数学北师大选修同步练习 第四章§定积分的简单应用 含解析

定积分的简单应用定积分是高中新增的数学的内容，是高等数学的基础。

它在初等数学中有着广泛的应用。

下面举例说明如下，供同学们学习时参考。

一．求函数表达式 例1.设)(x f 连续，且⎰+=1)(2)(dtt f x x f ，求)(x f .解：记⎰=10)(dtt f a ，则a x x f 2)(+=两端积分得：⎰⎰+=+=101221)2()(a dx a x dx x fa a 221+=，21-=a 1)(-=∴x x f 。

二、计算平面图形的面积 例2计算正弦曲线y=sinx 在上与x 轴所围成的平面图形的面积。

解：。

例3.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x x x x x x A . 三、平行截面面积为已知的立体体积例4曲线()1522=-+y x 绕x 解：⎰--+=11222)15(dx x V π，⎰---=11221)15(dx x V π2)2-12V V V -=⎰--+=1122)15(dx x π⎰----1122)15(dx x π211210220120ππππ=⋅=-=⎰-dx x四、求旋转体的体积例5求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积。

解：建立如右图坐标系，则圆锥体可看成是由直线 ,x hry =h x =及x 轴所围成三角形绕x 轴旋转一 周而成，故圆锥体体积h r x hr x x h r V hh2003222π313πd )(π=⋅==⎰. 五、求函数利润问题 例6六、在物理中的应用例7汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。

设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。

一、选择题1．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-2．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰， 1c xdx =⎰，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<3．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为：A ．2π5B ．32C ．43D ．π24．曲线xy e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 5．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B ．4 C ．2 D ．926．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（ ）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+7．图中阴影部分的面积用定积分表示为（ ）A ．12d xx ⎰B ．()1021d xx -⎰C ．()1021d xx +⎰D ．()1012d xx -⎰8．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3 B ．32ln 2+C ．223e -D ．e9．曲线2y x 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．16 B ．13C ．12D ．5610．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．32911．已知函数()[](]2sin ,,01,0,1x x f x x x π⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()1f x dx π-=⎰（ ） A ．2π+B ．2πC ．22π-+D ．24π-12．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）. A ．224r πB ．283r πC ．514r πD ．42r π二、填空题13．由直线2x y +=，曲线2y x =所围成的图形面积是________ 14．12021sin x dx xdx π--=⎰⎰______15．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.16．曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.17．若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4，则21ae dx x=⎰________________ 18．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．19．定积分11d ex x ⎰的值为____________________. 20．定积分120124x x dx π⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰的值______. 三、解答题21．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点()0,2，且()28f x dx =⎰.（1）求函数()f x 的表达式.（2）若函数()22g x x =+，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.22．已知函数31()ln 2f x x ax x =--()a R ∈.（1）若()f x 在(1,2)上存在极值，求(1)f 的取值范围； （2）当0x >时，()0f x <恒成立，比较a e 与232a e+的大小. 23．求曲线y x =，2y x =-，13y x =-所围成图形的面积．24．如图所示，抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地，其中A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上 已知工业用地每单位面积价值为3a 元()0a >，其它的三个边角地块每单位面积价值a 元．（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；（Ⅱ）如何确定点C 的位置，才能使得整块土地总价值最大．25．已知函数2()11xf x x =++，2()e (0)ax g x x a =<． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）若对任意1x ，2[0,2]x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．26．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.（1）求()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.2．C解析：C【解析】因为1113212312000000111122,,|223333a xdx x b x dx x c xdx x =========⎰⎰,所以b ac <<,故选C.3．C解析：C 【解析】试题分析：由图像可知函数解析式为()21f x x =-+∴由定积分的几何意义可知面积()12311111141|113333S x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 考点：定积分及其几何意义4．A解析：A 【解析】试题分析：'0x x y e y e x =∴=∴=时'11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12考点：导数的几何意义及直线方程5．D解析：D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义得，293122122132221=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。

高中数学第四章定积分 1 定积分的概念同步练习北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.用定积分定义求由x=2,x=3,y=21x,y=0围成的图形的面积.解:在[2,3]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间[2,2+n1],[2+n1,2+n2]…[2+ nn1-,3],记第i个区间为[2+ni1-,2+ni](i=1,2,…,n),其长度为Δx=n1.分别过上述n-1个分点作x轴的垂线与曲边梯形相交,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别为ΔS1、ΔS2、…ΔS n,显然S=∑=∆niiS1,设f(x)=21x,如图所示,当n很大时,Δx很小,在区间[2+ni1-,2+ni]上,可以认为函数f(x)=21x的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于ξi=)2)(12(nini+-+处的函数值f(ξi)=)2)(12(1nini+-+,这样在区间[2+ni1-,2+ni]上,用小矩形面积ΔS′i近似地代替ΔS i,则有ΔS i≈ΔS′i=f(ξi)·Δx=)2)(12(nini+-+·n1=(i=1,2,…,n).∴S n=∑=ni1ΔS′i=∑=ni1f(ξi)·n1=n1［3)12(1)22)(12(1)12(21•-+++++++nnnnn］=2161312131121221121121=-=--+++++++-nnnnn.思路分析:定积分的概念产生于分割、近似代替、求和、取极限这四步.故用四步法求定积分要注意解题的层次性,当然本题省略了求极限这一步.2.已知某物体做直线运动,其在时刻t(s)的速度为v(t)=t3(m/s),求物体在时刻t=0秒至时刻t=5秒这5秒时间内运动的距离.解:s=⎰05v(t)dt=∑=nk1(n5·k）3·n5(n→∞)=∑=nk1445n·k3(n→∞)=445n［2)1(+nn］2(n→∞)=454≈(米）.答:该物体在5秒内运动的距离为156.25米.思路分析：⎰abv（t）dt指速度为v（t）的运动的物体从时刻a到时刻b所运动过的路程。

第4章 §1 定积分的概念A 级 基础巩固一、选择题1．一辆汽车作变速直线运动，汽车的速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)之间具有如下函数关系：v (t )＝t 22＋6t .求汽车在0≤t ≤2这段时间内行驶的路程s 时，将行驶时间等分成n 段，下列关于n 的取值中，所得估计值最精确的是( D )A ．5B ．10C ．20D ．50[解析] 将行驶时间等分得越细，得到的估计值越精确，故选D.2．已知曲线y ＝f (x )在x 轴下方，则由y ＝f (x )，y ＝0，x ＝－1和x ＝3所围成的曲线梯形的面积S 可表示为( C )A. ⎠⎛－13f (x )d xB. ⎠⎛－31f (x )d xC ．－⎠⎛－13f (x )d xD ．－⎠⎛－31f (x )d x[解析] 因为f (x )位于x 轴下方，故f (x )<0， ∴⎠⎛－13f (x )d x <0，故上述曲边梯形的面积为－⎠⎛－31f (x )d x . 3．设f (x )＝x 2＋x 6，则与⎠⎛－a 0f (x )d x 的值一定相等的是( B )A ．0B ．2⎠⎛－a 0f (x )d x C ．⎠⎛－a 0f (x )d xD ．⎠⎛0a f (x )d x[解析] f (x )为偶函数，故它在[－a,0]上和[0，a ]上的图像关于y 轴对称，由定积分的几何意义可知⎠⎛－a 0f (x )d x ＝⎠⎛0a f (x )d x .4．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( D )A. ⎠⎛－11x 2d xB. ⎠⎛－112x d xC. ⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD. ⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x[解析] 由定积分性质(3)求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确，故应选D.5．若⎠⎛a b f (x )d x ＝1，⎠⎛a b g (x )d x ＝－3，则⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]d x ＝( C )A ．2B ．－3C ．－1D ．4[解析] ⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]d x ＝2⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab g (x )d x ＝2×1－3＝－1. 6．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a 、b 、c 的大小关系为( B )A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b二、填空题7．某汽车作变速直线运动，在时刻t (单位：h)时的速度为v (t )＝t 2＋2t (单位：km/h)，那么它在3≤t ≤4这段时间内行驶的路程s (单位：km)可表示为⎠⎛34(t 2＋2t )dt .[解析] 如图所示，阴影部分的面积表示汽车在3≤t ≤4这段时间内行驶的路程s ，则s ＝⎠⎛34v (t )dt ＝⎠⎛34(t 2＋2t )dt .8.⎠⎛06(2x －4)d x ＝12.[解析] 如图A (0，－4)，B (6,8)，M (2,0)， S △AOM ＝12×2×4＝4， S △MBC ＝12×4×8＝16，∴⎠⎛06(2x －4)d x ＝16－4＝12. 三、解答题9．用图像表示下列定积分： (1)⎠⎛12log 2x d x ； (2)⎠⎛26x d x . [解析] (1)⎠⎛12log 2x d x 表示曲线y ＝log 2x ，直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的曲边梯形的面积，如图中阴影部分所示．(2)⎠⎛26x d x 表示直线y ＝x ，x ＝2，x ＝6及x 轴围成的直角梯形的面积，如图中阴影部分所示．10．(2019·青岛高二检测)利用定积分的几何意义求1－x 2d x .[解析] 由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)的图形为半圆，故1－x 2d x为圆心角120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×2π3×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝2×32×12＝32. ∴1－x 2d x ＝π3＋34.B 级 素养提升一、选择题1．下列命题不正确的是( D )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b )上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b )上恒正[解析] 本题考查定积分的几何意义，对A ：因为f (x )是奇函数，所以图像关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确．对B ：因为f (x )是偶函数，所以图像关于y 轴对称，故图像都在x 轴下方(或上方)且面积相等，故B 正确．C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．2．(2019·威海高二检测)已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( D )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图像与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S△AEF＝12|AE||EF|＝12×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，∴t＝4，故选D.二、填空题3．已知f(x)是一次函数，其图像过点(3,4)且⎠⎛1f(x)d x＝1，则f(x)的解析式为f(x)＝65x＋25.[解析]设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(x)图像过(3,4)点，∴3a＋b＝4.又⎠⎛1f(x)d x＝⎠⎛1(ax＋b)d x＝a⎠⎛1x d x＋⎠⎛1b d x＝12a＋b＝1.解方程组⎩⎨⎧3a＋b＝4，12a＋b＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a＝65，b＝25.∴f(x)＝65x＋25.4．比较大小：⎠⎛－2e x d x>⎠⎛－2x d x.[解析]⎠⎛－2e x d x－⎠⎛－2x d x＝⎠⎛－2(e x－x)d x，令f(x)＝e x－x(－2≤x≤0)，则f′(x)＝e x－1≤0，∴f(x)在[－2,0]上为减函数，又f(0)＝1>0，∴f(x)>0，由定积分的几何意义又知⎠⎛－2f(x)d x>0，则由定积分的性质知，⎠⎛－2e x d x>⎠⎛－2x d x.三、解答题5．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x3x∈[－2，2)，2x x∈[2，π)，cos x x∈[π，2π].求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．[解析]由定积分的几何意义知⎠⎛－22x 3d x ＝0，⎠⎛2π2x d x ＝(π－2)(2π＋4)2＝π2－4，⎠⎛π2πcos x d x ＝0，由定积分的性质得 ⎠⎛－22πf (x )d x ＝⎠⎛－22x 3d x ＋⎠⎛2π2x d x ＋⎠⎛π2πcos x d x ＝π2－4. 6．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ； (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x . [解析] (1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3(⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ) ＝3×(14＋154)＝12. (2)⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6(⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ) ＝6×(73＋563)＝126. (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛123x 2d x －⎠⎛122x 3d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x＝3×73－2×154＝－12.C 级 能力拔高画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面积． (1)y ＝|sin x |，y ＝0，x ＝2，x ＝5； (2)y ＝log 12x ，y ＝0，x ＝12，x ＝3.[解析] (1)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S ，则S ＝⎠⎛25|sin x |d x或S ＝⎠⎛2πsin x d x ＋⎠⎛π5(－sin x )d x＝⎠⎛2πsin x d x －⎠⎛5πsin x d x .(2)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S .则。

第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。

一、选择题1．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132．计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ）A ．34B ．3ln 22+ C ．55ln 22+ D ．3ln 2+3．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d xB ．2π40⎰(sin x －cos x )d xC ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x4．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．36πC ．128πD ．144π5．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 6．22221231111,,,xS x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 17．设曲线e x y x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e --B ．2e 2e 4e -C ．2e e 14e --D ．2e 14e-8．函数()22,04,02x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，则22()f x dx -⎰的值为（ ）A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．89．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值11．已知320n x dx =⎰，且21001210(2)(23)n x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．823B ．845C ．965-D ．87712．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22二、填空题13．由函数()ln f x x x x =-的图像在点(,())P e f e 处的切线,l 直线1x e -=直线x e =（其中e 是自然对数的底数）及曲线ln y x =所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积S =_________.14．424(16)x x dx --=⎰__________．15．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.16．在下列命题中①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）. 17．1201x dx -=⎰__________．18．已知()[](]221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()21f x dx -=⎰______． 19．2(1)x dx -=⎰________.20．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．三、解答题21．已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数⑴当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;⑵若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值; ⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.22．已知函数21()ln (1)12f x x ax a x =-+-+． （1）当1a =时，）求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）求函数()f x 在[]1,2x ∈时的最大值．23．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围.24．已知函数()ln f x x a x =-， ()R a ∈. （1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数； （2）设()1a g x x+=-，若不等式()()f x g x >对任意[]1,e x ∈恒成立，求a 的取值范围. 25．求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积. 26．已知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为0S . (1)求0S .(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选：D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．2．B解析：B 【分析】根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解. 【详解】根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2211()2x lnx =+1142122ln ln ⎛⎫=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 322ln =+. 故选：B. 【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.3．D解析：D 【解析】π40⎰(-sin x +cos x )d x 2π4π+⎰(sin x -cos x )dx=2π40⎰(cos x －sin x )d x ,选D. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．4．A解析：A 【解析】由三视图可得：DC ⊥平面ABC 且底面ABC 为正三角形，如图所示，取AC 中点F ，连BF ，则BF AC ⊥，在Rt BCF 中，2BF =，2CF =，4BC =， 在Rt BCD 中，4CD =，所以42BD =ABC 的距离为d ，因为DC ⊥平面ABC ，且底面ABC 为正三角形，所以2d =，因为ABC 的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得22228R d =+=，则该三棱锥外接球的半径22R =以三棱锥外接球的表面积是2432R ππ=，故选A ．点睛：本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键；由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出DC ⊥平面ABC 、求出ABC 的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案.解析：D【解析】由题意得()22130f x x a x =+-≥'在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即22max 13a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，因为2213y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2213131334,444y x a x =-<-=≥，选D. 点睛：已知函数单调性求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数单调区间取法，根据单调区间与定义区间包含关系，确定参数值或取值范围；（2）利用导数转化为导函数非正或非负恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.6．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.7．D解析：D 【详解】曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112xx S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.解析：A 【分析】 先求出22()f x dx -=⎰2264x dx +-⎰,再求出2204x dx π-=⎰即得解.【详解】 由题得2022220222201()(2)4(2)|42f x dx x dx x dx x x x dx ---=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰22064x dx =+-⎰,设24(02,0)y x x y =-<≤≥,所以22+4x y =，所以24(02,0)y x x y =-<≤≥表示圆22+4x y =在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点)，其面积为14=4ππ⨯⨯. 所以204x dx π-=⎰.所以22()6f x dx π-=+⎰.故选：A 【点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．C解析：C 【分析】由函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，得10122()cos 2f x dx xdx dx ππ--=+⎰⎰⎰，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，可得110100222()cos 2sin |2|123f x dx xdx dx x x πππ---=+=+=+=⎰⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记定积分的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．B解析：B 【分析】根据定积分的运算，可得321()23f x x x =-，再利用导数求得()f x 的单调性和极值，检验端点值，即可得答案. 【详解】由题意，函数3232011()(4)2233xxf x t t dt t t x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰，则2()4(4)f x x x x x '=-=-，当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 又由7(1)3f -=-，(0)0f =，32(4)3f =-，25(5)3f =-， 所以函数()f x 的最大值为0，最小值为323-. 故选：B . 【点睛】本题考查定积分的运算，利用导数求函数的最值问题，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.11．A解析：A 【分析】利用微积分基本定理，可计算得329n x dx ==⎰，又210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-利用赋值法，令1x =，可得解 【详解】由题意3323200|3093x n x dx ===-=⎰ 令1x =有：901210(21)(23)3a a a a +++⋅⋅⋅+=+-=-210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-令1x =有：9812102...10(23)27(21)(23)82a a a +++=--+-=- 故12310012102310823a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+故选：A 【点睛】本题考查了导数、定积分和二项式定理综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题12．B解析：B 【解析】 【分析】联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积2121(4)S x dx x=-⎰，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =，所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 22222112211115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．【分析】利用导数求得切线的方程利用定积分计算出阴影部分的面积【详解】所以切线的方程为：故阴影部分面积为故答案为：【点睛】本小题主要考查切线方程的计算考查定积分计算面积属于中档题解析：2221122e e e++-【分析】利用导数求得切线l 的方程，利用定积分计算出阴影部分的面积. 【详解】()()()''ln ,ln 1,0f x x f e e f e e e ====-=，所以切线l 的方程为：y x e =-.故阴影部分面积为()2111ln ln |2e e eex x e dx x x x x ex ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭⎰2221111111ln ln 22e e e e e e e e e e e ⎡⎤⎛⎫=--⋅+---+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦22121122e e e ⎡⎤=⋅---+⎢⎥⎣⎦2221122e e e ++-=. 故答案为：2221122e e e++-【点睛】本小题主要考查切线方程的计算，考查定积分计算面积，属于中档题.14．【分析】由题原式等于利用积分的几何意义分别求得其定积分可得答案【详解】由题表示的几何意义为：以（00）为圆心4为半径的圆在第一第二象限的面积所以=所以故答案为【点睛】本题考查了定积分熟悉理解定积分的 解析：8π【分析】由题，原式等于4444xdx --+⎰，利用积分的几何意义分别求得其定积分，可得答案.【详解】由题444444)x dx xdx ---=+⎰⎰4-表示的几何意义为：以（0,0）为圆心，4为半径的圆在第一第二象限的面积，所以44-=21482ππ⨯= ，440xdx -=⎰所以424(16)8x x dx π--+=⎰故答案为8π【点睛】本题考查了定积分，熟悉理解定积分的几何意义是解题的关键，属于中档题.15．【分析】三角函数的对称性可得S=2求定积分可得【详解】由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx ）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为2﹣2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积解析：222-【分析】三角函数的对称性可得S=2()40cosx sinx dx π-⎰，求定积分可得． 【详解】 由三角函数的对称性和题意可得S=2()40cosx sinx dx π-⎰ =2（sinx+cosx ）40|π=2（22+22）﹣2（0+1）=22﹣2 故答案为22﹣2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．16．②④⑤【解析】①函数在定义域内不为单调递减函数在和为单调递减函数；；②已知定义在上周期为4的函数满足则所以一定为偶函数；③若为奇函数则；④已知函数则即有极值充分性成立；有极值所以不必要；⑤函数为单调解析：②④⑤【解析】①函数()1f x x=在定义域内不为单调递减函数，在(,0)-∞ 和(0,)+∞ 为单调递减函数；；②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足()()22f x f x -=+， 则()(4)()f x f x f x =-=-所以()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()0a a f x dx -=⎰； ④已知函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，2()32,f x ax bx c +'=+ 则0a b c ++=22224124()124()0b ac a c ac a c ac ⇒∆=-=+-=+-> ，即()f x 有极值，充分性成立；()10,2a b c f x ===-，，，也有极值，所以不必要； ⑤函数()sin f x x x =-为单调递增奇函数，所以0a b +>，则()()(),f a f b f b >-=-即 ()()0f a f b +>. 正确命题的序号为②④⑤17．【解析】根据积分的几何意义原积分的值即为单元圆在第一象限的面积则 解析：4π 【解析】 根据积分的几何意义，原积分的值即为单元圆在第一象限的面积 则12014x dx π-=⎰18．【解析】由题意可得答案：【点睛】求定积分的题型一种是：几何方法求面积一般是圆第二种是：求用被积函数的原函数用积分公式第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0本题考查了第一种和第二种解析：π423+ 【解析】由题意可得()212221111(1)f x dx x dx x dx --=-+-=⎰⎰⎰2214()|2323x x ππ+-=+，答案：423π+． 【点睛】求定积分的题型，一种是：几何方法求面积，一般是圆．第二种是：求用被积函数的原函数，用积分公式，第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0.本题考查了第一种和第二种．19．【详解】试题分析：考点：定积分的计算【名师点睛】本题主要考查定积分的计算意在考查学生的运算求解能力属于容易题定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解 解析：.【详解】试题分析：222001(1)02x dx x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰. 考点：定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解. 20．【解析】【分析】确定被积函数与被积区间利用用定积分表示面积即可求得结论【详解】曲线y=sinx 与直线x=0x=π4y=0所围成的封闭图形的面积为0π4sinxdx=-cosx|0π4=1-22故答案解析：【解析】【分析】确定被积函数与被积区间,利用用定积分表示面积,即可求得结论.【详解】曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 ，故答案为.【点睛】 本题主要考查利用定积分求面积，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.三、解答题21．(1)()a y g x x x ==+(2)=- 2ln2 +ln3 【详解】导数部分的高考题型主要表现在：利用导数研究函数的性质，高考对这一知识点考查的要求是：理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．⑴∵()ln f x x =,∴当0x >时,()ln f x x =; 当x<0时,()ln()f x x =-∴当x>0时,1()f x x '=; 当0x <时,11()(1)f x x x⋅-'==- ∴当0x ≠时,函数()a y g x x x ==+⑵∵由⑴知当0x >时,()a g x x x=+,∴当0,0a x >>时,()2g x a ≥当且仅当x a =时取等号∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2a , ∴依题意得22a =，∴1a =； ⑶由2736{1y x y x x =+=+解得2121322{,{51326x x y y ==== ∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积=- 2ln2 +ln322．（1）32ln 22y x =-++（2）max 143ln 2,211()ln ,12232,12a a f x a a a a a ⎧-++≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()2f '，再根据点斜式可得切线方程；（2）先研究导函数符号变化规律：当12a ≤时，为正；当112a <<时，先正后负；当1a ≥时，为负，对应确定单调性，进而确定函数最值试题解：（1）当1a =时，()21ln 12f x x x =-+ ∴()1f x x x'=- ∴()322f '=-，即32k 切=- 已知切点为()2,1ln2-+∴切线的方程为：32ln22y x =-++ （2）∵()()()21112ax a x f x x x -+-+≤'=≤当0a ≤时，()0f x '>在[]1,2x ∈恒成立∴()f x 在[]1,2x ∈单调递增∴()()max 243ln2f x f a ==-++ 当102a <≤时，()f x 在[]1,2x ∈单调递增 ∴()()max 243ln2f x f a ==-++ 当112a <<时，()f x 在11,x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在1,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减 ∴()max 11ln 2f x f a a a⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 当1a ≥时，()f x 在[]1,2x ∈单调递减∴()()max 3122f x f ==-+ 综上所述()max 1432,211,12232,12a ln a f x lna a a a a ⎧-++≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩23．(Ⅰ)3a=-,2b =-；(Ⅱ)[]4,16-；(Ⅲ)124t ≤≤ 【解析】试题分析：(Ⅰ)由导函数研究原函数切线的方法得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得3a =-,2b =-；(Ⅱ)将不等式恒成立的问题分类讨论可得实数t的取值范围是124t ≤≤+ 试题（Ⅰ）()232f x x ax '=+ ∴()1323f a =+=-' ∴3a =- ∴()323f x x x =-因为()113f b =-= ∴2b =- （Ⅱ）由（Ⅰ）得()323f x x x =- ∴()236f x x x '=- 令()0f x '= 解得120,2x x ==()()()()14,00,24,416f f f f -=-==-=∴()f x 的值域是[]4,16- （Ⅲ）因为[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立∴()22160tx t x -++≥在[]1,4上恒成立，令()()2216h x tx t x =-++对称轴为1t x t +=因为0t >∴11t x t+=> ∴()21441240t t t t +⎧<⎪⎨⎪∆=+-≤⎩或()()144168160t t h t t +⎧≥⎪⎨⎪=-++≥⎩ 解得：t的取值范围为124t ≤≤+ 24．（1）见解析；（2）2e 12,e 1⎛⎫+- ⎪-⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）求导，由导函数等于0及单调性确定极值点即可；（2）不等式()()f x g x >对任意[]1,x e ∈恒成立，即函数()1a h x x x+=+ ln a x -在[]1,e 上的最小值大于零,求导讨论函数单调性求最值即可.试题（1）()1a x a f x x x'-=-=（0x >）， 当0a ≤时， ()0f x '>在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞单调递增， ()f x ∴在()0,+∞上没有极值点.当0a >时， ()0f x '<得0x a <<， ()0f x '>得x a >，()f x ∴在()0,a 上递减，在(),a +∞上递增，即()f x 在x a =处有极小值，无极大值. ∴当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上没有极值点，当0a >时， ()f x 在()0,+∞上有一个极值点.（2）设()()()h x f x g x =- 1ln a x a x x+=+-（0x >）， ()211a a h x x x +'=-- ()221x ax a x --+= ()()211x x a x ⎡⎤+-+⎣⎦=， 不等式()()f x g x >对任意[]1,e x ∈恒成立，即函数()1a h x x x +=+ln a x -在[]1,e 上的最小值大于零.①当1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减.所以()h x 的最小值为()e h ， 由()1e e e a h +=+ 0a ->可得2e 1e 1a +<-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1e 1a +-≤<-.②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++>可得2a >-，即20a -<≤. ③当11e a <+≤，即0e 1a <≤-时，可得()h x 最小值为()1h a +，因为()0ln 11a <+<，所以()0ln 1a a a <+<，故()12h a a +=+ ()ln 12a a -+>，即0e 1a <<-. 综上所述， a 的取值范围是： 2e 12,e 1⎛⎫+- ⎪-⎝⎭. 点睛：已知函数不等式恒成立求参数常用的方法和思路：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； 分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；25．图形面积为403． 【详解】首先利用已知函数和抛物线作图，然后确定交点坐标，然后利用定积分表示出面积为26028(6)A xdx x dx =+-⎰⎰，所以得到 322620228|(6)|32x A x x =⨯+-,由此得到结论为403 解：设所求图形面积为A ，则26028(6)A xdx x dx =+-⎰⎰322620228|(6)|32x A x x =⨯+-=403．即所求图形面积为 403．26．(1)2,；（2）22π. 【分析】（1）根据题意可知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为00sin S xdx π=⎰，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为20sin V xdx ππ=⎰，根据定积分的定义解之即可． 【详解】（1）000sin cos |(cos )(cos0)112S xdx x πππ==-=---=+=⎰；（2）220011sin sin 2|(0)24242x V xdx x πππππππ⎛⎫==-=-⨯= ⎪⎝⎭⎰. 【点睛】 本题主要考查定积分的几何意义，意在考查灵活利用所学知识解答问题的能力，属于中档题.。

高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.复合函数的定积分的求法. (1)“凑型”法有些定积分的计算题,直接应用积分公式不好求,甚至是不能求,此时应将被积函数进行适当变形后再求解. (2)“变量代换”法过去在求解数学问题时,我们经常运用变量代换的方法,使问题的基础环境发生转化,其中体现出来的数学思想就是等价转化思想.在求定积分的问题上,变量代换仍有很高的价值,这样的代换主要用于“把不可直接运用积分公式的问题转化成可以直接运用积分公式的问题”. 2.分段函数的定积分的求法.学习函数的时候,函数的解析式有用统一一个式子给出的,也有用分段的形式给出的.在积分的学习中,函数也可以用分段的形式给出.求分段函数定积分可以利用积分的可加性,将区间[a,b]上的积分按分段函数的段分成几部分积分的和.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,即是按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细. 3.任意曲边形面积的计算方法.几种常见的曲边梯形面积的计算方法有几种？计算公式是什么？ (1)x 型区域(如图所示):①由一条曲线y=f(x)(其中f (x)≥0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x 轴所围 成的曲边梯形的面积:S=⎰a bf(x)dx(如图a); ②由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≤0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x 轴所围 成的曲边梯形的面积:S=|⎰abf(x)dx|=-⎰a bf(x)dx(如图b);③由两条曲线y=f(x),y=g(x)(其中f(x)≥g(x))与直线x=a,x=b(a<b) 所围成的曲边梯形的面积:S⎰a b|f(x)-g(x)|dx(如图c);图a 图b 图c(2)y 型区域(如图所示):①由一条曲线y=f(x)(其中x≥0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)得x=h(y),然后利用S=⎰a bh(y)dy 求出(如图a);②由一条曲线y=f(x)(其中x≤0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)先求出x=h(y),然后利用S=|⎰abh(y)dy|=-⎰a bh(y)dy 求出(如图b);③由两条曲线y=f(x),y=g(x)与直线y=a,y=b(a<b)所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x),y=g(x)先分别求出x=h 1(y),x=h 2(y),然后利用S=⎰a b|h1(y)-h 2(y)|dy 求出(如图c).图a 图b 图c高手支招4典例精析【例1】 计算下列定积分. (1)⎰-13(4x-x 2)dx; (2)⎰0221xx +dx ；(3)⎰02π(x+sinx)dx;(4)⎰-22ππcos 2xdx.思路分析：由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求出被积函数的一个原函数.解：(1)⎰-13(4x-x 2)dx=(2x 2-33x )|3-1=(2·32333-)-［2x(-1)23)1(3--］=320; (2)⎰0221x x +dx=21x+|2=(221+-1)=5-1;(3)⎰02π(x+sinx)dx=(22x -cosx)|20π=［2)2(2π-cos 2π］-(0-1)=82π+1;(4)⎰-22ππ-2πcos 2xdx=⎰-22ππ22cos 1x +dx=2x |22ππ-+41sin2x |22ππ-=2π.【例2】 求函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈]3,2[,2]2,1[,]1,0[,3x x x x x x 在区间[0,3]上的积分.思路分析：f(x)在[0,3]上的积分可按照f(x)的分段标准,分成[0,1],[1,2],[2,3]上三段积分的和.解：由积分的性质知,⎰03f(x)dx=⎰01f(x)dx+⎰12f(x)dx+⎰23f(x)dx=⎰01x 3dx+⎰12x dx+⎰232xdx=⎰01x 3dx+⎰1221x dx+⎰232x dx=44x |10+3223x|21+2ln 2x|32=41+234-32+2ln 42ln 8- =2ln 4324125++-. 【例3】 已知函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤.42,1,22,1,20,sin x x x x x ππ求⎰04f(x)dx.思路分析：将[0,4]上的积分分成[0,2π],[2π,2],[2,4]三个区间上的积分. 解：⎰04f （x ）dx=⎰2πsinxdx+⎰22π1dx+⎰24（x-1）dx=-cosx |20π+x |22π+(22x -x ）|42=1+(2-2π)+(4-0)=7-2π. 【例4】 (2006山东青岛二模)已知f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0,⎰01f （x ）dx=-2,求a,b,c 的值.思路分析：本题主要考查函数知识间的联系,同时考查了导数、定积分等基本运算能力.解答本题的方法是:根据题设条件,列出方程组,通过解方程组求出a,b,c 的值. 解：由f(1)=2得,a-b+c=2,①又f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,② 而⎰01f （x ）dx=⎰01（ax 2+c ）dx=(31ax 3+cx)|10=31a+c,∴31a+c=-2,③ 由①②③得a=6,b=0,c=-4.【例5】 求由曲线y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.思路分析：利用定积分,按照求面积的基本步骤进行.解：如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.由 y 2=x,y=x 2得出交点的横坐标x=0及x=1.所以所求图形的面积为S=⎰01x dx-⎰01x 2dx=(2332x -31x 3）|10=32-31=31.【例6】 试求曲线y=2a(a xe +a xe -)和直线x=0,x=a,y=0围成的图形(如图)绕x 轴旋转一圈所得旋转体的体积.思路分析：虽然曲线y=2a (a x e +axe -)形式上比较复杂,但图已给定了,根据图形可直接用公式求解.解：因为[2a (x a e 2-2a (xa e 2-+2x]′=x a e 2+2+x ae 2-,所以V=π⎰0a y 2dx=π⎰0a 42a (a x e 2+2+a x e 2-)dx=4πa 2[2a (a x e 2-axe 2-)+2x]|0a=4πa 2[2a (e 2-e -2)+2a].【例7】 求椭圆⎩⎨⎧==tb y t a x sin ,cos (0≤t≤2π)的面积.思路分析：椭圆是中心对称图形,故只需算出第一象限内的面积,再乘以4就是整个椭圆的面积.解：如图所示,椭圆在第一象限的面积 P=⎰0aydx=⎰22πbsintd(acost)=⎰22πbsint·(-asint)dt=ab⎰20πsin2tdt=2ab(t-22sin t)|20π=4abπ.所以S=4P=πab.【例8】某电厂冷却塔外形如右下图所示,它双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20m.(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.(2)求冷却塔的容积.(精确到1 m3,塔壁厚度不计,π取思路分析：应用题是高考数学的一个热点,它能考查我们的理解能力,以及数学建模能力.本题首先要理解题意,建立平面直角坐标系,将其转化为代数问题.解：(1)如图所示,建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上,AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴.设双曲线方程为22ax-22by=1(a＞0,b＞0),则a=21AA′=7.又设B(11,y1),C(9,y2),因为点B、C在双曲线上,所以有22122711by-=1, ①2222279by-=1, ②由题意,知y2-y1=20.③由①②③,得y1=-12,y2=8,b=72.故双曲线方程为984922yx-=1;(2)由双曲线方程,得x 2=21y 2+49. 设冷却塔的容积为V(m 3),则 V=π⎰-128x 2dy=π⎰-128(21y 2+49)dy=π(61y 3+49y)|812-. 经计算,得V≈×103(m 3).答:冷却塔的容积为×103 m 3. 高手支招5思考发现1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数的原函数.利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x).2.利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限.3.实际上F(x)+c(c 为常数)的导数和F(x)的导数相同,故⎰a bf(x)dx 可以写成\-\相同,但结果与F(b)-F(a)相同,故省略了c.4.求一个几何体的体积与求一个曲边图形的面积一样,都是通过“分割、近似、求和、取极限”这四步方法,体现了微积分的思想.。

第4章 §3 定积分的简单应用A 级 基础巩固一、选择题1.如图所示，阴影部分的面积是( C )A ．2 3B ．2－ 3C ．323D ．353[解析] S ＝⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.2．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( B )A ．31 mB ．36 mC ．38 mD ．40 m[解析] S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 30＝33＋32＝36(m)，故应选B.3．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( D ) A ．2 2 B ．42 C ．2D ．4[解析] 如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x ，y ＝x 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8. ∴第一象限的交点坐标为(2,8) 由定积分的几何意义得，S ＝⎠⎛2(4x －x 3)d x ＝(2x 2－x 44)|2＝8－4＝4. 4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( A )A ．405B ．540C ．810D ．945[解析] 停车时v (t )＝0，则27－0.9t ＝0，∴t ＝30s ，s ＝⎠⎛030v (t )d t ＝⎠⎛030(27－0.9t )d t ＝(27t－0.45t 2)|300＝405.5．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( D )A ．12B ．3－322C ．6＋3 2D ．6－3 2[解析] ⎠⎛3636tdt ＝6t | 63＝6－32，故应选D.6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( C )A.14 B.15 C.16D.17[解析] 本题考查了定积分的计算与几何概型的算法，联立⎩⎨⎧y ＝xy ＝x∴O (0,0)，B (1,1)，∴S 阴影＝⎠⎛01(x －x )dx ＝(23x 32－x 22)|10＝23－12＝16，∴P ＝S 阴影S 正方形＝161＝16.定积分的几何意义是四边梯形的面积，几何概型的概率计算方法是几何度量的比值． 二、填空题7．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是18__.[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得交点坐标为(2，－2)，(8,4)． 因此所求图形的面积S ＝⎠⎛4－2(y ＋4－y 22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则f ′(y )＝y ＋4－y 22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.8．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是43 .[解析] 解法1：如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.解法2: 同解法1求得A (1,1)，B (2,1)，取y 为积分变量， 由对称性知，S ＝2⎠⎛01(2y －y )d y＝2⎠⎛01y d y ＝2×(23y 32|10)＝43.三、解答题9．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积 S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92. 10．一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(单位：m/s)运动．求： (1)在t ＝4s 的位置； (2)在t ＝4s 内运动的路程．[解析] (1)在时刻t ＝4时该点的位置为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝(13t 3－2t 2＋3t )|40 ＝43(m)， 即在t ＝4s 时刻该质点距出发点43m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4s 时的路程为S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋|⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t |＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝(13t 3－2t 2＋3t )|10＋|(13t 3－2t 2＋3t )|31|＋(13t 3－2t 2＋3t )|43＝43＋43＋43＝4(m)即质点在4s内运动的路程为4m.B级素养提升一、选择题1．直线y＝2x，x＝1，x＝2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为(A)A．28π3B．32πC．4π3D．3π[解析]由V＝⎠⎛12π·(2x)2d x＝π⎠⎛124x2d x＝4π⎠⎛12x2d x＝4π·13x3|21＝4π3(8－1)＝28π3.2．如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(A)A．512B．712C．56D．16[解析]由已知得阴影部分面积为4－⎠⎛12x2d x＝4－73＝53.所以此点取自阴影部分的概率等于534＝512.二、填空题3．由直线y＝x和曲线y＝x3(x≥0)所围成的图形绕x轴旋转，求所得旋转体的体积为4π21.[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧y＝x，y＝x3(x≥0)，求得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以V ＝⎠⎛01πx 2d x －⎠⎛01πx 6d x＝π⎠⎛01x 2d x －π⎠⎛01x 6d x＝π⎝⎛⎭⎫13x 3⎪⎪⎪10－17x 7⎪⎪⎪10 ＝π⎝⎛⎭⎫13－17＝π×421＝4π21. 4．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝3.[解析] ∵切点M 在切线y ＝12x ＋2上，∴f (1)＝12×1＋2＝52，又切线斜率k ＝12，∴f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.三、解答题5．求由曲线y ＝x 2，直线y ＝x 所围成的平面图形绕x 轴旋转 一周所得旋转体的体积．[解析] 曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的图形如图中阴影部分．设所得旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于直线y ＝x ，x ＝1与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝x 2，直线x ＝1与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．因为V 1＝⎠⎛01πx 2d x ＝⎪⎪π·13x 310＝π3×(13－03)＝π3， V 2＝⎠⎛01π(x 2)2d x ＝π⎠⎛01x 4dx ＝⎪⎪π·15x 510＝π5， 所以V ＝V 1－V 2＝π3－π5＝2π15.C 级 能力拔高如图，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，记直线OP 与曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S 1，直线OP 、直线x ＝2与曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2取最小值时，求点P 的坐标及此最小值．[解析] (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则点P 的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx . S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3，S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3，因为S 1＝S 2，所以16t 3＝83－2t ＋16t 3，解得t ＝43，故点P 的坐标为(43，169)．(2)令S ＝S 1＋S 2，由(1)知，S ＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，则S ′＝t 2－2，令S ′＝0，得t 2－2＝0，因为0<t <2，所以t ＝2， 又当0<t <2时，S ′<0；当2<t <2时，S ′>0；故当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值，最小值为83－423，此时点P 的坐标为(2，2)．由Ruize 收集整理。

高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用教材习题点拨 北师大版选修2-2练习(P 85) 1.解:(1)定积分⎰01e xdx 中,被积函数为y=e x.被积函数的一个原函数为y=e x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01e x dx=ex|1=e 1-e 0=e-1.(2)定积分⎰ππ2cosxdx 中,被积函数为y=cosx.被积函数的一个原函数为y=sinx, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰ππ2cosxdx=sinx|2ππ=sinπ-sin2π=-1. (3)定积分⎰01x 3dx 中,被积函数为y=x 3.被积函数的一个原函数为y=41x 4, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01x 3dx=41x 4|10=41×14-41×04=41.2.解:(1)导函数为y′=(x 2)′=2x,⎰012xdx=x2|1=12-02=1;(2)导函数为y′=(x 2+5)′=2x,⎰012xdx=(x 2+5)|1=(12+5)-(02+5)=1;(3)导函数为y′=(x 2-π)′=2x,⎰012xdx=(x 2-π)|1=(12-π)-(02-π)=1;(4)导函数为y′=(x 2-a)′=2x,⎰012xdx=(x 2-a)|1=(12-a)-(02-a)=1.3.解:(1)定积分⎰01(x 3-1)dx 中,被积函数为y=x 3-1.被积函数的一个原函数为y=41x 4-x,由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01(x 3-1)dx=(41x 4-x)|10=(41×14-1)-(41×04-0)= 43-.(2)定积分⎰24x 1dx 中,被积函数为y=x1. 被积函数的一个原函数为y=ln|x|, 由牛顿—莱布尼兹公式可得⎰24x1dx=ln|x||42=ln4-ln2=ln2. (3)定积分⎰40πx 2cos 1dx 中,被积函数为y=x2cos 1. 被积函数的一个原函数为y=tanx,由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰4π0x2cos 1dx=tanx |40π=tan 4π-tan0=1. 习题42(P 85) 1.解:⎰01x e 21dx=21x e 21|10=2121e -21e 0=2121e -21.2.解:⎰01f(x)dx=11+x |10=111+101+-=-21. 3.解:⎰0πf(x)dx=sinxcosx |0π=sinπcosπ-sin0cos0=0.4.解:(1)(sinx)′=cosx,(sinx+2)′=cosx,(sinx+c)′=cosx.(2)⎰2πcosxdx=sinx|20π=sin2π-sin0=1. 5.解:(1)f(x)=1+2x 的一个原函数是F(x)=x+x 2,所以f(x)=1+2x 在区间[0,1]上的定积分为⎰01f(x)dx=⎰01(1+2x)dx=(x+x 2) |1=(1+12)-(0+02)=2.(2)f(x)=3sinx+cosx 的一个原函数是F(x)=-3cosx+sinx,所以f(x)=3sinx+cosx 在区间[0,1]上的定积分为⎰01f(x)dx=⎰01(3sinx+cosx)dx=(-3cosx+sinx)|1=(-3cos1+sin1)-(-3cos0+sin0)=-3cos1+sin1+3.6.解:(1)函数y=2x-7的一个原函数为F(x)=x 2-7x, 所以⎰01(2x-7)dx=(x 2-7x)|1=(12-7×1)-(02-7×0)=-6.(2)函数y=23x +x2的一个原函数为F(x)=x 3-+2ln|x|, 所以⎰12(23x +x2)dx=(x 3-+2ln|x|)|21=(-23+2ln2)-(13-+2ln1)=23+2ln2. (3)函数y=3x的一个原函数为F(x)=3ln 13x,所以,⎰133x dx=(3ln 13x )|31=(3ln 133)-(3ln 131)=3ln 24. (4)函数y=sinx 的一个原函数为F(x)=-cosx, 所以,⎰-ππsinxdx=-cosx |ππ-=(-cosπ)-［-cos(-π)］=0.(5)函数y=lnx 的一个原函数为F(x)=x(lnx-1), 所以,⎰1elnxdx=x(lnx-1)|1e =e(lne-1)-1×(ln1-1)=1. (6)函数y=112+x 的一个原函数为ln(x+12+x ),所以,⎰01112+x dx=ln(x+12+x )|1=ln(1+2)-ln(0+1)=ln(1+2).(7)函数y=x 2-2x+3的一个原函数为F(x)=31x 3-x 2+3x, 所以,⎰01（x 2-2x+3）dx=(31x 3-x 2+3x)|10=(31×13-12+3×1)-(31×03-02+3×0)=231.(8)函数y=（x-1）2=x 2-2x+1的一个原函数为F （x ）=31x 3-x 2+x, 所以,⎰13(x-1)2dx=(31x 3-x 2+x)|31=(31×33-32+3)-(31×13-12+1)=232.(9)函数y=2x+x 2的一个原函数为F(x)=33122ln 1x x +, 所以⎰-11(x 2+2x )dx=(2ln 12x +31x 3)|11-=(2ln 121+31×13)-(2ln 12-1+31×(-1)3)=32ln 23+x . (10)函数y=x 21+x x 的一个原函数为F(x)=21ln|x|+52x 2x, 所以,⎰12(x 21+x x )dx=(21ln|x|+52x 2x )|21=(21ln2+52×222)-(21ln1+52×121)=21ln2+258-52. 7.解:设汽车在5~10 s 这段时间走过的路程为s,则s=⎰510(2t+t+2)dt=［3423t +22t +2t ］|105=10340-3205+295(m). 答:汽车在5~10 s 这段时间走过的路程为10340-3205+295m. 8.解:设弹簧弹力在这一过程中所做的功为W,则W=⎰8.06.0(-0.5x)dx=0.07(焦耳).答:这一过程中弹簧弹力所做的功为0.07焦耳.B 组1.解:⎰-22ππf(x)dx=⎰20πf(x)dx+⎰-2πf(x)dx=⎰20π-sinxdx+⎰-2πxdx=cosx |2π+21x 2|02π=cos 2π-cos0+21×02-21×(-2π)2=-82π-1.思路分析:将区间[-2π,2π]拆分成[0,2π]和[-2π,0],函数f(x)在区间[-2π,2π]的积分等于函数在区间[0,2π]和[-2π,0]的积分之和.2.解:(1)定积分⎰01x 2dx 中,被积函数为y=x 2.被积函数的一个原函数为y=31x 3, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01x 2dx=31x 3|10=31×13-31×03=31.用图像表示为: (2)定积分⎰12(x-1)2dx 中,被积函数为y=(x-1)2=x 2-2x+1.被积函数的一个原函数为y=31x 3-x 2+x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰12(x 2-2x+1)dx=(31x 3-x 2+x)|21=(31×23-22+2)-(31×13-12+1)=31. 用图像表示为: (3)定积分⎰-10(x+1)2dx 中,被积函数为y=(x+1)2=x 2+2x+1. 被积函数的一个原函数为y=31x 3+x 2+x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰-10(x 2+2x+1)dx=(31x 3+x 2+x)|01-=(31×03-02+0)-［31×(-1)3+(-1)2-1］=31. 通过计算可以看出:以上积分的结果相同.从图像中不难看出:三种情况下曲边梯形的面积相等,故积分值相等. 练习(P 88) 1.解:曲线y=x1，直线x=1,x=2以及x 轴围成的平面图形的面积为⎰12x 1dx=ln|x||21=ln2-ln1=ln2.2.解:曲线y=e x 与y 轴的交点为(0,1),曲线y=e x,直线x=1以及x 轴、y 轴围成的平面图形的面积为⎰01e x dx=ex|1=e 1-e 0=e-1.练习(P 90)1.解:直线x=y,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x 轴旋转一周得到的圆台体积为⎰12πx 2dx=31πx 3|21=31π×23-31π×13=37π. 2.解:曲线y=1+x x+1,x 轴,y 轴和直线x=1围成的区域绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为:⎰01π(x+1)dx=(21πx 2+πx)|10|10=(21π×12+π×1)-(21π×02+π×0)=23π.习题43(P 90)1.解:⎩⎨⎧+==,2,2x y x y 解方程组得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==1,14,2y x y x 或. 所求平面图形的面积为⎰-12(x+2-x 2)dx=(22x +2x-33x )|21-=8-621.2.解:如图所示:所求的阴影部分的面积分为两部分:一部分是x 轴上方的面积,一部分是x 轴下方的面积.x 轴上方的面积S 1=⎰-22ππcosxdx=sinx|22ππ-=sin2π-sin(-2π)=2, x 轴下方的面积S 1=S 2=2,所求的阴影部分的面积为S=S 1+S 2=2+2=4. 3.解:所求的面积为S=⎰20πsinxdx=-cosx|20π=-cos2π-(-cos0)=1. 4.解:所求的面积为S=⎰12(x+x 1)dx=(21x 2+ln|x|)|21=(21×22+ln2)-( 21×12+ln1)=23+ln2.5.解:所求旋转体的体积为 V=⎰12π(x 1)2dx=-π·x1|21=(-π×21)-(-π×11)=2π. 6.解:所求旋转体的体积为 V=⎰01π(x )2dx=π·21x 2|10=(π×21×12)-(π×21×02)=2π. 7.解:由题意知⎪⎩⎪⎨⎧==xy x y ,2解此方程组得⎩⎨⎧==0,0y x 或⎩⎨⎧==1,1y x .所求平面图形的面积为:⎰01x dx-⎰01x 2dx=32x x|10-31x 3|10=32×1×1-32×0×0-(31×13-31×03)=31.该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为:⎰01π(x )2dx-⎰01π(x 2)2dx=21πx 2|10-51πx 5|10=21π×12-21π×02-(51π×15-51π×05)=103π. STS浅淡微积分(二)微积分是数学中的基础分支.内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用.函数是微积分研究的基本对象,极限是微积分的基本概念,微分和积分是特定过程特定形式的极限.17世纪后半叶,英国数学家I.牛顿和德国数学家G.W.莱布尼茨,总结和发展了几百年间前人的工作,建立了微积分,但他们的出发点是直观的无穷小量,因此尚缺乏严密的理论基础.19世纪,柯西和K.魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的基础上;加之19世纪后半叶实数理论的建立,又使极限理论有了严格的理论基础,从而使微积分的基础和思想方法日臻完善.微分学的基本概念是导数.导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念.牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发,希望用数学工具来刻画这一事实.导数作为一个数学工具无论在理论上还是在实际应用中,都起着基础而重要的作用.例如在求极大、极小值问题中的应用.积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分.主要内容包括积分的性质、计算,以及在理论和实际中的应用.不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的.。

高手支招6体验成功基础巩固1.抛物线y=x 2-x 与x 轴围成的图形面积为（ ）A 。

81 B.1 C.61 D 。

21答案:C思路分析：所求面积S=—⎰01（x2—x ）dx=（22x -33x ）|10|10=-（31—21）=612。

如果某质点的初速度v(0)=1,其加速度a （t)=6t ，做直线运动,则质点在t=2 s 时的瞬时速度为（ )A.5B.7C.9 D 。

13 答案：D思路分析：v(2)—v(0)= ⎰02a(t ）dt=⎰026tdt=3t 2|20。

∴v（2）=v （0)+3×22=1+12=13.3.曲线y 2=4ax ，x=a 绕x 轴旋转所得的旋转体体积是（ ) A.2πa 2 B.4πa 2 C 。

2πa 3D.4πa 3 答案:C思路分析：不妨设a ＞0,由旋转体体积公式可得:V=π⎰0a y 2dx=π⎰0a 4axdx=4πa（21x 2)|0a=2πa 3。

4。

若f(x)=⎩⎨⎧<-≥+,0,,0,32x x x x 则⎰-11f(x)dx=_____________.答案：623 思路分析:⎰-11f(x)dx=⎰-10（—x ）dx+⎰01（x 2+3)dx=—21x 2|01-+(31x 3+3x ）|10=623。

5。

⎰-aa（xcosx —5sinx+2)dx=_____________。

答案:4a思路分析：原式=⎰-a a xcosxdx —⎰-a a 5sinxdx+⎰-a a 2dx ，由于前两个积分的被积函数是奇函数，画出图像，由定积分的几何意义可知,前两个积分值都为0。

所以原式=⎰-aa 2dx=2x |a a-=4a 。

6.如果⎰01f(x)dx=1,⎰02f （x ）dx=-1,则⎰12f （x ）dx=______________。

答案：—2思路分析：⎰02f （x)dx=⎰01f （x ）dx+⎰12f （x ）dx=-1，∴有1+⎰12f（x)dx=—1,∴⎰12f(x)dx=-2.7。

一、选择题1．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．22．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 3．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d x B ．2π40⎰(sin x －cos x )d x C ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x4．已知()22214a x ex dx π-=-⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．e5．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( )A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 6．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．定积分220[4(2)]x x dx ---⎰的值为（ ）A ．24π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-8．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（ ）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+9．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．2310．等比数列{}n a 中，39a =前三项和为32303S x dx =⎰，则公比的值是（ ） A ．1B ．12-C ．1或12-D ．-1或12-11．已知125113,log ,log 3,a a x dx m a n p a-====⎰，则 （ ） A ．m n p << B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m <<12．函数()22,04,02x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，则22()f x dx -⎰的值为（ ）A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．8二、填空题13．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．14．质点运动的速度()2183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______.15．由直线2x y +=，曲线2y x =所围成的图形面积是________16．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.17．曲线y x =与直线21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ____．18．在平面直角坐标系中，角α的始边落在x 轴的非负半轴，终边上有一点是()1,3-，若[)0,2απ∈，则cos xdx αα-=⎰______．19．计算()2224x x dx -+-⎰得__________．20．若，则的值是__________．三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(0)0f =，且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()'()g x f x f x λ=-，其中'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈，函数()y g x =的图象恒在x 轴上方，求实数λ的取值范围.22．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值.23．如图：求曲线y ＝e x －1与直线x ＝－ln 2， y ＝e －1所围成的平面图形面积.24．（1）已知0a >，求22aa x dx --⎰；（2）求证：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为ab π.25．求曲线6y x =-和8y x =y ＝0围成图形的面积． 26．在(332x x11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，求1x α⎰d x【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解 【详解】 由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4． 故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.2．D解析：D 【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为.考点：几何概型、定积分．3．D解析：D 【解析】π40⎰(-sin x +cos x )d x 2π4π+⎰(sin x -cos x )dx=2π40⎰(cos x －sin x )d x ,选D.点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．4．A解析：A 【解析】因为2224d x x --表示的是以原点为圆心、半径为2的上半圆的面积，即224d 2πx x --=，222221e d (e )|02x x x --==⎰，所以)22214e d 2a x x x π-=-=⎰，则()2016201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令12x =，得1202022b b b =++ 201620162b ++，则12222b b + 2016201612b ++=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.5．D解析：D【解析】由题意得()22130f x x a x =+-≥'在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即22max 13a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，因为2213y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2213131334,444y x a x =-<-=≥，选D. 点睛：已知函数单调性求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数单调区间取法，根据单调区间与定义区间包含关系，确定参数值或取值范围；（2）利用导数转化为导函数非正或非负恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.6．B解析：B 【解析】试题分析：阴影部分的面积()044sin cos (cos sin )|1S x x dx x x ππππ=-=--=+⎰由几何概型可知：向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是0=2ABCDS P S π=矩形 ，故选B ． 考点：几何概型．7．B解析：B 【解析】试题分析：由定积分的几何意义有⎰表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆的14部分，而20xdx ⎰表示的是直线y x =，0,2,xx x ==轴所围成的面积，故2]x dx ⎰表示的图形如下图的阴影部分，面积为221122242ππ⨯-⨯=-.故选B.考点：1.定积分的几何意义；2.方程的化简.8．A解析：A 【解析】()1e 2x x dx -⎰21()1120x e x e e =-=--=- ,选A.9．B解析：B 【解析】试题分析：由题意得，因为幂函数a y x =图像过点(2,4)P ，所以42α=，解得2α=，所以幂函数2yx ，则阴影部分的面积为22320018|33S x dx x ===⎰，故选B.考点：幂函数的解析式；定积分的应用.10．C解析：C 【解析】由题意得3330|27S x ==． ①当q ≠1时，则有313231(1)2719a q S q a a q ⎧-==⎪-⎨⎪==⎩，解得12q =-或1q =（舍去）．②当q ＝1时，a 3＝a 2＝a 1＝9，故S 3＝27，符合题意． 综上12q =-或1q =．选C ． 点睛：在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1q =与1q ≠分类讨论，防止因忽略1q = 这一特殊情况而导致解题失误．11．B解析：B 【解析】1235211132,log 2,log 3,12a x dx x m n p -===∴===-⎰55211log 2log 5,log 31,22m n p ====m p n ∴<<故选B12．A解析：A 【分析】 先求出22()f x dx -=⎰22064x dx +-⎰,再求出2204x dx π-=⎰即得解.【详解】 由题得2022220222201()(2)4(2)|42f x dx x dx x dx x x x dx ---=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰22064x dx =+-⎰,设24(02,0)y x x y =-<≤≥,所以22+4x y =，所以24(02,0)y x x y =-<≤≥表示圆22+4x y =在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点)，其面积为14=4ππ⨯⨯. 所以204x dx π-=⎰.所以22()6f x dx π-=+⎰.故选：A 【点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分再比较它们的大小即可【详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查定积分的计算不等式的大小比较等基础知识考查运算求解能力属于中档题 解析：213S S S <<【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可． 【详解】22321111733S x dx x ===⎰ 2221112S dx lnx ln x===⎰222311|x x S e dx e e e ===-⎰2723ln e e <<- 213S S S ∴<<故答案为：213S S S << 【点睛】本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．14．108m 【分析】令速度为0求出t 的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题解析：108m. 【分析】令速度为0求出t 的值 0和6，求出速度函数在[0,6]上的定积分即可. 【详解】由21830t t -=，得0t =或6t =，当[0,6]t ∈时，质点运动的路程为()()662233201839696108S t t dt t t=-=-=-+⨯=⎰，故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题.15．【解析】【分析】联立方程组求得交点的坐标利用定积分分别求得图形和的面积即可求解得到答案【详解】由题意联立方程组解得或即则图形的面积为图形的面积为所以围成阴影部分的面积为【点睛】本题主要考查了利用定积解析：92【解析】 【分析】联立方程组，求得交点的坐标，利用定积分分别求得图形OAC 和ACB 的面积，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，联立方程组22x y y x+=⎧⎨=⎩，解得1y =或2y =-，即(1,1),(4,2)A B -，则图形OAC 的面积为3112102422|33S xdx x ==⨯=⎰， 图形ACB 的面积为342422111219[(2)](2)236S x x dx x x x =-+=-+=⎰,所以围成阴影部分的面积为124199362S S S =+=+=.【点睛】本题主要考查了利用定积分求解围成封闭图形的面积问题，其中解答中准确表示出封闭图形的面积的表示式，利用定积分准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.16．【分析】根据积分求解出阴影部分面积再利用几何概型求解得到结果【详解】由图象可知直线方程为：则阴影部分面积为：所求概率本题正确结果：【点睛】本题考查几何概型中面积型的求解关键是能够通过积分的知识求得阴解析：14【分析】根据积分求解出阴影部分面积，再利用几何概型求解得到结果. 【详解】由图象可知，直线OB 方程为：y x =则阴影部分面积为：()132401111111000024244S x x dx x x =-==--+=⎰ ∴所求概率114114P ==⨯ 本题正确结果：14【点睛】本题考查几何概型中面积型的求解，关键是能够通过积分的知识求得阴影部分面积.17．【分析】根据定积分的几何意义先联立直线与曲线方程求出积分的上下限将面积转化为定积分从而可求出所围成的图形的面积【详解】由曲线与直线构成方程组解得由直线与构成方程组解得；曲线与直线及x 轴所围成的封闭图 解析：512【分析】根据定积分的几何意义，先联立直线与曲线方程，求出积分的上下限，将面积转化为定积分11102(21)xdx x dx --⎰⎰，从而可求出所围成的图形的面积.【详解】由曲线y x =21y x =-构成方程组21y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得{11x y ==，由直线21y x =-与0y =构成方程组，解得120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；∴曲线y x =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为：()131212011222215(21)||33412S xdx x dx x x x =--=--=-=⎰⎰．故答案为512． 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.18．【解析】【分析】可得再利用微积分基本定理即可得出【详解】则故答案为【点睛】本题考查了微积分基本定理三角函数求值考查了推理能力与计算能力属于基础题【解析】 【分析】tan α=[)0,2απ∈，可得2.3πα=再利用微积分基本定理即可得出． 【详解】tan α=[)0,2απ∈，23πα∴=． 则()232322cos sin |sinsin 33xdx x αππαππ--⎛⎛⎫==--== ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎰．【点睛】本题考查了微积分基本定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．【解析】分析：根据定积分的定义分别和求和即可详解：表示以（00）为圆心以2为半径的半径故故答案为点睛：求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分(解析：2π. 【解析】分析：根据定积分的定义分别221dx -⎰和2-⎰，求和即可.详解：2-⎰表示以（0，0）为圆心，以2为半径的半径.故22π-=⎰∴()22222222221414|242xdx dx x dx x ππ----+-=+-=+=+⎰⎰⎰.故答案为42π+. 点睛：求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强． (2)利用微积分基本定理求定积分．(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．20．2【解析】试题分析：∵易得故答案为考点：定积分的计算解析：2 【解析】 试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.三、解答题21．（1）()2f x x x =+；（2）{|0}λλ<【解析】分析：（1）设2()f x ax bx c =++，代入已知，由恒等式知识可求得,,a b c ； （2）由（1）得()g x ，题意说明()0<g x 在[0,1]x ∈上恒成立，由分离参数法得221x x x λ+<+，问题转化为求22([0,1])21x xx x +∈+的最小值． 详解：（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，()00f =，0c ∴=.于是()()()()22111f x f x a x b x ax bx +-=+++--222ax a b x =++=+.解得1a =，1b =. 所以()2f x x x =+.（2）由已知得()()221g x x x x λ=+-+ 0>在[]0,1x ∈上恒成立.即221x x x λ+<+在[]0,1x ∈上恒成立.令()221x xh x x +=+，[]0,1x ∈可得()()()()()22222212221'02121x x x x x h x x x +-+++==>++.∴函数()h x 在[]0,1单调递增，∴ ()()min 00h x h ==.∴ λ的取值范围是{|0}λλ<.点睛：本题考查用导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题通常伴随着考查转化与化归思想，例如常用分离参数法化为()()g h x λ≤，这样只要求得()h x 的最小值min ()h x ，然后再解min ()()g h x λ≤，即得λ范围． 22．（1）800()4(010)25f x x x x =+≤≤+；（2）当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元. 【解析】试题分析：（I ）根据c （0）=8计算k ，从而得出f （x ）的解析式； （II ）利用基本不等式得出f （x ）的最小值及等号成立的条件． 试题（1）当0x =时，()085kc ==，∴40k =. 由题意知，()4020425f x x x ⨯=++，即()()800401025f x x x x =+≤≤+. （2）∵()()800401025f x x x x =+≤≤+ ∴()()21600'425f x x -=++，令()'0f x =，即()242516000x +-=，∴7.5x =.当[)0,7.5x ∈时，()'0f x <，当(]7.5,10x ∈时，()'0f x >， 当7.5x =时，()f x 取得最小值.()min 80047.57027.55f x =⨯+=⨯+.所以，当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元. 23．1ln 22e + 【解析】 【分析】算出,A B 两点的坐标可得积分区间[]ln 2,1-，利用定积分可以计算平面图形的面积． 【详解】1ln 2,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,1B e -， 围成的面积为()()()11ln2ln2111|ln 22x x e e dx ex e e --⎡⎤---=-=+⎣⎦⎰． 【点睛】由曲线围成的不规则图形的面积可以用定积分来计算，计算时应选择合理的积分区间和被积函数，必要时还需分割平面图形便于被积函数的选择． 24．（1）212a π；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据积分的几何意义，求a-⎰的值即可；（2） 先用积分求椭圆上半部分的面积有aab a --=⎰⎰，结合（1）求其面积，根据椭圆对称性求出椭圆面积，即得证. 【详解】（1）令)y a x a =-≤≤，得222(,0)x y a a x a y +=-≤≤≥，a-⎰的几何意义是求以(0,0)为圆心，半径为a 的半圆的面积，212aa π-∴=⎰；（2）先求半椭圆22221(0,)x y y a x a a b +=≥-≤≤的面积，由22221(0)x y y a b +=≥可得y ==由（1）可知，212a a π-=⎰，∴半椭圆22221(0,)x y y a x a a b+=≥-≤≤的面积为21122aa b b a ab a a ππ--==⨯=⎰⎰，∴根据椭圆的对称性可知，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为ab π，得证.【点睛】关键点点睛：利用积分的几何含义求定积分，对椭圆上半部分积分，结合几何含义求面积，应用对称性求出椭圆的面积. 25．403. 【分析】首先由定积分的几何意义用定积分表示曲线围成图形的面积，然后计算定积分即可得结果. 【详解】如图，作出直线6y x =-，曲线y =解方程组68y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得24x y =⎧⎨=⎩，则直线6y x =-与曲线8y x =交点的坐标为(2,4)， 又直线6y x =-与x 轴的交点坐标为(6,0)， 因此，所求图形的面积3262262020212218d (6)d 8|(6)|32S S S x x x x x x x +=+-=+-=⨯⎰⎰ 2216111640[(666)(622)]832233=+⨯-⨯-⨯-⨯=+=. 【点睛】该题考查的是有关求曲线围成的图形的面积的问题，涉及到的知识点有定积分的几何意义，注意在不同的积分区间上的被积函数是不同的，属于简单题目.26．67【分析】先求()332x x-11展开式的通项公式，其中有2项有理项，确定概率1α6=，根据定积分的计算法则，先求出被积函数x α的原函数，再分别将积分上下限代入求差，即可求出结果. 【详解】解：T r ＋1＝11r C ·(3x )11－r ·()32x -r ＝11rC ·311－r ·(－2)r ·，r ＝0,1，…，11，共12项其中只有第4项和第10项是有理项，故所求概率为21α126==. 111716600066=|=77x dx x dx x α∴=⎰⎰ 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项式展开式的特定项问题、考查古典概型的概率公式，考查定积分的计算.解题关键是熟练应用二项式展开式的通项公式，找出符合条件的项数.。