A.ba ⎰f(x )d x B.ba ⎰g(x )d x C.ba ⎰[f(x )-g(x )]d x D.ba⎰[g(x )-f(x )]d x答案：C解析：解答:由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为ba⎰[f(x)-g (x)]d x.分析：注意在这里式ba⎰[f(x)-g (x)]d x.中要保证 f(x)>g(x)对于任意x∈[a，b]恒成立7. 直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sin x所围成的平面图形的面积表示为( )A.11-⎰sin x d x B.10⎰sin x d xC.1-⎰2sin x d x D.10⎰2sin x d x答案：D解析：解答:选D.由于y=sin x，x∈[-1，1]为奇函数，当x∈[-1，0]时，sin x≤0；当x∈(0，1]时，sin x>0.由定积分的几何意义，直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sin x所围成的平面图形的面积为11-⎰|sin x|d x=10⎰2sin x d x.分析：定积分满足可加性，定积分也满足奇偶性8. 由y=1x，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为( )A.ln2B.ln2-1C.1+ln2D.2ln2 答案：A解析：解答: 选A.画出曲线y=1x(x>0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积.所以S=21⎰1xd x=ln x21=ln2-ln1=ln2分析：简单题，考查定积分在求解面积中的应用9.已知a=(sin x，cos x)，b=(cos x，sin x)，f(x)=a·b，则直线x=0，x=34π，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为( )A.123C.323答案：C解析：解答: 选C.由a=(sin x，cos x)，b=(cos x，sin x)，得f(x)=a·b=2sin x cos x=sin2x，当x ∈[0,]2π时，sin2x ≥0； 当x ∈3(,]24ππ时，sin2x <0. 由定积分的几何意义，直线x =0，x =34π，y=0以及曲线y=f(x )围成平面图形的面积为 20π⎰sin2x d x -342ππ⎰sin2x d x=-12cos2x |20π+12cos2x |342ππ=1+12=32. 分析：求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积. 10.若两曲线y=x 2与y=c x 3(c>0)围成图形的面积是23，则c 等于( ) A.13B.12C.1D.23答案：B解析：解答: 选B.由23y x y cx⎧=⎨=⎩得交点(0，0)，211(,)c c ， 则S=1c ⎰(x 2-c x 3)d x=3411()340c x x c -=23，c=12. 分析：解答此题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为[0，1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定11.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A.ca⎰f(x )d xB. ca⎰f(x )d x | C.b a ⎰f(x )d x +cb ⎰f(x )d x D.cb ⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x答案：D 解析：解答: s=()||cbf x dx ⎰=cb⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x ,故选D分析：函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰12. ⎠⎛01(x 2＋2)d x ＝( )A.72 B.73 C ．2 D ．1答案：B解析：解答:123011(2)203x dx x x +=+⎰＝73.分析： 定积分的求解运用到微积分基本定理。

1.7.2 定积分在物理中的应用A 级：基础巩固练一、选择题1．已知自由落体运动的速度v ＝gt ，则自由落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.gt 203B ．gt 20C.gt 202D.gt 206答案 C2．物体以速度v (t )＝2－t 做直线运动，则它在t ＝1到t ＝3这段时间的路程为( ) A ．0 B ．1 C.12 D.32答案 B解析 当t∈[1,2]时v (t )≥0，t ∈[2,3]时v (t )≤0，故路程为⎠⎛13|2－t |d t ＝⎠⎛12(2－t )d t＋⎠⎛23(t －2)dt ＝1.3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，ts 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物 体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403 m D.203m 答案 A解析 由v ＝40－10t 2＝0，得物体达到最高时t ＝2.高度h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3|20＝1603(m)．答案 A5．一物体在力F(x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J 答案 C6．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m 答案 B解析 由题意知，物体在3～6 s 间的运动路程为⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t |63＝66－19.5＝46.5(m )，故选B.二、填空题7．做变速直线运动的物体的速度v (t )＝4－t 2，初始位置s (0)＝1，则t ＝3时所处的位置s (3)为________．答案 4解析 由题意可知s (3)＝⎠⎛03v(t)d t ＋1＝⎠⎛03(4－t 2)d t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t －t 33|30＋1＝4. 8．一个弹簧压缩x cm 产生4x N 的力，那么将它从自然长度压缩0.05 m 做的功是________． 答案 0.5 J9．如图，是一个质点做直线运动的v－t图象，则质点在前6 s内的位移为________．答案9 mB 级：能力提升练11．一物体做变速直线运动，其v­t 曲线如下图所示，求该物体在12～6 s 间的运动路程．12．在底面面积为S的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．。